Konstruktion af planligningen på tre punkter. Et flys ligning: hvordan komponerer man? Typer af planligninger

For at et enkelt plan kan trækkes gennem tre punkter i rummet, er det nødvendigt, at disse punkter ikke ligger på en lige linje.

Betragt punkterne M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) i et fælles kartesisk koordinatsystem.

For at et vilkårligt punkt M(x, y, z) skal ligge i samme plan med punkterne M 1 , M 2 , M 3 , skal vektorerne være koplanære.

(
) = 0

På denne måde

Ligning for et plan, der passerer gennem tre punkter:

Ligning af en plan med hensyn til to punkter og en vektor kollineær til planet.

Lad punkterne M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) og vektoren
.

Lad os sammensætte ligningen for planet, der går gennem de givne punkter M 1 og M 2 og et vilkårligt punkt M (x, y, z) parallelt med vektoren .

Vektorer
og vektor
skal være koplanar, dvs.

(
) = 0

Planligning:

Ligning af en plan med hensyn til et punkt og to vektorer,

collineært plan.

Lad to vektorer være givet
og
, collineære planer. Så for et vilkårligt punkt M(x, y, z), der hører til planet, vil vektorerne
skal være koplanar.

Planligning:

Planligning efter punkt og normalvektor .

Sætning. Hvis et punkt M er givet i rummet 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), derefter ligningen for det plan, der passerer gennem punktet M 0 vinkelret på normalvektoren (EN, B, C) har formen:

EN(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bevis. For et vilkårligt punkt M(x, y, z), der hører til planet, komponerer vi en vektor . Fordi vektor - normalvektoren, så er den vinkelret på planet, og derfor vinkelret på vektoren
. Derefter det skalære produkt

= 0

Således får vi planligningen

Sætningen er blevet bevist.

Ligning af et plan i segmenter.

Hvis i den generelle ligning Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, divideres begge dele med (-D)

,

udskiftning
, får vi ligningen for planet i segmenter:

Tallene a, b, c er henholdsvis planens skæringspunkter med x-, y- og z-akserne.

Planligning i vektorform.

hvor

- radius-vektor for det aktuelle punkt M(x, y, z),

En enhedsvektor, der har retningen af ​​vinkelret faldet til planet fra origo.

,  og  er vinklerne dannet af denne vektor med x-, y- og z-akserne.

p er længden af ​​denne vinkelret.

I koordinater har denne ligning formen:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Afstanden fra et punkt til et fly.

Afstanden fra et vilkårligt punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) til planet Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 er:

Eksempel. Find planens ligning, vel vidende at punktet P (4; -3; 12) er bunden af ​​den vinkelrette, der falder fra origo til denne plan.

Så A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, brug formlen:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Eksempel. Find ligningen for en plan, der går gennem to punkter P(2; 0; -1) og

Q(1; -1; 3) er vinkelret på planet 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalvektoren til planet 3x + 2y - z + 5 = 0
parallelt med det ønskede plan.

Vi får:

Eksempel. Find ligningen for det plan, der går gennem punkterne A(2, -1, 4) og

В(3, 2, -1) vinkelret på planet x + på + 2z – 3 = 0.

Den ønskede ligning af planet har formen: A x+ B y+ C z+ D = 0, normalvektoren til dette plan (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) hører til flyet. Planet givet til os, vinkelret på det ønskede, har en normal vektor (1, 1, 2). Fordi punkt A og B hører til begge planer, og planerne er således indbyrdes vinkelrette

Altså den normale vektor (11, -7, -2). Fordi punkt A hører til det ønskede plan, så skal dets koordinater opfylde denne plans ligning, dvs. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

I alt får vi flyets ligning: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Eksempel. Find planens ligning, vel vidende at punktet P(4, -3, 12) er bunden af ​​den vinkelrette, der falder fra origo til denne plan.

At finde koordinaterne for normalvektoren
= (4, -3, 12). Den ønskede ligning af planet har formen: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. For at finde koefficienten D erstatter vi koordinaterne for punktet Р i ligningen:

16 + 9 + 144 + D = 0

I alt får vi den ønskede ligning: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Eksempel. Givet koordinaterne for pyramidespidserne A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Find længden af ​​kanten A 1 A 2 .

Find vinklen mellem kanterne A 1 A 2 og A 1 A 4.

Find vinklen mellem kanten A 1 A 4 og fladen A 1 A 2 A 3 .

Find først normalvektoren til ansigtet A 1 A 2 A 3 som et krydsprodukt af vektorer
og
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Find vinklen mellem normalvektoren og vektoren
.

-4 – 4 = -8.

Den ønskede vinkel  mellem vektoren og planet vil være lig med  = 90 0 - .

Find arealet af ansigtet A 1 A 2 A 3 .

Find pyramidens rumfang.

Find ligningen for planet А 1 А 2 А 3 .

Vi bruger formlen til ligningen for et plan, der går gennem tre punkter.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Når du bruger pc-versionen af ​​" Kursus i højere matematik” kan du køre et program, der vil løse ovenstående eksempel for alle koordinater af pyramidespidserne.

Dobbeltklik på ikonet for at starte programmet:

I programvinduet, der åbnes, skal du indtaste koordinaterne for pyramidespidserne og trykke på Enter. Dermed kan alle beslutningspunkter opnås én efter én.

Bemærk: For at køre programmet skal du have Maple ( Waterloo Maple Inc.) installeret på din computer, enhver version, der starter med MapleV Release 4.

Lad det være nødvendigt at finde ligningen for et plan, der går gennem tre givne punkter, der ikke ligger på én ret linje. Ved at angive deres radiusvektorer med og den aktuelle radiusvektor med , kan vi nemt få den ønskede ligning i vektorform. Faktisk skal vektorerne være koplanære (de ligger alle i det ønskede plan). Derfor skal vektor-skalarproduktet af disse vektorer være lig med nul:

Dette er ligningen for et plan, der passerer gennem tre givne punkter, i vektorform.

Vender vi os mod koordinaterne, får vi ligningen i koordinater:

Hvis de tre givne punkter ligger på den samme rette linje, vil vektorerne være kollineære. Derfor ville de tilsvarende elementer i de sidste to rækker af determinanten i ligning (18) være proportionale, og determinanten ville være identisk lig med nul. Derfor ville ligning (18) blive en identitet for alle værdier af x, y og z. Geometrisk betyder det, at et plan passerer gennem hvert punkt i rummet, hvori der også ligger tre givne punkter.

Bemærkning 1. Det samme problem kan løses uden brug af vektorer.

Ved at angive koordinaterne for henholdsvis de tre givne punkter, skriver vi ligningen for ethvert plan, der passerer gennem det første punkt:

For at opnå ligningen for det ønskede plan, skal man kræve, at ligning (17) er opfyldt af koordinaterne for de to andre punkter:

Fra ligning (19) er det nødvendigt at bestemme forholdet mellem to koefficienter til den tredje og indtaste de fundne værdier i ligning (17).

Eksempel 1. Skriv en ligning for et plan, der går gennem punkter.

Ligningen for et plan, der passerer gennem det første af disse punkter, vil være:

Betingelserne for at flyet (17) kan passere gennem to andre punkter og det første punkt er:

Tilføjer vi den anden ligning til den første, får vi:

Substituerer vi i den anden ligning, får vi:

Ved at indsætte i ligning (17) i stedet for henholdsvis A, B, C, 1, 5, -4 (tal proportionale med dem), får vi:

Eksempel 2. Skriv en ligning for et plan, der går gennem punkterne (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ligningen for ethvert plan, der passerer gennem punktet (0, 0, 0), vil være]

Betingelserne for at passere dette plan gennem punkterne (1, 1, 1) og (2, 2, 2) er:

Ved at reducere den anden ligning med 2 ser vi, at for at bestemme de to ukendte, har relationen en ligning med

Herfra får vi. Substituerer vi nu i planligningen i stedet for dens værdi, finder vi:

Dette er ligningen for det ønskede plan; det afhænger af vilkårlig

mængderne B, C (nemlig fra forholdet, dvs. der er et uendeligt antal planer, der passerer gennem tre givne punkter (tre givne punkter ligger på en ret linje).

Bemærkning 2. Problemet med at tegne en plan gennem tre givne punkter, der ikke ligger på samme rette linje, løses let i generel form, hvis vi bruger determinanter. Da koefficienterne A, B, C i ligning (17) og (19) ikke samtidigt kan være lig med nul, så skriver vi, når vi betragter disse ligninger som et homogent system med tre ukendte A, B, C, en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​en løsning af dette system, bortset fra nul (del 1, kap. VI, § 6):

Udvider denne determinant med elementerne i den første række, opnår vi en ligning af første grad med hensyn til de aktuelle koordinater , som vil blive opfyldt, især af koordinaterne for de tre givne punkter.

Sidstnævnte kan også verificeres direkte, hvis vi erstatter koordinaterne for et hvilket som helst af disse punkter i stedet for i ligningen skrevet ved hjælp af determinanten. På venstre side fås en determinant, hvor enten elementerne i den første række er nul, eller der er to identiske rækker. Den formulerede ligning repræsenterer således et plan, der går gennem tre givne punkter.

Planligning. Hvordan skriver man en ligning for et fly?
Indbyrdes arrangement af fly. Opgaver

Rumlig geometri er ikke meget mere kompliceret end "flad" geometri, og vores flyvninger i rummet begynder med denne artikel. For at forstå emnet skal man have en god forståelse for vektorer, derudover er det ønskeligt at være bekendt med flyets geometri - der vil være mange ligheder, mange analogier, så informationen vil blive fordøjet meget bedre. I en række af mine lektioner åbner 2D-verdenen med en artikel Ligning for en ret linje på et plan. Men nu er Batman trådt ud af fladskærms-tv'et og lancerer fra Baikonur Cosmodrome.

Lad os starte med tegninger og symboler. Skematisk kan flyet tegnes som et parallelogram, hvilket giver indtryk af rum:

Flyet er uendeligt, men vi har mulighed for kun at afbilde et stykke af det. I praksis tegnes der udover parallelogrammet også en oval eller endda en sky. Af tekniske årsager er det mere bekvemt for mig at afbilde flyet på denne måde og i denne position. De rigtige fly, som vi vil overveje i praktiske eksempler, kan arrangeres på enhver måde - tag mentalt tegningen i dine hænder og drej den i rummet, hvilket giver flyet enhver hældning, enhver vinkel.

Notation: det er sædvanligt at betegne fly med små græske bogstaver, tilsyneladende for ikke at forveksle dem med lige på flyet eller med lige i rummet. Jeg er vant til at bruge bogstavet. På tegningen er det bogstavet "sigma", og slet ikke et hul. Selvom det er et hullet fly, er det bestemt meget sjovt.

I nogle tilfælde er det praktisk at bruge de samme græske bogstaver med abonnenter til at udpege fly, for eksempel .

Det er klart, at planet er unikt bestemt af tre forskellige punkter, der ikke ligger på den samme lige linje. Derfor er trebogstavsbetegnelser af fly ret populære - ifølge de punkter, der hører til dem, for eksempel osv. Ofte er bogstaver omgivet i parentes: , for ikke at forveksle flyet med en anden geometrisk figur.

For erfarne læsere, vil jeg give genvejsmenu:

• Hvordan skriver man en ligning for en plan ved hjælp af et punkt og to vektorer?
• Hvordan skriver man en ligning for en plan ved hjælp af et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke sygne hen i lange ventetider:

Generel ligning af flyet

Planens generelle ligning har formen , hvor koefficienterne samtidig er ikke-nul.

En række teoretiske beregninger og praktiske problemer er gyldige både for det sædvanlige ortonormale grundlag og for det affine grundlag for rummet (hvis olie er olie, vend tilbage til lektionen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Vektor basis). For nemheds skyld vil vi antage, at alle hændelser forekommer på en ortonormal basis og et kartesisk rektangulært koordinatsystem.

Og lad os nu træne lidt rumlig fantasi. Det er okay hvis du har det dårligt, nu udvikler vi det lidt. Selv at spille på nerver kræver øvelse.

I det mest generelle tilfælde, når tallene ikke er lig med nul, skærer planet alle tre koordinatakser. For eksempel sådan her:

Jeg gentager endnu en gang, at flyet fortsætter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighed for kun at afbilde en del af det.

Overvej de enkleste ligninger af planer:

Hvordan forstår man denne ligning? Tænk over det: "Z" ALTID, for alle værdier af "X" og "Y" er lig med nul. Dette er ligningen for det "native" koordinatplan. Rent formelt kan ligningen omskrives som følger: , hvorfra det tydeligt er synligt, at vi er ligeglade, hvilke værdier "x" og "y" tager, er det vigtigt, at "z" er lig med nul.

Tilsvarende:
er ligningen for koordinatplanet;
er ligningen for koordinatplanet.

Lad os komplicere problemet lidt, overvej et plan (her og videre i afsnittet antager vi, at de numeriske koefficienter ikke er lig med nul). Lad os omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstår man det? "X" er ALTID, for enhver værdi af "y" og "z" er lig med et bestemt tal. Dette plan er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og passerer gennem et punkt.

Tilsvarende:
- planens ligning, som er parallel med koordinatplanet;
- ligningen for en plan, der er parallel med koordinatplanet.

Tilføj medlemmer: . Ligningen kan omskrives sådan her: , det vil sige, "Z" kan være hvad som helst. Hvad betyder det? "X" og "y" er relateret til forholdet, som tegner en bestemt ret linje i planet (du vil genkende ligning af en ret linje i et plan?). Da Z kan være hvad som helst, er denne linje "repliceret" i enhver højde. Således definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

Tilsvarende:
- planens ligning, som er parallel med koordinataksen;
- planens ligning, som er parallel med koordinataksen.

Hvis de frie led er nul, vil flyene direkte passere gennem de tilsvarende akser. For eksempel den klassiske "direkte proportionalitet":. Tegn en lige linje i flyet og multiplicer den mentalt op og ned (da "z" er et hvilket som helst). Konklusion: planet givet af ligningen passerer gennem koordinataksen.

Vi afslutter gennemgangen: flyets ligning går gennem oprindelsen. Nå, her er det ret indlysende, at punktet opfylder den givne ligning.

Og til sidst sagen, der er vist på tegningen: - flyet er venner med alle koordinatakser, mens det altid "skærer" en trekant af, der kan placeres i enhver af de otte oktanter.

Lineære uligheder i rummet

For at forstå informationen er det nødvendigt at studere godt lineære uligheder i planet fordi mange ting vil ligne hinanden. Afsnittet vil være en kort oversigt med nogle få eksempler, da materialet er ret sjældent i praksis.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulighederne
Spørg halve mellemrum. Hvis uligheden ikke er streng (de sidste to på listen), så inkluderer løsningen af ​​uligheden, udover halvrummet, selve flyet.

Eksempel 5

Find enhedens normalvektor for planet .

Løsning: En enhedsvektor er en vektor, hvis længde er én. Lad os betegne denne vektor med . Det er helt klart, at vektorerne er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra planens ligning: .

Hvordan finder man enhedsvektoren? For at finde enhedsvektoren skal du bruge hver vektorkoordinat divideret med vektorlængde.

Lad os omskrive normalvektoren i formen og finde dens længde:

Ifølge ovenstående:

Svar:

Check: , som var påkrævet for at kontrollere.

Læsere, der omhyggeligt har studeret det sidste afsnit af lektionen, har sikkert bemærket det enhedsvektorens koordinater er nøjagtigt vektorens retningscosinus:

Lad os se bort fra det adskilte problem: når du får en vilkårlig ikke-nul vektor, og af betingelsen er det påkrævet at finde dens retning cosinus (se de sidste opgaver i lektionen Punktprodukt af vektorer), så finder du faktisk også en enhedsvektor kollineær til den givne. Faktisk to opgaver på én flaske.

Behovet for at finde en enhedsnormalvektor opstår i nogle problemer med matematisk analyse.

Vi fandt ud af fiskeriet af den normale vektor, nu vil vi svare på det modsatte spørgsmål:

Hvordan skriver man en ligning for en plan ved hjælp af et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruktion af en normal vektor og et punkt er velkendt af et dartmål. Stræk venligst hånden fremad og vælg mentalt et vilkårligt punkt i rummet, for eksempel en lille kat i en skænk. Det er klart, at du gennem dette punkt kan tegne et enkelt plan vinkelret på din hånd.

Ligningen for et plan, der passerer gennem et punkt vinkelret på vektoren, udtrykkes med formlen:

Det kan specificeres på forskellige måder (et punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankerne, at flyets ligning kan have forskellige former. Også under visse betingelser kan planerne være parallelle, vinkelrette, krydsende osv. Vi vil tale om dette i denne artikel. Vi vil lære at skrive den generelle ligning for flyet og ikke kun.

Normal form af ligningen

Lad os sige, at der er et mellemrum R 3, der har et rektangulært koordinatsystem XYZ. Vi sætter vektoren α, som vil blive frigivet fra startpunktet O. Gennem enden af ​​vektoren α tegner vi planet P, som vil være vinkelret på den.

Betegn ved P et vilkårligt punkt Q=(x, y, z). Vi vil underskrive radiusvektoren for punktet Q med bogstavet p. Længden af ​​vektoren α er p=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette er en enhedsvektor, der peger sidelæns, ligesom vektoren α. α, β og γ er de vinkler, der dannes mellem vektoren Ʋ og de positive retninger af henholdsvis rumakserne x, y, z. Projektionen af ​​et punkt QϵП på vektoren Ʋ er en konstant værdi lig med р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Denne ligning giver mening, når p=0. Det eneste er, at planet P i dette tilfælde vil skære punktet O (α=0), som er origo, og enhedsvektoren Ʋ frigivet fra punktet O vil være vinkelret på P, uanset dens retning, hvilket betyder at vektoren Ʋ er bestemt ud fra fortegn-nøjagtig. Den foregående ligning er ligningen for vores P-plan, udtrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se sådan ud:

P her er større end eller lig med 0. Vi har fundet ligningen for et plan i rummet i sin normale form.

Generel ligning

Hvis vi multiplicerer ligningen i koordinater med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul, får vi en ligning svarende til den givne, som bestemmer den samme plan. Det vil se sådan ud:

Her er A, B, C tal, der samtidigt er forskellige fra nul. Denne ligning omtales som den generelle planligning.

Plane ligninger. Særlige tilfælde

Ligningen i generel form kan modificeres i nærværelse af yderligere betingelser. Lad os overveje nogle af dem.

Antag, at koefficienten A er 0. Det betyder, at det givne plan er parallelt med den givne akse Ox. I dette tilfælde vil formen af ​​ligningen ændre sig: Ву+Cz+D=0.

På samme måde vil formen af ​​ligningen ændre sig under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, så ændres ligningen til Ax + Cz + D = 0, hvilket vil indikere parallelitet til Oy-aksen.
• For det andet, hvis С=0, så transformeres ligningen til Ах+Ву+D=0, hvilket vil indikere parallelitet til den givne akse Oz.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ud som Ax+By+Cz=0, hvilket vil betyde, at planet skærer O (originalen).
• For det fjerde, hvis A=B=0, så ændres ligningen til Cz+D=0, hvilket vil vise sig parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, så bliver ligningen Ax+D=0, hvilket betyder, at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, så vil ligningen have formen Ву+D=0, det vil sige, at den vil rapportere parallelitet til Oxz.

Type af ligning i segmenter

I det tilfælde, hvor tallene A, B, C, D er ikke-nul, kan formen af ​​ligning (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

hvor a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Vi får som et resultat Det er værd at bemærke, at dette plan vil skære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) og Oz - (0,0,c) .

Når man tager ligningen x/a + y/b + z/c = 1 i betragtning, er det let visuelt at repræsentere placeringen af ​​planet i forhold til et givet koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planen P har koordinater, der er koefficienterne for den generelle ligning for den givne plan, det vil sige n (A, B, C).

For at bestemme koordinaterne for normalen n er det tilstrækkeligt at kende den generelle ligning for en given plan.

Når man bruger ligningen i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når man bruger den generelle ligning, kan man skrive koordinaterne for enhver normalvektor i en given plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det skal bemærkes, at den normale vektor hjælper med at løse forskellige problemer. De mest almindelige er opgaver, der består i at bevise vinkelret eller parallelitet af planer, problemer med at finde vinkler mellem planer eller vinkler mellem planer og linjer.

Visning af planens ligning ifølge koordinaterne for punktet og normalvektoren

En ikke-nul vektor n vinkelret på en given plan kaldes normal (normal) for en given plan.

Antag, at der i koordinatrummet (rektangulært koordinatsystem) er givet Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• nul vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendigt at sammensætte en ligning for en plan, der vil passere gennem punktet Mₒ vinkelret på normalen n.

I rummet vælger vi et hvilket som helst vilkårligt punkt og betegner det med M (x y, z). Lad radiusvektoren for ethvert punkt M (x, y, z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren for punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punktet M vil tilhøre det givne plan, hvis vektoren MₒM er vinkelret på vektoren n. Vi skriver ortogonalitetsbetingelsen ved hjælp af skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM \u003d r-rₒ, vil vektorligningen for planet se sådan ud:

Denne ligning kan have en anden form. For at gøre dette bruges egenskaberne for det skalære produkt, og venstre side af ligningen transformeres. = - . Hvis betegnet som c, vil følgende ligning opnås: - c \u003d 0 eller \u003d c, som udtrykker konstansen af ​​projektionerne på normalvektoren af ​​radiusvektorerne for de givne punkter, der hører til planet.

Nu kan du få koordinatformen til at skrive vektorligningen for vores plan = 0. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B *j+C*k, vi har:

Det viser sig, at vi har en ligning for en plan, der går gennem et punkt vinkelret på normalen n:

A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.

Billede af planligningen i henhold til koordinaterne for to punkter og en vektor kolineær til planet

Vi definerer to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″) samt vektoren a (a′,a″,a‴).

Nu kan vi sammensætte en ligning for en given plan, som vil passere gennem de tilgængelige punkter M′ og M″, såvel som ethvert punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med den givne vektor a.

I dette tilfælde skal vektorerne M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanære med vektoren a=(a′,a″,a‴), hvilket betyder, at (M′M, M″M, a)=0.

Så vores ligning af et plan i rummet vil se sådan ud:

Type af ligningen for et plan, der skærer tre punkter

Antag, at vi har tre punkter: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke hører til den samme rette linje. Det er nødvendigt at skrive ligningen for det fly, der passerer gennem de givne tre punkter. Teorien om geometri hævder, at denne slags plan virkelig eksisterer, kun det er det eneste og uforlignelige. Da dette plan skærer punktet (x′, y′, z′), vil formen af ​​dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskellige fra nul på samme tid. Desuden skærer det givne plan yderligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I den forbindelse skal følgende betingelser være opfyldt:

Nu kan vi komponere et homogent system med ukendte u, v, w:

I vores tilfælde er x, y eller z et vilkårligt punkt, der opfylder ligning (1). Under hensyntagen til ligning (1) og ligningssystemet (2) og (3), opfylder ligningssystemet angivet i figuren ovenfor vektoren N (A, B, C), som er ikke-triviel. Derfor er determinanten af ​​dette system lig med nul.

Ligning (1), som vi har fået, er planens ligning. Den passerer nøjagtigt gennem 3 punkter, og det er nemt at kontrollere. For at gøre dette skal vi udvide vores determinant over elementerne i den første række. Det følger af de eksisterende egenskaber for determinanten, at vores plan samtidig skærer tre oprindeligt givne punkter (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vil sige, at vi har løst den stillede opgave.

Dihedral vinkel mellem planer

En dihedral vinkel er en rumlig geometrisk figur dannet af to halvplaner, der udgår fra en lige linje. Med andre ord er dette den del af rummet, der er begrænset af disse halvplaner.

Lad os sige, at vi har to planer med følgende ligninger:

Vi ved, at vektorerne N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette i henhold til de givne planer. I denne henseende er vinklen φ mellem vektorerne N og N¹ lig med vinklen (dihedral), som er mellem disse planer. Det skalære produkt har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

netop fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er tilstrækkeligt at tage højde for, at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to planer, der skærer hinanden, to (dihedrale) vinkler: φ 1 og φ 2 . Deres sum er lig med π (φ 1 + φ 2 = π). Hvad angår deres cosinus, er deres absolutte værdier ens, men de adskiller sig i tegn, det vil sige cos φ 1 =-cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen, vi får, bestemme den samme plan, den eneste vinkel φ i ligningen cos φ= NN 1 /| N||N 1 | vil blive erstattet af π-φ.

vinkelret plan ligning

Planer kaldes vinkelrette, hvis vinklen mellem dem er 90 grader. Ved at bruge materialet skitseret ovenfor kan vi finde ligningen for et plan vinkelret på et andet. Lad os sige, at vi har to planer: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan konstatere, at de vil være vinkelrette, hvis cosφ=0. Det betyder, at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallelplansligning

Parallelle er to planer, der ikke indeholder fælles punkter.

Betingelsen (deres ligninger er de samme som i det foregående afsnit) er, at vektorerne N og N¹, som er vinkelrette på dem, er kollineære. Det betyder, at følgende proportionalitetsbetingelser er opfyldt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proportionalitetsbetingelserne udvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer, at disse fly falder sammen. Det betyder, at ligningerne Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver én plan.

Afstand til fly fra punkt

Lad os sige, at vi har en plan P, som er givet ved ligning (0). Det er nødvendigt at finde afstanden til den fra punktet med koordinaterne (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For at gøre dette skal du bringe ligningen for planet P i normal form:

(p,v)=p (p≥0).

I dette tilfælde er ρ(x,y,z) radiusvektoren for vores punkt Q, placeret på P, p er længden af ​​den vinkelrette P, som blev frigivet fra nulpunktet, v er enhedsvektoren, som er placeret i a-retningen.

Forskellen ρ-ρº af radiusvektoren for et punkt Q=(x, y, z) tilhørende P, såvel som radiusvektoren for et givet punkt Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) er en sådan vektor, den absolutte værdi af projektionen, hvis projektion på v er lig med afstanden d, som skal findes fra Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Så det viser sig

d=|(poo,v)-p|.

Således vil vi finde den absolutte værdi af det resulterende udtryk, det vil sige den ønskede d.

Ved at bruge parametrenes sprog får vi det åbenlyse:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Hvis det givne punkt Q 0 er på den anden side af planen P, såvel som origo, så er mellem vektoren ρ-ρ 0 og v derfor:

d=-(ρ-ρ0,v)=(poo,v)-p>0.

I det tilfælde, hvor punktet Q 0 sammen med oprindelsen er placeret på samme side af P, så er den skabte vinkel spids, det vil sige:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Som et resultat viser det sig, at i det første tilfælde (ρ 0 ,v)> р, i det andet (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overfladen ved kontaktpunktet Mº er det plan, der indeholder alle mulige tangenter til kurverne trukket gennem dette punkt på overfladen.

Med denne form af overfladeligningen F (x, y, z) \u003d 0, vil ligningen for tangentplanet ved tangentpunktet Mº (xº, yº, zº) se sådan ud:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Hvis du angiver overfladen i eksplicit form z=f (x, y), så vil tangentplanet blive beskrevet med ligningen:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Skæring af to planer

I koordinatsystemet (rektangulært) er Oxyz placeret, der er givet to planer П′ og П″, som skærer hinanden og ikke er sammenfaldende. Da enhver plan placeret i et rektangulært koordinatsystem er bestemt af den generelle ligning, vil vi antage, at P′ og P″ er givet af ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfælde har vi den normale n′ (A′, B′, C′) af P′-planet og den normale n″ (A″, B″, C″) af P″-planen. Da vores planer ikke er parallelle og ikke falder sammen, er disse vektorer ikke kollineære. Ved at bruge matematikkens sprog kan vi skrive denne betingelse som følger: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Lad linjen, der ligger i skæringspunktet mellem P′ og P″, betegnes med bogstavet a, i dette tilfælde a = P′ ∩ P″.

a er en ret linje, der består af mængden af ​​alle punkter i (fælles) planer П′ og П″. Det betyder, at koordinaterne for ethvert punkt, der hører til linjen a, samtidig skal opfylde ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″= 0. Dette betyder, at punktets koordinater vil være en bestemt løsning af følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det sig, at den (generelle) løsning af dette ligningssystem vil bestemme koordinaterne for hvert af punkterne på den rette linje, som vil fungere som skæringspunktet for П′ og П″ og bestemme den rette linje. linje a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulær) i rummet.

I denne lektion vil vi se på, hvordan man bruger determinanten til at komponere plan ligning. Hvis du ikke ved, hvad en determinant er, så gå til den første del af lektionen - " Matricer og determinanter". Ellers risikerer du ikke at forstå noget i dagens materiale.

Ligning af et plan med tre punkter

Hvorfor har vi overhovedet brug for flyets ligning? Det er enkelt: Når vi ved det, kan vi nemt beregne vinkler, afstande og andet lort i opgave C2. Generelt er denne ligning uundværlig. Derfor formulerer vi problemstillingen:

En opgave. Der er tre punkter i rummet, der ikke ligger på samme lige linje. Deres koordinater:

M = (xl, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Det er nødvendigt at skrive ligningen for det fly, der passerer gennem disse tre punkter. Og ligningen skal se sådan ud:

Axe + By + Cz + D = 0

hvor tallene A , B , C og D er de koefficienter, som du faktisk vil finde.

Nå, hvordan får man flyets ligning, hvis kun punkternes koordinater er kendt? Den nemmeste måde er at erstatte koordinaterne i ligningen Ax + By + Cz + D = 0. Du får et system med tre ligninger, som er let at løse.

Mange studerende finder denne løsning ekstremt kedelig og upålidelig. Sidste års eksamen i matematik viste, at sandsynligheden for at lave en regnefejl er rigtig stor.

Derfor begyndte de mest avancerede lærere at lede efter enklere og mere elegante løsninger. Og de fandt det! Sandt nok er den opnåede teknik mere sandsynligt relateret til højere matematik. Personligt var jeg nødt til at rode gennem hele den føderale liste over lærebøger for at sikre, at vi har ret til at bruge denne teknik uden nogen begrundelse og beviser.

Planets ligning gennem determinanten

Nok med at tude, lad os komme i gang. Til at begynde med en sætning om, hvordan matrixdeterminanten og planens ligning hænger sammen.

Sætning. Lad koordinaterne for tre punkter, som planet skal trækkes igennem, gives: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Så kan denne plans ligning skrives i form af determinanten:

Lad os for eksempel prøve at finde et par fly, der faktisk opstår i opgave C2. Tag et kig på, hvor hurtigt alting tæller:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Vi sammensætter determinanten og sætter lig med nul:

Åbning af determinanten:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Som du kan se, har jeg ved beregningen af ​​tallet d justeret lidt på ligningen, så variablerne x, y og z var i den rigtige rækkefølge. Det er alt! Flyets ligning er klar!

En opgave. Skriv en ligning for et plan, der passerer gennem punkterne:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Erstat straks koordinaterne for punkterne i determinanten:

Udvider determinanten igen:

a = 11z + 01x + 10y = z;
b = 11 x + 00z + 11 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Så planligningen opnås igen! Igen, på det sidste trin, var jeg nødt til at ændre tegnene i den for at få en mere "smuk" formel. Det er ikke nødvendigt at gøre dette i denne løsning, men det anbefales stadig - for at forenkle den videre løsning af problemet.

Som du kan se, er det nu meget nemmere at skrive flyets ligning. Vi erstatter punkterne i matricen, beregner determinanten - og det er det, ligningen er klar.

Dette kan være slutningen på lektionen. Mange elever glemmer dog konstant, hvad der er inde i determinanten. For eksempel hvilken linje indeholder x 2 eller x 3 , og hvilken linje kun x . For endelig at håndtere dette, lad os spore, hvor hvert tal kommer fra.

Hvor kommer formlen med determinanten fra?

Så lad os finde ud af, hvor en sådan barsk ligning med en determinant kommer fra. Dette vil hjælpe dig med at huske det og anvende det med succes.

Alle planer, der forekommer i opgave C2, er defineret af tre punkter. Disse punkter er altid markeret på tegningen, eller endda angivet direkte i opgaveteksten. Under alle omstændigheder, for at kompilere ligningen, skal vi skrive deres koordinater ud:

M = (xl, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Overvej endnu et punkt på vores plan med vilkårlige koordinater:

T = (x, y, z)

Vi tager et hvilket som helst punkt fra de første tre (for eksempel punkt M ) og tegner vektorer fra det til hvert af de tre resterende punkter. Vi får tre vektorer:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - xl, y - y1, z - z1).

Lad os nu lave en kvadratisk matrix ud fra disse vektorer og sidestille dens determinant med nul. Vektorernes koordinater bliver til matrixens rækker - og vi får den samme determinant, som er angivet i sætningen:

Denne formel betyder, at rumfanget af boksen bygget på vektorerne MN , MK og MT er lig med nul. Derfor ligger alle tre vektorer i samme plan. Især et vilkårligt punkt T = (x, y, z) er præcis, hvad vi ledte efter.

Udskiftning af punkter og rækker af determinanten

Determinanter har nogle vidunderlige egenskaber, der gør det endnu nemmere at løsning af problem C2. For eksempel er det lige meget for os, fra hvilket punkt vi skal tegne vektorer. Derfor giver følgende determinanter den samme planligning som den ovenfor:

Du kan også bytte linjerne for determinanten. Ligningen forbliver uændret. Mange mennesker kan for eksempel godt lide at skrive en linje med koordinaterne til punktet T = (x; y; z) helt øverst. Venligst, hvis det passer dig:

Det forvirrer nogle, at en af ​​linjerne indeholder variabler x , y og z , som ikke forsvinder ved erstatning af punkter. Men de skal ikke forsvinde! Ved at erstatte tallene i determinanten, bør du få følgende konstruktion:

Derefter udvides determinanten i henhold til skemaet givet i begyndelsen af ​​lektionen, og standardligningen for flyet opnås:

Axe + By + Cz + D = 0

Tag et kig på et eksempel. Han er den sidste i dagens lektion. Jeg vil bevidst bytte linjerne for at sikre, at svaret vil være den samme ligning for flyet.

En opgave. Skriv en ligning for et plan, der passerer gennem punkterne:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Så vi overvejer 4 punkter:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Lad os først lave en standarddeterminant og sidestille den med nul:

Åbning af determinanten:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Det er det, vi fik svaret: x + y + z − 2 = 0 .

Lad os nu omarrangere et par linjer i determinanten og se, hvad der sker. Lad os for eksempel skrive en linje med variablerne x, y, z ikke nederst, men øverst:

Lad os udvide den resulterende determinant igen:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Vi fik nøjagtig den samme planligning: x + y + z − 2 = 0. Så det afhænger virkelig ikke af rækkefølgen af ​​rækkerne. Det er tilbage at skrive svaret ned.

Så vi har set, at flyets ligning ikke afhænger af rækkefølgen af ​​linjer. Vi kan udføre lignende beregninger og bevise, at planens ligning ikke afhænger af det punkt, hvis koordinater vi trækker fra de andre punkter.

I ovenstående problem brugte vi punktet B 1 = (1, 0, 1), men det var ganske muligt at tage C = (1, 1, 0) eller D 1 = (0, 1, 1). Generelt ethvert punkt med kendte koordinater, der ligger på det ønskede plan.