Løsning af ligninger for OGE. At løse en ligning betyder...

Fjerde opgave i algebramodulet tester viden om anvendelse af magter og radikale udtryk.

Når man udfører opgave nr. 4 i OGE i matematik, testes ikke kun evnerne til at beregne og transformere numeriske udtryk, men også evnen til at transformere algebraiske udtryk. Du skal muligvis udføre operationer med potenser med en heltalseksponent, med polynomier og identiske transformationer af rationelle udtryk.

I overensstemmelse med hovedeksamenens materialer kan der være opgaver, der kræver udførelse af identiske transformationer af rationelle udtryk, faktorisering af polynomier, brug af procenter og proportioner samt delelighedstest.

Svaret i opgave 4 er et af tallene 1; 2; 3; 4 svarende til nummeret på den foreslåede besvarelse af opgaven.

Teori til opgave nr. 4

Fra teoretisk materiale skal vi bruge Regler for håndtering af grader:

Regler for at arbejde med radikale udtryk:

I mine analyserede versioner præsenteres disse regler - i analysen af ​​første version af tredje opgave præsenteres reglerne for håndtering af grader, og i anden og tredje version analyseres eksempler på arbejde med radikale udtryk.

Analyse af typiske muligheder for opgave nr. 4 OGE i matematik

Første version af opgaven

Hvilket af følgende udtryk for værdier af n er lig med produktet 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 112n
4. 11n+3

Løsning:

For at løse dette problem skal du huske følgende regler for håndtering af grader :

• Når de ganges, lægges potenser sammen
• når der lægges til grader trækkes fra
• Når man hæver en potens til en potens, ganges potenserne
• ved udtrækning af roden deles graderne

For at løse det er det desuden nødvendigt at repræsentere 121 som en potens af 11, hvilket er nøjagtigt 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Under hensyntagen til multiplikationsreglen tilføjer vi graderne:

11 2 11 n = 11 n+2

Derfor passer det andet svar os.

Anden version af opgaven

Hvilket af følgende udtryk har størst værdi?

1. 2√11
2. 2√10

Løsning:

For at løse denne opgave skal du bringe alle udtryk til en generel form - præsentere udtrykkene i form af radikale udtryk:

Flyt 3 til roden:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Flyt 2 til roden:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Flyt 2 til roden:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Vi firkanter 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Lad os se på alle de resulterende muligheder:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Derfor er det rigtige svar først

Tredje version af opgaven

Hvilket af disse tal er rationelt?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. alle disse tal er irrationelle

Løsning:

For at løse dette problem skal du fortsætte som følger:

Lad os først finde ud af styrken af ​​hvilket tal, der betragtes i dette eksempel - dette er tallet 9, da dets kvadrat er 81, og det ligner allerede udtrykkene i svarene. Lad os derefter se på formerne for tallet 9 - disse kan være:

Overvej hver af dem:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Derfor er tallet √0,81 rationelt, mens de resterende tal

selvom de ligner den 9 kvadratiske form, er de ikke rationelle.

Det rigtige svar er således tredje.

Fjerde version af opgaven

Efter anmodning fra en abonnent af mit fællesskab Det er gået ned Diana, jeg giver en analyse af følgende opgave nummer 4:

Hvilket af følgende tal er værdien af ​​udtrykket?

Løsning:

Bemærk, at nævneren indeholder en forskel (4 - √14), som vi skal af med. Hvordan gør man det?

For at gøre dette skal du huske formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! For at anvende det korrekt i denne opgave skal du huske reglerne for håndtering af fraktioner. I dette tilfælde skal du huske, at brøken ikke ændres, hvis tæller og nævner ganges med det samme tal eller udtryk. For forskellen på kvadrater mangler vi udtrykket (4 + √14), hvilket betyder, at vi gange tælleren og nævneren med det.

Herefter får vi 4 + √14 i tælleren, og forskellen mellem kvadrater i nævneren: 4² - (√14)². Derefter beregnes nævneren let:

I alt ser vores handlinger således ud:

Femte version af opgaven (demoversion af OGE 2017)

Værdien af ​​hvilket udtryk er et rationelt tal?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Løsning:

I denne opgave tester vi evnerne til operationer med irrationelle tal.

Lad os analysere hvert svar i løsningen:

√6 i sig selv er et irrationelt tal; for at løse sådanne problemer er det nok at huske, at du rationelt kan udtrække roden fra kvadraterne af naturlige tal, for eksempel 4, 9, 16, 25 ...

Når man trækker et hvilket som helst andet tal end sig selv fra et irrationelt tal, vil det igen føre til et irrationelt tal, således opnås i denne version et irrationelt tal.

Når vi multiplicerer rødder, kan vi udtrække roden fra produktet af radikale udtryk, det vil sige:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Men √15 er irrationelt, så dette svar virker ikke.

Når vi kvadrerer en kvadratrod, får vi simpelthen et radikalt udtryk (for at være mere præcist et modulo-radikalt udtryk, men i tilfælde af et tal, som i denne version, betyder det ikke noget), derfor:

Dette svar passer til os.

Dette udtryk repræsenterer fortsættelsen af ​​punkt 1, men hvis √6-3 er et irrationelt tal, kan det ikke konverteres til et rationelt tal ved nogen operationer, vi kender.

Fuldfør sætningerne: 1). Ligningen er... 2). Grunden til ligningen er... 3). At løse en ligning betyder...

I. Løs ligningerne mundtligt: ​​1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Hvilken af ​​følgende ligninger har ingen løsninger: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Hvilken af ​​ligningerne har uendeligt mange løsninger: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

LIGNINGER AF FORMEN kx + b = 0, hvor k, b er givet tal, KALDES LINEÆRE. Algoritme til løsning af lineære ligninger: 1). åbne beslag 2). flyt termerne, der indeholder det ukendte, til venstre side, og termerne, der ikke indeholder det ukendte, til højre (tegnet for det overførte led er omvendt); 3). medbring lignende medlemmer; 4). divider begge sider af ligningen med koefficienten for det ukendte, hvis den ikke er lig med nul.

Løs i notesbøger Gruppe I: nr. 681 s. 63 6(4 -x)+3 x=3 Gruppe III: nr. 767 s. 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 ligninger : II gruppe: nr. 697 s. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

En ligning på formen aх2 + bх + c =0, hvor a≠ 0, b, c er vilkårlige reelle tal, kaldes kvadratisk. Ufuldstændige ligninger: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Løs andengradsligninger mundtligt, og angiv om de er komplette eller ufuldstændige: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 03). x2 -25=04). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

SPØRGSMÅL: 1). Hvilken egenskab ved ligninger blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger? 2). Hvilke metoder til faktorisering af et polynomium blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger? 3). Hvad er algoritmen til at løse komplette andengradsligninger?

1). Produktet af to faktorer er lig nul, hvis en af ​​dem er nul, mister den anden ikke sin betydning: ab = 0 hvis a = 0 eller b = 0. 2). Substituering af en fælles faktor og a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) er formlen for forskellen mellem kvadrater. 3). Fuldfør andengradsligningen ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, hvis D>0, 2 rødder; D = 0, 1 rod; D

Sætning omvendt til Vietas sætning: Hvis tallene a, b, c, x 1 og x 2 er sådan, at x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, og x 2 er rødderne til ligningen a x 2 + bx + c = 0

LØS LIGNINGERNE: Gruppe I: Nr. 802 side 71 x2 - 5 x- 36 =0 Gruppe II: Nr. 810 side 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Gruppe III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. LØS LIGNINGERNE: Gruppe I og II: Nr. 860 Gruppe III: =0 =0 Hvad kaldes sådanne ligninger? Hvilken egenskab bruges til at løse dem?

En rationel ligning er en ligning på formen =0. En brøk er lig med nul, hvis tælleren er nul, og nævneren ikke er nul. =0, hvis a = 0, b≠ 0.

Kort fra matematikkens historie Matematikerne i det gamle Egypten var i stand til at løse kvadratiske og lineære ligninger. Den persiske middelalderforsker Al-Khorezmi (9. århundrede) introducerede først algebra som en uafhængig videnskab om generelle metoder til løsning af lineære og andengradsligninger og gav en klassifikation af disse ligninger. Et nyt stort gennembrud inden for matematik er forbundet med navnet på den franske videnskabsmand Francois Vieta (XVI århundrede). Det var ham, der introducerede bogstaver i algebra. Han er ansvarlig for den berømte sætning om rødderne af andengradsligninger. Og vi skylder traditionen med at betegne ukendte mængder med de sidste bogstaver i det latinske alfabet (x, y, z) til en anden fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).

Hjemmearbejde Arbejde med websteder: - Åben opgavebank OGE (matematik) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/indeks. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0; - "Jeg vil løse OGE" af D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Hjemmeside for A. Larin (mulighed 119) http://alexlarin. net/. Lærebøger: - Yu. M. Kolyagin lærebog “Algebra 9. klasse”, M., “Enlightenment”, 2014, s. 308-310; - "3000 opgaver" under. redigeret af I. V. Yashchenko, M., "Eksamen", 2017, s. 5974.

Information til forældre System til forberedelse til OGE i matematik 1). Ledsagende gentagelse i lektion 2). Endelig gennemgang i slutningen af ​​året 3). Valgfag (om lørdagen) 4). Lektiesystem - arbejder med webstederne Jeg vil LØSE OGE, ÅBEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Individuelle konsultationer (om mandagen)

Toylonov Argymai og Toylonov Erkei

Matematisk uddannelse modtaget i en omfattende skole er en væsentlig komponent i almen uddannelse og den generelle kultur i det moderne menneske. Næsten alt, der omgiver det moderne menneske, er på en eller anden måde forbundet med matematik. Og de seneste fremskridt inden for fysik, teknik og informationsteknologi efterlader ingen tvivl om, at tingenes tilstand i fremtiden vil forblive den samme. Derfor kommer løsning af mange praktiske problemer ned på at løse forskellige typer ligninger, som du skal lære at løse.

Og siden 2013 er der gennemført certificering i matematik ved afslutningen af ​​grundskolen i form af OGE. Ligesom Unified State Exam er Unified State Exam designet til at udføre certificering ikke kun i algebra, men også i hele matematikforløbet på grundskolen.

Brorparten af ​​opgaverne, på den ene eller anden måde, kommer ned til at tegne ligninger og deres løsninger. For at gå videre til studiet af dette emne, var vi nødt til at besvare spørgsmålene: "Hvilke typer ligninger findes i OGE-opgaver? " og "Hvilke måder er der til at løse disse ligninger?"

Der er således behov for at studere alle typer ligninger, der findes i OGE-opgaver. Alt ovenstående bestemmer

Formål Arbejdet er at færdiggøre alle typer ligninger, der findes i OGE-opgaver, efter type og analysere de vigtigste metoder til at løse disse ligninger.

For at nå dette mål har vi sat følgende opgaver:

1) Udforsk de vigtigste ressourcer til at forberede sig til de vigtigste statseksamener.

2) Udfyld alle ligninger efter type.

3) Analyser metoder til løsning af disse ligninger.

4) Sammensæt en samling med alle typer ligninger og metoder til at løse dem.

Studieobjekt: ligninger

Undersøgelsens emne: ligninger i OGE-opgaver.

Hent:

Eksempel:

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

"Chibitskaya gymnasiet"

TRÆNINGSPROJEKT:

"LIGNINGER I OGE OPGAVER"

Toylonov Erkey

8. klasses elever

vejleder: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, matematiklærer.

Tidslinje for projektimplementering:

fra 13.12.2017 til 13.02. 2018

INTRODUKTION

Matematisk uddannelse modtaget i en omfattende skole er en væsentlig komponent i almen uddannelse og den generelle kultur i det moderne menneske. Næsten alt, der omgiver det moderne menneske, er på en eller anden måde forbundet med matematik. Og de seneste fremskridt inden for fysik, teknik og informationsteknologi efterlader ingen tvivl om, at tingenes tilstand i fremtiden vil forblive den samme. Derfor kommer løsning af mange praktiske problemer ned på at løse forskellige typer ligninger, som du skal lære at løse.

Og siden 2013 er der gennemført certificering i matematik ved afslutningen af ​​grundskolen i form af OGE. Ligesom Unified State Exam er Unified State Exam designet til at udføre certificering ikke kun i algebra, men også i hele matematikforløbet på grundskolen.

Brorparten af ​​opgaverne, på den ene eller anden måde, kommer ned til at tegne ligninger og deres løsninger. For at gå videre til studiet af dette emne, var vi nødt til at besvare spørgsmålene: "Hvilke typer ligninger findes i OGE-opgaver? " og "Hvilke måder er der til at løse disse ligninger?"

Der er således behov for at studere alle typer ligninger, der findes i OGE-opgaver. Alt ovenstående bestemmerrelevansen af ​​problemet med det udførte arbejde.

Formål Arbejdet er at færdiggøre alle typer ligninger, der findes i OGE-opgaver, efter type og analysere de vigtigste metoder til at løse disse ligninger.

For at nå dette mål har vi sat følgende opgaver:

1) Udforsk de vigtigste ressourcer til at forberede sig til de vigtigste statseksamener.

2) Udfyld alle ligninger efter type.

3) Analyser metoder til løsning af disse ligninger.

4) Sammensæt en samling med alle typer ligninger og metoder til at løse dem.

Studieobjekt: ligninger.

Undersøgelsens emne:ligninger i OGE-opgaver.

Projektets arbejdsplan:

1. Formulering af projektets tema.
2. Udvælgelse af materiale fra officielle kilder om et givent emne.
3. Behandling og systematisering af information.
4. Projektgennemførelse.
5. Projektdesign.
6. Projektbeskyttelse.

Problem : uddybe din forståelse af ligninger. Vis de vigtigste metoder til løsning af ligningerne præsenteret i OGE-opgaverne i første og anden del.

Dette arbejde er et forsøg på at generalisere og systematisere det undersøgte materiale og lære nyt. Projektet omfatter: lineære ligninger med overførsel af led fra en del af ligningen til en anden og anvendelse af ligningers egenskaber, samt problemstillinger løst af ligningen, alle typer andengradsligninger og metoder til løsning af rationelle ligninger.

Matematik... afslører orden, symmetri og sikkerhed,

og disse er de vigtigste typer skønhed.

Aristoteles.

Historisk reference

I de fjerne tider, hvor vismændene først begyndte at tænke på ligheder, der indeholdt ukendte mængder, var der sandsynligvis ingen mønter eller tegnebøger. Men der var dynger, såvel som gryder og kurve, som var perfekte til rollen som opbevaringscaches, der kunne rumme et ukendt antal genstande. "Vi leder efter en bunke, der sammen med to tredjedele, en halv og en syvendedel udgør 37...", lærte den egyptiske skriftlærde Ahmes i det 2. årtusinde f.Kr. I de gamle matematiske problemer i Mesopotamien, Indien, Kina, Grækenland udtrykte ukendte mængder antallet af påfugle i haven, antallet af tyre i flokken og helheden af ​​ting, der blev taget i betragtning ved opdeling af ejendom. Skriftkloge, embedsmænd og præster indviet i hemmelig viden, veluddannede i videnskaben om regnskaber, klarede sådanne opgaver ganske med succes.

Kilder, der har nået os, indikerer, at gamle videnskabsmænd havde nogle generelle teknikker til at løse problemer med ukendte mængder. Men ikke en eneste papyrus- eller lertablet indeholder en beskrivelse af disse teknikker. Forfatterne forsynede kun lejlighedsvis deres numeriske beregninger med sparsomme kommentarer som: "Se!", "Gør det her!", "Du fandt den rigtige." I denne forstand er undtagelsen "aritmetikken" af den græske matematiker Diophantus fra Alexandria (III århundrede) - en samling af problemer til at komponere ligninger med en systematisk præsentation af deres løsninger.

Den første manual til løsning af problemer, der blev almindeligt kendt, var imidlertid Bagdad-forskeren fra det 9. århundrede. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fra det arabiske navn på denne afhandling - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Bog om restaurering og opposition") - blev med tiden til det velkendte ord "algebra", og al- Khwarizmis arbejde i sig selv tjente udgangspunktet i udviklingen af ​​videnskaben om at løse ligninger.

Så hvad er ligningen?

Der er en rettighedsligning, en tidsligning (oversættelse af sand soltid til middelsoltid, accepteret i samfundet og i videnskaben; astr.) osv.

I matematik er en matematisk lighed, der indeholder en eller flere ukendte størrelser og kun bevarer sin gyldighed for visse værdier af disse ukendte størrelser.

I ligninger med én variabel er det ukendte normalt betegnet med bogstavet " X ". Værdien af ​​"x" ", der opfylder disse betingelser, kaldes roden af ​​ligningen.

Der er forskellige ligninger arter:

ax + b = 0. - Lineær ligning.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadratisk ligning.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Biquadratisk ligning.

– Rationel ligning.

– Irrationel ligning.
Der er sådannemåder at løse ligninger på Hvordan: algebraisk, aritmetisk og geometrisk. Lad os overveje den algebraiske metode.

Løs ligningen- dette er at finde sådanne værdier af X, der, når de erstattes i det oprindelige udtryk, vil give os den korrekte lighed eller bevise, at der ikke er nogen løsninger. Løsning af ligninger, selvom det er svært, er spændende. Det er trods alt virkelig overraskende, når en hel strøm af tal afhænger af et ukendt tal.

I ligninger for at finde det ukendte, skal du transformere og forenkle det oprindelige udtryk. Og på en sådan måde, at når udseendet ændrer sig, ændres udtrykkets essens ikke. Sådanne transformationer kaldes identiske eller ækvivalente.

Kapitel 1 Løsning af ligninger

1.1 Løsning af lineære ligninger.

Nu skal vi se på løsninger til lineære ligninger. Husk, at en ligning af formenkaldes en lineær ligning eller en ligning af første grad siden med variablen " x » senioruddannelsen er i første grad.

Løsningen til den lineære ligning er meget enkel:

Eksempel 1: Løs ligning 3 x +3=5 x

En lineær ligning løses ved at overføre termer indeholdende ukendte til venstre side af lighedstegnet, frie koefficienter til højre side af lighedstegnet:

3 x – 5 x = – 3

2 x = -3

x = 1,5

Værdien af ​​den variabel, der gør ligningen til en sand lighed kaldes roden af ​​ligningen.

Efter kontrol får vi:

Så 1,5 er roden af ​​ligningen.

Svar: 1.5.

Løsning af ligninger ved hjælp af metoden til at overføre termer fra en del af ligningen til en anden, hvor fortegnet for led ændres til det modsatte og bruges ejendomme ligninger - begge sider af en ligning kan ganges (divideres) med det samme ikke-nul tal eller udtryk, kan tages i betragtning ved løsning af følgende ligninger.

Eksempel 2. Løs ligningerne:

a) 6 x +1 = - 4 x; b) 8+7 x = 9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Løsning.

a) Ved hjælp af den overførselsmetode, vi løser

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Undersøgelse:

Svar: –0,1

b) I lighed med det foregående eksempel løser vi ved hjælp af overførselsmetoden:

Svar: 2.

c) I denne ligning er det nødvendigt at åbne parenteserne ved at anvende den fordelende egenskab for multiplikation med hensyn til additionsoperationen.

Svar: 6,75.

1.2 Andengradsligninger

Formens ligning kaldes en andengradsligning, hvor-en – seniorkoefficient, b – gennemsnitskoefficient, с – fri løbetid.

Afhængig af odds a, b og c – ligningen kan være fuldstændig eller ufuldstændig, givet eller ikke givet.

1.2.1 Ufuldstændige andengradsligninger

Lad os overveje måder at løse ufuldstændige andengradsligninger på:

1) Lad os begynde at forstå løsningen af ​​den første type ufuldstændige andengradsligninger for c=0 . Ufuldstændige andengradsligninger af formen a x 2 + b x=0 giver dig mulighed for at bestemmefaktoriseringsmetode. Især metoden til bracketing.

Det er klart, at vi kan, placeret på venstre side af ligningen, for hvilket det er nok at tage den fælles faktor ud af parentes x . Dette giver os mulighed for at flytte fra den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til en ækvivalent ligning af formen: x·(a·x+b)=0.

Og denne ligning svarer til kombinationen af ​​to ligninger x=0 eller a x+b=0 , hvoraf den sidste er lineær og har en rod x=− .

a x 2 + b x=0 har to rødder

x=0 og x=− .

2) Lad os nu se på, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses, hvor koefficienten b er nul og c≠0 , altså formens ligninger a x2 +c=0 . Vi ved, at flytning af et led fra den ene side af ligningen til den anden med det modsatte fortegn, samt at dividere begge sider af ligningen med et ikke-nul tal, giver en ækvivalent ligning. Derfor kan vi udføre følgende ækvivalente transformationer af den ufuldstændige andengradsligning a x 2 +c=0 :

• overføre fra til højre, hvilket giver ligningen a x 2 =−c ,
• og dividere begge dele med a, vi får.

Den resulterende ligning giver os mulighed for at drage konklusioner om dens rødder.

Hvis nummeret – er negativ, så har ligningen ingen rødder. Dette udsagn følger af det faktum, at kvadratet af ethvert tal er et ikke-negativt tal.

Hvis er et positivt tal, så er situationen med ligningens rødder anderledes. I dette tilfælde skal du huske, at der er en rod af ligningen, det er et tal. Grunden af ​​ligningen beregnes efter følgende skema:

Det er kendt, at substituere ind i ligningen i stedet for x dens rødder gør ligningen til en sand lighed.

Lad os opsummere oplysningerne i dette afsnit. Ufuldstændig andengradsligning a x2 +c=0 svarer til ligningen, hvilken

3) Løsninger af ufuldstændige andengradsligninger, hvor koefficienterne b og c er lig med nul, det vil sige med formens ligninger a x 2 = 0. Ligningen a x 2 =0 følger efter x 2 =0 , som fås fra originalen ved at dividere begge dele med et ikke-nul tal-en . Det er klart, roden af ​​ligningen x 2 = 0 er nul, da 0 2 =0 . Denne ligning har ingen andre rødder.

Altså den ufuldstændige andengradsligning a x 2 = 0 har en enkelt rod x=0.

Eksempel 3. Løs ligningerne: a) x 2 = 5x, hvis ligningen har flere rødder, så angiv den mindste af dem i dit svar;

b) , hvis ligningen har flere rødder, så angiv den største af dem i dit svar;

c) x 2 −9=0, hvis ligningen har flere rødder, så angiv den mindste af dem i dit svar.

Løsning.

Vi har fået en ufuldstændig andengradsligning, som der ikke er noget frit led for. Vi løser ved hjælp af bracketing-metoden.

U Ligningen kan laves med to rødder, hvoraf den mindste er 0.

Svar: 0.

b) . I lighed med det foregående eksempel bruger vi bracketing-metoden

Svaret skal angive den største af rødderne. Dette er nummer 2.

Svar: 2.

V) . Denne ligning er en ufuldstændig andengradsligning, der ikke har en gennemsnitskoefficient.

Den mindste af disse rødder er tallet - 3.

Svar: -3.

1.2.2 Komplet andengradsligninger.

1. Diskriminerende, grundlæggende formel for rødderne af en andengradsligning

Der er en rodformel.

Lad os skrive ned formel for rødderne af en andengradsligning trin for trin:

1) D=b 2 −4 a c - såkaldte.

a) hvis D

b) hvis D>0, så ligningenhar ikke én rod:

c) hvis D har ikke to rødder:

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

I praksis, når du løser andengradsligninger, kan du straks bruge rodformlen til at beregne deres værdier. Men dette er mere relateret til at finde komplekse rødder.

Men i et skolealgebrakursus taler vi normalt ikke om komplekse, men om reelle rødder af en andengradsligning. I dette tilfælde er det tilrådeligt, før du bruger formlerne for rødderne af en andengradsligning, først at finde diskriminanten, sørg for, at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere, at ligningen ikke har rigtige rødder), og kun derefter beregne værdierne af rødderne.

Ovenstående ræsonnement giver os mulighed for at skrivealgoritme til løsning af en andengradsligning. At løse en andengradsligning a x 2 +b x+c=0, du skal bruge:

• efter diskriminantformlen D=b 2 −4 a c beregne dens værdi;
• konkludere, at en andengradsligning ikke har nogen reelle rødder, hvis diskriminanten er negativ;
• beregn den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen if D=0;
• find to reelle rødder af en andengradsligning ved hjælp af rodformlen, hvis diskriminanten er positiv.

2. Diskriminant, den anden formel for rødderne af en andengradsligning (med en lige anden koefficient).

At løse andengradsligninger af formen, med en jævn koefficient b=2k der er en anden formel.

Lad os optage en ny formel for rødderne af en andengradsligning ved:

1) D’=k 2 −a c - såkaldtediskriminant af en andengradsligning.

a) hvis D' har ingen rigtige rødder;

b) hvis D'>0, så ligningenhar ikke én rod:

c) hvis D’ har ikke to rødder:

Eksempel 4. Løs 2x-ligningen 2 −3x+1=0.. Hvis ligningen har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

Løsning. I det første tilfælde har vi følgende koefficienter for andengradsligningen: a=2, b=-3 og c=1 D=b2−4·a·c=(-3) 2−4·2·1=9-8=1 . Siden 1>0

Vi har Vi har to rødder, hvoraf den største er tallet 1.

Svar: 1.

Eksempel 5. Løs ligning x 2 −21=4x.

Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

Løsning. Analogt med det foregående eksempel flytter vi 4h til venstre side af lighedstegnet og får:

I dette tilfælde har vi følgende koefficienter af andengradsligningen: a=1, k=-2 og c=-21 . Ifølge algoritmen skal du først beregne diskriminanten D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Nummer 25>0 , dvs. diskriminanten er større end nul, så har andengradsligningen to reelle rødder. Lad os finde dem ved hjælp af rodformlen

Svar: 7.

1.2.3 Særlige metoder til løsning af andengradsligninger.

1) Forholdet mellem rødderne og koefficienterne for en andengradsligning. Vietas sætning.

Formlen for rødderne af en andengradsligning udtrykker ligningens rødder gennem dens koefficienter. Ud fra rodformlen kan du få andre sammenhænge mellem rødder og koefficienter.

Den mest berømte og anvendelige formel kaldes Vietas sætning.

Sætning: Lad - rødder af den givne andengradsligning. Så er produktet af rødderne lig med det frie led, og summen af ​​rødderne er lig med den modsatte værdi af den anden koefficient:

Ved hjælp af de allerede skrevne formler kan man få en række andre sammenhænge mellem andengradsligningens rødder og koefficienter. For eksempel kan du udtrykke summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning i form af dens koefficienter.

Eksempel 6. a) Løs ligningen x 2

b) Løs ligningen x 2

c) Løs ligningen x 2

Løsning.

a) Løs ligningen x 2 −6x+5=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

Valg af den mindste af rødderne

Svar: 1

b) Løs ligningen x 2 +7x+10=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

Ved at anvende Vietas sætning skriver vi formler for rødderne

Logisk ræsonnement konkluderer vi det. Valg af den største af rødderne

Svar: ─2.

c) Løs ligningen x 2 ─5x─14=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

Ved at anvende Vietas sætning skriver vi formler for rødderne

Logisk ræsonnement konkluderer vi det. Valg af den mindste af rødderne

Svar: ─2.

1.3 Rationelle ligninger

Hvis du får en ligning med brøkdele af formenmed en variabel i tælleren eller nævneren, så kaldes et sådant udtryk en rationel ligning. En rationel ligning er enhver ligning, der indeholder mindst ét ​​rationelt udtryk. Rationelle ligninger løses på samme måde som enhver ligning: de samme operationer udføres på begge sider af ligningen, indtil variablen er isoleret på den ene side af ligningen. Der er dog 2 metoder til at løse rationelle ligninger.

1) Kryds multiplikation.Om nødvendigt, omskriv ligningen givet til dig, så der er én brøk (et rationelt udtryk) på hver side; kun i dette tilfælde kan du bruge den krydsgående multiplikationsmetode.

Gang tælleren for venstre brøk med nævneren til højre. Gentag dette med tælleren for den højre brøk og nævneren for den venstre.

• Multiplikation på kryds og tværs er baseret på grundlæggende algebraiske principper. I rationelle udtryk og andre brøker kan du slippe af med tælleren ved at gange tællere og nævnere af de to brøker tilsvarende.
• Sæt lighedstegn mellem de resulterende udtryk og forenkle dem.
• Løs den resulterende ligning, det vil sige find "x". Hvis "x" er på begge sider af ligningen, skal du isolere det på den ene side af ligningen.

2) Den laveste fællesnævner (LCD) bruges til at forenkle denne ligning.Denne metode bruges, når du ikke kan skrive en given ligning med ét rationelt udtryk på hver side af ligningen (og bruge multiplikationsmetoden på kryds og tværs). Denne metode bruges, når du får en rationel ligning med 3 eller flere brøker (i tilfælde af to brøker er det bedre at bruge multiplikation på kryds og tværs).

• Find den laveste fællesnævner af brøkerne (eller mindste fælles multiplum).NOZ er det mindste tal, der er ligeligt deleligt med hver nævner.
• Multiplicer både tælleren og nævneren for hver brøk med et tal svarende til resultatet af at dividere NOC med den tilsvarende nævner for hver brøk.
• Find x. Nu hvor du har reduceret brøkerne til en fællesnævner, kan du slippe af med nævneren. For at gøre dette skal du gange hver side af ligningen med fællesnævneren. Løs derefter den resulterende ligning, det vil sige find "x". For at gøre dette skal du isolere variablen på den ene side af ligningen.

Eksempel 7. Løs ligningerne: a); b) c).

Løsning.

EN) . Vi bruger den krydsgående multiplikationsmetode.

Vi åbner parenteserne og præsenterer lignende udtryk.

fik en lineær ligning med en ukendt

Svar: ─10.

b) , i lighed med det foregående eksempel, anvender vi kryds-for-kryds multiplikationsmetoden.

Svar: ─1.9.

V) , bruger vi den mindste fællesnævner (LCD) metode.

I dette eksempel vil fællesnævneren være 12.

Svar: 5.

Kapitel 2 Komplekse ligninger

Ligninger, der tilhører kategorien komplekse ligninger, kan kombinere forskellige metoder og løsningsteknikker. Men på den ene eller anden måde fører alle ligninger ved hjælp af logisk ræsonnement og tilsvarende handlinger til ligninger, der tidligere blev undersøgt.

Eksempel 7. Løs ligningen ( x+3)2 =(x+8)2.

Løsning. Ved at bruge de forkortede multiplikationsformler åbner vi parenteserne:

Vi overfører alle udtryk ud over lighedstegnet og bringer lignende,

Svar: 5.5.

Eksempel 8. Løs ligningerne: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Løsning.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Lad os åbne parenteserne og præsentere lignende udtryk

opnået en komplet andengradsligning, som vi vil løse gennem den første formel for diskriminanten

ligningen har to rødder

Svar: 0,6 og 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, til denne ligning vil vi lave logiske ræsonnementer (produktet er lig nul, når en af ​​faktorerne er lig nul). Midler

Svar: ─2 og 6.

Eksempel 9. Løs ligningerne:, b) .

Løsning. Lad os finde den laveste fællesnævner

Lad os skrive i faldende rækkefølge efter grader af variablen

; opnået en komplet andengradsligning med en lige anden koefficient

Ligningen har to reelle rødder

Svar: .

b) . Begrundelsen ligner a). At finde en NPD

Vi åbner parenteserne og præsenterer lignende udtryk

løse den komplette andengradsligning gennem den generelle formel

Svar: .

Eksempel 10 Løs ligningerne:

Løsning.

EN) , Vi bemærker, at på venstre side er udtrykket inden for parenteserne en reduceret multiplikationsformel, mere præcist kvadratet af summen af ​​to udtryk. Lad os forvandle det

; flyt vilkårene i denne ligning til den ene side

lad os sætte det uden for parentes

Produktet er nul, når en af ​​faktorerne er nul. Midler,

Svar: ─2, ─1 og 1.

b) Vi ræsonnerer på samme måde som for eksempel a)

, ved Vietas sætning

Svar:

Eksempel 11. Løs ligningerne a)

Løsning.

EN) ; [på venstre og højre side af ligningen kan vi anvende bracketing-metoden, og på venstre side vil vi tage ud, og på højre side sætter vi tallet 16.]

[lad os flytte alt til den ene side og igen anvende bracketing-metoden. Vi vil tage den fælles faktor ud]

[produktet er nul, når en af ​​faktorerne er nul.]

Svar:

b) . [Denne ligning ligner ligning a). Derfor anvender vi i dette tilfælde grupperingsmetoden]

Svar:

Eksempel 12. Løs ligningen=0.

Løsning.

0 [biquadratisk ligning. Løsning ved ændring af variabel metode].

0; [Ved at anvende Vietas sætning får vi rødderne]

. [vend tilbage til tidligere variabler]

Svar:

Eksempel 13. Løs ligningen

Løsning. [biquadratisk ligning, slip med den lige grad ved at anvende modulo-tegn.]

[vi har to andengradsligninger, som vi løser gennem grundformlen for andengradsligningens rødder]

ingen reel rødder-ligning har to rødder

Svar:

Eksempel 14. Løs ligningen

Løsning.

ODZ:

[overfør alle led i ligningen til venstre side og bring lignende udtryk]

[vi fik den reducerede andengradsligning, som let løses af Vieta-sætningen]

Tallet - 1 opfylder ikke ODZ for den givne ligning, derfor kan det ikke være roden til denne ligning. Det betyder, at kun tallet 7 er roden.

Svar: 7.

Eksempel 15. Løs ligningen

Løsning.

Summen af ​​kvadraterne af to udtryk kan kun være lig nul, hvis udtrykkene er lig med nul på samme tid. Nemlig

[Vi løser hver ligning separat]

Ved Vietas sætning

Sammenfaldet af rødderne lig med –5 vil være roden til ligningen.

Svar: – 5.

KONKLUSION

Sammenfattende resultaterne af det udførte arbejde kan vi konkludere: ligninger spiller en stor rolle i udviklingen af ​​matematik. Vi systematiserede den opnåede viden og opsummerede det dækkede materiale. Denne viden kan forberede os til de kommende eksamener.

Vores arbejde gør det muligt at se anderledes på de opgaver, matematik stiller os.

• i slutningen af ​​projektet systematiserede og generaliserede vi de tidligere undersøgte metoder til løsning af ligninger;
• stiftet bekendtskab med nye måder at løse ligninger på og egenskaber ved ligninger;

• Vi har set på alle typer ligninger, der er i OGE-opgaverne både i første del og i anden del.
• Vi oprettede en metodologisk samling "Ligninger i OGE-opgaver."

Vi mener, at vi har nået det mål, der er sat for os - at overveje alle typer ligninger i opgaverne til hovedstatsprøven i matematik.

Liste over brugt litteratur:

1. B.V. Gnedenko "Matematik i den moderne verden". Moskva "Oplysning" 1980

2. Ya.I. Perelman "Underholdende algebra." Moskva "Science" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Bilag 1

Lineære ligninger

1. Find roden af ​​ligningen

2. Find roden af ​​ligningen

3. Find roden af ​​ligningen

Bilag 2

Ufuldstændige andengradsligninger

1. Løs ligningen x 2 =5x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

2. Løs 2x-ligningen 2 = 8x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

3. Løs 3x-ligningen 2 =9x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

4. Løs 4x-ligningen 2 =20x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

5. Løs 5x-ligningen 2 =35x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

6. Løs 6x-ligningen 2 =36x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

7. Løs ligning 7x 2 =42x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

8. Løs 8x-ligningen 2 =72x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

9. Løs ligning 9x 2 =54x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

10. Løs 10x-ligningen2 = 80x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

11. Løs 5x-ligningen2 −10x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

12. Løs 3x-ligningen2 −9x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

13. Løs 4x-ligningen2 −16x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

14. Løs 5x-ligningen2 +15x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

15. Løs 3x-ligningen2 +18x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

16. Løs 6x-ligningen2 +24x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

17. Løs 4x-ligningen2 −20x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

18. Løs 5x-ligningen2 +20x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

19. Løs ligning 7x2 −14x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

20. Løs 3x-ligningen2 +12x=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

21. Løs ligning x2 −9=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

22. Løs ligningen x2 −121=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

23. Løs ligning x2 −16=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

24. Løs ligning x2 −25=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

25. Løs ligning x2 −49=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

26. Løs ligning x2 −81=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

27. Løs ligning x2 −4=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

28. Løs ligning x2 −64=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

29. Løs ligning x2 −36=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

30. Løs ligningen x2 −144=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

31. Løs ligning x2 −9=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

32. Løs ligning x2 −121=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

33. Løs ligning x2 −16=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

34. Løs ligningen x2 −25=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

35. Løs ligningen x2 −49=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

36. Løs ligningen x2 −81=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

37. Løs ligningen x2 −4=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

38. Løs ligningen x2 −64=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

39. Løs ligning x2 −36=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

40. Løs ligningen x2 −144=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

Bilag 3

Fuldfør andengradsligninger

1. Løs ligningen x2 +3x=10. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

2. Løs ligningen x2 +7x=18. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

3. Løs ligning x2 +2x=15. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

4. Løs ligning x2 −6x=16. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

5. Løs ligning x2 −3x=18. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

6. Løs ligning x2 −18=7x. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

7. Løs ligning x2 +4x=21. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

8. Løs ligning x2 −21=4x. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

9. Løs ligning x2 −15=2x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

10. Løs ligning x2 −5x=14. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

11. Løs ligning x2 +6=5x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

12. Løs ligning x2 +4=5x. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

13. Løs ligning x2 −x=12. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

14. Løs ligning x2 +4x=5. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

15. Løs ligning x2 −7x=8. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

16. Løs ligning x2 +7=8x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

17. Løs ligning x2 +18=9x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

18. Løs ligning x2 +10=7x. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

19. Løs ligning x2 −20=x. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

20. Løs ligningen x2 −35=2x. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

21. Løs 2x-ligningen2 −3x+1=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

22. Løs 5x-ligningen2 +4x−1=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

23. Løs 2x-ligningen2 +5x−7=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

24. Løs 5x-ligningen2 −12x+7=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

25. Løs 5x-ligningen2 −9x+4=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

26. Løs ligning 8x2 −12x+4=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

27. Løs ligning 8x2 −10x+2=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

28. Løs 6x-ligningen2 −9x+3=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

29. Løs 5x-ligningen2 +9x+4=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

30. Løs 5x-ligningen2 +8x+3=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

31. Løs ligning x2 −6x+5=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

32. Løs ligning x2 −7x+10=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

33. Løs ligning x2 −9x+18=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

34. Løs ligningen x2 −10x+24=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

35. Løs ligningen x2 −11x+30=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

36. Løs ligningen x2 −8x+12=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

37. Løs ligningen x2 −10x+21=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

38. Løs ligningen x2 −9x+8=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

39. Løs ligning x2 −11x+18=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

40. Løs ligningen x2 −12x+20=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Bilag 4.

Rationelle ligninger.

1. Find roden af ​​ligningen

2. Find roden af ​​ligningen

3. Find roden af ​​ligningen

4. Find roden af ​​ligningen

5. Find roden af ​​ligningen

6. Find roden af ​​ligningen.

7. Find roden af ​​ligningen

8. Find roden af ​​ligningen

9. Find roden af ​​ligningen.

10. Find roden af ​​ligningen

11. Find roden af ​​ligningen.

12. Find roden af ​​ligningen

13. Find roden af ​​ligningen

14. Find roden af ​​ligningen

15. Find roden til ligningen

16. Find roden til ligningen

17. Find roden til ligningen

18. Find roden til ligningen

19. Find roden til ligningen

20. Find roden til ligningen

21. Find roden af ​​ligningen

22. Find roden af ​​ligningen

23. Find roden af ​​ligningen

Bilag 5

Komplekse ligninger.

1. Find roden af ​​ligningen (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Find roden af ​​ligningen (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Find roden af ​​ligningen (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Find roden af ​​ligningen (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Find roden af ​​ligningen (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Find roden af ​​ligningen.

7.Find roden af ​​ligningen.

8. Find roden af ​​ligningen.

9. Find roden af ​​ligningen.

10. Find roden af ​​ligningen.

11. Løs ligningen (x+2)(− x+6)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

12. Løs ligningen (x+3)(− x−2)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

13. Løs ligningen (x−11)(− x+9)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

14. Løs ligningen (x−1)(− x−4)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

15. Løs ligningen (x−2)(− x−1)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

16. Løs ligningen (x+20)(− x+10)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

17. Løs ligningen (x−2)(− x−3)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

18. Løs ligningen (x−7)(− x+2)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

19. Løs ligningen (x−5)(− x−10)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

20. Løs ligningen (x+10)(− x−8)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

21. Løs ligningen (− 5x+3)(− x+6)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

22. Løs ligningen (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

23. Løs ligningen (− x−4)(3x+3)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

24. Løs ligningen (x−6)(4x−6)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

25. Løs ligningen (− 5x−3)(2x−1)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

26. Løs ligningen (x−2)(− 2x−3)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

27. Løs ligningen (5x+2)(− x−4)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

28. Løs ligningen (x−6)(− 5x−9)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

29. Løs ligningen (6x−3)(− x+3)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, så skriv den største rod ned som dit svar.

30. Løs ligningen (5x−2)(− x+3)=0. Hvis en ligning har mere end én rod, skal du skrive den mindre rod ned som dit svar.

31. Løs ligningen

32. Løs ligningen

33. Løs ligningen

34. Løs ligningen

35. Løs ligningen

36. Løs ligningen

37. Løs ligningen

38. Løs ligningen

39. Løs ligningen

40 Løs ligningen

41. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Løs ligningen (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Løs ligningen x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Løs ligningen (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Løs ligningen (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Løs ligningen (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Løs ligningen x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Løs ligningen (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Løs ligningen (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Løs ligningen (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Løs ligningen (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Løs ligningen (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Løs ligning (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Løs ligning (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Løs ligning (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Løs ligningen (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Løs ligning (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Løs ligningen (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Løs ligningen (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Løs ligning x3 +3x2 =16x+48.

62. Løs ligning x3 +4x2 =4x+16.

63. Løs ligning x3 +6x2 =4x+24.

64. Løs ligning x3 +6x2 =9x+54.

65. Løs ligning x3 +3x2 =4x+12.

66. Løs ligning x3 +2x2 =9x+18.

67. Løs ligning x3 +7x2 =4x+28.

68. Løs ligning x3 +4x2 =9x+36.

69. Løs ligning x3 +5x2 =4x+20.

70. Løs ligning x3 +5x2 =9x+45.

71. Løs ligning x3 +3x2 −x−3=0.

72. Løs ligning x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Løs ligning x3 +5x2 −x−5=0.

74. Løs ligningen x3 +2x2 −x−2=0.

75. Løs ligningen x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Løs ligningen x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Løs ligningen x3 +4x2 −x−4=0.

78. Løs ligningen x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Løs ligningen x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Løs ligningen x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Løs ligning x4 =(x−20)2 .

82. Løs ligningen x4 =(2x−15)2 .

83. Løs ligning x4 =(3x−10)2 .

84. Løs ligningen x4 =(4x−5)2 .

85. Løs ligning x4 =(x−12)2 .

86. Løs ligning x4 =(2x−8)2 .

87. Løs ligning x4 =(3x−4)2 .

88. Løs ligning x4 =(x−6)2 .

89. Løs ligning x4 =(2x−3)2 .

90. Løs ligningen x4 =(x−2)2 .

91. Løs ligningen

92. Løs ligningen

93. Løs ligningen

94. Løs ligningen

95. Løs ligningen

96. Løs ligningen

97. Løs ligningen

98. Løs ligningen

99. Løs ligningen

100. Løs ligningen

101. Løs ligningen.

102. Løs ligningen

103. Løs ligningen

104. Løs ligningen

105. Løs ligningen

106. Løs ligningen

107. Løs ligningen

108. Løs ligningen

109. Løs ligningen

110. Løs ligningen

LØSNING AF LIGNINGER

forberedelse til OGE

9. klasse

udarbejdet af matematiklærer GBOU skole nr. 14 i Nevsky-distriktet i Skt. Petersborg Putrova Marina Nikolaevna

Færdiggør sætningen:

1). Ligningen er...

2). Grunden til ligningen er...

3). At løse en ligning betyder...

I.Løs ligningerne mundtligt:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Hvilken af ​​følgende ligninger har ingen løsninger:

EN). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Hvilken ligning har uendeligt mange løsninger:

EN). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

LIGNINGER AF ART

kx + b = 0

DE KALDES LINEÆRE.

Algoritme til løsning af lineære ligninger :

1). flyt termerne, der indeholder det ukendte, til venstre side, og termerne, der ikke indeholder det ukendte, til højre (tegnet for det overførte led er omvendt);

2). medbring lignende medlemmer;

3). dividere begge sider af ligningen med koefficienten for det ukendte, hvis det ikke er lig med nul.

Løs ligninger i dine notesbøger :

Gruppe II: nr. 697 s.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Gruppe I:

№ 681 side 63

6(4x)+3x=3

III gruppe: nr. 767 s. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Formens ligning

ah 2 + bх + c =0,

hvor a≠0, b, c – alle reelle tal kaldes kvadrat.

Ufuldstændige ligninger:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c=0 (b=0).

II. Løs andengradsligninger mundtligt, og angiv, om de er komplette eller ufuldstændige:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). x 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). x 2 - 8x + 15=0

7 ) . x 2 + 5x + 6=0

8). x 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+6)=0

SPØRGSMÅL:

1). Hvilken egenskab ved ligninger blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger?

2). Hvilke metoder til faktorisering af et polynomium blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger?

3). Hvad er algoritmen til at løse komplette andengradsligninger ?

1). Produktet af to faktorer er lig nul, hvis en af ​​dem er lig nul, mister den anden ikke sin betydning: ab = 0 , hvis a = 0 eller b = 0 .

2). Udskiftning af en fælles multiplikator og

-en 2 -b 2 =(a - b)(a + b) - formel for forskel på kvadrater.

3). Komplet andengradsligning ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac hvis D0, 2 rødder;

D = 0, 1 rod;

x 1,2 =

LØS LIGNINGERNE :

Gruppe I: nr. 802 s. 71 x 2 - 5x- 36 =0

Gruppe II: nr. 810 s. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III gruppe: x 4 -5x 2 - 36 =0

III. LØS LIGNINGERNE :

Gruppe I og II: Nr. 860 = 0

III gruppe: =0

Hvad kaldes sådanne ligninger? Hvilken egenskab bruges til at løse dem?

En rationel ligning er en formligning

En brøk er lig med nul, hvis tælleren er nul, og nævneren ikke er nul. =0, hvis a = 0, b≠0.

Kort historie om matematik

• Matematikere fra det gamle Egypten var i stand til at løse kvadratiske og lineære ligninger.

• Den persiske middelalderforsker Al-Khorezmi (9. århundrede) introducerede først algebra som en uafhængig videnskab om generelle metoder til løsning af lineære og andengradsligninger og gav en klassifikation af disse ligninger.

• Et nyt stort gennembrud inden for matematik er forbundet med navnet på den franske videnskabsmand Francois Vieta (XVI århundrede). Det var ham, der introducerede bogstaver i algebra. Han er ansvarlig for den berømte sætning om rødderne af andengradsligninger.

• Og vi skylder traditionen med at betegne ukendte mængder med de sidste bogstaver i det latinske alfabet (x, y, z) til en anden fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).

Al-Khwarizmi

Francois Viet

Rene Descartes

Lektier

Arbejde med hjemmesider :

- Åben opgavebank OGE (matematik) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "Jeg vil løse OGE" af D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Hjemmeside for A. Larin (mulighed 119) http://alexlarin.net/ .

Selvstudier:

- Yu.M. Kolyagin lærebog "Algebra 9. klasse", M., "Oplysning", 2014, s. 308-310;

- "3000 opgaver" under. redigeret af I.V. Yashchenko, M., "Eksamen", 2017, s. 59-74.

! Fra teori til praksis;

! Fra simpelt til komplekst

MAOU "Platoshinskaya gymnasiet",

matematiklærer, Melekhina G.V.

Generelt billede af den lineære ligning: økse + b = 0 ,

Hvor -en Og b– tal (koefficienter).

• Hvis a = 0 Og b = 0, At 0x + 0 = 0 - uendeligt mange rødder;
• Hvis a = 0 Og b ≠ 0, At 0x + b = 0– ingen løsninger;
• Hvis a ≠ 0 Og b = 0 , At økse + 0 = 0 – én rod, x = 0;
• Hvis a ≠ 0 Og b ≠ 0 , At økse + b = 0 - en rod,

! Hvis X er i første potens og ikke er i nævneren, så er det en lineær ligning

! Hvad hvis den lineære ligning er kompleks :

! Vilkår med X til venstre, uden X til højre.

! Disse ligninger er også lineær .

! Hovedegenskaben ved proportion (på tværs).

! Åbn parenteser, med X til venstre, uden X til højre.

• hvis koefficienten a = 1, så kaldes ligningen givet :

• hvis koefficienten b = 0 eller/og c = 0, så kaldes ligningen ufuldstændig :

! Grundlæggende formler

! Flere formler

Biquadratisk ligning kaldes en formligning økse 4 +bx 2 + c = 0 .

Den biquadratiske ligning reduceres til andengradsligning ved substitution altså

Vi får en andengradsligning:

Lad os finde rødderne og vende tilbage til erstatningen:

Eksempel 1:

Løs ligning x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Løsning:

Substitution: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. Rødderne af ligningen t 1 = -9 og t 2 = 4.

x 2 = -9 eller x 2 = 4.

Svar: Der er ingen rødder i den første ligning, men i den anden: x = ±2.

Eksempel 2:

Løs ligningen (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Løsning:

Udskiftning: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Ligningens rødder er t 1 = 9 og t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 eller (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 eller 2x – 1 = ±4.

Den første ligning har to rødder: x = 2 og x = -1, den anden har også to rødder: x = 2,5 og x = -1,5.

Svar: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) x 4 - 9 x 2 = 0; 2) 4 x 4 - x 2 \u003d 0;

1) x 4 + x 2 - 2 = 0;

2) x 4 - 3 x 2 - 4 = 0; 3) 9 x 4 + 8 x 2 - 1 = 0; 4) 20 x 4 - x 2 - 1 = 0.

Løs ligninger ved at vælge fra venstre side fuld firkant :

1) x 4 - 20 x 2 + 64 = 0; 2) x 4 - 13 x 2 + 36 = 0; 3) x 4 - 4 x 2 + 1 = 0; 4) x 4 + 2 x 2 +1 = 0.

! Husk kvadratet af summen og kvadratet af forskellen

Rationelt udtryk er et algebraisk udtryk, der består af tal og en variabel x ved hjælp af operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis r(x) er et rationelt udtryk, så ligningen r(x)=0 kaldet en rationel ligning.

Algoritme til løsning af en rationel ligning:

1. Flyt alle led i ligningen til den ene side.

2. Konverter denne del af ligningen til en algebraisk brøk p(x)/q(x)

3. Løs ligningen p(x)=0

4. For hver rod af ligningen p(x)=0 kontrollere, om den opfylder betingelsen q(x)≠0 eller ikke. Hvis ja, så er dette roden til den givne ligning; hvis ikke, så er det en uvedkommende rod og bør ikke indgå i svaret.

! Lad os huske løsningen på den rationelle brøkligning:

! For at løse ligninger er det nyttigt at huske de forkortede multiplikationsformler:

Hvis en ligning indeholder en variabel under kvadratrodstegnet, kaldes ligningen irrationel .

Metode til at kvadrere begge sider af en ligning- den vigtigste metode til løsning af irrationelle ligninger.

Efter at have løst den resulterende rationelle ligning, er det nødvendigt at kontrollere , luge ud i eventuelle uvedkommende rødder.

Svar: 5; 4

Et andet eksempel:

Undersøgelse:

Udtrykket har ingen betydning.

Svar: ingen løsninger.