Trigonometriske funktioner hvordan man løser eksempler. Grundlæggende trigonometri formler

Konceptet med at løse trigonometriske ligninger.

• For at løse en trigonometrisk ligning skal du konvertere den til en eller flere grundlæggende trigonometriske ligninger. At løse den trigonometriske ligning kommer i sidste ende ned til at løse de fire grundlæggende trigonometriske ligninger.

Når man løser mange matematiske problemer, især dem, der forekommer før klasse 10, er rækkefølgen af ​​udførte handlinger, der vil føre til målet, klart defineret. Sådanne problemer omfatter for eksempel lineære og andengradsligninger, lineære og kvadratiske uligheder, brøkligninger og ligninger, der reducerer til andengradsligninger. Princippet om vellykket løsning af hver af de nævnte opgaver er som følger: det er nødvendigt at fastslå, hvilken type opgave der løses, husk den nødvendige rækkefølge af handlinger, der vil føre til det ønskede resultat, dvs. svar og følg disse trin.

Det er klart, at succes eller fiasko med at løse et bestemt problem afhænger hovedsageligt af, hvor korrekt typen af ​​ligningen, der løses, bestemmes, hvor korrekt rækkefølgen af ​​alle faser af dens løsning er gengivet. Selvfølgelig er det i dette tilfælde nødvendigt at have færdighederne til at udføre identiske transformationer og beregninger.

En anden situation opstår med trigonometriske ligninger. Det er ikke svært at fastslå, at ligningen er trigonometrisk. Der opstår vanskeligheder, når man skal bestemme rækkefølgen af ​​handlinger, der vil føre til det rigtige svar.

Det er nogle gange vanskeligt at bestemme dens type ved udseendet af en ligning. Og uden at kende typen af ​​ligning, er det næsten umuligt at vælge den rigtige blandt flere dusin trigonometriske formler.

For at løse den trigonometriske ligning skal vi prøve:

1. bringe alle funktionerne i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "de samme funktioner";
3. faktoriser venstre side af ligningen mv.

Overveje grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger.

I. Reduktion til de enkleste trigonometriske ligninger

Løsningsskema

Trin 1. Udtryk den trigonometriske funktion i form af kendte komponenter.

Trin 2 Find funktionsargument ved hjælp af formler:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Trin 3 Find en ukendt variabel.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel substitution

Løsningsskema

Trin 1. Bring ligningen til en algebraisk form med hensyn til en af ​​de trigonometriske funktioner.

Trin 2 Betegn den resulterende funktion med variablen t (indfør om nødvendigt begrænsninger på t).

Trin 3 Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligning.

Trin 4 Foretag en omvendt udskiftning.

Trin 5 Løs den enkleste trigonometriske ligning.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Lad sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2 opfylder ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Ligningsordensreduktionsmetode

Løsningsskema

Trin 1. Erstat denne ligning med en lineær ligning ved hjælp af effektreduktionsformlerne:

synd 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Trin 2 Løs den resulterende ligning ved hjælp af metode I og II.

Eksempel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsskema

Trin 1. Bring denne ligning til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning af første grad)

eller til udsigten

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning af anden grad).

Trin 2 Divider begge sider af ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Trin 3 Løs ligningen ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Lad så tg x = t

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, altså

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligning x = π/4 + πn, n Є Z; fra den anden ligning x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode til at transformere en ligning ved hjælp af trigonometriske formler

Løsningsskema

Trin 1. Brug alle slags trigonometriske formler, bring denne ligning til en ligning, der kan løses med metoderne I, II, III, IV.

Trin 2 Løs den resulterende ligning ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligning 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den anden ligning cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den anden ligning x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og færdighederne til at løse trigonometriske ligninger er meget vigtigt, deres udvikling kræver en betydelig indsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysik osv. er forbundet med løsning af trigonometriske ligninger Processen med at løse sådanne problemer indeholder så at sige mange af den viden og de færdigheder, man opnår, når man studerer trigonometriens elementer.

Trigonometriske ligninger indtager en vigtig plads i processen med undervisning i matematik og personlighedsudvikling generelt.

Har du nogen spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser trigonometriske ligninger?
For at få hjælp fra en vejleder -.
Den første lektion er gratis!

blog.site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og beskeder.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivets fred og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Kræver viden om trigonometriens grundlæggende formler - summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus, udtrykket af tangenten gennem sinus og cosinus m.fl. For dem, der har glemt eller ikke kender dem, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er tid til at omsætte dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger med den rigtige tilgang er det en ganske spændende aktivitet, som for eksempel at løse en Rubiks terning.

Ud fra selve navnet er det tydeligt, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte er under tegnet af en trigonometrisk funktion.
Der er såkaldte simple trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Overveje, hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger, for klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

tremmeseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to trin: Vi bringer ligningen til den enkleste form og løser den derefter som den enkleste trigonometriske ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvormed trigonometriske ligninger løses.

1. Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Lad os erstatte cos(x + /6) med y for enkelhedens skyld og få den sædvanlige andengradsligning:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rødderne af hvilke y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå baglæns

Vi erstatter de fundne værdier af y og får to svar:

2. Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

Lad os flytte alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x - 1 = 0

Vi bruger ovenstående identiteter til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Lad os lave faktoriseringen:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens led med hensyn til sinus og cosinus er af samme grad af samme vinkel. For at løse en homogen ligning, gå frem som følger:

a) overføre alle dets medlemmer til venstre side;

b) sætte alle fælles faktorer ud af parentes;

c) lig alle faktorer og parenteser til 0;

d) i parentes opnås en homogen ligning af en mindre grad, som igen divideres med en sinus eller cosinus i højere grad;

e) løs den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vi erstatter tg x med y og får en andengradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder er y 1 = 1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger til den oprindelige ligning:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Løsning af ligninger, gennem overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x - 5cos x = 7

Lad os gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Skifter alt til venstre:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Divider med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduktion af en hjælpevinkel

Til overvejelse, lad os tage en ligning af formen: a sin x + b cos x \u003d c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter og x er en ukendt.

Divider begge sider af ligningen med:



Nu har ligningens koefficienter, ifølge trigonometriske formler, egenskaberne for sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af ​​kvadrater = 1. Lad os betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor er såkaldt hjælpevinkel. Så vil ligningen antage formen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

eller sin(x + ) = C

Løsningen på denne simple trigonometriske ligning er

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemærkes, at betegnelserne cos og sin er udskiftelige.

Løs ligningen sin 3x - cos 3x = 1

I denne ligning er koefficienterne:

a \u003d, b \u003d -1, så vi dividerer begge dele med \u003d 2

Lektion af kompleks anvendelse af viden.

Lektionens mål.

1. Overvej forskellige metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
2. Udvikling af elevers kreative evner ved at løse ligninger.
3. At opmuntre eleverne til selvkontrol, gensidig kontrol, selvanalyse af deres pædagogiske aktiviteter.

Udstyr: lærred, projektor, referencemateriale.

Under timerne

Indledende samtale.

Den vigtigste metode til at løse trigonometriske ligninger er deres enkleste reduktion. I dette tilfælde bruges de sædvanlige metoder, for eksempel faktorisering, samt teknikker, der kun bruges til at løse trigonometriske ligninger. Der er ret mange af disse tricks, for eksempel forskellige trigonometriske substitutioner, vinkeltransformationer, transformationer af trigonometriske funktioner. Den vilkårlige anvendelse af enhver trigonometrisk transformation forenkler normalt ikke ligningen, men komplicerer den katastrofalt. For generelt at udvikle en plan for løsning af ligningen, for at skitsere en måde at reducere ligningen til den enkleste, er det først og fremmest nødvendigt at analysere vinklerne - argumenterne for de trigonometriske funktioner inkluderet i ligningen.

I dag vil vi tale om metoder til løsning af trigonometriske ligninger. Den rigtige metode kan ofte forenkle løsningen meget, så alle de metoder, vi har studeret, bør altid holdes i vores opmærksomhedszone for at løse trigonometriske ligninger på den mest hensigtsmæssige måde.

II. (Ved hjælp af en projektor gentager vi metoderne til løsning af ligninger.)

1. En metode til at reducere en trigonometrisk ligning til en algebraisk.

Det er nødvendigt at udtrykke alle trigonometriske funktioner gennem én, med det samme argument. Dette kan gøres ved hjælp af den grundlæggende trigonometriske identitet og dens følger. Vi får en ligning med én trigonometrisk funktion. Tager vi det som en ny ukendt, får vi en algebraisk ligning. Vi finder dens rødder og vender tilbage til det gamle ukendte og løser de enkleste trigonometriske ligninger.

2. Metode til faktorisering.

For at ændre vinkler er reduktionsformler, summer og forskelle af argumenter, samt formler til at konvertere summen (forskellen) af trigonometriske funktioner til et produkt og omvendt ofte nyttige.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metode til at indføre en ekstra vinkel.

4. Metode til brug af universel substitution.

Ligninger med formen F(sinx, cosx, tgx) = 0 reduceres til algebraiske ligninger ved hjælp af den universelle trigonometriske substitution

At udtrykke sinus, cosinus og tangens i form af tangens af en halv vinkel. Dette trick kan føre til en højere ordens ligning. Beslutningen er svær.