Inhomogen differentialligning af anden orden. Lineære inhomogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter

Foredraget omhandler LNDE - lineære inhomogene differentialligninger. Strukturen af ​​den generelle løsning, løsningen af ​​LNDE ved hjælp af metoden til variation af vilkårlige konstanter, løsningen af ​​LNDE med konstante koefficienter og en højre side af en speciel form tages i betragtning. De emner, der overvejes, bruges i studiet af tvangssvingninger i fysik, elektroteknik og elektronik, og teorien om automatisk kontrol.

1. Strukturen af ​​den generelle løsning af en lineær inhomogen differentialligning af 2. orden.

Overvej først en lineær inhomogen ligning af vilkårlig orden:

Givet notationen kan vi skrive:

I dette tilfælde vil vi antage, at koefficienterne og højre side af denne ligning er kontinuerte på et bestemt interval.

Sætning. Den generelle løsning af en lineær inhomogen differentialligning i et eller andet domæne er summen af ​​enhver af dens løsninger og den generelle løsning af den tilsvarende lineære homogene differentialligning.

Bevis. Lad Y være en løsning af en inhomogen ligning.

Når vi derefter erstatter denne løsning i den oprindelige ligning, opnår vi identiteten:

Lade
- grundlæggende system af løsninger af en lineær homogen ligning
. Så kan den generelle løsning af den homogene ligning skrives som:

Især for en lineær inhomogen differentialligning af 2. orden har strukturen af ​​den generelle løsning formen:

hvor
er det grundlæggende system af løsninger af den tilsvarende homogene ligning, og
- enhver bestemt løsning af den inhomogene ligning.

For at løse en lineær inhomogen differentialligning er det således nødvendigt at finde en generel løsning af den tilsvarende homogene ligning og på en eller anden måde finde en bestemt løsning af den inhomogene ligning. Normalt findes det ved udvælgelse. Metoderne til at vælge en bestemt løsning vil blive overvejet i de følgende spørgsmål.

2. Variationsmetode

I praksis er det praktisk at anvende metoden til variation af vilkårlige konstanter.

For at gøre dette skal du først finde den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning i formen:

Indstil derefter koefficienterne C jeg funktioner fra x, søges løsningen af ​​den inhomogene ligning:

Det kan vises, at for at finde funktionerne C jeg (x) du skal løse ligningssystemet:

Eksempel. løse ligningen

Vi løser en lineær homogen ligning

Løsningen af ​​den inhomogene ligning vil se sådan ud:

Vi sammensætter et ligningssystem:

Lad os løse dette system:

Ud fra relationen finder vi funktionen Åh).

Nu finder vi B(x).

Vi erstatter de opnåede værdier i formlen for den generelle løsning af den inhomogene ligning:

Endeligt svar:

Generelt er metoden til variation af vilkårlige konstanter egnet til at finde løsninger til enhver lineær inhomogen ligning. Men siden at finde det grundlæggende system af løsninger af den tilsvarende homogene ligning kan være en ganske vanskelig opgave, denne metode bruges hovedsageligt til ikke-homogene ligninger med konstante koefficienter.

3. Ligninger med højre side af en speciel form

Det synes muligt at repræsentere formen af ​​en bestemt løsning afhængigt af formen på højre side af den inhomogene ligning.

Der er følgende tilfælde:

I. Den højre side af den lineære inhomogene differentialligning har formen:

hvor er et gradpolynomium m.

Derefter søges en bestemt løsning i form:

Her Q(x) er et polynomium af samme grad som P(x) , men med udefinerede koefficienter, og r- et tal, der viser, hvor mange gange tallet  er roden af ​​den karakteristiske ligning for den tilsvarende lineære homogene differentialligning.

Eksempel. løse ligningen
.

Vi løser den tilsvarende homogene ligning:

Lad os nu finde en bestemt løsning af den oprindelige inhomogene ligning.

Lad os sammenligne højre side af ligningen med formen af ​​højre side diskuteret ovenfor.

Vi leder efter en særlig løsning i form af:
, hvor

De der.

Nu definerer vi de ukendte koefficienter MEN og PÅ.

Lad os erstatte en bestemt løsning i generel form med den oprindelige inhomogene differentialligning.

Så en privat løsning:

Så den generelle løsning af den lineære inhomogene differentialligning:

II. Den højre side af den lineære inhomogene differentialligning har formen:

Her R 1 (X) og R 2 (X) er gradspolynomier m 1 og m 2 henholdsvis.

Så vil den særlige løsning af den inhomogene ligning have formen:

hvor nummer r viser hvor mange gange et tal
er roden af ​​den karakteristiske ligning for den tilsvarende homogene ligning, og Q 1 (x) og Q 2 (x) – højst gradspolynomier m, hvor m- den største af graderne m 1 og m 2 .

Oversigtstabel over typer af bestemte løsninger

til forskellige slags rigtige dele

Bemærk, at hvis højre side af ligningen er en kombination af udtryk af formen betragtet ovenfor, så findes løsningen som en kombination af løsninger af hjælpeligninger, som hver har en højre side svarende til det udtryk, der er inkluderet i kombinationen.

De der. hvis ligningen ser sådan ud:
, så vil en bestemt løsning af denne ligning være
hvor på 1 og på 2 er særlige løsninger af hjælpeligninger

og

For at illustrere det, lad os løse ovenstående eksempel på en anden måde.

Eksempel. løse ligningen

Vi repræsenterer højre side af differentialligningen som summen af ​​to funktioner f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- synd x).

Vi sammensætter og løser den karakteristiske ligning:

Vi får: Dvs.

I alt:

De der. den ønskede særlige løsning har formen:

Den generelle løsning af den inhomogene differentialligning:

Lad os overveje eksempler på anvendelse af de beskrevne metoder.

Eksempel 1.. løse ligningen

Lad os sammensætte en karakteristisk ligning for den tilsvarende lineære homogene differentialligning:

Nu finder vi en bestemt løsning af den inhomogene ligning på formen:

Lad os bruge metoden med ubestemte koefficienter.

Substituerer vi den oprindelige ligning, får vi:

Den særlige løsning ser sådan ud:

Den generelle løsning af den lineære inhomogene ligning:

Eksempel. løse ligningen

Karakteristisk ligning:

Den generelle løsning af den homogene ligning:

Særlig løsning af den inhomogene ligning:
.

Vi finder derivaterne og erstatter dem i den oprindelige inhomogene ligning:

Vi får den generelle løsning af den inhomogene differentialligning:

Inhomogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter

Opbygning af den generelle løsning En lineær inhomogen ligning af denne type har formen: hvor s, q− konstante tal (som kan være både reelle og komplekse). For hver sådan ligning kan man skrive den tilsvarende homogen ligning: Sætning: Den generelle løsning af den inhomogene ligning er summen af ​​den generelle løsning y 0 (x) af den tilsvarende homogene ligning og en bestemt løsning y 1 (x) af den inhomogene ligning: Nedenfor betragter vi to metoder til løsning af ikke-homogene differentialligninger. Konstant variationsmetode Hvis den generelle løsning y 0 af den tilhørende homogene ligning er kendt, så kan den generelle løsning af den inhomogene ligning findes vha. konstant variation metode. Lad den generelle løsning af en andenordens homogen differentialligning have formen: I stedet for permanent C 1 og C 2 vil vi overveje hjælpefunktioner C 1 (x) og C 2 (x). Vi vil lede efter disse funktioner, således at løsningen opfylder den inhomogene ligning med højre side f(x). Ukendte funktioner C 1 (x) og C 2 (x) bestemmes ud fra systemet af to ligninger: Metode til ubestemte koefficienter Højre del f(x) af en inhomogen differentialligning er ofte et polynomium, en eksponentiel eller trigonometrisk funktion eller en kombination af disse funktioner. I dette tilfælde er det mere bekvemt at finde en løsning ved hjælp af metode til usikre koefficienter. Vi understreger, at denne metode kun virker for en begrænset klasse af funktioner på højre side, som f.eks I begge tilfælde skal valget af en bestemt løsning svare til strukturen af ​​højre side af den inhomogene differentialligning. I tilfælde 1, hvis nummeret α i eksponentialfunktionen falder sammen med roden af ​​den karakteristiske ligning, så vil den bestemte løsning indeholde en yderligere faktor x s, hvor s− multiplicitet af roden α i den karakteristiske ligning. I tilfælde 2, hvis nummeret α + βi falder sammen med roden af ​​den karakteristiske ligning, så vil udtrykket for den bestemte løsning indeholde en yderligere faktor x. Ukendte koefficienter kan bestemmes ved at substituere det fundne udtryk for en bestemt løsning i den oprindelige inhomogene differentialligning. Superpositionsprincip Hvis højre side af den inhomogene ligning er beløb flere funktioner i formularen så vil den særlige løsning af differentialligningen også være summen af ​​bestemte løsninger konstrueret separat for hvert led på højre side.

Eksempel 1

Løs differentialligning y"" + y= synd(2 x). Løsning. Vi løser først den tilsvarende homogene ligning y"" + y= 0. I dette tilfælde er rødderne til den karakteristiske ligning rent imaginære: Derfor er den generelle løsning af den homogene ligning givet ved Lad os vende tilbage til den inhomogene ligning. Vi vil søge dens løsning i formularen ved hjælp af metoden til variation af konstanter. Funktioner C 1 (x) og C 2 (x) kan findes fra følgende ligningssystem: Vi udtrykker den afledte C 1 " (x) fra den første ligning: Substituerer vi den anden ligning, finder vi den afledede C 2 " (x): Derfor følger det Integrering af udtryk for derivater C 1 " (x) og C 2 " (x), vi får: hvor EN 1 , EN 2 − integrationskonstanter. Nu erstatter vi de fundne funktioner C 1 (x) og C 2 (x) ind i formlen for y 1 (x) og skriv den generelle løsning af den inhomogene ligning:

Eksempel 2

Find en generel løsning på ligningen y"" + y" −6y = 36x. Løsning. Lad os bruge metoden med ubestemte koefficienter. Den højre side af den givne ligning er en lineær funktion f(x)= økse + b. Derfor vil vi lede efter en bestemt løsning i formularen Derivaterne er: Ved at indsætte dette i differentialligningen får vi: Den sidste ligning er en identitet, det vil sige, den er gyldig for alle x, så vi sidestiller termernes koefficienter med de samme potenser x på venstre og højre side: Fra det resulterende system finder vi: EN = −6, B= −1. Som et resultat er den bestemte løsning skrevet i formen Lad os nu finde den generelle løsning af den homogene differentialligning. Lad os beregne rødderne af hjælpekarakteristikken: Derfor har den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning formen: Så den generelle løsning af den oprindelige inhomogene ligning er udtrykt ved formlen

Generel integral af DE.

Løs differentialligning

Men det sjove er, at svaret allerede er kendt: mere præcist skal vi også tilføje en konstant: Det generelle integral er en løsning på differentialligningen.

Metode til variation af vilkårlige konstanter. Løsningseksempler

Metoden til variation af vilkårlige konstanter bruges til at løse inhomogene differentialligninger. Denne lektion er beregnet til de elever, der allerede er mere eller mindre velbevandrede i emnet. Hvis du lige er begyndt at stifte bekendtskab med fjernbetjeningen, dvs. Hvis du er en tekande, anbefaler jeg at starte med den første lektion: Første ordens differentialligninger. Løsningseksempler. Og hvis du allerede er færdig, skal du kassere den mulige forudfattede forestilling om, at metoden er svær. Fordi han er simpel.

I hvilke tilfælde anvendes metoden til variation af vilkårlige konstanter?

1) Metoden til variation af en vilkårlig konstant kan bruges til at løse lineær inhomogen DE af 1. orden. Da ligningen er af første orden, så er konstanten (konstanten) også én.

2) Metoden til variation af vilkårlige konstanter bruges til at løse nogle lineære inhomogene ligninger af anden orden. Her varierer to konstanter (konstanter).

Det er logisk at antage, at lektionen vil bestå af to afsnit .... Jeg skrev dette forslag, og i omkring 10 minutter tænkte jeg smerteligt på, hvilket andet smart lort jeg skulle tilføje for en smidig overgang til praktiske eksempler. Men af ​​en eller anden grund er der ingen tanker efter ferien, selvom det ser ud til, at jeg ikke har misbrugt noget. Så lad os springe lige ind i første afsnit.

Vilkårlig konstant variationsmetode for en lineær inhomogen førsteordens ligning

Før man overvejer metoden til variation af en vilkårlig konstant, er det ønskeligt at være bekendt med artiklen Lineære differentialligninger af første orden. I den lektion øvede vi os første måde at løse inhomogen DE af 1. orden. Denne første løsning, jeg minder dig om, hedder udskiftningsmetode eller Bernoulli metode(ikke at forveksle med Bernoulli ligning!!!)

Vi vil nu overveje anden måde at løse– metode til variation af en vilkårlig konstant. Jeg vil kun give tre eksempler, og jeg vil tage dem fra ovenstående lektion. Hvorfor så få? For faktisk vil løsningen på den anden måde være meget lig løsningen på den første måde. Derudover, ifølge mine observationer, bruges metoden til variation af vilkårlige konstanter mindre ofte end erstatningsmetoden.

Eksempel 1

Find den generelle løsning af differentialligningen (Afviger fra eksempel nr. 2 i lektionen Lineær inhomogen DE af 1. orden)

Løsning: Denne ligning er lineær inhomogen og har en velkendt form:

På det første trin er det nødvendigt at løse en enklere ligning: Det vil sige, at vi dumt nulstiller højre side - i stedet skriver vi nul. Ligningen vil jeg kalde hjælpeligning.

I dette eksempel skal du løse følgende hjælpeligning:

Før os adskillelig ligning, hvis løsning (håber jeg) ikke længere er svær for dig:

Således: er den generelle løsning af hjælpeligningen .

På andet trin erstatte en konstant af nogle endnu ukendt funktion, der afhænger af "x":

Deraf navnet på metoden - vi varierer konstanten. Alternativt kan konstanten være en funktion, som vi skal finde nu.

PÅ initial ikke-homogen ligning, vil vi lave erstatningen:

Substitut i ligningen:

kontrolmoment - de to udtryk i venstre side annullerer. Hvis dette ikke sker, skal du kigge efter fejlen ovenfor.

Som et resultat af udskiftningen opnås en ligning med adskillelige variable. Adskil variabler og integrer.

Hvilken velsignelse, eksponenterne krymper også:

Vi tilføjer en "normal" konstant til den fundne funktion:

På den sidste fase husker vi vores erstatning:

Funktionen er lige fundet!

Så den generelle løsning er:

Svar: fælles beslutning:

Printer du de to løsninger ud, vil du nemt bemærke, at vi i begge tilfælde fandt de samme integraler. Den eneste forskel er i løsningsalgoritmen.

Nu noget mere kompliceret, jeg vil også kommentere det andet eksempel:

Eksempel 2

Find den generelle løsning af differentialligningen (Afviger fra eksempel nr. 8 i lektionen Lineær inhomogen DE af 1. orden)

Løsning: Lad os bringe ligningen til formen:

Indstil højre side til nul og løs hjælpeligningen:

Adskil variable og integrer: Generel løsning af hjælpeligningen:

I den inhomogene ligning vil vi lave substitutionen:

I henhold til produktdifferentieringsreglen:

Erstat og ind i den oprindelige inhomogene ligning:

De to termer i venstre side annullerer, hvilket betyder, at vi er på rette vej:

Vi integrerer i dele. Et velsmagende bogstav fra formlen for integration af dele er allerede involveret i løsningen, så vi bruger for eksempel bogstaverne "a" og "be":

Til sidst:

Lad os nu se på erstatningen:

Svar: fælles beslutning:

Metode til variation af vilkårlige konstanter for en lineær inhomogen anden ordens ligning med konstante koefficienter

Man hørte ofte den opfattelse, at metoden til variation af vilkårlige konstanter for en andenordens ligning ikke er en nem ting. Men jeg gætter på følgende: Mest sandsynligt virker metoden svær for mange, da den ikke er så almindelig. Men i virkeligheden er der ingen særlige vanskeligheder - beslutningens forløb er klart, gennemsigtigt og forståeligt. Og smuk.

For at mestre metoden er det ønskeligt at kunne løse inhomogene ligninger af anden orden ved at vælge en bestemt løsning efter formen på højre side. Denne metode diskuteres i detaljer i artiklen. Inhomogen DE af 2. orden. Vi husker, at en andenordens lineær inhomogen ligning med konstante koefficienter har formen:

Udvælgelsesmetoden, som blev overvejet i ovenstående lektion, fungerer kun i et begrænset antal tilfælde, når polynomier, eksponenter, sinus, cosinus er på højre side. Men hvad skal man gøre, når man er til højre, for eksempel en brøk, logaritme, tangent? I en sådan situation kommer metoden til variation af konstanter til undsætning.

Eksempel 4

Find den generelle løsning af en andenordens differentialligning

Løsning: Der er en brøkdel på højre side af denne ligning, så vi kan umiddelbart sige, at metoden til at vælge en bestemt løsning ikke virker. Vi bruger metoden til variation af vilkårlige konstanter.

Intet varsler et tordenvejr, begyndelsen af ​​løsningen er ganske almindelig:

Lad os finde fælles beslutning relevant homogen ligninger:

Vi sammensætter og løser den karakteristiske ligning: – konjugerede komplekse rødder opnås, så den generelle løsning er:

Vær opmærksom på registreringen af ​​den generelle løsning - hvis der er parenteser, så åbn dem.

Nu gør vi næsten det samme trick som for førsteordensligningen: vi varierer konstanterne og erstatter dem med ukendte funktioner. Det er, generel løsning af det inhomogene Vi vil lede efter ligninger i formen:

Hvor - endnu ukendte funktioner.

Det ligner en affaldsplads, men nu sorterer vi alt.

Afledte funktioner fungerer som ukendte. Vores mål er at finde afledte, og de fundne afledte skal opfylde både den første og anden ligning i systemet.

Hvor kommer "spil" fra? Storken bringer dem. Vi ser på den tidligere opnåede generelle løsning og skriver:

Lad os finde derivater:

Behandlet venstre side. Hvad er til højre?

er højre side af den oprindelige ligning, i dette tilfælde:

Denne artikel afslører spørgsmålet om at løse lineære inhomogene differentialligninger af anden orden med konstante koefficienter. Teorien vil blive gennemgået sammen med eksempler på de givne problemer. For at dechifrere uforståelige termer er det nødvendigt at henvise til emnet for de grundlæggende definitioner og begreber i teorien om differentialligninger.

Overvej en lineær differentialligning (LDE) af anden orden med konstante koefficienter af formen y "" + p y " + q y \u003d f (x) , hvor p og q er vilkårlige tal, og den eksisterende funktion f (x) er kontinuerlig på integrationsintervallet x .

Lad os gå videre til formuleringen af ​​den generelle løsningssætning for LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generel løsningssætning for LDNU

Den generelle løsning, placeret på intervallet x, af en inhomogen differentialligning af formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) med kontinuerte integrationskoefficienter på x-interval f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) og en kontinuert funktion f (x) er lig med summen af ​​den generelle løsning y 0 , som svarer til LODE, og en bestemt løsning y ~ , hvor den oprindelige inhomogene ligning er y = y 0 + y ~ .

Dette viser, at løsningen af ​​en sådan andenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen til at finde y 0 er overvejet i artiklen om lineære homogene differentialligninger af anden orden med konstante koefficienter. Derefter skal man gå videre til definitionen af ​​y ~ .

Valget af en bestemt løsning til LIDE afhænger af typen af ​​den tilgængelige funktion f (x) placeret på højre side af ligningen. For at gøre dette er det nødvendigt at overveje separat løsningerne af lineære inhomogene differentialligninger af anden orden med konstante koefficienter.

Når f (x) anses for at være et polynomium af n-te grad f (x) = P n (x) , følger det, at en bestemt løsning af LIDE findes ved en formel på formen y ~ = Q n (x) ) x γ , hvor Q n ( x) er et polynomium af grad n, r er antallet af nulrødder af den karakteristiske ligning. Værdien af ​​y ~ er en bestemt løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , derefter de tilgængelige koefficienter, som er defineret af polynomiet
Q n (x), finder vi ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter fra ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 1

Beregn ved hjælp af Cauchy-sætningen y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendigt at gå videre til en bestemt løsning af en lineær inhomogen differentialligning af anden orden med konstante koefficienter y "" - 2 y " = x 2 + 1 , som vil opfylde de givne betingelser y (0) = 2, y" (0) = 14.

Den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning er summen af ​​den generelle løsning, der svarer til ligningen y 0 eller en bestemt løsning af den inhomogene ligning y ~ , det vil sige y = y 0 + y ~ .

Lad os først finde en generel løsning for LNDE, og derefter en bestemt.

Lad os gå videre til at finde y 0 . At skrive den karakteristiske ligning vil hjælpe med at finde rødderne. Det forstår vi

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Vi fandt ud af, at rødderne er anderledes og ægte. Derfor skriver vi

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Lad os finde y ~ . Det kan ses, at højre side af den givne ligning er et polynomium af anden grad, så er en af ​​rødderne lig nul. Herfra får vi, at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, hvor værdierne af A, B, C tage udefinerede koefficienter.

Lad os finde dem ud fra en lighed af formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Så får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved at sidestille koefficienterne med de samme eksponenter x får vi et system af lineære udtryk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Når vi løser på en af ​​måderne, finder vi koefficienterne og skriver: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 og y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne post kaldes den generelle løsning af den oprindelige lineære inhomogene andenordens differentialligning med konstante koefficienter.

For at finde en bestemt løsning, der opfylder betingelserne y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , er det nødvendigt at bestemme værdierne C1 og C2, baseret på en lighed af formen y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbejder med det resulterende ligningssystem af formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, hvor C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ved at anvende Cauchy-sætningen har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funktionen f (x) er repræsenteret som et produkt af et polynomium med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) e a x , så får vi herfra, at en bestemt løsning af andenordens LIDE vil være en ligning på formen y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , hvor Q n (x) er et polynomium af n. grad, og r er antallet af rødder af den karakteristiske ligning lig med α .

Koefficienterne tilhørende Q n (x) findes ved ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Find den generelle løsning af en differentialligning på formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Generel ligning y = y 0 + y ~ . Den angivne ligning svarer til LOD y "" - 2 y " = 0. Det foregående eksempel viser, at dens rødder er k1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ifølge den karakteristiske ligning.

Det kan ses, at højre side af ligningen er x 2 + 1 · e x. Herfra findes LNDE gennem y ~ = e a x Q n (x) x γ , hvor Q n (x) , som er et polynomium af anden grad, hvor α = 1 og r = 0 , fordi den karakteristiske ligning ikke have en rod lig med 1. Derfor får vi det

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukendte koefficienter, som kan findes ved ligheden y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Forstået

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi sidestiller indikatorerne for de samme koefficienter og får et system af lineære ligninger. Herfra finder vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det kan ses, at y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 er en bestemt løsning af LIDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Når funktionen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , og A 1 og I 1 er tal, så er en ligning af formen y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , hvor A og B betragtes som ubestemte koefficienter, og r antallet af komplekse konjugerede rødder relateret til den karakteristiske ligning, lig med ± i β. I dette tilfælde udføres søgningen efter koefficienter af ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 3

Find den generelle løsning af en differentialligning på formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligning, finder vi y 0 . Derefter

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerede rødder. Lad os transformere og få:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rødderne fra den karakteristiske ligning anses for at være et konjugeret par ± 2 i, så f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dette viser, at søgningen efter y ~ vil blive foretaget ud fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukendte koefficienterne A og B vil blive søgt ud fra en lighed af formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Lad os transformere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Så ses det

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Det er nødvendigt at sidestille koefficienterne for sinus og cosinus. Vi får et system af formen:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger, at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Svar: den generelle løsning af den oprindelige LIDE af anden orden med konstante koefficienter anses for at være

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , så er y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Vi har, at r er antallet af komplekse konjugerede par af rødder relateret til den karakteristiske ligning, lig med α ± i β , hvor P n (x) , Q k (x) , L m ( x) og N m (x) er polynomier af grad n, k, m, hvor m = m a x (n, k). At finde koefficienter L m (x) og N m (x) er produceret ud fra ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Find den generelle løsning y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Det fremgår af betingelsen, at

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Så er m = m a x (n , k) = 1 . Vi finder y 0 ved først at skrive formens karakteristiske ligning:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fandt ud af, at rødderne er ægte og tydelige. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Dernæst er det nødvendigt at lede efter en generel løsning baseret på en inhomogen ligning y ~ af formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kendt, at A, B, C er koefficienter, r = 0, fordi der ikke er et par konjugerede rødder relateret til den karakteristiske ligning med α ± i β = 3 ± 5 · i. Disse koefficienter findes ud fra den resulterende lighed:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

At finde den afledte og lignende udtryk giver

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Efter at have ligestillet koefficienterne får vi et system af formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Af alt følger det

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)sin(5x))

Svar: nu er den generelle løsning af den givne lineære ligning opnået:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme til løsning af LDNU

Enhver anden form for funktion f (x) for løsningen giver løsningsalgoritmen:

• finde den generelle løsning af den tilsvarende lineære homogene ligning, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , hvor y 1 og y2 er lineært uafhængige særlige løsninger af LODE, Fra 1 og Fra 2 betragtes som vilkårlige konstanter;
• accept som en generel løsning af LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• definition af afledte af en funktion gennem et system af formen C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , og finde funktioner C 1 (x) og C2(x) gennem integration.

Eksempel 5

Find den generelle løsning for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Løsning

Vi fortsætter med at skrive den karakteristiske ligning, idet vi tidligere har skrevet y 0 , y "" + 36 y = 0 . Lad os skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har, at registreringen af ​​den generelle løsning af den givne ligning vil have formen y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Det er nødvendigt at gå videre til definitionen af ​​afledte funktioner C 1 (x) og C2(x) efter systemet med ligninger:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Der skal tages stilling vedr C 1 "(x) og C2" (x) ved hjælp af enhver metode. Så skriver vi:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver af ligningerne skal integreres. Så skriver vi de resulterende ligninger:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger heraf, at den generelle løsning vil have formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter