Matematisk progression af tonale kombinationer. Aritmetisk progression - talrækkefølge

Når man studerer algebra i en gymnasieskole (9. klasse), er et af de vigtige emner studiet af numeriske sekvenser, som inkluderer progressioner - geometriske og aritmetiske. I denne artikel vil vi overveje en aritmetisk progression og eksempler med løsninger.

Hvad er en aritmetisk progression?

For at forstå dette er det nødvendigt at give en definition af den overvejede progression, samt at give de grundlæggende formler, der vil blive brugt yderligere til at løse problemer.

Det er kendt, at i en eller anden algebraisk progression er 1. led lig med 6, og 7. led er lig med 18. Det er nødvendigt at finde forskellen og genoprette denne sekvens til 7. led.

Lad os bruge formlen til at bestemme det ukendte led: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vi erstatter de kendte data fra betingelsen i det, det vil sige tallene a 1 og 7, vi har: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ud fra dette udtryk kan du nemt beregne forskellen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dermed blev den første del af opgaven besvaret.

For at gendanne sekvensen til det 7. medlem, skal du bruge definitionen af ​​en algebraisk progression, det vil sige a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat genopretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 og 7 = 18.

Eksempel #3: at lave en progression

Lad os komplicere problemets tilstand endnu mere. Nu skal du besvare spørgsmålet om, hvordan man finder en aritmetisk progression. Følgende eksempel kan gives: Der gives to tal, f.eks. 4 og 5. Det er nødvendigt at lave en algebraisk progression, så der placeres yderligere tre led mellem disse.

Før du begynder at løse dette problem, er det nødvendigt at forstå, hvilken plads de givne tal vil optage i den fremtidige progression. Da der vil være yderligere tre udtryk mellem dem, så en 1 \u003d -4 og en 5 \u003d 5. Efter at have etableret dette, går vi videre til en opgave, der ligner den forrige. Igen, for det n'te led, bruger vi formlen, vi får: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Fra: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Her er forskellen ikke en heltalsværdi, men det er et rationelt tal, så formlerne for den algebraiske progression forbliver de samme.

Lad os nu føje den fundne forskel til en 1 og gendanne de manglende medlemmer af progressionen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u 5,0 som faldt sammen med problemets tilstand.

Eksempel #4: Det første medlem af progressionen

Vi fortsætter med at give eksempler på en aritmetisk progression med en løsning. I alle tidligere problemer var det første nummer af den algebraiske progression kendt. Overvej nu et problem af en anden type: lad to tal gives, hvor en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendigt at finde ud fra hvilket tal denne sekvens begynder.

Formlerne, der hidtil har været brugt, forudsætter kendskab til a 1 og d. Intet er kendt om disse tal i problemets tilstand. Lad os ikke desto mindre udskrive udtrykkene for hvert led, som vi har information om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi har to ligninger, hvor der er 2 ukendte størrelser (a 1 og d). Det betyder, at problemet reduceres til at løse et system af lineære ligninger.

Det angivne system er nemmest at løse, hvis du udtrykker et 1 i hver ligning og derefter sammenligner de resulterende udtryk. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; anden ligning: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ved at sidestille disse udtryk får vi: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, hvorfra forskellen d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (kun 3 decimaler er givet).

Når du kender d, kan du bruge et hvilket som helst af de 2 udtryk ovenfor for en 1 . For eksempel først: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Hvis der er tvivl om resultatet, kan du kontrollere det, for eksempel bestemme det 43. medlem af progressionen, som er angivet i betingelsen. Vi får: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. En lille fejl skyldes, at der blev brugt afrunding til tusindedele i beregningerne.

Eksempel #5: Sum

Lad os nu se på nogle eksempler med løsninger for summen af ​​en aritmetisk progression.

Lad en numerisk progression af følgende form gives: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregner man summen af ​​100 af disse tal?

Takket være udviklingen af ​​computerteknologi kan dette problem løses, det vil sige sekventielt lægge alle tallene sammen, som computeren vil gøre, så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan dog løses mentalt, hvis man er opmærksom på, at den præsenterede talrække er en algebraisk progression, og dens forskel er 1. Ved at anvende formlen for summen får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er nysgerrigt at bemærke, at dette problem kaldes "Gaussian", da den berømte tysker i begyndelsen af ​​det 18. århundrede, stadig i en alder af kun 10 år gammel, var i stand til at løse det i sit sind på få sekunder. Drengen kendte ikke formlen for summen af ​​en algebraisk progression, men han bemærkede, at hvis du tilføjer talpar placeret ved kanterne af sekvensen, får du altid det samme resultat, det vil sige 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og da disse summer vil være præcis 50 (100 / 2), så er det nok at gange 50 med 101 for at få det rigtige svar.

Eksempel #6: summen af ​​led fra n til m

Et andet typisk eksempel på summen af ​​en aritmetisk progression er følgende: givet en række tal: 3, 7, 11, 15, ..., skal du finde, hvad summen af ​​dens led fra 8 til 14 vil være.

Problemet løses på to måder. Den første af dem involverer at finde ukendte termer fra 8 til 14 og derefter opsummere dem i rækkefølge. Da der er få udtryk, er denne metode ikke besværlig nok. Ikke desto mindre foreslås det at løse dette problem ved den anden metode, som er mere universel.

Ideen er at få en formel for summen af ​​en algebraisk progression mellem led m og n, hvor n > m er heltal. For begge tilfælde skriver vi to udtryk for summen:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m er det indlysende, at 2-summen inkluderer den første. Den sidste konklusion betyder, at hvis vi tager forskellen mellem disse summer, og lægger udtrykket a m til det (i tilfælde af at tage forskellen, trækkes det fra summen S n), så får vi det nødvendige svar på problemet. Vi har: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Det er nødvendigt at erstatte formler for a n og a m i dette udtryk. Så får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formel er noget besværlig, dog afhænger summen S mn kun af n, m, a 1 og d. I vores tilfælde er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved at erstatte disse tal får vi: S mn = 301.

Som det fremgår af ovenstående løsninger, er alle problemer baseret på viden om udtrykket for det n. led og formlen for summen af ​​mængden af ​​første led. Før du begynder at løse nogen af ​​disse problemer, anbefales det, at du omhyggeligt læser betingelsen, forstår tydeligt, hvad du vil finde, og først derefter fortsætter med løsningen.

Et andet tip er at stræbe efter enkelhed, det vil sige, hvis du kan besvare spørgsmålet uden at bruge komplekse matematiske beregninger, så skal du gøre netop det, da sandsynligheden for at lave en fejl i dette tilfælde er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progression med løsning nr. 6, kunne man stoppe ved formlen S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og opdel den generelle opgave i separate underopgaver (i dette tilfælde skal du først finde vilkårene a n og a m).

Hvis der er tvivl om resultatet, anbefales det at tjekke det, som det blev gjort i nogle af de angivne eksempler. Hvordan man finder en aritmetisk progression, fandt ud af. Når du først finder ud af det, er det ikke så svært.

Nå, venner, hvis du læser denne tekst, så fortæller de interne cap-beviser mig, at du stadig ikke ved, hvad en aritmetisk progression er, men du virkelig (nej, sådan her: SÅÅÅÅ!) vil vide det. Derfor vil jeg ikke plage dig med lange introduktioner og vil straks gå i gang.

For at starte, et par eksempler. Overvej flere sæt tal:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hvad har alle disse sæt til fælles? Ved første øjekast ingenting. Men faktisk er der noget. Nemlig: hvert næste element adskiller sig fra det foregående med samme tal.

Døm selv. Det første sæt er kun fortløbende tal, hver enkelt mere end det foregående. I det andet tilfælde er forskellen mellem tilstødende tal allerede lig med fem, men denne forskel er stadig konstant. I det tredje tilfælde er der rødder generelt. Dog $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mens $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. i hvilket tilfælde hvert næste element simpelthen stiger med $\sqrt(2)$ (og vær ikke bange for, at dette tal er irrationelt).

Altså: alle sådanne sekvenser kaldes bare aritmetiske progressioner. Lad os give en streng definition:

Definition. En række tal, hvor hver næste adskiller sig fra den foregående med nøjagtig samme mængde, kaldes en aritmetisk progression. Selve mængden, som tallene adskiller sig med, kaldes progressionsforskellen og betegnes oftest med bogstavet $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progressionen, $d$ er dens forskel.

Og lige et par vigtige bemærkninger. For det første overvejes kun progression velordnet talrække: de må læses strengt i den rækkefølge, de er skrevet i - og intet andet. Du kan ikke omarrangere eller bytte numre.

For det andet kan sekvensen i sig selv enten være endelig eller uendelig. For eksempel er mængden (1; 2; 3) åbenbart en finit aritmetisk progression. Men hvis du skriver noget som (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progression. Ellipsen efter de fire antyder så at sige, at ret mange numre rækker længere. Uendeligt mange f.eks. :)

Jeg vil også gerne bemærke, at progression er stigende og faldende. Vi har allerede set stigende - det samme sæt (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på faldende progressioner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Det sidste eksempel kan virke alt for kompliceret. Men resten, tror jeg, du forstår. Derfor introducerer vi nye definitioner:

Definition. En aritmetisk progression kaldes:

1. stigende, hvis hvert næste element er større end det foregående;
2. faldende, hvis derimod hvert efterfølgende element er mindre end det foregående.

Derudover er der såkaldte "stationære" sekvenser - de består af det samme gentagende tal. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Der er kun ét spørgsmål tilbage: hvordan skelner man en stigende progression fra en aftagende? Heldigvis afhænger alt her kun af tegnet for tallet $d$, dvs. progressionsforskelle:

1. Hvis $d \gt 0$, så er progressionen stigende;
2. Hvis $d \lt 0$, så er progressionen åbenbart faldende;
3. Endelig er der tilfældet $d=0$ — i dette tilfælde er hele progressionen reduceret til en stationær sekvens af identiske tal: (1; 1; 1; 1; ...), osv.

Lad os prøve at beregne forskellen $d$ for de tre faldende progressioner ovenfor. For at gøre dette er det nok at tage to tilstødende elementer (for eksempel den første og anden) og trække fra tallet til højre, tallet til venstre. Det vil se sådan ud:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som du kan se, viste forskellen sig i alle tre tilfælde virkelig at være negativ. Og nu hvor vi mere eller mindre har fundet ud af definitionerne, er det tid til at finde ud af, hvordan progressioner beskrives, og hvilke egenskaber de har.

Medlemmer af progressionen og den tilbagevendende formel

Da elementerne i vores sekvenser ikke kan ombyttes, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \ret\)\]

Individuelle elementer i dette sæt kaldes medlemmer af progressionen. De er angivet på denne måde ved hjælp af et tal: det første medlem, det andet medlem, og så videre.

Derudover, som vi allerede ved, er nabomedlemmer af progressionen forbundet med formlen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Højrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for at finde $n$th led af progressionen, skal du kende $n-1$th led og forskellen $d$. En sådan formel kaldes tilbagevendende, fordi du med dens hjælp kan finde et hvilket som helst tal, kun ved at kende den forrige (og faktisk alle de foregående). Dette er meget ubelejligt, så der er en mere vanskelig formel, der reducerer enhver beregning til det første led og forskellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \højre)d\]

Du er sikkert stødt på denne formel før. De kan godt lide at give det i alle mulige opslagsbøger og reshebniks. Og i enhver fornuftig lærebog om matematik er den en af ​​de første.

Jeg foreslår dog, at du øver dig lidt.

Opgave nummer 1. Skriv de første tre led ned i regneforløbet $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kender det første led $((a)_(1))=8$ og progressionsforskellen $d=-5$. Lad os bruge den netop angivne formel og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \højre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; -2)

Det er alt! Bemærk, at vores progression er faldende.

Selvfølgelig kunne $n=1$ ikke have været erstattet - vi kender allerede den første term. Men ved at erstatte enheden sikrede vi os, at vores formel fungerer selv i den første periode. I andre tilfælde faldt alt til banal aritmetik.

Opgave nummer 2. Skriv de første tre led af en aritmetisk progression, hvis dens syvende led er -40 og dens syttende led er -50.

Løsning. Vi skriver problemets tilstand i de sædvanlige termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ret.\]

Jeg sætter systemets tegn, fordi disse krav skal opfyldes samtidigt. Og nu bemærker vi, at hvis vi trækker den første ligning fra den anden ligning (vi har ret til at gøre dette, fordi vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Lige sådan fandt vi progressionsforskellen! Det er tilbage at erstatte det fundne tal i enhver af systemets ligninger. For eksempel i den første:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Nu, når man kender det første led og forskellen, er det tilbage at finde det andet og tredje udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Parat! Problem løst.

Svar: (-34; -35; -36)

Vær opmærksom på en mærkelig egenskab ved progressionen, som vi opdagede: hvis vi tager $n$th og $m$th led og trækker dem fra hinanden, så får vi forskellen af ​​progressionen ganget med tallet $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \højre)\]

En enkel, men meget nyttig egenskab, som du bestemt bør kende - med dens hjælp kan du markant fremskynde løsningen af ​​mange progressionsproblemer. Her er et godt eksempel på dette:

Opgave nummer 3. Det femte led i den aritmetiske progression er 8,4, og dets tiende led er 14,4. Find det femtende led i denne progression.

Løsning. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi skal finde $((a)_(15))$, bemærker vi følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men efter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, så $5d=6$, hvorfra vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi behøvede ikke at sammensætte nogen ligningssystemer og beregne det første led og forskellen - alt blev afgjort på blot et par linjer.

Lad os nu overveje en anden type problem - søgen efter negative og positive medlemmer af progressionen. Det er ingen hemmelighed, at hvis progressionen stiger, mens dens første led er negativ, så vil der før eller siden optræde positive udtryk i den. Og omvendt: Vilkårene for en faldende progression vil før eller siden blive negative.

Samtidig er det langt fra altid muligt at finde dette øjeblik "på panden", sekventielt sorterende gennem elementerne. Ofte er opgaver designet sådan, at uden at kende formlerne, ville beregninger tage flere ark - vi ville bare falde i søvn, indtil vi fandt svaret. Derfor vil vi forsøge at løse disse problemer på en hurtigere måde.

Opgave nummer 4. Hvor mange negative led i en aritmetisk progression -38,5; -35,8; …?

Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi straks finder forskellen:

Bemærk, at forskellen er positiv, så progressionen er stigende. Det første led er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk støde på positive tal. Spørgsmålet er bare, hvornår det sker.

Lad os prøve at finde ud af: hvor længe (dvs. op til hvilket naturligt tal $n$) negativiteten af ​​vilkårene bevares:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Højrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\venstre(n-1 \højre)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \venstre| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \højre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Højrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den sidste linje trænger til en afklaring. Så vi ved, at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den anden side er det kun heltalsværdier af tallet, der passer til os (i øvrigt: $n\in \mathbb(N)$), så det største tilladte tal er netop $n=15$, og i intet tilfælde 16.

Opgave nummer 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Find tallet på det første positive led i denne progression.

Dette ville være nøjagtig det samme problem som det forrige, men vi kender ikke $((a)_(1))$. Men naboleddene er kendt: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan nemt finde progressionsforskellen:

Lad os desuden prøve at udtrykke det femte udtryk i form af det første og forskellen ved hjælp af standardformlen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nu fortsætter vi analogt med det forrige problem. Vi finder ud af, på hvilket tidspunkt i vores rækkefølge positive tal vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\venstre(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Højrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Den mindste heltalsløsning af denne ulighed er tallet 56.

Bemærk venligst, at i den sidste opgave blev alt reduceret til streng ulighed, så muligheden $n=55$ vil ikke passe os.

Nu hvor vi har lært at løse simple problemer, lad os gå videre til mere komplekse. Men først, lad os lære en anden meget nyttig egenskab ved aritmetiske progressioner, som vil spare os for en masse tid og ulige celler i fremtiden. :)

Aritmetisk middelværdi og lige indrykninger

Overvej flere på hinanden følgende led i den stigende aritmetiske progression $\left(((a)_(n)) \right)$. Lad os prøve at markere dem på en tallinje:

Jeg bemærkede specifikt de vilkårlige medlemmer $((a)_(n-3)),...,(a)_(n+3))$, og ikke nogen $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi reglen, som jeg nu vil fortælle dig, fungerer på samme måde for alle "segmenter".

Og reglen er meget enkel. Lad os huske den rekursive formel og skrive den ned for alle markerede medlemmer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Disse ligheder kan dog omskrives anderledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Nå, hvad så? Men det faktum, at termerne $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme afstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne afstand er lig med $d$. Det samme kan siges om begreberne $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ med samme afstand lig med $2d$. Du kan fortsætte i det uendelige, men billedet illustrerer betydningen godt

Hvad betyder det for os? Det betyder, at du kan finde $((a)_(n))$, hvis nabotallene er kendt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har udledt en storslået udtalelse: hvert medlem af en aritmetisk progression er lig med det aritmetiske middelværdi af nabomedlemmerne! Desuden kan vi afvige fra vores $((a)_(n))$ til venstre og højre ikke med et trin, men med $k$ trin - og formlen vil stadig være korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De der. vi kan nemt finde nogle $((a)_(150))$, hvis vi kender $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øjekast kan det se ud til, at dette faktum ikke giver os noget nyttigt. Men i praksis er mange opgaver specielt "skærpet" til brugen af ​​det aritmetiske middelværdi. Tag et kig:

Opgave nummer 6. Find alle værdier af $x$, således at tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er fortløbende medlemmer af en aritmetisk progression (i specificeret rækkefølge).

Løsning. Da disse tal er medlemmer af en progression, er den aritmetiske middel-betingelse opfyldt for dem: det centrale element $x+1$ kan udtrykkes i form af naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Resultatet er en klassisk andengradsligning. Dens rødder: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: -3; 2.

Opgave nummer 7. Find værdierne af $$, således at tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progression (i nævnte rækkefølge).

Løsning. Igen udtrykker vi mellemleddet i form af det aritmetiske middelværdi af naboled:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Endnu en andengradsligning. Og igen to rødder: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i processen med at løse et problem får nogle brutale tal, eller du ikke er helt sikker på rigtigheden af ​​de fundne svar, så er der et vidunderligt trick, der giver dig mulighed for at tjekke: løste vi problemet korrekt?

Lad os sige, at vi i opgave 6 fik svar -3 og 2. Hvordan kan vi kontrollere, at disse svar er rigtige? Lad os bare sætte dem i den originale tilstand og se, hvad der sker. Lad mig minde dig om, at vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skulle danne en aritmetisk progression. Erstat $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fik tallene -54; −2; 50, der adskiller sig med 52, er uden tvivl en aritmetisk progression. Det samme sker for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igen en progression, men med en forskel på 27. Dermed er problemet løst korrekt. De, der ønsker det, kan kontrollere den anden opgave på egen hånd, men jeg siger med det samme: alt er også korrekt der.

Generelt, mens vi løste de sidste problemer, faldt vi over et andet interessant faktum, som også skal huskes:

Hvis tre tal er sådan, at det andet er gennemsnittet af det første og det sidste, danner disse tal en aritmetisk progression.

I fremtiden vil forståelsen af ​​denne erklæring give os mulighed for bogstaveligt talt at "konstruere" de nødvendige progressioner baseret på problemets tilstand. Men før vi engagerer os i en sådan "konstruktion", bør vi være opmærksomme på endnu et faktum, som direkte følger af det, der allerede er blevet overvejet.

Gruppering og sum af elementer

Lad os gå tilbage til tallinjen igen. Vi noterer der flere medlemmer af progressionen, mellem hvilke evt. mange andre medlemmer værd:

Lad os prøve at udtrykke "venstre hale" i form af $((a)_(n))$ og $d$, og den "højre hale" i form af $((a)_(k))$ og $ d$. Det er meget enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Bemærk nu, at følgende summer er lige store:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Kort sagt, hvis vi som en start betragter to elementer af progressionen, som i alt er lig med et eller andet tal $S$, og så begynder vi at træde fra disse elementer i modsatte retninger (mod hinanden eller omvendt for at bevæge os væk), derefter summen af ​​de elementer, som vi vil snuble over, vil også være lige store$S$. Dette kan bedst repræsenteres grafisk:

Forståelse af dette faktum vil give os mulighed for at løse problemer med et grundlæggende højere kompleksitetsniveau end dem, vi overvejede ovenfor. For eksempel disse:

Opgave nummer 8. Bestem forskellen på en aritmetisk progression, hvor det første led er 66, og produktet af det andet og tolvte led er det mindst mulige.

Løsning. Lad os skrive alt, hvad vi ved:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Så vi kender ikke forskellen på progressionen $d$. Faktisk vil hele løsningen være bygget op omkring forskellen, da produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \højre)\cdot \venstre(d+6 \højre). \end(align)\]

Til dem i tanken: Jeg har taget den fælles faktor 11 ud af den anden beslag. Det ønskede produkt er således en kvadratisk funktion i forhold til variablen $d$. Overvej derfor funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dens graf vil være en parabel med forgreninger op, fordi hvis vi åbner parenteserne, får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koefficienten med det højeste led 11 - dette er et positivt tal, så vi har virkelig at gøre med en parabel med forgreninger opad:

graf af en kvadratisk funktion - parabel

Bemærk venligst: denne parabel tager sin minimumsværdi ved sit toppunkt med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscisse i henhold til standardskemaet (der er en formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være meget mere rimeligt at bemærk, at det ønskede toppunkt ligger på parablens aksesymmetri, så punktet $((d)_(0))$ er lige langt fra rødderne af ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor havde jeg ikke travlt med at åbne beslagene: i den originale form var rødderne meget, meget nemme at finde. Derfor er abscissen lig med det aritmetiske middelværdi af tallene -66 og -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hvad giver os det opdagede tal? Med det tager det påkrævede produkt den mindste værdi (i øvrigt har vi ikke beregnet $((y)_(\min ))$ - dette kræves ikke af os). Samtidig er dette tal forskellen på den indledende progression, dvs. vi fandt svaret :)

Svar: -36

Opgave nummer 9. Indsæt tre tal mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$, så de sammen med de givne tal danner en aritmetisk progression.

Løsning. Faktisk skal vi lave en sekvens af fem tal, hvor det første og sidste tal allerede er kendt. Angiv de manglende tal med variablerne $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Bemærk, at tallet $y$ er "midten" af vores sekvens - det er lige langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi i øjeblikket ikke kan få $y$ fra tallene $x$ og $z$, så er situationen anderledes med enderne af progressionen. Husk det aritmetiske middelværdi:

Nu, ved at kende $y$, vil vi finde de resterende tal. Bemærk, at $x$ ligger mellem $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ lige fundet. Derfor

På samme måde finder vi det resterende tal:

Parat! Vi fandt alle tre numre. Lad os skrive dem ned i svaret i den rækkefølge, de skal indsættes mellem de oprindelige tal.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Opgave nummer 10. Indsæt mellem tallene 2 og 42 flere tal, der sammen med de givne tal danner en aritmetisk progression, hvis man ved, at summen af ​​det første, andet og sidste af de indsatte tal er 56.

Løsning. En endnu sværere opgave, som dog løses på samme måde som de foregående - gennem det aritmetiske middelværdi. Problemet er, at vi ikke ved præcis, hvor mange tal der skal indsættes. Derfor antager vi for bestemtheden, at der efter indsættelse vil være nøjagtige $n$-tal, og det første af dem er 2, og det sidste er 42. I dette tilfælde kan den ønskede aritmetiske progression repræsenteres som:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bemærk dog, at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ er hentet fra tallene 2 og 42, der står i kanterne et skridt mod hinanden , dvs. til midten af ​​sekvensen. Og det betyder det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan ovenstående udtryk omskrives sådan her:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Ved at kende $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi nemt finde progressionsforskellen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \højre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Højrepil d=5. \\ \end(align)\]

Det er kun tilbage at finde de resterende medlemmer:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Således vil vi allerede på 9. trin komme til venstre ende af sekvensen - tallet 42. I alt skulle der kun indsættes 7 numre: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstopgaver med progressioner

Afslutningsvis vil jeg gerne overveje et par relativt simple problemer. Nå, som simple: For de fleste elever, der læser matematik i skolen og ikke har læst det, der står ovenfor, kan disse opgaver virke som en gestus. Ikke desto mindre er det netop sådanne opgaver, der støder på i OGE og BRUG i matematik, så jeg anbefaler, at du sætter dig ind i dem.

Opgave nummer 11. Holdet producerede 62 dele i januar, og i hver efterfølgende måned producerede de 14 flere dele end i den foregående. Hvor mange dele producerede brigaden i november?

Løsning. Det er klart, at antallet af dele, malet efter måned, vil være en stigende aritmetisk progression. Og:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \højre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måned i året, så vi skal finde $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor vil der blive fremstillet 202 dele i november.

Opgave nummer 12. Bogbinderværkstedet indbundede 216 bøger i januar, og hver måned indbundede det 4 flere bøger end den foregående måned. Hvor mange bøger bandt workshoppen i december?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \højre)\cdot 4. \\ \end(align)$

December er årets sidste 12. måned, så vi leder efter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret - 260 bøger bliver indbundet i december.

Nå, hvis du har læst så langt, skynder jeg mig at lykønske dig: du har med succes gennemført "unge fighter-kurset" i aritmetiske progressioner. Vi kan roligt gå videre til næste lektion, hvor vi vil studere progressionssumformlen, samt vigtige og meget nyttige konsekvenser af den.

Aritmetiske progressionsproblemer har eksisteret siden oldtiden. De dukkede op og krævede en løsning, fordi de havde et praktisk behov.

Så i en af ​​papyrierne i det gamle Egypten, som har et matematisk indhold - Rhind-papyrusen (XIX århundrede f.Kr.) - indeholder følgende opgave: opdel ti mål brød i ti personer, forudsat at forskellen mellem hver af dem er en ottendedel af et mål.

Og i de gamle grækeres matematiske værker er der elegante teoremer relateret til aritmetisk progression. Så Hypsicles of Alexandria (2. århundrede, som kompilerede mange interessante problemer og føjede den fjortende bog til Euclids "Elementer", formulerede ideen: "I en aritmetisk progression med et lige antal medlemmer, summen af ​​medlemmerne af 2. halvdel er større end summen af ​​medlemmerne af 1. med kvadratet 1 / 2 medlemmer.

Rækkefølgen an er angivet. Numrene på sekvensen kaldes dens medlemmer og er normalt angivet med bogstaver med indeks, der angiver serienummeret på dette medlem (a1, a2, a3 ... læs: "en 1.", "en 2.", "en 3." og så videre).

Rækkefølgen kan være uendelig eller endelig.

Hvad er en aritmetisk progression? Det forstås som opnået ved at tilføje det foregående led (n) med det samme tal d, som er forskellen på progressionen.

Hvis d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, så anses en sådan progression for at være stigende.

En aritmetisk progression siges at være endelig, hvis kun nogle få af dens første led tages i betragtning. Med et meget stort antal medlemmer er dette allerede en uendelig progression.

Enhver aritmetisk progression er givet ved følgende formel:

an =kn+b, mens b og k er nogle tal.

Udsagnet, som er det modsatte, er absolut sandt: hvis sekvensen er givet af en lignende formel, så er dette præcis en aritmetisk progression, som har egenskaberne:

1. Hvert medlem af progressionen er det aritmetiske gennemsnit af det forrige medlem og det næste.
2. Det modsatte: hvis, startende fra 2., hvert led er det aritmetiske middelværdi af det foregående led og det næste, dvs. hvis betingelsen er opfyldt, så er den givne rækkefølge en aritmetisk progression. Denne lighed er samtidig et tegn på progression, så det kaldes normalt en karakteristisk egenskab ved progression.
   På samme måde er sætningen, der afspejler denne egenskab, sand: en sekvens er kun en aritmetisk progression, hvis denne lighed er sand for nogen af ​​sekvensens medlemmer, startende fra 2.

Den karakteristiske egenskab for alle fire tal i en aritmetisk progression kan udtrykkes med formlen an + am = ak + al, hvis n + m = k + l (m, n, k er tallene for progressionen).

I en aritmetisk progression kan ethvert nødvendigt (N.) led findes ved at anvende følgende formel:

For eksempel: det første led (a1) i en aritmetisk progression er givet og er lig med tre, og forskellen (d) er lig med fire. Du skal finde det femogfyrre led i denne progression. a45 = 1+4(45-1)=177

Formlen an = ak + d(n - k) giver dig mulighed for at bestemme det n-te medlem af en aritmetisk progression gennem et hvilket som helst af dets k-te led, forudsat at det er kendt.

Summen af ​​medlemmerne af en aritmetisk progression (forudsat de 1. n medlemmer af den endelige progression) beregnes som følger:

Sn = (a1+an) n/2.

Hvis det første led også er kendt, er en anden formel praktisk til beregning:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Summen af ​​en aritmetisk progression, der indeholder n led, beregnes som følger:

Valget af formler til beregninger afhænger af betingelserne for opgaverne og de indledende data.

Den naturlige række af alle tal såsom 1,2,3,...,n,... er det enkleste eksempel på en aritmetisk progression.

Ud over den aritmetiske progression er der også en geometrisk, som har sine egne egenskaber og karakteristika.

Hvis hvert naturligt tal n matche et reelt tal en n , så siger de, at givet nummerrækkefølge :

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funktion af et naturligt argument.

Nummer -en 1 hedder det første medlem af sekvensen , nummer -en 2 — det andet medlem af sekvensen , nummer -en 3 — tredje og så videre. Nummer en n hedder n'te medlem af sekvensen , og det naturlige tal n — hans nummer .

Fra to nabomedlemmer en n og en n +1 medlemssekvenser en n +1 hedder efterfølgende (hen imod en n ), a en n — Tidligere (hen imod en n +1 ).

For at angive en sekvens skal du angive en metode, der giver dig mulighed for at finde et sekvensmedlem med et hvilket som helst tal.

Ofte er rækkefølgen givet med n. leds formler , det vil sige en formel, der giver dig mulighed for at bestemme et sekvensmedlem ved dets nummer.

For eksempel,

rækkefølgen af ​​positive ulige tal kan gives ved formlen

en n= 2n- 1,

og sekvensen af ​​alternerende 1 og -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Rækkefølgen kan bestemmes tilbagevendende formel, det vil sige en formel, der udtrykker ethvert medlem af sekvensen, begyndende med nogle, gennem de foregående (et eller flere) medlemmer.

For eksempel,

hvis -en 1 = 1 , a en n +1 = en n + 5

-en 1 = 1,

-en 2 = -en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

-en 3 = -en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

-en 4 = -en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

-en 5 = -en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis en en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , derefter indstilles de første syv medlemmer af den numeriske sekvens som følger:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

-en 6 = -en 4 + -en 5 = 3 + 5 = 8,

-en 7 = -en 5 + -en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig og endeløs .

Rækkefølgen kaldes ultimative hvis den har et begrænset antal medlemmer. Rækkefølgen kaldes endeløs hvis den har uendeligt mange medlemmer.

For eksempel,

sekvens af tocifrede naturlige tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

Primtalsrækkefølge:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Rækkefølgen kaldes stigende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er større end det foregående.

Rækkefølgen kaldes aftagende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er mindre end det foregående.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en faldende sekvens. ◄

En sekvens, hvis elementer ikke falder med stigende antal, eller omvendt ikke stiger, kaldes monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er især stigende sekvenser og faldende sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression en sekvens kaldes, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående, hvortil det samme tal tilføjes.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progression, hvis for et hvilket som helst naturligt tal n betingelse er opfyldt:

en n +1 = en n + d,

hvor d - et eller andet nummer.

Således er forskellen mellem de næste og de foregående medlemmer af en given aritmetisk progression altid konstant:

en 2 - -en 1 = en 3 - -en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Nummer d hedder forskellen på en aritmetisk progression.

For at indstille en aritmetisk progression er det nok at specificere dens første led og forskel.

For eksempel,

hvis -en 1 = 3, d = 4 , så findes de første fem led i sekvensen som følger:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

-en 5 = -en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For en aritmetisk progression med det første led -en 1 og forskel d hende n

en n = en 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

find det tredivte led i en aritmetisk progression

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en n= en 1 + (n- 1)d,

en n +1 = -en 1 + nd,

så åbenbart

hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske gennemsnit af de foregående og efterfølgende medlemmer.

tallene a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en eller anden aritmetisk progression, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med det aritmetiske gennemsnit af de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progression.

Lad os bruge udsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Følgelig,

◄

Noter det n -th medlem af en aritmetisk progression kan findes ikke kun gennem -en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

til -en 5 kan skrives

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n+k - kd,

så åbenbart

ethvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er lig med halvdelen af ​​summen af ​​medlemmerne af denne aritmetiske progression med lige stor afstand fra den.

Derudover er ligheden sand for enhver aritmetisk progression:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progression

1) -en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (-en 9 + -en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 73 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,

først n medlemmer af en aritmetisk progression er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​de ekstreme led med antallet af led:

Heraf følger især, at hvis det er nødvendigt at summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

så bevarer den forrige formel sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis der er givet en aritmetisk progression, så er mængderne -en 1 , en n, d, n ogS n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne af tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.

En aritmetisk progression er en monoton sekvens. Hvori:

• hvis d > 0 , så er det stigende;
• hvis d < 0 , så er det aftagende;
• hvis d = 0 , så vil sekvensen være stationær.

Geometrisk progression

geometrisk progression der kaldes en sekvens, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progression, hvis for et hvilket som helst naturligt tal n betingelse er opfyldt:

b n +1 = b n · q,

hvor q ≠ 0 - et eller andet nummer.

Således er forholdet mellem det næste led i denne geometriske progression og det foregående et konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nummer q hedder nævner for en geometrisk progression.

For at indstille en geometrisk progression er det nok at specificere dets første led og nævner.

For eksempel,

hvis b 1 = 1, q = -3 , så findes de første fem led i sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nævner q hende n -th led kan findes ved formlen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

find det syvende led i en geometrisk progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

så åbenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem af den geometriske progression, startende fra den anden, er lig med det geometriske middelværdi (proportionalt) af de foregående og efterfølgende medlemmer.

Da det modsatte også er sandt, gælder følgende påstand:

tallene a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en eller anden geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af en af ​​dem er lig med produktet af de to andre, dvs. et af tallene er det geometriske middelværdi af de to andre.

For eksempel,

lad os bevise, at rækkefølgen givet af formlen b n= -3 2 n , er en geometrisk progression. Lad os bruge udsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Følgelig,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

hvilket beviser den krævede påstand. ◄

Noter det n led af en geometrisk progression kan findes ikke kun gennem b 1 , men også enhver tidligere periode b k , hvortil det er tilstrækkeligt at bruge formlen

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

så åbenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet af ethvert medlem af en geometrisk progression, startende fra den anden, er lig med produktet af medlemmerne af denne progression lige langt fra den.

Derudover er ligheden sand for enhver geometrisk progression:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponentielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

først n medlemmer af en geometrisk progression med en nævner q ≠ 0 beregnet med formlen:

Og når q = 1 - efter formlen

S n= n.b. 1

Bemærk, at hvis vi skal summere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så bruges formlen:

For eksempel,

eksponentielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis der er givet en geometrisk progression, så er mængderne b 1 , b n, q, n og S n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne af tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.

For en geometrisk progression med det første led b 1 og nævner q følgende finder sted monotoniske egenskaber :

• progressionen er stigende, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og q> 1;

b 1 < 0 og 0 < q< 1;

• En progression er faldende, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og 0 < q< 1;

b 1 < 0 og q> 1.

Hvis en q< 0 , så er den geometriske progression fortegnsvekslende: dens ulige tal har samme fortegn som dens første led, og lige tal har det modsatte fortegn. Det er klart, at en vekslende geometrisk progression ikke er monoton.

Produkt af den første n udtryk for en geometrisk progression kan beregnes ved formlen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendeligt faldende geometrisk progression

Uendeligt faldende geometrisk progression kaldes en uendelig geometrisk progression, hvis nævnermodul er mindre end 1 , det er

|q| < 1 .

Bemærk, at en uendeligt faldende geometrisk progression muligvis ikke er en faldende sekvens. Dette passer til sagen

1 < q< 0 .

Med en sådan nævner er rækkefølgen fortegnsvekslende. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression navngiv det tal, hvortil summen af ​​den første n vilkår for progressionen med en ubegrænset stigning i antallet n . Dette tal er altid endeligt og udtrykkes ved formlen

For eksempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Sammenhæng mellem aritmetiske og geometriske progressioner

Aritmetiske og geometriske progressioner er tæt beslægtede. Lad os kun overveje to eksempler.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . d , derefter

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

For eksempel,

1, 3, 5, . . . — aritmetisk progression med forskel 2 og

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . er en geometrisk progression med en nævner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . er en geometrisk progression med en nævner q , derefter

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetisk progression med forskel log aq .

For eksempel,

2, 12, 72, . . . er en geometrisk progression med en nævner 6 og

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progression med forskel lg 6 . ◄

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(otte\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progression, fordi hvert næste element adskiller sig fra det foregående med tre (kan fås fra det foregående ved at tilføje tre):

I denne progression er forskellen \(d\) positiv (lig med \(3\)), og derfor er hvert næste led større end det foregående. Sådanne progressioner kaldes stigende.

\(d\) kan dog også være et negativt tal. For eksempel, i aritmetisk progression \(16\); \(ti\); \(fire\); \(-2\); \(-8\)... progressionsforskellen \(d\) er lig med minus seks.

Og i dette tilfælde vil hvert næste element være mindre end det forrige. Disse progressioner kaldes faldende.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression er angivet med et lille latinsk bogstav.

De tal, der danner en progression, kaldes det medlemmer(eller elementer).

De er angivet med samme bogstav som den aritmetiske progression, men med et numerisk indeks svarende til elementnummeret i rækkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progression \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) af elementerne \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progressionen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\højre\)\)

Løsning af problemer på en aritmetisk progression

I princippet er ovenstående information allerede nok til at løse næsten ethvert problem på en aritmetisk progression (inklusive dem, der tilbydes på OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er givet af betingelserne \(b_1=7; d=4\). Find \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De første tre led i en aritmetisk progression er givet: \(62; 49; 36…\) Find værdien af ​​det første negative led i denne progression..
Løsning:

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Der er givet flere på hinanden følgende elementer i en aritmetisk progression: \(...5; x; 10; 12,5...\) Find værdien af ​​elementet angivet med bogstavet \(x\).
Løsning:

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er givet af følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Find summen af ​​de første seks led i denne progression.
Løsning:

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Find forskellen på denne progression.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Vigtige aritmetiske progressionsformler

Som du kan se, kan mange aritmetiske progressionsproblemer løses blot ved at forstå hovedsagen - at en aritmetisk progression er en kæde af tal, og hvert næste element i denne kæde opnås ved at lægge det samme tal til det forrige (forskellen af progressionen).

Men nogle gange er der situationer, hvor det er meget ubelejligt at løse "på panden". Forestil dig for eksempel, at vi i det allerførste eksempel ikke skal finde det femte element \(b_5\), men det tre hundrede og seksogfirsende \(b_(386)\). Hvad er det, vi \ (385 \) gange at tilføje fire? Eller forestil dig, at du i det næstsidste eksempel skal finde summen af ​​de første treoghalvfjerds elementer. At tælle er forvirrende...

Derfor løser de i sådanne tilfælde ikke "på panden", men bruger specielle formler afledt til aritmetisk progression. Og de vigtigste er formlen for det n'te led i progressionen og formlen for summen \(n\) af de første led.

Formel for \(n\)th medlem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), hvor \(a_1\) er det første medlem af progressionen;
\(n\) – nummeret på det påkrævede element;
\(a_n\) er medlem af progressionen med tallet \(n\).

Denne formel giver os mulighed for hurtigt at finde mindst det tre hundrede, endda det millionte element, idet vi kun kender det første og progressionsforskellen.

Eksempel. Den aritmetiske progression er givet af betingelserne: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Find \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formlen for summen af ​​de første n led er: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) er det sidst summerede led;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er givet af betingelserne \(a_n=3,4n-0,6\). Find summen af ​​de første \(25\) led i denne progression.
Løsning:

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) af de første led kan du få en anden formel: du skal bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) \ (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte det med formlen \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formlen for summen af ​​de første n led er: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige sum \(n\) af de første elementer;
\(a_1\) er det første led, der skal summeres;
\(d\) – progressionsforskel;
\(n\) - antallet af elementer i summen.

Eksempel. Find summen af ​​de første \(33\)-ex led i den aritmetiske progression: \(17\); \(15,5\); \(fjorten\)…
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mere komplekse aritmetiske progressionsproblemer

Nu har du al den information, du behøver for at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem. Lad os afslutte emnet ved at overveje problemer, hvor du ikke kun skal anvende formler, men også tænke lidt (i matematik kan dette være nyttigt ☺)

Eksempel (OGE). Find summen af ​​alle negative led i progressionen: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er givet af betingelserne: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Find summen fra \(26\)th til \(42\) element inklusive.
Løsning:

Svar: \(S=1683\).

For en aritmetisk progression er der flere formler, som vi ikke har overvejet i denne artikel på grund af deres lave praktiske anvendelighed. Du kan dog nemt finde dem.