Matematiske mønstre i livet. Matematiske mønstre af levende natur

Hvis man ser sig omhyggeligt omkring, bliver matematikkens rolle i menneskelivet indlysende. Computere, moderne telefoner og andet udstyr ledsager os hver dag, og deres skabelse er umulig uden brug af den store videnskabs love og beregninger. Men matematikkens rolle i samfundet er ikke begrænset til sådanne applikationer. Ellers kunne mange kunstnere for eksempel med god samvittighed sige, at den tid, der blev brugt til at løse problemer og bevise teoremer i skolen, var spildt. Dette er dog ikke tilfældet. Lad os prøve at finde ud af, hvorfor matematik er nødvendigt.

Grundlag

For det første er det værd at forstå, hvad matematik faktisk er. Oversat fra oldgræsk betyder selve navnet "videnskab", "studie". Matematik er baseret på operationerne med at tælle, måle og beskrive genstandes former. som viden om struktur, orden og sammenhænge bygger på. De er essensen af videnskab. Egenskaberne ved virkelige objekter er idealiseret i det og skrevet i et formelt sprog. Sådan konverteres de til matematiske objekter. Nogle idealiserede egenskaber bliver til aksiomer (udsagn, der ikke kræver bevis). Fra disse udledes så andre sande egenskaber. Sådan dannes et reelt eksisterende objekt.

To afsnit

Matematik kan opdeles i to komplementære dele. Teoretisk videnskab beskæftiger sig med dyb analyse af intra-matematiske strukturer. Anvendt videnskab leverer sine modeller til andre discipliner. Fysik, kemi og astronomi, ingeniørsystemer, prognoser og logik bruger det matematiske apparat konstant. Med dens hjælp gøres opdagelser, mønstre opdages og begivenheder forudsiges. I denne forstand kan betydningen af matematik i menneskelivet ikke overvurderes.

Grundlag for faglig aktivitet

Uden viden om grundlæggende matematiske love og evnen til at bruge dem, bliver det i den moderne verden meget vanskeligt at lære næsten enhver profession. Ikke kun finansfolk og revisorer beskæftiger sig med tal og operationer med dem. Uden sådan viden vil en astronom ikke være i stand til at bestemme afstanden til stjernen og det bedste tidspunkt at observere den, og en molekylærbiolog vil ikke være i stand til at forstå, hvordan man håndterer genmutation. En ingeniør vil ikke designe et fungerende alarm- eller videoovervågningssystem, og en programmør vil ikke finde en tilgang til operativsystemet. Mange af disse og andre erhverv eksisterer simpelthen ikke uden matematik.

Humaniora

Men matematikkens rolle i livet for en person, der for eksempel har helliget sig maleri eller litteratur, er ikke så indlysende. Og alligevel er spor af videnskabens dronning også til stede i humaniora.

Det ser ud til, at poesi er ren romantik og inspiration, der er ikke plads til analyse og beregning. Det er dog nok at huske de poetiske dimensioner af amfibracherne), og man kommer til den forståelse, at matematikken også havde en finger med i dette. Rytme, verbal eller musikalsk, er også beskrevet og beregnet ved hjælp af viden om denne videnskab.

For en forfatter eller psykolog er begreber som pålidelighed af information, en isoleret hændelse, generalisering og så videre ofte vigtige. Alle af dem er enten direkte matematiske, eller er bygget på grundlag af love udviklet af videnskabens dronning, og eksisterer takket være hende og i henhold til hendes regler.

Psykologien blev født i skæringspunktet mellem humaniora og naturvidenskab. Alle dens retninger, selv dem, der udelukkende arbejder med billeder, er afhængige af observation, dataanalyse, deres generalisering og verifikation. Her bruges modellering, prognose og statistiske metoder.

Fra skole

Matematik er til stede i vores liv, ikke kun i processen med at mestre en profession og implementere den erhvervede viden. På en eller anden måde bruger vi videnskabernes dronning næsten hvert eneste øjeblik. Derfor begynder matematik ret tidligt at blive undervist. Ved at løse simple og komplekse problemer lærer et barn ikke bare at lægge sammen, trække fra og gange. Han forstår langsomt, fra det grundlæggende, strukturen i den moderne verden. Og vi taler ikke om tekniske fremskridt eller muligheden for at kontrollere ændringer i en butik. Matematik former visse træk ved tænkningen og påvirker vores holdning til verden.

Den enkleste, den sværeste, den vigtigste

Sandsynligvis vil alle huske mindst en aften, mens de lavede lektier, hvor de desperat ville hyle: "Jeg forstår ikke, hvad matematik er for noget!", smide de forhadte komplekse og kedelige problemer til side og løbe ind i gården med venner. I skolen og endnu senere, på college, virker forældres og læreres forsikringer om, at "det vil komme til nytte senere", som irriterende nonsens. Det viser sig dog, at de har ret.

Det er matematik, og derefter fysik, der lærer dig at finde årsag-og-virkning sammenhænge, lægger vanen til at lede efter det berygtede "hvor benene vokser fra." Opmærksomhed, koncentration, viljestyrke – de træner også i processen med at løse de meget forhadte problemer. Hvis vi går længere, er evnen til at drage konsekvenser af fakta, forudsige fremtidige begivenheder og også gøre det samme fastlagt under studiet af matematiske teorier. Modellering, abstraktion, deduktion og induktion er alle videnskaber og på samme tid måder, hvorpå hjernen arbejder med information.

Og igen psykologi

Ofte er det matematik, der giver et barn den åbenbaring, at voksne ikke er almægtige og ikke ved alt. Dette sker, når mor eller far, når de bliver bedt om at hjælpe med at løse et problem, bare trækker på skuldrene og erklærer deres manglende evne til at gøre det. Og barnet er tvunget til selv at lede efter svaret, lave fejl og se igen. Det sker også, at forældre simpelthen nægter at hjælpe. "Du skal gøre det selv," siger de. Og de gør det rigtigt. Efter mange timers forsøg får barnet ikke bare færdiggjorte lektier, men evnen til selvstændigt at finde løsninger, opdage og rette fejl. Og dette ligger også matematikkens rolle i menneskelivet.

Selvfølgelig udvikles uafhængighed, evnen til at træffe beslutninger, være ansvarlig for dem og fraværet af frygt for fejl, ikke kun i algebra- og geometritimer. Men disse discipliner spiller en væsentlig rolle i processen. Matematik fremmer sådanne kvaliteter som beslutsomhed og aktivitet. Sandt nok afhænger meget af læreren. Forkert præsentation af materiale, overdreven stringens og pres kan tværtimod indgyde frygt for vanskeligheder og fejltagelser (først i klasseværelset og derefter i livet), modvilje mod at udtrykke sin mening og passivitet.

Matematik i hverdagen

Efter endt uddannelse fra universitetet eller gymnasiet stopper voksne ikke med at løse matematiske problemer hver dag. Hvordan fanger man toget? Kan et kilo kød lave aftensmad til ti gæster? Hvor mange kalorier er der i retten? Hvor længe holder en pære? Disse og mange andre spørgsmål er direkte relateret til Videnskabernes Dronning og kan ikke løses uden hende. Det viser sig, at matematik er usynligt til stede i vores liv næsten konstant. Og oftest lægger vi ikke engang mærke til det.

Matematik i samfundets og den enkeltes liv påvirker en lang række områder. Nogle erhverv er utænkelige uden det, mange dukkede kun op takket være udviklingen af dets individuelle områder. Moderne tekniske fremskridt er tæt forbundet med komplikationen og udviklingen af det matematiske apparat. Computere og telefoner, fly og rumfartøjer ville aldrig være dukket op, hvis folk ikke havde kendt videnskabernes dronning. Men matematikkens rolle i menneskelivet slutter ikke der. Videnskab hjælper et barn med at mestre verden, lærer ham at interagere med den mere effektivt og former hans tankegang og individuelle karaktertræk. Men matematik alene ville ikke klare sådanne opgaver. Som nævnt ovenfor spiller præsentationen af materialet og personlighedstræk hos den, der introducerer barnet til verden, en stor rolle.

Afslutningsvis vil vi forsøge kort at karakterisere matematikkens generelle udviklingsmønstre.

1. Matematik er ikke skabelsen af en historisk æra, et hvilket som helst folk; det er et produkt af en række epoker, et produkt af mange generationers arbejde. Dens første koncepter og bestemmelser opstod

som vi har set, blev de i oldtiden og allerede for mere end to tusinde år siden bragt ind i et harmonisk system. På trods af alle matematikkens transformationer er dens begreber og konklusioner bevaret, idet de bevæger sig fra en epoke til en anden, såsom for eksempel regnereglerne eller Pythagoras sætning.

Nye teorier inkorporerer tidligere resultater, præciserer, supplerer og generaliserer dem.

På samme tid, som det fremgår af den korte oversigt over matematikkens historie ovenfor, kan dens udvikling ikke blot reduceres til en simpel ophobning af nye teoremer, men omfatter betydelige, kvalitative ændringer. I overensstemmelse hermed er udviklingen af matematikken opdelt i en række perioder, hvor overgangene mellem disse er præcist indikeret af sådanne grundlæggende ændringer i selve emnet eller strukturen af denne videnskab.

Matematik omfatter i sin sfære alle nye områder af kvantitative virkelighedsrelationer. Samtidig har matematikkens vigtigste fag været og forbliver rumlige former og kvantitative relationer i disse ords enkle, mest direkte betydning, og matematisk forståelse af nye sammenhænge og sammenhænge sker uundgåeligt på baggrund af og i forbindelse med allerede etableret system af kvantitative og rumlige videnskabelige begreber.

Endelig indebærer akkumuleringen af resultater inden for matematikken i sig selv både en opstigning til nye abstraktionsniveauer, til nye generaliserende begreber og en uddybning i analysen af grundlaget og indledende begreber.

Ligesom et egetræ i sin mægtige vækst fortykker de gamle grene med nye lag, kaster nye grene ud, strækker sig opad og dybere med rødderne nedad, således akkumulerer matematikken i sin udvikling nyt stof i sine allerede etablerede områder, danner nye retninger, stiger op. til nye højder af abstraktion og går dybere ind i dets grundlæggende.

2. Matematik har som emne virkelige former og virkelighedsrelationer, men, som Engels sagde, for at studere disse former og relationer i deres rene form, er det nødvendigt fuldstændigt at adskille dem fra deres indhold, at lade dette sidstnævnte ligge til side som noget ligegyldigt. Former og relationer eksisterer dog ikke uden for indholdet; matematiske former og relationer kan ikke være fuldstændig ligeglade med indhold. Derfor stræber matematikken, som ved selve sin essens stræber efter at opnå en sådan adskillelse, efter at opnå det umulige. Dette er en grundlæggende selvmodsigelse i selve matematikkens essens. Det er en manifestation specifik for matematik af erkendelsens generelle modsigelse. Refleksionen ved tanke af ethvert fænomen, hver side, hvert øjeblik af virkeligheden gror til, forenkler det og river det fra naturens generelle forbindelse. Når mennesker, der studerede rummets egenskaber, konstaterede, at det har euklidisk geometri, en enestående

en vigtig erkendelseshandling, men den indeholdt også en vrangforestilling: rummets virkelige egenskaber blev [taget på en forenklet, skematisk måde, i abstraktion fra materien. Men uden dette ville der simpelthen ikke være nogen geometri, og det var på baggrund af denne abstraktion (både fra dens interne forskning og fra sammenligningen af matematiske resultater med nye data fra andre videnskaber), at nye geometriske teorier blev født og styrket.

Den konstante opløsning og genoprettelse af denne modsigelse på stadier af erkendelse, der er stadig tættere på virkeligheden, udgør essensen af udviklingen af erkendelse. I dette tilfælde er den afgørende faktor naturligvis det positive indhold af viden, elementet af absolut sandhed i den. Viden bevæger sig langs en stigende linje og markerer ikke tid, blot blandet med fejl. Bevægelsen af viden er en konstant overvindelse af dens unøjagtighed og begrænsninger.

Denne hovedmodsigelse medfører andre. Vi så dette i eksemplet med modsætningerne af diskret og kontinuerlig. (I naturen er der ingen absolut kløft mellem dem, og deres adskillelse i matematikken medførte uundgåeligt behovet for at skabe stadig nye begreber, der dybere afspejler virkeligheden og samtidig overvinder de interne ufuldkommenheder i den eksisterende matematiske teori). På nøjagtig samme måde fremstår modsætningerne af det endelige og det uendelige, det abstrakte og det konkrete, form og indhold osv. i matematikken som manifestationer af dens grundlæggende modsætning. Men dens afgørende manifestation er, at matematik, abstraheret fra det konkrete, kredsende i kredsen af dets abstrakte begreber, derved adskilles fra eksperimentet og praksis, og samtidig er det kun en videnskab (dvs. har kognitiv værdi) for så vidt som den bygger på. på praksis, da det viser sig ikke at være ren, men anvendt matematik. For at sige det lidt på hegeliansk sprog, så "nægter" ren matematik sig konstant som ren matematik; uden denne kan den ikke have videnskabelig betydning, kan ikke udvikle sig, kan ikke overvinde de vanskeligheder, der uundgåeligt opstår i den.

I deres formelle form er matematiske teorier imod reelt indhold som nogle skemaer for specifikke konklusioner. I dette tilfælde fungerer matematik som en metode til at formulere naturvidenskabens kvantitative love, som et apparat til at udvikle dens teorier, som et middel til at løse problemer inden for naturvidenskab og teknologi. Betydningen af ren matematik på nuværende stadie ligger primært i den matematiske metode. Og ligesom enhver metode eksisterer og udvikler sig ikke på egen hånd, men kun på basis af dens anvendelser, i forbindelse med det indhold, den anvendes på, så kan matematik ikke eksistere og udvikle sig uden anvendelser. Her afsløres igen modsætningernes enhed: den generelle metode er i modsætning til et specifikt problem som et middel til at løse det, men den opstår selv fra en generalisering af specifikt materiale og eksisterer

udvikler sig og finder kun sin berettigelse i at løse specifikke problemer.

3. Social praksis spiller en afgørende rolle for udviklingen af matematikken i tre henseender. Den stiller nye problemer for matematikken, stimulerer dens udvikling i den ene eller anden retning og giver et kriterium for sandheden af dens konklusioner.

Dette kan ses ekstremt tydeligt i fremkomsten af analyser. For det første var det udviklingen af mekanik og teknologi, der rejste problemet med at studere variables afhængigheder i deres generelle form. Arkimedes, der var kommet tæt på differential- og integralregning, forblev dog inden for rammerne af statiske problemer, mens det i moderne tid var studiet af bevægelse, der affødte begreberne variabel og funktion og tvang analysens formulering. Newton kunne ikke udvikle mekanik uden at udvikle en tilsvarende matematisk metode.

For det andet var det netop den sociale produktions behov, der foranledigede formuleringen og løsningen af alle disse problemer. Hverken i det gamle eller i middelalderens samfund eksisterede disse incitamenter. Endelig er det meget karakteristisk, at matematisk analyse i sin begyndelse fandt begrundelse for sine konklusioner netop i applikationer. Dette er den eneste grund til, at det kunne udvikle sig uden de strenge definitioner af dets grundlæggende begreber (variabel, funktion, grænse), som blev givet senere. Sandheden i analysen blev fastslået af applikationer inden for mekanik, fysik og teknologi.

Ovenstående gælder for alle perioder i matematikkens udvikling. Siden det 17. århundrede. Den mest direkte indflydelse på dets udvikling udøves, sammen med mekanikken, af teoretisk fysik og problemer med ny teknologi. Kontinuummekanik og derefter feltteori (termisk ledningsevne, elektricitet, magnetisme, gravitationsfelt) styrer udviklingen af teorien om partielle differentialligninger. Udviklingen af molekylær teori og statistisk fysik generelt, startende fra slutningen af forrige århundrede, tjente som en vigtig stimulans for udviklingen af sandsynlighedsteori, især teorien om tilfældige processer. Relativitetsteorien spillede en afgørende rolle i udviklingen af Riemannsk geometri med dens analytiske metoder og generaliseringer.

I øjeblikket er udviklingen af nye matematiske teorier, såsom funktionsanalyse osv., stimuleret af problemer med kvantemekanik og elektrodynamik, problemer med computerteknologi, statistiske spørgsmål om fysik og teknologi osv. osv. Fysik og teknologi udgør ikke kun nye udfordringer for matematikproblemer, skubber det i retning af nye forskningsfag, men vækker også udviklingen af de for dem nødvendige matematiske grene, som i begyndelsen udviklede sig i højere grad i sig selv, som det var tilfældet med Riemannsk geometri. Kort sagt, for den intensive udvikling af videnskaben er det nødvendigt, at den ikke kun nærmer sig løsningen af nye problemer, men at behovet for at løse dem påtvinges

samfundets udviklingsbehov. I matematik er der for nylig opstået mange teorier, men kun de af dem er udviklet og fast gået ind i videnskaben, der har fundet deres anvendelse i naturvidenskab og teknologi eller har spillet rollen som vigtige generaliseringer af de teorier, der har sådanne anvendelser. Samtidig forbliver andre teorier uden bevægelse, som for eksempel nogle raffinerede geometriske teorier (ikke-desarguesiske, ikke-arkimediske geometrier), som ikke har fundet væsentlige anvendelser.

Sandheden om matematiske konklusioner finder sit endelige grundlag ikke i generelle definitioner og aksiomer, ikke i den formelle strenghed af beviser, men i virkelige anvendelser, det vil sige i sidste ende i praksis.

Generelt skal matematikkens udvikling primært forstås som et resultat af samspillet mellem dets fags logik, afspejlet i selve matematikkens indre logik, produktionens indflydelse og forbindelser med naturvidenskab. Denne forskel følger komplekse veje til kamp mellem modsætninger, herunder væsentlige ændringer i matematikkens grundlæggende indhold og former. Indholdsmæssigt er matematikkens udvikling bestemt af dens fag, men den stimuleres hovedsageligt og i sidste ende af produktionens behov. Dette er det grundlæggende udviklingsmønster for matematik.

Vi må selvfølgelig ikke glemme, at vi kun taler om grundmønsteret, og at sammenhængen mellem matematik og produktion generelt set er kompleks. Ud fra det, der blev sagt ovenfor, er det klart, at det ville være naivt at forsøge at retfærdiggøre fremkomsten af enhver given matematisk teori med en direkte "produktionsordre." Desuden har matematik, som enhver videnskab, relativ uafhængighed, sin egen indre logik, der afspejler, som vi har understreget, objektiv logik, dvs. dets fags regelmæssighed.

4. Matematik har altid oplevet den mest betydelige indflydelse, ikke blot af den sociale produktion, men også af alle sociale forhold i almindelighed. Dens strålende fremskridt i det antikke Grækenlands fremgang, algebraens succes i Italien under renæssancen, udviklingen af analyse i den æra, der fulgte efter den engelske revolution, matematikkens succes i Frankrig i perioden, der støder op til den franske revolution - alt dette demonstrerer på overbevisende vis den uløselige sammenhæng mellem matematikkens fremskridt med samfundets generelle tekniske, kulturelle, politiske fremskridt.

Dette ses også tydeligt i udviklingen af matematik i Rusland. Dannelsen af en uafhængig russisk matematisk skole, der kommer fra Lobachevsky, Ostrogradsky og Chebyshev, kan ikke adskilles fra det russiske samfunds fremskridt som helhed. Lobachevskys tid er Pushkins tid,

Glinka, decembristernes tid, og matematikkens opblomstring var et af elementerne i det generelle opsving.

Så meget desto mere overbevisende er indflydelsen af samfundsudviklingen i perioden efter den store socialistiske oktoberrevolution, hvor undersøgelser af fundamental betydning dukkede op efter hinanden med forbløffende hastighed i mange retninger: i mængdeteori, topologi, talteori, sandsynlighedsteori, teori om differentialligninger, funktionsanalyse, algebra, geometri.

Endelig har matematik altid været og er fortsat betydeligt påvirket af ideologi. Som i enhver videnskab opfattes og fortolkes matematikkens objektive indhold af matematikere og filosoffer inden for rammerne af den ene eller anden ideologi.

Kort sagt passer videnskabens objektive indhold altid ind i en eller anden ideologisk form; enhed og kamp mellem disse dialektiske modsætninger - objektivt indhold og ideologiske former - i matematik, som i enhver videnskab, spiller en vigtig rolle i dens udvikling.

Kampen mellem materialismen, der svarer til videnskabens objektive indhold, og idealismen, der modsiger dette indhold og fordrejer dets forståelse, går gennem hele matematikkens historie. Denne kamp blev tydeligt angivet allerede i det antikke Grækenland, hvor Pythagoras, Sokrates og Platons idealisme modarbejdede materialismen hos Thales, Demokrit og andre filosoffer, der skabte græsk matematik. Med udviklingen af slavesystemet blev samfundets elite løsrevet fra deltagelse i produktionen, idet den betragtede den som underklassens lod, og dette gav anledning til en adskillelse af "ren" videnskab fra praksis. Kun rent teoretisk geometri blev anerkendt som værdig til en sand filosofs opmærksomhed. Det er karakteristisk, at Platon anså de nye studier af nogle mekaniske kurver og endda keglesnit for at forblive uden for geometriens grænser, da de "ikke bringer os i kommunikation med evige og ulegemlige ideer" og "behøver brugen af en vulgærs værktøjer håndværk."

Et slående eksempel på materialismens kamp mod idealismen i matematikken er Lobachevskys aktivitet, som fremførte og forsvarede den materialistiske matematikforståelse mod kantianismens idealistiske synspunkter.

Den russiske matematiske skole er generelt præget af en materialistisk tradition. Således understregede Chebyshev klart den afgørende betydning af praksis, og Lyapunov udtrykte stilen i den russiske matematiske skole med følgende bemærkelsesværdige ord: "Detaljeret udvikling af spørgsmål, der er særligt vigtige fra et anvendelsessynspunkt og samtidig præsentere særlige teoretiske vanskeligheder, der kræver opfindelsen af nye metoder og en opstigning til videnskabens principper, for derefter at generalisere resultaterne og derved skabe en mere eller mindre generel teori." Generaliseringer og abstraktioner er ikke i sig selv, men i forbindelse med specifikt materiale

teoremer og teorier ikke i sig selv, men i den generelle sammenhæng mellem videnskab, der i sidste ende fører til praksis - det er det, der viser sig at være faktisk vigtigt og lovende.

Det var også ambitionerne hos så store videnskabsmænd som Gauss og Riemann.

Men med udviklingen af kapitalismen i Europa begyndte materialistiske synspunkter, som afspejlede det fremskredne bourgeoisies avancerede ideologi i det 16. - tidlige 19. århundrede, at blive erstattet af idealistiske synspunkter. For eksempel refererede Cantor (1846-1918), da han skabte teorien om uendelige mængder, direkte til Gud, idet han talte i ånden om, at uendelige mængder har absolut eksistens i det guddommelige sind. Den største franske matematiker i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede. Poincaré fremlagde det idealistiske begreb "konventionelisme", ifølge hvilket matematik er et skema af konventionelle aftaler, der er vedtaget for at gøre det lettere at beskrive erfaringens mangfoldighed. Ifølge Poincaré er den euklidiske geometris aksiomer således ikke andet end betingede aftaler, og deres betydning er bestemt af bekvemmelighed og enkelhed, men ikke af deres overensstemmelse med virkeligheden. Derfor sagde Poincaré, at de for eksempel i fysik hellere ville opgive loven om retlinet udbredelse af lys end euklidisk geometri. Dette synspunkt blev tilbagevist af udviklingen af relativitetsteorien, som på trods af al den euklidiske geometris "enkelhed" og "bekvemmelighed" i fuld overensstemmelse med Lobachevskys og Riemanns materialistiske ideer førte til den konklusion, at den virkelige rummets geometri er forskellig fra euklidisk.

På grund af de vanskeligheder, der opstod i mængdelæren, og i forbindelse med behovet for at analysere matematikkens grundbegreber, blandt matematikere i begyndelsen af det 20. århundrede. forskellige strømninger opstod. Enheden i forståelsen af matematikkens indhold gik tabt; Forskellige matematikere begyndte at se forskelligt, ikke kun det generelle grundlag for videnskab, hvilket var tilfældet før, men begyndte endda at vurdere betydningen og betydningen af individuelle specifikke resultater og beviser forskelligt. Konklusioner, der virkede meningsfulde og meningsfulde for nogle, blev erklæret uden mening og betydning af andre. Idealistiske bevægelser af "logicisme", "intuitionisme", "formalisme" osv. opstod.

Logistikere hævder, at al matematik kan udledes fra logikkens begreber. Intuitionister ser matematikkens kilde i intuitionen og giver kun mening til det, der intuitivt opfattes. Især derfor benægter de fuldstændigt betydningen af Cantors teori om uendelige mængder. Desuden benægter intuitionister den simple betydning af selv sådanne udsagn

som en sætning om, at enhver algebraisk gradsligning har rødder. For dem er denne erklæring tom, indtil en metode til beregning af rødderne er specificeret. Således fik den fuldstændige fornægtelse af matematikkens objektive betydning intuitionister til at miskreditere en betydelig del af matematikkens præstationer som "tomt for mening." Den mest ekstreme af dem gik så langt som at hævde, at der er lige så mange matematikere, som der er matematikere.

Et forsøg på på sin egen måde at redde matematikken fra denne form for angreb blev gjort af den største matematiker i begyndelsen af vort århundrede - D. Hilbert. Essensen af hans idé var at reducere matematiske teorier til rent formelle operationer på symboler efter foreskrevne regler. Regnestykket var, at med en sådan fuldstændig formel tilgang ville alle vanskeligheder blive fjernet, fordi emnet for matematik ville være symboler og reglerne for at arbejde med dem uden nogen relation til deres betydning. Dette er rammen om formalisme i matematik. Ifølge intuitionisten Brouwer er sandheden om matematikken for formalisten på papiret, mens den for intuitionisten er i matematikerens hoved.

Det er dog ikke svært at se, at de begge er forkerte, for matematik, og på samme tid, hvad der står på papiret, og hvad matematikeren tænker, afspejler virkeligheden, og matematikkens sandhed ligger i dens overensstemmelse med den objektive virkelighed . Ved at adskille matematik fra den materielle virkelighed viser alle disse tendenser sig at være idealistiske.

Hilberts idé blev besejret af sin egen udvikling. Den østrigske matematiker Gödel beviste, at selv aritmetik ikke kan formaliseres fuldstændigt, som Hilbert havde håbet. Gödels konklusion afslørede klart matematikkens interne dialektik, som ikke tillader nogen af dens områder at blive udtømt af formel regning. Selv den enkleste uendelighed af en naturlig række af tal viste sig at være et uudtømmeligt endeligt skema af symboler og regler for at arbejde med dem. Således blev det matematisk bevist, hvad Engels udtrykte i generelle vendinger, da han skrev:

"Uendeligheden er en modsigelse... Ødelæggelsen af denne modsigelse ville være enden på uendeligheden." Hilbert håbede at omslutte matematisk uendelighed inden for rammerne af endelige skemaer og derved eliminere alle modsætninger og vanskeligheder. Dette viste sig at være umuligt.

Men under kapitalismens betingelser er konventionalisme, intuitionisme, formalisme og andre lignende bevægelser ikke blot bevaret, men suppleres med nye varianter af idealistiske syn på matematik. Teorier relateret til den logiske analyse af matematikkens grundlag bruges betydeligt i nogle nye varianter af subjektiv idealisme. Subjektiv

idealisme bruger nu matematik, især matematisk logik, ikke mindre end fysik, og derfor bliver spørgsmål om forståelse af matematikkens grundlag særligt akutte.

Således gav vanskelighederne i udviklingen af matematik under kapitalismens betingelser anledning til en ideologisk krise for denne videnskab, der i dens grundlag ligner fysikkens krise, hvis essens blev afklaret af Lenin i hans strålende værk "Materialism and Empirio -Kritik." Denne krise betyder slet ikke, at matematikken i kapitalistiske lande er fuldstændig forsinket i sin udvikling. En række videnskabsmænd med klart idealistiske holdninger opnår vigtige, nogle gange fremragende, succeser med at løse specifikke matematiske problemer og udvikle nye teorier. Det er nok at henvise til den geniale udvikling af matematisk logik.

Den grundlæggende fejl i det matematiksyn, der er udbredt i kapitalistiske lande, ligger i dens idealisme og metafysik: matematikkens adskillelse fra virkeligheden og forsømmelse af dens reelle udvikling. Logistik, intuitionisme, formalisme og andre lignende tendenser fremhæver ét aspekt af matematikken - forbindelse med logik, intuitiv klarhed, formel stringens osv. - de overdriver urimeligt, absolutiserer dens betydning, adskiller den fra virkeligheden og bag en dyb analyse af denne Ene funktion matematik i sig selv er tabt af syne for matematikken som helhed. Det er netop på grund af denne ensidighed, at ingen af disse strømninger med al de enkelte konklusioners subtilitet og dybde kan føre til en korrekt forståelse af matematik. I modsætning til forskellige strømninger og nuancer af idealisme og metafysik, betragter den dialektiske materialisme matematik, som al videnskab som helhed, som den er, i al rigdommen og kompleksiteten af dens forbindelser og udvikling. Og netop fordi den dialektiske materialisme stræber efter at forstå al rigdommen og al kompleksiteten af forbindelserne mellem videnskab og virkelighed, hele kompleksiteten af dens udvikling, der går fra en simpel generalisering af erfaringer til højere abstraktioner og fra dem til praksis, netop fordi den konstant leder selve sin tilgang til videnskaben i overensstemmelse med dens objektive indhold, med sine nye opdagelser, er det netop af denne grund og i sidste ende kun af denne grund, at det viser sig at være den eneste virkelige videnskabelige filosofi, der fører til en korrekt forståelse af videnskaben generelt og i særdeleshed matematik.

Introduktion

Vi får ofte at vide i skolen, at matematik er naturvidenskabernes dronning. En dag hørte jeg en anden sætning, som en af mine skolelærere engang sagde, og min far kan lide at gentage: "Naturen er ikke så dum, at den ikke bruger matematikkens love." (Kotelnikov F.M. tidligere professor i matematik ved Moscow State University-afdelingen). Det var det, der gav mig ideen til at studere dette problem.

Denne idé bekræftes af følgende ordsprog: ”Skønhed er altid relativ... Man bør ikke... antage, at havets kyster er virkelig uformelige, bare fordi deres form er forskellig fra den korrekte form på de moler, vi har bygget; formen af bjerge kan ikke betragtes som uregelmæssig på grundlag af, at de ikke er regulære kegler eller pyramider; bare fordi afstandene mellem stjernerne er ulige, betyder det ikke, at de blev spredt ud over himlen af en uduelig hånd. Disse uregelmæssigheder eksisterer kun i vores fantasi, men i virkeligheden er de ikke sådanne og forstyrrer på ingen måde de sande manifestationer af liv på Jorden, i planternes og dyrenes rige eller blandt mennesker." (Richard Bentley, engelsk videnskabsmand fra det 17. århundrede)

Men når vi studerer matematik, stoler vi kun på viden om formler, sætninger og beregninger. Og matematik optræder foran os som en slags abstrakt videnskab, der opererer med tal. Men som det viser sig, er matematik en smuk videnskab.

Derfor satte jeg mig følgende mål: at vise skønheden i matematik ved hjælp af mønstre, der findes i naturen.

For at nå sit mål blev det opdelt i en række opgaver:

Udforsk de mange forskellige matematiske mønstre, der bruges af naturen.

Giv en beskrivelse af disse mønstre.

Brug din egen erfaring, og prøv at finde matematiske sammenhænge i strukturen af en kats krop (Som sagt i en berømt film: træne på katte).

Metoder anvendt i arbejdet: analyse af litteratur om emnet, videnskabeligt eksperiment.

1. Søg efter matematiske mønstre i naturen.

Matematiske mønstre kan søges i både levende og livløs natur.

Derudover er det nødvendigt at bestemme, hvilke mønstre man skal kigge efter.

Da der ikke blev studeret mange mønstre i sjette klasse, måtte jeg læse gymnasiebøger. Derudover skulle jeg tage højde for, at naturen meget ofte bruger geometriske mønstre. Derfor var jeg ud over algebra-lærebøger nødt til at rette blikket mod geometri-lærebøger.

Matematiske mønstre fundet i naturen:

Gyldent snit. Fibonacci-tal (Archimedes-spiral). Samt andre typer spiraler.
Forskellige typer symmetri: central, aksial, roterende. Samt symmetri i levende og livløs natur.
Vinkler og geometriske former.
Fraktaler. Udtrykket fraktal kommer fra latin fraktus (brud, bryde), dvs. skabe uregelmæssigt formede fragmenter.
Aritmetisk og geometrisk progression.

Lad os se på de identificerede mønstre mere detaljeret, men i en lidt anden rækkefølge.

Det første, der fanger dit øje, er tilstedeværelsen symmetri i naturen. Oversat fra græsk betyder dette ord "proportionalitet, proportionalitet, ensartethed i arrangementet af dele." En matematisk streng idé om symmetri blev dannet relativt for nylig - i det 19. århundrede. I den enkleste fortolkning (ifølge G. Weil) ser den moderne definition af symmetri sådan ud: et objekt, der på en eller anden måde kan ændres, hvilket resulterer i det samme, som vi startede med, kaldes symmetrisk. .

I naturen er de to mest almindelige typer symmetri "spejl" og "stråle" ("radial") symmetri. Ud over et navn har disse typer symmetri dog andre. Så spejlsymmetri kaldes også: aksial, bilateral, bladsymmetri. Radial symmetri kaldes også radial symmetri.

Aksial symmetri forekommer oftest i vores verden. Huse, forskellige enheder, biler (udvendigt), mennesker (!) er alle symmetriske, eller næsten. Mennesker er symmetriske ved, at alle raske mennesker har to hænder, hver hånd har fem fingre; hvis du folder dine håndflader, vil det være som et spejlbillede.

Kontrol af symmetri er meget enkel. Det er nok at tage et spejl og placere det cirka i midten af objektet. Hvis den del af objektet, der er på den matte, ikke-reflekterende side af spejlet, matcher refleksionen, så er objektet symmetrisk.

Radial symmetri .Alt, der vokser eller bevæger sig lodret, dvs. op eller ned i forhold til jordens overflade, underlagt radial symmetri.

Mange planters blade og blomster har radial symmetri. (Fig. 1, bilag)

I tværsnit af væv, der danner en plantes rod eller stilk, er radial symmetri tydeligt synlig (kiwifrugt, træafskæring). Radial symmetri er karakteristisk for stillesiddende og vedhæftede former (koraller, hydra, vandmænd, søanemoner). (Fig. 2, bilag)

Rotationssymmetri . En rotation med et vist antal grader, ledsaget af translation over en afstand langs rotationsaksen, giver anledning til spiralformet symmetri - symmetrien af en vindeltrappe. Et eksempel på spiralformet symmetri er arrangementet af blade på stilken af mange planter. Solsikkehovedet har skud arrangeret i geometriske spiraler, der vikles af fra midten og udad. (Fig. 3, bilag)

Symmetri findes ikke kun i den levende natur. I den livløse natur Der er også eksempler på symmetri. Symmetri kommer til udtryk i de forskellige strukturer og fænomener i den uorganiske verden. Symmetrien af den ydre form af en krystal er en konsekvens af dens indre symmetri - det ordnede relative arrangement i rummet af atomer (molekyler).

Symmetrien af snefnuggene er meget smuk.

Men det skal siges, at naturen ikke tåler nøjagtig symmetri. Der er altid mindst mindre afvigelser. Vores arme, ben, øjne og ører er således ikke helt identiske med hinanden, selvom de minder meget om hinanden.

Gyldent snit.

Det gyldne snit undervises i øjeblikket ikke i 6. klasse. Men det er kendt, at det gyldne snit, eller gyldne proportion, er forholdet mellem en mindre del og en større, hvilket giver det samme resultat, når man deler hele segmentet i en større del og deler en større del i en mindre. Formel: A/B=B/C

Grundlæggende er forholdet 1/1,618. Det gyldne snit er meget almindeligt i dyreverdenen.

En person, kan man sige, "består" udelukkende af det gyldne snit. For eksempel er afstanden mellem øjnene (1.618) og mellem øjenbrynene (1) det gyldne snit. Og afstanden fra navlen til foden og højden vil også være den gyldne proportion. Hele vores krop er "oversået" med gyldne proportioner. (Fig. 5, bilag)

Vinkler og geometriske former De er også almindelige i naturen. Der er mærkbare vinkler, for eksempel er de tydeligt synlige i solsikkefrø, i honningkager, på insektvinger, i ahornblade osv. Et vandmolekyle har en vinkel på 104,7 0 C. Men der er også subtile vinkler. For eksempel i en solsikkeblomsterstand er frøene placeret i en vinkel på 137,5 grader i forhold til midten.

Geometriske figurer De så også alt i den levende og livløse natur, men de var lidt opmærksomme på dem. Som du ved, er en regnbue en del af en ellipse, hvis centrum er under jordoverfladen. Bladene af planter og blommefrugter har en elliptisk form. Selvom de nok kan beregnes ved hjælp af en mere kompleks formel. For eksempel denne (fig. 6, bilag):

Gran, nogle typer skaller og forskellige kogler er kegleformede. Nogle blomsterstande ligner enten en pyramide eller et oktaeder eller den samme kegle.

Den mest berømte naturlige sekskant er honeycomb (bi, hveps, humlebi osv.). I modsætning til mange andre former har de en næsten ideel form og adskiller sig kun i størrelsen af cellerne. Men hvis du er opmærksom, vil du bemærke, at insekternes sammensatte øjne også er tæt på denne form.

Grankogler minder meget om små cylindre.

Det er næsten umuligt at finde ideelle geometriske former i den livløse natur, men mange bjerge ligner pyramider med forskellige baser, og en sandspyd ligner en ellipse.

Og der er mange sådanne eksempler.

Jeg har allerede dækket det gyldne snit. Nu vil jeg rette opmærksomheden mod Fibonacci-tal og andre spiraler, som er tæt knyttet til det gyldne snit.

Spiraler er meget almindelige i naturen. Formen på den spiralkrøllede skal tiltrak sig Arkimedes' opmærksomhed (fig. 2). Han studerede det og fandt på en ligning for spiralen. Spiralen tegnet ifølge denne ligning kaldes ved hans navn. Stigningen i hendes skridt er altid ensartet. I øjeblikket er Archimedes-spiralen meget brugt i teknologi. (Fig. 7 bilag)

"Gyldne" spiraler er udbredt i den biologiske verden. Som nævnt ovenfor vokser dyrehorn kun fra den ene ende. Denne vækst sker i en logaritmisk spiral. I bogen "Curved Lines in Life" udforsker T. Cook de forskellige typer spiraler, der optræder i hornene på væddere, geder, antiloper og andre hornede dyr.

Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Botanikeres og matematikeres fælles arbejde har kastet lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at i arrangementet af blade på en gren - phyllotaxis, solsikkefrø, fyrrekogler, manifesterer Fibonacci-serien sig, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skræmt flok rensdyr spreder sig i en spiral.

Og endelig er informationsbærerne - DNA-molekyler - også snoet til en spiral. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Skalaerne af en fyrrekegle på dens overflade er arrangeret strengt regelmæssigt - langs to spiraler, der skærer omtrent i en ret vinkel.

Lad os dog vende tilbage til en valgt spiral - Fibonacci-tallene. Det er meget interessante tal. Tallet fås ved at tilføje de to foregående. Her er de indledende Fibonacci-tal for 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Og lad os se på nogle visuelle eksempler (slide 14).

Fraktalerblev åbnet for ikke så længe siden. Begrebet fraktal geometri dukkede op i 70'erne af det 20. århundrede. Nu er fraktaler aktivt kommet ind i vores liv, og selv en sådan retning som fraktalgrafik er ved at udvikle sig. (Fig. 8, bilag)

Fraktaler forekommer ret ofte i naturen. Dette fænomen er dog mere typisk for planter og livløs natur. For eksempel bregneblade, paraplyblomsterstande. I den livløse natur er disse lynnedslag, mønstre på vinduer, sne, der klæber til trægrene, elementer af kystlinjen og meget mere.

Geometrisk progression.

Geometrisk progression i sin mest grundlæggende definition er multiplikationen af det foregående tal med en koefficient.

Denne progression er til stede i encellede organismer. For eksempel er enhver celle delt i to, disse to er opdelt i fire osv. Det vil sige, at dette er en geometrisk progression med en koefficient på 2. Og i enkle vendinger stiger antallet af celler med 2 gange med hver deling.

Det er præcis det samme med bakterier. Division, fordobling af befolkningen.

Således studerede jeg de matematiske mønstre, der findes i naturen og gav relevante eksempler.

Det skal bemærkes, at i øjeblikket studeres matematiske love i naturen aktivt, og der er endda en videnskab kaldet biosymmetri. Den beskriver meget mere komplekse mønstre, end der blev overvejet i værket.

Udførelse af et videnskabeligt eksperiment.

Begrundelse for valg:

Katten blev valgt som forsøgsdyr af flere grunde:

Jeg har en kat derhjemme;

Jeg har fire af dem hjemme, så de opnåede data burde være mere nøjagtige, end når man studerer et dyr.

Eksperimentsekvens:

Måling af en kats krop.

Registrering af de opnåede resultater;

Søg efter matematiske mønstre.

Konklusioner baseret på de opnåede resultater.

Liste over ting at studere på en kat:

Symmetri;
Gyldne forhold;
Spiraler;
vinkler;
fraktaler;
Geometrisk progression.

Studiet af symmetri med katten som eksempel viste, at katten er symmetrisk. Type af symmetri – aksial, dvs. den er symmetrisk om aksen. Som det blev undersøgt i det teoretiske materiale, for en kat, som et mobilt dyr, er radial, central og rotationssymmetri ukarakteristisk.

For at studere det gyldne snit tog jeg mål af kattens krop og fotograferede den. Forholdet mellem kropsstørrelse med en hale og uden en hale, kroppe uden hale til hovedet kommer virkelig tæt på værdien af det gyldne snit.

65/39=1,67

39/24=1,625

I dette tilfælde er det nødvendigt at tage højde for målefejlen og den relative længde af ulden. Men under alle omstændigheder er de opnåede resultater tæt på værdien af 1,618. (Fig. 9, bilag).

Katten nægtede stædigt at lade hende måle, så jeg forsøgte at fotografere hende, kompilerede en skala med gyldne snit og lagde den oven på fotografier af katte. Nogle af resultaterne var meget interessante.

For eksempel:

højden af en siddende kat fra gulvet til hovedet og fra hovedet til "armhulen";
"karpale" og "albueforbindelser";
højde af siddende kat til hovedhøjde;
bredden af næsepartiet til bredden af næseryggen;
næsepartis højde til øjenhøjde;
næsebredde til næseborsbredde;

Jeg fandt kun én spiral i en kat - det er kløer. En lignende spiral kaldes en involut.

Man kan finde forskellige geometriske former i en kats krop, men jeg ledte efter vinkler. Kun kattens ører og kløer var kantede. Men kløerne, som jeg definerede tidligere, er spiraler. Formen af ørerne er mere som en pyramide.

Søgningen efter fraktaler på kattens krop gav ikke resultater, da den ikke har noget lignende og opdelt i de samme små detaljer. Alligevel er fraktaler mere karakteristiske for planter end for dyr, især pattedyr.

Men efter at have reflekteret over dette spørgsmål kom jeg til den konklusion, at der er fraktaler i en kats krop, men i den indre struktur. Da jeg endnu ikke havde studeret pattedyrs biologi, henvendte jeg mig til internettet og fandt følgende tegninger (fig. 10, bilag):

Takket være dem blev jeg overbevist om, at kredsløbs- og åndedrætssystemerne i en kat forgrener sig i henhold til loven om fraktaler.

Geometrisk progression er karakteristisk for reproduktionsprocessen, men ikke for kroppen. Aritmetisk progression er ikke typisk for katte, da en kat føder et vist antal killinger. En geometrisk progression i reproduktionen af katte kan sandsynligvis findes, men højst sandsynligt vil der være nogle komplekse koefficienter. Lad mig forklare mine tanker.

En kat begynder at føde killinger mellem 9 måneder og 2 år (alt afhænger af katten). Drægtighedsperioden er 64 dage. Katten ammer killinger i cirka 3 måneder, så i gennemsnit får hun 4 kuld om året. Antallet af killinger er fra 3 til 7. Som du kan se, kan visse mønstre fanges, men det er ikke en geometrisk progression. Parametrene er for vage.

Jeg fik disse resultater:

En kats krop indeholder: aksial symmetri, gyldne proportioner, spiraler (kløer), geometriske former (pyramideformede ører).

Der er ingen fraktaler eller geometrisk progression i udseendet.

En kats indre struktur hører mere til biologiområdet, men det skal bemærkes, at strukturen af lungerne og kredsløbssystemet (som andre dyr) adlyder fraktalernes logik.

Konklusion

I mit arbejde undersøgte jeg litteraturen om emnet og studerede de vigtigste teoretiske problemstillinger. Ved hjælp af et specifikt eksempel beviste han, at i naturen adlyder meget, hvis ikke alt, matematiske love.

Efter at have studeret materialet indså jeg, at for at forstå naturen skal du ikke kun kende matematik, du skal studere algebra, geometri og deres sektioner: stereometri, trigonometri osv.

Ved at bruge eksemplet med en huskat studerede jeg udførelsen af matematiske love. Som et resultat fandt jeg ud af, at kattens krop indeholder aksial symmetri, den gyldne proportion, spiraler, geometriske former og fraktaler (i den indre struktur). Men samtidig var han ikke i stand til at finde en geometrisk progression, selvom visse mønstre i kattes reproduktion var tydeligt synlige.

Og nu er jeg enig i sætningen: "Naturen er ikke så dum, at den ikke underordner alt matematikkens love."

Nogle gange ser det ud til, at vores verden er enkel og forståelig. Faktisk er dette universets store mysterium, som skabte sådan en perfekt planet. Eller måske er det skabt af en, der sikkert ved, hvad han laver? Vores tids største hoveder arbejder på dette spørgsmål.

Hver gang kommer de til den konklusion, at det er umuligt at skabe alt, hvad vi har uden det højere sind. Hvor er vores planet Jorden ekstraordinær, kompleks og på samme tid enkel og spontan! Verden omkring os er fantastisk med sine regler, former og farver.

Naturlove

Det første du kan være opmærksom på på vores enorme og fantastiske planet er, at den findes i alle former for den omgivende verden, og det er også det grundlæggende princip om skønhed, idealitet og proportionalitet. Dette er intet andet end matematik i naturen.

Begrebet "symmetri" betyder harmoni, korrekthed. Dette er en egenskab ved den omgivende virkelighed, der systematiserer fragmenter og forvandler dem til en enkelt helhed. Tilbage i det antikke Grækenland begyndte man for første gang at bemærke tegn på denne lov. For eksempel mente Platon, at skønhed udelukkende opstår som et resultat af symmetri og proportionalitet. Faktisk, hvis vi ser på objekter, der er proportionale, korrekte og komplette, så vil vores indre tilstand være smuk.

Matematikkens love i levende og livløs natur

Lad os se på enhver skabning, for eksempel den mest perfekte - mand. Vi vil se en kropsstruktur, der ser ens ud på begge sider. Du kan også nævne mange eksempler, såsom insekter, dyr, livet i havet, fugle. Hver art har sin egen farve.

Hvis et mønster eller design er til stede, er det kendt, at det spejles rundt om midterlinjen. Alle organismer er skabt takket være universets regler. Sådanne matematiske mønstre kan også spores i den livløse natur.

Hvis du er opmærksom på alle fænomener, såsom en tornado, regnbue, planter, snefnug, kan du finde meget til fælles i dem. Et relativt blad af et træ er delt i to, og hver del vil være en afspejling af den foregående.

Tager vi som eksempel en tornado, der rejser sig lodret og ligner en tragt, så kan den også deles i to helt ens halvdele. Du kan finde fænomenet symmetri i ændringen af dag og nat, årstider. Omverdenens love er matematik i naturen, som har sit eget perfekte system. Hele konceptet om skabelsen af universet hviler på det.

Regnbue

Vi tænker ikke ofte på naturfænomener. Det sneede eller regnede, solen kom frem eller tordenen slog ned - den sædvanlige tilstand med skiftende vejr. Overvej den flerfarvede bue, der normalt kan findes efter nedbør. En regnbue på himlen er et fantastisk naturfænomen, ledsaget af et spektrum af alle farver, der kun er synlige for det menneskelige øje. Dette sker på grund af, at solens stråler passerer gennem den afgående sky. Hver regndråbe fungerer som et prisme, der har optiske egenskaber. Vi kan sige, at hver dråbe er en lille regnbue.

Når strålerne passerer gennem en vandbarriere, ændrer de deres oprindelige farve. Hver lysstrøm har en vis længde og skygge. Det er derfor, vores øjne opfatter en regnbue som værende så farverig. Lad os bemærke et interessant faktum, at dette fænomen kun kan ses af mennesker. For det er bare en illusion.

Typer af regnbue

Regnbuer dannet af solen er de mest almindelige. Det er den lyseste af alle sorter. Består af syv primære farver: rød orange, gul, grøn, blå, indigo, violet. Men hvis vi ser på detaljerne, er der mange flere nuancer, end vores øjne kan se.
En regnbue skabt af månen opstår om natten. Det menes, at det altid kan ses. Men som praksis viser, observeres dette fænomen hovedsagelig kun i regnfulde områder eller nær store vandfald. Månens regnbues farver er meget svage. De er bestemt til kun at blive undersøgt ved hjælp af specialudstyr. Men selv med det kan vores øje kun se en stribe hvid.
Regnbuen, der dukker op som følge af tågen, er som en bred skinnende lysbue. Nogle gange forveksles denne type med den forrige. Farven kan være orange på toppen og en lilla nuance i bunden. Solens stråler, der passerer gennem tågen, danner et smukt naturfænomen.
optræder ekstremt sjældent på himlen. Den ligner ikke tidligere typer i sin vandrette form. Fænomenet er kun muligt over cirrusskyer. De strækker sig normalt i en højde på 8-10 kilometer. Vinklen, som regnbuen vil vise sig i al sin pragt, skal være mere end 58 grader. Farverne forbliver normalt de samme som i en solregnbue.

Gyldne snit (1,618)

Ideel proportionalitet kan oftest findes i dyreverdenen. De tildeles en andel, der er lig med roden af PHI-tallet svarende til en. Dette forhold er den forbindende kendsgerning for alle dyr på planeten. Antikkens store hjerner kaldte dette tal for den guddommelige proportion. Det kan også kaldes det gyldne snit.

Denne regel er fuldt ud i overensstemmelse med harmonien i den menneskelige struktur. For eksempel, hvis du bestemmer afstanden mellem øjne og øjenbryn, vil den være lig med den guddommelige konstant.

Det gyldne snit er et eksempel på, hvor vigtig matematik er i naturen, hvis lov begyndte at blive fulgt af designere, kunstnere, arkitekter og skabere af smukke og perfekte ting. De skaber ved hjælp af den guddommelige konstant deres kreationer, som har balance, harmoni og er behagelige at se på. Vores sind er i stand til at betragte smukke ting, genstande, fænomener, hvor der er et ulige forhold mellem dele. Vores hjerne kalder det gyldne snit proportionalitet.

DNA helix

Som den tyske videnskabsmand Hugo Weyl rigtigt bemærkede, kom symmetriens rødder gennem matematikken. Mange bemærkede perfektionen af de geometriske former og var opmærksomme på dem. For eksempel er en honeycomb intet andet end en sekskant skabt af naturen selv. Du kan også være opmærksom på grankoglerne, som har en cylindrisk form. Spiraler findes også ofte i den omgivende verden: horn fra store og små husdyr, bløddyrskaller, DNA-molekyler.

Skabt efter princippet om det gyldne snit. Det er forbindelsesleddet mellem diagrammet over den materielle krop og dets virkelige billede. Og hvis vi betragter hjernen, så er den ikke andet end en leder mellem krop og sind. Intelligens forbinder livet og formen for dets manifestation og lader livet indeholdt i formen kende sig selv. Ved hjælp af dette er det muligt for menneskeheden at forstå den omgivende planet, lede efter mønstre i den, som så gælder for studiet af den indre verden.

Opdeling i naturen

Celle mitose består af fire faser:

Profase. Kernen i det øges. Kromosomer dukker op, som begynder at sno sig til en spiral og bliver til deres sædvanlige form. Der dannes et sted for celledeling. Ved slutningen af fasen opløses kernen og dens skal, og kromosomerne strømmer ind i cytoplasmaet. Dette er den længste fase af divisionen.
Metafase. Her slutter kromosomernes spiraldannelse, og de danner metafasepladen. Kromatiderne er placeret over for hinanden som forberedelse til deling. Mellem dem opstår der et sted for afbrydelse - en spindel. Dette afslutter anden fase.

Anafase. Kromatiderne divergerer i modsatte retninger. Cellen har nu to sæt kromosomer på grund af deres deling. Denne fase er meget kort.
Telofase. I hver halvdel af cellen dannes en kerne, inden for hvilken der dannes en kerne. Cytoplasmaet dissocieres aktivt. Spindlen forsvinder gradvist.

Betydning af mitose

På grund af den unikke delingsmetode har hver efterfølgende celle efter reproduktion den samme sammensætning af gener som sin mor. Begge celler modtager den samme kromosomsammensætning. Dette kunne ikke lade sig gøre uden en sådan videnskab som geometri. Progression i mitose er vigtig, fordi dette er princippet, hvorved alle celler formerer sig.

Hvor kommer mutationer fra?

Denne proces sikrer en konstant forsyning af kromosomer og genetiske materialer i hver celle. På grund af mitose udvikler kroppen, reproducerer og regenererer. I tilfælde af en forstyrrelse på grund af virkningen af nogle giftstoffer, kan kromosomerne ikke adskilles i deres halvdele, eller de kan udvise strukturelle forstyrrelser. Dette vil være en klar indikator for begyndende mutationer.

Opsummering

Hvad har matematik og natur til fælles? Du finder svaret på dette spørgsmål i vores artikel. Og hvis du graver dybere, må du sige, at gennem at studere verden omkring os, lærer en person sig selv at kende. Uden ham, der fødte alt levende, kunne intet være sket. Naturen er udelukkende i harmoni, i den strenge rækkefølge af dens love. Er alt dette muligt uden grund?

Lad os citere videnskabsmanden, filosoffen, matematikeren og fysikeren Henri Poincarés udsagn, der som ingen anden kan svare på spørgsmålet om, hvorvidt matematik i naturen virkelig er fundamental. Nogle materialister kan måske ikke lide et sådant ræsonnement, men det er usandsynligt, at de ville være i stand til at tilbagevise det. Poincaré siger, at den harmoni, som det menneskelige sind ønsker at opdage i naturen, ikke kan eksistere uden for den. som er til stede i hovedet på mindst nogle få individer, kan være tilgængelig for hele menneskeheden. Forbindelsen, der samler mental aktivitet, kaldes verdens harmoni. For nylig har der været kolossale fremskridt hen imod en sådan proces, men de er meget små. Disse forbindelser, der forbinder universet og individet, bør være værdifulde for ethvert menneskeligt sind, der er følsomt over for disse processer.

Introduktion. 2

Kapitel 1. Matematiske love for levende natur. 3

Kapitel 2. Principper for formdannelse i naturen 5

Kapitel 3. Gyldne snit 8

Kapitel 4. Escher's Geometric Rhapsody. 15

Kapitel 5. Transcendentalt tal   18

Liste over brugt litteratur. 20

Introduktion.

Med et overfladisk bekendtskab med matematik kan det virke som en uforståelig labyrint af formler, numeriske afhængigheder og logiske veje. Tilfældige besøgende, der ikke har kendt den sande værdi af matematiske skatte, bliver skræmt af det tørre skema af matematiske abstraktioner, hvorigennem matematikeren ser virkelighedens levende flerfarve.

Enhver, der har forstået matematikkens vidunderlige verden, forbliver ikke kun en entusiastisk betragter af dens skatte. Han stræber selv efter at skabe nye matematiske objekter, på udkig efter måder at løse nye problemer på, eller nye, mere avancerede løsninger på allerede løste problemer. Mere end 300 beviser for Pythagoras sætning, snesevis af ikke-klassiske kvadraturer af cirklen, trisektioner af en vinkel og fordoblinger af en terning er allerede blevet fundet og offentliggjort.

Men en rastløs, videbegærlig tanke fører til nye søgninger. Samtidig tiltrækker søgen efter det endnu mere end selve resultatet. Dette er naturligt. Når alt kommer til alt, er vejen til at løse ethvert tilstrækkeligt meningsfuldt problem altid en fantastisk kæde af konklusioner, cementeret af logikkens lov.

Matematisk kreativitet er ægte kreativitet i sindet. Her er, hvad den sovjetiske matematiker G.D. Suvorov skrev: "En sætning, skrevet logisk upåklageligt, ser virkelig ud til at være blottet for enhver poetisk begyndelse og synes ikke at være frugten af en brændende fantasi, men et dystert barn af moderlogik. Men ingen ved, undtagen videnskabsmanden, hvilken hvirvelvind af fantasier og poetiske flyvninger, der faktisk fødte denne teorem. Hun var trods alt en bevinget, eksotisk sommerfugl, før hun blev fanget, lullet af logik og sat fast på papiret med bevisnåle!" Det er naturligt, at K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. Kolmogorov og andre fremragende matematikere i deres erindringer talte om den store glæde, den ægte æstetiske nydelse, som de oplevede, mens de ledte efter svar på uløste problemer, at for dem var de veje. ind i det ukendte. Fordi de kom til disse løsninger for første gang, og matematikken gav dem det fulde mål af pionerernes glæde.

I nogle problemer, blandt mange veje til svaret, er der en, den mest uventede, ofte omhyggeligt "forklædt" og som regel den smukkeste og mest ønskværdige. Det er en stor glæde at finde den og gå langs den. Søgningen efter sådanne løsninger, evnen til at gå ud over mulighederne for allerede kendte algoritmer, er en ægte æstetisk matematisk kreativitet.
^

Kapitel 1. Matematiske love for levende natur.

Dyrelivet udviser adskillige symmetriske former for organismer. I mange tilfælde suppleres organismens symmetriske form af farverige, symmetriske farver.

Den lille birkesnudebille, der knap når 4 mm, kan naturligvis ikke højere matematik. Men når han laver en vugge til sit afkom, "tegner" eller rettere udskærer han en udvikling på et blad af træ - en kurve, der repræsenterer mange krumningscentre for bladet. Selve kanten af bladet vil være uvoldige i forhold til kurven, som er skåret af snudebillen.

Arkitekturen af honeycomb-cellen er underlagt komplekse geometriske mønstre.

Teoretiske kurver og fasekurve for fluktuationer i bestandstal i aggregatet af to interagerende arter (biocenose) "rovdyr-bytte".

Vito Voltaire (1860-1940) er en fremragende italiensk matematiker. Konstruerede en teori om dynamikken i biologiske populationer,

hvor han anvendte differentialligningsmetoden.

Ligesom de fleste matematiske modeller af biologiske fænomener er den baseret på mange simplificerende antagelser.

I Når man hopper, beskriver dyrenes massecenter en velkendt figur - en kvadratisk parabel, hvis grene vender nedad: y=akse 2, a>1, a

Konturerne af bladene på mange planter er smukke. Med stor nøjagtighed er deres former beskrevet af elegante ligninger i det polære eller kartesiske koordinatsystem.

Kapitel 2. Principper for formdannelse i naturen

Alt, der antog en eller anden form, blev dannet, voksede, stræbte efter at tage plads i rummet og bevare sig selv. Dette ønske realiseres hovedsageligt i to muligheder - at vokse opad eller sprede sig over jordens overflade og sno sig i en spiral.

Skallen er snoet i en spiral. Folder du den ud, får du en længde lidt kortere end slangens længde. En lille skal på ti centimeter har en spiral på 35 cm. Spiraler er meget almindelige i naturen.

Formen på den spiralkrøllede skal tiltrak Archimedes opmærksomhed. Han studerede det og fandt på en ligning for spiralen. Spiralen tegnet ifølge denne ligning kaldes ved hans navn. Stigningen i hendes skridt er altid ensartet. I øjeblikket er Archimedes-spiralen meget brugt i teknologi.

Goethe fremhævede også naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skræmt flok rensdyr spreder sig i en spiral. DNA-molekylet er snoet i en dobbelt helix. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Skallerne af bløddyrene Nautilus, Haliotis og andre er dannet i form af en logaritmisk spiral: p=ae b φ .

Blade på unge skud af planter er arrangeret i en rumlig spiral. Og ser vi på dem ovenfra, vil vi finde en anden spiral, da de også er placeret for ikke at forstyrre hinandens opfattelse af sollys. Afstandene mellem individuelle blade er karakteriseret ved Fibonacci-serietallene: 1,1,2,3,5,8,...,u n, u n +1,..., hvor u n =u n -1 +u n -2.

I en solsikke er frøene arrangeret i karakteristiske buer tæt på to familier af logaritmiske spiraler.

Naturen favoriserede den logaritmiske spiral på grund af de mange bemærkelsesværdige egenskaber ved denne kurve. For eksempel ændres det ikke under lighedstransformation.

Kroppen behøver derfor ikke at genopbygge sin krops arkitektur under vækstprocessen.

Et slående eksempel på asymmetrien af levende ting på submolekylært niveau er den sekundære form for materielle bærere af arvelig information - det gigantiske DNA-molekyles dobbelthelix. Men DNA er allerede en helix viklet omkring et nukleosom; det er en dobbelt helix. Livet opstår i en uhåndgribelig, forbløffende præcis proces med at implementere naturens planer, arkitekten, ifølge hvilke proteinmolekyler er bygget.

Edderkoppen væver sin fælde i form af en kompleks transcendental kurve - en logaritmisk spiral p=ae b φ

Kapitel 3. Gyldne snit

En person skelner genstande omkring ham ved deres form. Interessen for et objekts form kan dikteres af vital nødvendighed, eller det kan være forårsaget af formens skønhed. Formen, hvis konstruktion er baseret på en kombination af symmetri og det gyldne snit, bidrager til den bedste visuelle opfattelse og fremkomsten af en følelse af skønhed og harmoni. Helheden består altid af dele, dele af forskellig størrelse står i et vist forhold til hinanden og til helheden. Princippet om det gyldne snit er den højeste manifestation af den strukturelle og funktionelle perfektion af helheden og dens dele i kunst, videnskab, teknologi og natur.

I matematik er proportion (lat. proportio) ligheden mellem to forhold: a: b = c: d.

Et lige linjestykke AB kan opdeles i to dele på følgende måder:

i to lige store dele – AB: AC = AB: BC;
i to ulige dele i enhver henseende (sådanne dele danner ikke proportioner);
således, når AB: AC = AC: BC.

Sidstnævnte er den gyldne opdeling eller opdeling af et segment i ekstreme og gennemsnitlige forhold.

^ Gyldne snit- dette er en sådan proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet vedrører den største del, mens den største del selv vedrører den mindre; eller med andre ord, det mindre segment er til det større, som det større er for helheden

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Geometrisk billede af det gyldne snit

P Praktisk bekendtskab med det gyldne snit begynder med at dele et lige linjesegment i den gyldne proportion ved hjælp af et kompas og lineal. Opdeling af et lige linjestykke ved hjælp af det gyldne snit. BC = 1/2 AB; CD = BC

Fra punkt B genoprettes en vinkelret lig med halvdelen AB. Det resulterende punkt C er forbundet med en linje til punktet A. På den resulterende linje lægges et stykke BC, der slutter med punktet D. Stikstykket AD overføres til den rette linje AB. Det resulterende punkt E deler segmentet AB i den gyldne proportion.

Segmenter af det gyldne forhold udtrykkes ved den uendelige irrationelle fraktion AE = 0,618..., hvis AB tages som én, BE = 0,382... Til praktiske formål bruges der ofte omtrentlige værdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tages til at være 100 dele, så er den største del af segmentet 62, og den mindre del er 38 dele.

Egenskaberne for det gyldne snit er beskrevet ved ligningen:

x 2 – x – 1 = 0.

Løsning til denne ligning:

Egenskaberne ved det gyldne snit har skabt en romantisk aura af mystik og næsten mystisk tilbedelse omkring dette nummer.
^ Historien om det gyldne snit
Det er almindeligt accepteret, at begrebet den gyldne opdeling blev introduceret til videnskabelig brug af Pythagoras, en oldgræsk filosof og matematiker (VI århundrede f.Kr.). Der er en antagelse om, at Pythagoras lånte sin viden om den gyldne opdeling fra egypterne og babylonierne. Faktisk indikerer proportionerne af Cheops-pyramiden, templerne, basrelieffer, husholdningsartikler og smykker fra Tutankhamons grav, at egyptiske håndværkere brugte forholdet mellem den gyldne division, da de skabte dem. Den franske arkitekt Le Corbusier fandt ud af, at i relieffet fra farao Seti I's tempel i Abydos og i relieffet, der afbilder farao Ramses, svarer figurernes proportioner til værdierne af den gyldne division. Arkitekten Khesira, afbildet på et relief af en træplade fra en grav opkaldt efter ham, holder i sine hænder måleinstrumenter, hvor proportionerne af den gyldne division er registreret.

Grækerne var dygtige geometre. De underviste endda deres børn i regne ved hjælp af geometriske figurer. Pythagoras kvadrat og diagonalen af denne firkant var grundlaget for konstruktionen af dynamiske rektangler.

^ Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) kendte også til den gyldne division. Hans dialog "Timaeus" er viet til de matematiske og æstetiske synspunkter i den pythagoræiske skole og i særdeleshed til spørgsmålene om den gyldne opdeling.

Facaden på det antikke græske tempel Parthenon har gyldne proportioner. Under dens udgravninger blev der opdaget kompasser, der blev brugt af arkitekter og billedhuggere fra den antikke verden. Det pompeianske kompas (museum i Napoli) indeholder også proportionerne af den gyldne inddeling.

I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, blev den gyldne inddeling først nævnt i Euklids elementer. I den 2. bog af "Principlene" er den geometriske konstruktion af den gyldne inddeling angivet. Efter Euklid blev studiet af den gyldne inddeling udført af Hypsicles (2. århundrede f.Kr.), Pappus (III århundrede e.Kr.) og andre. I middelalderens Europa, med den gyldne opdeling Vi mødtes gennem arabiske oversættelser af Euklids elementer. Oversætteren J. Campano fra Navarra (III århundrede) fremsatte kommentarer til oversættelsen. Hemmelighederne bag den gyldne division blev nidkært bevogtet og holdt i streng hemmelighed. De var kun kendt af indviede.

Under renæssancen steg interessen for den gyldne opdeling blandt videnskabsmænd og kunstnere på grund af dens anvendelse i både geometri og kunst, især inden for arkitektur.Leonardo da Vinci, en kunstner og videnskabsmand, så, at italienske kunstnere havde meget empirisk erfaring, men kun lidt viden . Han undfangede og begyndte at skrive en bog om geometri, men på det tidspunkt dukkede en bog af munken Luca Pacioli op, og Leonardo opgav sin idé. Ifølge samtidige og videnskabshistorikere var Luca Pacioli en rigtig lyskilde, Italiens største matematiker i perioden mellem Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev af kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøger, hvoraf den ene hed "On Perspective in Painting." Han betragtes som skaberen af beskrivende geometri.

Luca Pacioli forstod perfekt videnskabens betydning for kunsten. I 1496 kom han på invitation af hertugen af Moreau til Milano, hvor han holdt foredrag om matematik. Leonardo da Vinci arbejdede også i Milano ved Moro-hoffet på det tidspunkt. I 1509 blev Luca Paciolis bog "The Divine Proportion" udgivet i Venedig med glimrende udførte illustrationer, hvorfor det menes, at de er lavet af Leonardo da Vinci. Bogen var en begejstret salme til det gyldne snit. Blandt de mange fordele ved den gyldne proportion undlod munken Luca Pacioli ikke at nævne dens "guddommelige essens" som et udtryk for den guddommelige treenighed - Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Helligånden (det blev antydet, at den lille segment er personificeringen af Gud Sønnen, det større segment er Faderens Gud, og hele segmentet - Helligåndens Gud).

Leonardo da Vinci var også meget opmærksom på studiet af den gyldne division. Han lavede sektioner af en stereometrisk krop dannet af regulære femkanter, og hver gang fik han rektangler med aspektforhold i den gyldne division. Derfor gav han denne inddeling navnet gyldne snit. Så det forbliver stadig som det mest populære.

Samtidig arbejdede Albrecht Dürer i det nordlige Europa, i Tyskland, med de samme problemer. Han skitserer indledningen til den første version af afhandlingen om proportioner. Dürer skriver. ”Det er nødvendigt, at en, der ved, hvordan man gør noget, skal lære det til andre, der har brug for det. Det er, hvad jeg satte mig for at gøre."

At dømme efter et af Dürers breve mødtes han med Luca Pacioli, mens han var i Italien. Albrecht Durer udvikler i detaljer teorien om proportioner af den menneskelige krop. Dürer tildelte det gyldne snit en vigtig plads i sit system af relationer. En persons højde er opdelt i gyldne proportioner af bæltets linje, såvel som af en linje trukket gennem spidserne af langfingrene på de sænkede hænder, den nederste del af ansigtet ved munden osv. Dürers proportionalkompas er velkendt.

Stor astronom fra det 16. århundrede. Johannes Kepler kaldte det gyldne snit for en af geometriens skatte. Han var den første til at henlede opmærksomheden på vigtigheden af den gyldne proportion for botanik (plantevækst og deres struktur).

I de efterfølgende århundreder blev reglen om den gyldne proportion til en akademisk kanon, og da kampen mod den akademiske rutine med tiden begyndte i kunsten, "smed de i kampens hede barnet ud med badevandet." Det gyldne snit blev "opdaget" igen i midten af 1800-tallet. I 1855 udgav den tyske forsker i det gyldne snit, professor Zeising, sit værk "Aesthetic Studies". Det, der skete med Zeising, var præcis, hvad der uundgåeligt skulle ske for en forsker, der betragter et fænomen som sådan, uden sammenhæng med andre fænomener. Han absolutiserede andelen af det gyldne snit og erklærede det universelt for alle natur- og kunstfænomener. Zeising havde adskillige tilhængere, men der var også modstandere, der erklærede hans doktrin om proportioner for at være "matematisk æstetik."

^ Gyldne proportioner i den menneskelige figur
Zeising gjorde et fantastisk stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe og kom til den konklusion, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. Opdelingen af kroppen med navlepunktet er den vigtigste indikator for det gyldne snit. Andelene af den mandlige krop svinger inden for det gennemsnitlige forhold på 13: 8 = 1,625 og er noget tættere på det gyldne snit end proportionerne af den kvindelige krop, i forhold til hvilket den gennemsnitlige værdi af andelen er udtrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder af 13 er den 1,6, og i en alder af 21 er den lig med en mands. Proportionerne af det gyldne snit viser sig også i forhold til andre dele af kroppen - længden af skulder, underarm og hånd, hånd og fingre mv.

^ Gyldne proportioner i dele af den menneskelige krop
I slutningen af det 19. – begyndelsen af det 20. århundrede. Der dukkede mange rent formalistiske teorier op om brugen af det gyldne snit i kunstværker og arkitektur. Med udviklingen af design og teknisk æstetik udvidede loven om det gyldne snit til design af biler, møbler mv.

Blandt vejkantens urter vokser en umærkelig plante - cikorie. Lad os se nærmere på det. Et skud er dannet fra hovedstammen. Det første blad var placeret lige der.

Cikorie

Skuddet laver et kraftigt udkast ud i rummet, stopper, udløser et blad, men denne gang er det kortere end det første, laver igen et udkast ud i rummet, men med mindre kraft, udløser et blad af endnu mindre størrelse og skydes ud igen . Hvis den første emission tages som 100 enheder, så er den anden lig med 62 enheder, den tredje - 38, den fjerde - 24 osv. Længden af kronbladene er også underlagt den gyldne proportion. I at vokse og erobre plads, opretholdt planten visse proportioner. Impulserne fra dens vækst faldt gradvist i forhold til det gyldne snit.

^ Viviparøs firben

Ved første øjekast har firbenet proportioner, der er behagelige for vores øjne - længden af dens hale er relateret til længden af resten af kroppen, som 62 til 38.

Naturen har udført opdeling i symmetriske dele og gyldne proportioner. Delene afslører en gentagelse af helhedens struktur.
^ Fugleæg

Den store Goethe, en digter, naturforsker og kunstner (han tegnede og malede i akvareller), drømte om at skabe en samlet doktrin om form, dannelse og transformation af organiske legemer.

Pierre Curie formulerede i begyndelsen af dette århundrede en række dybe ideer om symmetri. Han argumenterede for, at man ikke kan overveje symmetrien af nogen krop uden at tage hensyn til miljøets symmetri.

Lovene om "gyldne" symmetri manifesteres i energiovergangene af elementarpartikler, i strukturen af nogle kemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturer af levende organismer. Disse mønstre, som angivet ovenfor, eksisterer i strukturen af individuelle menneskelige organer og kroppen som helhed og manifesterer sig også i hjernens biorytmer og funktion og visuel perception.

Det gyldne snit kan ikke betragtes alene, separat, uden forbindelse med symmetri. Den store russiske krystallograf G.V. Wulf (1863...1925) anså det gyldne snit for at være et af symmetriens manifestationer.

Kapitel 4. Escher's Geometric Rhapsody.

Den hollandske kunstner Maur Cornelius Escher (1898-1971) skabte en hel verden af visuelle billeder, der afslører de grundlæggende ideer og love i matematik, fysik og de psykologiske karakteristika ved menneskelig opfattelse af virkelighedens objekter i det tredimensionelle rum omkring os.

Ubegrænset plads, spejlbilleder, modsætninger mellem fly og rum - alle disse koncepter er legemliggjort i mindeværdige billeder fyldt med særlig charme. Firben repræsenterer visuelt de geometriske kortlægninger, der blev studeret i gymnasiet.

Ryttere giver en fremragende visuel repræsentation af parallel overførsel, symmetri og fylder hele planet med figurer af kompleks konfiguration.

"Terning og magiske bånd." Belvedere bånd - ikke bare -

virkelig magisk: en geometrisk joke, men en helhed

"fremtrædende" på dem kan være et kompleks af overraskelser,

overveje tegnet og konveksiteten, der genereres af funktioner og konkavitet. menneskets opfattelse af objekter

Det er nok at ændre synspunktet i tredimensionelt rum.

hvordan båndene straks vrider sig
Maurits Cornelius Escher skabte et unikt galleri af malerier, der hører til både kunst og videnskab. De illustrerer Einsteins relativitetsteori, stoffets struktur, geometriske transformationer, topologi, krystallografi og fysik. Dette bevises af titlerne på nogle af kunstnerens albums: "Unlimited Space", "Mirror Images", "Inversions", "Polyhedrons", "Relativity", "Contradictions between plane and space", "Impossible Constructions".

"Jeg føler mig ofte tættere på matematikere end på mine kunstnerkolleger," skrev Escher. Faktisk er hans malerier usædvanlige, de er fyldt med dyb filosofisk mening og formidler komplekse matematiske forhold. Reproduktioner af Eschers malerier er meget brugt som illustrationer i videnskabelige og populærvidenskabelige bøger.

Kapitel 5. Transcendentalt tal  

Tallets natur  er et af de største mysterier i matematik. Intuition antydede, at længden af en cirkel og dens diameter er lige forståelige størrelser.

I løbet af de sidste to århundreder har mange videnskabsmænd været involveret i beregningen af hundredvis af decimaler.

I bogen "Nightmares of Eminent Personalities" skrev den berømte engelske matematiker og filosof Bertrand Russell: "Pis ansigt var skjult af en maske. Alle forstod, at ingen ville være i stand til at rive den ned og stadig være i live. Gennem maskens slidser så øjnene gennemtrængende, nådesløst, koldt og mystisk ud.” Det er måske for patetisk at beskrive et matematisk begreb, men generelt er det sandt. Faktisk er historien om tallet  de spændende sider af den århundredgamle sejrsmarch for matematisk tanke, sandhedens opdagelses utrættelige arbejde. Der var triumfer af sejre undervejs, der var bitre nederlag, dramatiske sammenstød og komiske misforståelser. Forskere har udført et gigantisk arbejde med at søge og afsløre den aritmetiske karakter af et af de mest umedgørlige, mystiske og populære tal - tallet angivet med det græske bogstav .

Sumerisk-babylonske matematikere beregnede omkredsen og arealet af en cirkel med tilnærmelser, der svarer til værdien =3, de kendte også en mere nøjagtig tilnærmelse =3 1/8. I Raine (Ahmes) papyrus er det angivet, at arealet af en cirkel er (8/9*2R) 2 =256/81R 2

Det betyder, at ≈3.1605… .
Archimedes var den første til at sætte problemet med at beregne omkredsen og arealet af en cirkel på et videnskabeligt grundlag. Så r =  > 48a 96 ≈3.1410>3 10/71

Videnskabsmanden beregnede den øvre grænse (3 1/7): 3 10/71≈3.14084...Den usbekiske matematiker og astronom al-Kashi, som arbejdede i det videnskabelige center for den berømte matematiker og astronom Ulugbek, beregnede tallet 2 med en nøjagtighed på 16 korrekte decimaler: 2=6.283 185 307 179 5866.

Ved at fordoble antallet af sider af regulære polygoner indskrevet i en cirkel, opnåede han en polygon med 800.355.168 sider.

Den hollandske matematiker Ludolf Van Zeijlen (1540-1610) beregnede 35 decimaler  og testamenterede denne værdi til at blive udskåret på hans gravmonument.

En af de smukkeste kvadraturer i cirklen, lavet af den polske matematiker A.A. Kohanski (1631-1700).

Alle konstruktioner udføres med samme kompasløsning og fører hurtigt til en ret god tilnærmelse af tallet.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) - tysk matematiker, fysiker, astronom og filosof. Jeg tog det afgørende skridt mod at løse tallet . I 1766

han beviste irrationaliteten af tallet . Resultatet af at afsløre tallets hemmelighed blev opsummeret af den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939).

I 1882 han beviste, at tallet  er transcendentalt. Således blev umuligheden af at kvadrere en cirkel i den klassiske formulering af dette problem bevist.

Tilfældige hændelser: de blev realiseret ved at kaste en nål og hjalp også videnskabsmænd med at beregne tallet  med ret høj nøjagtighed.
Denne opgave blev først stillet og udført af den franske naturforsker Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788).

På samme måde fandt den schweiziske astronom og matematiker Rudolf Wolf (1816-1896) som et resultat af 5 tusinde nålekast, at  = 3,1596.

Andre videnskabsmænd opnåede følgende resultater: med 3204 kast =3,1533; med 3408 kast =3,141593.

Liste over brugt litteratur.

1. Encyklopædisk ordbog over en ung matematiker

2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Lige linjer og kurver. - M.: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Fantastiske kurver. – M., Nauka, 1978

4. Stroik D.Ya. En kort oversigt over matematikkens historie. – M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen., M., Uddannelse, 1982

6. Gardner M. Matematiske mirakler og hemmeligheder. M., Mir. 1978

Kovalev F.V. Det gyldne snit i maleriet. K.: Vyshcha Skole, 1989.
Kepler I. Om sekskantede snefnug. – M., 1982.
Durer A. Dagbøger, breve, afhandlinger - L., M., 1957.
Tsekov-Blyant Ts. Om det andet gyldne snit. – Sofia, 1983.
Stakhov A. Koder for den gyldne proportion.