Løsning af eksponentialligninger online med en detaljeret løsning. Hvordan løses ligningssystemet? Metoder til løsning af ligningssystemer

På forberedelsesstadiet til den endelige test skal gymnasieelever forbedre deres viden om emnet "Eksponentielle ligninger". De seneste års erfaringer viser, at sådanne opgaver volder visse vanskeligheder for skolebørn. Derfor skal gymnasieelever, uanset deres forberedelsesniveau, omhyggeligt mestre teorien, huske formlerne og forstå princippet om at løse sådanne ligninger. Efter at have lært at klare denne type opgaver, vil kandidater være i stand til at regne med høje scorer, når de består eksamen i matematik.

Gør dig klar til eksamensprøven sammen med Shkolkovo!

Når de gennemgåede materialer gentages, står mange elever over for problemet med at finde de nødvendige formler for at løse ligningerne. En skolebog er ikke altid ved hånden, og udvælgelsen af ​​de nødvendige oplysninger om et emne på internettet tager lang tid.

Shkolkovo uddannelsesportal inviterer studerende til at bruge vores vidensbase. Vi implementerer en helt ny metode til at forberede den endelige test. Når du studerer på vores side, vil du være i stand til at identificere huller i viden og være opmærksom på netop de opgaver, der forårsager de største vanskeligheder.

Lærere i "Shkolkovo" indsamlede, systematiserede og præsenterede alt det nødvendige materiale til en vellykket beståelse af eksamen i den enkleste og mest tilgængelige form.

De vigtigste definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk reference".

For en bedre assimilering af materialet anbefaler vi, at du øver opgaverne. Gennemgå omhyggeligt eksemplerne på eksponentialligninger med løsninger præsenteret på denne side for at forstå beregningsalgoritmen. Fortsæt derefter med opgaverne i afsnittet "Kataloger". Du kan starte med de nemmeste opgaver eller gå direkte til at løse komplekse eksponentialligninger med flere ukendte eller . Databasen med øvelser på vores hjemmeside bliver løbende suppleret og opdateret.

Disse eksempler med indikatorer, der voldte dig vanskeligheder, kan føjes til "Favoritter". Så du kan hurtigt finde dem og diskutere løsningen med læreren.

For at bestå eksamenen skal du studere på Shkolkovo-portalen hver dag!

I. axe 2 \u003d 0 – ufuldstændig andengradsligning (b=0, c=0 ). Løsning: x=0. Svar: 0.

Løs ligninger.

2x·(x+3)=6x-x2.

Løsning. Udvid parenteserne ved at gange 2x for hvert led i parentes:

2x2 +6x=6x-x2; flytning af begreberne fra højre side til venstre side:

2x2 +6x-6x+x2=0; Her er lignende udtryk:

3x2 =0, derfor x=0.

Svar: 0.

II. ax2+bx=0 –ufuldstændig andengradsligning (s=0 ). Løsning: x (ax+b)=0 → x 1 =0 eller ax+b=0 → x 2 =-b/a. Svar: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Løsning. Tag den fælles faktor ud x for beslag:

x(5x-26)=0; hver faktor kan være nul:

x=0 eller 5x-26=0→ 5x=26, divider begge sider af ligheden med 5 og vi får: x \u003d 5.2.

Svar: 0; 5,2.

Eksempel 3 64x+4x2=0.

Løsning. Tag den fælles faktor ud 4x for beslag:

4x(16+x)=0. Vi har derfor tre faktorer, 4≠0, eller x=0 eller 16+x=0. Fra den sidste lighed får vi x=-16.

Svar: -16; 0.

Eksempel 4(x-3) 2 +5x=9.

Løsning. Ved at anvende formlen for kvadratet af forskellen mellem to udtryk skal du åbne parenteserne:

x 2 -6x+9+5x=9; transformer til formen: x 2 -6x+9+5x-9=0; Her er lignende udtryk:

x2-x=0; udholde x uden for parenteserne får vi: x (x-1)=0. Herfra eller x=0 eller x-1=0→ x=1.

Svar: 0; 1.

III. ax2+c=0 –ufuldstændig andengradsligning (b=0 ); Løsning: axe 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Hvis en (-c/a)<0 , så er der ingen rigtige rødder. Hvis en (-s/a)>0

Eksempel 5 x 2 -49=0.

Løsning.

x 2 \u003d 49, herfra x=±7. Svar:-7; 7.

Eksempel 6 9x2-4=0.

Løsning.

Det er ofte nødvendigt at finde summen af ​​kvadrater (x 1 2 + x 2 2) eller summen af ​​terninger (x 1 3 + x 2 3) af rødderne af en andengradsligning, sjældnere - summen af ​​de reciproke af kvadraterne af rødderne eller summen af ​​aritmetiske kvadratrødder fra rødderne af en andengradsligning:

Vietas sætning kan hjælpe med dette:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d -p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Express igennem s og q:

1) summen af ​​kvadraterne af ligningens rødder x2+px+q=0;

2) summen af ​​kuberne af ligningens rødder x2+px+q=0.

Løsning.

1) Udtryk x 1 2 + x 2 2 opnås ved at kvadrere begge sider af ligningen x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; åbne parenteserne: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; vi udtrykker den ønskede mængde: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Vi har en nyttig ligning: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Udtryk x 1 3 + x 2 3 repræsentere ved formlen for summen af ​​terninger i formen:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

En anden nyttig ligning: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Eksempler.

3) x 2 -3x-4=0. Uden at løse ligningen, beregne værdien af ​​udtrykket x 1 2 + x 2 2.

Løsning.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, og arbejdet x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003di eksempel 1) ligestilling:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Vi har -s=x 1 + x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. Derefter x 12 + x 22 =9-2 (-4)=9+8=17.

Svar: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Beregn: x 1 3 + x 2 3 .

Løsning.

Ved Vietas sætning, summen af ​​rødderne til denne reducerede andengradsligning x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, og arbejdet x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-fire. Lad os anvende det, vi har opnået ( i eksempel 2) ligestilling: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Svar: x 1 3 + x 2 3 =32.

Spørgsmål: hvad hvis vi får en ikke-reduceret andengradsligning? Svar: det kan altid "reduceres" ved at dividere led for led med den første koefficient.

5) 2x2 -5x-7=0. Uden at løse, beregn: x 1 2 + x 2 2.

Løsning. Vi får en komplet andengradsligning. Divider begge sider af ligningen med 2 (den første koefficient) og få følgende andengradsligning: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Ved Vietas sætning er summen af ​​rødderne 2,5 ; produktet af rødderne er -3,5 .

Vi løser på samme måde som et eksempel 3) ved hjælp af ligestilling: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x12 +x22 =p2-2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Svar: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0. Finde:

Lad os transformere denne lighed og, ved at erstatte summen af ​​rødderne i form af Vieta-sætningen, -s, og produktet af rødderne igennem q, får vi en anden nyttig formel. Når vi udledte formlen, brugte vi lighed 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

I vores eksempel x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-2. Erstat disse værdier i den resulterende formel:

7) x 2 -13x+36=0. Finde:

Lad os transformere denne sum og få en formel, hvormed det vil være muligt at finde summen af ​​aritmetiske kvadratrødder ud fra rødderne af en andengradsligning.

Vi har x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Erstat disse værdier i den afledte formel:

Råd : Kontroller altid muligheden for at finde rødderne til en andengradsligning på en passende måde, fordi 4 gennemgået nyttige formler giver dig mulighed for hurtigt at fuldføre opgaven, først og fremmest i tilfælde, hvor diskriminanten er et "ubekvemt" nummer. I alle simple tilfælde skal du finde rødderne og operere på dem. I det sidste eksempel vælger vi f.eks. rødderne ved hjælp af Vieta-sætningen: summen af ​​rødderne skal være lig med 13 , og produktet af rødderne 36 . Hvad er disse tal? Selvfølgelig, 4 og 9. Beregn nu summen af ​​kvadratrødderne af disse tal: 2+3=5. Det er det!

I. Vietas sætning for den reducerede andengradsligning.

Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning x 2 +px+q=0 er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led:

x 1 + x 2 \u003d -p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Find rødderne til den givne andengradsligning ved hjælp af Vietas sætning.

Eksempel 1) x 2 -x-30=0. Dette er den reducerede andengradsligning ( x 2 +px+q=0), den anden koefficient p=-1, og fritiden q=-30. Først skal du sikre dig, at den givne ligning har rødder, og at rødderne (hvis nogen) vil blive udtrykt som heltal. Til dette er det tilstrækkeligt, at diskriminanten er det fulde kvadrat af et heltal.

At finde diskriminanten D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nu skal summen af ​​rødderne ifølge Vieta-sætningen være lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, dvs. ( -s), og produktet er lig med fritiden, dvs. ( q). Derefter:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Vi skal vælge sådanne to tal, så deres produkt er lig med -30 , og summen er enhed. Det er tallene -5 og 6 . Svar: -5; 6.

Eksempel 2) x 2 +6x+8=0. Vi har den reducerede andengradsligning med den anden koefficient p=6 og gratis medlem q=8. Sørg for, at der er heltalsrødder. Lad os finde diskriminanten D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminanten D 1 er det perfekte kvadrat af tallet 1 , så rødderne til denne ligning er heltal. Vi vælger rødderne efter Vieta-sætningen: summen af ​​rødderne er lig med –p=-6, og produktet af rødderne er q=8. Det er tallene -4 og -2 .

Faktisk: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Svar: -4; -2.

Eksempel 3) x 2 +2x-4=0. I denne reducerede andengradsligning er den anden koefficient p=2, og fritiden q=-4. Lad os finde diskriminanten D1, da den anden koefficient er et lige tal. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminanten er ikke et perfekt kvadrat af et tal, så det gør vi konklusion: rødderne til denne ligning er ikke heltal og kan ikke findes ved hjælp af Vietas sætning. Så vi løser denne ligning, som sædvanligt, i henhold til formlerne (i dette tilfælde ifølge formlerne). Vi får:

Eksempel 4). Skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Løsning. Den ønskede ligning vil blive skrevet i formen: x 2 +px+q=0, desuden baseret på Vieta-sætningen –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Så vil ligningen antage formen: x 2 +3x-28=0.

Eksempel 5). Skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder, hvis:

II. Vietas sætning for den komplette andengradsligning ax2+bx+c=0.

Summen af ​​rødderne er minus b divideret med -en, er produktet af rødderne Med divideret med en:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c/a.

Eksempel 6). Find summen af ​​rødderne til en andengradsligning 2x2 -7x-11=0.

Løsning.

Vi er overbeviste om, at denne ligning vil have rødder. For at gøre dette er det nok at skrive et udtryk for diskriminanten, og uden at beregne det, skal du blot sørge for, at diskriminanten er større end nul. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Og lad os nu bruge teorem Vieta for komplette andengradsligninger.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Eksempel 7). Find produktet af rødderne til en andengradsligning 3x2 +8x-21=0.

Løsning.

Lad os finde diskriminanten D1, da den anden koefficient ( 8 ) er et lige tal. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Den andengradsligning har 2 rod, ifølge Vieta-sætningen, produktet af rødderne x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 er en generel andengradsligning

Diskriminerende D=b2-4ac.

Hvis en D>0, så har vi to rigtige rødder:

Hvis en D=0, så har vi en enkelt rod (eller to lige store rødder) x=-b/(2a).

Hvis D<0, то действительных корней нет.

Eksempel 1) 2x2 +5x-3=0.

Løsning. -en=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=72 >0; 2 rigtige rødder.

4x2 +21x+5=0.

Løsning. -en=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=192 >0; 2 rigtige rødder.

II. ax2+bx+c=0 – speciel andengradsligning i et lige sekund

koefficient b

Eksempel 3) 3x2 -10x+3=0.

Løsning. -en=3; b\u003d -10 (lige tal); c=3.

Eksempel 4) 5x2-14x-3=0.

Løsning. -en=5; b= -14 (lige tal); c=-3.

Eksempel 5) 71x2 +144x+4=0.

Løsning. -en=71; b=144 (lige tal); c=4.

Eksempel 6) 9x2 -30x+25=0.

Løsning. -en=9; b\u003d -30 (lige tal); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – andengradsligning privat type, forudsat: a-b+c=0.

Den første rod er altid minus en, og den anden rod er minus Med divideret med -en:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Eksempel 7) 2x2+9x+7=0.

Løsning. -en=2; b=9; c=7. Lad os tjekke ligestillingen: a-b+c=0. Vi får: 2-9+7=0 .

Derefter x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5. Svar: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – andengradsligning af en bestemt form under betingelsen : a+b+c=0.

Den første rod er altid lig med én, og den anden rod er lig med Med divideret med -en:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Eksempel 8) 2x2 -9x+7=0.

Løsning. -en=2; b=-9; c=7. Lad os tjekke ligestillingen: a+b+c=0. Vi får: 2-9+7=0 .

Derefter x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5. Svar: 1; 3,5.

Side 1 af 1 1

I 7. klasses matematikforløb mødes de først med ligninger med to variable, men de studeres kun i sammenhæng med ligningssystemer med to ukendte. Derfor falder en række problemer ud af syne, hvor der indføres visse betingelser på ligningens koefficienter, der begrænser dem. Derudover ignoreres metoder til at løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltal" også, selvom problemer af denne art støder på oftere og oftere i USE-materialerne og ved optagelsesprøver.

Hvilken ligning vil blive kaldt en ligning med to variable?

Så for eksempel er ligningerne 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 eller xy = 12 to-variable ligninger.

Betragt ligningen 2x - y = 1. Det bliver til en sand lighed ved x = 2 og y = 3, så dette par af variable værdier er løsningen på den betragtede ligning.

Således er løsningen af ​​enhver ligning med to variabler sættet af ordnede par (x; y), værdierne af de variable, som denne ligning forvandler til en sand numerisk lighed.

En ligning med to ukendte kan:

en) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);

b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

i) har ingen løsninger. For eksempel har ligningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;

G) har uendeligt mange løsninger. For eksempel er x + y = 3. Løsningerne til denne ligning vil være tal, hvis sum er 3. Mængden af ​​løsninger til denne ligning kan skrives som (k; 3 - k), hvor k er et hvilket som helst reelt tal.

De vigtigste metoder til at løse ligninger med to variable er metoder baseret på faktoriseringsudtryk, fremhævelse af det fulde kvadrat, brug af egenskaberne for en andengradsligning, afgrænsning af udtryk og evalueringsmetoder. Ligningen omdannes som regel til en form, hvorfra et system til at finde ukendte kan fås.

Faktorisering

Eksempel 1

Løs ligningen: xy - 2 = 2x - y.

Løsning.

Vi grupperer vilkårene med henblik på factoring:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Tag den fælles faktor ud fra hver parentes:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Vi har:

y = 2, x er et hvilket som helst reelt tal eller x = -1, y er et hvilket som helst reelt tal.

På denne måde svaret er alle par af formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.

Ligestilling til nul af ikke-negative tal

Eksempel 2

Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Løsning.

Gruppering:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nu kan hver parentes skjules ved hjælp af kvadratforskelformlen.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Summen af ​​to ikke-negative udtryk er kun nul, hvis 3x - 2 = 0 og 2y - 3 = 0.

Så x = 2/3 og y = 3/2.

Svar: (2/3; 3/2).

Evalueringsmetode

Eksempel 3

Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Løsning.

I hver parentes skal du vælge den fulde firkant:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Skøn betydningen af ​​udtrykkene i parentes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side af ligningen altid mindst 2. Ligestilling er mulig, hvis:

(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y - 2) 2 + 2 = 2, så x = -1, y = 2.

Svar: (-1; 2).

Lad os stifte bekendtskab med en anden metode til løsning af ligninger med to variable af anden grad. Denne metode er, at ligningen betragtes som kvadrat med hensyn til en variabel.

Eksempel 4

Løs ligningen: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Løsning.

Lad os løse ligningen som en andengradsligning i forhold til x. Lad os finde diskriminanten:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Ligningen vil kun have en løsning, når D = 0, dvs. hvis y = 4. Vi erstatter værdien af ​​y i den oprindelige ligning og finder, at x = 3.

Svar: (3; 4).

Ofte i ligninger med to ukendte angiver restriktioner på variabler.

Eksempel 5

Løs ligningen i heltal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Løsning.

Lad os omskrive ligningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Den højre side af den resulterende ligning, når den divideres med 5, giver en rest af 2. Derfor er x 2 ikke delelig med 5. Men kvadratet af et tal, der ikke er deleligt med 5, giver en rest på 1 eller 4. Således er lighed umulig, og der er ingen løsninger.

Svar: ingen rødder.

Eksempel 6

Løs ligningen: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Løsning.

Lad os vælge de fulde firkanter i hver parentes:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side af ligningen er altid større end eller lig med 3. Lighed er mulig, hvis |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Således er x = ± 2, y = -3.

Svar: (2; -3) og (-2; -3).

Eksempel 7

For hvert par negative heltal (x; y), der opfylder ligningen
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Besvar det mindste beløb.

Løsning.

Vælg hele firkanter:

(x 2 - 2 xy + y 2) + (y 2 + 4 y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x og y er heltal, er deres kvadrater også heltal. Summen af ​​kvadraterne af to heltal, lig med 37, får vi, hvis vi tilføjer 1 + 36. Derfor:

(x - y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.

Løser vi disse systemer og tager højde for, at x og y er negative, finder vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Svar: -17.

Fortvivl ikke, hvis du har svært ved at løse ligninger med to ubekendte. Med lidt øvelse vil du være i stand til at mestre enhver ligning.

Har du nogen spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser ligninger med to variable?
For at få hjælp af en vejleder - tilmeld dig.
Den første lektion er gratis!

site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Service til løsning af ligninger online hjælper dig med at løse enhver ligning. Ved at bruge vores side vil du ikke kun få svaret på ligningen, men også se en detaljeret løsning, det vil sige en trin-for-trin visning af processen med at opnå resultatet. Vores service vil være nyttig for gymnasieelever og deres forældre. Studerende vil være i stand til at forberede sig til prøver, eksamener, teste deres viden, og forældre vil være i stand til at kontrollere løsningen af ​​matematiske ligninger af deres børn. Evnen til at løse ligninger er et obligatorisk krav for studerende. Tjenesten vil hjælpe dig med at lære selv og forbedre din viden inden for matematiske ligninger. Med den kan du løse enhver ligning: kvadratisk, kubisk, irrationel, trigonometrisk osv. Fordelen ved onlinetjenesten er uvurderlig, for udover det rigtige svar får du en detaljeret løsning på hver ligning. Fordele ved at løse ligninger online. Du kan løse enhver ligning online på vores hjemmeside helt gratis. Tjenesten er fuldautomatisk, du behøver ikke at installere noget på din computer, du skal blot indtaste dataene, og programmet vil udstede en løsning. Eventuelle regnefejl eller typografiske fejl er udelukket. Det er meget nemt at løse enhver ligning online hos os, så sørg for at bruge vores side til at løse enhver form for ligninger. Du behøver kun at indtaste data, og beregningen vil blive gennemført på få sekunder. Programmet fungerer selvstændigt, uden menneskelig indblanding, og du får et præcist og detaljeret svar. Løsning af ligningen i generel form. I en sådan ligning er de variable koefficienter og de ønskede rødder forbundet med hinanden. Den højeste potens af en variabel bestemmer rækkefølgen af ​​en sådan ligning. Ud fra dette bruges forskellige metoder og sætninger til ligninger for at finde løsninger. At løse ligninger af denne type betyder at finde de ønskede rødder i en generel form. Vores service giver dig mulighed for at løse selv den mest komplekse algebraiske ligning online. Du kan få både den generelle løsning af ligningen og den private for de numeriske værdier af de koefficienter, du har angivet. For at løse en algebraisk ligning på webstedet er det nok kun at udfylde to felter korrekt: venstre og højre del af den givne ligning. Algebraiske ligninger med variable koefficienter har et uendeligt antal løsninger, og ved at sætte visse betingelser udvælges bestemte fra løsningssættet. Kvadratisk ligning. Den andengradsligning har formen ax^2+bx+c=0 for a>0. Løsningen af ​​ligninger af en kvadratisk form indebærer at finde værdierne af x, hvor ligheden ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 er opfyldt. For at gøre dette, er værdien af ​​diskriminanten fundet ved formlen D=b^2-4ac. Hvis diskriminanten er mindre end nul, så har ligningen ingen reelle rødder (rødderne er fra feltet med komplekse tal), hvis den er nul, så har ligningen en reel rod, og hvis diskriminanten er større end nul, så ligningen har to reelle rødder, som findes af formlen: D \u003d -b + -sqrt / 2a. For at løse en andengradsligning online skal du blot indtaste koefficienterne for en sådan ligning (heltal, brøker eller decimalværdier). Hvis der er subtraktionstegn i ligningen, skal du sætte et minus foran de tilsvarende led i ligningen. Du kan også løse en andengradsligning online afhængigt af parameteren, det vil sige variablerne i ligningens koefficienter. Vores online service til at finde fælles løsninger klarer denne opgave perfekt. Lineære ligninger. For at løse lineære ligninger (eller ligningssystemer) bruges fire hovedmetoder i praksis. Lad os beskrive hver metode i detaljer. Substitutionsmetode. Løsning af ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden kræver, at en variabel udtrykkes i forhold til de andre. Derefter erstattes udtrykket i andre ligninger i systemet. Deraf navnet på løsningsmetoden, dvs. i stedet for en variabel, erstattes dens udtryk gennem resten af ​​variablerne. I praksis kræver metoden komplekse beregninger, selvom den er let at forstå, så løsning af sådan en ligning online vil spare tid og gøre beregningerne nemmere. Du skal blot angive antallet af ukendte i ligningen og udfylde data fra lineære ligninger, så vil tjenesten foretage beregningen. Gauss metode. Metoden er baseret på de enkleste transformationer af systemet for at nå frem til et ækvivalent trekantsystem. De ukendte bestemmes én efter én ud fra det. I praksis skal du løse en sådan ligning online med en detaljeret beskrivelse, takket være hvilken du lærer Gauss-metoden godt til løsning af lineære ligningssystemer. Skriv systemet af lineære ligninger ned i det korrekte format og tag hensyn til antallet af ukendte for at løse systemet korrekt. Cramers metode. Denne metode løser ligningssystemer i tilfælde, hvor systemet har en unik løsning. Den vigtigste matematiske operation her er beregningen af ​​matrixdeterminanter. Løsningen af ​​ligninger ved Cramer-metoden udføres online, du får resultatet med det samme med en komplet og detaljeret beskrivelse. Det er nok bare at fylde systemet med koefficienter og vælge antallet af ukendte variabler. matrix metode. Denne metode består i at indsamle koefficienterne for de ukendte i matrix A, de ukendte i kolonne X og de frie udtryk i kolonne B. Således reduceres systemet af lineære ligninger til en matrixligning på formen AxX=B. Denne ligning har kun en unik løsning, hvis determinanten af ​​matrix A er ikke-nul, ellers har systemet ingen løsninger eller et uendeligt antal løsninger. Løsningen af ​​ligninger ved matrixmetoden er at finde den inverse matrix A.

Instruktion. For en online løsning skal du vælge ligningstypen og indstille dimensionen af ​​de tilsvarende matricer.

Eksempel #1. Dyrke motion. Find en løsning på en matrixligning
Løsning. Angiv:
Så vil matrixligningen blive skrevet på formen: A·X·B = C.
Determinanten af ​​matrix A er detA=-1
Da A er en ikke-singular matrix, er der en invers matrix A-1. Multiplicer begge sider af ligningen til venstre med A -1: Gang begge sider af denne ligning til venstre med A -1 og til højre med B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Da A A -1 = B B -1 = E og E X = X E = X, så er X = A -1 C B -1

Invers matrix A -1:
Find den inverse matrix B -1 .
Transponer matrix B T:
Invers matrix B -1:
Vi leder efter matrixen X med formlen: X = A -1 C B -1

Svar:

Eksempel #2. Dyrke motion. Løs matrixligning
Løsning. Angiv:
Så vil matrixligningen blive skrevet på formen: A X = B.
Determinanten af ​​matrix A er detA=0
Da A er en degenereret matrix (determinanten er 0), har ligningen derfor ingen løsning.

Eksempel #3. Dyrke motion. Find en løsning på en matrixligning
Løsning. Angiv:
Så vil matrixligningen blive skrevet på formen: X·A = B.
Determinanten af ​​matrix A er detA=-60
Da A er en ikke-singular matrix, er der en invers matrix A-1. Multiplicer til højre på begge sider af ligningen med A -1: X A A -1 = B A -1 , hvorfra vi finder, at X = B A -1
Find den inverse matrix A -1 .
Transponeret matrix A T:
Invers matrix A -1:
Vi leder efter matrixen X med formlen: X = B A -1


Svar: >