Lektionsopsummering "Retlineær og krum bevægelse. Cirkulær bevægelse af en krop"

Du er godt klar over, at afhængigt af banens form opdeles bevægelse i retlinet Og krumlinjet. Vi har lært at arbejde med retlinet bevægelse i tidligere lektioner, nemlig at løse mekanikkens hovedproblem for denne type bevægelse.

Det er dog klart, at vi i den virkelige verden oftest beskæftiger os med kurvelineær bevægelse, når banen er en buet linje. Eksempler på sådanne bevægelser er banen for et legeme, der kastes i en vinkel i forhold til horisonten, Jordens bevægelse omkring Solen og endda banen for bevægelsen af ​​dine øjne, som nu følger denne note.

Denne lektion vil blive afsat til spørgsmålet om, hvordan mekanikkens hovedproblem løses i tilfælde af krumlinjet bevægelse.

Til at begynde med, lad os bestemme, hvilke grundlæggende forskelle der findes i krumlinjet bevægelse (fig. 1) i forhold til retlinet bevægelse, og hvad disse forskelle fører til.

Ris. 1. Bane for krumlinjet bevægelse

Lad os tale om, hvordan det er praktisk at beskrive en krops bevægelse under krumlinjet bevægelse.

Bevægelsen kan opdeles i separate sektioner, hvor bevægelsen i hver kan betragtes som retlinet (fig. 2).

Ris. 2. Opdeling af krumlinjet bevægelse i sektioner af retlinet bevægelse

Imidlertid er den følgende fremgangsmåde mere bekvem. Vi vil forestille os denne bevægelse som en kombination af flere bevægelser langs cirkelbuer (fig. 3). Bemærk venligst, at der er færre sådanne skillevægge end i det foregående tilfælde, desuden er bevægelsen langs cirklen krumlinjet. Derudover er eksempler på bevægelse i en cirkel meget almindelige i naturen. Ud fra dette kan vi konkludere:

For at beskrive krumlinjet bevægelse skal du lære at beskrive bevægelse i en cirkel og derefter repræsentere vilkårlig bevægelse i form af sæt af bevægelser langs cirkulære buer.

Ris. 3. Opdeling af krumlinjet bevægelse i bevægelse langs cirkulære buer

Så lad os begynde studiet af krumlinjet bevægelse ved at studere ensartet bevægelse i en cirkel. Lad os finde ud af, hvad der er de grundlæggende forskelle mellem krumlinjet bevægelse og retlinet bevægelse. Lad os til at begynde med huske, at vi i niende klasse undersøgte det faktum, at en krops hastighed, når den bevæger sig i en cirkel, er rettet tangent til banen (fig. 4). Forresten kan du observere dette faktum eksperimentelt, hvis du ser, hvordan gnister bevæger sig, når du bruger en slibesten.

Lad os overveje bevægelsen af ​​en krop langs en cirkelbue (fig. 5).

Ris. 5. Kropshastighed, når du bevæger dig i en cirkel

Bemærk venligst, at i dette tilfælde er modulet for kroppens hastighed i et punkt lig med modulet for kroppens hastighed i punktet:

En vektor er dog ikke lig med en vektor. Så vi har en hastighedsforskelvektor (fig. 6):

Ris. 6. Hastighedsforskelvektor

Desuden skete ændringen i hastighed efter nogen tid. Så vi får den velkendte kombination:

Dette er intet andet end en ændring i hastighed over en periode, eller acceleration af en krop. En meget vigtig konklusion kan drages:

Bevægelse langs en buet bane accelereres. Arten af ​​denne acceleration er en kontinuerlig ændring i retningen af ​​hastighedsvektoren.

Lad os endnu en gang bemærke, at selvom det siges, at kroppen bevæger sig ensartet i en cirkel, menes det, at modulus af kroppens hastighed ikke ændrer sig. En sådan bevægelse accelereres dog altid, da hastighedsretningen ændres.

I niende klasse studerede du, hvad denne acceleration er lig med, og hvordan den er rettet (fig. 7). Centripetal acceleration er altid rettet mod midten af ​​cirklen, langs hvilken kroppen bevæger sig.

Ris. 7. Centripetal acceleration

Modulet for centripetalacceleration kan beregnes ved formlen:

Lad os gå videre til beskrivelsen af ​​den ensartede bevægelse af et legeme i en cirkel. Lad os blive enige om, at den hastighed, du brugte, mens du beskrev den translationelle bevægelse, nu vil blive kaldt lineær hastighed. Og ved lineær hastighed vil vi forstå den øjeblikkelige hastighed på punktet af banen for et roterende legeme.

Ris. 8. Bevægelse af diskpunkter

Overvej en disk, der roterer med uret for bestemthed. På dens radius markerer vi to punkter og (fig. 8). Lad os overveje deres bevægelse. Over tid vil disse punkter bevæge sig langs cirklens buer og blive til punkter og. Det er tydeligt, at pointen har flyttet sig mere end pointen. Ud fra dette kan vi konkludere, at jo længere et punkt er fra rotationsaksen, jo større er den lineære hastighed det bevæger sig

Men hvis du ser nærmere på punkterne og , kan vi sige, at den vinkel, som de drejede med i forhold til rotationsaksen, forblev uændret. Det er vinkelegenskaberne, vi vil bruge til at beskrive bevægelsen i en cirkel. Bemærk, at vi kan bruge til at beskrive cirkulær bevægelse hjørne egenskaber.

Lad os begynde at overveje bevægelse i en cirkel med det enkleste tilfælde - ensartet bevægelse i en cirkel. Lad os huske på, at ensartet translationel bevægelse er en bevægelse, hvor kroppen foretager lige store bevægelser over lige store tidsrum. I analogi kan vi give definitionen af ​​ensartet bevægelse i en cirkel.

Ensartet cirkulær bevægelse er en bevægelse, hvor kroppen roterer gennem lige store vinkler over lige store tidsintervaller.

I lighed med begrebet lineær hastighed introduceres begrebet vinkelhastighed.

Vinkelhastighed af ensartet bevægelse ( er en fysisk størrelse svarende til forholdet mellem den vinkel, hvorigennem kroppen drejede, og den tid, hvor denne rotation fandt sted.

I fysik bruges radianmålet for vinkel oftest. For eksempel er vinkel b lig med radianer. Vinkelhastigheden måles i radianer pr. sekund:

Lad os finde sammenhængen mellem et punkts rotationsvinkelhastighed og dette punkts lineære hastighed.

Ris. 9. Sammenhæng mellem vinkel- og lineær hastighed

Når det roterer, passerer et punkt en længdebue og drejer i en vinkel. Ud fra definitionen af ​​radianmålet for en vinkel kan vi skrive:

Lad os dividere venstre og højre side af ligheden med den periode, hvor bevægelsen blev lavet, og brug derefter definitionen af ​​vinkel- og lineære hastigheder:

Bemærk venligst, at jo længere et punkt er fra rotationsaksen, jo højere er dets lineære hastighed. Og punkterne på selve rotationsaksen er ubevægelige. Et eksempel på dette er en karrusel: Jo tættere du er på midten af ​​karrusellen, jo lettere er det for dig at blive på den.

Denne afhængighed af lineære og vinkelhastigheder bruges i geostationære satellitter (satellitter, der altid er placeret over det samme punkt på jordens overflade). Takket være sådanne satellitter er vi i stand til at modtage tv-signaler.

Lad os huske, at vi tidligere introducerede begreberne periode og rotationsfrekvens.

Rotationsperioden er tidspunktet for en hel omdrejning. Rotationsperioden er angivet med et bogstav og målt i SI sekunder:

Rotationsfrekvens er en fysisk størrelse svarende til antallet af omdrejninger et legeme laver pr. tidsenhed.

Frekvensen er angivet med et bogstav og målt i gensidige sekunder:

De er forbundne af relationen:

Der er en sammenhæng mellem vinkelhastighed og kroppens rotationsfrekvens. Hvis vi husker, at en fuld omdrejning er lig med , er det let at se, at vinkelhastigheden er:

Ved at erstatte disse udtryk i forholdet mellem vinkel- og lineær hastighed, kan vi opnå afhængigheden af ​​lineær hastighed på periode eller frekvens:

Lad os også nedskrive forholdet mellem centripetalacceleration og disse størrelser:

Således kender vi forholdet mellem alle karakteristika ved ensartet cirkulær bevægelse.

Lad os opsummere. I denne lektion begyndte vi at beskrive kurvelineær bevægelse. Vi forstod, hvordan vi kan forbinde krumlinjet bevægelse med cirkulær bevægelse. Cirkulær bevægelse accelereres altid, og tilstedeværelsen af ​​acceleration bestemmer, at hastigheden altid ændrer retning. Denne acceleration kaldes centripetal. Til sidst huskede vi nogle karakteristika ved cirkulær bevægelse (lineær hastighed, vinkelhastighed, periode og rotationsfrekvens) og fandt sammenhængen mellem dem.

Bibliografi

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fysik 10. - M.: Uddannelse, 2008.
2. A.P. Rymkevich. Fysik. Opgavebog 10-11. - M.: Bustard, 2006.
3. O.Ja. Savchenko. Fysiske problemer. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Fysik kursus. T. 1. - M.: Stat. lærer udg. min. uddannelse af RSFSR, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Wikipedia ().

Lektier

Når du har løst problemerne for denne lektion, vil du være i stand til at forberede dig til spørgsmål 1 i statseksamenen og spørgsmål A1, A2 i Unified State-eksamen.

1. Opgave 92, 94, 98, 106, 110 - Lør. problemer A.P. Rymkevich, red. 10
2. Beregn vinkelhastigheden for urets minut-, sekund- og timevisere. Beregn den centripetale acceleration, der virker på spidserne af disse pile, hvis radius af hver er en meter.

Ved hjælp af denne lektion kan du selvstændigt studere emnet "Retlineær og krumlinjet bevægelse. Bevægelse af en krop i en cirkel med en konstant absolut hastighed." Først vil vi karakterisere retlinede og krumlinjede bevægelser ved at overveje, hvordan hastighedsvektoren og kraften påført kroppen i disse bevægelsestyper hænger sammen. Dernæst betragter vi et særligt tilfælde, når et legeme bevæger sig i en cirkel med en konstant hastighed i absolut værdi.

I den forrige lektion så vi på spørgsmål relateret til loven om universel gravitation. Emnet for dagens lektion er tæt forbundet med denne lov; vi vil vende os til den ensartede bevægelse af en krop i en cirkel.

Det sagde vi tidligere bevægelse - Dette er en ændring i en krops position i rummet i forhold til andre legemer over tid. Bevægelse og bevægelsesretning er også præget af hastighed. Ændringen i hastighed og selve bevægelsestypen er forbundet med kraftens virkning. Hvis en kraft virker på en krop, så ændrer kroppen sin hastighed.

Hvis kraften er rettet parallelt med kroppens bevægelse, vil en sådan bevægelse være det ligetil(Fig. 1).

Ris. 1. Ligelinje bevægelse

krumlinjet der vil være en sådan bevægelse, når kroppens hastighed og kraften påført dette legeme er rettet i forhold til hinanden i en bestemt vinkel (fig. 2). I dette tilfælde vil hastigheden ændre retning.

Ris. 2. Kurvilineær bevægelse

Så når lige bevægelse hastighedsvektoren er rettet i samme retning som kraften påført kroppen. EN krumlinjet bevægelse er en sådan bevægelse, når hastighedsvektoren og kraften påført kroppen er placeret i en bestemt vinkel i forhold til hinanden.

Lad os overveje et særligt tilfælde af krumlinjet bevægelse, når et legeme bevæger sig i en cirkel med en konstant hastighed i absolut værdi. Når et legeme bevæger sig i en cirkel med konstant hastighed, ændres kun hastighedens retning. I absolut værdi forbliver den konstant, men hastighedens retning ændres. Denne ændring i hastighed fører til tilstedeværelsen af ​​acceleration i kroppen, som kaldes centripetal.

Ris. 6. Bevægelse langs en buet sti

Hvis banen for en krops bevægelse er en kurve, kan den repræsenteres som et sæt bevægelser langs cirkulære buer, som vist i fig. 6.

I fig. Figur 7 viser, hvordan retningen af ​​hastighedsvektoren ændres. Hastigheden under en sådan bevægelse er rettet tangentielt til cirklen langs den bue, som kroppen bevæger sig. Dens retning ændrer sig således konstant. Selvom den absolutte hastighed forbliver konstant, fører en ændring i hastigheden til acceleration:

I dette tilfælde acceleration vil blive rettet mod midten af ​​cirklen. Det er derfor, det kaldes centripetal.

Hvorfor er centripetalacceleration rettet mod centrum?

Husk, at hvis et legeme bevæger sig langs en buet bane, så er dets hastighed rettet tangentielt. Hastighed er en vektorstørrelse. En vektor har en numerisk værdi og en retning. Hastigheden ændrer løbende sin retning, efterhånden som kroppen bevæger sig. Det vil sige, at forskellen i hastigheder på forskellige tidspunkter ikke vil være lig med nul (), i modsætning til retlinet ensartet bevægelse.

Så vi har en ændring i hastighed over en vis periode. Forholdet til er acceleration. Vi kommer til den konklusion, at selvom hastigheden ikke ændrer sig i absolut værdi, har et legeme, der udfører ensartet bevægelse i en cirkel, acceleration.

Hvor er denne acceleration rettet? Lad os se på fig. 3. Noget krop bevæger sig krumlinjet (langs en bue). Kroppens hastighed i punkt 1 og 2 er rettet tangentielt. Kroppen bevæger sig ensartet, det vil sige, at hastighedsmodulerne er ens: , men hastighedernes retninger falder ikke sammen.

Ris. 3. Kropsbevægelse i en cirkel

Træk hastigheden fra det og få vektoren. For at gøre dette skal du forbinde begyndelsen af ​​begge vektorer. Flyt parallelt vektoren til begyndelsen af ​​vektoren. Vi bygger op til en trekant. Den tredje side af trekanten vil være hastighedsforskelvektoren (fig. 4).

Ris. 4. Hastighedsforskelvektor

Vektoren er rettet mod cirklen.

Lad os betragte en trekant dannet af hastighedsvektorerne og differensvektoren (fig. 5).

Ris. 5. Trekant dannet af hastighedsvektorer

Denne trekant er ligebenet (hastighedsmodulerne er lige store). Det betyder, at vinklerne ved bunden er lige store. Lad os nedskrive ligheden for summen af ​​vinklerne i en trekant:

Lad os finde ud af, hvor accelerationen er rettet mod et givet punkt på banen. For at gøre dette vil vi begynde at bringe punkt 2 tættere på punkt 1. Med en sådan ubegrænset omhu vil vinklen tendere til 0, og vinklen vil have en tendens til . Vinklen mellem hastighedsændringsvektoren og selve hastighedsvektoren er . Hastigheden er rettet tangentielt, og vektoren for hastighedsændringen er rettet mod midten af ​​cirklen. Det betyder, at accelerationen også er rettet mod midten af ​​cirklen. Det er derfor denne acceleration kaldes centripetal.

Hvordan finder man centripetalacceleration?

Lad os overveje den bane, hvormed kroppen bevæger sig. I dette tilfælde er det en cirkelbue (fig. 8).

Ris. 8. Kropsbevægelse i en cirkel

Figuren viser to trekanter: en trekant dannet af hastigheder, og en trekant dannet af radier og forskydningsvektor. Hvis punkt 1 og 2 er meget tæt på hinanden, vil forskydningsvektoren falde sammen med vejvektoren. Begge trekanter er ligebenede med samme topvinkel. Således er trekanter ens. Det betyder, at de tilsvarende sider i trekanterne er lige så relaterede:

Forskydningen er lig med produktet af hastighed og tid:. Ved at erstatte denne formel kan vi opnå følgende udtryk for centripetalacceleration:

Vinkelhastighed betegnet med det græske bogstav omega (ω), det angiver den vinkel, hvorigennem kroppen roterer pr. tidsenhed (fig. 9). Dette er størrelsen af ​​buen i grader passeret af kroppen over nogen tid.

Ris. 9. Vinkelhastighed

Lad os bemærke, at hvis et stivt legeme roterer, så vil vinkelhastigheden for alle punkter på denne krop være en konstant værdi. Om punktet er placeret tættere på rotationscentret eller længere væk er ikke vigtigt, dvs. det afhænger ikke af radius.

Måleenheden i dette tilfælde vil enten være grader pr. sekund () eller radianer pr. sekund (). Ofte er ordet "radian" ikke skrevet, men blot skrevet. Lad os for eksempel finde ud af, hvad Jordens vinkelhastighed er. Jorden foretager en fuldstændig rotation på en time, og i dette tilfælde kan vi sige, at vinkelhastigheden er lig med:

Vær også opmærksom på forholdet mellem vinkel- og lineære hastigheder:

Lineær hastighed er direkte proportional med radius. Jo større radius, jo større er den lineære hastighed. Når vi bevæger os væk fra rotationscentret, øger vi vores lineære hastighed.

Det skal bemærkes, at cirkulær bevægelse med konstant hastighed er et særligt tilfælde af bevægelse. Bevægelsen rundt i cirklen kan dog være ujævn. Hastighed kan ændre sig ikke kun i retning og forblive den samme i størrelsesorden, men også ændre i værdi, dvs. ud over en retningsændring er der også en ændring i størrelsen af ​​hastigheden. I dette tilfælde taler vi om den såkaldte accelererede bevægelse i en cirkel.

Hvad er en radian?

Der er to enheder til at måle vinkler: grader og radianer. I fysik er radianmålet for vinkel som regel det vigtigste.

Lad os konstruere en central vinkel, der hviler på en længdebue.

Afhængig af banens form kan bevægelse opdeles i retlinet og krumlinjet. Oftest støder man på kurvelineære bevægelser, når banen er repræsenteret som en kurve. Et eksempel på denne type bevægelse er banen for et legeme, der kastes i en vinkel i forhold til horisonten, Jordens bevægelse omkring Solen, planeter og så videre.

Billede 1. Bane og bevægelse i buet bevægelse

Kurvilineær bevægelse kaldes en bevægelse, hvis bane er en buet linje. Hvis et legeme bevæger sig langs en buet bane, så er forskydningsvektoren s → rettet langs korden, som vist i figur 1, og l er længden af ​​banen. Retningen af ​​kroppens øjeblikkelige hastighed bevæger sig langs en tangent på det samme punkt af banen, hvor det bevægelige objekt i øjeblikket er placeret, som vist i figur 2.

Figur 2. Øjeblikkelig hastighed under buet bevægelse

Definition 2

krum bevægelse af et materiale punkt kaldes ensartet, når hastighedsmodulet er konstant (cirkulær bevægelse), og ensartet accelereret, når retnings- og hastighedsmodulet ændrer sig (bevægelse af et kastet legeme).

Kurvilineær bevægelse accelereres altid. Dette forklares ved, at selv med et uændret hastighedsmodul og en ændret retning, er acceleration altid til stede.

For at studere den krumlinjede bevægelse af et materialepunkt, anvendes to metoder.

Stien er opdelt i separate sektioner, ved hver af dem kan den betragtes som lige, som vist i figur 3.

Figur 3. Opdeling af krumlinede bevægelser i translationelle

Nu kan loven om retlinet bevægelse anvendes på hver sektion. Dette princip er tilladt.

Den mest bekvemme løsningsmetode anses for at repræsentere stien som et sæt af flere bevægelser langs cirkulære buer, som vist i figur 4. Antallet af skillevægge vil være meget mindre end i den foregående metode, desuden er bevægelsen langs cirklen allerede krumlinjet.

Figur 4. Opdeling af krumlinjet bevægelse i bevægelse langs cirkulære buer

Note 1

For at registrere krumlinjet bevægelse skal du kunne beskrive bevægelse i en cirkel og repræsentere vilkårlig bevægelse i form af sæt af bevægelser langs disse cirklers buer.

Studiet af krumlinjet bevægelse inkluderer kompilering af en kinematisk ligning, der beskriver denne bevægelse og gør det muligt at bestemme alle bevægelsens karakteristika baseret på de tilgængelige begyndelsesbetingelser.

Eksempel 1

Givet et materialepunkt, der bevæger sig langs en kurve, som vist i figur 4. Centrene af cirkler O 1, O 2, O 3 er placeret på den samme lige linje. Skal finde forskydning
s → og vejlængde l, mens du bevæger dig fra punkt A til B.

Løsning

Ved betingelse har vi, at cirklens centre hører til den samme rette linje, derfor:

s → = R1 + 2 R2 + R3.

Da bevægelsesbanen er summen af ​​halvcirkler, så:

1 ~ A B = π R1 + R2 + R3.

Svar: s → = R1 + 2 R2 + R3, 1 ~ A B = π R1 + R2 + R3.

Eksempel 2

Afhængigheden af ​​den tilbagelagte afstand af kroppen på tid er givet, repræsenteret ved ligningen s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0,1 m / s 2, D = 0,003 m / s 3). Beregn efter hvilket tidsrum efter starten af ​​bevægelsen kroppens acceleration vil være lig med 2 m/s 2

Løsning

Svar: t = 60 s.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Under kurvelineær bevægelse ændres hastighedsvektorens retning. Samtidig kan dets modul, dvs. længden, også ændre sig. I dette tilfælde er accelerationsvektoren dekomponeret i to komponenter: tangent til banen og vinkelret på banen (fig. 10). Komponenten kaldes tangentiel(tangentiel) acceleration, komponent – normal(centripetal) acceleration.

Acceleration under buet bevægelse

Tangentiel acceleration karakteriserer hastigheden af ​​ændring i lineær hastighed, og normal acceleration karakteriserer hastigheden af ​​ændring i bevægelsesretning.

Den samlede acceleration er lig med vektorsummen af ​​de tangentielle og normale accelerationer:

(15)

Det samlede accelerationsmodul er lig med:

.

Lad os overveje den ensartede bevægelse af et punkt omkring en cirkel. Hvori Og . Lad punktet på det betragtede tidspunkt t være i position 1 (fig. 11). Efter tiden Δt vil punktet være i position 2 efter at have passeret stien Δs, lig med bue 1-2. I dette tilfælde øges hastigheden af ​​punkt v Δv, som et resultat af hvilket hastighedsvektoren, forbliver uændret i størrelse, roterer gennem en vinkel Δφ , der i størrelse falder sammen med den centrale vinkel baseret på en længdebue Δs:

(16)

hvor R er radius af cirklen, som punktet bevæger sig langs. Lad os finde stigningen i hastighedsvektoren. For at gøre dette, lad os flytte vektoren så dens begyndelse falder sammen med begyndelsen af ​​vektoren. Så vil vektoren blive repræsenteret af et segment tegnet fra enden af ​​vektoren til enden af ​​vektoren . Dette segment tjener som basis for en ligebenet trekant med sider og og vinkel Δφ ved spidsen. Hvis vinklen Δφ er lille (hvilket er sandt for lille Δt), kan vi tilnærmelsesvis skrive for siderne af denne trekant:

.

Ved at erstatte Δφ fra (16) her får vi et udtryk for vektorens modul:

.

Ved at dividere begge sider af ligningen med Δt og passere til grænsen får vi værdien af ​​centripetalacceleration:

Her er mængderne v Og R er konstante, så de kan tages ud over grænsetegnet. Forholdsgrænsen er hastighedsmodulet Det kaldes også lineær hastighed.

krumningsradius

Radius af cirklen R kaldes krumningsradius baner. Det omvendte af R kaldes kurvens krumning:

.

hvor R er radius af den pågældende cirkel. Hvis α er den centrale vinkel svarende til buen af ​​en cirkel s, så gælder som bekendt forholdet mellem R, α og s:

s = Ra. (18)

Konceptet krumningsradius gælder ikke kun for en cirkel, men også for enhver buet linje. Krumningsradius (eller dens omvendte værdi - krumning) karakteriserer linjens krumningsgrad. Jo mindre krumningsradius (henholdsvis jo større krumning), jo stærkere er linjen krum. Lad os se nærmere på dette koncept.

En flad linjes krumningscirkel i et bestemt punkt A er grænsepositionen for en cirkel, der passerer gennem punkt A og to andre punkter B 1 og B 2, når de nærmer sig punkt A uendeligt (i fig. 12 er kurven tegnet af en ubrudt linje og krumningscirklen med en stiplet linje). Krumningscirklens radius giver krumningsradius for den pågældende kurve i punkt A, og centrum af denne cirkel giver krumningscentrum for kurven for samme punkt A.

Ved punkterne B 1 og B 2 tegnes tangenterne B 1 D og B 2 E til en cirkel, der går gennem punkterne B 1, A og B 2. Normalerne til disse tangenter B 1 C og B 2 C vil repræsentere radierne R af cirklen og vil skære ved dens centrum C. Lad os introducere vinklen Δα mellem normalerne B1 C og B 2 C; åbenbart er den lig med vinklen mellem tangenterne B 1 D og B 2 E. Lad os betegne snittet af kurven mellem punkterne B 1 og B 2 som Δs. Derefter ifølge formel (18):

.

Krumningscirkel af en flad buet linje

Bestemmelse af krumningen af ​​en plan kurve på forskellige punkter

I fig. Figur 13 viser krumningscirkler af en flad linje på forskellige punkter. Ved punkt A 1, hvor kurven er fladere, er krumningsradius større end henholdsvis punkt A 2, krumningen af ​​linjen i punkt A 1 vil være mindre end ved punkt A 2. Ved punkt A 3 er kurven endnu fladere end ved punkt A 1 og A 2, så krumningsradius på dette punkt vil være større og krumning mindre. Desuden ligger krumningscirklen i punkt A 3 på den anden side af kurven. Derfor tildeles værdien af ​​krumning på dette punkt et fortegn modsat krumningstegnet ved punkterne A 1 og A 2: hvis krumningen i punkterne A 1 og A 2 anses for positiv, vil krumningen i punkt A 3 være negativ.

6. Kurvilineær bevægelse. Vinkelforskydning, vinkelhastighed og acceleration af et legeme. Sti og forskydning under krumlinjet bevægelse af en krop.

Kurvilineær bevægelse– dette er en bevægelse, hvis bane er en buet linje (for eksempel en cirkel, ellipse, hyperbel, parabel). Et eksempel på kurvelineær bevægelse er planeternes bevægelse, enden af ​​en urviser langs en skive osv. Generelt krum hastighedændringer i størrelse og retning.

krum bevægelse af et materiale punkt betragtes som ensartet bevægelse, hvis modulet fart konstant (for eksempel ensartet bevægelse i en cirkel), og ensartet accelereret, hvis modulet og retningen fart ændringer (f.eks. bevægelsen af ​​en krop kastet i en vinkel i forhold til vandret).

Ris. 1.19. Bane og vektor af bevægelse under krumlinjet bevægelse.

Når du bevæger dig ad en buet sti forskydningsvektor rettet langs akkorden (fig. 1.19), og l- længde baner . Kroppens øjeblikkelige hastighed (det vil sige kroppens hastighed på et givet punkt af banen) er rettet tangentielt mod det punkt på banen, hvor det bevægelige legeme i øjeblikket befinder sig (fig. 1.20).

Ris. 1,20. Øjeblikkelig hastighed under buet bevægelse.

Kurvilineær bevægelse er altid accelereret bevægelse. Det er acceleration under buet bevægelse er altid til stede, selvom hastighedsmodulet ikke ændrer sig, men kun hastighedsretningen ændres. Ændringen i hastighed pr. tidsenhed er tangentiel acceleration :

eller

Hvor v τ ,v 0 – hastighedsværdier på tidspunktet t 0 +Δt Og t 0 henholdsvis.

Tangentiel acceleration i et givet punkt af banen falder retningen sammen med retningen af ​​kroppens bevægelseshastighed eller er modsat den.

Normal acceleration er hastighedsændringen pr. tidsenhed:

Normal acceleration rettet langs kurvens krumningsradius (mod rotationsaksen). Normal acceleration er vinkelret på hastighedsretningen.

Centripetal acceleration er den normale acceleration under ensartet cirkulær bevægelse.

Total acceleration under ensartet kurvelineær bevægelse af en krop lige med:

Et legemes bevægelse langs en buet bane kan tilnærmelsesvis repræsenteres som bevægelse langs buerne af visse cirkler (fig. 1.21).

Ris. 1.21. Bevægelse af en krop under krumlinjet bevægelse.

Kurvilineær bevægelse

Kurvilineære bevægelser– bevægelser, hvis baner ikke er lige, men buede linjer. Planeter og flodvand bevæger sig langs krumlinjede baner.

Kurvilineær bevægelse er altid bevægelse med acceleration, selvom den absolutte værdi af hastigheden er konstant. Kurvilineær bevægelse med konstant acceleration forekommer altid i det plan, hvori punktets accelerationsvektorer og begyndelseshastigheder er placeret. I tilfælde af krum bevægelse med konstant acceleration i planet xOy fremskrivninger v x Og v y dens hastighed på aksen Okse Og Åh og koordinater x Og y point til enhver tid t bestemt af formler

Et særligt tilfælde af krumlinjet bevægelse er cirkulær bevægelse. Cirkulær bevægelse, selv ensartet, er altid accelereret bevægelse: Hastighedsmodulet er altid rettet tangentielt til banen, konstant skiftende retning, så cirkulær bevægelse opstår altid med centripetalacceleration, hvor r– radius af cirklen.

Accelerationsvektoren, når den bevæger sig i en cirkel, er rettet mod midten af ​​cirklen og vinkelret på hastighedsvektoren.

I krumlinjet bevægelse kan acceleration repræsenteres som summen af ​​normale og tangentielle komponenter:

Normal (centripetal) acceleration er rettet mod midten af ​​krumningen af ​​banen og karakteriserer hastighedsændringen i retningen:

v –øjeblikkelig hastighedsværdi, r– krumningsradius for banen i et givet punkt.

Tangentiel (tangentiel) acceleration er rettet tangentielt til banen og karakteriserer ændringen i hastighedsmodulo.

Den samlede acceleration, som et materialepunkt bevæger sig med, er lig med:

Ud over centripetalacceleration er de vigtigste egenskaber ved ensartet cirkulær bevægelse omdrejningsperioden og -frekvensen.

Cirkulationsperiode- dette er den tid, hvor kroppen gennemfører en omdrejning .

Perioden er angivet med bogstavet T(c) og bestemmes af formlen:

Hvor t- cirkulationstid, P- antallet af omdrejninger gennemført i løbet af denne tid.

Frekvens- dette er en mængde numerisk lig med antallet af fuldførte omdrejninger pr. tidsenhed.

Hyppigheden er angivet med et græsk bogstav (nu) og findes ved hjælp af formlen:

Frekvensen måles i 1/s.

Periode og frekvens er gensidigt omvendte størrelser:

Hvis en krop bevæger sig i en cirkel med fart v, laver en omdrejning, så kan afstanden tilbagelagt af denne krop findes ved at gange hastigheden v for en revolutions tid:

l = vT. På den anden side er denne vej lig med omkredsen af ​​cirklen 2π r. Derfor

vT = 2π r,

Hvor w(s -1) - Vinkelhastighed.

Ved en konstant rotationsfrekvens er centripetalaccelerationen direkte proportional med afstanden fra den bevægelige partikel til rotationscentrum.

Vinkelhastighed (w) – en værdi lig med forholdet mellem rotationsvinklen for den radius, hvor rotationspunktet er placeret, og det tidsrum, hvor denne rotation fandt sted:

.

Forholdet mellem lineære og vinkelhastigheder:

En krops bevægelse kan kun betragtes som kendt, når det er kendt, hvordan hvert punkt bevæger sig. Den enkleste bevægelse af faste legemer er translationel. Progressiv er bevægelsen af ​​et stivt legeme, hvor enhver ret linje tegnet i denne krop bevæger sig parallelt med sig selv.