Tangentligningen har formen. Tangent til en graf for en funktion i et punkt

Tangent er en lige linje , som berører grafen for funktionen på et punkt, og alle punkter er i den mindste afstand fra funktionens graf. Derfor passerer tangenten tangent til funktionens graf i en bestemt vinkel, og flere tangenter kan ikke passere gennem tangentpunktet i forskellige vinkler. Tangentligningerne og ligningerne for normalen til funktionens graf kompileres ved hjælp af den afledede.

Tangentligningen er afledt af ligningen med lige linje .

Vi udleder tangentens ligning og derefter normalens ligning til funktionens graf.

y = kx + b .

I ham k- vinkelkoefficient.

Herfra får vi følgende indgang:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Afledt værdi f "(x 0 ) funktioner y = f(x) på punktet x0 lig med hældningen k=tg φ tangent til grafen for en funktion tegnet gennem et punkt M0 (x 0 , y 0 ) , hvor y0 = f(x 0 ) . Det er hvad geometrisk betydning af derivatet .

Dermed kan vi erstatte k på den f "(x 0 ) og få følgende ligningen for tangenten til funktionens graf :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

I opgaver til kompilering af ligningen for en tangent til grafen for en funktion (og vi vil snart gå videre til dem), er det nødvendigt at bringe ligningen opnået fra ovenstående formel til generel ligning af en ret linje. For at gøre dette skal du overføre alle bogstaver og tal til venstre side af ligningen og lade nul på højre side.

Nu om den normale ligning. Normal er en ret linje, der går gennem tangentpunktet til grafen for funktionen vinkelret på tangenten. Normal ligning :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

For at varme det første eksempel op, bliver du bedt om at løse det selv, og derefter se på løsningen. Der er al mulig grund til at håbe, at denne opgave ikke bliver et "koldt brusebad" for vores læsere.

Eksempel 0. Komponer ligningen for tangenten og ligningen for normalen til grafen for funktionen i et punkt M (1, 1) .

Eksempel 1 Sammensæt tangentens ligning og normalens ligning til grafen for funktionen hvis berøringspunktets abscisse er .

Lad os finde den afledede af funktionen:

Nu har vi alt, der skal erstattes i indgangen givet i den teoretiske reference for at opnå tangentligningen. Vi får

I dette eksempel var vi heldige: hældningen viste sig at være lig med nul, så der var ingen grund til separat at bringe ligningen til en generel form. Nu kan vi skrive normalligningen:

På billedet nedenfor: en graf for en funktion i bordeaux, en tangent i grøn, en normal i orange.

Det næste eksempel er heller ikke kompliceret: Funktionen, som i det foregående, er også et polynomium, men vinkelkoefficienten vil ikke være lig med nul, så et trin mere vil blive tilføjet - hvilket bringer ligningen til en generel form.

Eksempel 2

Løsning. Lad os finde ordinaten for berøringspunktet:

Lad os finde den afledede af funktionen:

.

Lad os finde værdien af ​​den afledede ved kontaktpunktet, det vil sige hældningen af ​​tangenten:

Vi erstatter alle de opnåede data i den "blanke formel" og får tangentligningen:

Vi bringer ligningen til en generel form (vi samler alle bogstaver og tal bortset fra nul på venstre side og lader nul på højre side):

Vi sammensætter ligningen for normalen:

Eksempel 3 Komponer ligningen for tangenten og ligningen for normalen til grafen for funktionen, hvis berøringspunktets abscisse er .

Løsning. Lad os finde ordinaten for berøringspunktet:

Lad os finde den afledede af funktionen:

.

Lad os finde værdien af ​​den afledede ved kontaktpunktet, det vil sige hældningen af ​​tangenten:

.

Vi finder tangentens ligning:

Før du bringer ligningen til en generel form, skal du "kombinere" den lidt: gange led for led med 4. Vi gør dette og bringer ligningen til en generel form:

Vi sammensætter ligningen for normalen:

Eksempel 4 Komponer ligningen for tangenten og ligningen for normalen til grafen for funktionen, hvis berøringspunktets abscisse er .

Løsning. Lad os finde ordinaten for berøringspunktet:

.

Lad os finde den afledede af funktionen:

Lad os finde værdien af ​​den afledede ved kontaktpunktet, det vil sige hældningen af ​​tangenten:

.

Vi får tangentligningen:

Vi bringer ligningen til en generel form:

Vi sammensætter ligningen for normalen:

En almindelig fejl, når man skriver tangent- og normalligninger, er ikke at bemærke, at funktionen i eksemplet er kompleks og beregne dens afledede som den afledede af en simpel funktion. Følgende eksempler er allerede komplekse funktioner(den tilsvarende lektion åbner i et nyt vindue).

Eksempel 5 Komponer ligningen for tangenten og ligningen for normalen til grafen for funktionen, hvis berøringspunktets abscisse er .

Løsning. Lad os finde ordinaten for berøringspunktet:

Opmærksomhed! Denne funktion er kompleks, da argumentet for tangenten (2 x) er i sig selv en funktion. Derfor finder vi den afledede af en funktion som den afledede af en kompleks funktion.

Videotutorialen "Tangensens ligning til grafen for en funktion" demonstrerer undervisningsmateriale til at mestre emnet. I løbet af videolektionen præsenteres det teoretiske materiale, der er nødvendigt for dannelsen af ​​begrebet tangentens ligning til grafen for en funktion på et givet punkt, præsenteres algoritmen til at finde en sådan tangent, eksempler på løsning af problemer ved hjælp af studeret teoretisk materiale beskrives.

Videotutorialen bruger metoder, der forbedrer materialets synlighed. Tegninger, diagrammer indsættes i visningen, vigtige stemmekommentarer gives, animation, farvefremhævning og andre værktøjer anvendes.

Videolektionen begynder med præsentationen af ​​lektionens emne og billedet af en tangent til grafen for en funktion y=f(x) i punktet M(a;f(a)). Det er kendt, at hældningen af ​​tangenten tegnet til grafen i et givet punkt er lig med den afledede af funktionen f΄(a) i et givet punkt. Også fra algebraforløbet kendes ligningen for den rette linje y=kx+m. Løsningen af ​​problemet med at finde tangentligningen i et punkt præsenteres skematisk, hvilket reducerer til at finde koefficienterne k, m. Ved at kende koordinaterne til det punkt, der hører til funktionens graf, kan vi finde m ved at substituere værdien af ​​koordinaterne i tangentens ligning f(a)=ka+m. Fra den finder vi m=f(a)-ka. Ved at kende værdien af ​​den afledede i et givet punkt og punktets koordinater kan vi således repræsentere tangentligningen på denne måde y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Det følgende er et eksempel på at tegne en tangentligning efter skemaet. Givet en funktion y=x 2, x=-2. Efter at have accepteret a=-2, finder vi værdien af ​​funktionen på dette punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den afledede af funktionen f΄(х)=2х. På dette tidspunkt er den afledte lig med f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. For at kompilere ligningen findes alle koefficienter a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, så tangentligningen y=4+(-4)(x+2). Forenkling af ligningen får vi y \u003d -4-4x.

I det følgende eksempel foreslås det at formulere ligningen for tangenten ved origo til grafen for funktionen y=tgx. På dette tidspunkt er a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangentligningen ser ud som y=x.

Som en generalisering er processen med at kompilere ligningen for tangenten til funktionsgrafen på et tidspunkt formaliseret som en algoritme bestående af 4 trin:

• Der indføres en betegnelse for kontaktpunktets abscisse;
• f(a) beregnes;
• F΄(х) bestemmes, og f΄(a) beregnes. De fundne værdier a, f(a), f΄(a) er substitueret i formlen for tangentligningen y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 betragter kompileringen af ​​tangentens ligning til grafen for funktionen y \u003d 1 / x i punktet x \u003d 1. Vi bruger en algoritme til at løse problemet. For denne funktion i punktet a=1 er værdien af ​​funktionen f(a)=-1. Afledt af funktionen f΄(х)=1/х 2 . I punktet a=1 er den afledte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved hjælp af de opnåede data kompileres ligningen for tangenten y \u003d -1 + (x-1), eller y \u003d x-2.

I eksempel 2 skal du finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er paralleliteten af ​​tangenten og den lige linje y \u003d -2x + 1. Først finder vi hældningen af ​​tangenten, lig med hældningen af ​​den lige linje y \u003d -2x + 1. Da f΄(a)=-2 for denne rette linje, så er k=-2 for den ønskede tangent. Vi finder den afledede af funktionen (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Når vi ved, at f΄(a)=-2, finder vi koordinaterne for punktet 3а 2 +6а-2=-2. Ved at løse ligningen får vi en 1 \u003d 0 og 2 \u003d -2. Ved hjælp af de fundne koordinater kan du finde tangentligningen ved hjælp af en velkendt algoritme. Vi finder værdien af ​​funktionen i punkterne f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Værdien af ​​den afledte i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved at erstatte de fundne værdier i tangentligningen får vi for det første punkt a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, og for det andet punkt a 2 \u003d -2 tangentligningen y \u003d -2x- 22.

Eksempel 3 beskriver formuleringen af ​​tangentligningen for dens tegning i punktet (0;3) til grafen for funktionen y=√x. Beslutningen træffes i henhold til den kendte algoritme. Berøringspunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Værdien af ​​funktionen i punktet f(a)=√x. Den afledte af funktionen f΄(х)=1/2√х, derfor i det givne punkt f΄(а)=1/2√а. Ved at erstatte alle de opnåede værdier i tangentligningen får vi y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Ved at transformere ligningen får vi y=x/2√a+√a/2. Når vi ved, at tangenten går gennem punktet (0; 3), finder vi værdien af ​​a. Find a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finder ligningen for tangenten y \u003d x / 12 + 3. Figuren viser grafen for den pågældende funktion og den konstruerede ønskede tangent.

Eleverne bliver mindet om de omtrentlige ligheder Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tager vi x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deraf f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendigt at finde den omtrentlige værdi af udtrykket 2,003 6 . Da det er nødvendigt at finde værdien af ​​funktionen f (x) \u003d x 6 i punktet x \u003d 2.003, kan vi bruge den velkendte formel, idet vi tager f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Afledt ved punkt f΄(2)=192. Derfor er 2,003 6 ≈65-192 0,003. Efter udregning af udtrykket får vi 2,003 6 ≈64,576.

Video lektionen "Ligningen af ​​tangenten til grafen for en funktion" anbefales til brug i en traditionel matematiktime på skolen. For en fjernundervisningslærer vil videomaterialet hjælpe med at forklare emnet mere klart. Videoen kan anbefales til selvovervejelse af eleverne, hvis det er nødvendigt for at uddybe deres forståelse af emnet.

TEKSTFOLKNING:

Vi ved, at hvis punktet M (a; f (a)) (em med koordinaterne a og ef fra a) hører til grafen for funktionen y \u003d f (x), og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, ikke vinkelret på aksen abscisse, så er hældningen af ​​tangenten f "(a) (ef streg fra a).

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f´(a) eksisterer. Lad os sammensætte ligningen for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Denne ligning, ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med y-aksen, har formen y = kx + m (y er lig med ka x plus em), så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m. (ka og em)

Hældning k \u003d f "(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje passerer gennem punktet M (a; f (a)). Dette betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punkt M i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed : f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne ki og m i ligningen for en lige linje:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en). ( Y er lig med eff fra et plus ef streg fra a ganget med x minus a).

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis f.eks. y \u003d x 2 og x \u003d -2 (dvs. a \u003d -2), så f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, så f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (så er eff fra a lig med fire, eff primtal fra x er lig med to x, hvilket betyder ef slag fra a er lig med minus fire)

Ved at erstatte de fundne værdier i ligningen a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, får vi: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , dvs. y \u003d -4x -fire.

(y er lig med minus fire x minus fire)

Lad os sammensætte ligningen for tangenten til grafen for funktionen y \u003d tgx (y er lig med tangenten x) ved oprindelsen. Vi har: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , så f"(0) = l. Ved at erstatte de fundne værdier a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen får vi: y=x.

Vi generaliserer vores trin til at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen i punktet x ved hjælp af algoritmen.

ALGORIME TIL KOMPONERING AF FUNKTIONENS LIGNING, der tangerer GRAFEN y \u003d f (x):

1) Angiv berøringspunktets abscisse med bogstavet a.

2) Beregn f(a).

3) Find f´(x) og beregn f´(a).

4) Erstat de fundne tal a, f(a), f´(a) i formlen y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en).

Eksempel 1. Skriv ligningen for tangenten til grafen for funktionen y \u003d - in

punkt x = 1.

Løsning. Lad os bruge algoritmen i betragtning af det i dette eksempel

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Erstat de tre fundne tal: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1 i formlen. Vi får: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Givet en funktion y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ligningen for tangenten til grafen for funktionen y \u003d f (x), parallelt med den rette linje y \u003d -2x +1.

Ved at bruge algoritmen til at kompilere tangentligningen tager vi højde for, at i dette eksempel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men berøringspunktets abscisse er ikke specificeret her.

Lad os begynde at tale sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y \u003d -2x + 1. Og parallelle linjer har lige hældninger. Derfor er hældningen af ​​tangenten lig med hældningen af ​​den givne rette linje: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f ´ (a) \u003d -2.

Lad os finde den afledede af funktionen y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

Fra ligningen f "(a) \u003d -2, dvs. 3а 2 +6а-2\u003d -2 finder vi en 1 \u003d 0, en 2 \u003d -2. Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: den ene i et punkt med abscisse 0, den anden i et punkt med abscisse -2.

Nu kan du handle i henhold til algoritmen.

1) en 1 \u003d 0 og 2 \u003d -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2-2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Ved at erstatte værdierne a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 i formlen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved at erstatte værdierne a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 i formlen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Tegn en tangent til grafen for funktionen y \u003d fra punktet (0; 3). Løsning. Lad os bruge algoritmen til at kompilere tangentligningen, givet at i dette eksempel f(x) = . Bemærk, at her, som i eksempel 2, er berøringspunktets abscisse ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre handler vi efter algoritmen.

1) Lad x = a være berøringspunktets abscisse; det er klart, at a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Substitution af værdierne a, f(a) = , f "(a) = i formlen

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 3). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og derefter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun ved det fjerde trin af algoritmen at finde berøringspunktets abscisse. Hvis værdien a =36 indsættes i ligningen, får vi: y=+3

På fig. Figur 1 viser en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf af funktionen y \u003d er plottet, en ret linje y \u003d +3 tegnes.

Svar: y = +3.

Vi ved, at for funktionen y = f(x), som har en afledet i punktet x, er den omtrentlige lighed sand: Δyf´(x)Δx

eller mere detaljeret f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef fra x plus delta x minus ef fra x er omtrent lig med ef primtal fra x til delta x).

For at lette yderligere begrundelse ændrer vi notationen:

i stedet for x skriver vi -en,

i stedet for x + Δx skriver vi x

i stedet for Δx vil vi skrive x-a.

Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef fra x er omtrent lig med eff fra et plus ef streg fra a, ganget med forskellen mellem x og a).

Eksempel 4. Find den omtrentlige værdi af det numeriske udtryk 2,003 6 .

Løsning. Vi taler om at finde værdien af ​​funktionen y \u003d x 6 i punktet x \u003d 2,003. Lad os bruge formlen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), i betragtning af at i dette eksempel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2.003, f "(x) \u003d 6x 5 og derfor f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.

Tangent er en ret linje, der går gennem et punkt i kurven og falder sammen med det på dette punkt op til første orden (fig. 1).

Anden definition: dette er grænsepositionen for sekanten ved Δ x→0.

Forklaring: Tag en linje, der skærer kurven i to punkter: MEN og b(se billedet). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med uret, indtil den kun har ét fælles punkt med kurven. Så vi får en tangent.

Strenge definition af en tangent:

Tangent til funktionsgraf f, differentierbar på et tidspunkt xom, er en linje, der går gennem punktet ( xom; f(xom)) og har en hældning f′( xom).

Skråningen har en lige linje y=kx +b. Koefficient k og er hældningsfaktor denne lige linje.

Vinkelkoefficienten er lig med tangenten af ​​den spidse vinkel dannet af denne rette linje med x-aksen:

Her er vinklen α vinklen mellem linjen y=kx +b og den positive (dvs. mod uret) retning af x-aksen. Det kaldes hældningsvinkel lige(Fig. 1 og 2).

Hvis hældningsvinklen er lige y=kx +b akut, så er hældningen et positivt tal. Grafen stiger (fig. 1).

Hvis hældningsvinklen er lige y=kx +b stump, så er hældningen et negativt tal. Grafen er aftagende (fig. 2).

Hvis linjen er parallel med x-aksen, så er linjens hældning nul. I dette tilfælde er linjens hældning også nul (da tangenten til nul er nul). Ligningen vil se ud som y = b (fig. 3).

Hvis hældningsvinklen for en ret linje er 90º (π/2), dvs. den er vinkelret på x-aksen, så er den rette linje givet af ligheden x=c, hvor c- et reelt tal (fig. 4).

Ligningen for tangenten til grafen for funktioneny = f(x) på punktet xom:

Eksempel : Lad os finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning .

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xom er lig med 2. Beregn f(xom):

f(xom) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Find f′( x). For at gøre dette bruger vi differentieringsformlerne skitseret i det foregående afsnit. Ifølge disse formler, x 2 = 2x, a x 3 = 3x 2. Midler:

f′( x) = 3x 2 – 2 ∙ 2x = 3x 2 – 4x.

Brug nu den resulterende værdi f′( x), Beregn f′( xom):

f′( xom) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle de nødvendige data: xom = 2, f(xom) = 1, f ′( xom) = 4. Vi indsætter disse tal i tangentligningen og finder den endelige løsning:

y= f(xom) + f′( xom) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Svar: y \u003d 4x - 7.

Instruktion

Vi bestemmer hældningen af ​​tangenten til kurven i punktet M.
Kurven, der repræsenterer grafen for funktionen y = f(x), er kontinuerlig i et eller andet område af punktet M (inklusive selve punktet M).

Hvis værdien f'(x0) ikke eksisterer, er der enten ingen tangent, eller også passerer den lodret. I lyset af dette skyldes tilstedeværelsen af ​​den afledede af funktionen i punktet x0 eksistensen af ​​en ikke-vertikal tangent, der er i kontakt med grafen for funktionen i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfælde vil hældningen af ​​tangenten være lig med f "(x0). Således bliver den geometriske betydning af den afledte klar - beregningen af ​​hældningen af ​​tangenten.

Find værdien af ​​kontaktpunktets abscisse, som er angivet med bogstavet "a". Hvis det falder sammen med det givne tangentpunkt, så vil "a" være dets x-koordinat. Bestem værdien funktioner f(a), substituerer i ligningen funktioner abscissens størrelse.

Bestem den første afledede af ligningen funktioner f'(x) og indsæt værdien af ​​punktet "a" i det.

Tag den generelle tangentligning, der er defineret som y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), og erstat de fundne værdier af a, f (a), f "( a) ind i. Som et resultat vil løsningen af ​​grafen blive fundet og tangere.

Løs opgaven på en anden måde, hvis det givne tangentpunkt ikke faldt sammen med tangentpunktet. I dette tilfælde er det nødvendigt at erstatte "a" i stedet for tal i tangentligningen. Derefter erstatter du værdien af ​​koordinaterne for det givne punkt i stedet for bogstaverne "x" og "y". Løs den resulterende ligning, hvor "a" er det ukendte. Indsæt den resulterende værdi i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bogstavet "a", hvis ligningen er givet i opgavens tilstand funktioner og ligningen af ​​en parallel linje i forhold til den ønskede tangent. Derefter har du brug for et derivat funktioner

Lad en funktion f være givet, som på et tidspunkt x 0 har en endelig afledt f (x 0). Så kaldes linjen, der går gennem punktet (x 0; f (x 0)), som har en hældning f '(x 0), en tangent.

Men hvad sker der, hvis den afledede i punktet x 0 ikke eksisterer? Der er to muligheder:

1. Tangenten til grafen findes heller ikke. Det klassiske eksempel er funktionen y = |x | på punktet (0; 0).
2. Tangenten bliver lodret. Dette gælder for eksempel for funktionen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-lodret ret linje er givet ved en ligning på formen y = kx + b, hvor k er hældningen. Tangenten er ingen undtagelse, og for at sammensætte dens ligning på et tidspunkt x 0, er det nok at kende værdien af ​​funktionen og den afledede på dette tidspunkt.

Så lad en funktion gives y \u003d f (x), som har en afledt y \u003d f '(x) på segmentet. Derefter kan der ved ethvert punkt x 0 ∈ (a; b) trækkes en tangent til grafen for denne funktion, som er givet ved ligningen:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Her er f '(x 0) værdien af ​​den afledede i punktet x 0, og f (x 0) er værdien af ​​selve funktionen.

En opgave. Givet en funktion y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen for denne funktion i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er givet til os, men værdierne f (x 0) og f '(x 0) skal beregnes.

Lad os først finde værdien af ​​funktionen. Alt er nemt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Lad os nu finde den afledede: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Erstat i den afledte x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Så vi får: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Dette er tangentligningen.

En opgave. Komponer ligningen for tangenten til grafen for funktionen f (x) \u003d 2sin x + 5 i punktet x 0 \u003d π / 2.

Denne gang vil vi ikke beskrive hver handling i detaljer - vi vil kun angive de vigtigste trin. Vi har:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentligning:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sidstnævnte tilfælde viste linjen sig at være vandret, fordi dens hældning k = 0. Det er der ikke noget galt i - vi faldt lige over et ekstremum.