Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger, løsningsmetoder, eksempler. Find den generelle løsning af systemet og fsr

Matrix data

Find: 1) aA - bB,

Løsning: 1) Vi finder sekventielt ved at bruge reglerne for at gange en matrix med et tal og tilføje matricer ..

2. Find A*B if

Løsning: Brug matrixmultiplikationsreglen

Svar:

3. For en given matrix, find minor M 31 og beregn determinanten.

Løsning: Minor M 31 er determinanten for matrixen, der er opnået fra A

efter sletning af række 3 og kolonne 1. Find

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Lad os transformere matricen A uden at ændre dens determinant (lad os lave nuller i række 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Nu beregner vi determinanten af matrix A ved udvidelse langs række 1

Svar: M 31 = 0, detA = 0

Løs ved hjælp af Gauss-metoden og Cramer-metoden.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Løsning: Lad os tjekke

Du kan bruge Cramers metode

Systemløsning: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Vi anvender Gauss-metoden.

Vi reducerer systemets udvidede matrix til en trekantet form.

For at lette beregningerne bytter vi linjerne:

Gang 2. række med (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) og tilføj til den 3.:



	1 / 2		7 / 2

Gang 1. række med (k = -2 / 2 = -1 ) og tilføj til den anden:

Nu kan det originale system skrives som:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Fra 2. linje udtrykker vi

Fra 1. linje udtrykker vi

Løsningen er den samme.

Svar: (2; -5; 3)

Find den generelle løsning af systemet og FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Løsning: Anvend Gauss-metoden. Vi reducerer systemets udvidede matrix til en trekantet form.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x4	x5

Gang 1. række med (-11). Gang 2. række med (13). Lad os tilføje 2. linje til 1.:


-2	-2	-3

Gang 2. række med (-5). Multiplicer den 3. række med (11). Lad os tilføje 3. linje til 2.:

Multiplicer den 3. række med (-7). Multiplicer den 4. række med (5). Lad os føje den 4. linje til den 3.:

Den anden ligning er en lineær kombination af resten

Find rangeringen af matrixen.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x4	x5

Den valgte mol har den højeste orden (af alle mulige mol) og er ikke-nul (den er lig med produktet af elementerne på den gensidige diagonal), derfor rang(A) = 2.

Denne mindre er grundlæggende. Det inkluderer koefficienter for ukendt x 1, x 2, hvilket betyder, at de ukendte x 1, x 2 er afhængige (grundlæggende), og x 3, x 4, x 5 er frie.

Systemet med koefficienterne for denne matrix svarer til det oprindelige system og har formen:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Ved metoden til eliminering af ukendte, finder vi fælles beslutning:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Vi finder et fundamentalt system af løsninger (FSR), som består af (n-r) løsninger. I vores tilfælde, n=5, r=2, derfor består det grundlæggende system af løsninger af 3 løsninger, og disse løsninger skal være lineært uafhængige.

For at rækkerne kan være lineært uafhængige, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rækkefølgen af matrixen, der er sammensat af elementerne i rækkerne, er lig med antallet af rækker, dvs. 3.

Det er nok at give de frie ubekendte x 3 , x 4 , x 5 værdier fra rækkerne af determinanten af 3. orden, forskellig fra nul, og beregne x 1 ,x 2 .

Den enkleste ikke-nul determinant er identitetsmatrixen.

Men her er det mere bekvemt at tage

Vi finder ved at bruge den generelle løsning:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR-beslutning: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR afgørelse: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR-beslutning: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Givet: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Find: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Løsning: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Svar: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Et homogent system er altid konsistent og har en triviel løsning
. For at en ikke-triviel løsning skal eksistere, er det nødvendigt, at rangen af matrixen var mindre end antallet af ukendte:

Grundlæggende beslutningssystem homogent system
kalder løsningssystemet i form af kolonnevektorer
, som svarer til det kanoniske grundlag, dvs. grundlag, hvori vilkårlige konstanter
er skiftevis sat lig med én, mens resten er sat til nul.

Så har den generelle løsning af det homogene system formen:

hvor
er vilkårlige konstanter. Med andre ord er den generelle løsning en lineær kombination af det fundamentale system af løsninger.

De grundlæggende løsninger kan således opnås fra den generelle løsning, hvis de frie ukendte skiftevis tildeles værdien enhed, idet alle andre antages at være nul.

Eksempel. Lad os finde en løsning på systemet

Vi accepterer, så får vi løsningen i form:

Lad os nu konstruere et grundlæggende system af løsninger:

Den generelle løsning kan skrives som:

Løsninger til et system af homogene lineære ligninger har følgende egenskaber:

Med andre ord er enhver lineær kombination af løsninger til et homogent system igen en løsning.

Løsning af systemer af lineære ligninger ved Gauss-metoden

Løsning af systemer af lineære ligninger har været interessant for matematikere i flere århundreder. De første resultater blev opnået i det XVIII århundrede. I 1750 udgav G. Kramer (1704–1752) sine værker om kvadratmatricernes determinanter og foreslog en algoritme til at finde den inverse matrix. I 1809 skitserede Gauss en ny løsningsmetode kendt som eliminationsmetoden.

Gauss-metoden, eller metoden til successiv eliminering af ukendte, består i, at ligningssystemet ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trinvis (eller trekantet) form. Sådanne systemer giver dig mulighed for konsekvent at finde alle de ukendte i en bestemt rækkefølge.

Antag, at i system (1)
(hvilket altid er muligt).

(1)

Multiplicer den første ligning på skift med den såkaldte passende tal

og tilføjer resultatet af multiplikation med de tilsvarende ligninger i systemet, får vi et ækvivalent system, hvor alle ligninger, undtagen den første, ikke vil have nogen ukendt x 1

(2)

Vi multiplicerer nu den anden ligning af system (2) med passende tal, idet vi antager det

og tilføjer vi den til de nederste, fjerner vi variablen af alle ligninger, begyndende med den tredje.

Fortsætter denne proces, efter
trin vi får:

(3)

Hvis mindst et af tallene
ikke er lig med nul, så er den tilsvarende lighed inkonsistent og system (1) er inkonsistent. Omvendt for ethvert fælles nummersystem
er lig med nul. Nummer er intet andet end rangen af systemmatricen (1).

Overgangen fra system (1) til (3) kaldes i en lige linje Gaussisk metode og at finde ukendte fra (3) - tilbage .

Kommentar : Det er mere bekvemt at udføre transformationer ikke med selve ligningerne, men med systemets udvidede matrix (1).

Eksempel. Lad os finde en løsning på systemet

Lad os skrive systemets udvidede matrix:

Lad os lægge den første til linjerne 2,3,4 ganget med henholdsvis (-2), (-3), (-2):

Lad os bytte række 2 og 3 og derefter i den resulterende matrix tilføje række 2 til række 4, ganget med :

Tilføj til linje 4 linje 3 ganget med
:

Det er indlysende
, derfor er systemet kompatibelt. Fra det resulterende ligningssystem

vi finder løsningen ved omvendt substitution:

,
,
,
.

Eksempel 2 Find systemløsning:

Det er åbenlyst, at systemet er inkonsekvent, pga
, a
.

Fordele ved Gauss-metoden :

Mindre tidskrævende end Cramers metode.

Etablerer utvetydigt systemets kompatibilitet og giver dig mulighed for at finde en løsning.

Giver mulighed for at bestemme rangen af alle matricer.

Lade M 0 er mængden af løsninger af det homogene system (4) af lineære ligninger.

Definition 6.12. Vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s, som er løsninger af et homogent system af lineære ligninger, kaldes grundlæggende sæt af løsninger(forkortet FNR) if

1) vektorer Med 1 ,Med 2 , …, med s lineært uafhængige (dvs. ingen af dem kan udtrykkes i forhold til de andre);

2) enhver anden løsning af et homogent system af lineære ligninger kan udtrykkes i form af løsninger Med 1 ,Med 2 , …, med s.

Bemærk, at hvis Med 1 ,Med 2 , …, med s er nogle f.n.r., da ved udtrykket k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + … + kp× med s kan beskrive hele sættet M 0 løsninger til system (4), så hedder det overblik over systemløsningen (4).

Sætning 6.6. Ethvert ubestemt homogent system af lineære ligninger har et grundlæggende sæt af løsninger.

Måden at finde det grundlæggende sæt af løsninger er som følger:

Find den generelle løsning af et homogent system af lineære ligninger;

Byg ( n – r) delvise løsninger af dette system, mens værdierne af de frie ukendte skal danne en identitetsmatrix;

Skriv den generelle form for løsningen, der er inkluderet i M 0 .

Eksempel 6.5. Find et grundlæggende sæt af løsninger til følgende system:

Løsning. Lad os finde den generelle løsning af dette system.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Dette system har fem ukendte ( n= 5), hvoraf der er to primære ukendte ( r= 2), tre frie ukendte ( n – r), det vil sige, at det grundlæggende sæt af løsninger indeholder tre løsningsvektorer. Lad os bygge dem. Vi har x 1 og x 3 - vigtigste ukendte, x 2 , x 4 , x 5 - gratis ukendte

Værdier af gratis ubekendte x 2 , x 4 , x 5 danner identitetsmatrixen E tredje orden. Har den vektorer Med 1 ,Med 2 , Med 3 form f.n.r. dette system. Så vil sættet af løsninger af dette homogene system være M 0 = {k 1× Med 1 + k 2× Med 2 + k 3× Med 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Lad os nu finde ud af betingelserne for eksistensen af ikke-nul-løsninger af et homogent system af lineære ligninger, med andre ord betingelserne for eksistensen af et grundlæggende sæt af løsninger.

Et homogent system af lineære ligninger har ikke-nul løsninger, det vil sige, det er ubestemt, hvis

1) rangeringen af systemets hovedmatrix er mindre end antallet af ukendte;

2) i et homogent system af lineære ligninger er antallet af ligninger mindre end antallet af ukendte;

3) hvis antallet af ligninger i et homogent system af lineære ligninger er lig med antallet af ukendte, og determinanten af hovedmatrixen er lig nul (dvs. | EN| = 0).

Eksempel 6.6. Ved hvilken værdi af parameteren -en homogent system af lineære ligninger har ikke-nul løsninger?

Løsning. Lad os sammensætte hovedmatrixen for dette system og finde dets determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – -en– 4. Determinanten af denne matrix er lig med nul når -en = –4.

Svar: –4.

7. Aritmetik n-dimensionelt vektorrum

Basale koncepter

I de foregående afsnit stødte vi allerede på konceptet med et sæt reelle tal arrangeret i en bestemt rækkefølge. Dette er en rækkematrix (eller kolonnematrix) og en løsning til et system af lineære ligninger med n ukendt. Disse oplysninger kan opsummeres.

Definition 7.1. n-dimensionel aritmetisk vektor kaldes et bestilt sæt af n reelle tal.

Midler -en= (a 1 , a 2 , …, a n), hvor en jegО R, jeg = 1, 2, …, n er det generelle billede af vektoren. Nummer n hedder dimension vektor, og tallene a jeg kaldte ham koordinater.

For eksempel: -en= (1, –8, 7, 4, ) er en femdimensionel vektor.

Klar n-dimensionelle vektorer betegnes normalt som R n.

Definition 7.2. To vektorer -en= (a 1 , a 2 , …, a n) og b= (b 1 , b 2 , …, b n) af samme dimension lige hvis og kun hvis deres respektive koordinater er ens, dvs. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definition 7.3.sum to n-dimensionelle vektorer -en= (a 1 , a 2 , …, a n) og b= (b 1 , b 2 , …, b n) kaldes en vektor -en + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definition 7.4. arbejde reelle tal k per vektor -en= (a 1 , a 2 , …, a n) kaldes en vektor k× -en = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definition 7.5. Vektor om= (0, 0, …, 0) kaldes nul(eller nul-vektor).

Det er nemt at kontrollere, at handlingerne (operationerne) ved at tilføje vektorer og gange dem med et reelt tal har følgende egenskaber: -en, b, c Î R n, " k, l OR:

1) -en + b = b + -en;

2) -en + (b+ c) = (-en + b) + c;

3) -en + om = -en;

4) -en+ (–-en) = om;

5) 1× -en = -en 10R;

6) k×( l× -en) = l×( k× -en) = (l× k)× -en;

7) (k + l)× -en = k× -en + l× -en;

8) k×( -en + b) = k× -en + k× b.

Definition 7.6. Masser af R n med operationerne med at addere vektorer og gange dem med et reelt tal angivet på det kaldes aritmetisk n-dimensionelt vektorrum.

Gauss-metoden har en række ulemper: det er umuligt at vide, om systemet er konsistent eller ej, før alle de transformationer, der er nødvendige i den Gauss-metode, er blevet udført; Gaussmetoden er ikke egnet til systemer med bogstavkoefficienter.

Overvej andre metoder til løsning af lineære ligningssystemer. Disse metoder bruger begrebet rang af en matrix og reducerer løsningen af ethvert fælles system til løsningen af et system, som Cramers regel gælder for.

Eksempel 1 Find den generelle løsning af følgende system af lineære ligninger ved hjælp af det fundamentale system af løsninger af det reducerede homogene system og en særlig løsning af det inhomogene system.

1. Vi laver en matrix EN og den udvidede matrix af systemet (1)

2. Udforsk systemet (1) for kompatibilitet. For at gøre dette finder vi rækkerne af matricerne EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser sig at , så er systemet (1) uforenelig. Hvis vi får det , så er dette system konsekvent, og vi løser det. (Konsistensundersøgelsen er baseret på Kronecker-Capelli-sætningen).

en. Vi finder rA.

At finde rA, vil vi overveje successivt ikke-nul mindre af den første, anden, osv. rækkefølge af matricen EN og de mindreårige omkring dem.

M1=1≠0 (1 er taget fra det øverste venstre hjørne af matricen MEN).

Grænsende M1 den anden række og anden kolonne i denne matrix. . Vi fortsætter til grænsen M1 den anden linje og den tredje kolonne..gif" width="37" height="20 src=">. Nu afgrænser vi den ikke-nul moll М2′ anden orden.

Vi har: (fordi de to første kolonner er ens)

(fordi anden og tredje linje er proportional).

Det ser vi rA=2, og er basis minor af matricen EN.

b. Vi finder .

Tilstrækkeligt grundlæggende bifag М2′ matricer EN grænse med en kolonne af frie medlemmer og alle linjer (vi har kun den sidste linje).

. Heraf følger det М3′′ forbliver basis-moll af matrixen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi М2′- basis minor af matricen EN systemer (2) , så svarer dette system til systemet (3) , bestående af de to første ligninger i systemet (2) (til М2′ er i de to første rækker af matrix A).

(3)

Da det grundlæggende bifag er https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette system er to gratis ukendte ( x2 og x4 ). Derfor FSR systemer (4) består af to løsninger. For at finde dem tildeler vi gratis ukendte til (4) værdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

Dette system har allerede Den eneste ting løsning (den kan findes ved Cramers regel eller ved enhver anden metode). Hvis vi trækker den første ligning fra den anden ligning, får vi:

Hendes beslutning bliver x1= -1 , x3=0 . I betragtning af værdierne x2 og x4 , som vi har givet, opnår vi den første grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Nu sætter vi ind (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

Vi løser dette system ved hjælp af Cramers sætning:

Vi får den anden grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Så vil dens generelle løsning være

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 er vilkårlige konstanter.

4. Find en privat løsning heterogent system(1) . Som i stk 3 , i stedet for systemet (1) overveje det tilsvarende system (5) , bestående af de to første ligninger i systemet (1) .

(5)

Lad os flytte de frie ukendte til højre x2 og x4.

(6)

Lad os give ubekendte gratis x2 og x4 vilkårlige værdier, f.eks. x2=2 , x4=1 og sæt dem i (6) . Lad os få systemet

Dette system har en unik løsning (fordi dets determinant М2′0). Løser vi det (ved hjælp af Cramer-sætningen eller Gauss-metoden), får vi x1=3 , x3=3 . I betragtning af værdierne af de gratis ubekendte x2 og x4 , vi får særlig løsning af et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nu er det tilbage at skrive generel opløsning α af et inhomogent system(1) : det er lig med summen privat beslutning dette system og generel løsning af dets reducerede homogene system (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Det betyder: (7)

6. Undersøgelse. For at tjekke om du har løst systemet korrekt (1) , vi har brug for en generel løsning (7) erstatte i (1) . Hvis hver ligning bliver en identitet ( C1 og C2 skal destrueres), så er løsningen fundet korrekt.

Vi erstatter (7) for eksempel kun i systemets sidste ligning (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor -1=-1. Vi har fået en identitet. Det gør vi med alle andre ligninger i systemet (1) .

Kommentar. Verifikation er normalt ret besværligt. Vi kan anbefale følgende "delvis verifikation": i den samlede løsning af systemet (1) tildel nogle værdier til vilkårlige konstanter og substituer kun den resulterende bestemte løsning i de kasserede ligninger (dvs. i disse ligninger fra (1) der ikke indgår i (5) ). Hvis du får identiteter, så højst sandsynlig, løsning af systemet (1) fundet korrekt (men sådan en kontrol giver ikke fuld garanti for rigtigheden!). For eksempel, hvis i (7) sætte C2=- 1 , C1=1, så får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ved at indsætte i den sidste ligning af system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 dvs. –1=–1. Vi har fået en identitet.

Eksempel 2 Find en generel løsning til et system af lineære ligninger (1) , der udtrykker de vigtigste ukendte i form af gratis.

Løsning. Som i eksempel 1, komponer matricer EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> af disse matricer. Nu forlader vi kun disse ligninger i systemet (1) , hvis koefficienter er inkluderet i denne grundlæggende minor (dvs. vi har de to første ligninger) og overveje systemet, der består af dem, som er ækvivalent med system (1).

Lad os overføre de frie ubekendte til højre side af disse ligninger.

system (9) vi løser efter Gauss-metoden, idet vi betragter de rigtige dele som frie medlemmer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Mulighed 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Mulighed 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Mulighed 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Mulighed 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Et system af lineære ligninger, hvor alle frie led er lig med nul kaldes homogen :

Ethvert homogent system er altid konsekvent, da det altid har gjort det nul (trivielt ) løsning. Spørgsmålet opstår under hvilke betingelser et homogent system vil have en ikke-triviel løsning.

Sætning 5.2.Et homogent system har en ikke-triviel løsning, hvis og kun hvis rangeringen af den underliggende matrix er mindre end antallet af dens ukendte.

Følge. Et kvadratisk homogent system har en ikke-triviel løsning, hvis og kun hvis determinanten af systemets hovedmatrix ikke er lig med nul.

Eksempel 5.6. Bestem værdierne for parameteren l, som systemet har ikke-trivielle løsninger for, og find disse løsninger:

Løsning. Dette system vil have en ikke-triviel løsning, når determinanten af hovedmatrixen er lig med nul:

Systemet er således ikke-trivielt, når l=3 eller l=2. For l=3 er rangeringen af systemets hovedmatrix 1. Efterlad derefter kun én ligning og antager, at y=-en og z=b, vi får x=b-a, dvs.

For l=2 er rangeringen af systemets hovedmatrix 2. Vælg derefter som grund-mol:

vi får et forenklet system

Herfra finder vi det x=z/4y=z/2. Forudsat z=4-en, vi får

Sættet af alle løsninger af et homogent system har en meget vigtig lineær egenskab : hvis X kolonner 1 og X 2 - løsninger af det homogene system AX = 0, derefter enhver lineær kombination af dem-en x 1+b x 2 vil også være løsningen på dette system. Faktisk fordi ØKSE 1 = 0 og ØKSE 2 = 0 , derefter EN(en x 1+b x 2) = a ØKSE 1+b ØKSE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. På grund af denne egenskab, hvis et lineært system har mere end én løsning, så vil der være uendeligt mange af disse løsninger.

Lineært uafhængige kolonner E 1 , E 2 , E k, som er løsninger af et homogent system, kaldes grundlæggende beslutningssystem homogent system af lineære ligninger, hvis den generelle løsning af dette system kan skrives som en lineær kombination af disse kolonner:

Hvis et homogent system har n variable, og rangeringen af systemets hovedmatrix er lig med r, derefter k = n-r.

Eksempel 5.7. Find det fundamentale system af løsninger af følgende system af lineære ligninger:

Løsning. Find rangeringen af systemets hovedmatrix:

Således danner mængden af løsninger af dette ligningssystem et lineært underrum af dimension n - r= 5 - 2 = 3. Vi vælger som grundmol

Derefter, hvis vi kun efterlader de grundlæggende ligninger (resten vil være en lineær kombination af disse ligninger) og de grundlæggende variabler (vi overfører resten, de såkaldte frie variable til højre), får vi et forenklet ligningssystem:

Forudsat x 3 = -en, x 4 = b, x 5 = c, vi finder

, .

Forudsat -en= 1, b=c= 0, får vi den første basisløsning; antager b= 1, a = c= 0, får vi den anden basisopløsning; antager c= 1, a = b= 0, får vi den tredje basisløsning. Som et resultat antager det normale grundlæggende system af løsninger formen

Ved hjælp af grundsystemet kan den generelle løsning af det homogene system skrives som

x = aE 1 + være 2 + cE 3. -en

Lad os bemærke nogle egenskaber ved løsninger af det inhomogene system af lineære ligninger AX=B og deres forhold til det tilsvarende homogene ligningssystem AX = 0.

Generel løsning af et inhomogent systemer lig med summen af den generelle løsning af det tilsvarende homogene system AX = 0 og en vilkårlig partikulær løsning af det inhomogene system. Faktisk, lad Y 0 er en vilkårlig speciel løsning af et inhomogent system, dvs. AY 0 = B, og Y er den generelle løsning af et inhomogent system, dvs. AY=B. Trækker vi den ene lighed fra den anden, får vi
EN(Å-Å 0) = 0, dvs. Å-Å 0 er den generelle løsning af det tilsvarende homogene system ØKSE=0. Følgelig, Å-Å 0 = x, eller Y=Y 0 + x. Q.E.D.

Lad et inhomogent system have formen AX = B 1 + B 2 . Så kan den generelle løsning af et sådant system skrives som X = X 1 + x 2 , hvor AX 1 = B 1 og AX 2 = B 2. Denne egenskab udtrykker den universelle egenskab for alle lineære systemer generelt (algebraisk, differentiel, funktionel osv.). I fysik kaldes denne egenskab superpositionsprincippet, i elektro- og radioteknik - overlejringsprincip. For eksempel, i teorien om lineære elektriske kredsløb, kan strømmen i ethvert kredsløb opnås som en algebraisk sum af strømmene forårsaget af hver energikilde separat.