Kuidas kirjutada punkti läbiva sirge võrrandit. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand: näited, lahendused

See artikkel jätkab tasapinna sirgjoone võrrandi teemat: vaatleme sellist tüüpi võrrandit kui sirge üldvõrrandit. Defineerime teoreemi ja esitame selle tõestuse; Mõelgem välja, mis on sirge mittetäielik üldvõrrand ja kuidas teha üleminekuid üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele. Kinnitame kogu teooria illustratsioonide ja praktiliste ülesannete lahendamisega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y.

1. teoreem

Iga esimese astme võrrand, mille kuju on A x + B y + C \u003d 0, kus A, B, C on mõned reaalarvud (A ja B ei ole samal ajal võrdsed nulliga), määrab sirge ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal. Mis tahes tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge määratakse omakorda võrrandiga, mille vorm on A x + B y + C = 0 teatud väärtuste komplekti A, B, C jaoks.

Tõestus

See teoreem koosneb kahest punktist, me tõestame neist igaüks.

Tõestame, et võrrand A x + B y + C = 0 määrab tasapinna sirge.

Olgu mingi punkt M 0 (x 0 , y 0), mille koordinaadid vastavad võrrandile A x + B y + C = 0 . Seega: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage võrrandite A x + B y + C \u003d 0 vasak ja parem pool võrrandi A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasak ja parem pool, saame uue võrrandi, mis näeb välja nagu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. See on ekvivalentne A x + B y + C = 0 .

Saadud võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on vajalik ja piisav tingimus vektorite n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) perpendikulaarsuse jaoks 0, y - y 0) . Seega määrab punktide hulk M (x, y) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, mis on risti vektori suunaga n → = (A, B) . Võib eeldada, et see nii ei ole, kuid siis ei oleks vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) risti ja võrdus A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei vastaks tõele.

Seetõttu määrab võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis mõne sirge ja seetõttu defineerib samaväärne võrrand A x + B y + C \u003d 0 sama rida. Seega oleme tõestanud teoreemi esimese osa.

Tõestame, et iga tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge saab esitada esimese astme võrrandiga A x + B y + C = 0 .

Seame tasapinnale ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge a; punkt M 0 (x 0 , y 0), mida see sirge läbib, samuti selle sirge normaalvektor n → = (A , B) .

Olgu olemas ka mingi punkt M (x , y) - sirge ujukoma. Sel juhul on vektorid n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) üksteisega risti ja nende skalaarkorrutis on null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjutame ümber võrrandi A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, defineerime C: C = - A x 0 - B y 0 ja lõpuks saame võrrandi A x + B y + C = 0 .

Niisiis, me oleme tõestanud teoreemi teise osa ja oleme tõestanud kogu teoreemi tervikuna.

Definitsioon 1

Võrrand, mis näeb välja selline A x + B y + C = 0 - see on sirge üldvõrrand tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemisO x y .

Tõestatud teoreemile tuginedes võime järeldada, et fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal antud sirge ja selle üldvõrrand on lahutamatult seotud. Teisisõnu, algne rida vastab selle üldvõrrandile; sirge üldvõrrand vastab antud sirgele.

Samuti tuleneb teoreemi tõestusest, et muutujate x ja y koefitsiendid A ja B on sirge normaalvektori koordinaadid, mis on antud sirge üldvõrrandiga A x + B y + C = 0.

Vaatleme sirgjoone üldvõrrandi konkreetset näidet.

Olgu antud võrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, mis vastab sirgele antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Selle sirge normaalvektor on vektor n → = (2 , 3) . Joonistage joonisel etteantud sirgjoon.

Võib väita ka järgmist: sirge, mida me joonisel näeme, määrab üldvõrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, kuna antud sirge kõigi punktide koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Võrrandi λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 saame, kui korrutame üldise sirge võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga λ. Saadud võrrand on võrdne algse üldvõrrandiga, seetõttu kirjeldab see tasapinnal sama sirget.

2. definitsioon

Täielik sirge üldvõrrand- selline rea A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, milles arvud A, B, C on nullist erinevad. Vastasel juhul on võrrand mittetäielik.

Analüüsime kõiki sirge mittetäieliku üldvõrrandi variatsioone.

Kui A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, muutub üldvõrrandiks B y + C \u003d 0. Selline mittetäielik üldvõrrand määratleb sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y, mis on paralleelne O x teljega, kuna iga x reaalväärtuse korral omandab muutuja y väärtuse - C B . Teisisõnu määratleb sirge A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, kui A \u003d 0, B ≠ 0, punktide (x, y) asukoha, mille koordinaadid on võrdsed sama arvuga. - C B .
Kui A = 0, B ≠ 0, C = 0, saab üldvõrrandiks y = 0. Selline mittetäielik võrrand defineerib x-telje O x .
Kui A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saame mittetäieliku üldvõrrandi A x + C \u003d 0, mis määratleb y-teljega paralleelse sirge.
Olgu A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, siis on mittetäielik üldvõrrand kujul x \u003d 0 ja see on koordinaatjoone O y võrrand.
Lõpuks, kui A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, on mittetäielik üldvõrrand kujul A x + B y \u003d 0. Ja see võrrand kirjeldab sirget, mis läbib alguspunkti. Tõepoolest, arvupaar (0, 0) vastab võrdsusele A x + B y = 0, kuna A · 0 + B · 0 = 0 .

Illustreerime graafiliselt kõiki ülaltoodud mittetäieliku sirge üldvõrrandi tüüpe.

Näide 1

Teatavasti on antud sirge paralleelne y-teljega ja läbib punkti 2 7 , - 11 . On vaja kirja panna antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Y-teljega paralleelne sirgjoon saadakse võrrandiga kujul A x + C \u003d 0, milles A ≠ 0. Tingimus määrab ka punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja selle punkti koordinaadid vastavad mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0 tingimustele, s.t. võrdsus on õige:

A 2 7 + C = 0

Sellest on võimalik määrata C, kui anda A-le mingi nullist erinev väärtus, näiteks A = 7 . Sel juhul saame: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Teame mõlemad koefitsiendid A ja C, asendame need võrrandiga A x + C = 0 ja saame rea nõutava võrrandi: 7 x - 2 = 0

Vastus: 7 x - 2 = 0

Näide 2

Joonisel on kujutatud sirgjoont, selle võrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Antud joonis võimaldab hõlpsasti võtta lähteandmed ülesande lahendamiseks. Joonisel näeme, et antud joon on paralleelne O x teljega ja läbib punkti (0 , 3) .

Abstsissiga paralleelne sirgjoon määratakse mittetäieliku üldvõrrandiga B y + С = 0. Leidke B ja C väärtused. Punkti koordinaadid (0, 3), kuna antud sirge seda läbib, rahuldavad sirge võrrandi B y + С = 0, siis kehtib võrdus: В · 3 + С = 0. Seadke B väärtuseks mõni muu väärtus kui null. Oletame, et B \u003d 1, sel juhul leiame võrrandist B · 3 + C \u003d 0 C: C \u003d - 3. Kasutades B ja C teadaolevaid väärtusi, saame vajaliku sirge võrrandi: y - 3 = 0.

Vastus: y-3 = 0.

Tasapinna antud punkti läbiva sirge üldvõrrand

Laske antud sirgel läbida punkti M 0 (x 0, y 0), siis vastavad selle koordinaadid sirge üldvõrrandile, s.t. võrdus on tõene: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage selle võrrandi vasak ja parem külg sirgjoone üldise täisvõrrandi vasakust ja paremast küljest. Saame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, see võrrand on samaväärne algse üldisega, läbib punkti M 0 (x 0, y 0) ja sellel on normaalvektor n → \u003d (A, B) .

Saadud tulemus võimaldab kirjutada sirge üldvõrrandi sirge normaalvektori teadaolevate koordinaatide ja selle sirge teatud punkti koordinaatide jaoks.

Näide 3

Antud on punkt M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib, ja selle sirge normaalvektor n → = (1 , - 2) . On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused võimaldavad meil saada võrrandi koostamiseks vajalikud andmed: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Seejärel:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Sirge üldvõrrand on kujul A x + B y + C = 0 . Antud normaalvektor võimaldab teil saada koefitsientide A ja B väärtused, siis:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nüüd leiame C väärtuse, kasutades ülesande tingimusega antud punkti M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib. Selle punkti koordinaadid vastavad võrrandile x - 2 · y + C = 0 , st. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Seega C = 11. Nõutav sirge võrrand on järgmisel kujul: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastus: x - 2 y + 11 = 0 .

Näide 4

Antud sirge 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja sellel sirgel paiknev punkt M 0. Teada on ainult selle punkti abstsiss ja see võrdub -3-ga. On vaja määrata antud punkti ordinaat.

Lahendus

Määrame punkti M 0 koordinaatide tähiseks x 0 ja y 0 . Algandmed näitavad, et x 0 \u003d - 3. Kuna punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid selle sirge üldvõrrandile. Siis on tõene järgmine võrdsus:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defineerige y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastus: - 5 2

Üleminek sirge üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele ja vastupidi

Nagu me teame, on tasapinnal mitut tüüpi sama sirge võrrandit. Võrrandi tüübi valik sõltub ülesande tingimustest; on võimalik valida selle lahenduse jaoks mugavam. Siin tuleb väga kasuks oskus üht tüüpi võrrandit teist tüüpi võrrandiks teisendada.

Kõigepealt vaatleme üleminekut üldvõrrandilt kujul A x + B y + C = 0 kanoonilisele võrrandile x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kui A ≠ 0, siis kanname liikme B y üldvõrrandi paremale poole. Vasakul küljel võtame sulgudest välja A. Selle tulemusena saame: A x + C A = - B y .

Selle võrdsuse saab kirjutada proportsioonina: x + C A - B = y A .

Kui B ≠ 0, jätame üldvõrrandi vasakule küljele ainult termini A x, ülejäänud kanname paremale poole, saame: A x \u003d - B y - C. Võtame sulgudest välja - B, seejärel: A x \u003d - B y + C B.

Kirjutame võrdsuse ümber proportsioonina: x - B = y + C B A .

Loomulikult ei ole vaja saadud valemeid pähe õppida. Piisab teada toimingute algoritmi üleminekul üldvõrrandilt kanoonilisele.

Näide 5

Antud on sirge 3 y - 4 = 0 üldvõrrand. See tuleb teisendada kanooniliseks võrrandiks.

Lahendus

Kirjutame algse võrrandi 3 y - 4 = 0 . Edasi tegutseme vastavalt algoritmile: termin 0 x jääb vasakule poole; ja paremal küljel võtame välja - 3 sulgudest välja; saame: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjutame saadud võrrandi proportsioonina: x - 3 = y - 4 3 0 . Seega oleme saanud kanoonilise vormi võrrandi.

Vastus: x - 3 = y - 4 3 0.

Sirge üldvõrrandi parameetrilisteks muutmiseks viiakse kõigepealt läbi üleminek kanoonilisele vormile ja seejärel üleminek sirgjoone kanoonilisest võrrandist parameetrilistele võrranditele.

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjutage üles selle sirge parameetrilised võrrandid.

Lahendus

Teeme ülemineku üldvõrrandilt kanoonilisele:

2 x - 5 a - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 a + 1 ⇔ 2 x = 5 a + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nüüd võtame saadud kanoonilise võrrandi mõlemad osad võrdseks λ-ga, siis:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastus:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Üldvõrrandi saab teisendada sirgjooneliseks võrrandiks kaldega y = k x + b, kuid ainult siis, kui B ≠ 0. Vasakpoolseks üleminekuks jätame termini B y , ülejäänud kantakse üle paremale. Saame: B y = - A x - C . Jagame saadud võrrandi mõlemad osad B , mis erineb nullist: y = - A B x - C B .

Näide 7

Sirge üldvõrrand on antud: 2 x + 7 y = 0 . Peate selle võrrandi teisendama kaldevõrrandiks.

Lahendus

Teeme vajalikud toimingud vastavalt algoritmile:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastus: y = - 2 7 x .

Sirge üldvõrrandist piisab, kui lihtsalt saada võrrand segmentides kujul x a + y b \u003d 1. Sellise ülemineku tegemiseks kanname arvu C võrrandi paremale poolele, jagame saadud võrdsuse mõlemad osad - С-ga ja lõpuks kanname muutujate x ja y koefitsiendid nimetajatesse:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Näide 8

On vaja teisendada sirge üldvõrrand x - 7 y + 1 2 = 0 lõikudes sirge võrrandiks.

Lahendus

Liigume 1 2 paremale poole: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jagage võrrandi mõlemad pooled -1/2-ga: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Üldiselt on ka vastupidine üleminek lihtne: teist tüüpi võrranditelt üldisele.

Segmentide sirgjoone võrrandi ja kaldega võrrandi saab hõlpsasti teisendada üldiseks, kogudes lihtsalt kõik võrrandi vasakul küljel olevad terminid:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanooniline võrrand teisendatakse üldiseks vastavalt järgmisele skeemile:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parameetriliselt üleminekuks viiakse esmalt üle kanoonilisele ja seejärel üldisele:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Näide 9

Antud on sirge x = - 1 + 2 · λ y = 4 parameetrilised võrrandid. Selle sirge üldvõrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Teeme ülemineku parameetrilistest võrranditest kanoonilistele:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Liigume kanooniliselt üldisele:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastus: y - 4 = 0

Näide 10

Antud on sirge võrrand lõikudes x 3 + y 1 2 = 1. On vaja läbi viia üleminek võrrandi üldkujule.

Lahendus:

Kirjutame võrrandi lihtsalt nõutud kujul ümber:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sirge üldvõrrandi koostamine

Eespool ütlesime, et üldvõrrandi saab kirjutada normaalvektori teadaolevate koordinaatidega ja selle punkti koordinaatidega, mida joon läbib. Selline sirgjoon on defineeritud võrrandiga A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samas kohas analüüsisime vastavat näidet.

Vaatame nüüd keerukamaid näiteid, mille puhul on kõigepealt vaja määrata normaalvektori koordinaadid.

Näide 11

Antud sirgega paralleelne sirge 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tuntud on ka punkt M 0 (4 , 1), mida antud sirge läbib. On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused ütlevad meile, et sirged on paralleelsed, samas kui sirge, mille võrrand tuleb kirjutada, normaalvektorina võtame sirge n → \u003d (2, - 3) suunavektori: 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nüüd teame kõiki vajalikke andmeid sirgjoone üldvõrrandi koostamiseks:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Näide 12

Antud sirge läbib alguspunkti risti sirgega x - 2 3 = y + 4 5 . On vaja kirjutada antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Antud sirge normaalvektor on sirge x - 2 3 = y + 4 5 suunav vektor .

Siis n → = (3 , 5) . Sirge läbib alguspunkti, s.o. läbi punkti O (0, 0) . Koostame antud sirge üldvõrrandi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastus: 3 x + 5 y = 0 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ruumi sirgjoone kanoonilised võrrandid on võrrandid, mis määratlevad sirge, mis läbib antud punkti kollineaarselt suunavektoriga.

Olgu antud punkt ja suunavektor. Suvaline punkt asub sirgel l ainult siis, kui vektorid ja on kollineaarsed, st nad vastavad tingimusele:

Ülaltoodud võrrandid on sirge kanoonilised võrrandid.

Numbrid m , n ja lk on suunavektori projektsioonid koordinaattelgedele. Kuna vektor on nullist erinev, siis kõik arvud m , n ja lk ei saa olla samal ajal null. Kuid üks või kaks neist võib olla null. Näiteks analüütilises geomeetrias on lubatud järgmised tähistused:

mis tähendab, et vektori projektsioonid telgedel Oy ja Oz on võrdsed nulliga. Seetõttu on nii kanooniliste võrranditega antud vektor kui ka sirgjoon telgedega risti Oy ja Oz, st lennukid yOz .

Näide 1 Koostage tasandiga risti oleva ruumi sirgjoone võrrandid ja läbides selle tasandi ja telje lõikepunkti Oz .

Lahendus. Leia antud tasandi lõikepunkt teljega Oz. Kuna mis tahes punkti teljel Oz, on koordinaadid , siis eeldades tasapinna antud võrrandis x=y= 0, saame 4 z- 8 = 0 või z= 2. Seetõttu antud tasandi lõikepunkt teljega Oz on koordinaadid (0; 0; 2) . Kuna soovitud sirge on tasapinnaga risti, on see paralleelne oma normaalvektoriga. Seetõttu võib normaalvektor olla sirge suunav vektor antud lennuk.

Nüüd kirjutame punkti läbiva sirge soovitud võrrandid A= (0; 0; 2) vektori suunas:

Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandid

Sirge saab määratleda kahe sellel asuva punktiga ja Sel juhul võib sirge suunav vektor olla vektor . Siis saavad sirge kanoonilised võrrandid kuju

Ülaltoodud võrrandid määratlevad sirge, mis läbib kahte antud punkti.

Näide 2 Kirjutage võrrand sirge ruumis läbib punkte ja .

Lahendus. Kirjutame soovitud sirge võrrandid ülaltoodud kujul teoreetilises viites:

Kuna , siis on soovitud joon teljega risti Oy .

Sirge nagu tasandite lõikejoon

Ruumisirget saab defineerida kahe mitteparalleelse tasandi lõikejoonena ja punktide kogumina, mis rahuldab kahe lineaarvõrrandi süsteemi.

Süsteemi võrrandeid nimetatakse ka ruumi sirgjoone üldvõrranditeks.

Näide 3 Koostage sirge kanoonilised võrrandid üldvõrranditega antud ruumis

Lahendus. Sirge kanooniliste võrrandite või, mis on sama, kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi kirjutamiseks peate leidma sirge mis tahes kahe punkti koordinaadid. Need võivad olla näiteks sirge ja mis tahes kahe koordinaattasandi lõikepunktid yOz ja xOz .

Sirge ja tasapinna lõikepunkt yOz on abstsiss x= 0. Seega, eeldades selles võrrandisüsteemis x= 0 , saame kahe muutujaga süsteemi:

Tema otsus y = 2 , z= 6 koos x= 0 määrab punkti A(0; 2; 6) soovitud realt. Eeldusel siis antud võrrandisüsteemis y= 0 , saame süsteemi

Tema otsus x = -2 , z= 0 koos y= 0 määrab punkti B(-2; 0; 0) sirge lõikekoht tasapinnaga xOz .

Nüüd kirjutame punkte läbiva sirge võrrandid A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

või pärast nimetajate jagamist -2-ga:

Laske sirgel läbida punkte M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2). Punkti M 1 läbiva sirge võrrand on kujul y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kus k - siiani teadmata koefitsient.

Kuna sirge läbib punkti M 2 (x 2 y 2), peavad selle punkti koordinaadid vastama võrrandile (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Siit leiame Leitud väärtuse asendamise k võrrandisse (10.6) saame punkte M 1 ja M 2 läbiva sirge võrrandi:

Eeldatakse, et selles võrrandis x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kui x 1 \u003d x 2, siis on punkte M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) läbiv sirgjoon y-teljega paralleelne. Selle võrrand on x = x 1 .

Kui y 2 \u003d y I, siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada kui y \u003d y 1, sirge M 1 M 2 on paralleelne x-teljega.

Segmentides sirgjoone võrrand

Olgu sirgjoon Ox teljega punktis M 1 (a; 0) ja Oy teljega punktis M 2 (0; b). Võrrand saab kujul:
need.
. Seda võrrandit nimetatakse sirgjoone võrrand lõikudes, sest numbrid a ja b näitavad, millised lõigud sirge koordinaattelgedel ära lõikab.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga

Leiame sirge võrrandi, mis läbib antud punkti Mo (x O; y o), mis on risti antud nullist erineva vektoriga n = (A; B).

Võtame sirge suvalise punkti M(x; y) ja vaatleme vektorit M 0 M (x - x 0; y - y o) (vt joonis 1). Kuna vektorid n ja M o M on risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga: see tähendab,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Nimetatakse võrrandit (10.8). sirge võrrand, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga .

Sirgega risti olevat vektorit n = (A; B) nimetatakse normaalseks selle sirge normaalvektor .

Võrrandi (10.8) saab ümber kirjutada kujul Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kus A ja B on normaalvektori koordinaadid, C \u003d -Ax o - Vu o - vaba liige. Võrrand (10.9) on sirgjoone üldvõrrand(vt joonis 2).

Joon.1 Joon.2

Sirge kanoonilised võrrandid

Kus
on selle punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja
- suunavektor.

Teist järku ringi kõverad

Ringjoon on antud punktist võrdsel kaugusel asuva tasapinna kõigi punktide hulk, mida nimetatakse keskpunktiks.

Raadiusringi kanooniline võrrand R keskendunud punktile
:

Täpsemalt, kui panuse keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga, näeb võrrand välja järgmine:

Ellips

Ellips on punktide kogum tasapinnal, kauguste summa neist igaühest kahe antud punktini ja , mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus
, suurem kui fookuste vaheline kaugus
.

Ellipsi kanoonilisel võrrandil, mille fookused asuvad Härg-teljel ja mille alguspunkt asub fookuste vahel keskel, on vorm
G de a suurema pooltelje pikkus; b on väiksema pooltelje pikkus (joonis 2).

Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrand. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kahte punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge kalle määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaldevõrranditega on antud kaks sirget

y = k 1 x + B 1 ,

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja konstandid A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse sirgjoone üldvõrrand. Sõltuvalt konstantide A, B ja C väärtustest on võimalikud järgmised erijuhud:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - joon läbib alguspunkti

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - joon on paralleelne Ox teljega

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - joon on paralleelne Oy teljega

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - sirgjoon langeb kokku Oy teljega

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - sirgjoon langeb kokku Ox teljega

Sirge võrrandit saab esitada erinevates vormides, olenevalt antud lähtetingimustest.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on vektor komponentidega (A, B) risti võrrandiga Ax + By + C = 0 antud sirgega.

Näide. Leidke punktiga (3, -1) risti läbiva punkti A(1, 2) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x - y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks asendame saadud avaldisega antud punkti A koordinaadid Saame: 3-2 + C = 0, seega C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata võrdseks nulliga Tasapinnal on ülaltoodud sirge võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.

Murd = k nimetatakse kaldetegur sirge.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus.Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Punkti ja kalde sirge võrrand

Kui Ax + Wu + C = 0 kogusumma viib vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit sirge võrrand kaldegak.

Sirge võrrand punkti- ja suunavektoriga

Analoogiliselt punktiga, mis käsitleb normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate sisestada sirge määramise läbi punkti ja sirge suunava vektori.

Definitsioon. Iga nullist erinevat vektorit (α 1, α 2), mille komponendid vastavad tingimusele A α 1 + B α 2 = 0, nimetatakse sirge suunamisvektoriks.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni kohaselt peavad koefitsiendid vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrand järgmine: Ax + Ay + C = 0 või x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 korral saame C / A = -3, st. soovitud võrrand:

Segmentides sirgjoone võrrand

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis –C-ga jagades saame: või

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaat ja b- sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Näide. Antud sirge üldvõrrand x - y + 1 = 0. Leidke lõikudest selle sirge võrrand.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand

Kui võrrandi mõlemad pooled Ax + Vy + C = 0 korrutada arvuga , mida nimetatakse normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

sirge normaalvõrrand. Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Näide. Antud sirge üldvõrrand 12x - 5y - 65 = 0. Sellele reale on vaja kirjutada erinevat tüüpi võrrandeid.

selle sirgjoone võrrand segmentides:

selle sirge võrrand kaldega: (jagage 5-ga)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga lõikudes, näiteks sirged, mis on paralleelsed telgedega või läbivad alguspunkti.

Näide. Sirge lõikab koordinaattelgedel ära võrdsed positiivsed lõigud. Kirjutage sirgjoone võrrand, kui nendest lõikudest moodustatud kolmnurga pindala on 8 cm 2.

Lahendus. Sirgvõrrand on kujul: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Näide. Kirjutage punkti A (-2, -3) läbiva sirge võrrand ja alguspunkt.

Lahendus. Sirge võrrandil on järgmine kuju: , kus x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Tasapinna joonte vaheline nurk

Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2 . Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem. Sirged Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB on proportsionaalsed. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv ja sirgega y \u003d kx + b risti kulgev sirge on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Võrrandisüsteemi lahendusena võib leida koordinaadid x 1 ja y 1:

Süsteemi teine võrrand on sirgjoone võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.