Forberedelse til Unified State eksamen i matematik (profilniveau): opgaver, løsninger og forklaringer. Grammatiske kommunikationsmidler

Opgave 2 i Unified State Exam in Society: hvordan løses

Det svære ved denne opgave 2 i Unified State Exam i samfundsfag er, at det kræver, at du finder et generaliserende ord for et bestemt antal termer. Et generaliserende ord er et generisk udtryk eller begreb, der i sin betydning inkluderer betydningen af ​​andre begreber og termer. Som i andre Unified State Examination opgaver om samfundet, kan emnerne for opgaverne være meget forskellige: social sfære, politisk, spirituel osv.

Her er for eksempel en opgave fra en rigtig Unified State Exam-test i samfundet:

Det bliver straks klart for intelligente drenge og piger, at de foreslåede ord relaterer til emnet "Spirituelle sfære i samfundet", nemlig til emnet religion. Hvis du synes det er svært at svare med det samme, anbefaler jeg at læse mit tidligere indlæg "" . Efter at have læst vilkårene for de mest vidende, står det straks klart, at der kun er to muligheder tilbage for svaret: kult og religion. Hvad vil være mere generaliserende? En kult er tilbedelse af noget.

Du kan eksperimentere ved at placere en kost i hjørnet af dit værelse. Og bed til ham hver dag, tal med ham... Om en måned vil dette være den mest værdifulde genstand for dig :). Skab en kult af kosten. Hvad er religion? Dette er en specifik form for verdensbillede, bevidsthed om verden. Det er klart, at begrebet "religion" inkluderer begrebet "kult", eftersom et verdensbillede kan omfatte tilbedelse af forskellige guddomme. For eksempel hedenskab blandt de østlige slaver: nogle havde kulten af ​​Perun (guden for torden og lyn), andre havde kulten af ​​sumpenes gud osv.

Eller for eksempel ortodoks kristendom: der er dyrkelsen af ​​Jesus Kristus, der er dyrkelsen af ​​Helligånden, der er dyrkelsen af ​​den Allerhelligste Theotokos... Forstår du det?

OKAY. Så det rigtige svar er: religion

Anbefaling 2. Du skal have et godt kendskab til termer og begreber fra forskellige emner i samfundsfag. Forstå hvilke udtryk der er relateret til hvilke, og hvilke der følger af dem. Til dette formål i mit betalte videokursus "Samfundsfag: Unified State Exam 100 point " Jeg har givet udtryksstrukturen for alle samfundsvidenskabelige emner. Jeg kan også varmt anbefale din artikel om.

Lad os se på en anden opgave 2 i Unified State Exam i samfundsfag:

Vi forstår straks, at opgave 2 i Unified State Exam undersøger emnet Social Sfære. Hvis du har glemt emnet, så download mit gratis videokursus. Hvis du ikke gør dette, vil du højst sandsynligt begå en fejl. Nogle menneskers logik er så skæv, at den simpelthen er brutal! I mellemtiden er det korrekte svar: "socialiseringsagent" en gruppe eller forening, der deltager i et individs beherskelse af samfundets regler og normer, såvel som sociale roller. Hvis du ikke er bekendt med disse vilkår, anbefaler jeg igen stærkt at downloade mit gratis videokursus.

Anbefaling 3. Vær ekstremt forsigtig! Løs opgave 2 i Unified State Examen i samfundsfag igen og igen for at gøre dette kvalitativt på maskinen. Her er et eksempel på en lignende opgave, der er sværere:

Temaet "Videnskab" fra samfundets åndelige sfære. Forresten havde jeg en detaljeret artikel om dette emne. Personer, der ikke er særlig opmærksomme, vil straks begå en fejl ved i svaret at angive: klassifikationsgrundlag eller teoretisk validitet. Mellem det rigtige svar: videnskabelig viden , som omfatter forskellige klassifikationer og teoretisk validitet!

I de følgende indlæg vil vi helt sikkert se på andre vanskelige opgaver på samfundet, så !

Jeg har vedhæftet et par opgaver til Unified State Examination 2 i samfundet, som du kan beslutte:

Gymnasial almen uddannelse

Linje UMK G. K. Muravin. Algebra og principper for matematisk analyse (10-11) (dybdegående)

UMK Merzlyak linje. Algebra og begyndelsen af ​​analyse (10-11) (U)

Matematik

Forberedelse til Unified State-eksamen i matematik (profilniveau): opgaver, løsninger og forklaringer

Profilniveauundersøgelsen varer 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimumsgrænse- 27 point.

Eksamensopgaven består af to dele, som adskiller sig i indhold, kompleksitet og antal opgaver.

Det definerende træk ved hver del af arbejdet er opgavernes form:

• del 1 indeholder 8 opgaver (opgave 1-8) med et kort svar i form af et helt tal eller en sidste decimalbrøk;
• del 2 indeholder 4 opgaver (opgave 9-12) med en kort besvarelse i form af et heltal eller en sidste decimalbrøk og 7 opgaver (opgave 13-19) med en detaljeret besvarelse (en komplet optegnelse af løsningen med begrundelse for truffet handlinger).

Panova Svetlana Anatolevna, matematiklærer i den højeste skolekategori, erhvervserfaring 20 år:

"For at modtage et skolebevis skal en kandidat bestå to obligatoriske eksamener i form af Unified State Examination, hvoraf den ene er matematik. I overensstemmelse med konceptet for udvikling af matematisk uddannelse i Den Russiske Føderation er Unified State Examination i matematik opdelt i to niveauer: grundlæggende og specialiseret. I dag vil vi se på muligheder på profilniveau."

Opgave nr. 1- tester Unified State Exam-deltagernes evne til at anvende de færdigheder erhvervet i 5. til 9. klasses kursus i elementær matematik i praktiske aktiviteter. Deltageren skal have regneevne, kunne arbejde med rationelle tal, kunne afrunde decimaler og kunne omregne en måleenhed til en anden.

Eksempel 1. I lejligheden, hvor Peter bor, var der installeret en koldtvandsflowmåler (måler). 1. maj viste måleren et forbrug på 172 kubikmeter. m vand, og den første juni - 177 kubikmeter. m. Hvor meget skal Peter betale for koldt vand i maj, hvis prisen er 1 kubikmeter? m koldt vand er 34 rubler 17 kopek? Giv dit svar i rubler.

Løsning:

1) Find mængden af ​​brugt vand pr. måned:

177 - 172 = 5 (kubikm)

2) Lad os finde ud af, hvor mange penge de vil betale for spildt vand:

34,17 5 = 170,85 (gnid)

Svar: 170,85.

Opgave nr. 2- er en af ​​de enkleste eksamensopgaver. De fleste kandidater klarer det med succes, hvilket indikerer viden om definitionen af ​​funktionsbegrebet. Opgavetype nr. 2 ifølge kravkodifikatoren er en opgave om brug af erhvervet viden og færdigheder i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Opgave nr. 2 består i at beskrive, bruge funktioner, forskellige reelle sammenhænge mellem størrelser og fortolke deres grafer. Opgave nr. 2 tester evnen til at udtrække information præsenteret i tabeller, diagrammer og grafer. Kandidater skal være i stand til at bestemme værdien af ​​en funktion ud fra værdien af ​​argumentet på forskellige måder for at specificere funktionen og beskrive funktionens adfærd og egenskaber baseret på dens graf. Du skal også kunne finde den største eller mindste værdi fra en funktionsgraf og bygge grafer over de undersøgte funktioner. Fejl lavet er tilfældige ved læsning af betingelserne for problemet, læsning af diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2. Figuren viser ændringen i bytteværdien af ​​én aktie i et mineselskab i første halvdel af april 2017. Den 7. april købte forretningsmanden 1.000 aktier i dette selskab. Den 10. april solgte han tre fjerdedele af de aktier, han købte, og den 13. april solgte han alle de resterende aktier. Hvor meget tabte forretningsmanden som følge af disse operationer?

Løsning:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aktier) - udgør 3/4 af alle købte aktier.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gnide) - forretningsmanden modtog 1000 aktier efter salg.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (gnidning) - forretningsmanden tabte som følge af alle operationer.

Svar: 15000.

Opgave nr. 3- er en grundlæggende opgave i første del, tester evnen til at udføre handlinger med geometriske figurer i henhold til indholdet af planimetrikurset. Opgave 3 tester evnen til at beregne arealet af en figur på ternet papir, evnen til at beregne gradmål af vinkler, beregne omkredse osv.

Eksempel 3. Find arealet af et rektangel tegnet på ternet papir med en cellestørrelse på 1 cm gange 1 cm (se figur). Giv dit svar i kvadratcentimeter.

Løsning: For at beregne arealet af en given figur kan du bruge Peak-formlen:

For at beregne arealet af et givet rektangel bruger vi Peaks formel:

Eksempel 4. Der er 5 røde og 1 blå prikker markeret på cirklen. Bestem, hvilke polygoner der er større: dem med alle hjørnerne røde eller dem med en af ​​hjørnerne blå. Angiv i dit svar, hvor mange der er flere af nogle end andre.

Løsning: 1) Lad os bruge formlen for antallet af kombinationer af n elementer af k:

hvis hjørner alle er røde.

3) En femkant med alle hjørner røde.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

som har røde toppe eller med én blå top.

som har røde toppe eller med én blå top.

8) En sekskant med røde hjørner og en blå top.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner med alle røde hjørner eller et blåt hjørne.

10) 42 – 16 = 26 polygoner ved hjælp af den blå prik.

11) 26 – 16 = 10 polygoner – hvor mange flere polygoner, hvor et af hjørnerne er en blå prik, er der end polygoner, hvor alle hjørnerne kun er røde.

Svar: 10.

Opgave nr. 5- det grundlæggende niveau i første del tester evnen til at løse de simpleste ligninger (irrationelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5. Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Divider begge sider af denne ligning med 5 3 + x≠ 0, får vi

hvoraf det følger, at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Opgave nr. 6 i planimetri for at finde geometriske størrelser (længder, vinkler, arealer), modellering af virkelige situationer i geometrisproget. Studie af konstruerede modeller ved hjælp af geometriske begreber og sætninger. Kilden til vanskeligheder er som regel uvidenhed eller forkert anvendelse af de nødvendige planimetriske sætninger.

Areal af en trekant ABC svarer til 129. DE– midterlinje parallelt med siden AB. Find arealet af trapez EN SENG.

Løsning. Trekant CDE ligner en trekant CAB i to vinkler, da vinklen ved toppunktet C generelt, vinkel СDE lig med vinkel CAB som de tilsvarende vinkler ved DE || AB sekant A.C.. Fordi DE er midterlinjen i en trekant efter betingelse, derefter efter egenskaben for midterlinjen | DE = (1/2)AB. Det betyder, at lighedskoefficienten er 0,5. Arealerne af lignende figurer er derfor relateret som kvadratet af lighedskoefficienten

Derfor, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Opgave nr. 7- kontrollerer anvendelsen af ​​den afledede til studiet af en funktion. Succesfuld implementering kræver meningsfuld, ikke-formel viden om begrebet derivat.

Eksempel 7. Til grafen for funktionen y = f(x) ved abscissepunktet x 0 tegnes en tangent, der er vinkelret på linjen, der går gennem punkterne (4; 3) og (3; –1) i denne graf. Find f′( x 0).

Løsning. 1) Lad os bruge ligningen for en linje, der går gennem to givne punkter, og finde ligningen for en linje, der går gennem punkterne (4; 3) og (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Find hældningen af ​​tangenten k 2, som er vinkelret på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, ifølge formlen:

3) Tangentvinklen er den afledede af funktionen ved tangenspunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Opgave nr. 8- tester eksamensdeltagernes viden om elementær stereometri, evnen til at anvende formler til at finde overfladearealer og rumfang af figurer, dihedrale vinkler, sammenligne volumen af ​​lignende figurer, kunne udføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer mv.

Rumfanget af en terning omskrevet omkring en kugle er 216. Find kuglens radius.

Løsning. 1) V terning = -en 3 (hvor EN– længden af ​​terningens kant), derfor

EN 3 = 216

EN = 3 √216

2) Da kuglen er indskrevet i en terning, betyder det, at længden af ​​kuglens diameter er lig med længden af ​​terningens kant, derfor d = -en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Opgave nr. 9- kræver, at kandidaten har færdigheder til at transformere og forenkle algebraiske udtryk. Opgave nr. 9 af øget sværhedsgrad med kort svar. Opgaverne fra afsnittet "Beregninger og transformationer" i Unified State-eksamenen er opdelt i flere typer:

transformation af numeriske rationelle udtryk;

konvertering af algebraiske udtryk og brøker;

konvertering af irrationelle numeriske/bogstavsudtryk;

handlinger med grader;

konvertering af logaritmiske udtryk;

1. konvertering af numeriske/bogstav trigonometriske udtryk.

Eksempel 9. Beregn tanα, hvis det vides, at cos2α = 0,6 og

Løsning. 1) Lad os bruge dobbeltargumentformlen: cos2α = 2 cos 2 α – 1 og finde

Dette betyder tan 2 α = ± 0,5.

3) Efter betingelse

dette betyder, at α er vinklen af ​​den anden fjerdedel og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Opgave nr. 10- tester elevernes evne til at bruge erhvervet tidlig viden og færdigheder i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan sige, at det er problemer i fysik og ikke i matematik, men alle de nødvendige formler og størrelser er givet i betingelsen. Problemerne bunder i at løse en lineær eller andengradsligning eller en lineær eller andengrads ulighed. Derfor er det nødvendigt at kunne løse sådanne ligninger og uligheder og bestemme svaret. Besvarelsen skal gives som et helt tal eller en endelig decimalbrøk.

To masselegemer m= 2 kg hver, bevæger sig med samme hastighed v= 10 m/s i en vinkel på 2α i forhold til hinanden. Den energi (i joule), der frigives under deres absolut uelastiske kollision, bestemmes af udtrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken mindste vinkel 2α (i grader) skal kroppene bevæge sig, så der frigives mindst 50 joule som følge af kollisionen?
Løsning. For at løse problemet skal vi løse uligheden Q ≥ 50 i intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°), løser vi kun

Lad os repræsentere løsningen på uligheden grafisk:

Da det ved betingelse α ∈ (0°; 90°), betyder 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Opgave nr. 11- er typisk, men viser sig at være svært for eleverne. Den største kilde til vanskeligheder er konstruktionen af ​​en matematisk model (opstilling af en ligning). Opgave nr. 11 tester evnen til at løse ordopgaver.

Eksempel 11. I løbet af forårsferien skulle Vasya i 11. klasse løse 560 øvelsesproblemer for at forberede sig til Unified State-eksamenen. Den 18. marts, på den sidste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han det samme antal problemer mere end den foregående dag. Bestem, hvor mange problemer Vasya løste den 2. april, den sidste dag i ferien.

560 = (5 + -en 16) 8,

5 + -en 16 = 560: 8,

5 + -en 16 = 70,

-en 16 = 70 – 5

-en 16 = 65.

Svar: 65.

Opgave nr. 12- de tester elevernes evne til at udføre operationer med funktioner og til at kunne anvende den afledede til studiet af en funktion.

Find det maksimale punkt for funktionen y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Find definitionsdomænet for funktionen: x + 9 > 0, x> –9, det vil sige x ∈ (–9; ∞).

2) Find den afledede af funktionen:

4) Det fundne punkt hører til intervallet (–9; ∞). Lad os bestemme tegnene på funktionens afledte og skildre funktionsadfærden i figuren:

Det ønskede maksimumpunkt x = –8.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet.

Løsning: a) Lad log 3 (2cos x) = t, derefter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Find rødderne, der ligger på segmentet.

Figuren viser, at rødderne af det givne segment hører til

Diameteren af ​​cirklen på cylinderens bund er 20, cylinderens generatrix er 28. Planet skærer sin base langs akkorder med længde 12 og 16. Afstanden mellem akkorderne er 2√197.

a) Bevis, at centrum af cylinderens bunde ligger på den ene side af dette plan.

b) Find vinklen mellem dette plan og planet for bunden af ​​cylinderen.

Løsning: a) En korde med længden 12 er i en afstand = 8 fra centrum af basiscirklen, og en korde med længden 16 har tilsvarende en afstand på 6. Derfor er afstanden mellem deres projektioner på et plan parallelt med cylindrenes base er enten 8 + 6 = 14 eller 8 - 6 = 2.

Så er afstanden mellem akkorderne enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ifølge betingelsen blev det andet tilfælde realiseret, hvor fremspringene af akkorderne ligger på den ene side af cylinderaksen. Dette betyder, at aksen ikke skærer dette plan i cylinderen, det vil sige, at baserne ligger på den ene side af den. Hvad skulle bevises.

b) Lad os betegne basernes centre som O 1 og O 2. Lad os tegne fra midten af ​​basen med en akkord med længden 12 en halveringslinje vinkelret på denne akkord (den har længde 8, som allerede nævnt) og fra midten af ​​den anden base til den anden akkord. De ligger i samme plan β, vinkelret på disse akkorder. Lad os kalde midtpunktet af den mindre akkord B, den større akkord A og projektionen af ​​A på den anden base - H (H ∈ β). Så er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelret på akkorden, det vil sige den rette skæringslinje mellem basen og den givne plan.

Det betyder, at den nødvendige vinkel er lig med

Opgave nr. 15- øget kompleksitetsniveau med en detaljeret besvarelse, tester evnen til at løse uligheder, som løses mest vellykket blandt opgaver med en detaljeret besvarelse af et øget kompleksitetsniveau.

Eksempel 15. Løs ulighed | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definitionsdomænet for denne ulighed er intervallet (–1; +∞). Overvej tre sager separat:

1) Lad x 2 – 3x= 0, dvs. x= 0 eller x= 3. I dette tilfælde bliver denne ulighed sand, derfor er disse værdier inkluderet i løsningen.

2) Lad nu x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Desuden kan denne ulighed omskrives som ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og dividere med et positivt udtryk x 2 – 3x. Vi får log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 eller x≤ –0,5. Under hensyntagen til definitionsdomænet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Overvej endelig x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfælde vil den oprindelige ulighed blive omskrevet i formen (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Efter at have divideret med positive 3 x – x 2, vi får log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Under hensyntagen til regionen, har vi x ∈ (0; 1].

Ved at kombinere de opnåede løsninger opnår vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Opgave nr. 16- avanceret niveau refererer til opgaver i anden del med en detaljeret besvarelse. Opgaven tester evnen til at udføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Opgaven indeholder to punkter. I det første punkt skal opgaven bevises, og i det andet punkt beregnes.

I en ligebenet trekant ABC med en vinkel på 120° er halveringslinjen BD tegnet ved toppunkt A. Rektangel DEFH er indskrevet i trekant ABC, så siden FH ligger på segment BC, og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Find arealet af rektanglet DEFH, hvis AB = 4.

Løsning: EN)

1) ΔBEF – rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, så EF = BE ved egenskaben for benet, der ligger modsat vinklen på 30°.

2) Lad EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 ifølge Pythagoras sætning.

3) Da ΔABC er ligebenet, betyder det ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen af ​​∠B, hvilket betyder ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Overvej ΔDBH – rektangulær, fordi DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Eksempel 17. Et depositum på 20 millioner rubler er planlagt til at blive åbnet i fire år. Ved udgangen af ​​hvert år øger banken indskuddet med 10 % i forhold til størrelsen ved årets begyndelse. Derudover genopfylder investoren i begyndelsen af ​​tredje og fjerde år årligt depositumet med x millioner rubler, hvor x - hel nummer. Find den største værdi x, hvor banken vil tilfalde mindre end 17 millioner rubler til depositum over fire år.

Løsning: Ved udgangen af ​​det første år vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og i slutningen af ​​det andet - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. I begyndelsen af ​​det tredje år vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + x), og i slutningen - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 x). Ved begyndelsen af ​​det fjerde år vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og i slutningen - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x) · 0,1 = (29,282 + 2,31 x). Ved betingelse skal du finde det største heltal x, som uligheden gælder for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Den største heltalsløsning på denne ulighed er tallet 24.

Svar: 24.

Ved hvad -en system af ulighed

har præcis to løsninger?

Løsning: Dette system kan omskrives i formularen

Hvis vi på planet tegner mængden af ​​løsninger til den første ulighed, får vi det indre af en cirkel (med en grænse) med radius 1 med centrum i punktet (0, EN). Sættet af løsninger til den anden ulighed er den del af planet, der ligger under grafen for funktionen y = | x| – -en, og sidstnævnte er grafen for funktionen
y = | x| , flyttet ned af EN. Løsningen til dette system er skæringspunktet mellem sæt af løsninger til hver af ulighederne.

Følgelig vil dette system kun have to løsninger i tilfældet vist i fig. 1.

Cirklens kontaktpunkter med linjerne vil være systemets to løsninger. Hver af de lige linjer hælder til akserne i en vinkel på 45°. Så det er en trekant PQR– rektangulære ligebenede. Prik Q har koordinater (0, EN), og pointen R– koordinater (0, – EN). Hertil kommer segmenterne PR Og PQ lig med radius af cirklen lig med 1. Dette betyder

Lade Sn sum P udtryk for en aritmetisk progression ( en s). Det er kendt, at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Angiv formlen P termin af denne progression.

b) Find den mindste absolutte sum S n.

c) Find den mindste P, hvorpå S n vil være kvadratet af et heltal.

Løsning: a) Det er indlysende en n = S n – S n- 1 . Ved hjælp af denne formel får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siden S n = 2n 2 – 25n, så overvej funktionen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Dens graf kan ses på figuren.

Det er klart, at den mindste værdi opnås ved de heltalspunkter, der er tættest på funktionens nuller. Det er selvfølgelig punkter x= 1, x= 12 og x= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, så er den mindste værdi 12.

c) Af det foregående afsnit følger det Sn positiv, startende fra n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så realiseres det åbenlyse tilfælde, når dette udtryk er et perfekt kvadrat, hvornår n = 2n– 25, altså kl P= 25.

Det er tilbage at kontrollere værdierne fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser sig, at for mindre værdier P en komplet firkant opnås ikke.

Svar: EN) en n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden maj 2017 har den forenede forlagsgruppe "DROFA-VENTANA" været en del af det russiske lærebogsselskab. Selskabet omfatter også forlaget Astrel og den digitale uddannelsesplatform LECTA. Alexander Brychkin, kandidat fra Finansakademiet under Den Russiske Føderations regering, kandidat for økonomiske videnskaber, leder af innovative projekter fra DROFA-forlaget inden for digital uddannelse (elektroniske former for lærebøger, Russian Electronic School, digital uddannelsesplatform LECTA) blev udnævnt til generaldirektør. Før han kom til DROFA-forlaget, havde han stillingen som vicepræsident for strategisk udvikling og investeringer i forlaget EKSMO-AST. I dag har forlagsvirksomheden "Russian Textbook" den største portefølje af lærebøger inkluderet i den føderale liste - 485 titler (ca. 40%, eksklusive lærebøger til specialskoler). Selskabets forlag ejer de mest populære sæt af lærebøger i russiske skoler inden for fysik, tegning, biologi, kemi, teknologi, geografi, astronomi - videnområder, der er nødvendige for udviklingen af ​​landets produktive potentiale. Selskabets portefølje omfatter lærebøger og læremidler til grundskoler, som blev tildelt præsidentprisen på uddannelsesområdet. Det er lærebøger og manualer inden for fagområder, der er nødvendige for udviklingen af ​​Ruslands videnskabelige, tekniske og produktionsmæssige potentiale.

Leksikalske kommunikationsmidler:

1. Leksikalsk gentagelse- gentagelse af det samme ord. Rundt om i byen spredte skove sig over de lave bakker, mægtige og uberørte. I skovene var der store enge og afsidesliggende søer med enorme gamle fyrretræer langs bredderne.
2. Beslægtede. Selvfølgelig kendte en sådan mester sit værd, følte forskellen mellem sig selv og en mindre talentfuld person, men han kendte også udmærket en anden forskel - forskellen mellem sig selv og en mere talentfuld person. Respekt for de mere dygtige og erfarne er det første tegn på talent.
3. Synonymer. Vi så en elg i skoven. Sokhaty gik langs kanten af ​​skoven og var ikke bange for nogen.
4. Antonymer. Naturen har mange venner. Hun har væsentligt færre fjender.
5. Beskrivende sætninger. De byggede en motorvej. En støjende, hastigt strømmende flod af liv forbandt regionen med hovedstaden.

Grammatiske kommunikationsmidler:

1. Personlige stedord. 1) Og nu lytter jeg til stemmen fra en gammel strøm. Han kurrer som en vild due. 2) Opfordringen til skovbeskyttelse bør primært rettes mod unge. Hun skulle bo og forvalte dette land, hun skulle dekorere det. 3) Han vendte uventet tilbage til sin fødeby. Hans ankomst glædede og skræmte hans mor.
2. Demonstrative stedord(sådan, at, dette) 1) En mørk himmel med klare, nålelignende stjerner svævede over landsbyen. Sådanne stjerner vises kun om efteråret. 2) Engsnarren skreg med fjerne, søde rykkelyde. Disse engsnarrer og solnedgange er uforglemmelige; de blev bevaret for evigt ved et rent syn. – i den anden tekst er kommunikationsmidlerne leksikalsk gentagelse og det demonstrative pronomen "disse".
3. Pronominale adverbier(der, så, så osv.) Han [Nikolai Rostov] vidste, at denne historie bidrog til glorificeringen af ​​vores våben, og derfor var det nødvendigt at lade som om, at du ikke tvivlede på det. Det var, hvad han gjorde.
4. Fagforeninger(for det meste komponerende) Det var maj 1945. Foråret tordnede. Folket og landet frydede sig. Moskva hilste heltene. Og glæden fløj ind i himlen som lys. Med samme Snakken og Latter begyndte Betjentene hastigt at gøre sig klar; igen satte de samovaren på beskidt vand. Men Rostov, uden at vente på te, gik til eskadrillen."
5. Partikler.
6. Indledende ord og konstruktioner(med ét ord, altså, for det første osv.) De unge talte om alt russisk med foragt eller ligegyldighed og forudsagde i spøg for Rusland Rhinforbundets skæbne. Kort sagt, samfundet var ret ulækkert.
7. Enhed af spændte former for verber- brugen af ​​identiske former for grammatisk tid, som angiver samtidighed eller rækkefølge af situationer. Efterligning af den franske tone fra Louis XV's tid var på mode. Kærlighed til fædrelandet syntes pedanteri. Datidens kloge mænd roste Napoleon med fanatisk slaveri og spøgte med vores fiaskoer. – alle verber bruges i datid.
8. Ufuldstændige sætninger og ellipse, med henvisning til de foregående elementer i teksten: Gorkin skærer brødet, fordeler skiverne. Han lægger det også på mig: det er enormt, du vil dække hele dit ansigt.
9. Syntaktisk parallelisme– identisk konstruktion af flere tilstødende sætninger. At kunne tale er en kunst. At lytte er en kultur.

Meningsfulde relationer udtrykt ved koordinerende konjunktioner:

1. Tilslutning: og, ja (=og), og...og..., ikke kun... men også, sådan og, også, også
2. Afdelere: eller, eller, så...det, ikke det...ikke det, eller...eller, enten...eller
3. Grim: a, men, ja (=men), dog, men
4. Gradering: ikke kun, men også, ikke så meget... som, egentlig ikke... men
5. Forklarende: altså
6. Tilslutning: også, også, ja og, og desuden, og
7. også, ja og altså, nemlig.

Meningsfulde relationer udtrykt ved underordnede konjunktioner:

• Midlertidig: når, mens, knap, kun, mens, bare, knap, knap
• Årsag: siden, fordi, fordi, i lyset af det faktum, at, på grund af det faktum, at, på grund af, at, for (forældet), på grund af det faktum, at
• Betinget: hvis (hvis kun, hvis, hvis - forældet), hvis, én gang, så snart
• Mål: således at, for at, for at (forældet), med det formål, for at, derefter for at
• Konsekvenser: Så
• Koncessiv: selv om det på trods af det
• Sammenlignende: som, som om, som om, præcis, end, som om, ligeledes, snarere end (forældet)
• Forklarende: hvad, hvordan, til
• Konjunktioner bruges ikke i begyndelsen af ​​en sætning: så, end, snarere end, samt forklarende ledsætninger: hvad, hvordan, så det.

I opgave nr. 2 af Unified State Examination i matematik er det nødvendigt at demonstrere viden om at arbejde med magtudtryk.

Teori til opgave nr. 2

Reglerne for håndtering af grader kan præsenteres som følger:

Derudover skal du huske om operationer med brøker:

Nu kan du gå videre til at analysere typiske muligheder! 🙂

Analyse af typiske muligheder for opgave nr. 2 i Unified State Examen i matematik på grundlæggende niveau

Første version af opgaven

Find meningen med udtrykket

Eksekveringsalgoritme:

1. Udtryk et tal med en negativ eksponent som egenbrøk.
2. Udfør den første multiplikation.
3. Repræsenter talpotenser som primtal, og erstatte potenser med multiplikation.
4. Udfør multiplikation.
5. Udfør tilføjelse.

Løsning:

Det vil sige: 10 -1 = 1/10 1 = 1/10

Lad os udføre den første multiplikation, det vil sige at gange et helt tal med en egen brøk. For at gøre dette skal du gange brøkens tæller med et helt tal og lade nævneren være uændret.

9 1/10 = (9 1)/10 = 9/10

Den første potens af et tal er altid selve tallet.

Anden potens af et tal er et tal ganget med sig selv.

10 2 = 10 10 = 100

Svar: 560,9

Anden version af opgaven

Find meningen med udtrykket

Eksekveringsalgoritme:

1. Repræsenter første potens af et tal som et heltal.
2. Repræsenter negative potenser af tal som egenbrøker.
3. Udfør multiplikation af heltal.
4. Gang hele tal med rigtige brøker.
5. Udfør tilføjelse.

Løsning:

Den første potens af et tal er altid selve tallet. (10 1 = 10)

For at repræsentere en negativ potens af et tal som en almindelig brøk, skal du dividere 1 med dette tal, men til en positiv potens.

10 -1 = 1/10 1 = 1/10

10 -2 = 1/10 2 = 1/(10 10) = 1/100

Lad os gange heltal.

3 10 1 = 3 10 = 30

Lad os gange hele tal med rigtige brøker.

4 10 -2 = 4 1/100 = (4 1)/100 = 4/100

2 10 -1 = 2 1/10 = (2 1)/10 = 2/10

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket under hensyntagen til det

Svar: 30.24

Tredje version af opgaven

Find meningen med udtrykket

Eksekveringsalgoritme:

1. Repræsenter talpotenser i form af multiplikation og beregn værdien af ​​talpotenser.
2. Udfør multiplikation.
3. Udfør tilføjelse.

Løsning:

Lad os repræsentere talpotenser i form af multiplikation. For at repræsentere styrken af ​​et tal i form af multiplikation, skal du gange dette tal med sig selv lige så mange gange, som det er indeholdt i eksponenten.

2 4 = 2 2 2 2 = 16

2 3 = 2 2 2 = 8

Lad os lave multiplikationen:

4 2 4 = 4 16 = 64

3 2 3 = 3 8 = 24

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket:

Fjerde version af opgaven

Find meningen med udtrykket

Eksekveringsalgoritme:

1. Udfør handlingen i parentes.
2. Udfør multiplikation.

Løsning:

Lad os repræsentere magten af ​​et tal på en sådan måde, at vi kan tage den fælles faktor ud af parentesen.

3 4 3 + 2 4 4 = 4 3 (3 + 2 4)

Lad os udføre handlingen i parentes.

(3 + 2 4) = (3 + 8) = 11

4 3 = 4 4 4 = 64

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket under hensyntagen til det

Femte version af opgaven

Find meningen med udtrykket

Eksekveringsalgoritme:

1. Lad os repræsentere magten af ​​et tal på en sådan måde, at vi kan tage den fælles faktor ud af parentesen.
2. Placer den fælles faktor ud af parentes.
3. Udfør handlingen i parentes.
4. Fremstil potensen af ​​et tal som en multiplikation og beregn værdien af ​​tallets potens.
5. Udfør multiplikation.

Løsning:

Lad os repræsentere magten af ​​et tal på en sådan måde, at vi kan tage den fælles faktor ud af parentesen.

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes

2 5 3 + 3 5 2 = 5 2 (2 5 + 3)

Lad os udføre handlingen i parentes.

(2 5 + 3) = (10 + 3) = 13

Lad os repræsentere magten af ​​et tal i form af multiplikation. For at repræsentere et tals potens i form af multiplikation, skal du gange dette tal med sig selv lige så mange gange, som det er indeholdt i eksponenten.

5 2 = 5 5 = 25

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket under hensyntagen til det

Vi udfører multiplikation i en kolonne, vi har:

Mulighed for den anden opgave fra Unified State Exam 2017 (1)

Find betydningen af ​​udtrykket:

Løsning:

I denne opgave er det mere bekvemt at bringe værdierne til en mere velkendt form, nemlig at skrive tallene i tælleren og nævneren i standardform:

Herefter kan du dividere 24 med 6, resultatet er 4.

Ti til fjerde potens, når divideret med ti til tredje potens giver ti til første, eller blot ti, så vi får:

Mulighed for den anden opgave fra Unified State Exam 2017 (2)

Find betydningen af ​​udtrykket:

Løsning:

I dette tilfælde skal vi bemærke, at tallet 6 i nævneren er indregnet i faktorer 2 og 3 i 5 potens:

Efter dette kan du udføre reduktioner af grader for to: 6-5 = 1, for tre: 8-5 = 3.

Nu terninger 3 og gange med 2, så vi får 54.

Mulighed for den anden opgave i 2019 (1)

Eksekveringsalgoritme

1. Anvend til tælleren af ​​hellige magter (a x) y = a xy. Vi får 3-6.
2. Anvend på brøkdele af hellige kræfter a x /a y =a x–y.
3. Hæv 3 til den resulterende styrke.

Løsning:

(3 –3) 2 /3 –8 = 3 –6 /3 –8 = 3 –6–(–8)) = 3 –6+8 = 3 2 = 9

Mulighed for den anden opgave 2019 (2)

Eksekveringsalgoritme

1. Vi bruger for graden i tælleren (14 9) (ab) x =a x b x. Lad os dekomponere 14 til produktet af 2 og 7. Vi opnår produktet af potenser med 2 og 7.
2. Lad os omdanne udtrykket til 2 brøker, som hver vil indeholde potenser med samme grundtal.
3. Anvend på brøkdele af hellige kræfter a x /a y =a x–y.
4. Vi finder det resulterende produkt.

Løsning:

14 9 / 2 7 7 8 = (2 7) 9 / 2 7 7 8 = 2 9 7 9 / 2 7 7 8 = 2 9–7 7 9–8 = 2 2 7 1 = 4 ·7 = 28

Mulighed for den anden opgave 2019 (3)

Eksekveringsalgoritme

1. Vi tager den fælles faktor 5 2 =25 ud af parentes.
2. Vi gange i parentes tallene 2 og 5. Vi får 10.
3. Vi tilføjer 10 og 3 i parentes. Vi får 13.
4. Vi ganger den fælles faktor 25 og 13.

Løsning:

2 5 3 +3 5 2 = 5 2 (2 5+3) = 25 (10+3) = 25 13 = 325

Mulighed for den anden opgave 2019 (4)

Eksekveringsalgoritme

1. Kvadret (–1). Vi får 1, da den er hævet til en jævn styrke.
2. Hæv (–1) til 5. potens. Vi får –1, fordi hævning til en ulige styrke forekommer.
3. Vi udfører multiplikationsoperationer.
4. Vi får forskellen på to tal. Vi finder hende.

Løsning:

6·(–1) 2 +4·(–1) 5 = 6·1+4·(–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Mulighed for den anden opgave 2019 (5)

Eksekveringsalgoritme

1. Lad os konvertere faktorerne 10 3 og 10 2 til heltal.
2. Vi finder produkterne ved at flytte decimaltegnet til højre med det passende antal decimaler.
3. Find den resulterende mængde.