Egenskaber for addition, multiplikation, subtraktion og division af heltal. Subtraktion af naturlige tal

En række resultater, der er iboende i denne handling, kan bemærkes. Disse resultater kaldes egenskaber ved addition af naturlige tal. I denne artikel vil vi analysere i detaljer egenskaberne ved tilføjelsen af ​​naturlige tal, skrive dem ved hjælp af bogstaver og give forklarende eksempler.

Sidenavigation.

Associativ egenskab ved addition af naturlige tal.

Nu giver vi et eksempel, der illustrerer den associative egenskab ved addition af naturlige tal.

Forestil dig en situation: 1 æble faldt fra det første æbletræ, og 2 æbler og 4 æbler mere faldt fra det andet æbletræ. Overvej nu følgende situation: 1 æble og 2 æbler mere faldt fra det første æbletræ, og 4 æbler faldt fra det andet æbletræ. Det er klart, at det samme antal æbler vil være på jorden i både det første og det andet tilfælde (hvilket kan verificeres ved genberegning). Det vil sige, at resultatet af at lægge tallet 1 til summen af ​​tallene 2 og 4 er lig med resultatet af at lægge summen af ​​tallene 1 og 2 til tallet 4.

Det betragtede eksempel giver os mulighed for at formulere den associative egenskab ved addition af naturlige tal: For at tilføje en given sum af to tal til et givet tal, kan du tilføje det første led af denne sum til dette tal og tilføje det andet led af denne sum til det opnåede resultat. Denne egenskab kan skrives med bogstaver som dette: a+(b+c)=(a+b)+c, hvor a , b og c er vilkårlige naturlige tal.

Bemærk venligst, at der i ligheden a+(b+c)=(a+b)+c er parentes "(" og ")". Parentes bruges i udtryk for at angive den rækkefølge, handlinger udføres i - handlinger i parentes udføres først (mere om dette i afsnittet). Med andre ord omslutter parenteser udtryk, hvis værdier evalueres først.

Som afslutning på dette afsnit bemærker vi, at den associative egenskab ved addition giver os mulighed for entydigt at bestemme additionen af ​​tre, fire og flere naturlige tal.

Egenskaben til at lægge nul og et naturligt tal, egenskaben at lægge nul til nul.

Vi ved, at nul IKKE er et naturligt tal. Så hvorfor besluttede vi at overveje additionsegenskaben nul og et naturligt tal i denne artikel? Det er der tre grunde til. For det første: denne egenskab bruges ved tilføjelse af naturlige tal i en kolonne. For det andet: denne egenskab bruges til at trække naturlige tal fra. For det tredje: Hvis vi overvejer, at nul betyder fravær af noget, så falder betydningen af ​​at tilføje nul og et naturligt tal sammen med betydningen af ​​at tilføje to naturlige tal.

Lad os udføre ræsonnementet, der vil hjælpe os med at formulere additionsegenskaben af ​​nul og et naturligt tal. Forestil dig, at der ikke er nogen genstande i boksen (med andre ord, der er 0 genstande i kassen), og der placeres et emne i den, hvor a er et hvilket som helst naturligt tal. Det vil sige tilføjet 0 og et emne. Det er tydeligt, at der efter denne handling er et emne i kassen. Derfor er ligheden 0+a=a sand.

På samme måde, hvis en boks indeholder et emne, og der tilføjes 0 elementer til det (det vil sige, at der ikke tilføjes nogen elementer), vil der efter denne handling være et emne i feltet. Så a+0=a.

Nu kan vi angive egenskaben ved addition af nul og et naturligt tal: summen af ​​to tal, hvoraf det ene er nul, er lig med det andet tal. Matematisk kan denne egenskab skrives som følgende lighed: 0+a=a eller a+0=a, hvor a er et vilkårligt naturligt tal.

Separat er vi opmærksomme på det faktum, at når man tilføjer et naturligt tal og nul, forbliver den kommutative egenskab ved addition sand, det vil sige a+0=0+a .

Lad os endelig formulere nul-nul additionsegenskaben (den er ret indlysende og behøver ikke yderligere kommentarer): summen af ​​to tal, der hver er nul, er nul. Det er, 0+0=0 .

Nu er det tid til at finde ud af, hvordan tilføjelsen af ​​naturlige tal udføres.

Bibliografi.

• Matematik. Eventuelle lærebøger for klasse 1, 2, 3, 4 på uddannelsesinstitutioner.
• Matematik. Eventuelle lærebøger for 5 klasser af uddannelsesinstitutioner.

Det er ret nemt at tilføje et tal til et andet. Overvej et eksempel, 4+3=7. Dette udtryk betyder, at tre enheder blev tilføjet til fire enheder, og som et resultat blev syv enheder opnået.
Tallene 3 og 4, som vi lagde sammen, kaldes vilkår. Og resultatet af at tilføje tallet 7 kaldes sum.

Sum er tilføjelse af tal. Plustegn "+".
I bogstavelig form ville dette eksempel se sådan ud:

a+b=c

Tillægskomponenter:
-en- sigt, b- vilkår, c- sum.
Hvis vi tilføjer 4 enheder til 3 enheder, vil vi som et resultat af addition få det samme resultat, det vil være lig med 7.

Fra dette eksempel konkluderer vi, at uanset hvordan vi bytter vilkårene, forbliver svaret uændret:

Denne egenskab af termer kaldes kommutativ additionslov.

Kommutativ lov om addition.

Summen ændres ikke ved at ændre vilkårenes steder.

I bogstavelig notation ser den kommutative lov sådan ud:

a+b=b+-en

Hvis vi betragter tre led, for eksempel, tag tallene 1, 2 og 4. Og vi udfører tilføjelsen i denne rækkefølge, først tilføjer vi 1 + 2, og derefter tilføjer vi til den resulterende sum af 4, får vi udtrykket:

(1+2)+4=7

Vi kan gøre det modsatte, først tilføje 2 + 4, og derefter tilføje 1 til den resulterende mængde. Vores eksempel vil se sådan ud:

1+(2+4)=7

Svaret forbliver det samme. For begge typer tilføjelser af det samme eksempel er svaret det samme. Vi konkluderer:

(1+2)+4=1+(2+4)

Denne tilføjelsesegenskab kaldes associativ lov om addition.

Den kommutative og associative lov om addition virker for alle ikke-negative tal.

Associativ lov om tilføjelse.

For at tilføje et tredje tal til summen af ​​to tal, kan du tilføje summen af ​​det andet og tredje tal til det første tal.

(a+b)+c=a+(b+c)

Den associative lov fungerer for et vilkårligt antal vilkår. Vi bruger denne lov, når vi skal tilføje tal i en passende rækkefølge. Lad os f.eks. tilføje tre numre 12, 6, 8 og 4. Det ville være mere praktisk først at lægge 12 og 8 sammen og derefter lægge summen af ​​to numre 6 og 4 til den resulterende sum.
(12+8)+(6+4)=30

Tilføjelsesejendom med nul.

Når du lægger et tal til nul, er resultatet det samme tal.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

I et bogstaveligt udtryk ville addition med nul se sådan ud:

a+0=-en
0+ a=-en

Spørgsmål om tilføjelse af naturlige tal:
Tilføjelsestabel, kompilér og se, hvordan den kommutative lovs egenskab fungerer?
En tilføjelsestabel fra 1 til 10 kan se sådan ud:

Den anden version af tilføjelsestabellen.

Hvis vi ser på additionstabellerne, kan vi se, hvordan den kommutative lov fungerer.

Hvad vil summen være i udtrykket a + b \u003d c?
Svar: Summen er summen af ​​vilkårene. a+b og c.

Hvad vil være i udtrykket a + b \u003d c udtryk?
Svar: a og b. Begreberne er de tal, som vi tilføjer.

Hvad sker der med et tal, hvis du lægger 0 til det?
Svar: intet, tallet ændres ikke. Når det lægges til nul, forbliver tallet det samme, fordi nul er fraværet af enere.

Hvor mange led skal der være i eksemplet, for at den associative lov om addition kan anvendes?
Svar: fra tre terminer og mere.

Skrive den kommutative lov ned i bogstavelige termer?
Svar: a+b=b+a

Eksempler på opgaver.
Eksempel #1:
Skriv svaret ned for de præsenterede udtryk: a) 15+7 b) 7+15
Svar: a) 22 b) 22

Eksempel #2:
Anvend kombinationsloven på vilkårene: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Svar: 20.

Eksempel #3:
Løs udtrykket:
a) 5921+0 b) 0+5921
Løsning:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Begrebet subtraktion forstås bedst med et eksempel. Du beslutter dig for at drikke te med slik. Der var 10 slik i vasen. Du spiste 3 slik. Hvor mange slik er der tilbage i vasen? Hvis vi trækker 3 fra 10, vil 7 slik blive tilbage i vasen. Lad os skrive problemet matematisk:

Lad os se nærmere på indlægget:
10 er det tal, som vi trækker fra eller som vi reducerer, derfor kaldes det reduceret.
3 er det tal, vi trækker fra. Derfor hedder det selvrisiko.
7 - dette er resultatet af subtraktion eller det kaldes også forskel. Forskellen viser, hvor meget det første tal (10) er større end det andet tal (3), eller hvor meget det andet tal (3) er mindre end det første tal (10).

Er du i tvivl om du har fundet forskellen rigtigt, skal du gøre verifikation. Tilføj det andet tal til forskellen: 7+3=10

Når l trækkes fra, kan minuenden ikke være mindre end subtrahenden.

Vi drager en konklusion ud fra det, der er blevet sagt. Subtraktion- dette er en handling, ved hjælp af hvilken det andet led findes ved summen og et af led.

I bogstavelig form vil dette udtryk se sådan ud:

en -b=c

a - reduceret,
b - fratrukket,
c er forskellen.

Egenskaber ved at trække en sum fra et tal.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Eksemplet kan løses på to måder. Den første måde er at finde summen af ​​tal (3 + 4), og derefter trække fra det samlede tal (13). Den anden måde er at trække det første led (3) fra det samlede antal (13), og derefter trække det andet led (4) fra den resulterende forskel.

I bogstavelig form vil egenskaben til at trække summen fra et tal se sådan ud:
a - (b + c) = a - b - c

Egenskaben ved at trække et tal fra en sum.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

For at trække et tal fra summen, kan du trække dette tal fra et led og derefter lægge det andet led til resultatet af forskellen. Under betingelsen vil udtrykket være større end det fratrukne tal.

I bogstavelig form vil egenskaben til at trække et tal fra en sum se sådan ud:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(et +b) —c=et + (b - c), forudsat b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c \u003d (a - c) + b, forudsat en > c

Subtraktionsegenskab med nul.

10 — 0 = 10
a - 0 = a

Hvis du trækker nul fra tallet så bliver det samme tal.

10 — 10 = 0
en -a = 0

Hvis du trækker det samme tal fra et tal så bliver det nul.

Relaterede spørgsmål:
I eksemplet 35 - 22 = 13, navngiv minuend, subtrahend og difference.
Svar: 35 - reduceret, 22 - fratrukket, 13 - forskel.

Hvis tallene er de samme, hvad er forskellen så?
Svar: nul.

Gør en subtraktionskontrol 24 - 16 = 8?
Svar: 16 + 8 = 24

Subtraktionstabel for naturlige tal fra 1 til 10.

Eksempler på opgaver om emnet "Subtraktion af naturlige tal."
Eksempel #1:
Indsæt det manglende tal: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Svar: a) 0 b) 5

Eksempel #2:
Er det muligt at trække fra: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Svar: a) nej b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) nej

Eksempel #3:
Læs udtrykket: 20 - 8
Svar: "Stræk otte fra tyve" eller "Stræk otte fra tyve." Udtal ordene korrekt

Vi har defineret addition, multiplikation, subtraktion og division af heltal. Disse handlinger (operationer) har en række karakteristiske resultater, som kaldes egenskaber. I denne artikel vil vi overveje de grundlæggende egenskaber ved addition og multiplikation af heltal, hvorfra alle andre egenskaber ved disse operationer følger, såvel som egenskaberne ved subtraktion og division af heltal.

Sidenavigation.

Heltalsaddition har flere andre meget vigtige egenskaber.

En af dem er relateret til eksistensen af ​​nul. Denne egenskab for heltalsaddition angiver det Tilføjelse af nul til et helt tal ændrer ikke dette tal. Lad os skrive denne egenskab for addition ved hjælp af bogstaverne: a+0=a og 0+a=a (denne lighed er gyldig på grund af den kommutative egenskab af addition), a er et hvilket som helst heltal. Du hører måske, at det heltal nul desuden kaldes det neutrale element. Lad os give et par eksempler. Summen af ​​et heltal −78 og nul er −78 ; hvis vi tilføjer et positivt heltal 999 til nul, får vi tallet 999 som et resultat.

Vi vil nu formulere en anden egenskab ved heltalsaddition, som er relateret til eksistensen af ​​et modsat tal for ethvert heltal. Summen af ​​ethvert helt tal med dets modsatte tal er nul. Her er den bogstavelige form af denne egenskab: a+(−a)=0 , hvor a og −a er modsatte heltal. For eksempel er summen 901+(−901) nul; på samme måde er summen af ​​de modsatte heltal −97 og 97 nul.

Grundlæggende egenskaber ved multiplikation af heltal

Multiplikationen af ​​heltal har alle egenskaberne ved multiplikation af naturlige tal. Vi lister de vigtigste af disse egenskaber.

Ligesom nul er et neutralt heltal med hensyn til addition, er et et neutralt heltal med hensyn til multiplikation af heltal. Det er, at gange et helt tal med et ændrer det ikke det tal, der ganges. Så 1·a=a , hvor a er et hvilket som helst heltal. Den sidste lighed kan omskrives som en 1=a, dette giver os mulighed for at lave den kommutative egenskab for multiplikation. Lad os tage to eksempler. Produktet af hele tallet 556 gange 1 er 556; produktet af en og et negativt heltal -78 er -78.

Den næste egenskab ved heltalsmultiplikation er relateret til multiplikation med nul. Resultatet af at gange et hvilket som helst heltal a med nul er nul, det vil sige en 0=0. Ligheden 0·a=0 er også sand på grund af den kommutative egenskab ved multiplikation af heltal. I et bestemt tilfælde, når a=0, er produktet af nul og nul lig med nul.

For multiplikation af heltal er egenskaben modsat den foregående også sand. Det hævder den produktet af to heltal er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul. I bogstavelig form kan denne egenskab skrives som følger: a·b=0 , hvis enten a=0 eller b=0 , eller både a og b er lig med nul på samme tid.

Distributiv egenskab ved multiplikation af heltal med hensyn til addition

Sammen giver addition og multiplikation af heltal os mulighed for at overveje den fordelende egenskab ved multiplikation med hensyn til addition, som forbinder de to angivne handlinger. At bruge addition og multiplikation sammen åbner yderligere muligheder, som vi ville mangle, hvis vi betragtede addition adskilt fra multiplikation.

Så den fordelende egenskab ved multiplikation med hensyn til addition siger, at produktet af et heltal a og summen af ​​to heltal a og b er lig med summen af ​​produkterne af a b og a c , dvs. a (b+c)=a b+a c. Den samme egenskab kan skrives i en anden form: (a+b) c=a c+b c .

Den distributive egenskab ved multiplikation af heltal med hensyn til addition, sammen med den associative egenskab for addition, gør det muligt at bestemme multiplikationen af ​​et heltal med summen af ​​tre eller flere heltal, og derefter multiplikationen af ​​summen af ​​heltal med sum.

Bemærk også, at alle andre egenskaber ved addition og multiplikation af heltal kan fås fra de egenskaber, vi har angivet, det vil sige, at de er konsekvenser af ovenstående egenskaber.

Heltals subtraktion egenskaber

Fra den opnåede lighed såvel som fra egenskaberne ved addition og multiplikation af heltal følger følgende egenskaber ved subtraktion af heltal (a, b og c er vilkårlige heltal):

• Heltalssubtraktion har generelt IKKE den kommutative egenskab: a−b≠b−a .
• Forskellen mellem lige store heltal er lig nul: a−a=0 .
• Egenskaben til at trække summen af ​​to heltal fra et givet heltal: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Egenskaben til at trække et heltal fra summen af ​​to heltal: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Den fordelende egenskab ved multiplikation med hensyn til subtraktion: a (b−c)=a b−a c og (a−b) c=a c−b c.
• Og alle andre egenskaber ved heltalssubtraktion.

Heltalsdelingsegenskaber

Ved at skændes om betydningen af ​​division af heltal fandt vi ud af, at division af heltal er det omvendte af multiplikation. Vi gav følgende definition: divisionen af ​​heltal er fundet af en ukendt faktor ved et kendt produkt og en kendt faktor. Det vil sige, at vi kalder heltal c for kvotienten af ​​heltal a divideret med heltal b, når produktet c·b er lig med a .

Denne definition, såvel som alle egenskaberne ved operationer på heltal betragtet ovenfor, giver os mulighed for at fastslå gyldigheden af ​​følgende egenskaber ved division af heltal:

• Intet heltal kan divideres med nul.
• Egenskaben til at dividere nul med et vilkårligt ikke-nul heltal a : 0:a=0 .
• Egenskab til at dividere lige store heltal: a:a=1, hvor a er et hvilket som helst ikke-nul heltal.
• Egenskaben til at dividere et vilkårligt heltal a med et: a:1=a .
• Generelt har division af heltal IKKE den kommutative egenskab: a:b≠b:a .
• Egenskaberne ved at dividere summen og forskellen af ​​to heltal med et heltal er: (a+b):c=a:c+b:c og (a−b):c=a:c−b:c , hvor a , b og c er heltal, således at både a og b er delelige med c, og c er ikke-nul.
• Egenskaben ved at dividere produktet af to heltal a og b med et heltal, der ikke er nul c : (a b):c=(a:c) b, hvis a er deleligt med c ; (a b):c=a (b:c) hvis b er delelig med c; (a b):c=(a:c) b=a (b:c), hvis både a og b er delelige med c .
• Egenskaben til at dividere et heltal a med produktet af to heltal b og c (tal a , b og c, således at det er muligt at dividere a med b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c) ) b .
• Enhver anden egenskab ved heltalsdeling.

Emnet, som denne lektion er afsat til, er "Additionsegenskaber." I det vil du blive bekendt med de kommutative og associative egenskaber ved addition, og undersøge dem med specifikke eksempler. Find ud af, hvornår du kan bruge dem til at gøre beregningsprocessen nemmere. Testcases vil hjælpe med at bestemme, hvor godt du har lært materialet.

Lektion: Tilføjelsesegenskaber

Se nærmere på udtrykket:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Vi skal finde dens værdi. Lad os gøre det.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Resultatet af udtrykket 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Fortæl mig, var det praktisk at beregne? Det var ikke særlig bekvemt at beregne. Se igen på tallene i dette udtryk. Er det muligt at bytte dem, så beregningerne er mere bekvemme?

Hvis vi omarrangerer tallene anderledes:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Det endelige resultat af udtrykket er 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vi ser, at resultaterne af udtrykkene er de samme.

Begreberne kan ombyttes, hvis det er praktisk til beregninger, og værdien af ​​summen vil ikke ændre sig fra dette.

Der er en lov i matematik: Kommutativ lov om addition. Der står, at summen ikke ændrer sig fra omlægningen af ​​vilkårene.

Onkel Fyodor og Sharik skændtes. Sharik fandt værdien af ​​udtrykket, som det var skrevet, og onkel Fjodor sagde, at han kendte en anden, mere bekvem måde at regne på. Kan du se en mere bekvem måde at beregne på?

Bolden løste udtrykket, som det er skrevet. Og onkel Fyodor sagde, at han kender loven, der tillader dig at ændre vilkårene, og byttede tallene 25 og 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vi ser, at resultatet forbliver det samme, men udregningen er blevet meget nemmere.

Se på følgende udtryk og læs dem.

6 + (24 + 51) = 81 (til 6 lægges summen af ​​24 og 51 sammen)
Er der en bekvem måde at regne på?
Vi ser, at hvis vi lægger 6 og 24 sammen, får vi et rundt tal. Det er altid nemmere at tilføje noget til et rundt tal. Tag i parentes summen af ​​tallene 6 og 24.
(6 + 24) + 51 = …
(læg 51 til summen af ​​tallene 6 og 24)

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket og se, om værdien af ​​udtrykket har ændret sig?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vi ser, at værdien af ​​udtrykket forbliver den samme.

Lad os øve os med endnu et eksempel.

(27 + 19) + 1 = 47 (læg 1 til summen af ​​tallene 27 og 19)
Hvilke tal kan bekvemt grupperes på en sådan måde, at der opnås en bekvem måde?
Du gættede, at det er tallene 19 og 1. Lad os tage summen af ​​tallene 19 og 1 i parentes.
27 + (19 + 1) = …
(til 27 læg summen af ​​tallene 19 og 1)
Lad os finde værdien af ​​dette udtryk. Vi husker, at handlingen i parentes udføres først.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Betydningen af ​​vores udtryk forbliver den samme.

Associativ lov om tilføjelse: to tilstødende led kan erstattes af deres sum.

Lad os nu øve os i at bruge begge love. Vi skal beregne værdien af ​​udtrykket:

38 + 14 + 2 + 6 = …

For det første bruger vi den kommutative egenskab addition, som giver os mulighed for at bytte termer. Lad os bytte vilkår 14 og 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Nu bruger vi den associative egenskab, som giver os mulighed for at erstatte to naboled med deres sum.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Først finder vi ud af værdien af ​​summen af ​​38 og 2.

Nu er summen 14 og 6.

3. Festival af pædagogiske ideer "Åben lektion" ().

gøre derhjemme

1. Beregn summen af ​​led på forskellige måder:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Beregn resultaterne af udtrykkene:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Beregn beløbet på en bekvem måde:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13