Løsning af eksponentialligninger. Eksempler

Eksempler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Sådan løses eksponentialligninger

Når vi løser en eksponentiel ligning, stræber vi efter at bringe den til formen \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), og derefter foretage overgangen til indikatorernes lighed, det vil sige:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

For eksempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Vigtig! Fra samme logik følger to krav til en sådan overgang:
- nummer ind venstre og højre skal være ens;
- grader venstre og højre skal være "rene", det vil sige, at der ikke skal være nogen, multiplikationer, divisioner osv.

For eksempel:

For at bringe ligningen til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) og bruges.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Løsning:

Løsningen af ​​de fleste matematiske problemer er på en eller anden måde forbundet med transformationen af ​​numeriske, algebraiske eller funktionelle udtryk. Det gælder især løsningen. I USE-varianterne i matematik omfatter denne opgavetype især opgave C3. At lære at løse C3-opgaver er vigtigt ikke kun med henblik på at bestå eksamenen, men også af den grund, at denne færdighed vil være nyttig, når du studerer et matematikkursus på videregående uddannelser.

Når du udfører opgaver C3, skal du løse forskellige typer ligninger og uligheder. Blandt dem er rationelle, irrationelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, indeholdende moduler (absolutte værdier) såvel som kombinerede. Denne artikel diskuterer hovedtyperne af eksponentielle ligninger og uligheder, samt forskellige metoder til at løse dem. Læs om løsning af andre typer ligninger og uligheder i overskriften "" i artikler om metoder til løsning af C3-problemer fra USE-varianterne i matematik.

Før du går videre til analysen af ​​specifikke eksponentielle ligninger og uligheder, som matematikvejleder foreslår jeg, at du frisker op på noget af det teoretiske materiale, som vi får brug for.

Eksponentiel funktion

Hvad er en eksponentiel funktion?

Vis funktion y = et x, hvor -en> 0 og -en≠ 1, kaldet eksponentiel funktion.

Hoved eksponentielle funktionsegenskaber y = et x:

eksponentiel funktionsgraf

Grafen for eksponentialfunktionen er udstiller:

Grafer af eksponentielle funktioner (eksponenter)

Løsning af eksponentialligninger

vejledende kaldet ligninger, hvor den ukendte variabel kun findes i eksponenter for nogle potenser.

For løsninger eksponentielle ligninger du skal kende og kunne bruge følgende simple sætning:

Sætning 1. eksponentiel ligning -en f(x) = -en g(x) (hvor -en > 0, -en≠ 1) svarer til ligningen f(x) = g(x).

Derudover er det nyttigt at huske de grundlæggende formler og handlinger med grader:

Title="(!LANG:Gengivet af QuickLaTeX.com">!}

Eksempel 1 Løs ligningen:

Løsning: brug ovenstående formler og substitution:

Ligningen bliver så:

Diskriminanten af ​​den opnåede andengradsligning er positiv:

Title="(!LANG:Gengivet af QuickLaTeX.com">!}

Det betyder, at denne ligning har to rødder. Vi finder dem:

Går vi tilbage til udskiftning, får vi:

Den anden ligning har ingen rødder, da den eksponentielle funktion er strengt positiv over hele definitionsdomænet. Lad os løse den anden:

Under hensyntagen til, hvad der blev sagt i sætning 1, går vi videre til den ækvivalente ligning: x= 3. Dette vil være svaret på opgaven.

Svar: x = 3.

Eksempel 2 Løs ligningen:

Løsning: ligningen har ingen begrænsninger på området for tilladte værdier, da det radikale udtryk giver mening for enhver værdi x(eksponentiel funktion y = 9 4 -x positiv og ikke lig med nul).

Vi løser ligningen ved ækvivalente transformationer ved hjælp af reglerne for multiplikation og division af potenser:

Den sidste overgang blev udført i overensstemmelse med sætning 1.

Svar:x= 6.

Eksempel 3 Løs ligningen:

Løsning: begge sider af den oprindelige ligning kan divideres med 0,2 x. Denne overgang vil være ækvivalent, da dette udtryk er større end nul for enhver værdi x(den eksponentielle funktion er strengt taget positiv på sit domæne). Så har ligningen formen:

Svar: x = 0.

Eksempel 4 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen til en elementær ligning ved ækvivalente transformationer ved at bruge reglerne for division og multiplikation af potenser givet i begyndelsen af ​​artiklen:

Ved at dividere begge sider af ligningen med 4 x, som i det foregående eksempel, er en ækvivalent transformation, da dette udtryk ikke er lig med nul for nogen værdier x.

Svar: x = 0.

Eksempel 5 Løs ligningen:

Løsning: fungere y = 3x, der står i venstre side af ligningen, er stigende. Fungere y = —x-2/3, der står på højre side af ligningen, er faldende. Det betyder, at hvis graferne for disse funktioner skærer hinanden, så højst på et tidspunkt. I dette tilfælde er det let at gætte, at graferne skærer hinanden i punktet x= -1. Der vil ikke være andre rødder.

Svar: x = -1.

Eksempel 6 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen ved ækvivalente transformationer, idet vi alle steder husker på, at eksponentialfunktionen er strengt taget større end nul for enhver værdi x og ved at bruge reglerne for beregning af produktet og partielle potenser angivet i begyndelsen af ​​artiklen:

Svar: x = 2.

Løsning af eksponentielle uligheder

vejledende kaldet uligheder, hvor den ukendte variabel kun er indeholdt i eksponenterne for nogle potenser.

For løsninger eksponentielle uligheder kendskab til følgende sætning er påkrævet:

Sætning 2. Hvis en -en> 1, så uligheden -en f(x) > -en g(x) svarer til en ulighed af samme betydning: f(x) > g(x). Hvis 0< -en < 1, то показательное неравенство -en f(x) > -en g(x) svarer til en ulighed af den modsatte betydning: f(x) < g(x).

Eksempel 7 Løs uligheden:

Løsning: repræsentere den oprindelige ulighed i formen:

Divider begge dele af denne ulighed med 3 2 x, og (på grund af det positive ved funktionen y= 3 2x) ulighedstegnet vil ikke ændre sig:

Lad os bruge en erstatning:

Så tager uligheden formen:

Så løsningen på uligheden er intervallet:

går vi over til den omvendte substitution, får vi:

Den venstre ulighed, på grund af positiviteten af ​​den eksponentielle funktion, opfyldes automatisk. Ved at bruge den velkendte egenskab for logaritmen går vi over til den ækvivalente ulighed:

Da gradens basis er et tal større end én, vil ækvivalent (ved sætning 2) være overgangen til følgende ulighed:

Så får vi endelig svar:

Eksempel 8 Løs uligheden:

Løsning: ved at bruge egenskaberne ved multiplikation og magtdeling omskriver vi uligheden i formen:

Lad os introducere en ny variabel:

Med denne substitution antager uligheden formen:

Gang tælleren og nævneren af ​​brøken med 7, vi får følgende ækvivalente ulighed:

Så uligheden er opfyldt af følgende værdier af variablen t:

Så går vi tilbage til udskiftning, får vi:

Da bunden af ​​graden her er større end én, er det ækvivalent (ved sætning 2) at gå over til uligheden:

Endelig får vi svar:

Eksempel 9 Løs uligheden:

Løsning:

Vi deler begge sider af uligheden med udtrykket:

Det er altid større end nul (fordi eksponentialfunktionen er positiv), så ulighedstegnet behøver ikke ændres. Vi får:

t , som er i intervallet:

Går vi til den omvendte substitution, finder vi, at den oprindelige ulighed opdeles i to tilfælde:

Den første ulighed har ingen løsninger på grund af eksponentialfunktionens positivitet. Lad os løse den anden:

Eksempel 10 Løs uligheden:

Løsning:

Parabel grene y = 2x+2-x 2 er rettet nedad, derfor er den afgrænset ovenfra af den værdi, den når ved sit toppunkt:

Parabel grene y = x 2 -2x+2, som er i indikatoren, er rettet opad, hvilket betyder, at den er begrænset nedefra af den værdi, den når i toppen:

Funktionen viser sig samtidig at være afgrænset nedefra y = 3 x 2 -2x+2 på højre side af ligningen. Den når sin mindste værdi på samme punkt som parablen i indekset, og denne værdi er lig med 3 1 = 3. Så den oprindelige ulighed kan kun være sand, hvis funktionen til venstre og funktionen til højre tager værdi , lig med 3 (skæringspunktet mellem disse funktioners områder er kun dette tal). Denne betingelse er opfyldt på et enkelt punkt x = 1.

Svar: x= 1.

At lære at løse eksponentielle ligninger og uligheder, du skal hele tiden træne i deres løsning. Forskellige læremidler, elementære matematikopgavebøger, samlinger af konkurrenceproblemer, matematiktimer på skolen samt individuelle lektioner med en professionel vejleder kan hjælpe dig i denne vanskelige opgave. Jeg ønsker dig oprigtigt succes med din forberedelse og strålende resultater i eksamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kære gæster! Skriv venligst ikke anmodninger om at løse dine ligninger i kommentarerne. Det har jeg desværre slet ikke tid til. Sådanne beskeder vil blive slettet. Læs venligst artiklen. Måske vil du i den finde svar på spørgsmål, der ikke tillod dig at løse din opgave på egen hånd.

Eksponentiel funktion er en generalisering af produktet af n tal lig med a :
y (n) = a n = a a a a,
til mængden af ​​reelle tal x :
y (x) = x.
Her er a et fast reelt tal, som kaldes bunden af ​​eksponentialfunktionen.
En eksponentiel funktion med basis a kaldes også eksponentiel til basis a.

Generaliseringen udføres som følger.
For naturlig x = 1, 2, 3,... , den eksponentielle funktion er produktet af x faktorer:
.
Desuden har den egenskaberne (1,5-8) (), som følger af reglerne for multiplikation af tal. Ved nul og negative værdier af heltal bestemmes eksponentialfunktionen af ​​formlerne (1,9-10). For brøkværdier x = m/n af rationelle tal, bestemmes det af formlen (1.11). For reel er den eksponentielle funktion defineret som grænsen for sekvensen:
,
hvor er en vilkårlig sekvens af rationelle tal, der konvergerer til x : .
Med denne definition er den eksponentielle funktion defineret for alle , og opfylder egenskaberne (1,5-8), såvel som for naturlig x .

En stringent matematisk formulering af definitionen af ​​en eksponentiel funktion og et bevis for dens egenskaber er givet på siden "Definition og bevis for egenskaberne af en eksponentiel funktion".

Egenskaber for den eksponentielle funktion

Eksponentialfunktionen y = a x har følgende egenskaber på mængden af ​​reelle tal ():
(1.1) er defineret og kontinuerlig, for , for alle ;
(1.2) når en ≠ 1 har mange betydninger;
(1.3) stiger strengt ved , strengt falder ved ,
er konstant ved ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andre nyttige formler
.
Formlen for konvertering til en eksponentiel funktion med en anden potensbase:

For b = e får vi udtrykket af eksponentialfunktionen i form af eksponenten:

Private værdier

, , , , .

Figuren viser grafer for eksponentialfunktionen
y (x) = x
for fire værdier gradsgrundlag:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 og en = 1/8 . Det kan ses, at for en > 1 eksponentiel funktion er monotont stigende. Jo større basis af graden a, jo stærkere vækst. På 0 < a < 1 eksponentiel funktion er monotont aftagende. Jo mindre eksponent a, jo stærkere fald.

Stigende, faldende

Den eksponentielle funktion ved er strengt monotonisk, så den har ingen ekstrema. Dens vigtigste egenskaber er præsenteret i tabellen.

Omvendt funktion

Det reciproke af en eksponentiel funktion med en basis af grad a er logaritmen til basis a.

Hvis så
.
Hvis så
.

Differentiering af eksponentialfunktionen

For at differentiere en eksponentiel funktion skal dens grundtal reduceres til tallet e, anvende tabellen over afledte og reglen for differentiering af en kompleks funktion.

For at gøre dette skal du bruge egenskaben for logaritmer
og formlen fra tabellen over derivater:
.

Lad en eksponentiel funktion være givet:
.
Vi bringer det til basen e:

Vi anvender reglen om differentiering af en kompleks funktion. For at gøre dette introducerer vi en variabel

Derefter

Fra tabellen over afledte har vi (erstat variablen x med z):
.
Da er en konstant, er den afledede af z med hensyn til x
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion:
.

Afledt af eksponentiel funktion

.
Afledt af n. orden:
.
Afledning af formler > > >

Et eksempel på differentiering af en eksponentiel funktion

Find den afledede af en funktion
y= 35 x

Løsning

Vi udtrykker basis for eksponentialfunktionen i form af tallet e.
3 = e log 3
Derefter
.
Vi introducerer en variabel
.
Derefter

Fra tabellen over afledte finder vi:
.
Fordi 5ln 3 er en konstant, så er den afledede af z med hensyn til x:
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion har vi:
.

Svar

Integral

Udtryk i form af komplekse tal

Overvej den komplekse talfunktion z:
f (z) = az
hvor z = x + iy; jeg 2 = - 1 .
Vi udtrykker den komplekse konstant a i form af modulet r og argumentet φ :
a = r e i φ
Derefter


.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Generelt
φ = φ 0 + 2 pn,
hvor n er et heltal. Derfor er funktionen f (z) er også tvetydig. Ofte betragtet som dens vigtigste betydning
.

Udvidelse i serie

.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved videregående uddannelsesinstitutioner, Lan, 2009.

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere en bestemt person eller kontakte ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og beskeder.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og / eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatliv og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

På forberedelsesstadiet til den endelige test skal gymnasieelever forbedre deres viden om emnet "Eksponentielle ligninger". De seneste års erfaringer viser, at sådanne opgaver volder visse vanskeligheder for skolebørn. Derfor skal gymnasieelever, uanset deres forberedelsesniveau, omhyggeligt mestre teorien, huske formlerne og forstå princippet om at løse sådanne ligninger. Efter at have lært at klare denne type opgaver, vil kandidater være i stand til at regne med høje scorer, når de består eksamen i matematik.

Gør dig klar til eksamensprøven sammen med Shkolkovo!

Når de gennemgåede materialer gentages, står mange elever over for problemet med at finde de nødvendige formler for at løse ligningerne. En skolebog er ikke altid ved hånden, og udvælgelsen af ​​de nødvendige oplysninger om et emne på internettet tager lang tid.

Shkolkovo uddannelsesportal inviterer studerende til at bruge vores vidensbase. Vi implementerer en helt ny metode til at forberede den endelige test. Når du studerer på vores side, vil du være i stand til at identificere huller i viden og være opmærksom på netop de opgaver, der forårsager de største vanskeligheder.

Lærere i "Shkolkovo" indsamlede, systematiserede og præsenterede alt det nødvendige materiale til en vellykket beståelse af eksamen i den mest enkle og tilgængelige form.

De vigtigste definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk reference".

For en bedre assimilering af materialet anbefaler vi, at du øver opgaverne. Gennemgå omhyggeligt eksemplerne på eksponentialligninger med løsninger præsenteret på denne side for at forstå beregningsalgoritmen. Fortsæt derefter med opgaverne i afsnittet "Kataloger". Du kan starte med de nemmeste opgaver eller gå direkte til at løse komplekse eksponentialligninger med flere ukendte eller . Databasen med øvelser på vores hjemmeside bliver løbende suppleret og opdateret.

Disse eksempler med indikatorer, der voldte dig vanskeligheder, kan føjes til "Favoritter". Så du kan hurtigt finde dem og diskutere løsningen med læreren.

For at bestå eksamenen skal du studere på Shkolkovo-portalen hver dag!