Tabelværdier af funktioner. Lov om sandsynlighedsfordeling for en diskret stokastisk variabel

2.1. Funktion (sandsynlighedsintegral) af Laplace ligner:

Grafen for Laplace-funktionen er vist i Fig.5.

Fungere F(x) er tabuleret (se tabel 1 i bilagene). For at bruge denne tabel skal du vide egenskaber ved Laplace-funktionen:

1) Funktion Ф( x) ulige: F(-x)= -F(x).

2) Funktion F(x) er monotont stigende.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. I praksis kan vi antage, at for x³5 funktionen F(x)=0,5; for x £ -5 funktionen F(x)=-0,5.

2.2. Der er andre former for Laplace-funktionen:

og

I modsætning til disse former er funktionen F(x) kaldes standard- eller normaliseret Laplace-funktion. Det er relateret til andre former ved relationer:

EKSEMPEL 2. Kontinuerlig tilfældig variabel x har en normalfordelingslov med parametre: m=3, s=4. Find sandsynligheden for, at den stokastiske variabel som et resultat af testen x: a) vil tage værdien indeholdt i intervallet (2; 6); b) vil tage en værdi mindre end 2; c) vil tage en værdi større end 10; d) afvige fra den matematiske forventning med et beløb, der ikke overstiger 2. Illustrer løsningen af ​​problemet grafisk.

Løsning. a) Sandsynligheden for, at en normal stokastisk variabel x falder inden for det angivne interval ( a,b), hvor -en=2 og b=6 er lig med:

Værdier af Laplace-funktionen F(x) fastsat i henhold til tabellen i bilaget under hensyntagen hertil F(–x)= –F(x).

b) Sandsynligheden for, at en normal stokastisk variabel x vil tage en værdi mindre end 2, er lig med:

c) Sandsynligheden for, at en normal stokastisk variabel x tager en værdi større end 10, er lig med:

d) Sandsynligheden for, at en normal stokastisk variabel x d=2 er lig med:

Fra et geometrisk synspunkt er de beregnede sandsynligheder numerisk lig med de skraverede områder under normalkurven (se fig. 6).

Ris. 6. Normalkurve for en stokastisk variabel x~N(3;4)
EKSEMPEL 3. Skaftdiameteren måles uden systematiske (et tegn) fejl. Tilfældige målefejl er underlagt normalfordelingsloven med en standardafvigelse på 10 mm. Find sandsynligheden for, at målingen foretages med en fejl på højst 15 mm i absolut værdi.

Løsning. Den matematiske forventning om tilfældige fejl er nul m x afvige fra den matematiske forventning med et beløb mindre end d=15 er lig med:

EKSEMPEL 4. Maskinen laver bolde. Bolden anses for gyldig, hvis afvigelsen x kuglediameteren fra designstørrelsen er mindre end 0,7 mm i absolut værdi. Forudsat at den stokastiske variabel x normalfordelt med en standardafvigelse på 0,4 mm, find hvor mange gode kugler der i gennemsnit vil være blandt 100 fremstillede.

Løsning. Tilfældig værdi x- kuglediameterens afvigelse fra designstørrelsen. Den matematiske forventning til afvigelsen er nul, dvs. M(x)=m=0. Derefter sandsynligheden for, at den normale stokastiske variabel x afvige fra den matematiske forventning med et beløb mindre end d\u003d 0,7, er lig med:

Det følger, at cirka 92 bolde ud af 100 vil være gode.

EKSEMPEL 5. Bevis reglen "3 s».

Løsning. Sandsynligheden for, at en normal stokastisk variabel x afvige fra den matematiske forventning med et beløb mindre end d= 3s, er lig med:

EKSEMPEL 6. Tilfældig værdi x normalfordelt med matematisk forventning m=10. Hitsandsynlighed x i intervallet (10, 20) er 0,3. Hvad er sandsynligheden for at ramme x ind i intervallet (0, 10)?

Løsning. En normal kurve er symmetrisk omkring en ret linje x=m=10, så de områder, der er afgrænset over af normalkurven og nedenunder af intervallerne (0, 10) og (10, 20), er lig med hinanden. Da områderne numerisk er lig med sandsynligheden for at ramme x i det passende interval.

Lokale og integrale Laplace-sætninger

Denne artikel er en naturlig fortsættelse af lektionen om uafhængige tests hvor vi mødtes Bernoulli formel og udarbejdede typiske eksempler om emnet. De lokale og integralsætninger fra Laplace (Moivre-Laplace) løser et lignende problem med den forskel, at de kan anvendes til et tilstrækkeligt stort antal uafhængige tests. Ordene "lokal", "integral", "sætninger" behøver ikke at blive dæmpet op - materialet mestres med samme lethed, som Laplace klappede Napoleons krøllede hoved. Derfor vil vi uden komplekser og indledende bemærkninger straks overveje et demo-eksempel:

Mønten kastes 400 gange. Find sandsynligheden for, at hoveder kommer op 200 gange.

Ved karakteristiske træk, her er det nødvendigt at anvende Bernoullis formel . Lad os huske betydningen af ​​disse bogstaver:

er sandsynligheden for, at en tilfældig hændelse forekommer præcis én gang i uafhængige forsøg;
– binomial koefficient;
er sandsynligheden for, at en hændelse finder sted i hvert forsøg;

Til vores opgave:
er det samlede antal prøver;
- antallet af kast, hvor ørnen skal falde ud;

Sandsynligheden for, at 400 møntkast resulterer i præcis 200 hoveder er således: ...Stop, hvad skal man så gøre? Mikroberegneren (i hvert fald min) klarede ikke 400. grad og kapitulerede til factorials. Men jeg havde ikke lyst til at tælle produktet igennem =) Lad os bruge Excel standard funktion, som formåede at bearbejde monsteret:.

Jeg gør opmærksom på, hvad der er modtaget præcis værdi, og en sådan løsning ser ud til at være ideel. Ved første øjekast. Her er nogle overbevisende modargumenter:

- For det første er softwaren muligvis ikke ved hånden;
- og for det andet vil løsningen se ikke-standard ud (med stor sandsynlighed bliver du nødt til at lave det om);

Derfor, kære læsere, i den nærmeste fremtid venter vi på:

Lokal Laplace-sætning

Hvis sandsynligheden for forekomsten af ​​en tilfældig hændelse i hvert forsøg er konstant, så er sandsynligheden for, at hændelsen vil forekomme nøjagtigt én gang i forsøgene, omtrent lig med:
, hvor .

I dette tilfælde, jo mere, jo bedre vil den beregnede sandsynlighed tilnærme den nøjagtige opnåede værdi (i det mindste hypotetisk) efter Bernoulli-formlen. Det anbefalede minimumsantal af test er cirka 50-100, ellers kan resultatet være langt fra sandheden. Derudover virker det lokale Laplace-sætning jo bedre, jo tættere sandsynligheden er på 0,5, og omvendt - det giver en signifikant fejl for værdier tæt på nul eller én. Af denne grund et andet kriterium for effektiv brug af formlen er opfyldelsen af ​​uligheden () .

Så, for eksempel, hvis , så er anvendelsen af ​​Laplaces sætning for 50 forsøg berettiget. Men hvis og , så tilnærmelsen (til nøjagtig værdi) vil være dårligt.

Om hvorfor og om en særlig funktion vil vi tale i klassen om normal sandsynlighedsfordeling, men for nu har vi brug for den formelle-beregningsmæssige side af problemet. Især er et vigtigt faktum paritet denne funktion: .

Lad os formalisere forholdet med vores eksempel:

Opgave 1

Mønten kastes 400 gange. Find sandsynligheden for, at hoveder lander nøjagtigt:

a) 200 gange;
b) 225 gange.

Hvor skal man begynde løsning? Lad os først skrive de kendte mængder ned, så de er foran vores øjne:

er det samlede antal uafhængige tests;
er sandsynligheden for at få hoveder i hvert kast;
er sandsynligheden for at få haler.

a) Find sandsynligheden for, at der i en serie på 400 kast falder hoveder ud præcis én gang. På grund af det store antal tests bruger vi den lokale Laplace-sætning: , hvor .

I det første trin beregner vi den nødvendige værdi af argumentet:

Dernæst finder vi den tilsvarende værdi af funktionen: . Dette kan gøres på flere måder. Først og fremmest opstår der selvfølgelig direkte beregninger:

Afrunding udføres normalt til 4 decimaler.

Ulempen ved direkte beregning er, at ikke alle mikroberegnere fordøjer eksponenten, desuden er beregningerne ikke særlig behagelige og tager tid. Hvorfor lide det? Brug terver lommeregner (punkt 4) og få værdi med det samme!

Derudover er der funktionsværditabel, som er tilgængelig i næsten enhver bog om sandsynlighedsteori, især i en lærebog V.E. Gmurman. Download, hvem har ikke downloadet endnu - der er generelt mange nyttige ting ;-) Og sørg for at lære at bruge bordet (lige nu!)- passende computerteknologi er måske ikke altid lige ved hånden!

På den sidste fase anvender vi formlen :
er sandsynligheden for, at der i 400 kast med en mønt vil komme op præcis 200 gange.

Som du kan se, er det opnåede resultat meget tæt på den nøjagtige værdi beregnet ud fra Bernoulli formel.

b) Find sandsynligheden for, at hoveder kommer op præcis én gang i en serie på 400 forsøg. Vi bruger den lokale Laplace-sætning. En, to, tre - og du er færdig:

er den ønskede sandsynlighed.

Svar:

Det næste eksempel, som mange har gættet, er dedikeret til barsel - og det er op til dig selv at bestemme :)

Opgave 2

Sandsynligheden for at få en dreng er 0,52. Find sandsynligheden for, at der blandt 100 nyfødte vil være nøjagtigt: a) 40 drenge, b) 50 drenge, c) 30 piger.

Afrund resultaterne til 4 decimaler.

... Udtrykket "uafhængige tests" lyder interessant her =) Forresten, den virkelige statistisk sandsynlighed fødselsraten for en dreng i mange regioner i verden varierer fra 0,51 til 0,52.

Et eksempel på en opgave i slutningen af ​​lektionen.

Alle bemærkede, at tallene viser sig at være ret små, og det burde ikke være vildledende - vi taler trods alt om sandsynligheden for individuelle, lokal værdier (deraf navnet på sætningen). Og der er mange sådanne værdier, og billedligt talt burde sandsynligheden "være nok for alle". Faktisk mange begivenheder praktisk talt umuligt.

Lad mig forklare ovenstående ved at bruge et eksempel med mønter: I en serie på fire hundrede forsøg kan hoveder teoretisk falde fra 0 til 400 gange, og disse begivenheder dannes fuld gruppe:

De fleste af disse værdier repræsenterer dog en ringe mængde, så for eksempel er sandsynligheden for, at hovederne falder ud 250 gange allerede en ud af ti milliontedel:. Om værdier som tier taktfuldt =)

På den anden side skal beskedne resultater ikke undervurderes: hvis det kun handler om , så er sandsynligheden for, at hoveder falder, f.eks. 220 til 250 gange, vil være meget mærkbar.

Lad os nu tænke: hvordan beregner man denne sandsynlighed? Tæl ikke med additionssætning for sandsynligheden for uforenelige hændelser beløb:

Meget nemmere disse værdier forene. Og foreningen af ​​noget kaldes som bekendt integration:

Laplace integralsætning

Hvis sandsynligheden for forekomst af en tilfældig hændelse i hvert forsøg er konstant, så er sandsynligheden det faktum, at i forsøgene vil begivenheden komme ikke færre og ikke flere gange (fra til tider inklusive), er omtrent lig med:

I dette tilfælde skal antallet af forsøg selvfølgelig også være stort nok, og sandsynligheden er ikke for lille/høj (rundt regnet), ellers vil tilnærmelsen være uvigtig eller dårlig.

Funktionen kaldes Laplace funktion, og dens værdier er igen opsummeret i en standardtabel ( find og lær hvordan du arbejder med det!!). Mikroberegneren hjælper ikke her, da integralet ikke kan trækkes tilbage. Men i Excel er der en tilsvarende funktionalitet - brug punkt 5 design layout.

I praksis er de mest almindelige værdier:
- Skriv det ned i din notesbog.
Startende fra , kan vi antage, at , eller, hvis skrevet mere strengt:

Derudover Laplace-funktionen ulige: , og denne egenskab udnyttes aktivt i opgaver, der allerede har ventet på os:

Opgave 3

Sandsynligheden for at skytten rammer målet er 0,7. Find sandsynligheden for, at målet med 100 skud bliver ramt fra 65 til 80 gange.

Jeg hentede det mest realistiske eksempel, ellers fandt jeg flere opgaver her, hvor skytten laver tusindvis af skud =)

Løsning: i dette problem taler vi om gentagne uafhængige tests, og deres antal er ret stort. Ifølge betingelsen er det nødvendigt at finde sandsynligheden for, at målet bliver ramt mindst 65, men ikke mere end 80 gange, hvilket betyder, at det er nødvendigt at bruge Laplace-integralsætningen: , hvor

For nemheds skyld omskriver vi de originale data i en kolonne:
- samlede skud;
- det mindste antal hits;
- det maksimale antal hits;
- sandsynligheden for at ramme målet med hvert skud;
- sandsynligheden for en miss med hvert skud.

Derfor vil Laplaces sætning give en god tilnærmelse.

Lad os beregne værdierne af argumenterne:

Jeg gør opmærksom på, at værket ikke behøver at være helt udtrukket under roden (da forfatterne af problemer kan lide at "justere" tallene)- uden skygge af tvivl udtrækker vi roden og runder resultatet; Jeg plejede at efterlade 4 decimaler. Men de opnåede værdier er normalt afrundet til 2 decimaler - denne tradition kommer fra funktionsværditabeller, hvor argumenterne præsenteres i denne form.

Brug ovenstående tabel eller terver design layout (punkt 5).
Som en skriftlig kommentar råder jeg dig til at sætte følgende sætning: vi finder værdierne af funktionen i henhold til den tilsvarende tabel:

- sandsynligheden for, at målet med 100 skud bliver ramt fra 65 til 80 gange.

Sørg for at bruge det mærkelige ved funktionen! For en sikkerheds skyld vil jeg skrive i detaljer:

Faktum er, at funktionsværditabel indeholder kun positivt "x", og vi arbejder (i hvert fald ifølge legenden) med et bord!

Svar:

Resultatet afrundes oftest til 4 decimaler. (igen i henhold til tabelformatet).

For en selvstændig løsning:

Opgave 4

Der er 2500 lamper i bygningen, sandsynligheden for at hver af dem tændes om aftenen er 0,5. Find sandsynligheden for, at der tændes mindst 1250 og højst 1275 lamper om aftenen.

Et eksempel på en prikken over i'et i slutningen af ​​lektionen.

Det skal bemærkes, at de opgaver, der overvejes, meget ofte findes i en "upersonlig" form, for eksempel:

Der udføres et eksperiment, hvor en tilfældig hændelse kan forekomme med en sandsynlighed på 0,5. Forsøget gentages under uændrede forhold 2500 gange. Bestem sandsynligheden for, at begivenheden i 2500 eksperimenter vil forekomme fra 1250 til 1275 gange

Og lignende formulering gennem taget. På grund af de stereotype opgaver søges tilstanden ofte tilsløret - dette er den "eneste chance" for på en eller anden måde at diversificere og komplicere løsningen:

Opgave 5

1000 studerende studerer på instituttet. Spisestuen har 105 siddepladser. Hver elev går i cafeteriet i den store pause med en sandsynlighed på 0,1. Hvad er sandsynligheden for, at på en typisk skoledag:

a) spisestuen vil ikke være fyldt mere end to tredjedele;
b) der ikke er pladser nok til alle.

Jeg henleder din opmærksomhed på den væsentlige klausul "på en REGELMÆSSIG skoledag" - den sikrer den relative uforanderlighed af situationen. Efter ferien kan der komme markant færre studerende på instituttet, og en sulten delegation vil dukke ned på “Åbne Døres Dag” =) Det vil sige, at på en “usædvanlig” dag vil sandsynligheden være markant forskellige.

Løsning: vi bruger Laplaces integralsætning, hvor

I denne opgave:
– det samlede antal studerende på instituttet;
- sandsynligheden for, at eleven går i kantinen ved en stor pause;
er sandsynligheden for den modsatte begivenhed.

a) Beregn, hvor mange pladser der udgør to tredjedele af det samlede antal: pladser

Lad os finde sandsynligheden for, at kantinen på en typisk skoledag ikke vil være fyldt med mere end to tredjedele. Hvad betyder det? Det betyder, at der kommer fra 0 til 70 personer til det store gennembrud. Det, at der ikke kommer nogen eller kun få elever - der er arrangementer praktisk talt umuligt, for at anvende Laplace-integralsætningen bør disse sandsynligheder dog stadig tages i betragtning. På denne måde:

Lad os beregne de tilsvarende argumenter:

Som resultat:

- sandsynligheden for, at kantinen på en typisk skoledag ikke er fyldt med mere end to tredjedele.

Påmindelse : når Laplace-funktionen anses for at være lig med .

Knus dog =)

b) Begivenhed "Der er ikke pladser nok til alle" består i, at der kommer fra 106 til 1000 mennesker i spisestuen i en stor pause (vigtigst, forsegl godt =)). Det er tydeligt, at det høje fremmøde er utroligt, men ikke desto mindre: .

At tælle argumenterne:

Således er sandsynligheden for, at der ikke vil være pladser nok til alle:

Svar:

Lad os nu fokusere på én vigtig nuance metode: når vi udfører beregninger på et særskilt afsnit, så er alt "skyfrit" - beslut i henhold til den overvejede skabelon. Men hvis det overvejes komplet gruppe af arrangementer skal vise en vis nøjagtighed. Lad mig forklare dette punkt ved at bruge eksemplet på det netop analyserede problem. I afsnittet "være" fandt vi sandsynligheden for, at der ikke vil være pladser nok til alle. Yderligere, i henhold til samme skema, beregner vi:
- sandsynligheden for, at der er plads nok.

Fordi disse begivenheder modsatte, så skal summen af ​​sandsynligheder være lig med én:

Hvad er der galt? – alt ser ud til at være logisk her. Pointen er, at Laplace-funktionen er sammenhængende, men det tog vi ikke hensyn til interval fra 105 til 106. Det var her stykket 0,0338 forsvandt. Derfor med samme standardformel skal beregnes:

Nå, eller endnu nemmere:

Spørgsmålet opstår: hvad hvis vi FØRST fandt ? Så vil der være en anden version af løsningen:

Men hvordan kan det være?! – på to måder opnås forskellige svar! Det er enkelt: Laplaces integralsætning er en metode omtrentlig beregninger, og derfor er begge veje acceptable.

For mere nøjagtige beregninger, brug Bernoulli formel og for eksempel excel-funktionen BINOMDIST. Som resultat dens anvendelse vi får:

Og jeg udtrykker min taknemmelighed til en af ​​de besøgende på siden, der gjorde opmærksom på denne subtilitet - den faldt ud af mit synsfelt, da studiet af en komplet gruppe begivenheder sjældent findes i praksis. De, der ønsker det, kan sætte sig ind i

En af de mest berømte ikke-elementære funktioner, der bruges i matematik, i teorien om differentialligninger, i statistik og i sandsynlighedsteori er Laplace-funktionen. At løse problemer med det kræver betydelig forberedelse. Lad os finde ud af, hvordan du kan beregne denne indikator ved hjælp af Excel-værktøjer.

Laplace-funktionen har en bred anvendt og teoretisk anvendelse. For eksempel bruges det ret ofte til at løse differentialligninger. Dette udtryk har et andet tilsvarende navn - sandsynlighedsintegralet. I nogle tilfælde er grundlaget for løsningen opbygningen af ​​en værditabel.

Operatør NORM.ST.DIST

I Excel løses den angivne opgave ved hjælp af operatoren NORM.ST.DIST. Dens navn er en forkortelse for udtrykket "normal standardfordeling". Da dens hovedopgave er at returnere standard normalintegralfordelingen til den valgte celle. Denne operatør tilhører den statistiske kategori af standard Excel-funktioner.

I Excel 2007 og tidligere blev denne erklæring kaldt NORMSTRAST. Af kompatibilitetsformål efterlades den også i moderne versioner af applikationer. Men alligevel anbefaler de brugen af ​​en mere avanceret analog - NORM.ST.DIST.

Operatør syntaks NORM.ST.DIST som følger:

NORM.ST.FORDELING(z;integral)

Udgået operatør NORMSTRAST er skrevet sådan her:

NORMSFORDELING(z)

Som du kan se, i den nye version til det eksisterende argument Z argument tilføjet "Integral". Det skal bemærkes, at hvert argument er påkrævet.

Argument Z angiver den numeriske værdi, som fordelingen plottes for.

Argument "Integral" er en boolesk værdi, der kan repræsenteres "RIGTIGT" ("en") eller "FALSK" («0») . I det første tilfælde returneres integralfordelingsfunktionen til den specificerede celle, og i det andet tilfælde den vægtede fordelingsfunktion.

Løsningen af ​​problemet

For at udføre den nødvendige beregning på en variabel anvendes følgende formel:

NORM.ST.FORDELING(z;integral(1))-0,5

Lad os nu se på et specifikt eksempel ved hjælp af operatoren NORM.ST.DIST at løse et specifikt problem.

Laplace-funktionen er en ikke-elementær funktion og bruges ofte både i teorien om differentialligninger og sandsynlighedsteori og i statistik. Laplace-funktionen kræver et vist sæt viden og træning, fordi den giver dig mulighed for at løse forskellige problemer inden for anvendte og teoretiske anvendelser.

Laplace-funktionen bruges ofte til at løse differentialligninger og omtales ofte som sandsynlighedsintegralet. Lad os se, hvordan denne funktion kan bruges i Excel, og hvordan den fungerer.

Sandsynlighedsintegralet eller Laplace-funktionen i Excel svarer til "NORMSDIST"-operatoren, som har syntaksen: "=NORMSDIST(z). I nyere versioner af programmet har operatøren også navnet "NORM.ST.DIST." og en let ændret syntaks "=NORM.ST.DIST(z; integral).

"Z"-argumentet er ansvarlig for den numeriske værdi af fordelingen. Argument "Integral" - returnerer to værdier - "1" - integralfordelingsfunktionen, "0" - vægtfordelingsfunktionen.

Teorien er forstået. Lad os gå videre til praksis. Overvej at bruge Laplace-funktionen i Excel.

1. Skriv en værdi i en celle, indsæt en funktion i den næste.

2. Lad os skrive funktionen manuelt "=NORM.ST.FORDELING(B4;1).

3. Eller brug guiden til indsættelse af funktioner - gå til kategorien "Statisk" og vælg "Fuld alfabetisk liste.

4. I det viste vindue med funktionsargumenterne skal du pege på startværdierne. Vores oprindelige celle vil være ansvarlig for "Z"-variablen og indsætte "1" i "Integralet". Vores funktion returnerer den kumulative distributionsfunktion.

5. Vi får en færdig løsning af standard normalintegralfordelingen for denne funktion "NORM.ST.DIST". Men det er ikke alt, vores mål var at finde Laplace-funktionen eller sandsynlighedsintegralet, så lad os tage et par trin mere.

6. Laplace-funktionen indebærer, at "0,5" skal trækkes fra værdien af ​​den opnåede funktion. Vi tilføjer den nødvendige betjening til funktionen. Tryk på "Enter" og få den endelige løsning. Den ønskede værdi er korrekt og hurtigt fundet.

Excel beregner nemt denne funktion for enhver celleværdi, celleområde eller cellereferencer. NORM.ST.DIST-funktionen er en standardoperator til at finde sandsynlighedsintegralet eller, som det også kaldes, Laplace-funktionen.

Bayes formel

Begivenheder B 1 , B 2 ,..., B n er uforenelige og udgør en komplet gruppe, dvs. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. Og lad begivenheden A kun forekomme, når en af ​​begivenhederne B 1 , B 2 ,..., B n vises. Derefter findes sandsynligheden for hændelsen A ved totalsandsynlighedsformlen.

Lad begivenhed A allerede være sket. Så kan sandsynligheden for hypoteserne B 1 , B 2 ,..., B n overvurderes ved hjælp af Bayes-formlen:

Bernoulli formel

Lad der laves n uafhængige forsøg, i hver af hvilke begivenheden A kan forekomme eller ikke. Sandsynligheden for forekomst (ikke forekomst) af begivenhed A er den samme og lig med p (q=1-p).

Sandsynligheden for, at begivenhed A i n uafhængige forsøg vil forekomme præcis k gange (i henhold til fig. i hvilken rækkefølge) findes ved Bernoullis formlen:

Sandsynligheden for, at hændelsen vil forekomme i n uafhængige forsøg:

en). Mindre end gange Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1).

b). Mere end k gange Pn (k+1)+Pn (k+2)+...+Pn (n).

i). mindst k gange Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).

G). ikke mere end k gange Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k).

Lokale og integrale teoremer fra Laplace.

Vi bruger disse sætninger, når n er stor nok.

Lokal Laplace-sætning

Sandsynligheden for, at en hændelse i n uafhængige forsøg vil finde sted nøjagtigt "k" gange er omtrent lig med:

Funktionstabellen for positive værdier (x) er givet i Gmurmans opgavebog i bilag 1, s. 324-325.

Siden selv (), så bruger vi den samme tabel for negative værdier (x).

Integralsætning af Laplace.

Sandsynligheden for, at begivenheden i n uafhængige forsøg vil forekomme mindst "k" gange er omtrent lig med:

Laplace funktion

Funktionstabellen for positive værdier er givet i Gmurmans opgavebog i bilag 2, s. 326-327. For værdier større end 5 sætter vi Ф(х)=0,5.

Da Laplace-funktionen er ulige F(-x)=-F(x), så bruger vi for negative værdier (x) den samme tabel, kun vi tager funktionens værdier med et minustegn.

Lov om sandsynlighedsfordeling for en diskret stokastisk variabel

Binomial distributionslov.

Diskret- en tilfældig variabel, hvis mulige værdier er separate isolerede tal, som denne variabel tager med visse sandsynligheder. Med andre ord kan de mulige værdier af en diskret tilfældig variabel nummereres.

Antallet af mulige værdier af en diskret tilfældig variabel kan være endelig eller uendelig.

Diskrete tilfældige variabler er angivet med store bogstaver X, og deres mulige værdier - med små bogstaver x1, x2, x3 ...

For eksempel.

X er antallet af point kastet på terningerne; X tager seks mulige værdier: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 med sandsynligheder p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 = 1/6.

Fordelingsloven for en diskret stokastisk variabel navngiv en liste over dets mulige værdier og deres tilsvarende sandsynligheder.

Distributionsloven kan gives:

1. i form af en tabel.

2. Analytisk - i form af en formel.

3. grafisk. I dette tilfælde er punkterne М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) konstrueret i det rektangulære XOP-koordinatsystem. Disse punkter er forbundet med lige linjer. Den resulterende form kaldes fordelingspolygon.

For at skrive fordelingsloven for en diskret tilfældig variabel (x), er det nødvendigt at liste alle dens mulige værdier og finde de sandsynligheder, der svarer til dem.

Hvis de sandsynligheder, der svarer til dem, findes af Bernoulli-formlen, så kaldes en sådan fordelingslov binomial.

Eksempel nr. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Numeriske værdier af diskrete tilfældige variable.

Matematisk forventning, varians og standardafvigelse.

Et kendetegn ved gennemsnitsværdien af ​​en diskret stokastisk variabel er den matematiske forventning.

matematisk forventning En diskret tilfældig variabel er summen af ​​produkterne af alle dens mulige værdier og deres sandsynligheder. De der. hvis fordelingsloven er givet, så den matematiske forventning

Hvis antallet af mulige værdier af en diskret tilfældig variabel er uendelig, så

Desuden konvergerer rækken på højre side af ligheden absolut, og summen af ​​alle sandsynligheder pi er lig med én.

Egenskaber for matematisk forventning.

1. M(S)=S, S=cons.

2. M(Cx)=CM(x)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+...+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*...*М(хn).

5. For binomialfordelingsloven findes den matematiske forventning ved formlen:

Et kendetegn ved spredningen af ​​mulige værdier af en tilfældig variabel omkring den matematiske forventning er variansen og standardafvigelsen.

spredning diskret stokastisk variabel (x) kaldes den matematiske forventning af den kvadrerede afvigelse. D(x)=M(x-M(x))2.

Dispersionen beregnes bekvemt ved formlen: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Dispersionsegenskaber.

1. D(S)=0, S=kons.

2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Spredning af binomialfordelingsloven

Standardafvigelse tilfældig variabel kaldes kvadratroden af ​​variansen.

eksempler. 191, 193, 194, 209, d/z.

Integralfordelingsfunktion (IDF, DF) af sandsynligheder for en kontinuert stokastisk variabel (NSV). sammenhængende- en mængde, der kan antage alle værdier fra et eller andet endeligt eller uendeligt interval. Der er en række mulige NSV-værdier, og de kan ikke omnummereres.

For eksempel.

Den afstand, som projektilet tilbagelægger, når det affyres, er NSV.

FMI kaldes funktionen F(x), som bestemmer for hver værdi af x sandsynligheden for, at NSV X antager værdien X<х, т.е. F(x)=Р(X

Ofte siger de FR i stedet for IFR.

Geometrisk set er ligheden F(x)=P(X

IF egenskaber.

1. Værdien af ​​IF hører til intervallet , dvs. F(x).

2. HVIS er en ikke-aftagende funktion, dvs. x2 > x1,.

Konsekvens 1. Sandsynligheden for, at NSV X vil tage værdien indeholdt i intervallet (a; c) er lig med stigningen af ​​integralfunktionen på dette interval, dvs.

P(a

Konsekvens 2. Sandsynligheden for, at NSV X tager én specifik værdi, for eksempel x1=0, er lig med 0, dvs. P(x=x1)=0.

3. Hvis alle mulige værdier af NSV X hører til (a; c), så F(x)=0 for x<а, и F(x)=1 при х>i.

Konsekvens 3. Følgende grænseforhold gælder.

Differentialfordelingsfunktion (DDF) af sandsynligheder for en kontinuert stokastisk variabel (NSV) (sandsynlighedstæthed).

DF f(x) NSV-sandsynlighedsfordelinger kalder den første afledte af IGF:

Ofte, i stedet for PDD, siger de sandsynlighedens tæthed (PD).

Det følger af definitionen, at man ved at kende IF F(x) kan finde DF f(x). Men den omvendte transformation udføres også: ved at kende DF f(x), kan vi finde HVIS F(x).

Sandsynligheden for, at NSW X vil tage en værdi, der tilhører (a; c), er:

MEN). Hvis IF er givet - konsekvens 1.

B). Hvis DF er givet

DF ejendomme.

1. DF - ikke negativ, dvs. .

2. det ukorrekte integral af DF inden for () er lig med 1, dvs. .

Konsekvens 1. Hvis alle mulige værdier af NSV X hører til (a; c), så.

Eksempler. nr. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/s.

Numeriske karakteristika for NSV.

1. Matematisk forventning (MO) af NSW X, hvis mulige værdier hører til hele OX-aksen, bestemmes af formlen:

Hvis alle mulige værdier af NSV X hører til (a; c), bestemmes MO af formlen:

Alle egenskaber ved MO, angivet for diskrete mængder, bevares også for kontinuerlige mængder.

2. Spredning af NSW X, hvis mulige værdier hører til hele OX-aksen, bestemmes af formlen:

Hvis alle mulige værdier af NSV X hører til (a; c), bestemmes variansen af ​​formlen:

Alle egenskaber af dispersionen angivet for diskrete mængder er også bevaret for kontinuerlige mængder.

3. Standardafvigelsen for NSW X bestemmes på samme måde som for diskrete mængder:

Eksempler. nr. 276, 279, X, d/s.

Operationel Calculus (OI).

OI er en metode, der giver dig mulighed for at reducere operationerne af differentiering og integration af funktioner til enklere handlinger: multiplikation og division med et argument af de såkaldte billeder af disse funktioner.

Brugen af ​​OI letter løsningen af ​​mange problemer. Især problemer med at integrere LDE'er med konstante koefficienter og systemer af sådanne ligninger, hvilket reducerer dem til lineære algebraiske.

originaler og billeder. Laplace transformationer.

f(t)-original; F(p)-billede.

Overgangen f(t)F(p) kaldes Laplace transformation.

Laplace-transformationen af ​​funktionen f(t) kaldes F(p), som afhænger af en kompleks variabel og er defineret af formlen:

Dette integral kaldes Laplace-integralet. For at dette ukorrekte integral kan konvergere, er det tilstrækkeligt at antage, at f(t) er stykkevis kontinuert i intervallet og for nogle konstanter M > 0 og opfylder uligheden

En funktion f(t) med sådanne egenskaber kaldes original, og overgangen fra originalen til dens billede kaldes Laplace transformation.

Egenskaber ved Laplace-transformationen.

Direkte bestemmelse af billeder ved formel (2) er normalt vanskelig og kan i høj grad lettes ved at bruge egenskaberne for Laplace-transformationen.

Lad F(p) og G(p) være billederne af originalerne henholdsvis f(t) og g(t). Derefter finder følgende egenskabsforhold sted:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogenitetsegenskab.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - additivitetsegenskab.

3. f(t)F(p-) - forskydningssætning.

overgang af den n-te afledede af originalen til billedet (oprindelig differentieringssætning).