Bestemmelse af bevægelsens kinematiske karakteristika ved hjælp af grafer. Lektionens emne: "Grafisk repræsentation af bevægelse

Lektion om emnet: "Hastigheden af ​​en retlinet accelererede ensartet

bevægelse. Hastighedsgrafer.

Læringsmål : introducere en formel til bestemmelse af en krops øjeblikkelige hastighed på ethvert tidspunkt, fortsæt med at danne evnen til at bygge grafer over afhængigheden af ​​projektionen af ​​hastighed på tid, beregne den øjeblikkelige hastighed af en krop på ethvert tidspunkt, forbedre elevernes evne til at løse problemer på analytiske og grafiske måder.

Udviklingsmål : udvikling af teoretisk, kreativ tænkning blandt skolebørn, dannelse af operationel tænkning rettet mod at vælge optimale løsninger

motiverende mål : vække interesse for studiet af fysik og datalogi

Under timerne.

1. Organisatorisk øjeblik .

Lærer: - Hej gutter. I dag i lektionen vil vi studere emnet "Hastighed", gentage emnet "Acceleration", i lektionen lærer vi formlen til at bestemme kroppens øjeblikkelige hastighed til enhver tid, vi fortsætter for at danne evnen til at bygge grafer over afhængigheden af ​​projektionen af ​​hastighed til tiden, beregne kroppens øjeblikkelige hastighed til enhver tid, vil vi forbedre evnen til at løse problemer på analytiske og grafiske måder. Jeg er glad for at se dig sund ved lektionen. Bliv ikke overrasket over, at jeg startede vores lektion fra dette: sundheden for hver enkelt af jer er det vigtigste for mig og andre lærere. Hvad tænker du, hvad kan være fælles mellem vores sundhed og emnet "Hastighed"? ( glide)

Eleverne giver udtryk for deres mening om dette spørgsmål.

Lærer:- Viden om dette emne kan være med til at forudsige forekomsten af ​​situationer, der er farlige for menneskeliv, for eksempel dem, der opstår under trafik mv.

2. Opdatering af viden.

Gentagelsen af ​​emnet "Acceleration" udføres i form af elevernes svar på følgende spørgsmål:

1. hvad er acceleration (slide);

2. Formel og måleenheder for acceleration (slide);

3. lige så variabel bevægelse (slide);

4. grafikacceleration (slide);

5. Lav en opgave ved hjælp af det undersøgte materiale.

6. Lovene eller definitionerne nedenfor har en række unøjagtigheder. Angiv den korrekte formulering.

Kroppens bevægelse kaldeslinjestykke , der forbinder den indledende og endelige position af kroppen.

Hastighed for ensartet retlinet bevægelse -dette er vejen passeret af kroppen pr. tidsenhed.

En krops mekaniske bevægelse er en ændring i dens position i rummet.

Retlineær ensartet bevægelse er en bevægelse, hvor et legeme rejser de samme afstande i lige store tidsintervaller.

Acceleration er en størrelse numerisk lig med forholdet mellem hastighed og tid.

Et legeme med små dimensioner kaldes et materialepunkt.

Mekanikkens hovedopgave er at kende kroppens position

Kortvarigt selvstændigt arbejde med kort - 7 minutter.

Rødt kort - score "5"; blåt kort - score "4"; grønt kort - score "3"

.TIL 1

1. hvilken bevægelse kaldes ensartet accelereret?

2. Skriv formlen ned til bestemmelse af accelerationsvektorens projektion.

3. Kroppens acceleration er 5 m/s 2, hvad betyder det?

4. Hastigheden på faldskærmsjægerens nedstigning efter åbning af faldskærmen faldt fra 60 m/s til 5 m/s på 1,1 s. Find faldskærmsudspringerens acceleration.

1. Hvad kaldes acceleration?

3. Kroppens acceleration er 3 m/s 2. Hvad betyder det?

4. Med hvilken acceleration bevæger bilen sig, hvis dens hastighed på 10 sekunder øges fra 5 m/s til 10 m/s

1. Hvad kaldes acceleration?

2. Hvad er måleenhederne for acceleration?

3. Skriv formlen ned til bestemmelse af fremskrivningen af ​​accelerationsvektoren.

4. 3. Kroppens acceleration er 2 m/s 2, hvad betyder det?

3. At studere nyt materiale .

1. Konklusion af formlen for hastighed ud fra formlen for acceleration. Ved tavlen skriver eleven under vejledning af en lærer formlens udledning

2. Grafisk fremstilling af bevægelsen.

På præsentationssliden betragtes hastighedsgrafer

.

4. Løsning af problemer om dette emne baseret på GI-materialerne MEN

Præsentations slides.

1. Brug en graf over kropsbevægelseshastighed versus tid til at bestemme kropshastigheden i slutningen af ​​det 5. sekund, idet det antages, at karakteren af ​​kropsbevægelsen ikke ændrer sig.

9 m/s

10 m/s

12 m/s

14 m/s

2. Ifølge grafen over afhængigheden af ​​kroppens hastighed til tiden. Find kroppens hastighed på et tidspunktt = 4 s.

3. Figuren viser en graf over afhængigheden af ​​et materialepunkts bevægelseshastighed på tid. Bestem kroppens hastighed til tident = 12 sek, idet det antages, at arten af ​​kroppens bevægelse ikke ændres.

4. Figuren viser en graf over et bestemt legemes hastighed. Bestem kroppens hastighed til tident = 2 sek.

5. Figuren viser en graf over afhængigheden af ​​projektionen af ​​lastbilens hastighed på akslenxfra tidenmigingen af ​​dem. Projektionen af ​​lastbilens acceleration på denne akse i øjeblikkett =3 seker lig med

6. Kroppen begynder en retlinet bevægelse fra en hviletilstand, og dens acceleration ændres med tiden som vist på grafen. Efter 6 s efter bevægelsens start vil modulet for kroppens hastighed være lig med

7. Motorcyklisten og cyklisten starter samtidig ensartet accelereret bevægelse. En motorcyklists acceleration er 3 gange større end en cyklists. På samme tidspunkt er motorcyklistens hastighed større end cyklistens hastighed

1) 1,5 gange

2) √3 gange

3) 3 gange

5. Resultater af lektionen (Refleksion over dette emne.)

Hvad der var særligt mindeværdigt og ramte af undervisningsmaterialet.

6. Hjemmearbejde.

7. Karakterer for lektionen.

Grafisk gengivelse af ensartet accelereret retlinet bevægelse.

Bevægelse med ensartet accelereret bevægelse.

jegniveau.

Mange fysiske størrelser, der beskriver kroppens bevægelser, ændrer sig over tid. Derfor er beskrivelsen af ​​bevægelsen for større klarhed ofte afbildet grafisk.

Lad os vise, hvordan afhængigheden af ​​tid af kinematiske størrelser, der beskriver en retlinet ensartet accelereret bevægelse, er grafisk afbildet.

Ensartet accelereret retlinet bevægelse- dette er en bevægelse, hvor kroppens hastighed ændres på samme måde i alle lige tidsintervaller, dvs. dette er en bevægelse med konstant acceleration i størrelse og retning.

a=const - accelerationsligning. Det vil sige, at a har en numerisk værdi, der ikke ændrer sig med tiden.

Per definition af acceleration

Herfra har vi allerede fundet ligninger for hastighedens afhængighed af tid: v = v0 + at.

Lad os se, hvordan denne ligning kan bruges til grafisk at repræsentere ensartet accelereret bevægelse.

Lad os grafisk afbilde afhængigheden af ​​kinematiske størrelser på tid for tre kroppe

.

1 bevæger kroppen sig langs 0X-aksen, mens dens hastighed øges (accelerationsvektoren a er co-rettet med hastighedsvektoren v). vx >0, ax > 0

2 bevæger kroppen sig langs 0X-aksen, mens den reducerer sin hastighed (accelerationsvektoren og ikke rettet med hastighedsvektoren v). vx >0, aks< 0

2 bevæger kroppen sig mod 0X-aksen, mens den reducerer sin hastighed (accelerationsvektoren og ikke rettet med hastighedsvektoren v). vx< 0, ах > 0

Accelerationsgraf

Acceleration er per definition en konstant. Så, for den præsenterede situation, vil grafen for accelerationens afhængighed af tiden a(t) se ud:

Fra accelerationsgrafen kan du bestemme, hvordan hastigheden ændrede sig - steg eller faldt, og med hvilken numerisk værdi hastigheden ændrede sig, og for hvilken krop hastigheden ændrede sig mere.

Hastighedsgraf

Hvis vi sammenligner koordinatens afhængighed af tid for ensartet bevægelse og afhængigheden af ​​projektionen af ​​hastighed på tid for ensartet accelereret bevægelse, kan vi se, at disse afhængigheder er de samme:

x= x0 + vx t vx = v 0 x + -en x t

Det betyder, at afhængighedsgraferne har samme form.

For at bygge denne graf plottes bevægelsestidspunktet på abscisseaksen, og kroppens hastighed (hastighedsprojektion) afbildes på ordinataksen. I ensartet accelereret bevægelse ændres kroppens hastighed over tid.

Bevægelse med ensartet accelereret bevægelse.

Med ensartet accelereret retlinet bevægelse bestemmes kroppens hastighed af formlen

vx = v 0 x + -en x t

I denne formel er υ0 kroppens hastighed ved t = 0 (starthastighed ), -en= const - acceleration. På hastighedsgrafen υ ( t), har denne afhængighed form af en ret linje (fig.).

Hældningen af ​​hastighedsgrafen kan bruges til at bestemme accelerationen -en legeme. De tilsvarende konstruktioner er udført i fig. for graf I. Accelerationen er numerisk lig med forholdet mellem trekantens sider ABC:MsoNormalTable">

Jo større vinkel β, der danner hastighedsgrafen med tidsaksen, dvs. jo større hældning på grafen ( stejlhed), jo større acceleration af kroppen.

For plot I: υ0 = –2 m/s, -en= 1/2 m/s2.

For graf II: υ0 = 3 m/s, -en= –1/3 m/s2.

Hastighedsgrafen giver dig også mulighed for at bestemme forskydningsprojektionen s kroppen i et stykke tid t. Lad os på tidsaksen allokere et lille tidsinterval Δ t. Hvis dette tidsinterval er lille nok, så er hastighedsændringen over dette interval lille, dvs. bevægelsen i dette tidsinterval kan betragtes som ensartet med en vis gennemsnitshastighed, som er lig med den øjeblikkelige hastighed υ af kroppen i midten af ​​intervallet Δ t. Derfor er forskydning Δ s i tid Δ t vil være lig med Δ s = υΔ t. Denne forskydning er lig med arealet af den skraverede strimmel (fig.). Opdeling af tidsrummet fra 0 til et tidspunkt t for små intervaller Δ t, får vi, at forskydningen s for en given tid t med ensartet accelereret retlinet bevægelse er lig med arealet af trapez ODEF. Tilsvarende konstruktioner er lavet til graf II i fig. 1.4.2. Tid t taget lig med 5,5 s.

Da υ – υ0 = på s t vil blive skrevet i formen:

For at finde koordinaten y krop til enhver tid. t til startkoordinaten y 0 tilføje forskydning over tid t: DIV_ADBLOCK189">

Da υ – υ0 = på, den endelige formel for flytning s legemer med ensartet accelereret bevægelse over et tidsinterval fra 0 til t vil blive skrevet som: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif" width="146 height=55" height="55">

Når man analyserer ensartet accelereret bevægelse, opstår der nogle gange problemet med at bestemme forskydningen af ​​et legeme i henhold til givne værdier af de indledende υ0 og endelige υ hastigheder og acceleration -en. Dette problem kan løses ved hjælp af ligningerne skrevet ovenfor ved at eliminere tid fra dem. t. Resultatet skrives som

Hvis starthastigheden υ0 er lig med nul, har disse formler formen MsoNormalTable">

Det skal endnu en gang bemærkes, at mængderne υ0, υ, s, -en, y 0 er algebraiske størrelser. Afhængigt af den specifikke type bevægelse kan hver af disse mængder have både positive og negative værdier.

Et eksempel på løsning af problemet:

Petya bevæger sig ned ad bjergskråningen fra hvile med en acceleration på 0,5 m/s2 på 20 s og bevæger sig derefter langs den vandrette sektion. Efter at have rejst 40 m, styrter han ind i en gabende Vasya og falder ned i en snedrive, hvilket reducerer sin hastighed til 0 m/s. Med hvilken acceleration bevægede Petya sig langs den vandrette overflade til snedriven? Hvad er længden af ​​skråningen af ​​bjerget, hvorfra Petya så uden held gled ned?

Scene 1.

Ligningen for Petits hastighed ved slutningen af ​​nedstigningen fra bjerget:

v 1 = v 01 + -en 1t 1.

I projektioner på aksen x vi får:

v 1x = -en 1xt.

Lad os skrive en ligning, der relaterer til projektionerne af Petyas hastighed, acceleration og forskydning i det første bevægelsestrin:

eller fordi Petya kørte helt fra toppen af ​​bakken med starthastigheden V01=0

(hvis jeg var Petya, ville jeg passe på ikke at ride fra så høje bakker)

I betragtning af at Petyas begyndelseshastighed på dette 2. bevægelsestrin er lig med hans endelige hastighed på det første trin:

v 02 x = v 1 x, v 2x = 0, hvor v1 er den hastighed, hvormed Petya nåede bunden af ​​bakken og begyndte at bevæge sig mod Vasya. V2x - Petyas fart i en snedrive.

2. Fortæl ifølge denne accelerationsgraf, hvordan kroppens hastighed ændrer sig. Nedskriv ligningerne for hastighedens afhængighed af tid, hvis kroppens hastighed i begyndelsen af ​​bevægelsen (t=0) er v0х =0. Bemærk venligst, at hvert efterfølgende segment af bevægelsen begynder kroppen at passere med en vis hastighed (hvilket blev opnået i forrige gang!).

3. Et metrotog, der forlader en station, kan nå en hastighed på 72 km/t på 20 sekunder. Bestem med hvilken acceleration tasken, der er glemt i metroen, bevæger sig væk fra dig. Hvilken vej vil hun tage?

4. En cyklist, der bevæger sig med en hastighed på 3 m/s, starter ned ad bakke med en acceleration på 0,8 m/s2. Find bjergets længde, hvis nedstigningen tog 6 sek.

5. Startende opbremsning med en acceleration på 0,5 m/s2, standsede toget 225 m. Hvad var dets hastighed før bremsning?

6. Fodbolden begyndte at bevæge sig, nåede en hastighed på 50 m/s, rejste en afstand på 50 m og styrtede ind i vinduet. Bestem den tid, det tog bolden at rejse denne vej, og den acceleration, den bevægede sig med.

7. Onkel Olegs nabos reaktionstid = 1,5 minut, hvor han vil finde ud af, hvad der er sket med hans vindue, og når at løbe ud i gården. Bestem, hvilken hastighed unge fodboldspillere skal udvikle, så de glade ejere af vinduet ikke indhenter dem, hvis de skal løbe 350 m til deres indgang.

8. To cyklister går mod hinanden. Den første, med en hastighed på 36 km/t, begyndte at klatre op ad bakke med en acceleration på 0,2 m/s2, og den anden, med en hastighed på 9 km/t, begyndte at stige ned fra bjerget med en acceleration på 0,2 m. /s2. Efter hvor lang tid og på hvilket sted vil de støde sammen på grund af deres fravær, hvis bjergets længde er 100 m?

Ensartet bevægelse- dette er bevægelse med konstant hastighed, det vil sige, når hastigheden ikke ændres (v \u003d const), og der ikke er nogen acceleration eller deceleration (a \u003d 0).

Retlineær bevægelse- dette er bevægelse i en lige linje, det vil sige, at banen for retlinet bevægelse er en lige linje.

Ensartet retlinet bevægelse er en bevægelse, hvor kroppen laver de samme bevægelser i lige store tidsintervaller. For eksempel, hvis vi deler et tidsinterval i segmenter på et sekund, så vil kroppen med ensartet bevægelse bevæge sig den samme afstand for hvert af disse tidssegmenter.

Hastigheden af ​​ensartet retlinet bevægelse afhænger ikke af tid og på hvert punkt af banen er rettet på samme måde som kroppens bevægelse. Det vil sige, at forskydningsvektoren falder sammen i retning med hastighedsvektoren. I dette tilfælde er gennemsnitshastigheden for enhver tidsperiode lig med den øjeblikkelige hastighed:

Hastighed af ensartet retlinet bevægelse er en fysisk vektormængde lig med forholdet mellem legemets forskydning i en hvilken som helst tidsperiode og værdien af ​​dette interval t:

Således viser hastigheden af ​​ensartet retlinet bevægelse, hvilken bevægelse et materielt punkt foretager pr. tidsenhed.

bevæger sig med ensartet retlinet bevægelse bestemmes af formlen:

tilbagelagt afstand i retlinet bevægelse er lig med forskydningsmodulet. Hvis den positive retning af OX-aksen falder sammen med bevægelsesretningen, så er projektionen af ​​hastigheden på OX-aksen lig med hastigheden og er positiv:

v x = v, dvs. v > 0

Projektionen af ​​forskydning på OX-aksen er lig med:

s \u003d vt \u003d x - x 0

hvor x 0 er kroppens begyndelseskoordinat, x er kroppens endelige koordinat (eller kroppens koordinat til enhver tid)

Bevægelsesligning, dvs. kropskoordinatens afhængighed af tiden x = x(t), har formen:

Hvis den positive retning af OX-aksen er modsat kroppens bevægelsesretning, så er projektionen af ​​kropshastigheden på OX-aksen negativ, hastigheden er mindre end nul (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Afhængighed af hastighed, koordinater og vej til tiden

Afhængigheden af ​​projektionen af ​​kropshastigheden på tid er vist i fig. 1.11. Da hastigheden er konstant (v = const), er hastighedsgrafen en ret linje parallel med tidsaksen Ot.

Ris. 1.11. Afhængigheden af ​​projektionen af ​​kroppens hastighed til tiden for ensartet retlinet bevægelse.

Projektionen af ​​bevægelse på koordinataksen er numerisk lig med arealet af OABS-rektanglet (fig. 1.12), da størrelsen af ​​bevægelsesvektoren er lig med produktet af hastighedsvektoren og den tid, hvor bevægelsen var lavet.

Ris. 1.12. Afhængigheden af ​​projektionen af ​​kroppens bevægelse til tiden for ensartet retlinet bevægelse.

Plottet af forskydning versus tid er vist i fig. 1.13. Det kan ses på grafen, at hastighedsprojektionen er lig med

v = s 1 / t 1 = tg α

hvor α er hældningsvinklen for grafen i forhold til tidsaksen.

Jo større vinklen α er, jo hurtigere bevæger kroppen sig, det vil sige jo større hastighed (jo længere bevæger kroppen sig på kortere tid). Tangensen af ​​hældningen af ​​tangenten til grafen for koordinatens afhængighed af tid er lig med hastigheden:

Ris. 1.13. Afhængigheden af ​​projektionen af ​​kroppens bevægelse til tiden for ensartet retlinet bevægelse.

Koordinatens afhængighed af tid er vist i fig. 1.14. Det kan ses af figuren

tg α 1 > tg α 2

derfor er hastigheden på krop 1 højere end hastigheden på krop 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Hvis kroppen er i hvile, så er grafen for koordinaten en ret linje parallel med tidsaksen, dvs.

Ris. 1.14. Afhængighed af kropskoordinaten til tiden for ensartet retlinet bevægelse.

Sammenhæng mellem vinkel- og lineære værdier

Separate punkter i et roterende legeme har forskellige lineære hastigheder. Hastigheden af ​​hvert punkt, der er rettet tangentielt til den tilsvarende cirkel, ændrer kontinuerligt sin retning. Hastighedens størrelse bestemmes af kroppens omdrejningshastighed og afstanden R af det betragtede punkt fra rotationsaksen. Lad kroppen dreje gennem en vinkel på kort tid (Figur 2.4). Et punkt beliggende i en afstand R fra aksen bevæger sig en bane lig med

Lineær hastighed af et punkt per definition.

Tangentiel acceleration

Ved at bruge samme relation (2.6) får vi

Således vokser både normale og tangentielle accelerationer lineært med punktets afstand fra rotationsaksen.

Basale koncepter.

periodisk svingning er en proces, hvor et system (f.eks. mekanisk) vender tilbage til samme tilstand efter et vist tidsrum. Denne tidsperiode kaldes oscillationsperioden.

Genskabende kraft- den kraft, under hvilken den oscillerende proces finder sted. Denne kraft har en tendens til at returnere kroppen eller materialets punkt, der afviger fra hvilepositionen, til dens oprindelige position.

Afhængigt af arten af ​​påvirkningen på et oscillerende legeme skelnes der mellem frie (eller naturlige) vibrationer og tvungne vibrationer.

Gratis vibrationer finde sted, når kun gendannelseskraften virker på det oscillerende legeme. I tilfælde af, at der ikke sker energitab, er frie svingninger udæmpede. Dog dæmpes rigtige svingningsprocesser, pga et oscillerende legeme påvirkes af modstandskræfter mod bevægelse (hovedsageligt friktionskræfter).

Forcerede vibrationer udføres under påvirkning af en ekstern periodisk skiftende kraft, som kaldes drivkraften. I mange tilfælde udfører systemer oscillationer, der kan betragtes som harmoniske.

Harmoniske vibrationer kaldet sådanne oscillerende bevægelser, hvor forskydningen af ​​kroppen fra ligevægtspositionen udføres i henhold til loven om sinus eller cosinus:

For at illustrere den fysiske betydning, overvej en cirkel og drej OK-radius med en vinkelhastighed ω mod uret (7.1) pil. Hvis OK'en i det indledende tidspunkt lå i et vandret plan, vil den efter en tid t forskydes med en vinkel. Hvis startvinklen er ikke-nul og lig med φ 0 , så vil rotationsvinklen være lig med Projektionen på XO-aksen 1 er lig med . Når OK-radius roterer, ændres projektionsværdien, og punktet vil oscillere i forhold til punktet - op, ned osv. I dette tilfælde er den maksimale værdi af x lig med A og kaldes oscillationsamplituden; ω - cirkulær eller cyklisk frekvens - oscillationsfase - indledende fase. For en omdrejning af punktet K langs cirklen vil dets projektion foretage en komplet svingning og vende tilbage til udgangspunktet.

Periode T er tidspunktet for en komplet svingning. Efter tiden T gentages værdierne af alle fysiske størrelser, der karakteriserer svingningerne. I en periode rejser et oscillerende punkt en bane numerisk lig med fire amplituder.

Vinkelhastighed bestemmes ud fra den betingelse, at radius OK for perioden T vil lave en omdrejning, dvs. vil rotere gennem en vinkel på 2π radianer:

Oscillationsfrekvens- antallet af svingninger af et punkt på et sekund, dvs. oscillationsfrekvensen er defineret som den reciproke af oscillationsperioden:

Fjeder pendul elastiske kræfter.

Et fjederpendul består af en fjeder og en massiv kugle monteret på en vandret stang, langs hvilken den kan glide. Lad en kugle med hul monteres på en fjeder, som glider langs styreaksen (stangen). På fig. 7.2a viser boldens position i hvile; i fig. 7.2, b - maksimal kompression og i fig. 7.2, в - vilkårlig placering af bolden.

Under påvirkning af en genopretningskraft svarende til kompressionskraften vil bolden svinge. Kompressionskraft F \u003d -kx, hvor k er koefficienten for fjederstivhed. Minustegnet viser, at retningen af ​​kraften F og forskydningen x er modsat. Potentiel energi af en komprimeret fjeder

kinetisk.

For at udlede kuglens bevægelsesligning er det nødvendigt at forbinde x og t. Konklusionen er baseret på loven om energibevarelse. Den samlede mekaniske energi er lig med summen af ​​systemets kinetiske og potentielle energi. I dette tilfælde:

. I position b): .

Da loven om bevarelse af mekanisk energi er opfyldt i den pågældende bevægelse, kan vi skrive:

. Lad os definere hastighed herfra:

Men til gengæld, og derfor . Separate variabler . Ved at integrere dette udtryk får vi: ,

hvor er integrationens konstant. Det følger af sidstnævnte, at

Under påvirkning af en elastisk kraft udfører kroppen således harmoniske svingninger. Kræfter af anden karakter end elastiske, men hvor betingelsen F = -kx er opfyldt, kaldes kvasi-elastiske. Under påvirkning af disse kræfter laver legemer også harmoniske svingninger. Hvori:

Matematisk pendul.

Et matematisk pendul er et materialepunkt ophængt på en uudvidelig vægtløs tråd, der svinger i ét lodret plan under påvirkning af tyngdekraften.

Et sådant pendul kan betragtes som en tung kugle med masse m, suspenderet på en tynd tråd, hvis længde l er meget større end kuglens størrelse. Hvis den afbøjes med en vinkel α (fig. 7.3.) fra den lodrette linje, vil den under påvirkning af kraften F - en af ​​komponenterne i vægten P oscillere. Den anden komponent , rettet langs tråden, tages ikke i betragtning, fordi afbalanceret af spændingen i strengen. Ved små forskydningsvinkler kan x-koordinaten tælles i vandret retning. Af fig. 7.3 ses, at vægtkomponenten vinkelret på gevindet er lig med

Minustegnet på højre side betyder, at kraften F er rettet mod at mindske vinklen α. Under hensyntagen til vinklens lille α

For at udlede bevægelsesloven for matematiske og fysiske penduler bruger vi den grundlæggende ligning for dynamikken i rotationsbevægelse

Kraftmomentet i forhold til punktet O: , og inertimomentet: M=FL. Inertimoment J i dette tilfælde Vinkelacceleration:

Under hensyntagen til disse værdier har vi:

Hans beslutning ,

Som du kan se, afhænger oscillationsperioden for et matematisk pendul af dets længde og tyngdeaccelerationen og afhænger ikke af svingningernes amplitude.

dæmpede vibrationer.

Alle rigtige oscillerende systemer er dissipative. Energien fra mekaniske svingninger i et sådant system bruges gradvist på arbejde mod friktionskræfter, derfor dæmper frie svingninger altid ud - deres amplitude falder gradvist. I mange tilfælde, når der ikke er tør friktion, kan det i den første tilnærmelse anses for, at ved lave bevægelseshastigheder er de kræfter, der forårsager dæmpningen af ​​mekaniske vibrationer, proportionale med hastigheden. Disse kræfter, uanset deres oprindelse, kaldes modstandskræfter.

Lad os omskrive denne ligning i følgende form:

og angiv:

hvor repræsenterer den frekvens, hvormed frie svingninger af systemet ville forekomme i fravær af medium modstand, dvs. ved r = 0. Denne frekvens kaldes systemets naturlige oscillationsfrekvens; β - dæmpningsfaktor. Derefter

Vi vil lede efter en løsning til ligning (7.19) på den form, hvor U er en funktion af t.

Vi differentierer dette udtryk to gange med hensyn til tidspunkt t, og ved at substituere værdierne af den første og anden afledede i ligning (7.19), opnår vi

Løsningen af ​​denne ligning afhænger i det væsentlige af fortegnet for koefficienten ved U. Overvej tilfældet, når denne koefficient er positiv. Vi introducerer notationen derefter Med reel ω er løsningen til denne ligning, som vi ved, funktionen

I tilfælde af lav modstand af mediet vil løsningen til ligning (7.19) således være funktionen

Grafen for denne funktion er vist i fig. 7.8. De stiplede linjer viser de grænser, inden for hvilke forskydningen af ​​svingningspunktet er placeret. Størrelsen kaldes den naturlige cykliske oscillationsfrekvens for det dissipative system. Dæmpede svingninger er ikke-periodiske svingninger, fordi de aldrig gentager for eksempel de maksimale værdier for forskydning, hastighed og acceleration. Værdien kaldes normalt perioden med dæmpede svingninger, mere korrekt den betingede periode for dæmpede svingninger,

Den naturlige logaritme af forholdet mellem forskydningsamplituderne efter hinanden efter et tidsinterval svarende til perioden T kaldes det logaritmiske dæmpningsdekrement.

Lad os med τ betegne det tidsinterval, hvori oscillationsamplituden falder med en faktor e. Derefter

Derfor er dæmpningskoefficienten en fysisk størrelse, der er reciprok af tidsintervallet τ, hvor amplituden falder med en faktor e. Værdien τ kaldes afslapningstiden.

Lad N være antallet af svingninger, hvorefter amplituden falder med en faktor e. Så

Følgelig er den logaritmiske dæmpningsdekrement δ en fysisk størrelse, der er reciprok i forhold til antallet af svingninger N, hvorefter amplituden falder med en faktor e

Forcerede vibrationer.

I tilfælde af tvangssvingninger svinger systemet under påvirkning af en ekstern (tvungen) kraft, og på grund af denne krafts arbejde kompenseres systemets energitab periodisk. Frekvensen af ​​tvangssvingninger (tvingningsfrekvens) afhænger af frekvensen af ​​ændring af den ydre kraft.

Lad denne kraft ændre sig med tiden i henhold til loven, hvor er amplituden af ​​drivkraften. Genoprettelseskraften og modstandskraften Derefter kan Newtons anden lov skrives på følgende form.

3.1. Ensartet bevægelse i en lige linje.

3.1.1. Ensartet bevægelse i en lige linje- bevægelse i en lige linje med konstant modul og accelerationsretning:

3.1.2. Acceleration()- en fysisk vektormængde, der viser, hvor meget hastigheden vil ændre sig på 1 s.

I vektorform:

hvor er kroppens begyndelseshastighed, er kroppens hastighed på tidspunktet t.

I projektionen på aksen Okse:

hvor er projektionen af ​​starthastigheden på aksen Okse, - projektion af kropshastigheden på aksen Okse dengang t.

Tegnene på projektionerne afhænger af retningen af ​​vektorerne og aksen Okse.

3.1.3. Graf over projektion af acceleration versus tid.

Med ensartet variabel bevægelse er accelerationen konstant, derfor vil det være lige linjer parallelt med tidsaksen (se fig.):

3.1.4. Hastighed i ensartet bevægelse.

I vektorform:

I projektionen på aksen Okse:

For ensartet accelereret bevægelse:

Til slowmotion:

3.1.5. Hastighedsprojektionsplot versus tid.

Grafen for projektionen af ​​hastighed mod tid er en ret linje.

Bevægelsesretning: hvis grafen (eller en del af den) er over tidsaksen, så bevæger kroppen sig i den positive retning af aksen Okse.

Accelerationsværdi: jo større tangens af hældningsvinklen (jo stejlere den går op eller ned), jo større er accelerationsmodulet; hvor er hastighedsændringen over tid

Skæring med tidsaksen: Hvis grafen krydser tidsaksen, bremsede kroppen før skæringspunktet (lige så langsom bevægelse), og efter skæringspunktet begyndte den at accelerere i den modsatte retning (liges accelereret bevægelse).

3.1.6. Den geometriske betydning af området under grafen i akserne

Arealet under grafen, når det er på aksen Åh hastigheden er forsinket, og på aksen Okse Tid er den vej, kroppen tilbagelægger.

På fig. 3.5 tilfældet med ensartet accelereret bevægelse tegnes. Stien i dette tilfælde vil være lig med arealet af trapez: (3.9)

3.1.7. Formler til beregning af stien

Alle formler, der er præsenteret i tabellen, fungerer kun, mens bevægelsesretningen opretholdes, det vil sige indtil skæringen af ​​den rette linje med tidsaksen på grafen for afhængigheden af ​​projektionen af ​​hastighed på tid.

Hvis krydset har fundet sted, er bevægelsen lettere at bryde op i to faser:

før krydsning (bremsning):

Efter krydsning (acceleration, bevægelse i modsat retning)

I formlerne ovenfor - tiden fra begyndelsen af ​​bevægelsen til skæringen med tidsaksen (tid til at stoppe), - den vej, som kroppen har tilbagelagt fra begyndelsen af ​​bevægelsen til skæringen med tidsaksen, - tid, der er forløbet fra tidspunktet for krydsning af tidsaksen til det nuværende øjeblik t, - den sti, som kroppen har bevæget sig i den modsatte retning i løbet af den tid, der er forløbet fra tidspunktet for krydsning af tidsaksen til det nuværende øjeblik t, - forskydningsvektorens modul for hele bevægelsestiden, L- den vej, som kroppen tilbagelægger under hele bevægelsen.

3.1.8. Flyt i sekundet.

Med tiden vil kroppen rejse vejen:

Med tiden vil kroppen rejse vejen:

Derefter vil kroppen i det i-te interval dække stien:

Intervallet kan være et hvilket som helst tidsrum. Oftest med

Så på 1 sekund rejser kroppen vejen:

For 2. sekund:

For det tredje sekund:

Hvis vi ser godt efter, vil vi se, at osv.

Så når vi frem til formlen:

Med ord: de stier, som kroppen dækker i på hinanden følgende tidsperioder, korrelerer med hinanden som en række ulige tal, og dette afhænger ikke af den acceleration, som kroppen bevæger sig med. Vi understreger, at dette forhold er gældende for

3.1.9. Kropskoordinatligning for ensartet variabel bevægelse

Koordinatligning

Tegnene på projektionerne af starthastigheden og accelerationen afhænger af den relative position af de tilsvarende vektorer og aksen Okse.

For at løse problemer er det nødvendigt at tilføje ligningen for at ændre hastighedsprojektionen på aksen til ligningen:

3.2. Grafer over kinematiske størrelser for retlinet bevægelse

3.3. Frit fald krop

Frit fald betyder følgende fysiske model:

1) Faldet sker under påvirkning af tyngdekraften:

2) Der er ingen luftmodstand (i opgaver skrives det nogle gange "forsømmer luftmodstanden");

3) Alle kroppe, uanset masse, falder med samme acceleration (nogle gange tilføjer de - "uanset kroppens form", men vi betragter kun bevægelsen af ​​et materielt punkt, så kroppens form tages ikke længere i betragtning);

4) Accelerationen af ​​frit fald er rettet strengt nedad og er ens på jordens overflade (i problemer tager vi det ofte for nemheds skyld);

3.3.1. Bevægelsesligninger i projektionen på aksen Åh

I modsætning til bevægelse langs en vandret lige linje, når langt fra alle opgaver ændrer bevægelsesretningen, er det i frit fald bedst umiddelbart at bruge ligningerne skrevet i projektioner på aksen Åh.

Kropskoordinatligning:

Hastighedsprojektionsligning:

Som regel er det i problemer praktisk at vælge aksen Åh på følgende måde:

Akse Åh rettet lodret opad;

Koordinaternes oprindelse falder sammen med jordens niveau eller det laveste punkt på banen.

Med dette valg omskrives ligningerne og i følgende form:

3.4. Bevægelse i et fly Oxy.

Vi har betragtet bevægelsen af ​​et legeme med acceleration langs en lige linje. Ensartet bevægelse er dog ikke begrænset til dette. For eksempel en krop kastet i en vinkel i forhold til horisonten. I sådanne opgaver er det nødvendigt at tage højde for bevægelsen langs to akser på én gang:

Eller i vektorform:

Og ændring af projektionen af ​​hastighed på begge akser:

3.5. Anvendelse af begrebet afledt og integral

Vi vil ikke her give en detaljeret definition af derivatet og integralet. For at løse problemer har vi kun brug for et lille sæt formler.

Afledte:

hvor EN, B og det er konstanterne.

Integral:

Lad os nu se, hvordan begrebet afledt og integral kan anvendes på fysiske størrelser. I matematik er den afledede betegnet med """, i fysik er den afledede tid betegnet med "∙" over en funktion.

Hastighed:

det vil sige, at hastigheden er en afledt af radiusvektoren.

For hastighedsprojektion:

Acceleration:

det vil sige, at acceleration er en afledt af hastighed.

Til accelerationsprojektion:

Så hvis bevægelsesloven er kendt, så kan vi nemt finde både kroppens hastighed og acceleration.

Vi bruger nu begrebet et integral.

Hastighed:

det vil sige, at hastigheden kan findes som tidsintegralet af accelerationen.

Radius vektor:

det vil sige, at radiusvektoren kan findes ved at tage integralet af hastighedsfunktionen.

Så hvis funktionen er kendt, så kan vi nemt finde både kroppens hastighed og bevægelsesloven.

Konstanterne i formlerne bestemmes ud fra startbetingelserne - værdien og tidspunktet

3.6. Hastighedstrekant og forskydningstrekant

3.6.1. farttrekant

I vektorform, ved konstant acceleration, har loven om hastighedsændring formen (3.5):

Denne formel betyder, at vektoren er lig med vektorsummen af ​​vektorer, og vektorsummen kan altid afbildes i figuren (se figur).

I hver opgave vil hastighedstrekanten afhængig af forholdene have sin egen form. En sådan repræsentation gør det muligt at bruge geometriske overvejelser i løsningen, hvilket ofte forenkler løsningen af ​​problemet.

3.6.2. Bevægelsestrekant

I vektorform har bevægelsesloven ved konstant acceleration formen:

Når du løser problemet, kan du vælge referencesystemet på den mest bekvemme måde, derfor kan vi, uden at miste generaliteten, vælge referencesystemet, så det vil sige, at oprindelsen af ​​koordinatsystemet er placeret på det punkt, hvor kroppen er placeret i det første øjeblik. Derefter

det vil sige, at vektoren er lig med vektorsummen af ​​vektorerne og Lad os tegne i figuren (se fig.).

Som i det foregående tilfælde vil forskydningstrekanten afhængigt af forholdene have sin egen form. En sådan repræsentation gør det muligt at bruge geometriske overvejelser i løsningen, hvilket ofte forenkler løsningen af ​​problemet.

Spørgsmål.

1. Skriv formlen ned, hvormed du kan beregne projektionen af ​​den øjeblikkelige hastighedsvektor af retlinet ensartet accelereret bevægelse, hvis du kender: a) projektionen af ​​starthastighedsvektoren og projektionen af ​​accelerationsvektoren; b) projektionen af ​​accelerationsvektoren, givet at starthastigheden er nul.

2. Hvad er grafen for projektionen af ​​hastighedsvektoren for ensartet accelereret bevægelse ved en begyndelseshastighed: a) lig med nul; b) ikke lig med nul?

3. Hvordan er bevægelserne, hvis grafer er vist i figur 11 og 12, ens og forskellige fra hinanden?

I begge tilfælde sker bevægelsen med acceleration, men i det første tilfælde er accelerationen positiv, og i det andet er den negativ.

Øvelser.

1. Hockeyspilleren slår let pucken med en stok, hvilket giver den en hastighed på 2 m/s. Hvad vil hastigheden af ​​pucken være 4 s efter stødet, hvis den som følge af friktion mod isen bevæger sig med en acceleration på 0,25 m/s 2?

2. Skiløberen bevæger sig ned ad bjerget fra hvile med en acceleration svarende til 0,2 m/s 2 . Efter hvilket tidsinterval vil dens hastighed stige til 2 m/s?

3. Konstruer i de samme koordinatakser grafer for projektionen af ​​hastighedsvektoren (på X-aksen, rettet sammen med starthastighedsvektoren) for retlinet ensartet accelereret bevægelse for tilfældene: a) v ox = 1m/s, a x = 0,5 m/s2; b) v ox \u003d 1m / s, a x \u003d 1 m / s 2; c) v ox \u003d 2 m/s, a x \u003d 1 m/s 2.
Skalaen er den samme i alle tilfælde: 1cm - 1m/s; 1 cm - 1 sek.

4. Byg grafer i de samme koordinatakser af projektionen af ​​hastighedsvektoren (på X-aksen, rettet sammen med den indledende hastighedsvektor) for retlinet ensartet accelereret bevægelse for tilfældene: a) v ox = 4,5 m/s a x = -1,5 m/s2; b) v ox \u003d 3 m/s, a x \u003d -1 m/s 2
Vælg din egen skala.

5. Figur 13 viser graferne for modulet af hastighedsvektoren versus tid for retlinet bevægelse af to legemer. Hvad er accelerationsmodulet for krop I? krop II?