Løsningen er en førsteordens differentialligning. Differentialligninger online

Husk det problem, vi stod over for, da vi fandt bestemte integraler:

eller dy = f(x)dx. Hendes løsning:

og det reducerer til beregningen af ​​et ubestemt integral. I praksis er en sværere opgave mere almindelig: at finde en funktion y, hvis det vides, at det opfylder en relation af formen

Denne relation relaterer den uafhængige variabel x, ukendt funktion y og dets derivater op til rækkefølgen n inklusive, kaldes .

En differentialligning inkluderer en funktion under tegnet af afledte (eller differentialer) af en eller anden orden. Den højeste rækkefølge kaldes ordenen (9.1) .

Differentialligninger:

- første ordre

anden orden,

- femte orden osv.

En funktion, der opfylder en given differentialligning, kaldes dens løsning , eller integral . At løse det betyder at finde alle dets løsninger. Hvis for den ønskede funktion y lykkedes at få en formel, der giver alle løsninger, så siger vi, at vi har fundet dens generelle løsning , eller generel integral .

Fælles beslutning indeholder n vilkårlige konstanter og ligner

Hvis der opnås en relation, der vedrører x, y og n vilkårlige konstanter, i en form, der ikke er tilladt mht y -

så kaldes en sådan relation det generelle integral af ligning (9.1).

Cauchy problem

Hver specifik løsning, dvs. hver specifik funktion, der opfylder en given differentialligning og ikke afhænger af vilkårlige konstanter, kaldes en bestemt løsning , eller privat integral. For at opnå bestemte løsninger (integraler) fra generelle, er det nødvendigt at knytte specifikke numeriske værdier til konstanterne.

Grafen for en bestemt løsning kaldes en integralkurve. Den generelle løsning, som indeholder alle særlige løsninger, er en familie af integralkurver. For en førsteordensligning afhænger denne familie af en vilkårlig konstant; for ligningen n orden - fra n vilkårlige konstanter.

Cauchy-problemet er at finde en bestemt løsning på ligningen n rækkefølge, tilfredsstillende n startbetingelser:

som bestemmer n konstanter с 1 , с 2 ,..., c n.

1. ordens differentialligninger

For en uopløst med hensyn til den afledede har differentialligningen af ​​1. orden formen

eller for tilladt relativt

Eksempel 3.46. Find en generel løsning på ligningen

Løsning. Integrering, får vi

hvor C er en vilkårlig konstant. Hvis vi giver C specifikke numeriske værdier, får vi bestemte løsninger, f.eks.

Eksempel 3.47. Overvej et stigende beløb indsat i banken, med forbehold for optjening af 100 r renters rente om året. Lad Yo være det oprindelige beløb, og Yx efter udløbet x flere år. Når der beregnes renter en gang om året, får vi

hvor x = 0, 1, 2, 3,.... Når der beregnes renter to gange om året, får vi

hvor x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Ved renteberegning n en gang om året og hvis x tager successivt værdierne 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., derefter

Betegn 1/n = h , så vil den forrige lighed se ud:

Med ubegrænset forstørrelse n(på ) i den grænse, vi kommer til processen med at øge mængden af ​​penge med løbende rentetilskrivning:

Således kan det ses, at med en løbende forandring x loven om ændring i pengemængden er udtrykt ved en differentialligning af 1. orden. Hvor Y x er en ukendt funktion, x- uafhængige variabel, r- konstant. Vi løser denne ligning, til dette omskriver vi den som følger:

hvor , eller , hvor P står for e C .

Fra startbetingelserne Y(0) = Yo , finder vi P: Yo = Pe o , hvorfra Yo = P. Derfor ser løsningen sådan ud:

Overvej det andet økonomiske problem. Makroøkonomiske modeller er også beskrevet ved lineære differentialligninger af 1. orden, der beskriver ændringen i indkomst eller output Y som funktion af tiden.

Eksempel 3.48. Lad nationalindkomsten Y stige med en hastighed, der er proportional med dens værdi:

og lad, underskuddet i det offentlige forbrug er direkte proportionalt med indkomst Y med en proportionalitetskoefficient q. Udgiftsunderskuddet fører til en stigning i statsgælden D:

Begyndelsesbetingelser Y = Yo og D = Do ved t = 0. Fra den første ligning Y= Yoe kt . Ved at erstatte Y får vi dD/dt = qYoe kt . Den generelle løsning har formen
D = (q/ k) Yoe kt +С, hvor С = const, som bestemmes ud fra startbetingelserne. Ved at erstatte startbetingelserne får vi Do = (q/k)Yo + C. Så til sidst,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

dette viser, at statsgælden stiger i samme relative takt k, som er nationalindkomsten.

Overvej de enkleste differentialligninger n rækkefølge, disse er ligninger af formen

Dens generelle løsning kan opnås ved hjælp af n integrationstider.

Eksempel 3.49. Overvej eksemplet y """ = cos x.

Løsning. Integrering, finder vi

Den generelle løsning har formen

Lineære differentialligninger

I økonomi er de til stor nytte, overvej løsningen af ​​sådanne ligninger. Hvis (9.1) har formen:

så kaldes det lineært, hvor po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) er givet funktioner. Hvis f(x) = 0, så kaldes (9.2) homogen, ellers kaldes den ikke-homogen. Den generelle løsning af ligning (9.2) er lig med summen af ​​enhver af dens særlige løsninger y(x) og den generelle løsning af den homogene ligning svarende til den:

Hvis koefficienterne p o (x), p 1 (x),..., p n (x) er konstanter, så (9.2)

(9.4) kaldes en lineær differentialligning med konstante ordenskoefficienter n .

For (9.4) har den formen:

Vi kan sætte uden tab af generalitet p o = 1 og skrive (9,5) i formen

Vi vil lede efter en løsning (9.6) på formen y = e kx , hvor k er en konstant. Vi har: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Erstat de opnåede udtryk i (9.6), vi vil have:

(9.7) er en algebraisk ligning, dens ukendte er k, kaldes det karakteristisk. Den karakteristiske ligning har grad n og n rødder, blandt hvilke der kan være både flere og komplekse. Lad da k 1 , k 2 ,..., k n være reel og tydelig er særlige løsninger (9.7), mens de almene

Overvej en lineær homogen differentialligning af anden orden med konstante koefficienter:

Dens karakteristiske ligning har formen

(9.9)

dens diskriminant D = p 2 - 4q, afhængigt af tegnet på D, er tre tilfælde mulige.

1. Hvis D>0, så er rødderne k 1 og k 2 (9.9) reelle og forskellige, og den generelle løsning har formen:

Løsning. Karakteristisk ligning: k 2 + 9 = 0, hvorfra k = ± 3i, a = 0, b = 3, den generelle løsning er:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Andenordens lineære differentialligninger bruges til at studere en web-lignende økonomisk model med varelagre, hvor prisændringsraten P afhænger af lagerstørrelsen (se afsnit 10). Hvis udbud og efterspørgsel er lineære funktioner af prisen, dvs.

a - er en konstant, der bestemmer reaktionshastigheden, så beskrives prisændringsprocessen ved en differentialligning:

For en bestemt løsning kan du tage en konstant

som har betydningen af ​​ligevægtsprisen. Afvigelse opfylder den homogene ligning

(9.10)

Den karakteristiske ligning vil være følgende:

I tilfælde af, at udtrykket er positivt. Betegn . Rødderne af den karakteristiske ligning k 1,2 = ± i w, så den generelle løsning (9.10) har formen:

hvor C og vilkårlige konstanter, de bestemmes ud fra startbetingelserne. Vi har opnået loven om prisændring i tid:

Differentialligning (DE) er ligningen,
hvor er uafhængige variable, y er en funktion og er partielle afledte.

Almindelig differentialligning er en differentialligning, der kun har én uafhængig variabel, .

Partiel differentialligning er en differentialligning, der har to eller flere uafhængige variable.

Ordene "almindelige" og "partielle afledte" kan udelades, hvis det er klart, hvilken ligning der overvejes. I det følgende betragtes almindelige differentialligninger.

Differentialligningens rækkefølge er rækkefølgen af ​​den højeste afledte.

Her er et eksempel på en første ordens ligning:

Her er et eksempel på en fjerde ordens ligning:

Nogle gange skrives en førsteordens differentialligning i form af differentialer:

I dette tilfælde er variablerne x og y ens. Det vil sige, at den uafhængige variabel kan være enten x eller y. I det første tilfælde er y en funktion af x . I det andet tilfælde er x en funktion af y . Om nødvendigt kan vi bringe denne ligning til en form, hvor den afledte y′ kommer eksplicit ind.
Ved at dividere denne ligning med dx får vi:
.
Siden og , følger det
.

Løsning af differentialligninger

Derivater af elementære funktioner udtrykkes i form af elementære funktioner. Integraler af elementære funktioner er ofte ikke udtrykt i form af elementære funktioner. Med differentialligninger er situationen endnu værre. Som et resultat af løsningen kan du få:

• en funktions eksplicitte afhængighed af en variabel;

  Løsning af en differentialligning er funktionen y = u (x), som er defineret, er n gange differentierbar, og .

• implicit afhængighed i form af en ligning af typen Φ (x, y) = 0 eller ligningssystemer;

  Integral af differentialligning er en løsning på en differentialligning, der har en implicit form.

• afhængighed udtrykt gennem elementære funktioner og integraler fra dem;

  Løsning af en differentialligning i kvadraturer - dette er at finde en løsning i form af en kombination af elementære funktioner og integraler af dem.

• løsningen må ikke udtrykkes i form af elementære funktioner.

Da løsningen af ​​differentialligninger er reduceret til beregning af integraler, inkluderer løsningen et sæt konstanter C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Antallet af konstanter er lig med rækkefølgen af ​​ligningen. Partielt integral af en differentialligning er det generelle integral for de givne værdier af konstanterne C 1 , C 2 , C 3 , ... , Cn .

Referencer:
V.V. Stepanov, Differentialligningsforløb, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, Lan, 2003.

Almindelig differentialligning kaldet en ligning, der forbinder en uafhængig variabel, en ukendt funktion af denne variabel og dens afledte (eller differentialer) af forskellige ordener.

Rækkefølgen af ​​differentialligningen er rækkefølgen af ​​den højeste afledte indeholdt i den.

Ud over almindelige studeres også partielle differentialligninger. Disse er ligninger, der relaterer til uafhængige variable, en ukendt funktion af disse variable og deres partielle afledte med hensyn til de samme variable. Men vi vil kun overveje almindelige differentialligninger og derfor vil vi udelade ordet "almindelig" for kortheds skyld.

Eksempler på differentialligninger:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ligning (1) er af fjerde orden, ligning (2) er af tredje orden, ligning (3) og (4) er af anden orden, ligning (5) er af første orden.

Differentialligning n orden behøver ikke eksplicit at indeholde en funktion, alle dens afledte fra først til n orden og en uafhængig variabel. Den indeholder muligvis ikke eksplicit afledte af nogle rækkefølger, en funktion, en uafhængig variabel.

For eksempel er der i ligning (1) tydeligvis ingen afledte af tredje og anden orden, samt funktioner; i ligning (2) - andenordens afledte og funktion; i ligning (4) - uafhængig variabel; i ligning (5) - funktioner. Kun ligning (3) indeholder eksplicit alle afledte, funktionen og den uafhængige variabel.

Ved at løse differentialligningen enhver funktion kaldes y = f(x), erstatter hvilken i ligningen, bliver det til en identitet.

Processen med at finde en løsning på en differentialligning kaldes dens integration.

Eksempel 1 Find en løsning på differentialligningen.

Løsning. Vi skriver denne ligning i formen . Løsningen er at finde funktionen ved dens afledede. Den oprindelige funktion er, som det kendes fra integralregningen, antiderivatet for, dvs.

Det er, hvad det er løsning af den givne differentialligning . ændres i det C, vil vi få forskellige løsninger. Vi fandt ud af, at der er et uendeligt antal løsninger til en førsteordens differentialligning.

Generel løsning af differentialligningen n orden er dens løsning udtrykt eksplicit med hensyn til den ukendte funktion og indeholder n uafhængige vilkårlige konstanter, dvs.

Løsningen af ​​differentialligningen i eksempel 1 er generel.

Partiel løsning af differentialligningen dens løsning kaldes, hvor specifikke numeriske værdier er tildelt vilkårlige konstanter.

Eksempel 2 Find den generelle løsning af differentialligningen og en bestemt løsning til .

Løsning. Vi integrerer begge dele af ligningen så mange gange, at rækkefølgen af ​​differentialligningen er ens.

,

.

Som et resultat fik vi den generelle løsning -

givet tredjeordens differentialligning.

Lad os nu finde en bestemt løsning under de angivne forhold. For at gøre dette erstatter vi deres værdier i stedet for vilkårlige koefficienter og opnår

.

Hvis startbetingelsen ud over differentialligningen er givet på formen , kaldes et sådant problem Cauchy problem . Værdierne og substitueres i den generelle løsning af ligningen, og værdien af ​​en vilkårlig konstant findes C, og derefter en bestemt løsning af ligningen for den fundne værdi C. Dette er løsningen på Cauchy-problemet.

Eksempel 3 Løs Cauchy-problemet for differentialligningen fra eksempel 1 under betingelsen.

Løsning. Vi erstatter værdierne fra starttilstanden i den generelle løsning y = 3, x= 1. Vi får

Vi nedskriver løsningen af ​​Cauchy-problemet for den givne differentialligning af første orden:

Løsning af differentialligninger, selv de simpleste, kræver gode færdigheder i at integrere og tage derivater, herunder komplekse funktioner. Dette kan ses i det følgende eksempel.

Eksempel 4 Find den generelle løsning af differentialligningen.

Løsning. Ligningen er skrevet på en sådan måde, at begge sider kan integreres med det samme.

.

Vi anvender integrationsmetoden ved at ændre variablen (substitution). Lad da.

Påkrævet at tage dx og nu - opmærksomhed - vi gør det i henhold til reglerne for differentiering af en kompleks funktion, da x og der er en kompleks funktion ("æble" - udtrækning af kvadratroden eller, som er den samme - hæve til magten "et sekund", og "hakket kød" - selve udtrykket under roden):

Vi finder integralet:

Vender tilbage til variablen x, vi får:

.

Dette er den generelle løsning af denne differentialligning af første grad.

Ikke kun færdigheder fra de foregående sektioner af højere matematik vil være nødvendige for at løse differentialligninger, men også færdigheder fra elementær, det vil sige skolematematik. Som allerede nævnt kan der i en differentialligning af enhver rækkefølge ikke være en uafhængig variabel, det vil sige en variabel x. Den viden om proportioner, der ikke er blevet glemt (der er dog nogen, der har det) fra skolebænken vil være med til at løse dette problem. Dette er det næste eksempel.

En differentialligning er en ligning, der inkluderer en funktion og en eller flere af dens afledte. I de fleste praktiske problemer er funktioner fysiske størrelser, derivater svarer til ændringshastighederne for disse størrelser, og ligningen bestemmer forholdet mellem dem.

Denne artikel diskuterer metoder til løsning af nogle typer almindelige differentialligninger, hvis løsninger kan skrives i formen elementære funktioner, det vil sige polynomiske, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funktioner, såvel som deres inverse funktioner. Mange af disse ligninger forekommer i det virkelige liv, selvom de fleste andre differentialligninger ikke kan løses med disse metoder, og for dem er svaret skrevet som specielle funktioner eller potensrækker, eller fundet ved numeriske metoder.

For at forstå denne artikel skal du kende differential- og integralregning samt have en vis forståelse af partielle afledte. Det anbefales også at kende det grundlæggende i lineær algebra som anvendt på differentialligninger, især andenordens differentialligninger, selvom viden om differential- og integralregning er tilstrækkelig til at løse dem.

Foreløbige oplysninger

• Differentialligninger har en omfattende klassifikation. Denne artikel taler om almindelige differentialligninger, altså om ligninger, der omfatter en funktion af én variabel og dens afledte. Almindelige differentialligninger er meget nemmere at forstå og løse end partielle differentialligninger, som omfatter funktioner af flere variable. Denne artikel behandler ikke partielle differentialligninger, da metoderne til at løse disse ligninger normalt bestemmes af deres specifikke form.
  • Nedenfor er nogle eksempler på almindelige differentialligninger.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nedenfor er nogle eksempler på partielle differentialligninger.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Bestille differentialligning bestemmes af rækkefølgen af ​​den højeste afledede inkluderet i denne ligning. Den første af ovenstående almindelige differentialligninger er af første orden, mens den anden er af anden orden. Grad af en differentialligning kaldes den højeste potens, som et af led i denne ligning er hævet til.
  • For eksempel er ligningen nedenfor tredje orden og anden potens.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ højre)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentialligningen er lineær differentialligning hvis funktionen og alle dens afledte er i første potens. Ellers er ligningen ikke-lineær differentialligning. Lineære differentialligninger er bemærkelsesværdige ved, at der kan laves lineære kombinationer ud fra deres løsninger, hvilket også vil være løsninger til denne ligning.
  • Nedenfor er nogle eksempler på lineære differentialligninger.
  • Nedenfor er nogle eksempler på ikke-lineære differentialligninger. Den første ligning er ikke-lineær på grund af sinusleddet.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \venstre((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\højre)^(2)+tx^(2)=0)
• Fælles beslutning almindelig differentialligning er ikke unik, den inkluderer vilkårlige integrationskonstanter. I de fleste tilfælde er antallet af vilkårlige konstanter lig med rækkefølgen af ​​ligningen. I praksis er værdierne af disse konstanter bestemt af givne begyndelsesbetingelser, det vil sige ved værdierne af funktionen og dens afledte ved x = 0. (\displaystyle x=0.) Antallet af startbetingelser, der er nødvendige for at finde privat beslutning differentialligning, er i de fleste tilfælde også lig med rækkefølgen af ​​denne ligning.
  • For eksempel vil denne artikel se på løsning af ligningen nedenfor. Dette er en anden ordens lineær differentialligning. Dens generelle løsning indeholder to vilkårlige konstanter. For at finde disse konstanter er det nødvendigt at kende startbetingelserne ved x (0) (\displaystyle x(0)) og x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Normalt angives startbetingelserne på punktet x = 0 , (\displaystyle x=0,), selvom dette ikke er påkrævet. Denne artikel vil også overveje, hvordan man finder særlige løsninger for givne startbetingelser.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Trin

Del 1

Når du bruger denne tjeneste, kan nogle oplysninger blive overført til YouTube.

1. Lineære ligninger af første orden. Dette afsnit diskuterer metoder til løsning af lineære differentialligninger af første orden i generelle og særlige tilfælde, hvor nogle led er lig med nul. Lad os lade som om y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) og q (x) (\displaystyle q(x)) er funktioner x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Ifølge en af ​​de vigtigste teoremer i matematisk analyse er integralet af en funktions afledte også en funktion. Således er det nok blot at integrere ligningen for at finde dens løsning. I dette tilfælde skal det tages i betragtning, at når man beregner det ubestemte integral, vises en vilkårlig konstant.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Vi bruger metoden adskillelse af variabler. I dette tilfælde overføres forskellige variable til forskellige sider af ligningen. Du kan fx overføre alle medlemmer fra y (\displaystyle y) til én, og alle medlemmer med x (\displaystyle x) til den anden side af ligningen. Medlemmer kan også flyttes d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) og d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), som indgår i afledte udtryk, skal det dog huskes, at dette blot er en konvention, hvilket er praktisk, når man differentierer en kompleks funktion. En diskussion af disse udtryk, som kaldes forskelle, er uden for rammerne af denne artikel.

   • Først skal du flytte variablerne på modsatte sider af lighedstegnet.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Vi integrerer begge sider af ligningen. Efter integration opstår der vilkårlige konstanter på begge sider, som kan overføres til højre side af ligningen.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.1. I det sidste trin brugte vi reglen e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) og erstattet e C (\displaystyle e^(C)) på den C (\displaystyle C), fordi det også er en vilkårlig integrationskonstant.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) For at finde den generelle løsning introducerede vi integrerende faktor som funktion af x (\displaystyle x) at reducere venstre side til en fælles afledet og dermed løse ligningen.

   • Gang begge sider med μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • For at reducere venstre side til en fælles afledt, skal følgende transformationer udføres:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Det betyder den sidste ligestilling d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Dette er en integrerende faktor, der er tilstrækkelig til at løse enhver førsteordens lineær ligning. Nu kan vi udlede en formel til løsning af denne ligning mhp µ , (\displaystyle \mu ,) selvom det til træning er nyttigt at lave alle mellemregningerne.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.2. I dette eksempel overvejer vi, hvordan man finder en bestemt løsning på en differentialligning med givne begyndelsesbetingelser.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Løsning af lineære ligninger af første orden (optaget af Intuit - National Open University).

2. Ikke-lineære førsteordensligninger. I dette afsnit overvejes metoder til løsning af nogle ikke-lineære differentialligninger af første orden. Selvom der ikke er nogen generel metode til at løse sådanne ligninger, kan nogle af dem løses ved hjælp af metoderne nedenfor.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Hvis funktionen f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) kan opdeles i funktioner af én variabel, kaldes en sådan ligning adskillelig differentialligning. I dette tilfælde kan du bruge ovenstående metode:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Eksempel 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(justeret)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Lad os lade som om g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) og h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) er funktioner x (\displaystyle x) og y . (\displaystyle y.) Derefter homogen differentialligning er en ligning, hvori g (\displaystyle g) og h (\displaystyle h) er homogene funktioner samme grad. Det vil sige, at funktionerne skal opfylde betingelsen g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) hvor k (\displaystyle k) kaldes graden af ​​homogenitet. Enhver homogen differentialligning kan gives ved en passende ændring af variable (v = y / x (\displaystyle v=y/x) eller v = x / y (\displaystyle v=x/y)) for at konvertere til en ligning med adskillelige variable.

   • Eksempel 1.4. Ovenstående beskrivelse af homogenitet kan virke uklar. Lad os se på dette koncept med et eksempel.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Til at begynde med skal det bemærkes, at denne ligning er ikke-lineær mht y . (\displaystyle y.) Vi ser også, at det i dette tilfælde er umuligt at adskille variablerne. Denne differentialligning er dog homogen, da både tælleren og nævneren er homogene med en potens af 3. Derfor kan vi lave en ændring af variabler v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Som et resultat har vi en ligning for v (\displaystyle v) med fælles variable.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) det Bernoullis differentialligning- en særlig form for ikke-lineær ligning af første grad, hvis løsning kan skrives ved hjælp af elementære funktioner.

   • Gang begge sider af ligningen med (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Vi bruger differentieringsreglen for en kompleks funktion i venstre side og transformerer ligningen til en lineær ligning m.h.t. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) som kan løses ved ovenstående metoder.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) det total differentialligning. Det er nødvendigt at finde den såkaldte potentiel funktion φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), som opfylder betingelsen d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • For at opfylde denne betingelse er det nødvendigt at have samlet afledt. Den samlede afledte tager højde for afhængigheden af ​​andre variable. For at beregne den samlede afledte φ (\displaystyle \varphi ) på x , (\displaystyle x,) det antager vi y (\displaystyle y) kan også afhænge af x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x)))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Sammenligning af termer giver os M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) og N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Dette er et typisk resultat for ligninger med flere variable, hvorved de blandede afledte af glatte funktioner er lig med hinanden. Nogle gange kaldes denne sag Clairauts sætning. I dette tilfælde er differentialligningen en ligning i totale differentialer, hvis følgende betingelse er opfyldt:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Metoden til at løse ligninger i totale differentialer svarer til at finde potentielle funktioner i nærværelse af flere afledte, som vi kort vil diskutere. Først integrerer vi M (\displaystyle M) på x . (\displaystyle x.) Fordi M (\displaystyle M) er en funktion og x (\displaystyle x), og y , (\displaystyle y,) ved integration får vi en ufuldstændig funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) mærket som φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Resultatet omfatter også den afhængige af y (\displaystyle y) konstant af integration.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Efter det, at få c (y) (\displaystyle c(y)) du kan tage den partielle afledede af den resulterende funktion med hensyn til y , (\displaystyle y,) sidestille resultatet N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) og integrere. Man kan også integrere først N (\displaystyle N), og tag så den partielle afledte mhp x (\displaystyle x), som giver os mulighed for at finde en vilkårlig funktion d(x). (\displaystyle d(x).) Begge metoder er velegnede, og normalt vælges den mere simple funktion til integration.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ delvis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Eksempel 1.5. Du kan tage partielle afledte og kontrollere, at ligningen nedenfor er en total differentialligning.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Hvis differentialligningen ikke er en total differentialligning, kan du i nogle tilfælde finde en integrerende faktor, der vil give dig mulighed for at konvertere den til en total differentialligning. Sådanne ligninger bruges dog sjældent i praksis, og selvom den integrerende faktor eksisterer, find det sker ikke let, så disse ligninger behandles ikke i denne artikel.

Del 2

1. Homogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Disse ligninger er meget udbredt i praksis, så deres løsning er af afgørende betydning. I dette tilfælde taler vi ikke om homogene funktioner, men om, at der i højre side af ligningen er 0. I næste afsnit vil vi vise, hvordan de tilsvarende heterogen differentialligninger. Under a (\displaystyle a) og b (\displaystyle b) er konstanter.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+af=0)
   

   Karakteristisk ligning. Denne differentialligning er bemærkelsesværdig ved, at den kan løses meget let, hvis du er opmærksom på, hvilke egenskaber dens løsninger skal have. Det kan ses af ligningen, at y (\displaystyle y) og dens derivater er proportionale med hinanden. Fra de foregående eksempler, som blev overvejet i afsnittet om førsteordens ligninger, ved vi, at kun eksponentialfunktionen har denne egenskab. Derfor er det muligt at fremsætte ansatz(et kvalificeret gæt) om, hvad løsningen til den givne ligning vil være.

   • Løsningen vil tage form af en eksponentiel funktion e r x , (\displaystyle e^(rx),) hvor r (\displaystyle r) er en konstant, hvis værdi skal findes. Sæt denne funktion ind i ligningen og få følgende udtryk
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Denne ligning angiver, at produktet af en eksponentiel funktion og et polynomium skal være nul. Det er kendt, at eksponenten ikke kan være lig med nul for nogen værdier af graden. Derfor konkluderer vi, at polynomiet er lig med nul. Således har vi reduceret problemet med at løse en differentialligning til et meget enklere problem med at løse en algebraisk ligning, som kaldes den karakteristiske ligning for en given differentialligning.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Vi har to rødder. Da denne differentialligning er lineær, er dens generelle løsning en lineær kombination af partielle løsninger. Da dette er en anden ordens ligning, ved vi, at dette er virkelig generel løsning, og der er ingen andre. En mere stringent begrundelse for dette ligger i sætningerne om løsningens eksistens og unikhed, som kan findes i lærebøger.
   • En nyttig måde at kontrollere, om to løsninger er lineært uafhængige, er at beregne Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- dette er determinanten for matricen, i hvis kolonner der er funktioner og deres successive afledte. Den lineære algebrasætning siger, at funktionerne i Wronskian er lineært afhængige, hvis Wronskian er lig nul. I dette afsnit kan vi teste, om to løsninger er lineært uafhængige ved at sikre, at Wronskian er ikke-nul. Wronskian er vigtig ved løsning af ikke-homogene differentialligninger med konstante koefficienter ved hjælp af parametervariationsmetoden.
     • w = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Med hensyn til lineær algebra danner mængden af ​​alle løsninger af en given differentialligning et vektorrum, hvis dimension er lig med rækkefølgen af ​​differentialligningen. I dette rum kan man vælge et grundlag fra lineært uafhængig beslutninger fra hinanden. Dette er muligt på grund af det faktum, at funktionen y (x) (\displaystyle y(x)) gyldig lineær operator. Afledte er lineær operator, da den omdanner rummet af differentierbare funktioner til rummet for alle funktioner. Ligninger kaldes homogene i tilfælde, hvor for nogle lineære operatorer L (\displaystyle L) det er nødvendigt at finde en løsning på ligningen L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Lad os nu vende os til et par specifikke eksempler. Tilfældet med multiple rødder af den karakteristiske ligning vil blive behandlet lidt senere i afsnittet om ordrereduktion.

   Hvis rødderne r ± (\displaystyle r_(\pm )) er forskellige reelle tal, har differentialligningen følgende løsning

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   To komplekse rødder. Det følger af algebras grundlæggende sætning, at løsningerne til løsningen af ​​polynomialligninger med reelle koefficienter har rødder, der er reelle eller danner konjugerede par. Derfor, hvis det komplekse tal r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) er roden til den karakteristiske ligning, altså r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) er også roden til denne ligning. Således kan løsningen skrives i formen c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) dette er dog et komplekst tal og er uønsket til løsning af praktiske problemer.

   • I stedet kan du bruge Euler formel e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), som giver dig mulighed for at skrive løsningen i form af trigonometriske funktioner:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nu kan du i stedet for konstant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Skriv ned c 1 (\displaystyle c_(1)), og udtrykket i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) erstattet af c 2. (\displaystyle c_(2).) Derefter får vi følgende løsning:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Der er en anden måde at skrive løsningen på i form af amplitude og fase, som er bedre egnet til fysiske problemer.
   • Eksempel 2.1. Lad os finde løsningen af ​​differentialligningen nedenfor med givne begyndelsesbetingelser. Til dette er det nødvendigt at tage den opnåede løsning, såvel som dets afledte, og erstatte dem i de indledende betingelser, som vil give os mulighed for at bestemme vilkårlige konstanter.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )jeg)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\venstre(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Løsning af differentialligninger af n. orden med konstante koefficienter (optaget af Intuit - National Open University).

2. Nedgradering af rækkefølge. Ordreduktion er en metode til at løse differentialligninger, når én lineært uafhængig løsning er kendt. Denne metode består i at sænke rækkefølgen af ​​ligningen med én, hvilket gør det muligt at løse ligningen ved hjælp af metoderne beskrevet i det foregående afsnit. Lad løsningen være kendt. Hovedideen med at sænke rækkefølgen er at finde en løsning i nedenstående formular, hvor det er nødvendigt at definere funktionen v (x) (\displaystyle v(x)), substituere det i differentialligningen og finde v(x). (\displaystyle v(x).) Lad os overveje, hvordan ordensreduktion kan bruges til at løse en differentialligning med konstante koefficienter og multiple rødder.

   
   

   Flere rødder homogen differentialligning med konstante koefficienter. Husk at en andenordensligning skal have to lineært uafhængige løsninger. Hvis den karakteristiske ligning har flere rødder, er mængden af ​​løsninger ikke danner et rum, da disse løsninger er lineært afhængige. I dette tilfælde skal ordrereduktion bruges til at finde en anden lineært uafhængig løsning.

   • Lad den karakteristiske ligning have flere rødder r (\displaystyle r). Vi antager, at den anden løsning kan skrives som y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), og indsæt det i differentialligningen. I dette tilfælde er de fleste af vilkårene, med undtagelse af udtrykket med den anden afledede af funktionen v , (\displaystyle v,) vil blive reduceret.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Eksempel 2.2. Givet følgende ligning, som har flere rødder r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Ved erstatning annulleres de fleste vilkår.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(justed)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\annuller (8v"e^(-4x)))+(\annuller (16ve^(-4x)))\\&+(\annuller (8v"e ^(-4x)))-(\annuller (32ve^(-4x)))+(\annuller (16ve^(-4x)))=0\end(justeret)))
   • Ligesom vores ansatz for en differentialligning med konstante koefficienter, kan kun den anden afledede i dette tilfælde være lig med nul. Vi integrerer to gange og opnår det ønskede udtryk for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Så kan den generelle løsning af en differentialligning med konstante koefficienter, hvis den karakteristiske ligning har flere rødder, skrives på følgende form. For nemheds skyld kan du huske, at for at opnå lineær uafhængighed er det nok blot at gange det andet led med x (\displaystyle x). Dette sæt af løsninger er lineært uafhængigt, og dermed har vi fundet alle løsninger til denne ligning.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Ordrereduktion er gældende, hvis løsningen er kendt y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), som kan findes eller angives i problemformuleringen.

   • Vi leder efter en løsning i form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) og sæt det ind i denne ligning:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Fordi y 1 (\displaystyle y_(1)) er en løsning på differentialligningen, alle led med v (\displaystyle v) krymper. Som følge heraf forbliver den første ordens lineære ligning. For at se dette mere klart, lad os ændre variablerne w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Hvis integralerne kan beregnes, får vi den generelle løsning som en kombination af elementære funktioner. Ellers kan løsningen efterlades i integreret form.

3. Cauchy-Euler ligning. Cauchy-Euler ligningen er et eksempel på en andenordens differentialligning med variabler koefficienter, som har nøjagtige løsninger. Denne ligning bruges i praksis for eksempel til at løse Laplace-ligningen i sfæriske koordinater.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakteristisk ligning. Som du kan se, i denne differentialligning, indeholder hvert led en potensfaktor, hvis grad er lig med rækkefølgen af ​​den tilsvarende afledte.

   • Således kan man forsøge at lede efter en løsning i skemaet y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hvor man skal definere n (\displaystyle n), ligesom vi ledte efter en løsning i form af en eksponentiel funktion for en lineær differentialligning med konstante koefficienter. Efter differentiering og substitution får vi
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • For at bruge den karakteristiske ligning må vi antage det x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Prik x = 0 (\displaystyle x=0) hedder regulært ental punkt differentialligning. Sådanne punkter er vigtige, når man løser differentialligninger ved hjælp af potensrækker. Denne ligning har to rødder, som kan være forskellige og reelle, multiple eller komplekse konjugater.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   To forskellige rigtige rødder. Hvis rødderne n ± (\displaystyle n_(\pm )) er reelle og forskellige, så har løsningen af ​​differentialligningen følgende form:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   To komplekse rødder. Hvis den karakteristiske ligning har rødder n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), er løsningen en kompleks funktion.

   • For at transformere løsningen til en reel funktion laver vi en ændring af variable x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) det er t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) og brug Euler-formlen. Lignende handlinger blev udført tidligere ved definition af vilkårlige konstanter.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Så kan den generelle løsning skrives som
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Flere rødder. For at opnå en anden lineært uafhængig løsning er det nødvendigt at reducere rækkefølgen igen.

   • Det kræver en del beregning, men princippet er det samme: vi erstatter y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) ind i en ligning, hvis første løsning er y 1 (\displaystyle y_(1)). Efter reduktioner opnås følgende ligning:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Dette er en første ordens lineær ligning mht v′ (x). (\displaystyle v"(x).) Hans løsning er v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Løsningen kan således skrives i følgende form. Det er ret nemt at huske – for at få den anden lineært uafhængige løsning skal du blot have et ekstra udtryk med ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Ikke-homogene ligninger har formen L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) hvor f (x) (\displaystyle f(x))- såkaldte gratis medlem. Ifølge teorien om differentialligninger er den generelle løsning af denne ligning en superposition privat beslutning y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) og ekstra løsning yc(x). (\displaystyle y_(c)(x).) Men i dette tilfælde betyder en bestemt løsning ikke en løsning givet af startbetingelserne, men snarere en løsning, der skyldes tilstedeværelsen af ​​inhomogenitet (frit medlem). Den komplementære løsning er løsningen af ​​den tilsvarende homogene ligning, hvori f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Den generelle løsning er en superposition af disse to løsninger, fordi L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), og siden L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) sådan en superposition er faktisk en generel løsning.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+af=f(x))
   

   Metode med ubestemte koefficienter. Metoden med ubestemte koefficienter bruges i tilfælde, hvor det frie led er en kombination af eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske eller potensfunktioner. Kun disse funktioner er garanteret at have et begrænset antal lineært uafhængige afledte. I dette afsnit finder vi en særlig løsning på ligningen.

   • Sammenlign vilkårene i f (x) (\displaystyle f(x)) med vilkår i at ignorere konstante faktorer. Tre tilfælde er mulige.
     • Der er ingen identiske medlemmer. I dette tilfælde en særlig løsning y p (\displaystyle y_(p)) vil være en lineær kombination af udtryk fra y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) indeholder medlem x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er nul eller et positivt heltal, og dette led svarer til en enkelt rod af den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\displaystyle y_(p)) vil bestå af en kombination af funktionen x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) dens lineært uafhængige derivater, såvel som andre udtryk f (x) (\displaystyle f(x)) og deres lineært uafhængige derivater.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) indeholder medlem h (x) , (\displaystyle h(x),) som er et værk x n (\displaystyle x^(n)) og et medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) hvor n (\displaystyle n) er lig med 0 eller et positivt heltal, og dette led svarer til mange roden af ​​den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\displaystyle y_(p)) er en lineær kombination af funktionen x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(hvor s (\displaystyle s)- multiplicitet af roden) og dens lineært uafhængige afledte, såvel som andre medlemmer af funktionen f (x) (\displaystyle f(x)) og dets lineært uafhængige derivater.
   • Lad os skrive ned y p (\displaystyle y_(p)) som en lineær kombination af ovenstående udtryk. På grund af disse koefficienter i en lineær kombination kaldes denne metode for "metoden med ubestemte koefficienter". Ved fremkomsten af ​​dem, der er indeholdt i y c (\displaystyle y_(c)) deres medlemmer kan kasseres på grund af tilstedeværelsen af ​​vilkårlige konstanter i y c. (\displaystyle y_(c).) Derefter erstatter vi y p (\displaystyle y_(p)) ind i en ligning og sidestille lignende udtryk.
   • Vi bestemmer koefficienterne. På dette stadium opnås et system af algebraiske ligninger, som normalt kan løses uden særlige problemer. Løsningen af ​​dette system gør det muligt at opnå y p (\displaystyle y_(p)) og derved løse ligningen.
   • Eksempel 2.3. Overvej en inhomogen differentialligning, hvis frie led indeholder et endeligt antal lineært uafhængige afledte. En særlig løsning af en sådan ligning kan findes ved metoden med ubestemte koefficienter.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligned)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ ende(sager)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange metode. Lagrange-metoden, eller metoden til variation af vilkårlige konstanter, er en mere generel metode til løsning af inhomogene differentialligninger, især i tilfælde hvor det frie led ikke indeholder et endeligt antal lineært uafhængige afledte. For eksempel med gratis medlemmer tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) eller x − n (\displaystyle x^(-n)) for at finde en bestemt løsning er det nødvendigt at bruge Lagrange-metoden. Lagrange-metoden kan endda bruges til at løse differentialligninger med variable koefficienter, selvom den i dette tilfælde, med undtagelse af Cauchy-Euler-ligningen, er sjældnere brugt, da den ekstra løsning normalt ikke udtrykkes i form af elementære funktioner.

   • Lad os antage, at løsningen har følgende form. Dens afledte er angivet i anden linje.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Da den foreslåede løsning indeholder to ukendte mængder, er det nødvendigt at pålægge ekstra tilstand. Vi vælger denne yderligere betingelse i følgende form:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nu kan vi få den anden ligning. Efter at have erstattet og omfordelt medlemmer, kan du gruppere medlemmer med v 1 (\displaystyle v_(1)) og medlemmer fra v 2 (\displaystyle v_(2)). Disse vilkår er annulleret pga y 1 (\displaystyle y_(1)) og y 2 (\displaystyle y_(2)) er løsninger af den tilsvarende homogene ligning. Som et resultat får vi følgende ligningssystem
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(justed)))
   • Dette system kan omdannes til en matrixligning af formen A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) hvis løsning er x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Til matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) den inverse matrix findes ved at dividere med determinanten, permutere de diagonale elementer og vende fortegnet for de off-diagonale elementer. Faktisk er determinanten for denne matrix en Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Udtryk for v 1 (\displaystyle v_(1)) og v 2 (\displaystyle v_(2)) er anført nedenfor. Ligesom i ordensreduktionsmetoden opstår der i dette tilfælde en vilkårlig konstant under integrationen, som inkluderer en ekstra løsning i den generelle løsning af differentialligningen.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Foredrag af National Open University Intuit med titlen "Lineære differentialligninger af n-te orden med konstante koefficienter".

Praktisk brug

Differentialligninger etablerer en sammenhæng mellem en funktion og en eller flere af dens afledte. Da sådanne forhold er så almindelige, har differentialligninger fundet bred anvendelse på en lang række områder, og da vi lever i fire dimensioner, er disse ligninger ofte differentialligninger i privat derivater. Dette afsnit diskuterer nogle af de vigtigste ligninger af denne type.

• Eksponentiel vækst og forfald. Radioaktivt henfald. Renters rente. Hastigheden af ​​kemiske reaktioner. Koncentrationen af ​​lægemidler i blodet. Ubegrænset befolkningstilvækst. Newton-Richmanns lov. Der er mange systemer i den virkelige verden, hvor hastigheden af ​​vækst eller henfald på et givet tidspunkt er proportional med mængden på det tidspunkt, eller kan godt tilnærmes af en model. Dette skyldes, at løsningen på denne differentialligning, eksponentialfunktionen, er en af ​​de vigtigste funktioner i matematik og andre videnskaber. Mere generelt, under kontrolleret befolkningstilvækst, kan systemet omfatte yderligere vilkår, der begrænser væksten. I nedenstående ligning er konstanten k (\displaystyle k) kan enten være større eller mindre end nul.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniske vibrationer. I både klassisk og kvantemekanik er den harmoniske oscillator et af de vigtigste fysiske systemer på grund af dens enkelhed og brede anvendelse til at tilnærme mere komplekse systemer såsom et simpelt pendul. I klassisk mekanik er harmoniske svingninger beskrevet af en ligning, der relaterer positionen af ​​et materialepunkt til dets acceleration gennem Hookes lov. I dette tilfælde kan der også tages hensyn til dæmpning og drivkræfter. I udtrykket nedenfor x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- tidsafledt af x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) er en parameter, der beskriver dæmpningskraften, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- systemets vinkelfrekvens, F (t) (\displaystyle F(t)) er en tidsafhængig drivkraft. Den harmoniske oscillator er også til stede i elektromagnetiske oscillatoriske kredsløb, hvor den kan implementeres med større nøjagtighed end i mekaniske systemer.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel ligning. Bessel differentialligningen bruges i mange områder af fysikken, herunder løsningen af ​​bølgeligningen, Laplace-ligningen og Schrödinger-ligningen, især i nærvær af cylindrisk eller sfærisk symmetri. Denne andenordens differentialligning med variable koefficienter er ikke en Cauchy-Euler-ligning, så dens løsninger kan ikke skrives som elementære funktioner. Løsningerne af Bessel-ligningen er Bessel-funktionerne, som er velundersøgte på grund af, at de bruges på mange områder. I udtrykket nedenfor α (\displaystyle \alpha ) er en konstant, der matcher bestille Bessel funktioner.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwells ligninger. Sammen med Lorentz-kraften danner Maxwells ligninger grundlaget for klassisk elektrodynamik. Dette er fire partielle differentialligninger for det elektriske E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) og magnetisk B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) felter. I udtrykkene nedenfor ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ladningstæthed, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) er strømtætheden, og ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) og μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) er henholdsvis de elektriske og magnetiske konstanter.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle \t\begin(aligned) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Schrödinger ligning. I kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen den grundlæggende bevægelsesligning, der beskriver partiklernes bevægelse i henhold til en ændring i bølgefunktionen Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) med tiden. Bevægelsesligningen beskrives af adfærden Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operatør, som beskriver systemets energi. Et af de velkendte eksempler på Schrödinger-ligningen i fysik er ligningen for én ikke-relativistisk partikel, som er udsat for potentialet V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mange systemer er beskrevet af den tidsafhængige Schrödinger-ligning, med ligningen på venstre side E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) hvor E (\displaystyle E) er partiklens energi. I udtrykkene nedenfor ℏ (\displaystyle \hbar ) er den reducerede Planck-konstant.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\venstre(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• bølgeligning. Det er umuligt at forestille sig fysik og teknologi uden bølger, de er til stede i alle typer systemer. Generelt er bølger beskrevet af nedenstående ligning, hvori u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) er den ønskede funktion, og c (\displaystyle c)- eksperimentelt bestemt konstant. d'Alembert var den første til at opdage, at for det endimensionelle tilfælde er løsningen til bølgeligningen nogen funktion med argument x − c t (\displaystyle x-ct), som beskriver en vilkårlig bølge, der forplanter sig til højre. Den generelle løsning for det endimensionelle tilfælde er en lineær kombination af denne funktion med en anden funktion med et argument x + c t (\displaystyle x+ct), som beskriver en bølge, der forplanter sig til venstre. Denne løsning præsenteres i anden linje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes ligninger. Navier-Stokes-ligningerne beskriver væskers bevægelse. Da væsker er til stede i næsten alle områder inden for videnskab og teknologi, er disse ligninger ekstremt vigtige for vejrudsigelse, flydesign, havstrømme og mange andre anvendelser. Navier-Stokes-ligningerne er ikke-lineære partielle differentialligninger, og i de fleste tilfælde er det meget vanskeligt at løse dem, da ikke-lineariteten fører til turbulens, og for at opnå en stabil løsning med numeriske metoder, er det nødvendigt at opdele i meget små celler, hvilket kræver betydelig computerkraft. Til praktiske formål inden for hydrodynamik bruges metoder som tidsgennemsnit til at modellere turbulente strømme. Endnu mere grundlæggende spørgsmål, såsom eksistensen og unikheden af ​​løsninger til ikke-lineære partielle differentialligninger, er komplekse problemer, og at bevise eksistensen og unikheden af ​​løsninger til Navier-Stokes-ligningerne i tre dimensioner er blandt de matematiske problemer i årtusindet. . Nedenfor er den inkompressible væskestrømsligning og kontinuitetsligningen.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\delvis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Mange differentialligninger kan simpelthen ikke løses med ovenstående metoder, især dem der er nævnt i sidste afsnit. Dette gælder, når ligningen indeholder variable koefficienter og ikke er en Cauchy-Euler-ligning, eller når ligningen er ikke-lineær, undtagen i nogle få meget sjældne tilfælde. Ovenstående metoder giver dig dog mulighed for at løse mange vigtige differentialligninger, som du ofte støder på inden for forskellige videnskabsområder.
• I modsætning til differentiering, som giver dig mulighed for at finde den afledede af enhver funktion, kan integralet af mange udtryk ikke udtrykkes i elementære funktioner. Spild derfor ikke tid på at prøve at beregne integralet, hvor det er umuligt. Se på tabellen over integraler. Hvis løsningen af ​​en differentialligning ikke kan udtrykkes i form af elementære funktioner, kan den nogle gange repræsenteres i integralform, og i dette tilfælde er det ligegyldigt, om dette integral kan beregnes analytisk.

Advarsler

• Udseende differentialligning kan være misvisende. Nedenfor er for eksempel to førsteordens differentialligninger. Den første ligning løses let ved hjælp af metoderne beskrevet i denne artikel. Ved første øjekast en mindre ændring y (\displaystyle y) på den y 2 (\displaystyle y^(2)) i den anden ligning gør den ikke-lineær og bliver meget svær at løse.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Enten er de allerede løst med hensyn til den afledte, eller også kan de løses med hensyn til den afledte .

Generel løsning af differentialligninger af typen på intervallet x, som er givet, kan findes ved at tage integralet af begge sider af denne lighed.

Få .

Hvis vi ser på egenskaberne for det ubestemte integral, finder vi den ønskede generelle løsning:

y = F(x) + C,

hvor F(x)- en af ​​funktionens antiderivater f(x) ind i mellem x, a FRA er en vilkårlig konstant.

Bemærk venligst, at intervallet i de fleste opgaver x ikke angive. Det betyder, at der skal findes en løsning for alle. x, for hvilken og den ønskede funktion y, og den oprindelige ligning giver mening.

Hvis du skal beregne en bestemt løsning af en differentialligning, der opfylder startbetingelsen y(x0) = y0, derefter efter beregning af det generelle integral y = F(x) + C, er det stadig nødvendigt at bestemme værdien af ​​konstanten C=CO ved at bruge den oprindelige tilstand. Altså en konstant C=CO bestemt ud fra ligningen F(x 0) + C = y 0, og den ønskede særlige løsning af differentialligningen vil have formen:

y = F(x) + CO.

Overvej et eksempel:

Find den generelle løsning af differentialligningen, kontroller rigtigheden af ​​resultatet. Lad os finde en bestemt løsning af denne ligning, der ville opfylde startbetingelsen.

Løsning:

Efter at vi har integreret den givne differentialligning, får vi:

.

Vi tager dette integral efter metoden til integration af dele:

At., er en generel løsning af differentialligningen.

Lad os tjekke for at sikre, at resultatet er korrekt. For at gøre dette erstatter vi den løsning, vi fandt, i den givne ligning:

.

Altså kl den oprindelige ligning bliver til en identitet:

derfor blev den generelle løsning af differentialligningen bestemt korrekt.

Den løsning, vi fandt, er den generelle løsning af differentialligningen for hver reelle værdi af argumentet x.

Det er tilbage at beregne en bestemt løsning af ODE, der ville opfylde den oprindelige betingelse. Med andre ord er det nødvendigt at beregne værdien af ​​konstanten FRA, hvor ligheden vil være sand:

.

.

Derefter erstatter C = 2 i den generelle løsning af ODE får vi en bestemt løsning af differentialligningen, der opfylder startbetingelsen:

.

Almindelig differentialligning kan løses med hensyn til den afledede ved at dividere de 2 dele af ligningen med f(x). Denne transformation vil være ækvivalent if f(x) går ikke i nul for nogen x fra intervallet for integration af differentialligningen x.

Situationer er sandsynlige, når, for nogle værdier af argumentet x ∈ x funktioner f(x) og g(x) dreje til nul på samme tid. For lignende værdier x den generelle løsning af differentialligningen er enhver funktion y, som er defineret i dem, fordi .

Hvis for nogle værdier af argumentet x ∈ x betingelsen er opfyldt, hvilket betyder, at ODE i dette tilfælde ikke har nogen løsninger.

For alle andre x fra interval x den generelle løsning af differentialligningen bestemmes ud fra den transformerede ligning.

Lad os se på eksempler:

Eksempel 1

Lad os finde den generelle løsning af ODE: .

Løsning.

Fra egenskaberne af de grundlæggende elementære funktioner er det klart, at den naturlige logaritmefunktion er defineret for ikke-negative værdier af argumentet, derfor er udtrykkets domæne log(x+3) der er et interval x > -3 . Derfor giver den givne differentialligning mening for x > -3 . Med disse værdier af argumentet, udtrykket x + 3 forsvinder ikke, så man kan løse ODE med hensyn til den afledte ved at dividere de 2 dele med x + 3.

Vi får .

Dernæst integrerer vi den resulterende differentialligning, løst med hensyn til den afledede: . For at tage dette integral bruger vi metoden til at subsumere under differentialets tegn.