Sådan kontrolleres den Gaussiske metode. Omvendt af Gauss-metoden

En af de enkleste måder at løse et system af lineære ligninger på er en teknik baseret på beregning af determinanter ( Cramers regel). Dens fordel er, at det giver dig mulighed for straks at registrere løsningen; det er især praktisk i tilfælde, hvor systemets koefficienter ikke er tal, men nogle parametre. Dens ulempe er besværligheden af ​​beregninger i tilfælde af et stort antal ligninger, desuden er Cramers regel ikke direkte anvendelig på systemer, hvor antallet af ligninger ikke er sammenfaldende med antallet af ukendte. I sådanne tilfælde bruges det normalt Gaussisk metode.

Systemer af lineære ligninger med det samme sæt af løsninger kaldes tilsvarende. Det er klart, at mængden af ​​løsninger af et lineært system ikke ændres, hvis nogen ligninger byttes om, eller hvis en af ​​ligningerne multipliceres med et tal, der ikke er nul, eller hvis en ligning lægges til en anden.

Gauss metode (metode til sekventiel eliminering af ukendte) er, at systemet ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trintype. Først ved hjælp af den 1. ligning eliminerer vi x 1 af alle efterfølgende ligninger i systemet. Så, ved hjælp af den 2. ligning, eliminerer vi x 2 fra 3. og alle efterfølgende ligninger. Denne proces, kaldet direkte Gauss-metode, fortsætter, indtil der kun er én ukendt tilbage på venstre side af den sidste ligning x n. Herefter er det gjort omvendt af Gauss-metoden– at løse den sidste ligning, finder vi x n; derefter, ved hjælp af denne værdi, fra den næstsidste ligning, vi beregner x n-1 osv. Vi finder den sidste x 1 fra den første ligning.

Det er praktisk at udføre gaussiske transformationer ved at udføre transformationer ikke med ligningerne selv, men med matricerne for deres koefficienter. Overvej matrixen:

hedder udvidet matrix af systemet, fordi det ud over systemets hovedmatrix indeholder en kolonne med frie termer. Den Gaussiske metode er baseret på at reducere systemets hovedmatrix til en trekantet form (eller trapezform i tilfælde af ikke-kvadratiske systemer) ved hjælp af elementære rækketransformationer (!) af systemets udvidede matrix.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Lad os skrive systemets udvidede matrix ud, og ved hjælp af den første række nulstiller vi derefter de resterende elementer:

vi får nuller i 2., 3. og 4. række i den første kolonne:

Nu skal alle elementer i den anden kolonne under 2. række være lig med nul. For at gøre dette kan du gange den anden linje med –4/7 og tilføje den til den 3. linje. Men for ikke at beskæftige os med brøker, lad os oprette en enhed i 2. række i den anden kolonne og kun

Nu, for at få en trekantet matrix, skal du nulstille elementet i den fjerde række i den 3. kolonne; for at gøre dette kan du gange den tredje række med 8/54 og tilføje den til den fjerde. Men for ikke at beskæftige os med brøker, vil vi bytte 3. og 4. række og 3. og 4. kolonne, og først efter det nulstiller vi det angivne element. Bemærk, at når du omarrangerer kolonnerne, skifter de tilsvarende variable plads, og dette skal huskes; andre elementære transformationer med kolonner (addition og multiplikation med et tal) kan ikke udføres!

Den sidste forenklede matrix svarer til et ligningssystem svarende til det oprindelige:

Herfra, ved at bruge det omvendte af Gauss-metoden, finder vi fra den fjerde ligning x 3 = -1; fra den tredje x 4 = –2, fra den anden x 2 = 2 og fra den første ligning x 1 = 1. På matrixform skrives svaret som

Vi overvejede sagen, når systemet er bestemt, dvs. når der kun er én løsning. Lad os se, hvad der sker, hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.

Eksempel 5.2. Udforsk systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix

Vi skriver et forenklet system af ligninger:

Her viste det sig i den sidste ligning, at 0=4, dvs. modsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenelig. à

Eksempel 5.3. Udforsk og løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix:

Som et resultat af transformationerne indeholder den sidste linje kun nuller. Det betyder, at antallet af ligninger er faldet med én:

Efter forenklinger er der således to ligninger tilbage, og fire ubekendte, dvs. to ukendte "ekstra". Lad dem være "overflødige", eller, som de siger, frie variabler, vil x 3 og x 4 . Derefter

Troende x 3 = 2-en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–-en Og x 1 = 2b–-en; eller i matrixform

En løsning skrevet på denne måde kaldes generel, fordi, at give parametre -en Og b forskellige værdier, kan alle mulige løsninger af systemet beskrives. -en

I dag ser vi på Gauss-metoden til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger. Du kan læse om, hvad disse systemer er, i den forrige artikel, der er viet til at løse de samme SLAE'er ved hjælp af Cramer-metoden. Gauss-metoden kræver ingen specifik viden, du har kun brug for opmærksomhed og konsekvens. På trods af at skoletræning fra et matematisk synspunkt er tilstrækkelig til at anvende den, har eleverne ofte svært ved at mestre denne metode. I denne artikel vil vi forsøge at reducere dem til ingenting!

Gauss metode

M Gaussisk metode– den mest universelle metode til at løse SLAE'er (med undtagelse af meget store systemer). I modsætning til det, der blev diskuteret tidligere, er det ikke kun egnet til systemer, der har en enkelt løsning, men også til systemer, der har et uendeligt antal løsninger. Der er tre mulige muligheder her.

1. Systemet har en unik løsning (determinanten for systemets hovedmatrix er ikke lig med nul);
2. Systemet har et uendeligt antal løsninger;
3. Der er ingen løsninger, systemet er inkompatibelt.

Så vi har et system (lad det have én løsning), og vi skal løse det ved hjælp af Gauss-metoden. Hvordan det virker?

Gauss-metoden består af to trin - fremad og omvendt.

Direkte streg af Gauss-metoden

Lad os først skrive systemets udvidede matrix ned. For at gøre dette skal du tilføje en kolonne med gratis medlemmer til hovedmatrixen.

Hele essensen af ​​Gauss-metoden er at bringe denne matrix til en trinvis (eller, som de også siger, trekantet) form gennem elementære transformationer. I denne form skal der kun være nuller under (eller over) matrixens hoveddiagonal.

Hvad du kan gøre:

1. Du kan omarrangere rækkerne i matrixen;
2. Hvis der er lige store (eller proportionale) rækker i en matrix, kan du fjerne alle undtagen én af dem;
3. Du kan gange eller dividere en streng med et hvilket som helst tal (undtagen nul);
4. Nul rækker fjernes;
5. Du kan tilføje en streng ganget med et andet tal end nul til en streng.

Omvendt Gaussisk metode

Efter at vi har transformeret systemet på denne måde, en ukendt Xn bliver kendt, og du kan finde alle de resterende ukendte i omvendt rækkefølge, og erstatte de allerede kendte x'er i systemets ligninger op til den første.

Når internettet altid er ved hånden, kan du løse et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden online. Du skal blot indtaste koefficienterne i online-beregneren. Men du må indrømme, det er meget mere behageligt at indse, at eksemplet ikke blev løst af et computerprogram, men af ​​din egen hjerne.

Et eksempel på løsning af et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden

Og nu - et eksempel, så alt bliver klart og forståeligt. Lad et system af lineære ligninger være givet, og du skal løse det ved hjælp af Gauss-metoden:

Først skriver vi den udvidede matrix:

Lad os nu lave transformationerne. Vi husker, at vi skal opnå et trekantet udseende af matrixen. Lad os gange den 1. linje med (3). Gang 2. linje med (-1). Tilføj 2. linje til 1. og få:

Derefter ganges den 3. linje med (-1). Lad os tilføje 3. linje til 2.:

Lad os gange den 1. linje med (6). Lad os gange 2. linje med (13). Lad os tilføje 2. linje til 1.:

Voila - systemet bringes til den passende form. Det er tilbage at finde de ukendte:

Systemet i dette eksempel har en unik løsning. Vi vil overveje at løse systemer med et uendeligt antal løsninger i en separat artikel. Måske ved du først ikke, hvor du skal begynde at transformere matrixen, men efter passende øvelse vil du få styr på det og vil knække SLAE'er ved hjælp af Gauss-metoden som nødder. Og hvis du pludselig støder på en SLA, der viser sig at være for svær en nød at knække, så kontakt vores forfattere! du kan ved at efterlade en anmodning i Korrespondancekontoret. Sammen løser vi ethvert problem!

Denne online lommeregner finder løsningen på et system af lineære ligninger (SLE) ved hjælp af Gauss-metoden. Der gives en detaljeret løsning. For at beregne skal du vælge antallet af variable og antallet af ligninger. Indtast derefter dataene i cellerne og klik på knappen "Beregn".

Talrepræsentation:

Antal pladser efter decimalskilletegn

×

Advarsel

Vil du rydde alle celler?

Luk Ryd

Instruktioner til dataindtastning. Tal indtastes som heltal (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), decimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal indtastes på formen a/b, hvor a og b (b>0) er heltal eller decimaltal. Eksempler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Gauss metode

Gauss-metoden er en metode til overgang fra det oprindelige system af lineære ligninger (ved hjælp af ækvivalente transformationer) til et system, der er lettere at løse end det oprindelige system.

Ækvivalente transformationer af et system af lineære ligninger er:

• at bytte to ligninger i systemet,
• gange enhver ligning i systemet med et reelt tal, der ikke er nul,
• tilføjelse til en ligning en anden ligning ganget med et vilkårligt tal.

Overvej et system af lineære ligninger:

Lad os skrive system (1) i matrixform:

(3)

EN- kaldet systemets koefficientmatrix, b- højre side af restriktionerne, x− vektor af variabler, der skal findes. Lad rang( EN)=s.

Ækvivalente transformationer ændrer ikke rangen af ​​koefficientmatricen og rangeringen af ​​systemets udvidede matrix. Systemets løsningssæt ændres heller ikke under tilsvarende transformationer. Essensen af ​​Gauss-metoden er at reducere matrixen af ​​koefficienter EN til diagonal eller trin.

Lad os bygge en udvidet matrix af systemet:

På næste trin nulstiller vi alle elementer i kolonne 2, under elementet. Hvis dette element er nul, så er denne række byttet med rækken, der ligger under denne række og har et ikke-nul element i den anden kolonne. Nulstil derefter alle elementer i kolonne 2 under det førende element -en 22. For at gøre dette skal du tilføje linje 3, ... m med streng 2 ganget med − -en 32 /-en 22 , ..., −-en m2/ -en 22, henholdsvis. Ved at fortsætte proceduren får vi en matrix af diagonal eller trinvis form. Lad den resulterende udvidede matrix have formen:

Fordi rangA = ringede(A|b), så er mængden af ​​løsninger (7) ( n−s)− sort. Derfor n−s de ukendte kan vælges vilkårligt. De resterende ubekendte fra system (7) beregnes som følger. Fra den sidste ligning udtrykker vi x p gennem de resterende variable og indsæt i de foregående udtryk. Dernæst fra den næstsidste ligning, vi udtrykker x p−1 gennem de resterende variable og indsæt i de foregående udtryk osv. Lad os se på Gauss-metoden ved hjælp af specifikke eksempler.

Eksempler på løsning af et lineært ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden

Eksempel 1. Find en generel løsning til et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden:

Lad os betegne med -en ij elementer jeg-th linje og j kolonne.

-en elleve . For at gøre dette skal du tilføje linje 2,3 med linje 1, ganget med henholdsvis -2/3, -1/2:

Matrix optagelsestype: Ax=b, Hvor

Lad os betegne med -en ij elementer jeg-th linje og j kolonne.

Lad os udelukke elementerne i 1. kolonne i matricen under elementet -en elleve . For at gøre dette skal du tilføje linje 2,3 med linje 1, ganget med henholdsvis -1/5, -6/5:

Vi dividerer hver række i matricen med det tilsvarende førende element (hvis det førende element findes):

Hvor x 3 , x

Ved at erstatte de øverste udtryk med de nederste får vi løsningen.

Så kan vektorløsningen repræsenteres som følger:

Hvor x 3 , x 4 er vilkårlige reelle tal.

1. System af lineære algebraiske ligninger

1.1 Begrebet et system af lineære algebraiske ligninger

Et ligningssystem er en tilstand, der består af samtidig udførelse af flere ligninger med hensyn til flere variable. Et system af lineære algebraiske ligninger (herefter benævnt SLAE), der indeholder m-ligninger og n ukendte, kaldes et system af formen:

hvor tal a ij kaldes systemkoefficienter, tal b i kaldes frie led, en ij Og b i(i=1,…, m; b=1,…, n) repræsenterer nogle kendte tal, og x 1, …, x n- ukendt. I udpegningen af ​​koefficienter en ij det første indeks i betegner ligningens nummer, og det andet j er tallet på den ukendte, hvor denne koefficient står. Tallene x n skal findes. Det er praktisk at skrive et sådant system i en kompakt matrixform: AX=B. Her er A matrixen af ​​systemkoefficienter, kaldet hovedmatrixen;

Produktet af matricerne A*X er defineret, da der er lige så mange kolonner i matrix A, som der er rækker i matrix X (n stykker).

Et systems udvidede matrix er systemets matrix A, suppleret med en kolonne med frie udtryk

1.2 Løsning af et system af lineære algebraiske ligninger

Løsningen til et ligningssystem er et ordnet sæt tal (værdier af variable), når de erstattes i stedet for variabler, bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed.

En løsning til et system er n værdier af de ukendte x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, ved substitution af hvilke alle systemets ligninger bliver sande ligheder. Enhver løsning til systemet kan skrives som en kolonnematrix

Et ligningssystem kaldes konsistent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsistent, hvis det ikke har nogen løsning.

Et konsistent system siges at være bestemmende, hvis det har en enkelt løsning, og ubestemt, hvis det har mere end én løsning. I sidstnævnte tilfælde kaldes hver af dens løsninger for en bestemt løsning af systemet. Sættet af alle særlige løsninger kaldes den generelle løsning.

At løse et system betyder at finde ud af, om det er kompatibelt eller inkonsekvent. Hvis systemet er konsistent, så find dets generelle løsning.

To systemer kaldes ækvivalente (ækvivalente), hvis de har den samme generelle løsning. Med andre ord er systemer ækvivalente, hvis hver løsning af den ene af dem er en løsning af den anden, og omvendt.

En transformation, hvis anvendelse gør et system til et nyt system svarende til det oprindelige, kaldes en tilsvarende eller tilsvarende transformation. Eksempler på ækvivalente transformationer omfatter følgende transformationer: udveksling af to ligninger af et system, udveksling af to ukendte sammen med koefficienterne for alle ligninger, multiplikation af begge sider af enhver ligning af et system med et tal, der ikke er nul.

Et system af lineære ligninger kaldes homogent, hvis alle frie led er lig med nul:

Et homogent system er altid konsistent, da x1=x2=x3=…=xn=0 er en løsning af systemet. Denne løsning kaldes nul eller triviel.

2. Gaussisk eliminationsmetode

2.1 Essensen af ​​den Gaussiske eliminationsmetode

Den klassiske metode til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger er metoden til sekventiel eliminering af ukendte - Gaussisk metode(det kaldes også den Gaussiske eliminationsmetode). Dette er en metode til sekventiel eliminering af variable, når et ligningssystem ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af trin (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variable findes sekventielt, begyndende med den sidste (ved antal) variabler.

Løsningsprocessen ved hjælp af Gauss-metoden består af to faser: fremadgående og bagudgående bevægelser.

1. Direkte slag.

I det første trin udføres den såkaldte direkte bevægelse, når systemet gennem elementære transformationer over rækkerne bringes til en trinformet eller trekantet form, eller det konstateres, at systemet er inkompatibelt. Nemlig blandt elementerne i den første kolonne i matrixen, vælg en ikke-nul, flyt den til den øverste position ved at omarrangere rækkerne, og subtraher den resulterende første række fra de resterende rækker efter omarrangeringen, multiplicer den med en værdi lig med forholdet mellem det første element i hver af disse rækker og det første element i den første række, og dermed nulstilles kolonnen under det.

Efter at disse transformationer er blevet gennemført, streges den første række og den første kolonne mentalt ud og fortsættes, indtil der er en nul-størrelse matrix tilbage. Hvis der ved en iteration ikke er noget ikke-nul element blandt elementerne i den første kolonne, så gå til den næste kolonne og udfør en lignende operation.

I det første trin (direkte slag) reduceres systemet til en trinvis (især trekantet) form.

Systemet nedenfor har en trinvis form:

Koefficienter aii kaldes de vigtigste (ledende) elementer i systemet.

Lad os transformere systemet ved at eliminere den ukendte x1 i alle ligninger undtagen den første (ved at bruge elementære transformationer af systemet). For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med

Ved at fortsætte denne proces opnår vi et tilsvarende system:

Ved det første trin bliver alle koefficienter, der ligger under det første førende element a 11, således ødelagt

Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår nul-ligninger, dvs. ligheder af formen 0=0, de kasseres. Hvis en ligning af formen vises

Det er her den direkte progression af Gauss' metode slutter.

2. Omvendt slag.

På anden fase udføres det såkaldte omvendte træk, hvis essens er at udtrykke alle de resulterende grundvariabler i form af ikke-grundlæggende og opbygge et grundlæggende system af løsninger, eller hvis alle variablerne er grundlæggende , så udtryk numerisk den eneste løsning til systemet af lineære ligninger.

Denne procedure begynder med den sidste ligning, hvorfra den tilsvarende grundvariabel udtrykkes (der er kun én i den) og substitueres i de foregående ligninger, og så videre, og går op ad "trinene".

Hver linje svarer til nøjagtig én basisvariabel, så ved hvert trin undtagen det sidste (øverst), gentager situationen nøjagtigt tilfældet med den sidste linje.

Bemærk: i praksis er det mere bekvemt ikke at arbejde med systemet, men med dets udvidede matrix, der udfører alle de elementære transformationer på dets rækker. Det er praktisk at koefficienten a11 er lig med 1 (omarranger ligningerne, eller divider begge sider af ligningen med a11).

2.2 Eksempler på løsning af SLAE'er ved hjælp af Gauss-metoden

I dette afsnit vil vi ved hjælp af tre forskellige eksempler vise, hvordan den Gaussiske metode kan løse SLAE'er.

Eksempel 1. Løs en 3. ordens SLAE.

Lad os nulstille koefficienterne til

Vi fortsætter med at overveje systemer af lineære ligninger. Denne lektion er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om, hvad et system af lineære ligninger generelt er, hvis du har lyst til en tekande, så anbefaler jeg at starte med det grundlæggende på siden. Dernæst er det nyttigt at studere lektionen.

Gauss-metoden er nem! Hvorfor? Den berømte tyske matematiker Johann Carl Friedrich Gauss modtog i sin levetid anerkendelse som den største matematiker gennem tiderne, et geni og endda kaldenavnet "Kongen af ​​matematik." Og alt genialt, som du ved, er enkelt! For øvrigt får ikke kun tøser penge, men også genier - Gauss’ portræt var på 10 tyske sedlen (før euroens indførelse), og Gauss smiler stadig mystisk til tyskerne fra almindelige frimærker.

Gauss-metoden er enkel ved, at VIDEN OM EN FEMTE-KLASSE ELEV ER NOG til at mestre den. Du skal vide, hvordan du adderer og multiplicerer! Det er ikke tilfældigt, at lærere ofte overvejer metoden til sekventiel udelukkelse af ukendte i skolens matematikvalgfag. Det er et paradoks, men eleverne finder den gaussiske metode den sværeste. Intet overraskende - det handler om metoden, og jeg vil prøve at tale om metodens algoritme i en tilgængelig form.

Lad os først systematisere lidt viden om systemer af lineære ligninger. Et system af lineære ligninger kan:

1) Få en unik løsning. 2) Har uendeligt mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).

Gauss-metoden er det mest kraftfulde og universelle værktøj til at finde en løsning nogen systemer af lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrixmetode er uegnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Og metoden til sekventiel eliminering af ukendte Alligevel vil lede os til svaret! I denne lektion vil vi igen overveje Gauss-metoden for case nr. 1 (den eneste løsning på systemet), en artikel er afsat til situationerne i punkt nr. 2-3. Jeg bemærker, at selve metodens algoritme fungerer ens i alle tre tilfælde.

Lad os vende tilbage til det enkleste system fra lektionen Hvordan løser man et system af lineære ligninger? og løse det ved hjælp af Gauss-metoden.

Det første skridt er at skrive ned udvidet systemmatrix: . Jeg tror, ​​at alle kan se, efter hvilket princip koefficienterne er skrevet. Den lodrette linje inde i matrixen har ingen matematisk betydning - den er blot en gennemstregning for at lette designet.

Reference : Jeg anbefaler dig at huske betingelser lineær algebra. System Matrix er en matrix kun sammensat af koefficienter for ukendte, i dette eksempel systemets matrix: . Udvidet systemmatrix – dette er den samme matrix af systemet plus en kolonne med frie termer, i dette tilfælde: . For kortheds skyld kan enhver af matricerne simpelthen kaldes en matrix.

Efter at den udvidede systemmatrix er skrevet, er det nødvendigt at udføre nogle handlinger med den, som også kaldes elementære transformationer.

Følgende elementære transformationer findes:

1) Strenge matricer Kan omarrangere nogle steder. For eksempel, i den overvejede matrix, kan du smertefrit omarrangere den første og anden række:

2) Hvis der er (eller har optrådt) proportionale (som et specialtilfælde - identiske) rækker i matrixen, skal du slette fra matrixen alle disse rækker undtagen én. Overvej for eksempel matrixen . I denne matrix er de sidste tre rækker proportionale, så det er nok kun at forlade en af ​​dem: .

3) Hvis der optræder en nulrække i matricen under transformationer, så skal den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nullinjen er den linje, hvori alle nuller.

4) Matrixrækken kan være gange (dividere) til ethvert nummer ikke-nul. Overvej for eksempel matrixen. Her er det tilrådeligt at dividere den første linje med -3, og gange den anden linje med 2: . Denne handling er meget nyttig, fordi den forenkler yderligere transformationer af matrixen.

5) Denne transformation volder de fleste vanskeligheder, men faktisk er der heller ikke noget kompliceret. Til en række af en matrix kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul. Lad os se på vores matrix ud fra et praktisk eksempel: . Først vil jeg beskrive transformationen meget detaljeret. Gang den første linje med –2: , Og til den anden linje lægger vi den første linje ganget med –2: . Nu kan den første linje deles "tilbage" med –2: . Som du kan se, er den linje, der tilføjes LI – har ikke ændret sig. Altid linjen, SOM ER TILFØJET, ændres UT.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljeret, men skriver det kort: Endnu en gang: til anden linje tilføjet den første linje ganget med –2. En linje multipliceres normalt mundtligt eller på et udkast, hvor mentalberegningsprocessen foregår sådan her:

"Jeg omskriver matrixen og omskriver den første linje: »

"Første kolonne. I bunden skal jeg have nul. Derfor multiplicerer jeg den øverste med –2: , og lægger den første til den anden linje: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

"Nu den anden kolonne. Øverst gange jeg -1 med -2: . Jeg tilføjer den første til den anden linje: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

"Og den tredje kolonne. Øverst gange jeg -5 med -2:. Jeg tilføjer den første til den anden linje: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

Forstå venligst dette eksempel omhyggeligt og forstå den sekventielle beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er Gauss-metoden praktisk talt i din lomme. Men vi vil selvfølgelig stadig arbejde på denne transformation.

Elementære transformationer ændrer ikke løsningen af ​​ligningssystemet

! OPMÆRKSOMHED: betragtes som manipulationer ikke kan bruge, hvis du bliver tilbudt en opgave, hvor matricerne er givet "af sig selv." For eksempel med "klassisk" operationer med matricer Du må under ingen omstændigheder omarrangere noget inde i matricerne! Lad os vende tilbage til vores system. Det er praktisk talt taget i stykker.

Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer reducere den til trinvis udsigt:

(1) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Og igen: hvorfor gange vi den første linje med –2? For at få nul i bunden, hvilket betyder at slippe af med en variabel i den anden linje.

(2) Divider den anden linje med 3.

Formålet med elementære transformationer – reducer matrixen til trinvis form: . I designet af opgaven markerer de bare "trappen" med en simpel blyant og cirkler også tallene, der er placeret på "trinene". Selve begrebet "stepped view" er ikke helt teoretisk; i videnskabelig og pædagogisk litteratur kaldes det ofte trapezformet udsigt eller trekantet udsigt.

Som et resultat af elementære transformationer opnåede vi tilsvarende oprindelige ligningssystem:

Nu skal systemet "afvikles" i den modsatte retning - fra bund til top kaldes denne proces omvendt af Gauss-metoden.

I den nederste ligning har vi allerede et færdigt resultat: .

Lad os overveje den første ligning af systemet og erstatte den allerede kendte værdi af "y" i den:

Lad os overveje den mest almindelige situation, når den Gaussiske metode kræver løsning af et system af tre lineære ligninger med tre ukendte.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Lad os skrive systemets udvidede matrix:

Nu vil jeg straks tegne det resultat, som vi kommer frem til under løsningen: Og jeg gentager, vores mål er at bringe matrixen til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer. Hvor skal man begynde?

Se først nummeret øverst til venstre: Burde næsten altid være her enhed. Generelt vil –1 (og nogle gange andre tal) duge, men på en eller anden måde er det traditionelt sket, at man normalt er placeret der. Hvordan organiserer man en enhed? Vi ser på den første kolonne - vi har en færdig enhed! Transformation en: skift første og tredje linje:

Nu vil den første linje forblive uændret indtil slutningen af ​​løsningen. Nu fint.

Enheden i øverste venstre hjørne er organiseret. Nu skal du have nuller på disse steder:

Vi får nuller ved at bruge en "svær" transformation. Først behandler vi den anden linje (2, –1, 3, 13). Hvad skal der gøres for at få nul i den første position? Behøver til den anden linje lægges den første linje ganget med –2. Mentalt eller på et udkast, gange den første linje med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi udfører konsekvent (igen mentalt eller på et udkast) tilføjelse, til den anden linje lægger vi den første linje, allerede ganget med –2:

Vi skriver resultatet i anden linje:

Vi behandler den tredje linje på samme måde (3, 2, –5, –1). For at få et nul i den første position, skal du til den tredje linje læg den første linje ganget med –3. Mentalt eller på et udkast, gange den første linje med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linje lægger vi den første linje ganget med –3:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis udføres disse handlinger normalt mundtligt og nedskrives i ét trin:

Det er ikke nødvendigt at tælle alt på én gang og på samme tid. Rækkefølgen af ​​beregninger og "indskrivning" af resultaterne konsekvent og normalt er det sådan her: først omskriver vi den første linje og puster langsomt på os selv - KONSISTENT og OPMÆRKSOMT:
Og jeg har allerede diskuteret den mentale proces af selve beregningerne ovenfor.

I dette eksempel er dette let at gøre; vi dividerer den anden linje med –5 (da alle tal der er delelige med 5 uden en rest). Samtidig dividerer vi den tredje linje med –2, for jo mindre tallene er, jo enklere er løsningen:

På den sidste fase af elementære transformationer skal du få endnu et nul her:

For det til den tredje linje lægger vi den anden linje ganget med –2:
Prøv selv at finde ud af denne handling - gang mentalt den anden linje med –2 og udfør tilføjelsen.

Den sidste handling, der udføres, er resultatets frisure, divider den tredje linje med 3.

Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent system af lineære ligninger opnået: Fedt nok.

Nu kommer det omvendte af Gauss-metoden ind. Ligningerne "vinder af" fra bund til top.

I den tredje ligning har vi allerede et klar resultat:

Lad os se på den anden ligning: . Betydningen af ​​"zet" er allerede kendt, således:

Og endelig den første ligning:. "Igrek" og "zet" er kendt, det er bare et spørgsmål om små ting:

Svar:

Som det allerede er blevet bemærket flere gange, for ethvert ligningssystem er det muligt og nødvendigt at kontrollere den fundne løsning, heldigvis er dette nemt og hurtigt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, et eksempel på det endelige design og et svar i slutningen af ​​lektionen.

Det skal bemærkes, at din forløbet af beslutningen falder muligvis ikke sammen med min beslutningsproces, og dette er et træk ved Gauss-metoden. Men svarene skal være de samme!

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra bevægelse: gange den første linje med –1 (skift fortegn).

(2) Den første linje ganget med 5 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

(3) Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.

(4) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 2.

(5) Den tredje linje blev divideret med 3.

Et dårligt tegn, der indikerer en fejl i beregninger (mere sjældent en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget som , nedenfor, og i overensstemmelse hermed, , så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der er lavet en fejl under elementære transformationer.

Vi lader det omvendte, i design af eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte slag, jeg minder dig om, virker fra bund til top. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

Dette er et eksempel for dig at løse på egen hånd, det er noget mere kompliceret. Det er okay, hvis nogen bliver forvirrede. Fuld løsning og prøvedesign i slutningen af ​​lektionen. Din løsning kan være anderledes end min løsning.

I den sidste del vil vi se på nogle funktioner i den Gaussiske algoritme. Den første funktion er, at nogle gange mangler nogle variabler i systemligningerne, for eksempel: Hvordan skriver man den udvidede systemmatrix korrekt? Jeg har allerede talt om dette punkt i klassen. Cramers regel. Matrix metode. I systemets udvidede matrix sætter vi nuller i stedet for manglende variable: Forresten er dette et ret nemt eksempel, da den første kolonne allerede har et nul, og der er færre elementære transformationer at udføre.

Den anden funktion er denne. I alle de betragtede eksempler placerede vi enten -1 eller +1 på "trinene". Kan der være andre tal der? I nogle tilfælde kan de. Overvej systemet: .

Her på øverste venstre "trin" har vi en toer. Men vi bemærker det faktum, at alle tallene i den første kolonne er delelige med 2 uden en rest - og den anden er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe til os! I det første trin skal du udføre følgende transformationer: læg den første linje ganget med –1 til den anden linje; til den tredje linje læg den første linje ganget med –3. På denne måde får vi de nødvendige nuller i den første kolonne.

Eller et andet konventionelt eksempel: . Her passer de tre på det andet “trin” også os, da 12 (stedet hvor vi skal have nul) er deleligt med 3 uden en rest. Det er nødvendigt at udføre følgende transformation: tilføj den anden linje til den tredje linje, ganget med -4, som et resultat af hvilket nul, vi har brug for, vil blive opnået.

Gauss' metode er universel, men der er en særegenhed. Du kan trygt lære at løse systemer ved hjælp af andre metoder (Cramers metode, matrixmetode) bogstaveligt talt første gang - de har en meget streng algoritme. Men for at føle dig sikker på Gauss-metoden, bør du "sætte tænderne i" og løse mindst 5-10 ti systemer. Derfor kan der i starten være forvirring og fejl i beregninger, og det er der ikke noget usædvanligt eller tragisk i.

Regnfuldt efterårsvejr uden for vinduet.... Derfor til alle, der ønsker at løse et mere komplekst eksempel på egen hånd:

Eksempel 5

Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ubekendte ved hjælp af Gauss-metoden.

Sådan en opgave er ikke så sjælden i praksis. Jeg tror, ​​at selv en tekande, der har studeret denne side grundigt, vil forstå algoritmen til intuitivt at løse et sådant system. Grundlæggende er alt det samme – der er bare flere handlinger.

Tilfælde, hvor systemet ikke har nogen løsninger (inkonsekvente) eller har uendeligt mange løsninger, diskuteres i lektionen Inkompatible systemer og systemer med en fælles løsning. Der kan du rette den betragtede algoritme for Gauss-metoden.

Jeg ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form.
Elementære transformationer udført: (1) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1. Opmærksomhed! Her kan du blive fristet til at trække den første fra den tredje linje, jeg anbefaler stærkt ikke at trække den fra - risikoen for fejl øges markant. Bare fold den! (2) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Anden og tredje linje er blevet byttet om. Bemærk , at vi på "trinene" ikke kun er tilfredse med en, men også med -1, hvilket er endnu mere bekvemt. (3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 5. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Den tredje linje blev divideret med 14.

Baglæns:

Svar : .

Eksempel 4: Løsning : Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Udførte konverteringer: (1) En anden linje blev tilføjet til den første linje. Således er den ønskede enhed organiseret i øverste venstre "trin". (2) Den første linje ganget med 7 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 6 blev tilføjet til den tredje linje.

Med det andet "trin" bliver alt værre , "kandidaterne" til det er tallene 17 og 23, og vi har brug for enten en eller -1. Transformationer (3) og (4) vil være rettet mod at opnå den ønskede enhed (3) Den anden linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1. (4) Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med –3. Det påkrævede element på det andet trin er modtaget. . (5) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 6. (6) Den anden linje blev ganget med –1, den tredje linje blev divideret med -83.

Baglæns:

Svar :

Eksempel 5: Løsning : Lad os nedskrive systemets matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Udførte konverteringer: (1) Den første og anden linje er blevet skiftet. (2) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den fjerde linje, ganget med –3. (3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 4. Den anden linje blev tilføjet til den fjerde linje, ganget med –1. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret. Den fjerde linje blev delt med 3 og placeret i stedet for den tredje linje. (5) Den tredje linje blev lagt til den fjerde linje, ganget med –5.

Baglæns:

Svar :