Tre muligheder for at fuldføre det fremadgående slag af Gauss-metoden. Gaussisk metode online

Gauss-metoden er nem! Hvorfor? Den berømte tyske matematiker Johann Carl Friedrich Gauss modtog i sin levetid anerkendelse som den største matematiker gennem tiderne, et geni og endda kaldenavnet "Kongen af matematik." Og alt genialt, som du ved, er enkelt! For øvrigt får ikke kun tøser penge, men også genier - Gauss’ portræt var på 10 tyske sedlen (før euroens indførelse), og Gauss smiler stadig mystisk til tyskerne fra almindelige frimærker.

Gauss-metoden er enkel ved, at VIDEN OM EN FEMTE-KLASSE ELEV ER NOG til at mestre den. Du skal vide, hvordan du adderer og multiplicerer! Det er ikke tilfældigt, at lærere ofte overvejer metoden til sekventiel udelukkelse af ukendte i skolens matematikvalgfag. Det er et paradoks, men eleverne finder den gaussiske metode den sværeste. Intet overraskende - det handler om metoden, og jeg vil prøve at tale om metodens algoritme i en tilgængelig form.

Lad os først systematisere lidt viden om systemer af lineære ligninger. Et system af lineære ligninger kan:

1) Få en unik løsning.
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).

Gauss-metoden er det mest kraftfulde og universelle værktøj til at finde en løsning nogen systemer af lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrixmetode er uegnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Og metoden til sekventiel eliminering af ukendte Alligevel vil lede os til svaret! I denne lektion vil vi igen overveje Gauss-metoden for sag nr. 1 (den eneste løsning på systemet), artiklen er afsat til situationerne i punkt nr. 2-3. Jeg bemærker, at selve metodens algoritme fungerer ens i alle tre tilfælde.

Lad os vende tilbage til det enkleste system fra lektionen Hvordan løser man et system af lineære ligninger?
og løse det ved hjælp af Gauss-metoden.

Det første skridt er at skrive ned udvidet systemmatrix:
. Jeg tror, at alle kan se, efter hvilket princip koefficienterne er skrevet. Den lodrette linje inde i matrixen har ingen matematisk betydning - den er blot en gennemstregning for at lette designet.

Reference :Jeg anbefaler dig at huske betingelser lineær algebra. System Matrix er en matrix kun sammensat af koefficienter for ukendte, i dette eksempel systemets matrix:. Udvidet systemmatrix– dette er den samme matrix af systemet plus en kolonne med frie termer, i dette tilfælde: . For kortheds skyld kan enhver af matricerne simpelthen kaldes en matrix.

Efter at den udvidede systemmatrix er skrevet, er det nødvendigt at udføre nogle handlinger med den, som også kaldes elementære transformationer.

Følgende elementære transformationer findes:

1) Strenge matricer Kan omarrangere nogle steder. For eksempel, i den overvejede matrix, kan du smertefrit omarrangere den første og anden række:

2) Hvis der er (eller har optrådt) proportionale (som et specialtilfælde - identiske) rækker i matrixen, skal du slette fra matrixen alle disse rækker undtagen én. Overvej for eksempel matrixen . I denne matrix er de sidste tre rækker proportionale, så det er nok kun at forlade en af dem: .

3) Hvis der optræder en nulrække i matricen under transformationer, så skal den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nullinjen er den linje, hvori alle nuller.

4) Matrixrækken kan være gange (dividere) til ethvert nummer ikke-nul. Overvej for eksempel matrixen. Her er det tilrådeligt at dividere den første linje med -3, og gange den anden linje med 2: . Denne handling er meget nyttig, fordi den forenkler yderligere transformationer af matrixen.

5) Denne transformation volder de fleste vanskeligheder, men faktisk er der heller ikke noget kompliceret. Til en række af en matrix kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul. Lad os se på vores matrix ud fra et praktisk eksempel: . Først vil jeg beskrive transformationen meget detaljeret. Gang den første linje med –2: , Og til den anden linje lægger vi den første linje ganget med –2: . Nu kan den første linje deles "tilbage" med –2: . Som du kan se, er den linje, der tilføjes LI – har ikke ændret sig. Altid linjen, SOM ER TILFØJET, ændres UT.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljeret, men skriver det kort:

Endnu en gang: til anden linje tilføjet den første linje ganget med –2. En linje multipliceres normalt mundtligt eller på et udkast, hvor mentalberegningsprocessen foregår sådan her:

"Jeg omskriver matrixen og omskriver den første linje: »

"Første kolonne. I bunden skal jeg have nul. Derfor multiplicerer jeg den øverste med –2: , og lægger den første til den anden linje: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

"Nu den anden kolonne. Øverst gange jeg -1 med -2: . Jeg tilføjer den første til den anden linje: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

"Og den tredje kolonne. Øverst gange jeg -5 med -2:. Jeg tilføjer den første til den anden linje: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

Forstå venligst dette eksempel omhyggeligt og forstå den sekventielle beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er den Gaussiske metode praktisk talt i din lomme. Men vi vil selvfølgelig stadig arbejde på denne transformation.

Elementære transformationer ændrer ikke løsningen af ligningssystemet

! OPMÆRKSOMHED: betragtes som manipulationer ikke kan bruge, hvis du bliver tilbudt en opgave, hvor matricerne er givet "af sig selv." For eksempel med "klassisk" operationer med matricer Du må under ingen omstændigheder omarrangere noget inde i matricerne!

Lad os vende tilbage til vores system. Det er praktisk talt taget i stykker.

Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer reducere den til trinvis udsigt:

(1) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Og igen: hvorfor gange vi den første linje med –2? For at få nul i bunden, hvilket betyder at slippe af med en variabel i den anden linje.

(2) Divider den anden linje med 3.

Formålet med elementære transformationer – reducer matrixen til trinvis form: . I designet af opgaven markerer de bare "trappen" med en simpel blyant og cirkler også tallene, der er placeret på "trinene". Selve begrebet "stepped view" er ikke helt teoretisk; i videnskabelig og pædagogisk litteratur kaldes det ofte trapezformet udsigt eller trekantet udsigt.

Som et resultat af elementære transformationer opnåede vi tilsvarende oprindelige ligningssystem:

Nu skal systemet "afvikles" i den modsatte retning - fra bund til top kaldes denne proces omvendt af Gauss-metoden.

I den nederste ligning har vi allerede et færdigt resultat: .

Lad os overveje den første ligning af systemet og erstatte den allerede kendte værdi af "y" i den:

Lad os overveje den mest almindelige situation, når den Gaussiske metode kræver løsning af et system af tre lineære ligninger med tre ukendte.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Lad os skrive systemets udvidede matrix:

Nu vil jeg straks tegne det resultat, som vi kommer frem til under løsningen:

Og jeg gentager, vores mål er at bringe matrixen til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer. Hvor skal man begynde?

Se først nummeret øverst til venstre:

Burde næsten altid være her enhed. Generelt vil –1 (og nogle gange andre tal) duge, men på en eller anden måde er det traditionelt sket, at man normalt er placeret der. Hvordan organiserer man en enhed? Vi ser på den første kolonne - vi har en færdig enhed! Transformation en: skift første og tredje linje:

Nu vil den første linje forblive uændret indtil slutningen af løsningen. Nu fint.

Enheden i øverste venstre hjørne er organiseret. Nu skal du have nuller på disse steder:

Vi får nuller ved at bruge en "svær" transformation. Først behandler vi den anden linje (2, –1, 3, 13). Hvad skal der gøres for at få nul i den første position? Behøver til den anden linje lægges den første linje ganget med –2. Mentalt eller på et udkast, gange den første linje med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi udfører konsekvent (igen mentalt eller på et udkast) tilføjelse, til den anden linje lægger vi den første linje, allerede ganget med –2:

Vi skriver resultatet i anden linje:

Vi behandler den tredje linje på samme måde (3, 2, –5, –1). For at få et nul i den første position, skal du til den tredje linje læg den første linje ganget med –3. Mentalt eller på et udkast, gange den første linje med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linje lægger vi den første linje ganget med –3:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis udføres disse handlinger normalt mundtligt og nedskrives i ét trin:

Det er ikke nødvendigt at tælle alt på én gang og på samme tid. Rækkefølgen af beregninger og "indskrivning" af resultaterne konsekvent og normalt er det sådan her: først omskriver vi den første linje og puster langsomt på os selv - KONSISTENT og OPMÆRKSOMT:

Og jeg har allerede diskuteret den mentale proces af selve beregningerne ovenfor.

I dette eksempel er dette let at gøre; vi dividerer den anden linje med –5 (da alle tal der er delelige med 5 uden en rest). Samtidig dividerer vi den tredje linje med –2, for jo mindre tallene er, jo enklere er løsningen:

På den sidste fase af elementære transformationer skal du få endnu et nul her:

For det til den tredje linje lægger vi den anden linje ganget med –2:

Prøv selv at finde ud af denne handling - gang mentalt den anden linje med –2 og udfør tilføjelsen.

Den sidste handling, der udføres, er resultatets frisure, divider den tredje linje med 3.

Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent system af lineære ligninger opnået:

Fedt nok.

Nu kommer det omvendte af Gauss-metoden ind. Ligningerne "vinder af" fra bund til top.

I den tredje ligning har vi allerede et klar resultat:

Lad os se på den anden ligning: . Betydningen af "zet" er allerede kendt, således:

Og endelig den første ligning:. "Igrek" og "zet" er kendt, det er bare et spørgsmål om små ting:

Svar:

Som det allerede er blevet bemærket flere gange, for ethvert ligningssystem er det muligt og nødvendigt at kontrollere den fundne løsning, heldigvis er dette nemt og hurtigt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, et eksempel på det endelige design og et svar i slutningen af lektionen.

Det skal bemærkes, at din forløbet af beslutningen falder muligvis ikke sammen med min beslutningsproces, og dette er et træk ved Gauss-metoden. Men svarene skal være de samme!

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Jeg gjorde dette:
(1) Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra bevægelse: gange den første linje med –1 (skift fortegn).

(2) Den første linje ganget med 5 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

(3) Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.

(4) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 2.

(5) Den tredje linje blev divideret med 3.

Et dårligt tegn, der indikerer en fejl i beregninger (mere sjældent en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget som , nedenfor, og i overensstemmelse hermed, , så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der er lavet en fejl under elementære transformationer.

Vi lader det omvendte, i design af eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte slag, jeg minder dig om, virker fra bund til top. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

Dette er et eksempel for dig at løse på egen hånd, det er noget mere kompliceret. Det er okay, hvis nogen bliver forvirrede. Fuld løsning og prøvedesign i slutningen af lektionen. Din løsning kan være anderledes end min løsning.

I den sidste del vil vi se på nogle funktioner i den Gaussiske algoritme.
Den første funktion er, at nogle gange mangler nogle variabler i systemligningerne, for eksempel:

Hvordan skriver man den udvidede systemmatrix korrekt? Jeg har allerede talt om dette punkt i klassen. Cramers regel. Matrix metode. I systemets udvidede matrix sætter vi nuller i stedet for manglende variable:

Forresten er dette et ret nemt eksempel, da den første kolonne allerede har et nul, og der er færre elementære transformationer at udføre.

Den anden funktion er denne. I alle de betragtede eksempler placerede vi enten -1 eller +1 på "trinene". Kan der være andre tal der? I nogle tilfælde kan de. Overvej systemet: .

Her på øverste venstre "trin" har vi en toer. Men vi bemærker det faktum, at alle tallene i den første kolonne er delelige med 2 uden en rest - og den anden er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe til os! I det første trin skal du udføre følgende transformationer: læg den første linje ganget med –1 til den anden linje; til den tredje linje læg den første linje ganget med –3. På denne måde får vi de nødvendige nuller i den første kolonne.

Eller et andet konventionelt eksempel: . Her passer de tre på det andet “trin” også os, da 12 (stedet hvor vi skal have nul) er deleligt med 3 uden en rest. Det er nødvendigt at udføre følgende transformation: tilføj den anden linje til den tredje linje, ganget med -4, som et resultat af hvilket nul, vi har brug for, vil blive opnået.

Gauss' metode er universel, men der er en særegenhed. Du kan trygt lære at løse systemer ved hjælp af andre metoder (Cramers metode, matrixmetode) bogstaveligt talt første gang - de har en meget streng algoritme. Men for at føle dig sikker på den Gaussiske metode, skal du blive god til den og løse mindst 5-10 systemer. Derfor kan der i starten være forvirring og fejl i beregninger, og det er der ikke noget usædvanligt eller tragisk i.

Regnfuldt efterårsvejr uden for vinduet.... Derfor til alle, der ønsker at løse et mere komplekst eksempel på egen hånd:

Eksempel 5

Løs et system af fire lineære ligninger med fire ubekendte ved hjælp af Gauss-metoden.

Sådan en opgave er ikke så sjælden i praksis. Jeg tror, at selv en tekande, der har studeret denne side grundigt, vil forstå algoritmen til intuitivt at løse et sådant system. Grundlæggende er alt det samme – der er bare flere handlinger.

Tilfælde, hvor systemet ikke har nogen løsninger (inkonsekvente) eller har uendeligt mange løsninger, diskuteres i lektionen Inkompatible systemer og systemer med en generel løsning. Der kan du rette den betragtede algoritme for Gauss-metoden.

Jeg ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form.

Elementære transformationer udført:
(1) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1. Opmærksomhed! Her kan du blive fristet til at trække den første fra den tredje linje, jeg anbefaler stærkt ikke at trække den fra - risikoen for fejl øges markant. Bare fold den!
(2) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Anden og tredje linje er blevet byttet om. Bemærk, at vi på "trinene" ikke kun er tilfredse med en, men også med -1, hvilket er endnu mere bekvemt.
(3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 5.
(4) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Den tredje linje blev divideret med 14.

Baglæns:

Svar: .

Eksempel 4: Løsning : Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Udførte konverteringer:
(1) En anden linje blev tilføjet til den første linje. Således er den ønskede enhed organiseret i øverste venstre "trin".
(2) Den første linje ganget med 7 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 6 blev tilføjet til den tredje linje.

Med det andet "trin" bliver alt værre , "kandidaterne" til det er tallene 17 og 23, og vi har brug for enten en eller -1. Transformationer (3) og (4) vil være rettet mod at opnå den ønskede enhed

(3) Den anden linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1.
(4) Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med –3.
(3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 4. Den anden linje blev tilføjet til den fjerde linje, ganget med –1.
(4) Tegnet på den anden linje blev ændret. Den fjerde linje blev delt med 3 og placeret i stedet for den tredje linje.
(5) Den tredje linje blev lagt til den fjerde linje, ganget med –5.

Baglæns:

I denne artikel betragtes metoden som en metode til løsning af systemer af lineære ligninger (SLAE'er). Metoden er analytisk, det vil sige, den giver dig mulighed for at skrive en løsningsalgoritme i en generel form og derefter erstatte værdier fra specifikke eksempler der. I modsætning til matrixmetoden eller Cramers formler kan man, når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, også arbejde med dem, der har et uendeligt antal løsninger. Eller også har de det slet ikke.

Hvad vil det sige at løse ved hjælp af Gauss-metoden?

Først skal vi skrive vores ligningssystem i Det ser sådan ud. Tag systemet:

Koefficienterne er skrevet i form af en tabel, og de frie udtryk er skrevet i en separat kolonne til højre. Kolonnen med frie termer er adskilt for nemheds skyld. Matrixen, der indeholder denne kolonne, kaldes udvidet.

Dernæst skal hovedmatrixen med koefficienter reduceres til en øvre trekantet form. Dette er hovedpunktet for at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden. Kort sagt, efter visse manipulationer skal matrixen se ud, så dens nederste venstre del kun indeholder nuller:

Hvis du så skriver den nye matrix igen som et ligningssystem, vil du bemærke, at den sidste række allerede indeholder værdien af en af rødderne, som så substitueres i ligningen ovenfor, en anden rod findes, og så videre.

Dette er en beskrivelse af løsningen ved den Gaussiske metode i de mest generelle vendinger. Hvad sker der, hvis systemet pludselig ikke har nogen løsning? Eller er der uendeligt mange af dem? For at besvare disse og mange andre spørgsmål er det nødvendigt at overveje separat alle de elementer, der bruges til at løse den Gaussiske metode.

Matricer, deres egenskaber

Der er ingen skjult mening i matrixen. Dette er simpelthen en bekvem måde at registrere data til efterfølgende operationer med den. Selv skolebørn behøver ikke at være bange for dem.

Matrixen er altid rektangulær, fordi den er mere praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ud på at konstruere en matrix af en trekantet form, vises et rektangel i indgangen, kun med nuller på det sted, hvor der ikke er tal. Nuller kan ikke skrives, men de er underforstået.

Matrixen har en størrelse. Dens "bredde" er antallet af rækker (m), "længde" er antallet af kolonner (n). Så vil størrelsen af matricen A (store latinske bogstaver bruges normalt til at betegne dem) betegnes som A m×n. Hvis m=n, så er denne matrix kvadratisk, og m=n er dens rækkefølge. Følgelig kan ethvert element i matrix A betegnes med dets række- og kolonnenumre: a xy ; x - rækkenummer, ændringer, y - kolonnenummer, ændringer.

B er ikke hovedpunktet i afgørelsen. I princippet kan alle operationer udføres direkte med selve ligningerne, men notationen bliver meget mere besværlig, og det vil være meget nemmere at blive forvirret i den.

Determinant

Matrixen har også en determinant. Dette er en meget vigtig egenskab. Der er ingen grund til at finde ud af dens betydning nu; du kan blot vise, hvordan den beregnes, og så fortælle, hvilke egenskaber ved matrixen den bestemmer. Den nemmeste måde at finde determinanten på er gennem diagonaler. I matrixen tegnes imaginære diagonaler; elementerne placeret på hver af dem multipliceres, og derefter tilføjes de resulterende produkter: diagonaler med en hældning til højre - med et plustegn, med en hældning til venstre - med et minustegn.

Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix kan du gøre følgende: Vælg den mindste fra antallet af rækker og antallet af kolonner (lad det være k), og marker derefter tilfældigt k kolonner og k rækker i matricen. Elementerne i skæringspunktet mellem de valgte kolonner og rækker vil danne en ny firkantet matrix. Hvis determinanten for en sådan matrix er et ikke-nul tal, kaldes det basis-minor af den oprindelige rektangulære matrix.

Før du begynder at løse et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden, skader det ikke at beregne determinanten. Hvis det viser sig at være nul, så kan vi umiddelbart sige, at matricen enten har et uendeligt antal løsninger eller slet ingen. I sådan et trist tilfælde skal du gå længere og finde ud af matrixens rang.

System klassificering

Der er sådan noget som rangen af en matrix. Dette er den maksimale rækkefølge af dens ikke-nul determinant (hvis vi husker om basis-minor, kan vi sige, at rangen af en matrix er rækkefølgen af basis-minor).

Baseret på situationen med rang kan SLAE opdeles i:

Samling. U I fælles systemer falder rangeringen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangordenen for den udvidede matrix (med en kolonne med frie led). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer desuden opdelt i:
- bestemte- at have en enkelt løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- udefineret - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer i sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
Uforenelig. U I sådanne systemer falder rækkerne af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Gauss-metoden er god, fordi den under løsningen giver mulighed for enten at opnå et entydigt bevis for systemets inkonsistens (uden at beregne determinanterne for store matricer), eller en løsning i generel form for et system med et uendeligt antal løsninger.

Elementære transformationer

Før du går direkte videre til at løse systemet, kan du gøre det mindre besværligt og mere bekvemt til beregninger. Dette opnås gennem elementære transformationer - sådan at deres implementering ikke ændrer det endelige svar på nogen måde. Det skal bemærkes, at nogle af de givne elementære transformationer kun er gyldige for matricer, hvis kilde var SLAE. Her er en liste over disse transformationer:

Omarrangering af linjer. Hvis du ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, vil dette naturligvis ikke påvirke løsningen på nogen måde. Følgelig kan rækker i matrixen af dette system også byttes, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med frie termer.
Multiplicer alle elementer i en streng med en bestemt koefficient. Meget hjælpsom! Det kan bruges til at reducere store tal i en matrix eller fjerne nuller. Mange beslutninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, men yderligere operationer bliver mere bekvemme. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
Fjernelse af rækker med proportionale faktorer. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i en matrix har proportionalkoefficienter, så når en af rækkerne multipliceres/divideres med proportionalitetskoefficienten, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, og de ekstra kan fjernes, hvilket efterlader kun en.
Fjernelse af en nullinje. Hvis der under transformationen opnås en række et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie led, er nul, så kan en sådan række kaldes nul og smidt ud af matricen.
Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uoplagte og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.

Tilføjelse af en streng ganget med en faktor

For at lette forståelsen er det værd at nedbryde denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Lad os sige, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Derefter erstattes den anden række i matrixen med en ny, og den første forbliver uændret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det skal bemærkes, at multiplikationskoefficienten kan vælges på en sådan måde, at et af elementerne i den nye række, som et resultat af at tilføje to rækker, er lig nul. Derfor er det muligt at få en ligning i et system, hvor der vil være en mindre ukendt. Og hvis du får to sådanne ligninger, så kan operationen gøres igen og få en ligning, der vil indeholde to færre ukendte. Og hvis du hver gang drejer en koefficient af alle rækker, der er under den oprindelige, til nul, så kan du ligesom trapper gå ned til bunden af matricen og få en ligning med en ukendt. Dette kaldes at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.

Generelt

Lad der være et system. Den har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det som følger:

Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemkoefficienterne. En kolonne med frie termer føjes til den udvidede matrix og adskilles for nemheds skyld med en linje.

den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 /a 11);
den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nu udføres den samme serie af transformationer, kun den første og tredje række er involveret. Følgelig erstattes element a 21 ved hvert trin i algoritmen med en 31. Så gentages alt for en 41, ... en m1. Resultatet er en matrix, hvor det første element i rækkerne er nul. Nu skal du glemme alt om linje nummer et og udføre den samme algoritme, startende fra linje to:

koefficient k = (-a32/a22);
den anden ændrede linje føjes til den "aktuelle" linje;
resultatet af tilføjelsen erstattes af den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.

Algoritmen skal gentages, indtil koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Det betyder, at sidste gang algoritmen blev udført, kun var for den nederste ligning. Nu ligner matrixen en trekant eller har en trinformet form. I den nederste linje er der ligheden a mn × x n = b m. Koefficienten og frileddet er kendt, og roden udtrykkes gennem dem: x n = b m /a mn. Den resulterende rod sættes ind i den øverste linje for at finde x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Og så videre analogt: I hver næste linje er der en ny rod, og efter at have nået "toppen" af systemet, kan du finde mange løsninger. Det bliver den eneste.

Når der ikke er løsninger

Hvis i en af matrixrækkerne alle elementer undtagen det frie led er lig med nul, så ser ligningen svarende til denne række ud som 0 = b. Det har ingen løsning. Og da en sådan ligning er inkluderet i systemet, så er løsningssættet for hele systemet tomt, det vil sige, det er degenereret.

Når der er et uendeligt antal løsninger

Det kan ske, at der i den givne trekantede matrix ikke er rækker med et koefficientelement i ligningen og et frit led. Der er kun linjer, der, når de omskrives, ville ligne en ligning med to eller flere variable. Det betyder, at systemet har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde kan svaret gives i form af en generel løsning. Hvordan gør man det?

Alle variable i matricen er opdelt i grundlæggende og frie. Grundlæggende er dem, der står "på kanten" af rækkerne i trinmatricen. Resten er gratis. I den generelle løsning er de grundlæggende variabler skrevet gennem frie.

For nemheds skyld omskrives matrixen først tilbage til et ligningssystem. Så i den sidste af dem, hvor der kun er én grundlæggende variabel tilbage, forbliver den på den ene side, og alt andet overføres til den anden. Dette gøres for hver ligning med en grundlæggende variabel. Så, i de resterende ligninger, hvor det er muligt, erstattes udtrykket opnået for det i stedet for den grundlæggende variabel. Hvis resultatet igen er et udtryk, der kun indeholder én grundvariabel, udtrykkes det igen derfra, og så videre, indtil hver grundvariabel er skrevet som et udtryk med frie variable. Dette er den generelle løsning af SLAE.

Du kan også finde den grundlæggende løsning af systemet - giv de frie variable værdier, og beregn derefter værdierne af de grundlæggende variabler i dette specifikke tilfælde. Der er et uendeligt antal særlige løsninger, der kan gives.

Løsning med konkrete eksempler

Her er et ligningssystem.

For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix

Det er kendt, at når den løses ved den Gaussiske metode, vil ligningen svarende til den første række forblive uændret ved slutningen af transformationerne. Derfor vil det være mere rentabelt, hvis det øverste venstre element i matrixen er det mindste - så bliver de første elementer i de resterende rækker efter operationerne til nul. Det betyder, at det i den kompilerede matrix vil være fordelagtigt at sætte den anden række i stedet for den første.

anden linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Nu, for ikke at blive forvirret, skal du nedskrive en matrix med de mellemliggende resultater af transformationerne.

Det er klart, at en sådan matrix kan gøres mere bekvem for perception ved brug af visse operationer. For eksempel kan du fjerne alle "minusser" fra den anden linje ved at gange hvert element med "-1".

Det er også værd at bemærke, at i den tredje linje er alle elementer multipla af tre. Derefter kan du forkorte strengen med dette tal og gange hvert element med "-1/3" (minus - på samme tid for at fjerne negative værdier).

Ser meget pænere ud. Nu skal vi lade den første linje være i fred og arbejde med den anden og tredje. Opgaven er at lægge den anden linje til den tredje linje, ganget med en sådan koefficient, at elementet a 32 bliver lig med nul.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (hvis svaret under nogle transformationer ikke viser sig at være et heltal, anbefales det at opretholde nøjagtigheden af beregningerne for at forlade det "som det er", i form af en almindelig brøk, og først derefter, når svarene er modtaget, beslutte, om der skal afrundes og konverteres til en anden form for optagelse)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrixen skrives igen med nye værdier.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Som du kan se, har den resulterende matrix allerede en trinform. Derfor er yderligere transformationer af systemet ved hjælp af Gauss-metoden ikke nødvendige. Hvad du kan gøre her er at fjerne den overordnede koefficient "-1/7" fra den tredje linje.

Nu er alt smukt. Det eneste, der er tilbage at gøre, er at skrive matricen igen i form af et ligningssystem og beregne rødderne

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 år + 11z = 24 (2)

Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i den Gaussiske metode. Ligning (3) indeholder z-værdien:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligning giver os mulighed for at finde x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Et eksempel på et usikkert system

Varianten med at løse et bestemt system ved hjælp af Gauss-metoden er blevet analyseret; nu er det nødvendigt at overveje sagen, hvis systemet er usikkert, det vil sige, at der kan findes uendeligt mange løsninger på det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Selve systemets udseende er allerede alarmerende, fordi antallet af ukendte er n = 5, og rangeringen af systemmatricen er allerede nøjagtigt mindre end dette tal, fordi antallet af rækker er m = 4, det vil sige, den største rækkefølge af determinant-kvadraten er 4. Det betyder, at der er et uendeligt antal løsninger, og du skal kigge efter dets generelle udseende. Gauss-metoden til lineære ligninger giver dig mulighed for at gøre dette.

Først, som sædvanlig, kompileres en udvidet matrix.

Anden linje: koefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. I den tredje linje er det første element før transformationerne, så du behøver ikke røre ved noget, du skal lade det være som det er. Fjerde linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ved at gange elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de påkrævede rækker, får vi en matrix af følgende form:

Som du kan se, består den anden, tredje og fjerde række af elementer, der er proportionale med hinanden. Den anden og fjerde er generelt identiske, så en af dem kan fjernes med det samme, og den resterende kan ganges med koefficienten "-1" og få linje nummer 3. Og igen, ud af to identiske linjer, lad en.

Resultatet er en matrix som denne. Selvom systemet endnu ikke er skrevet ned, er det nødvendigt at bestemme de grundlæggende variable her - dem, der står ved koefficienterne a 11 = 1 og a 22 = 1, og frie - alle de andre.

I den anden ligning er der kun én grundvariabel - x 2. Det betyder, at det kan udtrykkes derfra ved at skrive det gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.

Resultatet er en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1 . Lad os gøre det samme med det som med x 2.

Alle grundvariabler, hvoraf der er to, er udtrykt i form af tre frie; nu kan vi skrive svaret i generel form.

Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde er nuller normalt valgt som værdier for frie variable. Så vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et ikke-samarbejdsvilligt system

Løsning af inkompatible ligningssystemer ved hjælp af Gauss-metoden er den hurtigste. Den slutter straks, så snart der på et af stadierne opnås en ligning, der ikke har nogen løsning. Det vil sige, at stadiet med at beregne rødderne, som er ret langt og kedeligt, elimineres. Følgende system tages i betragtning:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som sædvanlig er matrixen kompileret:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Og det er reduceret til en trinvis form:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen

uden en løsning. Som følge heraf er systemet inkonsekvent, og svaret vil være det tomme sæt.

Fordele og ulemper ved metoden

Hvis du vælger hvilken metode til at løse SLAE'er på papir med en pen, så ser den metode, der blev diskuteret i denne artikel, den mest attraktive ud. Det er meget sværere at blive forvirret i elementære transformationer, end hvis du manuelt skal søge efter en determinant eller en vanskelig invers matrix. Men hvis du bruger programmer til at arbejde med data af denne type, for eksempel regneark, så viser det sig, at sådanne programmer allerede indeholder algoritmer til beregning af hovedparametrene for matricer - determinant, minor, invers og så videre. Og hvis du er sikker på, at maskinen selv vil beregne disse værdier og ikke laver fejl, er det mere tilrådeligt at bruge matrixmetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynder og slutter med beregningen af determinanter og inverse matricer .

Ansøgning

Da den Gaussiske løsning er en algoritme, og matrixen faktisk er en todimensional matrix, kan den bruges i programmering. Men da artiklen placerer sig som en guide "for dummies", skal det siges, at det nemmeste sted at sætte metoden ind er regneark, for eksempel Excel. Igen vil enhver SLAE, der er indtastet i en tabel i form af en matrix, blive betragtet af Excel som en todimensionel matrix. Og til operationer med dem er der mange gode kommandoer: addition (du kan kun tilføje matricer af samme størrelse!), multiplikation med et tal, multiplikation af matricer (også med visse begrænsninger), at finde de inverse og transponerede matricer og vigtigst af alt , beregner determinanten. Hvis denne tidskrævende opgave erstattes af en enkelt kommando, er det muligt at bestemme rangeringen af matrixen meget hurtigere og derfor fastslå dens kompatibilitet eller inkompatibilitet.

Vi fortsætter med at overveje systemer af lineære ligninger. Denne lektion er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om, hvad et system af lineære ligninger generelt er, hvis du har lyst til en tekande, så anbefaler jeg at starte med det grundlæggende på siden. Dernæst er det nyttigt at studere lektionen.

Lad os først systematisere lidt viden om systemer af lineære ligninger. Et system af lineære ligninger kan:

1) Få en unik løsning. 2) Har uendeligt mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).

Gauss-metoden er det mest kraftfulde og universelle værktøj til at finde en løsning nogen systemer af lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrixmetode er uegnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Og metoden til sekventiel eliminering af ukendte Alligevel vil lede os til svaret! I denne lektion vil vi igen overveje Gauss-metoden for case nr. 1 (den eneste løsning på systemet), en artikel er afsat til situationerne i punkt nr. 2-3. Jeg bemærker, at selve metodens algoritme fungerer ens i alle tre tilfælde.

Lad os vende tilbage til det enkleste system fra lektionen Hvordan løser man et system af lineære ligninger? og løse det ved hjælp af Gauss-metoden.

Det første skridt er at skrive ned udvidet systemmatrix: . Jeg tror, at alle kan se, efter hvilket princip koefficienterne er skrevet. Den lodrette linje inde i matrixen har ingen matematisk betydning - den er blot en gennemstregning for at lette designet.

Reference : Jeg anbefaler dig at huske betingelser lineær algebra. System Matrix er en matrix kun sammensat af koefficienter for ukendte, i dette eksempel systemets matrix: . Udvidet systemmatrix – dette er den samme matrix af systemet plus en kolonne med frie termer, i dette tilfælde: . For kortheds skyld kan enhver af matricerne simpelthen kaldes en matrix.

Efter at den udvidede systemmatrix er skrevet, er det nødvendigt at udføre nogle handlinger med den, som også kaldes elementære transformationer.

Følgende elementære transformationer findes:

1) Strenge matricer Kan omarrangere nogle steder. For eksempel, i den overvejede matrix, kan du smertefrit omarrangere den første og anden række:

3) Hvis der optræder en nulrække i matricen under transformationer, så skal den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nullinjen er den linje, hvori alle nuller.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljeret, men skriver det kort: Endnu en gang: til anden linje tilføjet den første linje ganget med –2. En linje multipliceres normalt mundtligt eller på et udkast, hvor mentalberegningsprocessen foregår sådan her:

"Jeg omskriver matrixen og omskriver den første linje: »

"Nu den anden kolonne. Øverst gange jeg -1 med -2: . Jeg tilføjer den første til den anden linje: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

"Og den tredje kolonne. Øverst gange jeg -5 med -2:. Jeg tilføjer den første til den anden linje: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: »

Elementære transformationer ændrer ikke løsningen af ligningssystemet

Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer reducere den til trinvis udsigt:

(2) Divider den anden linje med 3.

Som et resultat af elementære transformationer opnåede vi tilsvarende oprindelige ligningssystem:

Nu skal systemet "afvikles" i den modsatte retning - fra bund til top kaldes denne proces omvendt af Gauss-metoden.

I den nederste ligning har vi allerede et færdigt resultat: .

Lad os overveje den første ligning af systemet og erstatte den allerede kendte værdi af "y" i den:

Lad os overveje den mest almindelige situation, når den Gaussiske metode kræver løsning af et system af tre lineære ligninger med tre ukendte.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Lad os skrive systemets udvidede matrix:

Nu vil jeg straks tegne det resultat, som vi kommer frem til under løsningen: Og jeg gentager, vores mål er at bringe matrixen til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer. Hvor skal man begynde?

Se først nummeret øverst til venstre: Burde næsten altid være her enhed. Generelt vil –1 (og nogle gange andre tal) duge, men på en eller anden måde er det traditionelt sket, at man normalt er placeret der. Hvordan organiserer man en enhed? Vi ser på den første kolonne - vi har en færdig enhed! Transformation en: skift første og tredje linje:

Nu vil den første linje forblive uændret indtil slutningen af løsningen. Nu fint.

Enheden i øverste venstre hjørne er organiseret. Nu skal du have nuller på disse steder:

Vi skriver resultatet i anden linje:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis udføres disse handlinger normalt mundtligt og nedskrives i ét trin:

Det er ikke nødvendigt at tælle alt på én gang og på samme tid. Rækkefølgen af beregninger og "indskrivning" af resultaterne konsekvent og normalt er det sådan her: først omskriver vi den første linje og puster langsomt på os selv - KONSISTENT og OPMÆRKSOMT:
Og jeg har allerede diskuteret den mentale proces af selve beregningerne ovenfor.

På den sidste fase af elementære transformationer skal du få endnu et nul her:

For det til den tredje linje lægger vi den anden linje ganget med –2:
Prøv selv at finde ud af denne handling - gang mentalt den anden linje med –2 og udfør tilføjelsen.

Den sidste handling, der udføres, er resultatets frisure, divider den tredje linje med 3.

Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent system af lineære ligninger opnået: Fedt nok.

Nu kommer det omvendte af Gauss-metoden ind. Ligningerne "vinder af" fra bund til top.

I den tredje ligning har vi allerede et klar resultat:

Lad os se på den anden ligning: . Betydningen af "zet" er allerede kendt, således:

Og endelig den første ligning:. "Igrek" og "zet" er kendt, det er bare et spørgsmål om små ting:

Svar:

Som det allerede er blevet bemærket flere gange, for ethvert ligningssystem er det muligt og nødvendigt at kontrollere den fundne løsning, heldigvis er dette nemt og hurtigt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, et eksempel på det endelige design og et svar i slutningen af lektionen.

Det skal bemærkes, at din forløbet af beslutningen falder muligvis ikke sammen med min beslutningsproces, og dette er et træk ved Gauss-metoden. Men svarene skal være de samme!

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra bevægelse: gange den første linje med –1 (skift fortegn).

(2) Den første linje ganget med 5 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

(4) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 2.

(5) Den tredje linje blev divideret med 3.

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden

I den sidste del vil vi se på nogle funktioner i den Gaussiske algoritme. Den første funktion er, at nogle gange mangler nogle variabler i systemligningerne, for eksempel: Hvordan skriver man den udvidede systemmatrix korrekt? Jeg har allerede talt om dette punkt i klassen. Cramers regel. Matrix metode. I systemets udvidede matrix sætter vi nuller i stedet for manglende variable: Forresten er dette et ret nemt eksempel, da den første kolonne allerede har et nul, og der er færre elementære transformationer at udføre.

Den anden funktion er denne. I alle de betragtede eksempler placerede vi enten -1 eller +1 på "trinene". Kan der være andre tal der? I nogle tilfælde kan de. Overvej systemet: .

Gauss' metode er universel, men der er en særegenhed. Du kan trygt lære at løse systemer ved hjælp af andre metoder (Cramers metode, matrixmetode) bogstaveligt talt første gang - de har en meget streng algoritme. Men for at føle dig sikker på Gauss-metoden, bør du "sætte tænderne i" og løse mindst 5-10 ti systemer. Derfor kan der i starten være forvirring og fejl i beregninger, og det er der ikke noget usædvanligt eller tragisk i.

Regnfuldt efterårsvejr uden for vinduet.... Derfor til alle, der ønsker at løse et mere komplekst eksempel på egen hånd:

Eksempel 5

Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ubekendte ved hjælp af Gauss-metoden.

Tilfælde, hvor systemet ikke har nogen løsninger (inkonsekvente) eller har uendeligt mange løsninger, diskuteres i lektionen Inkompatible systemer og systemer med en fælles løsning. Der kan du rette den betragtede algoritme for Gauss-metoden.

Jeg ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form.
Elementære transformationer udført: (1) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1. Opmærksomhed! Her kan du blive fristet til at trække den første fra den tredje linje, jeg anbefaler stærkt ikke at trække den fra - risikoen for fejl øges markant. Bare fold den! (2) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Anden og tredje linje er blevet byttet om. Bemærk , at vi på "trinene" ikke kun er tilfredse med en, men også med -1, hvilket er endnu mere bekvemt. (3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 5. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med –1). Den tredje linje blev divideret med 14.

Baglæns:

Svar : .

Eksempel 4: Løsning : Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Udførte konverteringer: (1) En anden linje blev tilføjet til den første linje. Således er den ønskede enhed organiseret i øverste venstre "trin". (2) Den første linje ganget med 7 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 6 blev tilføjet til den tredje linje.

Med det andet "trin" bliver alt værre , "kandidaterne" til det er tallene 17 og 23, og vi har brug for enten en eller -1. Transformationer (3) og (4) vil være rettet mod at opnå den ønskede enhed (3) Den anden linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –1. (4) Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med –3. Det påkrævede element på det andet trin er modtaget. . (5) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 6. (6) Den anden linje blev ganget med –1, den tredje linje blev divideret med -83.

Baglæns:

Svar :

Eksempel 5: Løsning : Lad os nedskrive systemets matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Udførte konverteringer: (1) Den første og anden linje er blevet skiftet. (2) Den første linje blev lagt til den anden linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den tredje linje, ganget med –2. Den første linje blev lagt til den fjerde linje, ganget med –3. (3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med 4. Den anden linje blev tilføjet til den fjerde linje, ganget med –1. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret. Den fjerde linje blev delt med 3 og placeret i stedet for den tredje linje. (5) Den tredje linje blev lagt til den fjerde linje, ganget med –5.

Baglæns:

Svar :

Lad et system af lineære algebraiske ligninger gives, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte xi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).

Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har en enkelt løsning.

Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden ikke egnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, hvilken i alle tilfælde vil lede os til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer ens i alle tre tilfælde. Hvis Cramer- og matrixmetoderne kræver kendskab til determinanter, så behøver man for at anvende Gauss-metoden kun kendskab til aritmetiske operationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.

Augmented matrix transformationer ( dette er systemets matrix - en matrix kun sammensat af koefficienterne for de ukendte plus en kolonne med frie termer) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:

1) Med troki matricer Kan omarrangere nogle steder.

2) hvis der forekommer (eller findes) proportionale (som et specialtilfælde – identiske) rækker i matrixen, skal du slette fra matrixen alle disse rækker undtagen én.

3) hvis en nul-række vises i matricen under transformationer, så skal den også være det slette.

4) en række af matrixen kan være gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.

5) til en række af matrixen kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.

I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ligningssystemet.

Gauss-metoden består af to faser:

"Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer, bring den udvidede matrix af et system af lineære algebraiske ligninger til en "trekant" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse). For eksempel til denne type:

For at gøre dette skal du udføre følgende trin:

1) Lad os betragte den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten for x 1 er lig med K. Den anden, tredje osv. vi transformerer ligningerne som følger: vi dividerer hver ligning (koefficienter for de ukendte, inklusive frie led) med koefficienten for den ukendte x 1 i hver ligning, og multiplicerer med K. Herefter trækker vi den første fra den anden ligning ( koefficienter for ukendte og frie udtryk). For x 1 i den anden ligning får vi koefficienten 0. Fra den tredje transformerede ligning trækker vi den første ligning, indtil alle ligninger undtagen den første, for ukendt x 1, har en koefficient 0.

2) Lad os gå videre til næste ligning. Lad dette være den anden ligning og koefficienten for x 2 lig med M. Vi fortsætter med alle "lavere" ligninger som beskrevet ovenfor. Således vil der "under" den ukendte x 2 være nuller i alle ligninger.

3) Gå videre til næste ligning og så videre, indtil en sidste ukendt og det transformerede frie led er tilbage.

Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n = B. I eksemplet ovenfor er x 3 = 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. Eksempelvis x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre indtil vi finder alle de ukendte.

Eksempel.

Lad os løse systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:

Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det:
1 trin . Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med –1 (skift fortegn).

Trin 2 . Den første linje, ganget med 5, blev tilføjet til den anden linje. Den første linje, ganget med 3, blev tilføjet til den tredje linje.

Trin 3 . Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.

Trin 4 . Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med 2.

Trin 5 . Den tredje linje blev divideret med 3.

Et tegn, der angiver en fejl i beregninger (mer sjældent en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget i stil med (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der blev lavet en fejl under elementær transformationer.

Lad os gøre det omvendte; i udformningen af eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte træk, jeg minder dig om, virker nedefra og op. I dette eksempel var resultatet en gave:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Hvis vi multiplicerer anden og tredje ligning med 4, får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divider den tredje ligning med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Gang den tredje ligning med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Hvis vi trækker den anden fra den tredje ligning, får vi en "trinnet" udvidet matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da fejlen akkumuleret under beregningerne, får vi x 3 = 0,96 eller cirka 1.

x 2 = 3 og x 1 = –1.

Ved at løse på denne måde bliver du aldrig forvirret i beregningerne og trods regnefejlene får du resultatet.

Denne metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for de specifikke egenskaber ved koefficienter for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) skal forholde sig til ikke-heltalskoefficienter.

Jeg ønsker dig succes! Vi ses i klassen! Underviser.

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

Hvad vil det sige at løse ved hjælp af Gauss-metoden?

Først skal vi skrive vores ligningssystem i Det ser sådan ud. Tag systemet:

Matricer, deres egenskaber

Der er ingen skjult mening i matrixen. Dette er simpelthen en bekvem måde at registrere data til efterfølgende operationer med den. Selv skolebørn behøver ikke at være bange for dem.

Determinant

System klassificering

Baseret på situationen med rang kan SLAE opdeles i:

Samling. U I fælles systemer falder rangeringen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangordenen for den udvidede matrix (med en kolonne med frie led). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer desuden opdelt i:
- bestemte- at have en enkelt løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- udefineret - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer i sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
Uforenelig. U I sådanne systemer falder rækkerne af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Elementære transformationer

Omarrangering af linjer. Hvis du ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, vil dette naturligvis ikke påvirke løsningen på nogen måde. Følgelig kan rækker i matrixen af dette system også byttes, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med frie termer.
Multiplicer alle elementer i en streng med en bestemt koefficient. Meget hjælpsom! Det kan bruges til at reducere store tal i en matrix eller fjerne nuller. Mange beslutninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, men yderligere operationer bliver mere bekvemme. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
Fjernelse af rækker med proportionale faktorer. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i en matrix har proportionalkoefficienter, så når en af rækkerne multipliceres/divideres med proportionalitetskoefficienten, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, og de ekstra kan fjernes, hvilket efterlader kun en.
Fjernelse af en nullinje. Hvis der under transformationen opnås en række et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie led, er nul, så kan en sådan række kaldes nul og smidt ud af matricen.
Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uoplagte og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.

Tilføjelse af en streng ganget med en faktor

For at lette forståelsen er det værd at nedbryde denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Lad os sige, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Derefter erstattes den anden række i matrixen med en ny, og den første forbliver uændret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Generelt

Lad der være et system. Den har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det som følger:

Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemkoefficienterne. En kolonne med frie termer føjes til den udvidede matrix og adskilles for nemheds skyld med en linje.

den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 /a 11);
den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koefficient k = (-a32/a22);
den anden ændrede linje føjes til den "aktuelle" linje;
resultatet af tilføjelsen erstattes af den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.

Når der ikke er løsninger

Når der er et uendeligt antal løsninger

Løsning med konkrete eksempler

Her er et ligningssystem.

For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix

anden linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Nu, for ikke at blive forvirret, skal du nedskrive en matrix med de mellemliggende resultater af transformationerne.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrixen skrives igen med nye værdier.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Nu er alt smukt. Det eneste, der er tilbage at gøre, er at skrive matricen igen i form af et ligningssystem og beregne rødderne

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 år + 11z = 24 (2)

Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i den Gaussiske metode. Ligning (3) indeholder z-værdien:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligning giver os mulighed for at finde x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Et eksempel på et usikkert system

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Først, som sædvanlig, kompileres en udvidet matrix.

Ved at gange elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de påkrævede rækker, får vi en matrix af følgende form:

I den anden ligning er der kun én grundvariabel - x 2. Det betyder, at det kan udtrykkes derfra ved at skrive det gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.

Resultatet er en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1 . Lad os gøre det samme med det som med x 2.

Alle grundvariabler, hvoraf der er to, er udtrykt i form af tre frie; nu kan vi skrive svaret i generel form.

Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde er nuller normalt valgt som værdier for frie variable. Så vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et ikke-samarbejdsvilligt system

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som sædvanlig er matrixen kompileret:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Og det er reduceret til en trinvis form:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen

uden en løsning. Som følge heraf er systemet inkonsekvent, og svaret vil være det tomme sæt.