Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger, løsningsmetoder, eksempler. Find den generelle løsning af systemet og fsr

Den Gaussiske metode har en række ulemper: det er umuligt at vide, om systemet er konsistent eller ej, før alle de transformationer, der er nødvendige i den Gaussiske metode, er blevet udført; Gauss-metoden er ikke egnet til systemer med bogstavkoefficienter.

Overvej andre metoder til løsning af lineære ligningssystemer. Disse metoder bruger begrebet rang af en matrix og reducerer løsningen af ​​ethvert fælles system til løsningen af ​​et system, som Cramers regel gælder for.

Eksempel 1 Find den generelle løsning af følgende system af lineære ligninger ved hjælp af det fundamentale system af løsninger af det reducerede homogene system og en særlig løsning af det inhomogene system.

1. Vi laver en matrix EN og den udvidede matrix af systemet (1)

2. Udforsk systemet (1) for kompatibilitet. For at gøre dette finder vi rækkerne af matricerne EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser sig at , så er systemet (1) uforenelig. Hvis vi får det , så er dette system konsekvent, og vi løser det. (Konsistensundersøgelsen er baseret på Kronecker-Capelli-sætningen).

en. Vi finder rA.

At finde rA, vil vi overveje successivt ikke-nul minor af første, anden, osv. rækkefølgen af ​​matricen EN og de mindreårige omkring dem.

M1=1≠0 (1 er taget fra det øverste venstre hjørne af matricen MEN).

Grænsende M1 den anden række og anden kolonne i denne matrix. . Vi fortsætter til grænsen M1 den anden linje og den tredje kolonne..gif" width="37" height="20 src=">. Nu afgrænser vi den ikke-nul moll М2′ anden orden.

Vi har: (fordi de to første kolonner er ens)

(fordi anden og tredje linje er proportional).

Det ser vi rA=2, og er basis minor af matricen EN.

b. Vi finder .

Tilstrækkeligt grundlæggende bifag М2′ matricer EN grænse med en kolonne af frie medlemmer og alle linjer (vi har kun den sidste linje).

. Det følger heraf, at М3′′ forbliver basis-moll af matrixen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi М2′- basis mol af matricen EN systemer (2) , så svarer dette system til systemet (3) , bestående af de to første ligninger i systemet (2) (til М2′ er i de to første rækker af matrix A).

(3)

Da det grundlæggende bifag er https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette system, to gratis ukendte ( x2 og x4 ). Derfor FSR systemer (4) består af to løsninger. For at finde dem tildeler vi gratis ukendte til (4) værdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

.

Dette system har allerede Den eneste ting løsning (den kan findes ved Cramers regel eller ved enhver anden metode). Hvis vi trækker den første ligning fra den anden ligning, får vi:

Hendes beslutning bliver x1= -1 , x3=0 . I betragtning af værdierne x2 og x4 , som vi har givet, opnår vi den første grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Nu sætter vi ind (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

.

Vi løser dette system ved hjælp af Cramers sætning:

.

Vi får den anden grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Så vil dens generelle løsning være

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 er vilkårlige konstanter.

4. Find en privat løsning heterogent system(1) . Som i stk 3 , i stedet for systemet (1) overveje det tilsvarende system (5) , bestående af de to første ligninger i systemet (1) .

(5)

Vi overfører de frie ukendte til højre x2 og x4.

(6)

Lad os give ubekendte gratis x2 og x4 vilkårlige værdier, f.eks. x2=2 , x4=1 og sæt dem i (6) . Lad os få systemet

Dette system har en unik løsning (fordi dets determinant М2′0). Løser vi det (ved hjælp af Cramer-sætningen eller Gauss-metoden), får vi x1=3 , x3=3 . I betragtning af værdierne af de gratis ubekendte x2 og x4 , vi får særlig løsning af et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nu er det tilbage at skrive generel opløsning α af et inhomogent system(1) : det er lig med summen privat beslutning dette system og generel løsning af dets reducerede homogene system (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Det betyder: (7)

6. Undersøgelse. For at tjekke om du har løst systemet korrekt (1) , vi har brug for en generel løsning (7) erstatte i (1) . Hvis hver ligning bliver en identitet ( C1 og C2 skal destrueres), så er løsningen fundet korrekt.

Vi erstatter (7) for eksempel kun i systemets sidste ligning (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor -1=-1. Vi har fået en identitet. Det gør vi med alle andre ligninger i systemet (1) .

Kommentar. Verifikation er normalt ret besværligt. Vi kan anbefale følgende "delvis verifikation": i den samlede løsning af systemet (1) tildel nogle værdier til vilkårlige konstanter og substituer kun den resulterende bestemte løsning i de kasserede ligninger (dvs. i disse ligninger fra (1) der ikke indgår i (5) ). Hvis du får identiteter, så højst sandsynlig, løsning af systemet (1) fundet korrekt (men sådan en kontrol giver ikke fuld garanti for rigtigheden!). For eksempel, hvis i (7) sætte C2=- 1 , C1=1, så får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ved at indsætte i den sidste ligning af system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , dvs. –1=–1. Vi har fået en identitet.

Eksempel 2 Find en generel løsning til et system af lineære ligninger (1) , der udtrykker de vigtigste ukendte i form af gratis.

Løsning. Som i eksempel 1, komponer matricer EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> af disse matricer. Nu forlader vi kun disse ligninger i systemet (1) , hvis koefficienter er inkluderet i denne grundlæggende minor (dvs. vi har de to første ligninger) og overveje systemet, der består af dem, som er ækvivalent med system (1).

Lad os overføre de frie ubekendte til højre side af disse ligninger.

system (9) vi løser efter Gauss-metoden, idet vi betragter de rigtige dele som frie medlemmer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Mulighed 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Mulighed 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Mulighed 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Mulighed 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogene systemer af lineære algebraiske ligninger

Inden for lektionerne Gauss metode og Inkompatible systemer/systemer med fælles løsning vi overvejede inhomogene systemer af lineære ligninger, hvor gratis medlem(som normalt er til højre) mindst en af ligningerne var forskellig fra nul.
Og nu, efter en god opvarmning med matrix rang, vil vi fortsætte med at polere teknikken elementære transformationer på den homogent system af lineære ligninger.
Ifølge de første afsnit kan materialet virke kedeligt og almindeligt, men dette indtryk er vildledende. Der vil være en masse ny information ud over yderligere udvikling af teknikker, så prøv ikke at forsømme eksemplerne i denne artikel.

Hvad er et homogent system af lineære ligninger?

Svaret tyder på sig selv. Et system af lineære ligninger er homogent, hvis det frie led alle sammen systemligningen er nul. For eksempel:

Det er helt klart homogent system er altid konsistent, det vil sige, at den altid har en løsning. Og først og fremmest den såkaldte trivielt løsning . Trivielt, for dem, der slet ikke forstår betydningen af ​​adjektivet, betyder bespontovoe. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståeligt =) ... Hvorfor slå rundt i bushen, lad os finde ud af, om dette system har andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for at løse et homogent system er det nødvendigt at skrive system matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form. Bemærk, at det ikke er nødvendigt at nedskrive den lodrette streg og nulkolonnen af ​​gratis medlemmer her - for uanset hvad du gør med nuller, forbliver de nul:

(1) Den første række blev tilføjet til den anden række, ganget med -2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med -3.

(2) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med -1.

At dividere den tredje række med 3 giver ikke meget mening.

Som et resultat af elementære transformationer opnås et ækvivalent homogent system , og ved at anvende den omvendte bevægelse af Gauss-metoden er det let at verificere, at løsningen er unik.

Svar:

Lad os formulere et oplagt kriterium: et homogent system af lineære ligninger har kun triviel løsning, hvis systemmatrix rang(i dette tilfælde 3) er lig med antallet af variable (i dette tilfælde 3 stk.).

Vi varmer op og indstiller vores radio til en bølge af elementære transformationer:

Eksempel 2

Løs et homogent system af lineære ligninger

Fra artiklen Hvordan finder man rangeringen af ​​en matrix? vi husker den rationelle metode til i øvrigt at reducere matrixens tal. Ellers bliver du nødt til at slagte store og ofte bidende fisk. Et eksempel på en opgave i slutningen af ​​lektionen.

Nuller er gode og bekvemme, men i praksis er tilfældet meget mere almindeligt, når rækkerne af systemets matrix lineært afhængig. Og så er udseendet af en generel løsning uundgåelig:

Eksempel 3

Løs et homogent system af lineære ligninger

Løsning: vi skriver systemets matrix, og ved hjælp af elementære transformationer bringer vi det til en trinform. Den første handling er ikke kun rettet mod at opnå en enkelt værdi, men også på at reducere tallene i den første kolonne:

(1) Den tredje række blev tilføjet til den første række ganget med -1. Den tredje linje blev tilføjet til den anden linje, ganget med -2. Øverst til venstre fik jeg en enhed med et "minus", som ofte er meget mere praktisk til yderligere transformationer.

(2) De første to linjer er de samme, en af ​​dem er blevet fjernet. Helt ærligt, jeg justerede ikke beslutningen - det skete. Hvis du udfører transformationer i en skabelon, så lineær afhængighed linjer ville dukke op lidt senere.

(3) Tilføj den anden linje til den tredje linje ganget med 3.

(4) Tegnet på den første linje er blevet ændret.

Som et resultat af elementære transformationer opnås et ækvivalent system:

Algoritmen fungerer nøjagtigt det samme som for heterogene systemer. Variabler "sidder på trinene" er de vigtigste, den variabel, der ikke fik "trinene" er gratis.

Vi udtrykker de grundlæggende variable i form af den frie variabel:

Svar: fælles beslutning:

Den trivielle løsning er inkluderet i den generelle formel, og det er unødvendigt at skrive den separat.

Verifikationen udføres også i henhold til det sædvanlige skema: den resulterende generelle løsning skal erstattes i venstre side af hver ligning i systemet, og et legitimt nul opnås for alle substitutioner.

Dette kunne roligt afsluttes, men løsningen af ​​et homogent ligningssystem skal ofte repræsenteres i vektorform ved hjælp af grundlæggende beslutningssystem. Glem venligst midlertidigt analytisk geometri, da vi nu vil tale om vektorer i generel algebraisk forstand, som jeg åbnede lidt i en artikel om matrix rang. Terminologi er ikke nødvendigt at skygge, alt er ret simpelt.

Homogent system af lineære ligninger over et felt

DEFINITION. Et fundamentalt system af løsninger til et ligningssystem (1) er et ikke-tomt lineært uafhængigt system af dets løsninger, hvis lineære spænd falder sammen med mængden af ​​alle løsninger af system (1).

Bemærk, at et homogent system af lineære ligninger, der kun har en nulløsning, ikke har et fundamentalt system af løsninger.

FORSLAG 3.11. Ethvert to grundlæggende løsningssystemer af et homogent system af lineære ligninger består af det samme antal løsninger.

Bevis. Faktisk er to grundlæggende løsninger af det homogene ligningssystem (1) ækvivalente og lineært uafhængige. Derfor er deres rækker ligestillede ifølge forslag 1.12. Derfor er antallet af løsninger inkluderet i et grundlæggende system lig med antallet af løsninger inkluderet i ethvert andet grundlæggende system af løsninger.

Hvis hovedmatrixen A i det homogene ligningssystem (1) er nul, så er enhver vektor fra en løsning til system (1); i dette tilfælde er enhver samling af lineært uafhængige vektorer fra et fundamentalt system af løsninger. Hvis kolonnerangeringen af ​​matrix A er , så har system (1) kun én løsning - nul; derfor, i dette tilfælde, har ligningssystemet (1) ikke et grundlæggende system af løsninger.

SÆTNING 3.12. Hvis rækken af ​​hovedmatrixen i det homogene system af lineære ligninger (1) er mindre end antallet af variable, så har system (1) et grundlæggende system af løsninger bestående af løsninger.

Bevis. Hvis rækkefølgen af ​​hovedmatrixen A i det homogene system (1) er lig med nul eller , så blev det vist ovenfor, at sætningen er sand. Derfor antages det nedenfor, at Under forudsætning af , vil vi antage, at de første kolonner i matricen A er lineært uafhængige. I dette tilfælde er matrixen A rækkevis ækvivalent med den reducerede trinmatrix, og system (1) er ækvivalent med følgende reducerede trinsystem af ligninger:

Det er let at kontrollere, at ethvert system af værdier af frie variable i system (2) svarer til én og kun én løsning af system (2) og derfor af system (1). Især svarer kun nulløsningen af ​​system (2) og system (1) til systemet med nulværdier.

I system (2) vil vi tildele en værdi lig med 1 til en af ​​de frie variable og nul værdier til de andre variable. Som et resultat får vi løsninger til ligningssystemet (2), som vi skriver som rækker af følgende matrix C:

Rækkesystemet i denne matrix er lineært uafhængigt. Faktisk for alle skalarer fra ligestilling

lighed følger

og dermed ligestilling

Lad os bevise, at det lineære spænd for systemet af rækker af matrix C falder sammen med mængden af ​​alle løsninger af systemet (1).

Vilkårlig løsning af system (1). Derefter vektoren

er også en løsning på system (1), og

Løsning finde med en lommeregner. Løsningsalgoritmen er den samme som for systemer med lineære inhomogene ligninger.
Når vi kun opererer med rækker, finder vi rangen af ​​matricen, den grundlæggende mindre; vi erklærer afhængige og frie ukendte og finder den generelle løsning.

Eksempel 2. Find den generelle løsning og systemets grundlæggende løsningssystem
Løsning.



,
det følger, at rangeringen af ​​matrixen er 3 og er lig med antallet af ukendte. Det betyder, at systemet ikke har nogen frie ubekendte, og derfor har en unik løsning - en triviel.

Dyrke motion . Udforsk og løs et system af lineære ligninger.
Eksempel 4

Dyrke motion . Find generelle og særlige løsninger for hvert system.
Løsning. Vi skriver systemets hovedmatrix:

En opgave . Find et grundlæggende sæt af løsninger til et homogent system af lineære ligninger.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger (SLAE) er uden tvivl det vigtigste emne i det lineære algebrakursus. Et stort antal problemer fra alle grene af matematikken er reduceret til at løse lineære ligningssystemer. Disse faktorer forklarer årsagen til at oprette denne artikel. Artiklens materiale er udvalgt og struktureret, så du med dens hjælp kan

• vælg den optimale metode til at løse dit system af lineære algebraiske ligninger,
• studere teorien om den valgte metode,
• løse dit system af lineære ligninger, efter at have overvejet i detaljer løsningerne af typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse af artiklens materiale.

Først giver vi alle de nødvendige definitioner, begreber og introducerer nogle notationer.

Dernæst overvejer vi metoder til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger, hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte variable, og som har en unik løsning. Lad os først fokusere på Cramer-metoden, for det andet vil vi vise matrixmetoden til løsning af sådanne ligningssystemer, og for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden til successiv eliminering af ukendte variable). For at konsolidere teorien vil vi helt sikkert løse flere SLAE'er på forskellige måder.

Derefter vender vi os til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger af en generel form, hvor antallet af ligninger ikke falder sammen med antallet af ukendte variable, eller systemets hovedmatrix er degenereret. Vi formulerer Kronecker-Capelli-sætningen, som giver os mulighed for at etablere kompatibiliteten af ​​SLAE'er. Lad os analysere løsningen af ​​systemer (i tilfælde af deres kompatibilitet) ved hjælp af begrebet basis-minor i en matrix. Vi vil også overveje Gauss-metoden og beskrive i detaljer eksemplernes løsninger.

Sørg for at dvæle ved strukturen af ​​den generelle løsning af homogene og inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger. Lad os give begrebet et grundlæggende system af løsninger og vise, hvordan den generelle løsning af SLAE er skrevet ved hjælp af vektorerne i det grundlæggende system af løsninger. For en bedre forståelse, lad os se på et par eksempler.

Afslutningsvis betragter vi ligningssystemer, der er reduceret til lineære, samt forskellige problemer, i hvis løsning SLAE'er opstår.

Sidenavigation.

Definitioner, begreber, betegnelser.

Vi vil overveje systemer af p lineære algebraiske ligninger med n ukendte variable (p kan være lig med n ) af formen

Ukendte variable, - koefficienter (nogle reelle eller komplekse tal), - frie medlemmer (også reelle eller komplekse tal).

Denne form for SLAE kaldes koordinere.

PÅ matrixform dette ligningssystem har formen
hvor - systemets hovedmatrix - matrixkolonnen med ukendte variable - matrixkolonnen af ​​frie medlemmer.

Tilføjer vi til matricen A som (n + 1)-te kolonne matrixkolonnen af ​​frie led, så får vi den s.k. udvidet matrix systemer af lineære ligninger. Normalt er den udvidede matrix angivet med bogstavet T, og kolonnen af ​​frie medlemmer er adskilt af en lodret linje fra resten af ​​kolonnerne, dvs.

Ved at løse et system af lineære algebraiske ligninger kaldet et sæt værdier af ukendte variable, som gør alle systemets ligninger til identiteter. Matrixligningen for de givne værdier af de ukendte variable bliver også til en identitet.

Hvis et ligningssystem har mindst én løsning, kaldes det samling.

Hvis ligningssystemet ikke har nogen løsninger, så kaldes det uforenelig.

Hvis en SLAE har en unik løsning, så kaldes den bestemte; hvis der er mere end én løsning, så - usikker.

Hvis de frie led i alle systemets ligninger er lig nul , så kaldes systemet homogen, Ellers - heterogen.

Løsning af elementære systemer af lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet af systemligninger er lig med antallet af ukendte variable, og determinanten af ​​dens hovedmatrix ikke er lig med nul, vil vi kalde sådanne SLAE'er elementære. Sådanne ligningssystemer har en unik løsning, og i tilfælde af et homogent system er alle ukendte variable lig med nul.

Vi begyndte at studere sådan SLAE i gymnasiet. Når vi løste dem, tog vi en ligning, udtrykte en ukendt variabel i form af andre og substituerede den i de resterende ligninger, tog derefter den næste ligning, udtrykte den næste ukendte variabel og substituerede den i andre ligninger, og så videre. Eller de brugte additionsmetoden, det vil sige, de tilføjede to eller flere ligninger for at eliminere nogle ukendte variable. Vi vil ikke dvæle ved disse metoder i detaljer, da de i det væsentlige er modifikationer af Gauss-metoden.

De vigtigste metoder til løsning af elementære systemer af lineære ligninger er Cramer-metoden, matrixmetoden og Gauss-metoden. Lad os ordne dem.

Løsning af systemer af lineære ligninger ved Cramers metode.

Lad os løse et system af lineære algebraiske ligninger

hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte variable, og determinanten for systemets hovedmatrix er forskellig fra nul, det vil sige.

Lade være determinanten for systemets hovedmatrix, og er determinanter for matricer, der fås fra A ved at erstatte 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med en sådan notation beregnes de ukendte variable ved formlerne i Cramers metode som . Sådan findes løsningen af ​​et system af lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden.

Eksempel.

Cramer metode .

Løsning.

Systemets hovedmatrix har formen . Beregn dens determinant (se om nødvendigt artiklen):

Da determinanten for systemets hovedmatrix ikke er nul, har systemet en unik løsning, som kan findes ved Cramers metode.

Sammensæt og beregn de nødvendige determinanter (determinanten opnås ved at erstatte den første søjle i matrix A med en søjle af frie medlemmer, determinanten - ved at erstatte den anden søjle med en søjle af frie elementer, - ved at erstatte den tredje søjle af matrix A med en søjle af frie medlemmer ):

Find ukendte variable ved hjælp af formler :

Svar:

Den største ulempe ved Cramers metode (hvis den kan kaldes en ulempe) er kompleksiteten i at beregne determinanterne, når antallet af systemligninger er mere end tre.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved matrixmetoden (ved hjælp af den inverse matrix).

Lad systemet af lineære algebraiske ligninger være givet i matrixform , hvor matricen A har dimension n med n og dens determinant er ikke-nul.

Siden , Så er matricen A inverterbar, det vil sige, at der er en invers matrix . Hvis vi multiplicerer begge dele af ligheden med til venstre, får vi en formel til at finde kolonnematrixen af ​​ukendte variable. Så vi fik løsningen af ​​systemet af lineære algebraiske ligninger ved matrixmetoden.

Eksempel.

Løs system af lineære ligninger matrix metode.

Løsning.

Lad os omskrive ligningssystemet i matrixform:

Fordi

så kan SLAE løses ved matrixmetoden. Ved hjælp af den inverse matrix kan løsningen til dette system findes som .

Lad os bygge en invers matrix ved hjælp af en matrix af algebraiske komplementer af elementerne i matrix A (se om nødvendigt artiklen):

Det er tilbage at beregne - matrixen af ​​ukendte variabler ved at gange den inverse matrix på matrix-kolonnen af ​​gratis medlemmer (se om nødvendigt artiklen):

Svar:

eller i en anden notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet med at finde løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved hjælp af matrixmetoden er kompleksiteten i at finde den inverse matrix, især for kvadratiske matricer af større orden end den tredje.

Løsning af systemer af lineære ligninger ved Gauss-metoden.

Antag, at vi skal finde en løsning på et system af n lineære ligninger med n ukendte variable
hvis determinant af hovedmatrixen er forskellig fra nul.

Essensen af ​​Gauss-metoden består i den successive udelukkelse af ukendte variable: først udelukkes x 1 fra alle systemets ligninger, startende fra den anden, derefter udelukkes x 2 fra alle ligninger, startende fra den tredje, og så videre, indtil kun den ukendte variabel x n forbliver i den sidste ligning. En sådan proces med at transformere systemets ligninger til successiv eliminering af ukendte variable kaldes direkte Gauss metode. Efter at den fremadgående kørsel af Gauss-metoden er afsluttet, findes x n fra den sidste ligning, x n-1 beregnes ud fra den næstsidste ligning ved hjælp af denne værdi, og så videre, x 1 findes fra den første ligning. Processen med at beregne ukendte variable, når man går fra systemets sidste ligning til den første, kaldes omvendt Gauss-metode.

Lad os kort beskrive algoritmen til at eliminere ukendte variable.

Det vil vi antage, da vi altid kan opnå dette ved at omarrangere systemets ligninger. Vi udelukker den ukendte variabel x 1 fra alle systemets ligninger, startende fra den anden. For at gøre dette skal du lægge den første ligning ganget med til systemets anden ligning, lægge den første ganget med til den tredje ligning, og så videre, lægge den første ganget med til den n'te ligning. Ligningssystemet efter sådanne transformationer vil antage formen

hvor en .

Vi ville komme til det samme resultat, hvis vi udtrykte x 1 i form af andre ukendte variable i systemets første ligning og substituerede det resulterende udtryk i alle andre ligninger. Variablen x 1 er således udelukket fra alle ligninger, startende fra den anden.

Dernæst handler vi på samme måde, men kun med en del af det resulterende system, som er markeret i figuren

For at gøre dette skal du lægge den anden ligning ganget med til systemets tredje ligning, lægge den anden ganget med til den fjerde ligning, og så videre, lægge den anden ganget med til den n'te ligning. Ligningssystemet efter sådanne transformationer vil antage formen

hvor en . Variablen x 2 er således udelukket fra alle ligninger, startende fra den tredje.

Dernæst går vi videre til elimineringen af ​​det ukendte x 3, mens vi handler på samme måde med den del af systemet, der er markeret i figuren

Så vi fortsætter Gauss-metodens direkte forløb, indtil systemet tager formen

Fra dette øjeblik begynder vi det omvendte forløb af Gauss-metoden: vi beregner x n fra den sidste ligning som , ved hjælp af den opnåede værdi af x n finder vi x n-1 fra den næstsidste ligning, og så videre finder vi x 1 fra første ligning.

Eksempel.

Løs system af lineære ligninger Gaussisk metode.

Løsning.

Lad os udelukke den ukendte variabel x 1 fra den anden og tredje ligning i systemet. For at gøre dette tilføjer vi til begge dele af den anden og tredje ligning de tilsvarende dele af den første ligning, ganget med og med henholdsvis:

Nu udelukker vi x 2 fra den tredje ligning ved at lægge venstre og højre del af den anden ligning til venstre og højre del ganget med:

På dette er det fremadgående forløb af Gauss-metoden afsluttet, vi begynder det omvendte forløb.

Fra den sidste ligning i det resulterende ligningssystem finder vi x 3:

Fra den anden ligning får vi .

Fra den første ligning finder vi den resterende ukendte variabel, og denne fuldender Gauss-metodens omvendte forløb.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

I det generelle tilfælde falder antallet af ligninger i systemet p ikke sammen med antallet af ukendte variable n:

Sådanne SLAE'er har muligvis ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendeligt mange løsninger. Dette udsagn gælder også for ligningssystemer, hvis hovedmatrix er kvadratisk og degenereret.

Kronecker-Capelli teorem.

Før man finder en løsning på et system af lineære ligninger, er det nødvendigt at fastslå dets kompatibilitet. Svaret på spørgsmålet, hvornår SLAE er kompatibelt, og hvornår det er inkompatibelt, giver Kronecker-Capelli teorem:
for at et system af p ligninger med n ukendte (p kan være lig med n ) er konsistent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangeringen af ​​systemets hovedmatrix er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix, dvs. A)=Rank(T) .

Lad os overveje anvendelsen af ​​Kronecker-Cappelli-sætningen til at bestemme kompatibiliteten af ​​et system af lineære ligninger som et eksempel.

Eksempel.

Find ud af, om systemet af lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. Lad os bruge metoden til at grænse mindreårige. Mindre af anden orden forskellig fra nul. Lad os gennemgå de mindreårige af tredje orden, der omgiver det:

Da alle tilgrænsende tredjeordens mindreårige er lig med nul, er rangen af ​​hovedmatrixen to.

Til gengæld rangen af ​​den udvidede matrix er lig med tre, da minor af tredje orden

forskellig fra nul.

På denne måde Rang(A) , derfor kan vi ifølge Kronecker-Capelli-sætningen konkludere, at det oprindelige system af lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Der er ikke noget løsningssystem.

Så vi har lært at fastslå inkonsistensen af ​​systemet ved hjælp af Kronecker-Capelli-sætningen.

Men hvordan finder man løsningen af ​​SLAE, hvis dens kompatibilitet er etableret?

For at gøre dette har vi brug for begrebet basis-mol af en matrix og sætningen om rangen af ​​en matrix.

Den højeste ordens mol af matricen A, bortset fra nul, kaldes grundlæggende.

Det følger af definitionen af ​​basis minor, at dens rækkefølge er lig med rangen af ​​matrixen. For en matrix A, der ikke er nul, kan der være flere basale bifag; der er altid en basis bifag.

Overvej f.eks. matrixen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrix er lig med nul, da elementerne i den tredje række i denne matrix er summen af ​​de tilsvarende elementer i den første og anden række.

De følgende mindreårige af anden orden er grundlæggende, da de ikke er nul

Mindreårige er ikke grundlæggende, da de er lig nul.

Matrix rang sætning.

Hvis rangordenen for en matrix af orden p ved n er r, så er alle elementer i rækkerne (og kolonnerne) i matrixen, der ikke danner den valgte basis-minor, lineært udtrykt i form af de tilsvarende elementer i rækkerne (og kolonnerne) ), der danner basis-minor.

Hvad giver matrix-rangsætningen os?

Hvis vi ved hjælp af Kronecker-Capelli-sætningen har fastslået systemets kompatibilitet, så vælger vi en hvilken som helst grundlæggende mol af systemets hovedmatrix (dets rækkefølge er lig med r), og udelukker fra systemet alle ligninger, der ikke udgør det valgte grundfag. Den opnåede SLAE på denne måde vil være ækvivalent med den oprindelige, da de kasserede ligninger stadig er overflødige (ifølge matrixrangsætningen er de en lineær kombination af de resterende ligninger).

Som et resultat, efter at have kasseret de overdrevne ligninger af systemet, er to tilfælde mulige.

Hvis antallet af ligninger r i det resulterende system er lig med antallet af ukendte variable, så vil det være bestemt, og den eneste løsning kan findes ved Cramer-metoden, matrixmetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

.

Løsning.

Rang af systemets hovedmatrix er lig med to, da minor af anden orden forskellig fra nul. Udvidet matrix rang er også lig med to, da den eneste mol af tredje orden er lig nul

og minor af anden orden betragtet ovenfor er forskellig fra nul. Baseret på Kronecker-Capelli-sætningen kan man hævde kompatibiliteten af ​​det oprindelige system af lineære ligninger, da Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som basis mindre tager vi . Det er dannet af koefficienterne for den første og anden ligning:


Systemets tredje ligning deltager ikke i dannelsen af ​​basisminor, så vi udelukker den fra systemet baseret på matrixrangsætningen:


Således har vi fået et elementært system af lineære algebraiske ligninger. Lad os løse det ved Cramers metode:


Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Hvis antallet af ligninger r i den resulterende SLAE er mindre end antallet af ukendte variable n, så lader vi de led, der danner den grundlæggende minor i de venstre dele af ligningerne, og overfører de resterende led til de højre dele af ligningerne for systemet med modsat fortegn.

De ukendte variable (der er r af dem), der er tilbage på venstre side af ligningerne, kaldes vigtigste.

Ukendte variable (der er n - r af dem), der endte i højre side, kaldes ledig.

Nu antager vi, at de frie ukendte variable kan tage vilkårlige værdier, mens de r vigtigste ukendte variabler vil blive udtrykt i form af de frie ukendte variable på en unik måde. Deres udtryk kan findes ved at løse det opnåede SLAE ved Cramer-metoden, matrixmetoden eller Gauss-metoden.

Lad os tage et eksempel.

Eksempel.

Løs system af lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Find rangeringen af ​​systemets hovedmatrix efter minor-metoden. Lad os tage en 1 1 = 1 som en førsteordens mol, der ikke er nul. Lad os begynde at søge efter et biord af anden orden, der ikke er nul, omkring dette bifag:


Så vi fandt et mol af anden orden, der ikke er nul. Lad os begynde at søge efter en mindreårig, der ikke er nul, af den tredje orden:


Således er rangen af ​​hovedmatrixen tre. Rangeringen af ​​den udvidede matrix er også lig med tre, det vil sige, at systemet er konsistent.

Den fundne ikke-nul mol af den tredje orden vil blive taget som den grundlæggende.

For klarhedens skyld viser vi de elementer, der danner basisminor:


Vi lader vilkårene, der deltager i det grundlæggende minor på venstre side af systemets ligninger, og overfører resten med modsatte fortegn til højre side:


Vi giver gratis ukendte variable x 2 og x 5 vilkårlige værdier, det vil sige, vi tager , hvor er vilkårlige tal. I dette tilfælde tager SLAE formen


Vi løser det opnåede elementære system af lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden:


Følgelig, .

I svaret, glem ikke at angive frie ukendte variabler.

Svar:

Hvor er vilkårlige tal.

Sammenfatte.

For at løse et system af lineære algebraiske ligninger af en generel form, finder vi først ud af dets kompatibilitet ved hjælp af Kronecker-Capelli-sætningen. Hvis rangeringen af ​​hovedmatricen ikke er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix, konkluderer vi, at systemet er inkonsekvent.

Hvis rangen af ​​hovedmatricen er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix, vælger vi den grundlæggende minor og kasserer systemets ligninger, der ikke deltager i dannelsen af ​​den valgte grundmal.

Hvis rækkefølgen af ​​basis minor er lig med antallet af ukendte variable, så har SLAE en unik løsning, som kan findes ved enhver metode, vi kender.

Hvis rækkefølgen af ​​basis-minor er mindre end antallet af ukendte variable, så lader vi på venstre side af systemets ligninger termerne med de vigtigste ukendte variable, overføre de resterende led til højre og tildele vilkårlige værdier ​til de frie ukendte variabler. Fra det resulterende system af lineære ligninger finder vi de vigtigste ukendte variable ved Cramer-metoden, matrixmetoden eller Gauss-metoden.

Gauss metode til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

Ved hjælp af Gauss-metoden kan man løse systemer af lineære algebraiske ligninger af enhver art uden deres foreløbige undersøgelse for kompatibilitet. Processen med successiv udelukkelse af ukendte variabler gør det muligt at drage en konklusion om både kompatibiliteten og inkonsistensen af ​​SLAE, og hvis der findes en løsning, gør det det muligt at finde den.

Ud fra et beregningsmæssigt arbejde er den Gaussiske metode at foretrække.

Se dens detaljerede beskrivelse og analyserede eksempler i artiklen Gauss-metode til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger af generel form.

Registrering af den generelle løsning af homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved hjælp af vektorerne af det fundamentale system af løsninger.

I dette afsnit vil vi fokusere på fælles homogene og inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger, der har et uendeligt antal løsninger.

Lad os først beskæftige os med homogene systemer.

Grundlæggende beslutningssystem Et homogent system af p lineære algebraiske ligninger med n ukendte variable er et sæt af (n – r) lineært uafhængige løsninger af dette system, hvor r er rækkefølgen af ​​basis-minor af systemets hovedmatrix.

Hvis vi betegner lineært uafhængige løsninger af en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) er matrixkolonner med dimension n med 1 ), så er den generelle løsning af dette homogene system repræsenteret som en lineær kombination af vektorer af det fundamentale system af løsninger med vilkårlige konstante koefficienter С 1 , С 2 , …, С (n-r), det vil sige .

Hvad betyder udtrykket generel løsning af et homogent system af lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formlen definerer alle mulige løsninger af den oprindelige SLAE, med andre ord, idet den tager ethvert sæt værdier af vilkårlige konstanter C 1 , C 2 , ..., C (n-r), ifølge formlen vi vil få en af ​​løsningerne af den originale homogene SLAE.

Således, hvis vi finder et grundlæggende system af løsninger, så kan vi indstille alle løsninger af denne homogene SLAE som .

Lad os vise processen med at konstruere et grundlæggende system af løsninger til en homogen SLAE.

Vi vælger den grundlæggende mol af det oprindelige system af lineære ligninger, udelukker alle andre ligninger fra systemet og overfører til højre side af systemets ligninger med modsatte fortegn alle led, der indeholder frie ukendte variable. Lad os give de frie ukendte variable værdierne 1,0,0,...,0 og beregne de vigtigste ukendte ved at løse det resulterende elementære system af lineære ligninger på nogen måde, for eksempel ved Cramer-metoden. Således vil X (1) blive opnået - den første løsning af det grundlæggende system. Hvis vi giver de frie ubekendte værdierne 0,1,0,0,...,0 og beregner de vigtigste ukendte, så får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi giver de frie ukendte variable værdierne 0,0,...,0,1 og beregner de vigtigste ukendte, så får vi X (n-r) . Sådan vil det grundlæggende system af løsninger af den homogene SLAE blive konstrueret, og dens generelle løsning kan skrives i formen.

For inhomogene systemer af lineære algebraiske ligninger er den generelle løsning repræsenteret som

Lad os se på eksempler.

Eksempel.

Find det fundamentale system af løsninger og den generelle løsning af et homogent system af lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen af ​​hovedmatrixen af ​​homogene systemer af lineære ligninger er altid lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix. Lad os finde rangeringen af ​​hovedmatrixen ved hjælp af metoden til at udkante mindreårige. Som en ikke-nul mol af første orden tager vi elementet a 1 1 = 9 af systemets hovedmatrix. Find den tilgrænsende moll, der ikke er nul, af anden orden:

En mol af anden orden, forskellig fra nul, findes. Lad os gennemgå de mindreårige af tredje orden, der grænser op til det, på jagt efter en ikke-nul:

Alle tilgrænsende mindreårige af tredje orden er lig med nul, derfor er rangen af ​​hoved- og udvidet matrix to. Lad os tage det grundlæggende bifag. For klarhedens skyld bemærker vi de elementer i systemet, der danner det:

Den tredje ligning af den oprindelige SLAE deltager ikke i dannelsen af ​​den grundlæggende mindre, derfor kan den udelukkes:

Vi lader termerne, der indeholder de vigtigste ukendte, på højre side af ligningerne, og overfører termerne med frie ubekendte til højre:

Lad os konstruere et fundamentalt system af løsninger til det oprindelige homogene system af lineære ligninger. Det grundlæggende system af løsninger af denne SLAE består af to løsninger, da den oprindelige SLAE indeholder fire ukendte variable, og rækkefølgen af ​​dens grundlæggende mindre er to. For at finde X (1) giver vi de frie ukendte variable værdierne x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, så finder vi de vigtigste ukendte fra ligningssystemet
.