Kuidas leida sirgjoonte vaheline nurk. Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab hiljem lõõgastumisest, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirge suhteline asukoht

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirget saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Pidage meeles matemaatilist ristmikumärki, see ilmub väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on võrdelised, see tähendab, et on olemas arv “lambda”, mille puhul võrdsused on täidetud

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage –1-ga (muuda märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 2 võrra lõigates saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed st “lambda” väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saate kasutada äsja käsitletud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida me klassis vaatasime Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin pole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas konstrueerida antud sirgega paralleelset sirget?

Selle lihtsaima ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Geomeetria näidis näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist määravad kiiresti ilma joonisteta joonte paralleelsuse.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme probleemi, mis on teile kooli õppekavast väga tuttav:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Palun kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus- need on kaks tasapinnal ristuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatasime graafilist lahendust lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid on märgatavaid puudusi. Ei, asi ei ole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise loomine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Asjakohaste oskuste arendamiseks võtke õppetund Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täislahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Sirgete vaheline nurk

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas konstrueerida antud sirgega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimuste järgi on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja abiga vektorite skalaarkorrutis jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega “rho”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgjooneni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirgjoone suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan sammud ise läbi viia, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskpunkti koordinaatide valemid leiame.

Hea oleks kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab arvutada tavalisi murde. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Nurk kahe sirge vahel

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema “roheline” naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et saame tavalise nurga mõistega hakkama. Fakt on see, et valemid, mille abil leiame nurgad, võivad kergesti anda negatiivse tulemuse ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti noolega (päripäeva) selle suund.

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus Ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on määratletud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, See orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörakem hoolikalt tähelepanu nimetajale - see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame sirgete suunavektorite skalaarkorrutise:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame arctangensi veidrust (vt. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Teie vastuses märgime täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis on arvutatud kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võtke koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsesest .

Definitsioon. Kui kahele sirgele on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.

Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

Antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on antud sirgega risti. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 a – 6;

2 x – 3 a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3 x + 2 a – 34 = 0.

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge nurgakoefitsient määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaks sirget on antud kaldega võrranditega

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese rea kalle teise rea tõusust.

Kui sirge võrrandid on antud üldkujul

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, siis on nende paralleelsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks nende nurkkoefitsientide võrdsus:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende võrrandites olevate vastavate voolukoordinaatide koefitsiendid on võrdelised, s.t.

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised, s.t.

Selle tingimuse võib kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse rahuldamine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine ​​risti antud sirgega l.

Nurk ruumisirgete vahel nimetame mis tahes külgnevaid nurki, mille moodustavad kaks sirget, mis on tõmmatud läbi andmetega paralleelse suvalise punkti.

Olgu ruumis antud kaks rida:

Ilmselgelt võib sirgjoonte vahelist nurka φ võtta nende suunavektorite ja vahelise nurgana. Kuna , siis vektoritevahelise nurga koosinuse valemit kasutades saame

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on samaväärsed nende suunavektorite paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega ja:

Kaks otse paralleelselt siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, s.t. l 1 paralleel l 2 siis ja ainult paralleelselt .

Kaks otse risti siis ja ainult siis, kui vastavate koefitsientide korrutiste summa on võrdne nulliga: .

U eesmärk joone ja tasapinna vahel

Las see olla sirge d- mitte θ tasapinnaga risti;
d′− sirge projektsioon dθ tasapinnale;
Väikseim nurk sirgjoonte vahel d Ja d"me helistame nurk sirge ja tasapinna vahel.
Tähistame seda kui φ=( d,θ)
Kui d⊥θ, siis ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− ristkülikukujuline koordinaatsüsteem.
Tasapinnaline võrrand:

θ: Ax+Kõrval+Cz+D=0

Eeldame, et sirge on määratletud punkti ja suunavektoriga: d[M 0,lk→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Siis jääb üle välja selgitada vektorite vaheline nurk n→ ja lk→ tähistame seda kui γ=( n→,lk→).

Kui nurk γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kui nurk on γ>π/2, siis on soovitud nurk φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Siis nurk sirgjoone ja tasapinna vahel saab arvutada järgmise valemi abil:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lk 21+lk 22+lk 23

Küsimus 29. Ruutvormi mõiste. Ruutvormide märgimääratlus.

Ruutvorm j (x 1, x 2, …, x n) n reaalset muutujat x 1, x 2, …, x n nimetatakse vormi summaks
, (1)

Kus a ij – mõned arvud, mida nimetatakse koefitsientideks. Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada a ij = a ji.

Ruutvormi nimetatakse kehtiv, Kui a ij Î GR. Ruutkujuline maatriks nimetatakse maatriksiks, mis koosneb selle koefitsientidest. Ruutvorm (1) vastab ainsale sümmeetrilisele maatriksile
See on A T = A. Järelikult saab ruutvormi (1) kirjutada maatriksi kujul j ( X) = x T Ah, Kus x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja vastupidi, iga sümmeetriline maatriks (2) vastab ainulaadsele ruutvormile kuni muutujate tähistuseni.

Ruutvormi aste nimetatakse selle maatriksi auastmeks. Ruutvormi nimetatakse mitte-degenereerunud, kui selle maatriks ei ole ainsuses A. (tuletage meelde, et maatriks A nimetatakse mittedegeneratiivseks, kui selle determinant ei ole võrdne nulliga). Vastasel juhul on ruutvorm degenereerunud.

positiivne kindel(või rangelt positiivne), kui

j ( X) > 0 , kellelegi X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Maatriks A positiivne kindel ruutvorm j ( X) nimetatakse ka positiivseks kindlaks. Seetõttu vastab positiivne kindel ruutvorm ainulaadsele positiivsele kindlale maatriksile ja vastupidi.

Ruutkuju (1) nimetatakse negatiivselt määratletud(või rangelt negatiivne), kui

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Sarnaselt ülaltoodule nimetatakse negatiivse kindla ruutkujuga maatriksit ka negatiivseks kindlaks.

Järelikult positiivne (negatiivne) kindel ruutvorm j ( X) jõuab minimaalse (maksimaalse) väärtuseni j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Pange tähele, et enamik ruutvorme ei ole märgikindlad, st nad ei ole positiivsed ega negatiivsed. Sellised ruutvormid kaovad mitte ainult koordinaatsüsteemi alguspunktis, vaid ka teistes punktides.

Millal n> 2, ruutvormi märgi kontrollimiseks on vaja erikriteeriume. Vaatame neid.

Suuremad alaealised ruutvorme nimetatakse alaealisteks:

see tähendab, et need on alaealised suurusjärgus 1, 2, ..., n maatriksid A, mis asub vasakus ülanurgas, viimane neist ühtib maatriksi determinandiga A.

Positiivse määratluse kriteerium (Sylvesteri kriteerium)

X) = x T Ah oli positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik maatriksi suuremad alaealised A olid positiivsed, see tähendab: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivse kindluse kriteerium Selleks, et ruutvorm j ( X) = x T Ah oli negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et selle paarisjärjekorras põhimollid oleksid positiivsed ja paaritu järjekorraga - negatiivsed, st: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

A. Olgu antud kaks sirget, mis, nagu näidatud peatükis 1, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektori projektsioonid, mille nurk nende vektorite vahel on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu taandub probleem vektorite vahelise nurga määramisele

Lihtsuse huvides võime nõustuda, et kahe sirge vaheline nurk on terav positiivne nurk (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel on miinusmärk, siis tuleb see kõrvale jätta, st salvestada ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake sirgjoonte vaheline nurk

Vastavalt valemile (1) on meil

Koos. Kui on näidatud, milline nurga külgedest on selle algus ja milline on selle lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemist (1) midagi enamat välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53, näitab valemi (1) paremal küljel saadud märk, millise nurga - terava või nüri - moodustab teine ​​sirge esimesega.

(Jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud sirge nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on kahe sirge paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge risti asetsemise tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

on risti, kuna

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage joon läbi antud sirgega paralleelse punkti

Lahendus viiakse läbi nii. Kuna soovitud sirge on sellega paralleelne, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand sisse vorm (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta projektsioonidega A vektorit ja suunavaks vektoriks, vaid on vaja võtta vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt mõlema vektori perpendikulaarsuse tingimusele, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lugematul hulgal, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga.Kuid kõige lihtsam on võtta või Siis kirjutatakse soovitud rea võrrand kujul

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega

Juhised

Märge

Trigonomeetrilise puutuja funktsiooni periood on võrdne 180 kraadiga, mis tähendab, et sirgjoonte kaldenurgad ei saa absoluutväärtuses seda väärtust ületada.

Abistavad nõuanded

Kui nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed, on selliste joonte vaheline nurk 0, kuna sellised sirged kas langevad kokku või on paralleelsed.

Lõikuvate sirgete vahelise nurga väärtuse määramiseks on vaja mõlemad sirged (või üks neist) paralleeltõlke meetodil uude kohta viia, kuni need ristuvad. Pärast seda peaksite leidma saadud ristuvate joonte vahelise nurga.

Sa vajad

• Joonlaud, täisnurkne kolmnurk, pliiats, nurgamõõtja.

Juhised

Olgu siis antud vektor V = (a, b, c) ja tasapind A x + B y + C z = 0, kus A, B ja C on normaalse N koordinaadid. Siis on nurga koosinus α vektorite V ja N vahel on võrdne: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Nurga arvutamiseks kraadides või radiaanides tuleb saadud avaldisest arvutada koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon, st. arkosiin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Näide: leia nurk vahel vektor(5, -3, 8) ja lennuk, mis on antud üldvõrrandiga 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lahendus: kirjuta üles tasandi N = (2, -5, 3) normaalvektori koordinaadid. Asendage kõik teadaolevad väärtused antud valemis: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video teemal

Sirge, millel on üks ringjoonega ühine punkt, puutub ringiga. Puutuja teine ​​omadus on see, et see on alati risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, see tähendab, et puutuja ja raadius moodustavad sirge nurk. Kui ühest punktist A tõmmata ringjoone AB ja AC kaks puutujat, siis on nad alati üksteisega võrdsed. Puutujate vahelise nurga määramine ( nurk ABC) on tehtud Pythagorase teoreemi abil.

Juhised

Nurga määramiseks peate teadma ringi OB ja OS raadiust ning puutuja alguspunkti kaugust ringi keskpunktist - O. Seega on nurgad ABO ja ACO võrdsed, raadius OB on, näiteks 10 cm ja kaugus ringi AO keskpunktist on 15 cm. Määrake puutuja pikkus valemiga vastavalt Pythagorase teoreemile: AB = AO2 ruutjuur – OB2 või 152 - 102 = 225 – 100 = 125;