Teori om mekaniske vibrationer. Grundlæggende om teorien om vibrationer af mekaniske systemer

Vi har allerede set på oprindelsen af klassisk mekanik, materialers styrke og elasticitetsteori. Den vigtigste komponent i mekanikken er også teorien om oscillationer. Vibrationer er hovedårsagen til ødelæggelse af maskiner og strukturer. I slutningen af 1950'erne. 80 % af udstyrsulykkerne opstod på grund af øgede vibrationer. Vibrationer har også en skadelig virkning på personer, der er involveret i driften af udstyr. De kan også forårsage fejl i kontrolsystemer.

På trods af alt dette opstod teorien om oscillationer som en selvstændig videnskab først ved begyndelsen af det 19. århundrede. Dog beregninger af maskiner og mekanismer op til begyndelsen XX århundrede blev udført i en statisk indstilling. Udviklingen af maskinteknik, stigningen i kraften og hastigheden af dampmaskiner, mens de samtidig reducerede deres vægt, fremkomsten af nye typer motorer - forbrændingsmotorer og dampturbiner - førte til behovet for at udføre styrkeberegninger under hensyntagen til dynamisk belastninger. Som regel opstod der nye problemer i teorien om vibrationer i teknologien under påvirkning af ulykker eller endda katastrofer som følge af øgede vibrationer.

Oscillationer er bevægelser eller ændringer i tilstanden, der har varierende grader af repeterbarhed.

Oscillationsteori kan opdeles i fire perioder.

jegperiode– fremkomsten af oscillationsteorien inden for rammerne af teoretisk mekanik (slutningen af 1500-tallet – slutningen af 1700-tallet). Denne periode er karakteriseret ved fremkomsten og udviklingen af dynamik i Galileo, Huygens, Newton, d'Alembert, Euler, D. Bernoulli og Lagranges værker.

Grundlæggeren af teorien om oscillationer var Leonhard Euler. I 1737 begyndte L. Euler på vegne af Sankt Petersborgs Videnskabsakademi at forske i et skibs balance og bevægelse, og i 1749 udkom hans bog "Ship Science" i St. Petersborg. Det var i dette arbejde af Euler, at grundlaget for teorien om statisk stabilitet og teorien om svingninger blev lagt.

Jean Leron d'Alembert undersøgte i sine talrige værker individuelle problemer, såsom små svingninger af et legeme omkring massecentret og omkring rotationsaksen i forbindelse med problemet med jordens præcession og nutation, svingninger af et pendul , en flydende krop, en fjeder osv. Men den generelle teori d'Alembert skabte ingen tøven.

Den vigtigste anvendelse af vibrationsteoriens metoder var den eksperimentelle bestemmelse af en wires vridningsstivhed, udført af Charles Coulomb. Coulomb etablerede også eksperimentelt egenskaben ved isokronisme af små svingninger i dette problem. Ved at studere dæmpningen af vibrationer kom denne store eksperimentator til den konklusion, at dens hovedårsag ikke var luftmodstand, men tab fra intern friktion i trådmaterialet.

Et stort bidrag til grundlaget for oscillationsteorien blev ydet af L. Euler, som lagde grundlaget for teorien om statisk stabilitet og teorien om små svingninger, d'Alembert, D. Bernoulli og Lagrange. begreber om svingningers periode og hyppighed, formen af svingninger blev dannet, og begrebet små svingninger kom i brug, princippet om overlejring af løsninger blev formuleret, og man forsøgte at udvide løsningen til en trigonometrisk række.

De første problemer i teorien om svingninger var problemerne med svingninger af et pendul og en snor. Vi har allerede talt om pendulets svingninger - det praktiske resultat af at løse dette problem var opfindelsen af uret af Huygens.

Hvad angår problemet med strengvibrationer, er dette et af de vigtigste problemer i historien om udviklingen af matematik og mekanik. Lad os se nærmere på det.

Akustisk streng Dette er en ideel, glat, tynd og fleksibel tråd af begrænset længde lavet af solidt materiale, strakt mellem to fikspunkter. I den moderne fortolkning, problemet med tværgående vibrationer af en streng af længde l reducerer til at finde en løsning på differentialligningen (1) i partielle afledte. Her x er koordinaten for strengpunktet langs længden, og y– dens tværgående forskydning; H- strengspænding, – dens løbevægt. -en er hastigheden af bølgeudbredelsen. En lignende ligning beskriver også de langsgående vibrationer af luftsøjlen i røret.

I dette tilfælde skal den indledende fordeling af afvigelser af strengpunkter fra en ret linje og deres hastigheder specificeres, dvs. ligning (1) skal opfylde startbetingelserne (2) og randbetingelserne (3).

De første fundamentale eksperimentelle undersøgelser af strengvibrationer blev udført af den hollandske matematiker og mekaniker Isaac Beckmann (1614-1618) og M. Mersenne, som etablerede en række regelmæssigheder og offentliggjorde sine resultater i 1636 i "Book of Consonances":

Mersennes love blev teoretisk bekræftet i 1715 af Newtons studerende Brooke Taylor. Han betragter en streng som et system af materielle punkter og accepterer følgende antagelser: alle punkter i strengen passerer samtidigt gennem deres ligevægtspositioner (sammenfalder med aksen x) og kraften, der virker på hvert punkt, er proportional med dets forskydning y i forhold til aksen x. Det betyder, at det reducerer problemet til et system med én frihedsgrad - ligning (4). Taylor opnåede korrekt den første naturlige frekvens (fundamental tone) - (5).

D'Alembert anvendte i 1747 for dette problem metoden til at reducere problemet med dynamik til problemet med statik (d'Alemberts princip) og opnåede differentialligningen for oscillationer af en homogen streng i partielle afledte (1) - den første ligning af matematisk fysik. Han søgte en løsning på denne ligning i form af en sum af to vilkårlige funktioner (6)

Hvor Og – periodiske funktioner i periode 2 l. Når man afklarer spørgsmålet om typen af funktioner Og d'Alembert tager højde for randbetingelser (1.2), idet det antages, at når
strengen falder sammen med aksen x. Meningen er
ikke angivet i problemformuleringen.

Euler overvejer det særlige tilfælde, hvornår
strengen afbøjes fra sin ligevægtsposition og slippes uden starthastighed. Det vigtige er, at Euler ikke lægger nogen begrænsninger på strengens oprindelige form, dvs. kræver ikke, at det kan specificeres analytisk ved at overveje enhver kurve, der "kan tegnes i hånden." Det endelige resultat opnået af forfatteren: if
strengens form er beskrevet af ligningen
, så ser svingningerne således ud (7). Euler reviderede sine synspunkter om funktionsbegrebet i modsætning til den tidligere idé om det kun som et analytisk udtryk. Således blev klassen af funktioner, der skulle studeres i analyse, udvidet, og Euler kom til den konklusion, at "da enhver funktion vil definere en bestemt linje, er det omvendte også sandt - buede linjer kan reduceres til funktioner."

Løsningerne opnået af d'Alembert og Euler repræsenterer loven om strengsvingninger i form af to bølger, der løber mod hinanden, men de var ikke enige i spørgsmålet om formen af den funktion, der definerer bøjningslinjen.

D. Bernoulli tog en anden vej med at studere strengvibrationer, idet han brød strengen i materielle punkter, hvis antal han anså for uendeligt. Han introducerer begrebet simpel harmonisk svingning af et system, dvs. sådan en bevægelse, hvor alle punkter i systemet vibrerer synkront med samme frekvens, men forskellige amplituder. Eksperimenter udført med klingende kroppe førte D. Bernoulli til den idé, at den mest generelle bevægelse af en streng består i den samtidige udførelse af alle bevægelser, der er tilgængelige for den. Dette er den såkaldte superposition af løsninger. Således fik han i 1753 ud fra fysiske overvejelser en generel løsning for strengvibrationer, idet han præsenterede den som en sum af delløsninger, for hver af hvilke strengen bøjer sig i form af en karakteristisk kurve (8).

I denne serie er den første oscillationstilstand en halv sinusbølge, den anden er en hel sinusbølge, den tredje består af tre halvsinusbølger osv. Deres amplituder er repræsenteret som funktioner af tid og er i det væsentlige generaliserede koordinater for det pågældende system. Ifølge løsningen af D. Bernoulli er bevægelsen af strengen en uendelig række af harmoniske svingninger med perioder
. I dette tilfælde er antallet af noder (faste punkter) én mindre end antallet af naturlige frekvenser. Ved at begrænse rækken (8) til et endeligt antal led, får vi et endeligt antal ligninger for et kontinuumssystem.

D. Bernoullis løsning indeholder dog en unøjagtighed – den tager ikke højde for, at faseforskydningen af hver svingningsharmonisk er forskellig.

D. Bernoulli, der præsenterede løsningen i form af en trigonometrisk serie, brugte princippet om superposition og udvidelse af løsningen til et komplet system af funktioner. Han mente med rette, at det ved hjælp af forskellige udtryk i formel (8) er muligt at forklare de harmoniske toner, som strengen udsender samtidig med sin grundtone. Han betragtede dette som en generel lov, gyldig for ethvert system af kroppe, der udfører små svingninger. Den fysiske motivation kan dog ikke erstatte det matematiske bevis, som ikke blev fremlagt på det tidspunkt. På grund af dette forstod kollegerne ikke D. Bernoullis løsning, selvom K. A. Clairaut tilbage i 1737 brugte serieudvidelsen af funktioner.

Tilstedeværelsen af to forskellige måder at løse problemet med strengvibrationer på vakte opsigt blandt førende videnskabsmænd i det 18. århundrede. heftig debat - "strengtvist". Denne strid drejede sig hovedsageligt om spørgsmål om, hvilken form tilladelige løsninger på problemet har, om den analytiske repræsentation af en funktion, og om det er muligt at repræsentere en vilkårlig funktion i form af en trigonometrisk række. I "strengkonflikten" blev et af de vigtigste analysebegreber udviklet - funktionsbegrebet.

D'Alembert og Euler var ikke enige om, at løsningen foreslået af D. Bernoulli kunne være generel. Især kunne Euler ikke være enig i, at denne serie kunne repræsentere enhver "frit tegnet kurve", som han nu selv definerede funktionsbegrebet.

Joseph Louis Lagrange, der trådte i kontrovers, brækkede strengen i små buer af lige længde med massen koncentreret i midten og undersøgte løsningen af et system af almindelige differentialligninger med et endeligt antal frihedsgrader. Efter at have passeret grænsen opnåede Lagrange et resultat svarende til resultatet af D. Bernoulli, uden dog på forhånd at postulere, at den generelle løsning må være en uendelig sum af delløsninger. Samtidig forfiner han D. Bernoullis løsning, præsenterer den i form (9), og udleder også formler til bestemmelse af koefficienterne for denne serie. Selvom løsningen fra grundlæggeren af analytisk mekanik ikke opfyldte alle kravene til matematisk stringens, var det et væsentligt skridt fremad.

Hvad angår udvidelsen af løsningen til en trigonometrisk serie, mente Lagrange, at serien divergerer under vilkårlige begyndelsesbetingelser. 40 år senere, i 1807, fandt J. Fourier igen udvidelsen af en funktion til en trigonometrisk række for tredje gang og viste, hvordan denne kan bruges til at løse problemet, og bekræftede derved rigtigheden af D. Bernoullis løsning. Et komplet analytisk bevis for Fouriers sætning om udvidelsen af en periodisk funktion med en enkelt værdi til en trigonometrisk række blev givet i Todgönthers integralregning og i Thomson (Lord Kelvin) og Taits Treatise on Natural Philosophy.

Forskning i frie vibrationer af en strakt streng fortsatte i to århundreder, regnet fra Beckmanns arbejde. Dette problem tjente som en stærk stimulans for udviklingen af matematik. I betragtning af svingningerne i kontinuumsystemer skabte Euler, d'Alembert og D. Bernoulli en ny disciplin - matematisk fysik. Matematisering af fysik, dvs. dens præsentation gennem ny analyse, er Eulers største fortjeneste, takket være hvilken nye veje i videnskaben blev banet. Den logiske udvikling af resultaterne Euler og Fourier kom frem til den velkendte definition af en funktion af Lobachevsky og Lejeune Dirichlet, baseret på ideen om en en-til-en korrespondance af to sæt. Dirichlet beviste også muligheden for udvidelse af stykkevis kontinuerlige og monotone funktioner til en Fourier-serie. En endimensionel bølgeligning blev også opnået, og ligheden mellem dens to løsninger blev etableret, som matematisk bekræftede sammenhængen mellem vibrationer og bølger. Det faktum, at en vibrerende streng genererer lyd, tilskyndede videnskabsmænd at tænke over identiteten af processen med lydudbredelse og processen med strengvibration. Den vigtigste rolle for grænse- og startbetingelser i sådanne problemer blev også identificeret. For udviklingen af mekanik var et vigtigt resultat brugen af d'Alemberts princip for at skrive differentialligninger for bevægelse, og for teorien om svingninger spillede dette problem også en meget vigtig rolle, nemlig princippet om superposition og udvidelse af løsningen i form af naturlige vibrationsmåder blev anvendt, teoriens grundlæggende begreber af vibrationer blev formuleret - naturlig frekvens og vibrationsmåde.

De opnåede resultater for frie vibrationer af en streng tjente som grundlag for skabelsen af teorien om vibrationer af kontinuumsystemer. Yderligere undersøgelse af vibrationerne af inhomogene strenge, membraner og stænger krævede opdagelsen af specielle metoder til at løse de enkleste hyperbolske ligninger af anden og fjerde orden.

Problemet med frie vibrationer af en strakt streng interesserede naturligvis videnskabsmænd ikke på grund af dens praktiske anvendelse; lovene for disse vibrationer var i en eller anden grad kendt af håndværkere, der lavede musikinstrumenter. Dette bevises af de uovertrufne strengeinstrumenter fra sådanne mestre som Amati, Stradivari, Guarneri og andre, hvis mesterværker blev skabt tilbage i det 17. århundrede. Interesserne hos de største videnskabsmænd, der arbejdede med dette problem, lå højst sandsynligt i ønsket om at tilvejebringe et matematisk grundlag for de allerede eksisterende love for strengvibration. I denne sag blev den traditionelle vej for enhver videnskab afsløret, begyndende med skabelsen af en teori, der forklarer allerede kendte fakta, for derefter at finde og studere ukendte fænomener.

IIperiode – analytisk(slutningen af 1700-tallet - slutningen af 1800-tallet). Det vigtigste trin i udviklingen af mekanik blev opnået af Lagrange, som skabte en ny videnskab - analytisk mekanik. Begyndelsen af den anden periode med udvikling af teorien om oscillationer er forbundet med Lagranges arbejde. I sin bog Analytical Mechanics, udgivet i Paris i 1788, opsummerede Lagrange alt, hvad der var blevet gjort inden for mekanik i det 18. århundrede og formulerede en ny tilgang til at løse dets problemer. I doktrinen om ligevægt opgav han statikkens geometriske metoder og foreslog princippet om mulige forskydninger (Lagranges princip). Inden for dynamik opnåede Lagrange, der samtidig havde anvendt d'Alembert-princippet og princippet om mulige forskydninger, en generel variationsligning for dynamikken, som også kaldes d'Alembert-Lagrange-princippet. Til sidst introducerede han begrebet generaliserede koordinater og opnåede bevægelsesligningerne i den mest bekvemme form - Lagrange-ligningerne af den anden slags.

Disse ligninger blev grundlaget for skabelsen af teorien om små svingninger beskrevet af lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Linearitet er sjældent iboende i et mekanisk system, og i de fleste tilfælde er resultatet af dets forenkling. I betragtning af små svingninger nær ligevægtspositionen, som forekommer ved lave hastigheder, er det muligt at kassere termer af anden og højere orden i bevægelsesligningerne med hensyn til generaliserede koordinater og hastigheder.

Anvendelse af Lagrange-ligninger af anden art for konservative systemer

vi får systemet s lineære differentialligninger af anden orden med konstante koefficienter

, (11)

Hvor jeg Og C– henholdsvis inerti- og stivhedsmatricer, hvis komponenter vil være inerti- og elastiske koefficienter.

Særlig løsning (11) søges i formularen

og beskriver en monoharmonisk oscillerende tilstand med en frekvens k, det samme for alle generaliserede koordinater. Differentiering (12) to gange mhp t og substituerer resultatet i ligningerne (11), opnår vi et system af lineære homogene ligninger til at finde amplituder i matrixform

. (13)

Da når systemet oscillerer, kan alle amplituder ikke være lig nul, determinanten er lig nul

. (14)

Frekvensligningen (14) blev kaldt den sekulære ligning, da den først blev betragtet af Lagrange og Laplace i teorien om sekulære forstyrrelser af elementer i planetbaner. Det er en ligning s-grad relativ , antallet af dets rødder er lig med antallet af frihedsgrader i systemet. Disse rødder er normalt arrangeret i stigende rækkefølge, og de danner et spektrum af deres egne frekvenser. Til enhver rod svarer til en bestemt løsning af formen (12), sættet s amplituder repræsenterer formen af vibrationerne, og den samlede løsning er summen af disse løsninger.

Lagrange gav D. Bernoullis udtalelse om, at den generelle oscillerende bevægelse af et system af diskrete punkter består af den samtidige udførelse af alle dets harmoniske svingninger, i form af en matematisk sætning, ved hjælp af teorien om integration af differentialligninger med konstante koefficienter, skabt af Euler i 40'erne af det 18. århundrede. og resultaterne af d'Alembert, som viste, hvordan systemer af sådanne ligninger er integreret.Samtidig var det nødvendigt at bevise, at rødderne til den ældgamle ligning er reelle, positive og ulige i forhold til hinanden.

Således opnåede Lagrange i analytisk mekanik frekvensligningen i generel form. Samtidig gentager han den fejltagelse, d'Alembert begået i 1761, at de multiple rødder af den sekulære ligning svarer til en ustabil løsning, da det angiveligt i dette tilfælde sekulære eller verdslige udtryk indeholder t ikke under sinus- eller cosinus-tegnet. I denne henseende mente både d'Alembert og Lagrange, at frekvensligningen ikke kan have flere rødder (d'Alembert-Lagrange paradoks). Det var nok for Lagrange at overveje i det mindste et sfærisk pendul eller svingningerne af en stang, hvis tværsnit er for eksempel rundt eller firkantet, for at blive overbevist om, at flere frekvenser er mulige i konservative mekaniske systemer. Fejlen i den første udgave af Analytical Mechanics blev gentaget i den anden udgave (1812), udgivet i Lagranges levetid, og i den tredje (1853). Den videnskabelige autoritet hos d'Alembert og Lagrange var så høj, at denne fejltagelse blev gentaget af både Laplace og Poisson, og den blev først rettet næsten 100 år senere uafhængigt af hinanden i 1858 af K. Weierstrass og i 1859 af Osip Ivanovich Somov , som ydede et stort bidrag til udviklingen af teorien om oscillationer af diskrete systemer.

For at bestemme frekvenserne og formerne for frie svingninger i et lineært system uden modstand er det således nødvendigt at løse den sekulære ligning (13). Men ligninger med højere grad end den femte har ikke en analytisk løsning.

Problemet var ikke kun at løse den sekulære ligning, men også i højere grad kompilere den, da den udvidede determinant (13) har
termer, for eksempel for et system med 20 frihedsgrader, er antallet af termer 2,4 10 18, og tiden for at afsløre en sådan determinant for 1970'ernes mest kraftfulde computer, der udfører 1 million operationer i sekundet, er cirka 1,5 millioner år , og for en moderne computer er den "kun" et par hundrede år gammel.

Problemet med at bestemme frekvenser og former for frie vibrationer kan også betragtes som et problem med lineær algebra og løses numerisk. Omskrivning af lighed (13) i skemaet

, (14)

Bemærk, at kolonnematrixen er en egenvektor for matricen

, (15)

EN sin egen betydning.

At løse problemet med egenværdier og vektorer er et af de mest attraktive problemer i numerisk analyse. Samtidig er det umuligt at foreslå en enkelt algoritme til at løse alle problemer, man støder på i praksis. Valget af algoritme afhænger af typen af matrix, samt om det er nødvendigt at bestemme alle egenværdier eller kun den mindste (største) eller tæt på et givet tal. I 1846 foreslog Carl Gustav Jacob Jacobi en iterativ rotationsmetode for at løse det komplette egenværdiproblem. Metoden er baseret på en uendelig sekvens af elementære rotationer, som i grænsen omdanner matrix (15) til en diagonal. De diagonale elementer i den resulterende matrix vil være de ønskede egenværdier. I dette tilfælde er det påkrævet for at bestemme egenværdierne
aritmetiske operationer, og også for egenvektorer
operationer. I denne henseende metoden i det 19. århundrede. fandt ingen ansøgning og blev glemt i mere end hundrede år.

Det næste vigtige skridt i udviklingen af oscillationsteorien var Rayleighs arbejde, især hans grundlæggende værk "The Theory of Sound". I denne bog undersøger Rayleigh oscillerende fænomener i mekanik, akustik og elektriske systemer fra et samlet synspunkt. Rayleigh ejer en række grundlæggende sætninger i den lineære teori om oscillationer (sætninger om stationaritet og egenskaber ved naturlige frekvenser). Rayleigh formulerede også princippet om gensidighed. I analogi med kinetisk og potentiel energi introducerede han den dissipative funktion, som fik navnet Rayleigh og repræsenterer halvdelen af hastigheden af energidissipation.

I The Theory of Sound foreslår Rayleigh også en omtrentlig metode til at bestemme den første egenfrekvens i et konservativt system

, (16)

Hvor
. I dette tilfælde, for at beregne de maksimale værdier af potentielle og kinetiske energier, tages der en vis form for vibration. Hvis det falder sammen med systemets første svingningsmåde, får vi den nøjagtige værdi af den første egenfrekvens, men ellers er denne værdi altid overvurderet. Metoden giver en nøjagtighed, der er ganske acceptabel for praksis, hvis den statiske deformation af systemet tages som den første vibrationsmåde.

Således blev der tilbage i det 19. århundrede, i Somov og Rayleighs værker, dannet en metode til at konstruere differentialligninger, der beskriver små oscillerende bevægelser af diskrete mekaniske systemer ved hjælp af Lagrange-ligninger af den anden slags

hvor i generaliseret kraft
alle kraftfaktorer skal medtages, med undtagelse af elastiske og dissipative, omfattet af funktionerne R og P.

Lagrangeligninger (17) i matrixform, der beskriver tvangssvingninger i et mekanisk system, efter at have erstattet alle funktioner ser sådan ud

. (18)

Her er dæmpningsmatrixen, og
– kolonnevektorer af henholdsvis generaliserede koordinater, hastigheder og accelerationer. Den generelle løsning af denne ligning består af frie og ledsagende svingninger, som altid er dæmpede, og forcerede svingninger, der opstår med frekvensen af den forstyrrende kraft. Lad os begrænse os til kun at overveje en bestemt løsning svarende til tvangssvingninger. Som en excitation betragtede Rayleigh generaliserede kræfter varierende i henhold til en harmonisk lov. Mange tilskrev dette valg til enkeltheden af den undersøgte sag, men Rayleigh giver en mere overbevisende forklaring - Fourier-seriens udvidelse.

For et mekanisk system med mere end to frihedsgrader giver løsningen af et ligningssystem således visse vanskeligheder, som øges eksponentielt i takt med, at systemets rækkefølge øges. Selv med fem til seks frihedsgrader kan problemet med tvangssvingninger ikke løses manuelt ved hjælp af den klassiske metode.

I teorien om vibrationer af mekaniske systemer spillede små (lineære) vibrationer af diskrete systemer en særlig rolle. Den spektrale teori, der er udviklet til lineære systemer, kræver ikke engang konstruktion af differentialligninger, og for at opnå en løsning kan man straks nedskrive systemer med lineære algebraiske ligninger. Selvom der i midten af det 19. århundrede blev udviklet metoder til bestemmelse af egenvektorer og egenværdier (Jacobi), samt løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger (Gauss), var deres praktiske anvendelse selv for systemer med et lille antal frihedsgrader. udelukket. Derfor, før fremkomsten af tilstrækkeligt kraftige computere, blev der udviklet mange forskellige metoder til at løse problemet med frie og tvungne svingninger af lineære mekaniske systemer. Mange fremragende videnskabsmænd - matematikere og mekanikere - har beskæftiget sig med disse problemer; de vil blive diskuteret nedenfor. Fremkomsten af kraftfuld computerteknologi har gjort det muligt ikke kun at løse store lineære problemer på et splitsekund, men også at automatisere processen med at sammensætte ligningssystemer.

Således i løbet af 1700-tallet. i teorien om små svingninger af systemer med et begrænset antal frihedsgrader og svingninger af kontinuum elastiske systemer, blev de grundlæggende fysiske skemaer udviklet, og de principper, der er afgørende for den matematiske analyse af problemer, blev forklaret. Men for at skabe teorien om mekaniske vibrationer som en uafhængig videnskab manglede der en samlet tilgang til løsning af problemer med dynamik, og der var ingen anmodninger fra teknologien om dens hurtigere udvikling.

Væksten i storindustrien i slutningen af det 18. og begyndelsen af det 19. århundrede, forårsaget af den udbredte introduktion af dampmaskinen, førte til adskillelsen af anvendt mekanik i en separat disciplin. Men indtil slutningen af 1800-tallet blev styrkeberegninger udført i en statisk formulering, da maskinerne stadig var laveffekt og langsomtkørende.

I slutningen af det 19. århundrede, med stigende hastigheder og faldende dimensioner af maskiner, blev det umuligt at negligere udsving. Talrige ulykker, der opstod på grund af begyndelsen af resonans eller træthedsfejl under vibrationer, tvang ingeniører til at være opmærksomme på oscillerende processer. Blandt de problemer, der opstod i denne periode, skal følgende bemærkes: sammenbrud af broer fra passerende tog, torsionsvibrationer af aksler og vibrationer af skibsskrog exciteret af inertikræfterne fra bevægelige dele af ubalancerede maskiner.

IIIperiode– dannelse og udvikling af den anvendte teori om svingninger (1900-1960'erne). Udvikling af maskinteknik, forbedring af lokomotiver og skibe, fremkomsten af damp- og gasturbiner, højhastigheds forbrændingsmotorer, biler, fly osv. krævede en mere nøjagtig analyse af spændinger i maskindele. Dette blev dikteret af kravene til en mere økonomisk brug af metal. Aflastningskonstruktioner har givet anledning til vibrationsproblemer, som i stigende grad bliver afgørende i spørgsmål om maskinstyrke. I begyndelsen af det 20. århundrede viser talrige ulykker på overbevisende måde, hvilke katastrofale konsekvenser der kan opstå af forsømmelse af vibrationer eller uvidenhed om dem.

Fremkomsten af ny teknologi stiller som regel nye udfordringer for teorien om oscillationer. Altså i 30'erne og 40'erne. Nye problemer opstod, såsom stallfladder og shimmy i luftfarten, bøjning og bøjnings- og torsionsvibrationer af roterende aksler mv., hvilket krævede udvikling af nye metoder til beregning af vibrationer. I slutningen af 20'erne, først i fysik og derefter i mekanik, begyndte studiet af ikke-lineære svingninger. I forbindelse med udviklingen af automatiske kontrolsystemer og andre tekniske behov, fra 30'erne, blev teorien om bevægelsesstabilitet bredt udviklet og anvendt, hvis grundlag var A. M. Lyapunovs doktorafhandling "The General Problem of Motion Stability."

Manglen på en analytisk løsning på problemer i teorien om svingninger, selv i en lineær formulering på den ene side og computerteknologi på den anden, førte til udviklingen af en lang række forskellige numeriske metoder til at løse dem.

Behovet for at udføre beregninger af vibrationer for forskellige typer udstyr førte i 1930'erne til, at de første træningskurser i teorien om vibrationer dukkede op.

Overgang til IVperiode(begyndelsen af 1960'erne – nutid) er forbundet med æraen med videnskabelig og teknologisk revolution og er karakteriseret ved fremkomsten af ny teknologi, primært luftfart og rumfart, og robotsystemer. Derudover har udviklingen af kraftteknik, transport osv. bragt problemerne med dynamisk styrke og pålidelighed i højsædet. Dette forklares med en stigning i driftshastigheder og et fald i materialeforbrug med et samtidig ønske om at øge maskinernes levetid. I teorien om oscillationer bliver flere og flere problemer løst i en ikke-lineær formulering. Inden for vibrationer af kontinuumsystemer, under påvirkning af anmodninger fra luftfarts- og rumteknologi, opstår der problemer med dynamikken i plader og skaller.

Den største indflydelse på udviklingen af teorien om oscillationer i denne periode blev udøvet af fremkomsten og den hurtige udvikling af elektronisk computerteknologi, hvilket førte til udviklingen af numeriske metoder til beregning af svingninger.

Oscillerende bevægelse Enhver bevægelse eller ændring af tilstand kaldes, karakteriseret ved en eller anden grad af repeterbarhed i tid af værdierne af de fysiske størrelser, der bestemmer denne bevægelse eller tilstand. Oscillationer er karakteristiske for alle naturlige fænomener: strålingen fra stjerner pulserer; solsystemets planeter roterer med en høj grad af periodicitet; vinde ophidser vibrationer og bølger på overfladen af vand; Inde i enhver levende organisme sker der kontinuerligt forskellige, rytmisk gentagne processer, for eksempel banker det menneskelige hjerte med forbløffende pålidelighed.

Oscillationer skiller sig ud i fysik mekanisk Og elektromagnetisk. Gennem udbredelse af mekaniske udsving i lufttæthed og tryk, som vi opfatter som lyd, samt meget hurtige udsving i elektriske og magnetiske felter, som vi opfatter som lys, modtager vi en stor mængde direkte information om verden omkring os. Eksempler på oscillerende bevægelser i mekanik omfatter svingninger af penduler, strenge, broer osv.

Oscillationer kaldes periodisk, hvis værdierne af fysiske størrelser, der ændrer sig under svingninger, gentages med regelmæssige intervaller. Den enkleste type periodiske svingninger er harmoniske svingninger. Harmoniske svingninger er dem, hvor den fluktuerende størrelse ændres over tid i henhold til sinus- (eller cosinus-)loven:

hvor x er forskydningen fra ligevægtspositionen;

A – amplitude af oscillation – maksimal forskydning fra ligevægtspositionen;

- cyklisk frekvens;

- indledende fase af oscillation;

- oscillationsfase; den bestemmer forskydningen på ethvert tidspunkt, dvs. bestemmer oscillatorsystemets tilstand.

I tilfælde af strengt harmoniske svingninger af størrelsesordenen A, Og ikke afhængig af tid.

Cyklisk frekvens forbundet med perioden T af svingninger og frekvens forhold:

(2)

Periode T Oscillationer er den korteste tidsperiode, hvorefter værdierne af alle fysiske størrelser, der karakteriserer svingninger, gentages.

Frekvens oscillationer er antallet af komplette svingninger udført pr. tidsenhed, målt i hertz (1 Hz = 1
).

Cyklisk frekvens numerisk lig med antallet af svingninger gennemført i 2 sekunder

Oscillationer, der forekommer i et system, der ikke er underlagt påvirkningen af variable ydre kræfter, som et resultat af enhver indledende afvigelse af dette system fra en tilstand af stabil ligevægt, kaldes gratis(eller din egen).

Hvis systemet er konservativt, sker der ingen energitab under svingninger. I dette tilfælde kaldes frie vibrationer udæmpet.

Fart Vi definerer oscillationerne af et punkt som den afledede af forskydningen i tid:

(3)

Acceleration oscillerende punkt er lig med den afledede af hastigheden med hensyn til tid:

(4)

Ligning (4) viser, at acceleration under harmoniske svingninger er variabel, derfor er oscillationen forårsaget af virkningen af en variabel kraft.

Newtons anden lov giver os mulighed for generelt at skrive sammenhængen mellem kraft F og acceleration for retlinede harmoniske svingninger af et materialepunkt med masse
:

Hvor
, (6)

k – elasticitetskoefficient.

Kraften, der forårsager harmoniske vibrationer, er således proportional med forskydningen og rettet mod forskydningen. I denne forbindelse kan vi give en dynamisk definition af en harmonisk svingning: harmonisk er en svingning forårsaget af en kraft direkte proportional med forskydningen x og rettet mod forskydningen.

Genopretningskraften kan for eksempel være en elastisk kraft. Kræfter, der har en anden karakter end elastiske kræfter, men også opfylder betingelse (5), kaldes kvasi-elastisk.

I tilfælde af retlinede svingninger langs x-aksen, accelerationen lige med:

At erstatte dette udtryk med acceleration og betydningen af styrke
ind i Newtons anden lov, får vi grundlæggende ligning for retlinede harmoniske svingninger:

eller
(7)

Løsningen til denne ligning er ligning (1).

Kursusprogram teori om svingninger for studerende 4 FACI kursus

Disciplinen er baseret på resultaterne af sådanne discipliner som klassisk algebra, teorien om almindelige differentialligninger, teoretisk mekanik og teorien om funktioner for en kompleks variabel. Et træk ved studiet af disciplinen er den hyppige brug af apparatet til matematisk analyse og andre relaterede matematiske discipliner, brugen af praktisk vigtige eksempler fra fagområdet teoretisk mekanik, fysik, elektroteknik og akustik.

1. Kvalitativ analyse af bevægelse i et konservativt system med én frihedsgrad

Faseplan metode
Afhængighed af oscillationsperioden af amplituden. Bløde og hårde systemer

2. Duffing ligning

Udtryk for den generelle løsning af Duffing-ligningen i elliptiske funktioner

3. Kvasilineære systemer

Van der Pol Variabler
Gennemsnitsmetode

4. Afslapningssvingninger

Van der Pols ligning
Enkeltforstyrrede systemer af differentialligninger

5. Dynamik af ikke-lineære autonome systemer af generel form med én grad af frihed

Begrebet "ruhed" af et dynamisk system
Bifurkationer af dynamiske systemer

6. Elementer i Floquets teori

Normale løsninger og multiplikatorer af lineære systemer af differentialligninger med periodiske koefficienter
Parametrisk resonans

7. Hills ligning

Analyse af opførsel af løsninger til en ligning af Hill-type som en illustration af anvendelsen af Floquet-teori på lineære Hamilton-systemer med periodiske koefficienter
Mathieus ligning som et specialtilfælde af en ligning af Hill-type. Ines-Strett diagram

8. Forcerede svingninger i et system med en ikke-lineær genopretningskraft

Forholdet mellem amplituden af oscillationer og størrelsen af den drivkraft, der påføres systemet
Ændring af køretilstand ved ændring af frekvensen af drivkraften. Begrebet "dynamisk" hysterese

9. Adiabatiske invarianter

Action-Angle Variables
Bevarelse af adiabatiske invarianter med en kvalitativ ændring i bevægelsens natur

10. Dynamik af multidimensionelle dynamiske systemer

Begrebet ergocity og blanding i dynamiske systemer
Poincaré kort

11. Lorentz ligninger. Mærkelig attraktion

Lorentz-ligninger som en model for termokonvektion
Bifurkationer af løsninger til Lorentz-ligninger. Overgang til kaos
Fraktal struktur af en mærkelig attraktor

12. Endimensionelle displays. Feigenbaums alsidighed

Kvadratisk kortlægning - den enkleste ikke-lineære kortlægning
Periodiske kredsløb af kortlægninger. Bifurkationer af periodiske baner

Litteratur (hoved)

1. Moiseev N.N. Asymptotiske metoder for ikke-lineær mekanik. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Introduktion til teorien om svingninger og bølger. Ed. 2. Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære svingninger. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Introduktion til teorien om ikke-lineære svingninger. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Introduktion til synergetik. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Oscillationer, bølger, strukturer.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Litteratur (yderligere)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Anvendte metoder i teorien om vibrationer. Forlaget "Science", 1988.

8. Stocker J. Ikke-lineære svingninger i mekaniske og elektriske systemer. – M.: Udenlandsk litteratur, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Anvendte metoder til ikke-lineære oscillationer. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Ikke-lineære svingninger i fysiske systemer. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Oscillationsteori. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Bogen introducerer læseren til de generelle egenskaber ved oscillerende processer, der forekommer i radioteknik, optiske og andre systemer, samt forskellige kvalitative og kvantitative metoder til at studere dem. Der lægges stor vægt på hensynet til parametriske, selvoscillerende og andre ikke-lineære oscillerende systemer.
Studiet af de oscillerende systemer og processer i dem beskrevet i bogen præsenteres ved hjælp af velkendte metoder fra teorien om svingninger uden en detaljeret præsentation og begrundelse af selve metoderne. Hovedopmærksomheden er lagt på at belyse de grundlæggende træk ved de studerede oscillerende modeller af virkelige systemer ved hjælp af de mest passende analysemetoder.

Frie svingninger i et kredsløb med ikke-lineær induktans.
Lad os nu overveje et andet eksempel på et elektrisk ikke-lineært konservativt system, nemlig et kredsløb med induktans afhængig af strømmen, der strømmer gennem det. Dette tilfælde har ikke en klar og enkel ikke-relativistisk mekanisk analog, da afhængigheden af selvinduktion af strøm er ækvivalent for mekanik til tilfældet af afhængighed af masse af hastighed.

Vi støder på elektriske systemer af denne type, når kerner lavet af ferromagnetisk materiale bruges i induktanser. I sådanne tilfælde er det for hver given kerne muligt at opnå forholdet mellem magnetiseringsfeltet og den magnetiske induktionsflux. Kurven, der viser denne afhængighed, kaldes magnetiseringskurven. Hvis vi forsømmer fænomenet hysterese, kan dets omtrentlige forløb repræsenteres af grafen vist i fig. 1.13. Da størrelsen af feltet H er proportional med strømmen, der flyder i spolen, kan strømmen plottes direkte på den passende skala langs abscisseaksen.

Download e-bogen gratis i et praktisk format, se og læs:
Download bogen Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, hurtig og gratis download.

Principper for teoretisk fysik, Mekanik, feltteori, elementer af kvantemekanik, Medvedev B.V., 2007
Fysik kursus, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
Teknisk termodynamik med det grundlæggende i varmeoverførsel og hydraulik, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988