Kui kaks märki on vähem, siis funktsioon suureneb. Funktsiooni omadused

Monotoonne

Funktsiooni väga oluline omadus on selle monotoonsus. Teades seda erinevate erifunktsioonide omadust, saab määrata erinevate füüsiliste, majanduslike, sotsiaalsete ja paljude muude protsesside käitumist.

Eristatakse järgmisi funktsioonide monotoonsuse tüüpe:

1) funktsiooni suureneb, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et . Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele;

2) funktsiooni väheneb, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et . Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele;

3) funktsiooni mitte vähenev, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall nii, et ;

4) funktsiooni ei suurene, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et .

2. Esimesel kahel juhul kasutatakse ka mõistet "range monotoonsus".

3. Viimased kaks juhtumit on spetsiifilised ja on tavaliselt määratletud mitme funktsiooni koosseisuna.

4. Eraldi märgime, et funktsiooni graafiku suurendamist ja vähenemist tuleks käsitleda täpselt vasakult paremale ja mitte midagi muud.

2. Isegi veider.

Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui argumendi märgi muutumisel muudab see selle väärtuse vastupidiseks. Selle valem näeb välja selline. See tähendab, et pärast miinus x väärtuste asendamist funktsiooniga kõigi x-de asemel muudab funktsioon oma märki. Sellise funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes.

Näited paaritutest funktsioonidest on jne.

Näiteks on graafik tõepoolest sümmeetriline päritolu suhtes:

Funktsiooni nimetatakse paaristeks kui argumendi märgi muutmine ei muuda selle väärtust. Selle valem näeb välja selline. See tähendab, et pärast miinus x väärtuste asendamist funktsiooni kõigi x-de asemel ei muutu funktsioon selle tulemusena. Sellise funktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline.

Paarisfunktsioonide näited on jne.

Näiteks näitame graafiku sümmeetriat telje suhtes:

Kui funktsioon ei kuulu ühtegi määratud tüüpi, siis ei nimetata seda ei paaris ega paaritu või üldine funktsioon. Sellistel funktsioonidel puudub sümmeetria.

Selline funktsioon on näiteks hiljuti vaadeldud lineaarfunktsioon graafikuga:

3. Funktsioonide eriomadus on perioodilisus.

Fakt on see, et tavalises kooliõppekavas käsitletavad perioodilised funktsioonid on ainult trigonomeetrilised funktsioonid. Oleme neist juba üksikasjalikult rääkinud vastavat teemat uurides.

Perioodiline funktsioon on funktsioon, mis ei muuda oma väärtust, kui argumendile lisatakse konstantne nullist erinev arv.

Seda miinimumnumbrit kutsutakse funktsiooni periood ja on tähistatud tähega.

Selle valem näeb välja selline: .

Vaatame seda omadust siinusgraafiku näitel:

Tuletame meelde, et funktsioonide ja periood on ning periood ja on .

Nagu me juba teame, võib keeruka argumendiga trigonomeetriliste funktsioonide jaoks olla ebastandardne periood. Need on vormi funktsioonid:

Neil on sama periood. Ja funktsioonide kohta:

Neil on sama periood.

Nagu näete, jagatakse uue perioodi arvutamiseks standardperiood lihtsalt argumendi teguriga. See ei sõltu funktsiooni muudest muudatustest.

Piirang.

Funktsioon y=f(x) nimetatakse hulgal X⊂D(f) altpoolt piiritletuks, kui on olemas arv a, mille korral mis tahes xϵX korral on võrratus f(x)< a.

Funktsioon y=f(x) nimetatakse hulgal X⊂D(f) ülalt piirituks, kui on olemas arv a, mille korral mis tahes xϵX korral on võrratus f(x)< a.

Kui intervalli X ei näidata, siis loetakse, et funktsioon on piiratud kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Nii ülalt kui altpoolt piiritletud funktsiooni nimetatakse piirituks.

Funktsiooni piirangut on graafikult lihtne välja lugeda. Võimalik on tõmmata mingi sirge y=a ja kui funktsioon on sellest sirgest kõrgem, siis on see altpoolt piiratud.

Kui allpool, siis vastavalt üleval. Allpool on madalama piiriga funktsiooni graafik. Piiratud funktsiooni graafik, poisid, proovige see ise joonistada.

Teema: Funktsioonide omadused: suurenemise ja kahanemise intervallid; suurimad ja väikseimad väärtused; äärmuspunktid (lokaalne maksimum ja miinimum), funktsiooni kumerus.

tõusu ja languse perioodid.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

kui funktsiooni tuletis y=f(x) positiivne mis tahes jaoks x intervallist X, siis funktsioon suureneb võrra X;

kui funktsiooni tuletis y=f(x) negatiivne mis tahes x intervallist X, siis funktsioon väheneb võrra X.

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

leida funktsiooni ulatus;

leida funktsiooni tuletis;

lahendada ebavõrdsust ja määratlusvaldkonnas;

Funktsiooni äärmused

2. definitsioon

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabrus on selline, et kõigi selle naabruskonna $x$ jaoks on ebavõrdsus $f(x)\le f(x_0 )$ on rahul.

3. määratlus

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabruskond on selline, et kogu selle naabruskonna $x$ korral on ebavõrdsus $f(x)\ge f(x_0) $ on rahul.

Funktsiooni ekstreemumi mõiste on tihedalt seotud funktsiooni kriitilise punkti mõistega. Tutvustame selle määratlust.

4. määratlus

$x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ kriitiliseks punktiks, kui:

1) $x_0$ - määratluspiirkonna sisepunkt;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ või seda pole olemas.

Ekstreemumi mõiste jaoks saab sõnastada teoreeme selle olemasolu piisavate ja vajalike tingimuste kohta.

2. teoreem

Piisav äärmuslik seisund

Olgu punkt $x_0$ funktsiooni $y=f(x)$ jaoks kriitiline ja asub intervallis $(a,b)$. Olgu igal intervallil $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ tuletis $f"(x)$ ja säilitage konstantne märk. Seejärel:

1) Kui intervallil $(a,x_0)$ on tuletis $f"\left(x\right)>0$ ja intervallil $(x_0,b)$ tuletis $f"\left(x\ õige)

2) Kui tuletis $f"\left(x\right)0$ on vahemikus $(a,x_0)$, siis on punkt $x_0$ selle funktsiooni miinimumpunkt.

3) Kui nii intervallil $(a,x_0)$ kui ka intervallil $(x_0,b)$ on tuletis $f"\left(x\right) >0$ või tuletis $f"\left(x \paremal)

Seda teoreemi illustreerib joonis 1.

Joonis 1. Piisav tingimus ekstreemide olemasoluks

Näited äärmustest (joonis 2).

Joonis 2. Ekstreemumipunktide näited

Ekstreemumi funktsiooni uurimise reegel

2) Leia tuletis $f"(x)$;

7) Tee järeldused maksimumide ja miinimumide olemasolu kohta igal intervallil, kasutades teoreemi 2.

Kasvav ja kahanev funktsioon

Tutvustame esmalt kasvavate ja kahanevate funktsioonide definitsioone.

Definitsioon 5

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kasvavaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1

Definitsioon 6

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kahanevaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1f(x_2)$.

Suurendamise ja vähendamise funktsiooni uurimine

Tuletise abil saate uurida suurendamise ja vähendamise funktsioone.

Funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide uurimiseks peate tegema järgmist.

1) Leia funktsiooni $f(x)$ domeen;

2) Leia tuletis $f"(x)$;

3) Leia punktid, kus võrdus $f"\left(x\right)=0$;

4) Leia punktid, kus $f"(x)$ ei eksisteeri;

5) Märgi koordinaatjoonele kõik leitud punktid ja antud funktsiooni domeen;

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal saadud intervallil;

7) Järeldage: intervallidel, kus $f"\left(x\right)0$ funktsioon suureneb.

Näited probleemidest suurendamise, vähendamise ja ekstreemumipunktide esinemise funktsioonide uurimisel

Näide 1

Uurige suurendamise ja kahanemise funktsiooni ning maksimum- ja miinimumpunktide olemasolu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kuna esimesed 6 punkti on samad, siis loosime need esimesena välja.

1) Määratluspiirkond – kõik reaalarvud;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ eksisteerib definitsioonipiirkonna kõigis punktides;

5) Koordinaatjoon:

Joonis 3

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal intervallil:

\ \ . See leitakse maksimaalsete punktide abil ja võrdub funktsiooni maksimaalse väärtusega ning teine ​​arv on rohkem nagu maksimumpunkti leidmine x = b.

Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide leidmiseks on vaja rakendada ekstreemumi märke juhul, kui funktsioon neid tingimusi täidab. Esimene funktsioon on kõige sagedamini kasutatav.

Ekstreemumi esimene piisav tingimus

Olgu antud funktsioon y = f (x), mis on diferentseeruv punkti x 0 naabruses ε ja millel on pidevus antud punktis x 0 . Seetõttu saame selle

• kui f "(x) > 0, kui x ∈ (x 0 - ε; x 0) ja f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kui f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) korral, siis x 0 on miinimumpunkt.

Teisisõnu saame nende märgi seadmise tingimused:

• kui funktsioon on pidev punktis x 0, siis on tal muutuva märgiga tuletis, st + -st -, mis tähendab, et punkti nimetatakse maksimumiks;
• kui funktsioon on pidev punktis x 0, siis on tal tuletis muutuva märgiga -st +-ni, mis tähendab, et punkti nimetatakse miinimumiks.

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide õigeks määramiseks peate järgima nende leidmise algoritmi:

• leida määratluspiirkond;
• leida sellel alal funktsiooni tuletis;
• tuvastada nullid ja punktid, kus funktsiooni ei eksisteeri;
• tuletise märgi määramine intervallidel;
• valige punktid, kus funktsioon muudab märki.

Vaatleme algoritmi mitme funktsiooni äärmuse leidmise näite lahendamise näitel.

Näide 1

Leia antud funktsiooni y = 2 (x + 1) 2 x - 2 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus

Selle funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud, välja arvatud x = 2. Esiteks leiame funktsiooni tuletise ja saame:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2)" (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Siit näeme, et funktsiooni nullid on x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, see tähendab, et iga sulg tuleb võrdsustada nulliga. Märgi numbrireale ja saad:

Nüüd määrame iga intervalli tuletise märgid. Vaja on valida intervalli kuuluv punkt, asendada see avaldisega. Näiteks punktid x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Me saame sellest aru

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, seega on intervallil - ∞; - 1 positiivne tuletis. Samamoodi saame, et

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Kuna teine ​​intervall osutus nullist väiksemaks, tähendab see, et segmendi tuletis on negatiivne. Kolmas miinusega, neljas plussiga. Järjepidevuse määramiseks on vaja pöörata tähelepanu tuletise märgile, kui see muutub, siis on tegemist ekstreemumipunktiga.

Saame, et punktis x = - 1 on funktsioon pidev, mis tähendab, et tuletis muudab märgi + asemel -. Esimese märgi järgi on meil, et x = - 1 on maksimumpunkt, mis tähendab, et saame

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punkt x = 5 näitab, et funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi - asemel +. Seega on x=-1 miinimumpunkt ja selle leidmisel on vorm

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Graafiline pilt

Vastus: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24 .

Tähelepanu tasub pöörata asjaolule, et ekstreemumi esimese piisava märgi kasutamine ei eelda, et funktsioon oleks diferentseeruv punktist x 0 ja see lihtsustab arvutamist.

Näide 2

Leia funktsiooni y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus.

Funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud. Selle saab kirjutada võrrandisüsteemina järgmisel kujul:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Seejärel peate leidma tuletise:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 a" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punktil x = 0 ei ole tuletist, kuna ühepoolsete piiride väärtused on erinevad. Saame selle:

lim y "x → 0 - 0 = piir yx → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 limiit "x → 0 + 0 = piir yx → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Sellest järeldub, et funktsioon on pidev punktis x = 0, siis arvutame

lim yx → 0 - 0 = piir x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim yx → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 a (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Argumendi väärtuse leidmiseks tuleb teha arvutused, kui tuletis muutub nulliks:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Kõik saadud punktid tuleb joonele märkida, et määrata iga intervalli märk. Seetõttu on vaja tuletis arvutada iga intervalli suvalistes punktides. Näiteks võime võtta punkte väärtustega x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Me saame sellest aru

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 a "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 a "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Sirgjoonel oleval kujutisel on vorm

Niisiis, jõuame selleni, et on vaja kasutada ekstreemumi esimest märki. Me arvutame ja saame selle

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , siis siit alates on maksimumpunktide väärtused x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Liigume edasi miinimumide arvutamise juurde:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Arvutame välja funktsiooni maksimumid. Me saame sellest aru

ymax = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Graafiline pilt

Vastus:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 ymax = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Kui funktsioon f "(x 0) = 0 on antud, siis selle f "" (x 0) > 0 abil saame, et x 0 on miinimumpunkt, kui f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Näide 3

Leia funktsiooni y = 8 x x + 1 maksimumid ja miinimumid.

Lahendus

Esiteks leiame määratluspiirkonna. Me saame sellest aru

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

On vaja eristada funktsiooni, mille järel saame

y "= 8 xx + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1)" (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kui x = 1, võrdub tuletis nulliga, mis tähendab, et punkt on võimalik ekstreemum. Selguse huvides on vaja leida teine ​​tuletis ja arvutada väärtus x \u003d 1 juures. Saame:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Seega, kasutades ekstreemumi piisavat tingimust 2, saame, et x = 1 on maksimumpunkt. Vastasel juhul on kirje y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Graafiline pilt

Vastus: y m a x = y (1) = 4 ..

Funktsiooni y = f (x) tuletis on kuni n-ndat järku antud punkti x 0 naabruses ε ja selle tuletis kuni n + 1. järku punktis x 0 . Siis f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0.

Sellest järeldub, et kui n on paarisarv, siis x 0 loetakse käändepunktiks, kui n on paaritu arv, siis x 0 on äärmuspunkt ja f (n + 1) (x 0) > 0, siis x 0 on miinimumpunkt, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Näide 4

Leia funktsiooni y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus

Algne funktsioon on terve ratsionaalne funktsioon, seega järeldub, et määratluspiirkond on kõik reaalarvud. Funktsioon tuleb eristada. Me saame sellest aru

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

See tuletis läheb nulli, kui x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. See tähendab, et punktid võivad olla võimaliku ekstreemumi punktid. Vaja on rakendada kolmandat piisavat äärmuse tingimust. Teise tuletise leidmine võimaldab täpselt määrata funktsiooni maksimumi ja miinimumi olemasolu. Teine tuletis arvutatakse selle võimaliku ekstreemumi punktides. Me saame sellest aru

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

See tähendab, et x 2 \u003d 5 7 on maksimumpunkt. Rakendades 3 piisavat kriteeriumi, saame, et n = 1 ja f (n + 1) korral 5 7< 0 .

On vaja kindlaks määrata punktide olemus x 1 = - 1, x 3 = 3. Selleks peate leidma kolmanda tuletise, arvutama nende punktide väärtused. Me saame sellest aru

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Seega on x 1 = - 1 funktsiooni käändepunkt, kuna n = 2 ja f (n + 1) (- 1) ≠ 0 korral. On vaja uurida punkti x 3 = 3 . Selleks leiame 4. tuletise ja teostame siinkohal arvutused:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Ülaltoodust järeldame, et x 3 \u003d 3 on funktsiooni miinimumpunkt.

Graafiline pilt

Vastus: x 2 \u003d 5 7 on antud funktsiooni maksimumpunkt, x 3 \u003d 3 - antud funktsiooni minimaalne punkt.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Funktsiooni äärmused

2. definitsioon

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabrus on selline, et kõigi selle naabruskonna $x$ jaoks on ebavõrdsus $f(x)\le f(x_0 )$ on rahul.

3. määratlus

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabruskond on selline, et kogu selle naabruskonna $x$ korral on ebavõrdsus $f(x)\ge f(x_0) $ on rahul.

Funktsiooni ekstreemumi mõiste on tihedalt seotud funktsiooni kriitilise punkti mõistega. Tutvustame selle määratlust.

4. määratlus

$x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ kriitiliseks punktiks, kui:

1) $x_0$ - määratluspiirkonna sisepunkt;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ või seda pole olemas.

Ekstreemumi mõiste jaoks saab sõnastada teoreeme selle olemasolu piisavate ja vajalike tingimuste kohta.

2. teoreem

Piisav äärmuslik seisund

Olgu punkt $x_0$ funktsiooni $y=f(x)$ jaoks kriitiline ja asub intervallis $(a,b)$. Olgu igal intervallil $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ tuletis $f"(x)$ ja säilitage konstantne märk. Seejärel:

1) Kui intervallil $(a,x_0)$ on tuletis $f"\left(x\right)>0$ ja intervallil $(x_0,b)$ tuletis $f"\left(x\ õige)

2) Kui tuletis $f"\left(x\right)0$ on vahemikus $(a,x_0)$, siis on punkt $x_0$ selle funktsiooni miinimumpunkt.

3) Kui nii intervallil $(a,x_0)$ kui ka intervallil $(x_0,b)$ on tuletis $f"\left(x\right) >0$ või tuletis $f"\left(x \paremal)

Seda teoreemi illustreerib joonis 1.

Joonis 1. Piisav tingimus ekstreemide olemasoluks

Näited äärmustest (joonis 2).

Joonis 2. Ekstreemumipunktide näited

Ekstreemumi funktsiooni uurimise reegel

2) Leia tuletis $f"(x)$;

7) Tee järeldused maksimumide ja miinimumide olemasolu kohta igal intervallil, kasutades teoreemi 2.

Kasvav ja kahanev funktsioon

Tutvustame esmalt kasvavate ja kahanevate funktsioonide definitsioone.

Definitsioon 5

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kasvavaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1

Definitsioon 6

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kahanevaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1f(x_2)$.

Suurendamise ja vähendamise funktsiooni uurimine

Tuletise abil saate uurida suurendamise ja vähendamise funktsioone.

Funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide uurimiseks peate tegema järgmist.

1) Leia funktsiooni $f(x)$ domeen;

2) Leia tuletis $f"(x)$;

3) Leia punktid, kus võrdus $f"\left(x\right)=0$;

4) Leia punktid, kus $f"(x)$ ei eksisteeri;

5) Märgi koordinaatjoonele kõik leitud punktid ja antud funktsiooni domeen;

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal saadud intervallil;

7) Järeldage: intervallidel, kus $f"\left(x\right)0$ funktsioon suureneb.

Näited probleemidest suurendamise, vähendamise ja ekstreemumipunktide esinemise funktsioonide uurimisel

Näide 1

Uurige suurendamise ja kahanemise funktsiooni ning maksimum- ja miinimumpunktide olemasolu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kuna esimesed 6 punkti on samad, siis loosime need esimesena välja.

1) Määratluspiirkond – kõik reaalarvud;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ eksisteerib definitsioonipiirkonna kõigis punktides;

5) Koordinaatjoon:

Joonis 3

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal intervallil:

\ \}