Forklaring af løsningen af de simpleste trigonometriske ligninger. Trigonometriske ligninger

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivets fred og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Videokurset "Få et A" indeholder alle de emner, der er nødvendige for en vellykket beståelse af eksamen i matematik med 60-65 point. Fuldstændig alle opgave 1-13 i ProfilBRUG i matematik. Også velegnet til at bestå Basic USE i matematik. Hvis du vil bestå eksamen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!

Forberedelseskursus til eksamen for klassetrin 10-11, samt for lærere. Alt hvad du skal bruge for at løse del 1 af eksamen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Examination, og hverken en hundrede-point studerende eller en humanist kan undvære dem.

Al den nødvendige teori. Hurtige løsninger, fælder og hemmeligheder til eksamen. Alle relevante opgaver i del 1 fra Bank of FIPI-opgaver er blevet analyseret. Kurset opfylder fuldt ud kravene i USE-2018.

Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 time hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og overskueligt.

Hundredvis af eksamensopgaver. Tekstproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske problemløsningsalgoritmer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer BRUG opgaver. Stereometri. Snedige tricks til løsning, nyttige snydeark, udvikling af rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden - til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Visuel forklaring af komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Grundlag for løsning af komplekse problemer i 2. del af eksamen.

Trigonometriske ligninger er ikke det nemmeste emne. Smertefuldt er de forskellige.) For eksempel disse:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to fælles og obligatoriske funktioner. For det første - du vil ikke tro det - er der trigonometriske funktioner i ligningerne.) For det andet: alle udtryk med x er inden for de samme funktioner. Og kun der! Hvis x vises et sted uden for, for eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger kræver en individuel tilgang. Her vil vi ikke overveje dem.

Vi vil heller ikke løse onde ligninger i denne lektion.) Her vil vi beskæftige os med de enkleste trigonometriske ligninger. Hvorfor? Ja, fordi beslutningen nogen trigonometriske ligninger består af to trin. På det første trin reduceres den onde ligning til en simpel ligning ved forskellige transformationer. På den anden - denne enkleste ligning er løst. Ingen anden måde.

Så hvis du har problemer i anden fase, giver den første fase ikke meget mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ud?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her -en står for et hvilket som helst tal. Nogen.

Forresten, inde i funktionen er der muligvis ikke et rent x, men en form for udtryk, såsom:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Dette komplicerer livet, men påvirker ikke metoden til at løse den trigonometriske ligning.

Hvordan løser man trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måder. Den første måde: ved hjælp af logik og en trigonometrisk cirkel. Vi vil udforske denne vej her. Den anden måde - ved hjælp af hukommelse og formler - vil blive overvejet i næste lektion.

Den første måde er klar, pålidelig og svær at glemme.) Den er god til at løse trigonometriske ligninger, uligheder og alle mulige vanskelige ikke-standardiserede eksempler. Logik er stærkere end hukommelsen!

Vi løser ligninger ved hjælp af en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderer elementær logik og evnen til at bruge en trigonometrisk cirkel. Kan du ikke!? Dog... Det vil være svært for dig i trigonometri...) Men det gør ikke noget. Tag et kig på lektionerne "Trigonometrisk cirkel ...... Hvad er det?" og "Tælle vinkler på en trigonometrisk cirkel." Alt er enkelt der. I modsætning til lærebøger...)

Ah, ved du!? Og selv mestrede "Praktisk arbejde med en trigonometrisk cirkel"!? Accepter tillykke. Dette emne vil være tæt på og forståeligt for dig.) Det, der er særligt glædeligt, er, at den trigonometriske cirkel er ligeglad med, hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Løsningsprincippet er det samme.

Så vi tager enhver elementær trigonometrisk ligning. I det mindste dette:

cosx = 0,5

Jeg skal finde X. At tale på menneskeligt sprog, du har brug for find vinklen (x), hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brugte vi cirklen før? Vi tegnede et hjørne på den. I grader eller radianer. Og straks set trigonometriske funktioner af denne vinkel. Lad os nu gøre det modsatte. Tegn en cosinus svarende til 0,5 på cirklen og straks vi får at se hjørne. Det er kun tilbage at skrive svaret ned.) Ja, ja!

Vi tegner en cirkel og markerer cosinus lig med 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Sådan her:

Lad os nu tegne den vinkel, som denne cosinus giver os. Hold musen over billedet (eller tryk på billedet på en tablet), og se dette samme hjørne X.

Hvilken vinkel har en cosinus på 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Nogle mennesker vil grynte skeptisk, ja... De siger, var det det værd at indhegne cirklen, når alting alligevel er klart... Man kan selvfølgelig grynte...) Men faktum er, at dette er en fejltagelse svar. Eller rettere sagt utilstrækkelig. Kendere af cirklen forstår, at der stadig er en hel masse vinkler, der også giver en cosinus svarende til 0,5.

Hvis du drejer den bevægelige side OA for en hel omgang, vil punkt A vende tilbage til sin oprindelige position. Med samme cosinus lig med 0,5. De der. vinklen vil ændre sig 360° eller 2π radianer, og cosinus er det ikke. Den nye vinkel 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på vores ligning, fordi

Der er et uendeligt antal af sådanne fulde rotationer... Og alle disse nye vinkler vil være løsninger på vores trigonometriske ligning. Og de skal alle sammen skrives ned på en eller anden måde. Alle. Ellers tages beslutningen ikke i betragtning, ja ...)

Matematik kan gøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i et kort svar uendeligt sæt løsninger. Sådan ser det ud for vores ligning:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg vil tyde. Skriv stadig meningsfuldt pænere end dumt at tegne nogle mystiske bogstaver, ikke?)

π /3 er den samme vinkel, som vi sav på cirklen og fast besluttet ifølge cosinustabellen.

2π er en hel omgang i radianer.

n - dette er antallet af komplette, dvs. hel revolutioner. Det er klart at n kan være 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som det fremgår af den korte post:

n ∈ Z

n hører til ( ∈ ) til sættet af heltal ( Z ). Forresten i stedet for brevet n bogstaver kan bruges k, m, t etc.

Denne notation betyder, at du kan tage et hvilket som helst heltal n . Mindst -3, mindst 0, mindst +55. Hvad vil du have. Hvis du sætter det tal ind i dit svar, får du en bestemt vinkel, som helt sikkert vil være løsningen på vores barske ligning.)

Eller med andre ord, x \u003d π / 3 er den eneste rod af et uendeligt sæt. For at få alle de andre rødder er det nok at tilføje et hvilket som helst antal hele drejninger til π / 3 ( n ) i radianer. De der. 2πn radian.

Alt? Ingen. Jeg strækker specifikt fornøjelsen. For at huske bedre.) Vi modtog kun en del af svarene på vores ligning. Jeg vil skrive denne første del af løsningen som følger:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke én rod, det er en hel række af rødder, skrevet i kort form.

Men der er andre vinkler, der også giver en cosinus svarende til 0,5!

Lad os vende tilbage til vores billede, ifølge hvilket vi skrev svaret ned. Der er hun:

Før musen hen over billedet og se et andet hjørne at giver også en cosinus på 0,5. Hvad synes du, det er lig med? Trekanterne er de samme... Ja! Det er lig med vinklen x , kun plottet i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi roligt skrive:

x 2 \u003d - π / 3

Og selvfølgelig tilføjer vi alle de vinkler, der opnås gennem hele drejninger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nu.) I en trigonometrisk cirkel, vi sav(hvem forstår, selvfølgelig)) alle vinkler der giver en cosinus lig med 0,5. Og de skrev disse vinkler ned i en kort matematisk form. Svaret er to uendelige rækker af rødder:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det rigtige svar.

Håber, generelt princip for løsning af trigonometriske ligninger ved hjælp af en cirkel er forståeligt. Vi markerer cosinus (sinus, tangent, cotangens) fra den givne ligning på cirklen, tegner de tilsvarende vinkler og skriver svaret ned. Selvfølgelig skal du finde ud af, hvilken slags hjørner vi er sav på cirklen. Nogle gange er det ikke så tydeligt. Nå, som jeg sagde, logik er påkrævet her.)

Lad os for eksempel analysere en anden trigonometrisk ligning:

Bemærk venligst, at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tal i ligningerne!) Det er bare mere bekvemt for mig at skrive det end rødder og brøker.

Vi arbejder efter det generelle princip. Vi tegner en cirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner på én gang alle vinklerne, der svarer til denne sinus. Vi får dette billede:

Lad os først beskæftige os med vinklen. x i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer værdien af denne vinkel. Sagen er enkel:

x \u003d π / 6

Vi husker fulde drejninger og skriver med god samvittighed den første række af svar ned:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halvdelen af arbejdet er udført. Nu skal vi definere andet hjørne... Dette er vanskeligere end i cosinus, ja ... Men logikken vil redde os! Sådan bestemmes den anden vinkel gennem x? Ja nemt! Trekanterne på billedet er de samme, og det røde hjørne x lig med vinklen x . Kun det tælles fra vinklen π i negativ retning. Derfor er den rød.) Og til svaret skal vi have en vinkel målt korrekt fra den positive halvakse OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Hold markøren over billedet og se alt. Jeg fjernede det første hjørne for ikke at komplicere billedet. Vinklen af interesse for os (tegnet med grønt) vil være lig med:

π - x

x vi ved det π /6 . Så den anden vinkel vil være:

π - π /6 = 5π /6

Igen husker vi tilføjelsen af fulde omdrejninger og skriver den anden række af svar ned:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt. Et komplet svar består af to rækker af rødder:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ligninger med tangent og cotangens kan let løses ved at bruge det samme generelle princip til løsning af trigonometriske ligninger. Medmindre, selvfølgelig, du ved, hvordan man tegner tangenten og cotangensen på en trigonometrisk cirkel.

I eksemplerne ovenfor brugte jeg tabelværdien af sinus og cosinus: 0,5. De der. en af de betydninger, som eleven kender skal. Lad os nu udvide vores muligheder til alle andre værdier. Beslut, så beslut!)

Så lad os sige, at vi skal løse følgende trigonometriske ligning:

Der er ikke en sådan værdi af cosinus i de korte tabeller. Vi ignorerer koldt denne forfærdelige kendsgerning. Vi tegner en cirkel, markerer 2/3 på cosinus-aksen og tegner de tilsvarende vinkler. Vi får dette billede.

Vi forstår, for det første, med en vinkel i det første kvarter. For at vide, hvad x er lig med, ville de straks skrive svaret ned! Vi ved det ikke... Fejl!? Berolige! Matematik efterlader ikke sine egne i problemer! Hun opfandt arc cosinus til denne sag. Ved ikke? Forgæves. Find ud af det. Det er meget nemmere, end du tror. Ifølge dette link er der ikke en eneste tricky besværgelse om "inverse trigonometriske funktioner" ... Det er overflødigt i dette emne.

Hvis du ved det, så sig bare til dig selv, "X er en vinkel, hvis cosinus er 2/3." Og umiddelbart, rent per definition af arccosinus, kan vi skrive:

Vi husker om yderligere omdrejninger og nedskriver roligt den første række af rødder i vores trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den anden række af rødder skrives også næsten automatisk, for den anden vinkel. Alt er det samme, kun x (arccos 2/3) vil være med et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og alle ting! Dette er det rigtige svar. Endnu nemmere end med tabelværdier. Du behøver ikke at huske noget.) I øvrigt vil de mest opmærksomme bemærke, at dette billede med løsningen gennem buen cosinus er i det væsentlige ikke forskellig fra billedet for ligningen cosx = 0,5.

Nemlig! Det generelle princip om det og det generelle! Jeg tegnede specifikt to næsten identiske billeder. Cirklen viser os vinklen x ved dens cosinus. Det er en tabelformet cosinus, eller ej - cirklen ved det ikke. Hvilken slags vinkel er dette, π / 3, eller hvilken slags buecosinus er op til os at bestemme.

Med en sinus den samme sang. For eksempel:

Igen tegner vi en cirkel, markerer sinus lig med 1/3, tegner hjørnerne. Det viser sig dette billede:

Og igen er billedet næsten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hvad er x lig, hvis dens sinus er 1/3? Intet problem!

Så den første pakke rødder er klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Lad os tage et kig på den anden vinkel. I eksemplet med en tabelværdi på 0,5 var den lig med:

π - x

Så her bliver det præcis det samme! Kun x er anderledes, arcsin 1/3. Og hvad så!? Du kan roligt skrive den anden pakke rødder:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et fuldstændig korrekt svar. Selvom det ikke ser særlig bekendt ud. Men det er forståeligt, håber jeg.)

Sådan løses trigonometriske ligninger ved hjælp af en cirkel. Denne vej er klar og forståelig. Det er ham, der gemmer i trigonometriske ligninger med udvælgelse af rødder på et givet interval, i trigonometriske uligheder - de løses generelt næsten altid i en cirkel. Kort sagt i alle opgaver, der er lidt mere komplicerede end standardopgaver.

Omsætte viden i praksis?

Løs trigonometriske ligninger:

I starten er det enklere, direkte på denne lektion.

Nu er det sværere.

Tip: her skal du tænke på cirklen. Personligt.)

Og nu udadtil uhøjtidelige ... De kaldes også særlige tilfælde.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: her skal du i en cirkel finde ud af, hvor der er to rækker af svar, og hvor der er en ... Og hvordan man skriver en ned i stedet for to rækker af svar. Ja, så ikke en eneste rod fra et uendeligt tal går tabt!)

Nå, ret simpelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: her skal du vide, hvad er arcsine, arccosine? Hvad er buetangens, buetangens? De enkleste definitioner. Men du behøver ikke at huske nogen tabelværdier!)

Svarene er selvfølgelig i uorden):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ikke alt fungerer? Det sker. Læs lektionen igen. Kun eftertænksomt(der er sådan et forældet ord...) Og følg linkene. De vigtigste links handler om cirklen. Uden det i trigonometri - hvordan krydser man vejen med bind for øjnene. Nogle gange virker det.)

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Løsning af de enkleste trigonometriske ligninger.

Løsningen af trigonometriske ligninger af ethvert kompleksitetsniveau kommer i sidste ende ned til at løse de enkleste trigonometriske ligninger. Og i dette viser den trigonometriske cirkel sig igen at være den bedste hjælper.

Husk definitionerne af cosinus og sinus.

Cosinus for en vinkel er abscissen (det vil sige koordinaten langs aksen) af et punkt på enhedscirklen svarende til rotation med en given vinkel.

En vinkels sinus er ordinaten (det vil sige koordinaten langs aksen) af et punkt på enhedscirklen svarende til rotation med en given vinkel.

Den positive bevægelsesretning langs den trigonometriske cirkel anses for at være bevægelse mod uret. En rotation på 0 grader (eller 0 radianer) svarer til et punkt med koordinater (1; 0)

Vi bruger disse definitioner til at løse de enkleste trigonometriske ligninger.

1. Løs ligningen

Denne ligning er opfyldt af alle sådanne værdier af rotationsvinklen, som svarer til cirklens punkter, hvis ordinat er lig med .

Lad os markere et punkt med ordinat på y-aksen:

Tegn en vandret linje parallelt med x-aksen, indtil den skærer cirklen. Vi får to punkter, der ligger på en cirkel og har en ordinat. Disse punkter svarer til rotationsvinkler og radianer:

Hvis vi, efter at have forladt punktet svarende til omdrejningsvinklen pr. radian, går rundt om en hel cirkel, så kommer vi til et punkt, der svarer til rotationsvinklen pr. radian og har samme ordinat. Det vil sige, at denne rotationsvinkel også opfylder vores ligning. Vi kan lave så mange "tomgange" som vi vil, og vende tilbage til det samme punkt, og alle disse vinkelværdier vil tilfredsstille vores ligning. Antallet af "tomgange" er angivet med bogstavet (eller). Da vi kan lave disse omdrejninger i både positive og negative retninger, kan (eller ) antage alle heltalsværdier.

Det vil sige, at den første række af løsninger til den oprindelige ligning har formen:

, , - sæt af heltal (1)

På samme måde har den anden serie af løsninger formen:

, hvor , . (2)

Som du har gættet, er denne serie af løsninger baseret på det punkt i cirklen, der svarer til rotationsvinklen med .

Disse to serier af løsninger kan kombineres til én indgang:

Hvis vi tager denne post ind (det vil sige endda), så får vi den første række af løsninger.

Hvis vi tager denne post (det vil sige ulige), får vi den anden række af løsninger.

2. Lad os nu løse ligningen

Da er abscissen af punktet i enhedscirklen opnået ved at dreje gennem vinklen, markerer vi på aksen et punkt med abscissen:

Tegn en lodret linje parallelt med aksen, indtil den skærer cirklen. Vi får to punkter, der ligger på en cirkel og har en abscisse. Disse punkter svarer til rotationsvinkler og radianer. Husk, at når vi bevæger os med uret, får vi en negativ rotationsvinkel:

Vi skriver to serier af løsninger ned:

(Vi kommer til det rigtige punkt ved at passere fra hovedcirklen, dvs.

Lad os kombinere disse to serier i et indlæg:

3. Løs ligningen

Tangentlinjen går gennem punktet med koordinaterne (1,0) af enhedscirklen parallelt med OY-aksen

Marker et punkt på det med en ordinat lig med 1 (vi leder efter tangenten for hvilke vinkler er 1):

Forbind dette punkt med oprindelsen med en lige linje og marker skæringspunkterne for linjen med enhedscirklen. Skæringspunkterne for linjen og cirklen svarer til rotationsvinklerne på og:

Da de punkter, der svarer til de rotationsvinkler, der opfylder vores ligning, ligger radianer fra hinanden, kan vi skrive løsningen som følger:

4. Løs ligningen

Linjen af cotangenser går gennem punktet med koordinaterne for enhedscirklen parallelt med aksen.

Vi markerer et punkt med abscissen -1 på linjen af cotangenter:

Forbind dette punkt med udgangspunktet for den lige linje, og fortsæt det, indtil det skærer cirklen. Denne linje vil skære cirklen i punkter, der svarer til rotationsvinkler og radianer:

Da disse punkter er adskilt fra hinanden med en afstand lig med , så kan vi skrive den generelle løsning af denne ligning som følger:

I de givne eksempler, der illustrerer løsningen af de enkleste trigonometriske ligninger, blev tabelværdier af trigonometriske funktioner brugt.

Men hvis der er en ikke-tabel værdi på højre side af ligningen, så erstatter vi værdien i den generelle løsning af ligningen:

SÆRLØSNINGER:

Marker punkter på cirklen, hvis ordinat er 0:

Marker et enkelt punkt på cirklen, hvis ordinat er lig med 1:

Marker et enkelt punkt på cirklen, hvis ordinat er lig med -1:

Da det er sædvanligt at angive de værdier, der er tættest på nul, skriver vi løsningen som følger:

Marker punkterne på cirklen, hvis abscisse er 0:

5.
Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis abscisse er lig med 1:

Marker et enkelt punkt på cirklen, hvis abscisse er lig med -1:

Og nogle mere komplekse eksempler:

Sinus er én, hvis argumentet er

Argumentet for vores sinus er , så vi får:

Divider begge sider af ligningen med 3:

Svar:

Cosinus er nul, hvis cosinusargumentet er

Argumentet for vores cosinus er, så vi får:

Vi udtrykker, for dette bevæger vi os først til højre med det modsatte fortegn:

Forenkle højre side:

Divider begge dele med -2:

Bemærk, at tegnet før udtrykket ikke ændres, da k kan tage alle heltalsværdier.

Svar:

Og afslutningsvis, se videotutorialen "Udvælgelse af rødder i en trigonometrisk ligning ved hjælp af en trigonometrisk cirkel"

Dette afslutter samtalen om løsning af de enkleste trigonometriske ligninger. Næste gang taler vi om, hvordan vi løser det.

Kræver viden om trigonometriens grundlæggende formler - summen af kvadraterne af sinus og cosinus, udtrykket af tangenten gennem sinus og cosinus m.fl. For dem, der har glemt eller ikke kender dem, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er tid til at omsætte dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger med den rigtige tilgang er det en ganske spændende aktivitet, som for eksempel at løse en Rubiks terning.

Ud fra selve navnet er det tydeligt, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte er under tegnet af en trigonometrisk funktion.
Der er såkaldte simple trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Overveje, hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger, for klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

tremmeseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to trin: Vi bringer ligningen til den enkleste form og løser den derefter som den enkleste trigonometriske ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvormed trigonometriske ligninger løses.

Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Lad os erstatte cos(x + /6) med y for enkelhedens skyld og få den sædvanlige andengradsligning:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rødderne af hvilke y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå baglæns

Vi erstatter de fundne værdier af y og får to svar:

Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

Lad os flytte alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x - 1 = 0

Vi bruger ovenstående identiteter til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Lad os lave faktoriseringen:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens led med hensyn til sinus og cosinus er af samme grad af samme vinkel. For at løse en homogen ligning, gå frem som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) sætte alle fælles faktorer ud af parentes;

c) lig alle faktorer og parenteser til 0;

d) i parentes opnås en homogen ligning af en mindre grad, som igen divideres med en sinus eller cosinus i højere grad;

e) løs den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vi erstatter tg x med y og får en andengradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder er y 1 =1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger til den oprindelige ligning:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Løsning af ligninger, gennem overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x - 5cos x = 7

Lad os gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Skifter alt til venstre:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Divider med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Introduktion af en hjælpevinkel

Til overvejelse, lad os tage en ligning af formen: a sin x + b cos x \u003d c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter og x er en ukendt.

Divider begge sider af ligningen med:

Nu har ligningens koefficienter ifølge trigonometriske formler egenskaberne for sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af kvadrater = 1. Lad os betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor er såkaldt hjælpevinkel. Så vil ligningen antage formen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

eller sin(x + ) = C

Løsningen på denne simple trigonometriske ligning er

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, hvor

Det skal bemærkes, at betegnelserne cos og sin er udskiftelige.

Løs ligningen sin 3x - cos 3x = 1

I denne ligning er koefficienterne:

a \u003d, b \u003d -1, så vi dividerer begge dele med \u003d 2

Forklaring af løsningen af ​​de simpleste trigonometriske ligninger. Trigonometriske ligninger