Spearmani kriitilised korrelatsiooni väärtused. Spearmani ja Pearsoni korrelatsiooni rakendamine

37. Spearmani järgu korrelatsioonikordaja.

S. 56 (64) 063.JPG

http://psystat.at.ua/publ/1-1-0-33

Spearmani astme korrelatsioonikordajat kasutatakse juhtudel, kui:
- muutujatel on edetabeli skaala mõõdud;
- andmete jaotus on liiga erinev normaalne või pole üldse teada;
- proovide maht on väike (N< 30).

Spearmani astme korrelatsioonikordaja tõlgendus ei erine Pearsoni koefitsiendist, kuid selle tähendus on mõnevõrra erinev. Nende meetodite erinevuse mõistmiseks ja nende rakendusalade loogiliseks põhjendamiseks võrrelgem nende valemeid.

Pearsoni korrelatsioonikordaja:

Spearmani korrelatsioonikordaja:

Nagu näete, erinevad valemid oluliselt. Võrdleme valemeid

Pearsoni korrelatsioonivalem kasutab korrelatsioonirea aritmeetilist keskmist ja standardhälvet, kuid Spearmani valem mitte. Seega on Pearsoni valemi abil adekvaatse tulemuse saamiseks vajalik, et korrelatsiooniread oleksid normaaljaotuse lähedal (keskmine ja standardhälve on normaaljaotuse parameetrid). See ei ole Spearmani valemi puhul asjakohane.

Pearsoni valemi üks element on iga seeria standardimine z-skaala.

Nagu näete, on muutujate teisendamine Z-skaalale Pearsoni korrelatsioonikordaja valemis. Sellest lähtuvalt ei oma Pearsoni koefitsiendi puhul andmete skaala üldse tähtsust: näiteks saame korreleerida kahte muutujat, millest ühel on min. = 0 ja max. = 1 ja teine ​​min. = 100 ja max. = 1000. Ükskõik kui erinev väärtuste vahemik ka poleks, teisendatakse need kõik standardseteks z-väärtusteks, mis on skaalalt samad.

Seetõttu ei esine Spearmani koefitsiendis sellist normaliseerimist

SPEARMANI KOEFITSIENDI KASUTAMISE KOHUSTUSLIK TINGIMUS ON KAHE MUUTUJA VALDKONNA VÕRDSUS.

Enne Spearmani koefitsiendi kasutamist erinevate vahemikega andmeseeriate jaoks on vaja koht. Järjestamise tulemuseks on see, et nende seeriate väärtused saavad sama miinimumi = 1 (minimaalne järjestus) ja maksimumi, mis on võrdne väärtuste arvuga (maksimaalne, viimane aste = N, st maksimaalne juhtude arv valimis) .

Millistel juhtudel saab ilma pingeritta hakkama?

Need on juhud, kui andmed on algselt edetabeli skaala. Näiteks Rokeachi väärtusorientatsiooni test.

Samuti on need juhud, kui väärtusvalikute arv on väike ja valim sisaldab fikseeritud miinimumi ja maksimumi. Näiteks semantilises diferentsiaalis on miinimum = 1, maksimum = 7.

Näide Spearmani järgu korrelatsioonikordaja arvutamisest

Rokeachi väärtusorientatsiooni test viidi läbi kahe prooviga X ja Y. Eesmärk: välja selgitada, kui lähedased on nende valimite väärtuste hierarhiad (sõna otseses mõttes, kui sarnased need on).

Saadud väärtust r=0,747 kontrollib kriitiliste väärtuste tabel. Tabeli järgi N=18 korral on saadud väärtus oluline p tasemel<=0,005

Spearmani ja Kendali astme korrelatsioonikordajad

Järjestusskaalale kuuluvate või normaaljaotuse alla mittekuuluvate muutujate, samuti intervallskaalasse kuuluvate muutujate puhul arvutatakse Pearsoni koefitsiendi asemel Spearmani järgu korrelatsioon. Selleks määratakse üksikute muutujate väärtustele auastmed, mida seejärel töödeldakse sobivate valemite abil. Auaste korrelatsiooni tuvastamiseks tühjendage dialoogiboksis Kahe muutuja korrelatsioonid... Pearsoni vaikekorrelatsiooni märkeruut. Selle asemel aktiveerige Spearmani korrelatsiooni arvutamine. See arvutus annab järgmised tulemused. Auaste korrelatsioonikoefitsiendid on väga lähedased Pearsoni koefitsientide vastavatele väärtustele (algsed muutujad on normaaljaotusega).

titkova-matmetody.pdf lk. 45

Spearmani auaste korrelatsiooni meetod võimaldab määrata tihedust (tugevust) ja suunda

vahelist korrelatsiooni kaks märki või kaks profiili (hierarhiat) märgid.

Astekorrelatsiooni arvutamiseks on vaja kahte rida väärtusi,

mida saab järjestada. Sellised väärtuste jadad võivad olla:

1) kaks märki mõõdetuna samas Gruppõppeained;

2) kaks individuaalset tunnuste hierarhiat, tuvastati kahel katsealusel, kasutades sama

funktsioonide komplekt;

3) kaks tunnuste rühmahierarhiad,

4) üksikisik ja rühm tunnuste hierarhia.

Esiteks järjestatakse näitajad iga tunnuse jaoks eraldi.

Reeglina omistatakse madalamale atribuudi väärtusele madalam auaste.

Esimesel juhul (kaks tunnust) järjestatakse individuaalsed väärtused esimese järgi

erinevate subjektide saadud tunnused ja seejärel teise jaoks individuaalsed väärtused

märk.

Kui kaks omadust on omavahel positiivselt seotud, siis madala auastmega subjektid

ühel neist on teises madalad auastmed ja subjektid, kellel on kõrged auastmed

ühel omadusel on ka teise tunnuse jaoks kõrged auastmed. Rs arvutamiseks

erinevused tuleb kindlaks teha (d) antud õppeaine poolt mõlemas saadud auastmete vahel

märgid. Seejärel teisendatakse need näitajad d teatud viisil ja lahutatakse 1-st. Kui

Mida väiksem on auastmete vahe, seda suurem on rs, seda lähemal on see +1-le.

Kui korrelatsiooni pole, siis on kõik järgud segatud ja ei teki

kirjavahetus puudub. Valem on loodud nii, et sel juhul on rs 0-le lähedal.

Negatiivse korrelatsiooni korral katsealuste madalad järjestused ühel alusel

kõrged auastmed vastavad muul alusel ja vastupidi. Mida suurem on lahknevus

katsealuste ridade vahel kahe muutuja järgi, seda lähemal on rs -1.

Teisel juhul (kaks individuaalset profiili), järjestatakse üksikud

väärtused, mille kumbki 2 katsealusest teatud kindla järgi on saanud (nende puhul sama

mõlemad) funktsioonide kogum. Esikohale antakse madalaima väärtusega tunnus; teine ​​aste –

suurema väärtusega märk jne. Ilmselgelt tuleb kõiki omadusi mõõta

samad ühikud, muidu on paremusjärjestus võimatu. Näiteks on see võimatu

reastage näitajad Cattelli isiksuseinventuuris (16PF), kui need on väljendatud

"toores" punktid, kuna väärtuste vahemikud on erinevate tegurite puhul erinevad: 0 kuni 13, 0 kuni

20 ja 0 kuni 26. Me ei saa öelda, milline tegur saab esikoha

avaldis, kuni viime kõik väärtused ühele skaalale (enamasti on see seina skaala).

Kui kahe õppeaine individuaalsed hierarhiad on positiivselt seotud, siis märgid

kui ühes neist on madalad auastmed, on teises madalad ja vastupidi.

Näiteks kui ühe subjekti teguril E (dominantsus) on madalaim aste, siis

teisel katsealusel, peaks sellel olema madal auaste, kui ühel katsealusel on tegur C

(emotsionaalne stabiilsus) on kõrgeima auastmega, siis peab olema ka teisel subjektil

sellel teguril on kõrge auaste jne.

Kolmandal juhul (kaks rühmaprofiili) järjestatakse rühma keskmised väärtused,

saadud 2 katsealuste rühmas vastavalt kindlale komplektile, mõlema rühma jaoks identsed

märgid. Järgnevalt on mõttekäik sama, mis kahel eelmisel juhul.

4. puhul (individuaal- ja grupiprofiilid) järjestatakse need eraldi

subjekti individuaalsed väärtused ja sama komplekti rühma keskmised väärtused

märgid, mis saadakse reeglina selle üksiku subjekti välistamisega - ta

ei osale keskmises grupiprofiilis, millega tema individuaalset profiili võrreldakse

profiil. Auaste korrelatsioon võimaldab teil kontrollida, kui järjepidev on üksikisik ja

rühmaprofiilid.

Kõigil neljal juhul määratakse saadud korrelatsioonikordaja olulisus

järjestatud väärtuste arvu järgi N. Esimesel juhul langeb see kogus kokku

proovi suurus n. Teisel juhul on vaatluste arv tunnuste arv,

hierarhia moodustamine. Kolmandal ja neljandal juhul on N ka võrreldavate arv

omadused, mitte katsealuste arv rühmades. Üksikasjalikud selgitused on toodud näidetes. Kui

rs absoluutväärtus saavutab või ületab kriitilist väärtust, korrelatsioon

usaldusväärne.

Hüpoteesid.

On kaks võimalikku hüpoteesi. Esimene kehtib 1. juhtumi kohta, teine ​​​​ülejäänud kolme kohta

Hüpoteeside esimene versioon

H0: Korrelatsioon muutujate A ja B vahel ei erine nullist.

H2: Korrelatsioon muutujate A ja B vahel erineb oluliselt nullist.

Hüpoteeside teine ​​versioon

H0: korrelatsioon hierarhiate A ja B vahel ei erine nullist.

H2: korrelatsioon hierarhiate A ja B vahel erineb oluliselt nullist.

Auaste korrelatsioonikordaja piirangud

1. Iga muutuja kohta tuleb esitada vähemalt 5 tähelepanekut. Ülemine

proovivõtu piir määratakse olemasolevate kriitiliste väärtuste tabelitega .

2. Spearmani järgu korrelatsioonikordaja rs suure hulga identsete puhul

auastmed ühe või mõlema võrreldava muutuja jaoks annab ligikaudsed väärtused. Ideaalis

mõlemad korrelatsiooniseeriad peavad esindama kahte lahkneva jada

väärtused. Kui see tingimus ei ole täidetud, tuleb teha muudatus

samad auastmed.

Spearmani astme korrelatsioonikordaja arvutatakse järgmise valemi abil:

Kui mõlemad võrreldavad auastmete seeriad sisaldavad sama auastmega rühmi,

enne järgu korrelatsioonikoefitsiendi arvutamist on vaja teha selles osas parandused

Ta ja TV auastmed:

Ta = Σ (a3 – a)/12,

Тв = Σ (в3 – в)/12,

Kus A - iga identsete auastmete rühma maht auastmeseerias A, in – iga maht

ühesuguste auastmetega rühmad auastmesarjas B.

Rs empiirilise väärtuse arvutamiseks kasutage valemit:

38. Punkt-biseeria korrelatsioonikordaja.

Korrelatsiooni kohta üldiselt vt küsimust nr 36 Koos. 56 (64) 063.JPG

harchenko-korranaliz.pdf

Mõõdetakse muutujat X tugeval skaalal ja muutujat Y dihhotoomsel skaalal. Punkti biseeriv korrelatsioonikordaja rpb arvutatakse järgmise valemi abil:

Siin on x 1 keskmine väärtus X objekti kohta, mille väärtus on "üks" Y suhtes;

x 0 – keskmine väärtus X objekti üle, mille väärtus on “null” Y kohal;

s x – kõigi väärtuste standardhälve piki X;

n 1 – objektide arv “üks” Y-s, n 0 – objektide arv “null” Y-s;

n = n 1 + n 0 – valimi suurus.

Punkti biseriali korrelatsioonikordaja saab arvutada ka teiste samaväärsete avaldiste abil:

Siin x– muutuja üldine keskmine väärtus X.

Punktide kaheseerialine korrelatsioonikordaja rpb varieerub vahemikus –1 kuni +1. Selle väärtus on null, kui muutujad on ühega Y on keskmine Y, võrdne nulliga ületavate muutujate keskmisega Y.

Läbivaatus olulisuse hüpoteesid punkti biserial korrelatsioonikordaja on kontrollida nullhüpoteesh 0 üldise korrelatsioonikordaja võrdsuse kohta nulliga: ρ = 0, mis viiakse läbi Studenti t-testi abil. Empiiriline tähtsus

võrreldes kriitiliste väärtustega t a (df) vabadusastmete arvu jaoks df = n– 2

Kui tingimus | t| ≤ tα(df), nullhüpoteesi ρ = ​​0 ei lükata tagasi. Punkti biseeriv korrelatsioonikordaja erineb oluliselt nullist, kui empiiriline väärtus | t| langeb kriitilisse piirkonda, st kui tingimus | t| > tα(n– 2). Punkti biseriaalkorrelatsioonikordaja abil arvutatud seose usaldusväärsus rpb, saab määrata ka kriteeriumi abil χ 2 vabadusastmete arvu jaoks df= 2.

Punktide kaheseerialine korrelatsioon

Momentide korrutise korrelatsioonikordaja järgnev modifikatsioon kajastus punktide biseerias r. See stat. näitab seost kahe muutuja vahel, millest üks on väidetavalt pidev ja normaaljaotusega ning teine ​​on selle sõna kitsas tähenduses diskreetne. Punkti biseeriv korrelatsioonikordaja on tähistatud r pbis Alates aastast r pbis dihhotoomia peegeldab diskreetse muutuja tegelikku olemust ja ei ole kunstlik, nagu juhtus r bis, selle märk määratakse meelevaldselt. Seetõttu kõigil praktilistel eesmärkidel. eesmärgid r pbis peetakse vahemikus 0,00 kuni +1,00.

On ka juhtum, kus eeldatakse, et kaks muutujat on pidevad ja normaalselt jaotunud, kuid mõlemad on kunstlikult dihhotoomilised, nagu kaheseerialise korrelatsiooni puhul. Selliste muutujate vahelise seose hindamiseks kasutatakse tetrahoorset korrelatsioonikordajat r tet, mille aretas samuti Pearson. Põhiline (täpsed) valemid ja arvutamise protseduurid r tetüsna keeruline. Seetõttu praktilise See meetod kasutab lähendusi r tet,saadud lühendatud protseduuride ja tabelite alusel.

/on-line/dictionary/dictionary.php?term=511

PUNKT BISERIAALNE KOEFITSIENT on korrelatsioonikordaja kahe muutuja vahel, millest üks mõõdetakse dihhotoomses skaalal ja teine ​​intervallskaalal. Seda kasutatakse klassikalises ja kaasaegses testimises testimisülesande kvaliteedi – usaldusväärsuse ja kooskõla testi üldskooriga – indikaatorina.

Mõõdetud muutujate korreleerimiseks dihhotoomne ja intervallskaala kasutada punkt-biserial korrelatsioonikordaja.
Punkt-biseeria korrelatsioonikordaja on muutujate seoste korrelatsioonianalüüsi meetod, millest ühte mõõdetakse nimede skaalal ja see võtab ainult 2 väärtust (näiteks mehed/naised, õige vastus/vale vastus, tunnus olemas/ei ole) ja teine ​​skaala suhete või intervallide skaalal. Punkt-biseeria korrelatsioonikordaja arvutamise valem:

Kus:
m1 ja m0 on X keskmised väärtused väärtusega 1 või 0 Y-s.
σx – kõigi väärtuste standardhälve X võrra
n1,n0 – X väärtuste arv vahemikus 1 või 0 kuni Y.
n – väärtuspaaride koguarv

Kõige sagedamini kasutatakse seda tüüpi korrelatsioonikoefitsienti testüksuste ja koguskaala vahelise seose arvutamiseks. See on üks kehtivuskontrolli tüüp.

39. Aste-biseeria korrelatsioonikordaja.

Korrelatsiooni kohta üldiselt vt küsimust nr 36 Koos. 56 (64) 063.JPG

harchenko-korranaliz.pdf lk. 28

Aste biserial korrelatsioonikordaja, mida kasutatakse juhtudel, kui üks muutujatest ( X) esitatakse järguskaalas ja teine ​​( Y) – dihhotoomne, arvutatakse valemiga

.

Siin on objektide keskmine järjestus, millel on üks Y; – objektide keskmine järjestus nullist Y, n- näidissuurus.

Läbivaatus olulisuse hüpoteesid Aste kaheseeria korrelatsioonikordaja teostatakse sarnaselt punktide biseeria korrelatsioonikoefitsiendiga, kasutades Studenti testi asendamisega valemites rpb peal rrb.

Juhtudel, kui ühte muutujat mõõdetakse dihhotoomsel skaalal (muutuja X), ja teine ​​auaste skaalal (muutuja Y), kasutatakse järgu-biseeria korrelatsioonikordajat. Me mäletame, et muutuja X, mõõdetuna dihhotoomsel skaalal, võtab ainult kaks väärtust (koodid) 0 ja 1. Rõhutame eriti: vaatamata asjaolule, et see koefitsient varieerub vahemikus –1 kuni +1, ei oma selle märk koefitsiendi tõlgendamisel tähtsust. tulemused. See on veel üks erand üldreeglist.

See koefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

kus ` X 1– muutuja nende elementide keskmine asetus Y, mis vastab muutuja koodile (märgile) 1 X;

„X 0 – muutuja nende elementide keskmine järjestus ja mis vastab muutujas olevale koodile (märgile) 0 X\

N – elementide koguarv muutujas X.

Aste-biseeria korrelatsioonikoefitsiendi rakendamiseks peavad olema täidetud järgmised tingimused:

1. Võrreldavaid muutujaid tuleb mõõta erinevatel skaaladel: üks X – dihhotoomsel skaalal; muud Y- edetabeli skaalal.

2. Võrreldavate muutujate muutuvate tunnuste arv X Ja Y peaks olema sama.

3. Aste-biseeria korrelatsioonikordaja usaldusväärsuse hindamiseks peaksite kasutama Studenti kriteeriumi valemit (11.9) ja kriitiliste väärtuste tabelit. k = n – 2.

http://psystat.at.ua/publ/drugie_vidy_koehfficienta_korreljacii/1-1-0-38

Juhtumid, kus üks muutujatest on esindatud dihhotoomne skaala ja teine ​​sisse auaste (järguline), nõuavad avaldust järgu ja biseeria korrelatsioonikordaja:

rpb = 2 / n * (m1 - m0)

Kus:
n – mõõteobjektide arv
m1 ja m0 - objektide keskmine järjestus, mille teisel muutujal on 1 või 0.
Seda koefitsienti kasutatakse ka testide kehtivuse kontrollimisel.

40. Lineaarne korrelatsioonikordaja.

Korrelatsiooni kohta üldiselt (ja eriti lineaarse korrelatsiooni kohta vt küsimust nr 36). Koos. 56 (64) 063.JPG

Hr PEARSONI KOEFITSIENT

r-Pearson (Pearson r) kasutatakse kahe mõõdiku vahelise seose uurimisekssamas proovis mõõdetud erinevad muutujad. On palju olukordi, kus selle kasutamine on asjakohane. Kas intelligentsus mõjutab akadeemilist tulemuslikkust kõrgematel ülikooliaastatel? Kas töötaja palga suurus on seotud tema sõbralikkusega kolleegide suhtes? Kas õpilase meeleolu mõjutab keerulise aritmeetilise ülesande lahendamise edukust? Sellistele küsimustele vastamiseks peab teadlane mõõtma iga valimi liikme kohta kahte huvipakkuvat näitajat. Seejärel koostatakse seose uurimiseks vajalikud andmed tabelina, nagu allolevas näites.

NÄIDE 6.1

Tabelis on näide lähteandmetest kahe intelligentsuse näitaja (verbaalne ja mitteverbaalne) mõõtmiseks 20 8. klassi õpilase kohta.

Nende muutujate vahelist seost saab kujutada hajuvusdiagrammi abil (vt joonis 6.3). Diagramm näitab, et mõõdetud näitajate vahel on teatav seos: mida suurem on verbaalse intelligentsuse väärtus, seda suurem on (enamasti) mitteverbaalse intelligentsuse väärtus.

Enne korrelatsioonikordaja valemi andmist proovime näite 6.1 andmete abil jälgida selle esinemise loogikat. Iga /-punkti (subjekt numbriga /) asukohta hajusdiagrammil teiste punktide suhtes (joonis 6.3) saab määrata vastavate muutujate väärtuste keskmistest väärtustest kõrvalekaldumise märkide ja väärtustega. : (xj - MJ Ja (meeles juures ). Kui nende kõrvalekallete märgid langevad kokku, näitab see positiivset seost (suuremad väärtused X suured väärtused vastavad juures või madalamaid väärtusi X väiksemad väärtused vastavad y).

Õppeaine nr 1 puhul kõrvalekalle keskmisest X ja poolt juures positiivne ja subjekti nr 3 puhul on mõlemad kõrvalekalded negatiivsed. Järelikult näitavad mõlema andmed positiivsele seosele uuritud tunnuste vahel. Vastupidi, kui märke kõrvalekaldeid keskmisest X ja poolt juures erinevad, näitab see negatiivset seost omaduste vahel. Seega aine nr 4 puhul kõrvalekalle keskmisest X on negatiivne, poolt y - positiivne ja teema nr 9 puhul - vastupidi.

Seega, kui hälvete korrutis (x,- M X ) X (meeles juures ) positiivne, siis näitavad /-subjekti andmed otsest (positiivset) seost ja kui negatiivset, siis vastupidist (negatiivset) seost. Vastavalt sellele, kui Xwy a on üldiselt seotud otseses proportsioonis, siis on suurem osa hälvete korrutistest positiivsed ja kui need on seotud pöördvõrdeliselt, siis on suurem osa korrutistest negatiivsed. Seetõttu võib seose tugevuse ja suuna üldnäitaja olla antud valimi kõigi kõrvalekallete korrutiste summa:

Muutujate vahelise otseselt proportsionaalse suhte korral on see väärtus suur ja positiivne - enamiku subjektide puhul langevad kõrvalekalded märgiga kokku (ühe muutuja suured väärtused vastavad teise muutuja suurtele väärtustele ja vastupidi). Kui X Ja juures Kui teil on tagasisidet, siis enamiku subjektide puhul vastavad ühe muutuja suuremad väärtused teise muutuja väiksematele väärtustele, st toodete märgid on negatiivsed ja toodete summa tervikuna on samuti suur absoluutväärtuses, kuid negatiivse märgiga. Kui muutujate vahel ei ole süstemaatilist seost, siis tasakaalustatakse positiivsed liikmed (hälbete korrutised) negatiivsete liikmetega ja kõigi hälvete korrutiste summa on nullilähedane.

Et toodete summa ei sõltuks valimi suurusest, piisab selle keskmistamisest. Kuid meid huvitab seotuse mõõt mitte üldise parameetrina, vaid selle arvutatud hinnanguna - statistika. Seetõttu, nagu dispersioonivalemi puhul, teeme sel juhul sama, jagame kõrvalekallete korrutiste summa mitte N, ja televisioonis - 1. Selle tulemuseks on füüsikas ja tehnikateadustes laialdaselt kasutatav ühenduse mõõt, mida nimetatakse kovariatsioon (Kovahance):

või pärast avaldiste asendamist o x ja

siis tundub r-Pearsoni korrelatsioonikordaja valem lihtsam (071.JPG):

/dict/sociology/article/soc/soc-0525.htm

KORRELAATSIOON LINEAAR- statistiline lineaarne seos kahe kvantitatiivse muutuja vahel, mis ei ole põhjuslik X Ja juures. Mõõdetud "K.L koefitsiendi" abil. Pearson, mis saadakse kovariatsiooni jagamisel mõlema muutuja standardhälbetega:

,

Kus s xy- muutujate vaheline kovariatsioon X Ja juures;

s x , s y- muutujate standardhälbed X Ja juures;

x i , y i- muutuvad väärtused X Ja juures numbriga objekti jaoks i;

x, y- muutujate aritmeetilised keskmised X Ja juures.

Pearsoni koefitsient r võib võtta väärtusi intervallist [-1; +1]. Tähendus r = 0 tähendab, et muutujate vahel puudub lineaarne seos X Ja juures(kuid ei välista mittelineaarset statistilist seost). Positiivsed koefitsiendi väärtused ( r> 0) näitavad otsest lineaarset ühendust; mida lähemal on selle väärtus +1-le, seda tugevam on seos statistilisel sirgel. Negatiivsete koefitsientide väärtused ( r < 0) свидетельствуют об обратной линейной связи; чем ближе его значение к -1, тем сильнее обратная связь. Значения r= ±1 tähendab täieliku lineaarse otse- või vastupidise ühenduse olemasolu. Täieliku ühenduse korral kõik punktid koordinaatidega ( x i , y i) asetsevad sirgjoonel y = a + bx.

"Koefitsient K.L." Pearsoni kasutatakse ka ühenduse tugevuse mõõtmiseks lineaarses paaripõhises regressioonimudelis.

41. Korrelatsioonimaatriks ja korrelatsioonigraafik.

Korrelatsiooni kohta üldiselt vt küsimust nr 36 Koos. 56 (64) 063.JPG

Korrelatsioonimaatriks. Sageli hõlmab korrelatsioonianalüüs mitte kahe, vaid paljude muutujate vaheliste suhete uurimist, mida mõõdetakse ühes valimis kvantitatiivsel skaalal. Sel juhul arvutatakse selle muutujate komplekti iga paari jaoks korrelatsioonid. Arvutused tehakse tavaliselt arvutis ja tulemuseks on korrelatsioonimaatriks.

Korrelatsioonimaatriks(Korrelatsioon Maatriks) on komplekti iga paari jaoks ühte tüüpi korrelatsioonide arvutamise tulemus R muutujad, mida mõõdetakse kvantitatiivsel skaalal ühes proovis.

NÄIDE

Oletame, et uurime seoseid 5 muutuja vahel (vl, v2,..., v5; P= 5), mõõdetuna näidisel N = 30 Inimene. Allpool on lähteandmete tabel ja korrelatsioonimaatriks.

JA
sarnased andmed:

Korrelatsioonimaatriks:

On lihtne märgata, et korrelatsioonimaatriks on ruudukujuline, sümmeetriline põhidiagonaali suhtes (takkak,y = /) y, ühikud on põhidiagonaalis (alates G Ja = Gu = 1).

Korrelatsioonimaatriks on ruut: ridade ja veergude arv on võrdne muutujate arvuga. Ta sümmeetriline põhidiagonaali suhtes, kuna korrelatsioon X Koos juures võrdub korrelatsiooniga juures Koos X.Üksused asuvad selle põhidiagonaalil, kuna tunnuse korrelatsioon iseendaga on võrdne ühega. Järelikult ei kuulu analüüsimisele kõik korrelatsioonimaatriksi elemendid, vaid need, mis asuvad põhidiagonaalist kõrgemal või allpool.

korrelatsioonikoefitsientide arv, Seoste uurimisel analüüsitavad omadused määratakse järgmise valemiga: P(P- 1)/2. Ülaltoodud näites on selliste korrelatsioonikordajate arv 5(5 - 1)/2 = 10.

Korrelatsioonimaatriksi analüüsi põhiülesanne on paljude tunnuste vaheliste suhete struktuuri tuvastamine. Sel juhul on visuaalne analüüs võimalik korrelatsioonigalaktikad- graafiline pilt struktuure statistiliselttähenduslikud ühendused, kui selliseid ühendusi pole väga palju (kuni 10-15). Teine võimalus on kasutada mitme muutujaga meetodeid: mitut regressiooni, faktor- või klasteranalüüsi (vt jaotist “Mitme muutujaga meetodid...”). Faktor- või klasteranalüüsi abil on võimalik tuvastada muutujate rühmitusi, mis on omavahel tihedamalt seotud kui teiste muutujatega. Nende meetodite kombinatsioon on samuti väga tõhus, näiteks kui märke on palju ja need ei ole homogeensed.

Korrelatsioonide võrdlus - korrelatsioonimaatriksi analüüsi lisaülesanne, millel on kaks võimalust. Kui on vaja võrrelda korrelatsioone korrelatsioonimaatriksi ühes reas (ühe muutuja puhul), kasutatakse sõltuvate valimite võrdlusmeetodit (lk 148-149). Erinevate valimite jaoks arvutatud samanimeliste korrelatsioonide võrdlemisel kasutatakse sõltumatute valimite võrdlusmeetodit (lk 147-148).

Võrdlusmeetodid korrelatsioonid diagonaalides korrelatsioonimaatriks (juhusliku protsessi statsionaarsuse hindamiseks) ja võrdlus mitu erinevate valimite jaoks (nende homogeensuse jaoks) saadud korrelatsioonimaatriksid on töömahukad ja jäävad käesoleva raamatu käsitlusest välja. Nende meetoditega saate tutvuda G.V. Sukhodolsky raamatust 1.

Korrelatsioonide statistilise olulisuse probleem. Probleem on selles, et statistiliste hüpoteeside testimise protseduur eeldab üks-mitmekordne katse tehakse ühe prooviga. Kui rakendatakse sama meetodit korduvalt, isegi kui erinevate muutujate suhtes suureneb puhtjuhuslikult tulemuse saamise tõenäosus. Üldiselt, kui kordame sama hüpoteesi testimise meetodit üks kord erinevate muutujate või valimite puhul, siis kehtestatud väärtusega a saame garanteeritult kinnituse hüpoteesile ahh juhtumite arv.

Oletame, et korrelatsioonimaatriksit analüüsitakse 15 muutuja jaoks, see tähendab, et arvutatakse 15(15-1)/2 = 105 korrelatsioonikordajat. Hüpoteeside kontrollimiseks seatakse tase a = 0,05 Hüpoteesi 105 korda kontrollides saame sellele kinnituse viis korda (!), olenemata sellest, kas seos ka reaalselt eksisteerib. Kas seda teades ja näiteks 15 "statistiliselt olulist" korrelatsioonikordajat omades saame öelda, millised neist saadi juhuslikult ja millised peegeldavad tegelikku suhet?

Rangelt võttes on statistilise otsuse tegemiseks vaja taset a vähendada sama palju kui testitavate hüpoteeside arv. Kuid see on vaevalt soovitatav, kuna tõenäoline, et tõesti olemasolevat ühendust eirata (II tüüpi vea tegemine) suureneb ettearvamatult.

Korrelatsioonimaatriks üksi ei ole piisav alusstatistiliste järelduste tegemiseks selles sisalduvate üksikute koefitsientide kohtakorrelatsioonid!

Selle probleemi lahendamiseks on ainult üks tõeliselt veenev viis: jagada valim juhuslikult kaheks osaks ja võtta arvesse ainult neid korrelatsioone, mis on statistiliselt olulised valimi mõlemas osas. Alternatiiviks võib olla mitme muutujaga meetodite (faktor-, klaster- või mitme regressioonianalüüs) kasutamine statistiliselt oluliselt seotud muutujate rühmade tuvastamiseks ja järgnevaks tõlgendamiseks.

Puuduvate väärtuste probleem. Kui andmetes puuduvad väärtused, on korrelatsioonimaatriksi arvutamiseks võimalik kaks võimalust: a) väärtuste ridade kaupa eemaldamine (Välistadajuhtudelnimekirjaliselt); b) väärtuste paariline kustutamine (Välistadajuhtudelpaarikaupa). Kell rida rea ​​haaval kustutamine puuduvate väärtustega vaatluste puhul kustutatakse terve rida objekti (subjekti) kohta, millel on ühe muutuja jaoks vähemalt üks puuduv väärtus. See meetod viib "õige" korrelatsioonimaatriksini selles mõttes, et kõik koefitsiendid arvutatakse samast objektide komplektist. Kui aga puuduvad väärtused jaotuvad muutujates juhuslikult, võib see meetod viia selleni, et vaadeldavas andmekogumis pole enam ühtegi objekti (igas reas on vähemalt üks puuduv väärtus) . Selle olukorra vältimiseks kasutage teist meetodit nimega paarikaupa eemaldamine. See meetod võtab arvesse ainult iga valitud veeru-muutuja paari lünki ja eirab teiste muutujate lünki. Korrelatsioon muutujapaari jaoks arvutatakse nende objektide jaoks, kus lünki pole. Paljudes olukordades, eriti kui lünkade arv on suhteliselt väike, näiteks 10%, ja lüngad jaotuvad üsna juhuslikult, ei too see meetod kaasa tõsiseid vigu. Mõnikord see siiski nii ei ole. Näiteks võib hindamise süstemaatiline kallutatus (nihe) "varjata" süstemaatilise väljajätmiste paigutuse, mis on erinevate alamhulkade (näiteks objektide erinevate alamrühmade) jaoks konstrueeritud korrelatsioonikoefitsientide erinevuse põhjuseks. Teine probleem, mis on seotud korrelatsioonimaatriksiga, mis on arvutatud paarikaupa lünkade eemaldamine toimub siis, kui seda maatriksit kasutatakse teist tüüpi analüüsides (näiteks mitmekordses regressiooni- või faktoranalüüsis). Nad eeldavad, et "õiget" korrelatsioonimaatriksit kasutatakse teatud järjepidevuse ja erinevate koefitsientide "vastavuse" tasemel. "Halbade" (kallutatud) hinnangutega maatriksi kasutamine toob kaasa asjaolu, et programm ei suuda sellist maatriksit analüüsida või on tulemused valed. Seega, kui kasutatakse puuduvate andmete välistamise paaripõhist meetodit, tuleb kontrollida, kas puuduvate andmete jaotuses esineb süstemaatilisi mustreid.

Kui puuduvate andmete paaride kaupa kustutamine ei too kaasa keskmiste ja dispersioonide (standardhälbe) süstemaatilist nihet, on see statistika sarnane puuduvate andmete ridade kaupa arvutatud andmetega. Kui täheldatakse olulist erinevust, siis on põhjust eeldada, et hinnangutes on toimunud nihe. Näiteks kui muutuja väärtuste keskmine (või standardhälve). A, mida kasutati selle korrelatsiooni arvutamisel muutujaga IN, palju väiksem kui muutuja samade väärtuste keskmine (või standardhälve). A, mida kasutati selle korrelatsiooni arvutamisel muutujaga C, siis on põhjust eeldada, et need kaks korrelatsiooni (A-Bmeie) andmete erinevatel alamhulkadel. Korrelatsioonid on nihked, mis on põhjustatud muutujate väärtuste lünkade mittejuhuslikust paigutusest.

Korrelatsioonigalaktikate analüüs. Pärast korrelatsioonimaatriksi elementide statistilise olulisuse probleemi lahendamist saab statistiliselt olulisi korrelatsioone esitada graafiliselt korrelatsioonigalaktika või -galaktika kujul. korrelatsioonigalaktika - See on kujund, mis koosneb tippudest ja neid ühendavatest joontest. Tipud vastavad tunnustele ja on tavaliselt tähistatud numbritega - muutuvate numbritega. Jooned vastavad statistiliselt olulistele seostele ja väljendavad graafiliselt seose märgi ja mõnikord ka j-taseme olulisust.

Korrelatsioonigalaktika võib peegeldada Kõik korrelatsioonimaatriksi statistiliselt olulised seosed (mõnikord nimetatakse korrelatsioonigraafik ) või ainult nende mõtestatult valitud osa (vastab näiteks faktoranalüüsi tulemuste järgi ühele tegurile).

NÄIDE KORRELATSIOONI PLEIAADI KONSTRUKTSIOONIST

Ettevalmistus lõpetajate riiklikuks (lõplikuks) atesteerimiseks: ühtse riigieksami andmebaasi moodustamine (kõikide kategooriate ühtse riigieksami osalejate üldnimekiri, märkides ained) - samade õppeainete puhul reservpäevade arvestamine;

Juhtudel, kui uuritavate tunnuste mõõtmised viiakse läbi järjestusskaalal või seose vorm erineb lineaarsest, viiakse kahe juhusliku muutuja vahelise seose uurimine läbi auaste korrelatsioonikordajate abil. Vaatleme Spearmani astme korrelatsioonikordajat. Selle arvutamisel on vaja näidisvalikud järjestada (järjestada). Järjestus on katseandmete rühmitamine kindlas järjekorras, kas tõusvas või kahanevas järjekorras.

Järjestus toiming viiakse läbi vastavalt järgmisele algoritmile:

1. Madalamale väärtusele omistatakse madalam auaste. Kõrgeimale väärtusele määratakse järjestus, mis vastab järjestatud väärtuste arvule. Väikseimale väärtusele omistatakse auaste 1. Näiteks kui n=7, siis suurim väärtus saab auastme 7, välja arvatud teises reeglis sätestatud juhtudel.

2. Kui mitu väärtust on võrdsed, määratakse neile auaste, mis on nende auastmete keskmine, mille nad saaksid, kui nad ei oleks võrdsed. Näiteks võtame kasvavas järjestuses valimit, mis koosneb 7 elemendist: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Väärtused 22 ja 23 esinevad kumbki üks kord, seega on nende järjestused vastavalt R22=1 ja R23 = 2. Väärtus 25 kuvatakse 3 korda. Kui neid väärtusi ei korrata, oleksid nende järgud 3, 4, 5. Seetõttu on nende R25 aste võrdne 3, 4 ja 5 aritmeetilise keskmisega: . Väärtused 28 ja 30 ei kordu, seega on nende järjestused vastavalt R28=6 ja R30=7. Lõpuks on meil järgmine kirjavahetus:

3. Auastmete kogusumma peab ühtima arvutatud auastmega, mis määratakse järgmise valemiga:

kus n on järjestatud väärtuste koguarv.

Tegeliku ja arvutatud järgusummade lahknevus viitab auastmete arvutamisel või summeerimisel tehtud veale. Sel juhul peate vea leidma ja parandama.

Spearmani auaste korrelatsioonikordaja on meetod, mis võimaldab määrata kahe tunnuse või kahe tunnuste hierarhia vahelise seose tugevust ja suunda. Auaste korrelatsioonikoefitsiendi kasutamisel on mitmeid piiranguid:

• a) Eeldatav korrelatsioonisõltuvus peab olema monotoonne.
• b) Iga proovi maht peab olema suurem või võrdne 5-ga. Proovi ülemise piiri määramiseks kasutage kriitiliste väärtuste tabeleid (lisa tabel 3). Tabelis on n maksimaalne väärtus 40.
• c) Analüüsi käigus on tõenäoline, et võib tekkida suur hulk identseid auastmeid. Sel juhul tuleb teha muudatus. Kõige soodsam on juhtum, kui mõlemad uuritavad proovid esindavad kahte lahknevate väärtuste jada.

Korrelatsioonianalüüsi tegemiseks peab uurijal olema kaks valimit, mida saab järjestada, näiteks:

• - kaks tunnust, mida mõõdetakse samas rühmas;
• - kaks individuaalset tunnuste hierarhiat, mis tuvastati kahes subjektis, kasutades sama tunnuste kogumit;
• - kaks tunnuste rühmahierarhiat;
• - tunnuste individuaalsed ja rühmahierarhiad.

Arvutamist alustame uuritud näitajate järjestamisest iga tunnuse jaoks eraldi.

Analüüsime juhtumit, kus kaks tunnust on mõõdetud samas rühmas. Esiteks järjestatakse erinevate subjektide saadud individuaalsed väärtused esimese tunnuse järgi ja seejärel järjestatakse individuaalsed väärtused teise tunnuse järgi. Kui ühe näitaja madalamad astmed vastavad teise näitaja madalamatele astmetele ja ühe näitaja kõrgemad astmed vastavad teise näitaja kõrgematele astmetele, siis on need kaks omadust positiivselt seotud. Kui ühe näitaja kõrgemad astmed vastavad teise näitaja madalamatele astmetele, on need kaks tunnust negatiivselt seotud. Rs-i leidmiseks määrame iga subjekti jaoks kindlaks erinevused auastmete (d) vahel. Mida väiksem on astmete erinevus, seda lähemal on järgu korrelatsioonikordaja rs väärtusele “+1”. Kui suhet pole, siis pole ka nende vahel kirjavahetust, seega on rs nullilähedane. Mida suurem on erinevus katsealuste järjestuste vahel kahe muutuja puhul, seda lähemal on rs-koefitsiendi väärtus “-1”. Seega on Spearmani järgu korrelatsioonikoefitsient kahe uuritava tunnuse vahelise mis tahes monotoonse seose mõõt.

Vaatleme juhtumit kahe individuaalse tunnuste hierarhiaga, mis tuvastati kahes subjektis, kasutades sama tunnuste komplekti. Selles olukorras järjestatakse mõlema subjekti saadud individuaalsed väärtused teatud tunnuste kogumi järgi. Väikseima väärtusega tunnusele tuleb määrata esimene järk; suurema väärtusega tunnus on teine ​​aste jne. Erilist tähelepanu tuleks pöörata sellele, et kõiki atribuute mõõdetaks samades ühikutes. Näiteks on võimatu järjestada indikaatoreid, kui neid väljendatakse erinevates "hinnapunktides", kuna on võimatu kindlaks teha, milline teguritest on tõsiduse osas esikohal, kuni kõik väärtused on viidud ühele skaalale. Kui tunnustel, millel on ühes õppeaines madalad auastmed, on ka teises madalad auastmed ja vastupidi, siis on individuaalsed hierarhiad omavahel positiivselt seotud.

Kahe rühma tunnuste hierarhia korral järjestatakse kahes subjektirühmas saadud keskmised rühma väärtused uuritud rühmade samade tunnuste kogumi järgi. Järgmisena järgime eelmistel juhtudel antud algoritmi.

Analüüsime juhtumit individuaalse ja rühma tunnuste hierarhiaga. Alustuseks järjestatakse katsealuse individuaalsed väärtused ja rühma keskmised väärtused vastavalt samale saadud tunnuste komplektile, jättes välja subjekti, kes ei osale keskmises rühmahierarhias, kuna tema individuaalne hierarhia on sellega võrreldes. Astekorrelatsioon võimaldab hinnata tunnuste individuaalse ja rühma hierarhia järjepidevuse astet.

Vaatleme, kuidas määratakse korrelatsioonikordaja olulisus ülaltoodud juhtudel. Kahe tunnuse korral määrab selle valimi suurus. Kahe üksiku tunnushierarhia puhul sõltub olulisus hierarhias sisalduvate tunnuste arvust. Kahel viimasel juhul määrab olulisuse uuritavate tunnuste arv, mitte rühmade arv. Seega määrab rs-i olulisuse kõigil juhtudel järjestatud väärtuste arv n.

rs-i statistilise olulisuse kontrollimisel kasutatakse järjestuse korrelatsioonikordaja kriitiliste väärtuste tabeleid, mis on koostatud erinevate järjestatud väärtuste arvu ja erinevate olulisuse tasemete jaoks. Kui rs absoluutväärtus jõuab kriitilise väärtuseni või ületab seda, on korrelatsioon usaldusväärne.

Kaaludes esimest varianti (kahe märgiga juhtum, mis on mõõdetud samas katsealuste rühmas), on võimalikud järgmised hüpoteesid.

H0: Korrelatsioon muutujate x ja y vahel ei erine nullist.

H1: Korrelatsioon muutujate x ja y vahel erineb oluliselt nullist.

Kui töötame mõnega kolmest ülejäänud juhtumist, on vaja esitada veel üks paar hüpoteese:

H0: korrelatsioon hierarhiate x ja y vahel ei erine nullist.

H1: korrelatsioon hierarhiate x ja y vahel erineb oluliselt nullist.

Toimingute jada Spearmani järgu korrelatsioonikordaja rs arvutamisel on järgmine.

• - Määrake, millised kaks tunnust või kaks tunnuste hierarhiat osalevad võrdluses muutujatena x ja y.
• - Järjesta muutuja x väärtused, määrates 1. järgu väikseimale väärtusele vastavalt järjestamise reeglitele. Asetage pingeread tabeli esimesse veergu katsealuste või tunnuste järjekorras.
• - Järjesta muutuja y väärtused. Asetage pingeread tabeli teise veergu katsealuste või tunnuste järjekorras.
• - Arvutage erinevused d ridade x ja y vahel iga tabelirea jaoks. Asetage tulemused tabeli järgmisse veergu.
• - Arvutage ruudu erinevused (d2). Asetage saadud väärtused tabeli neljandasse veergu.
• - Arvutage erinevuste ruudu summa? d2.
• - Kui esinevad identsed järjestused, arvutage parandused:

kus tx on valimi x iga identsete ridade rühma maht;

ty on valimi y iga identsete auastmete rühma maht.

Arvutage järgu korrelatsioonikordaja olenevalt identsete auastmete olemasolust või puudumisest. Kui identseid auastmeid pole, arvutage järgu korrelatsioonikordaja rs järgmise valemi abil:

Kui auastmed on identsed, arvutage järgu korrelatsioonikordaja rs järgmise valemi abil:

kus?d2 on auastmete erinevuste ruudu summa;

Tx ja Ty - parandused võrdsete auastmete jaoks;

n on pingereas osalevate teemade või tunnuste arv.

Määrake rs-i kriitilised väärtused lisa tabelist 3 teatud arvu katsealuste n jaoks. Täheldatakse olulist erinevust korrelatsioonikoefitsiendi nullist tingimusel, et rs ei ole väiksem kui kriitiline väärtus.

Indikaator näitab, kuidas vaatluse käigus saadud järguvaheliste erinevuste ruudu summa erineb seose puudumise korral.

Teenuse eesmärk. Seda veebikalkulaatorit kasutades saate:

• Spearmani järgu korrelatsioonikordaja arvutamine;
• koefitsiendi usaldusvahemiku arvutamine ja selle olulisuse hindamine;

Spearmani astme korrelatsioonikordaja viitab suhtlemise läheduse hindamise näitajatele. Auaste korrelatsioonikordaja, aga ka teiste korrelatsioonikordajate seose tiheduse kvalitatiivset omadust saab hinnata Chaddocki skaala abil.

Koefitsiendi arvutamine koosneb järgmistest sammudest:

Spearmani järgu korrelatsioonikordaja omadused

Kasutusala. Aste korrelatsioonikordaja kasutatakse kahe elanikkonna vahelise suhtluse kvaliteedi hindamiseks. Lisaks kasutatakse heteroskedastilisuse andmete analüüsimisel selle statistilist olulisust.

Näide. Vaadeldud muutujate X ja Y valimi põhjal:

1. koosta edetabel;
2. leida Spearmani järgu korrelatsioonikordaja ja kontrollida selle olulisust tasemel 2a
3. hinnata sõltuvuse olemust

See allolev kalkulaator arvutab Spearmani auaste korrelatsioonikordaja kahe juhusliku muutuja vahel.Teoreetiline osa on traditsiooniline kalkulaatori all.

lisama import ja eksport mode_edit kustutada

Juhuslike muutujate muutused

Juhuslike muutujate muutused

Andmete importimine Impordi viga

"Andmeväljade eraldamiseks kasutatakse ühte järgmistest märkidest: tabeldusmärk, semikoolon (;) või koma (,)" Näidis: -50,5;-50,5

Import Tagasi Tühista

Numbrid pärast koma: 4

Arvutama

Spearmani korrelatsioonikordaja

Salvesta jagada pikendamine

Spearmani auaste korrelatsioonikordaja arvutamise meetod on tegelikult üsna lihtne. See on justkui loodud Pearsoni korrelatsioonikordaja , kuid mitte ainult juhuslike suuruste, vaid nende mõõtmiseks. pingerea väärtused.

Peame vaid aru saama, mis on auastme väärtus ja miks see kõik vajalik on.

Kui variatsiooniseeria elemendid on järjestatud kasvavas või kahanevas järjekorras, siis koht elemendist on tema number järjestatud seerias.

Näiteks on meil varieeruv seeria (17,26,5,14,21). Sorteerime selle elemendid kahanevas järjekorras (26,21,17,14,5). 26 on auaste 1, 21 - auaste 2 ja nii edasi, pingerea väärtuste variatsiooniseeria näeb välja selline (3,1,5,4,2).

St. Spearmani koefitsiendi arvutamisel teisendatakse algsed variatsiooniread järjestusväärtuste variatsiooniseeriateks ja seejärel rakendatakse neile Pearsoni valemit.
.
Seal on üks nüanss - korduvate väärtuste auaste võetakse auastmete keskmisena. See tähendab, et seeria (17, 15, 14, 15) paremusjärjestuse seeria näeb välja nagu (1, 2,5, 4, 2,5), kuna esimese elemendi 15 auaste on 2 ja teise 3. ja.

Kui teil pole korduvaid väärtusi, st kõiki pingeridade väärtusi - numbreid vahemikus 1 kuni n, saab Pearsoni valemit lihtsustada.

Muide, see valem on sageli antud Spearmani koefitsiendi arvutamise valemiks.

Mis on väärtustelt endilt nende järguväärtusele ülemineku olemus?
Järjestusväärtuste korrelatsiooni uurides saate teada, kui hästi kirjeldab kahe muutuja sõltuvust monotoonne funktsioon.

Koefitsiendi märk näitab muutujatevahelise seose suunda. Kui märk on positiivne, on Y väärtustel kalduvus X-i suurenemisega suureneda. Kui märk on negatiivne, on Y väärtustel kalduvus X-i suurenemisel väheneda. Kui koefitsient on 0, siis siis pole tendentsi. Kui koefitsient võrdub 1 või -1, on X ja Y vahelisel seosel monotoonne funktsioon, st. X-i suurenemisega suureneb ka Y ja vastupidi.

See tähendab, et erinevalt Pearsoni korrelatsioonikoefitsiendist, mis suudab tuvastada ainult ühe muutuja lineaarset seost teisest, suudab Spearmani korrelatsioonikordaja tuvastada monotoonse sõltuvuse, kus otsest lineaarset seost ei saa paljastada.

Siin on näide.
Lubage mul selgitada näitega. Oletame, et uurime funktsiooni y=10/x.
Meil on järgmised X ja Y mõõdud
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Nende andmete puhul on Pearsoni korrelatsioonikordaja võrdne -0,4686, s.o. suhe on nõrk või puudub. Ja Spearmani korrelatsioonikordaja on rangelt võrdne -1-ga, justkui vihjab see uurijale, et Y-l on tugevalt negatiivne monotoonne sõltuvus X-st.

Auaste korrelatsioonikordaja, mille on välja pakkunud K. Spearman, viitab auaste skaalal mõõdetud muutujate vahelise seose mitteparameetrilisele mõõtmisele. Selle koefitsiendi arvutamisel ei ole vaja teha eeldusi tunnuste jaotuste olemuse kohta üldkogumis. See koefitsient määrab järgukarakteristikute vahelise seose tiheduse, mis antud juhul esindab võrreldavate suuruste järjestusi.

Spearmani korrelatsioonikordaja jääb samuti vahemikku +1 ja -1. See, nagu Pearsoni koefitsient, võib olla positiivne ja negatiivne, iseloomustades kahe tunnuse vahelise seose suunda, mida mõõdetakse auaste skaalal.

Põhimõtteliselt võib järjestatud tunnuste arv (omadused, tunnused jne) olla ükskõik milline, kuid enam kui 20 tunnuse järjestamine on keeruline. Võimalik, et seetõttu arvutati järgu korrelatsioonikordaja kriitiliste väärtuste tabel ainult neljakümne järjestatud tunnuse kohta (n< 40, табл. 20 приложения 6).

Spearmani astme korrelatsioonikordaja arvutatakse järgmise valemi abil:

kus n on järjestatud tunnuste (näitajate, subjektide) arv;

D on iga aine kahe muutuja auastmete erinevus;

Auaste erinevuste ruudu summa.

Kasutades auaste korrelatsioonikordajat, vaadake järgmist näidet.

Näide: Psühholoog selgitab välja, kuidas on 11 esimese klassi õpilase seas enne kooli algust saadud individuaalsed koolivalmiduse näitajad omavahel seotud ja nende keskmise sooritusega õppeaasta lõpus.

Selle probleemi lahendamiseks reastasime esiteks kooli vastuvõtmisel saadud koolivalmiduse näitajate väärtused ja teiseks nende samade õpilaste keskmised õppeedukuse lõplikud näitajad aasta lõpus. Esitame tulemused tabelis. 13.

Tabel 13

Asendame saadud andmed valemiga ja teostame arvutuse. Saame:

Olulisuse taseme leidmiseks vaadake tabelit. 6. lisa 20, mis näitab järgu korrelatsioonikoefitsientide kriitilisi väärtusi.

Me rõhutame seda tabelis. Lisa 6 20, nagu ka Pearsoni lineaarse korrelatsiooni tabelis, on kõik korrelatsioonikordajate väärtused antud absoluutväärtuses. Seetõttu võetakse korrelatsioonikordaja märki arvesse ainult selle tõlgendamisel.

Olulisuse tasemete leidmine selles tabelis toimub arvu n, st katsealuste arvu järgi. Meie puhul n = 11. Selle arvu jaoks leiame:

0,61 P 0,05 puhul

0,76 P 0,01 puhul

Ehitame vastava "olulisuse telje":

Saadud korrelatsioonikoefitsient langes kokku 1% olulisuse taseme kriitilise väärtusega. Sellest tulenevalt võib väita, et esimese klassi õpilaste koolivalmiduse ja lõpuhinnete näitajaid seob positiivne korrelatsioon - ehk mida kõrgem on koolivalmiduse näitaja, seda paremini õpib esimesse klassi astuja. Statistiliste hüpoteeside osas peab psühholoog tagasi lükkama sarnasuse nullhüpoteesi ja nõustuma alternatiivse erinevuste hüpoteesiga, mis viitab sellele, et koolivalmiduse näitajate ja keskmise õppeedukuse vaheline seos on nullist erinev.

Ühesuguste (võrdsete) auastmete juhtum

Kui on identsed auastmed, on Spearmani lineaarse korrelatsioonikordaja arvutamise valem veidi erinev. Sel juhul lisatakse korrelatsioonikordajate arvutamise valemisse kaks uut liiget, võttes arvesse samu auastmeid. Neid nimetatakse võrdse järgu parandusteks ja need lisatakse arvutusvalemi lugejasse.

kus n on identsete ridade arv esimeses veerus,

k on identsete ridade arv teises veerus.

Kui mis tahes veerus on kaks identsete auastmete rühma, muutub parandusvalem mõnevõrra keerulisemaks:

kus n on järjestatud veeru esimese rühma identsete ridade arv,

k on järjestatud veeru teises rühmas olevate identsete ridade arv. Valemi muutmine üldjuhul on järgmine:

Näide: Psühholoog viib vaimse arengu testi (MDT) abil läbi intelligentsuse uuringu 12 9. klassi õpilasel. Samas palub ta kirjanduse ja matemaatika õpetajatel järjestada need samad õpilased vaimse arengu näitajate järgi. Ülesandeks on teha kindlaks, kuidas on omavahel seotud vaimse arengu objektiivsed näitajad (SHTUR-i andmed) ja õpetajate eksperthinnangud.

Esitame selle ülesande eksperimentaalsed andmed ja Spearmani korrelatsioonikordaja arvutamiseks vajalikud lisaveerud tabeli kujul. 14.

Tabel 14

Kuna pingereas kasutati samu astmeid, siis on vaja kontrollida pingerea õigsust tabeli teises, kolmandas ja neljandas veerus. Kõigi nende veergude liitmisel saadakse sama kogusumma - 78.

Kontrollime arvutusvalemi abil. Tšekk annab:

Tabeli viies ja kuues veerg näitavad iga õpilase SHTUR-testi psühholoogi eksperthinnangute ja õpetajate matemaatika ja kirjanduse eksperthinnangu väärtuste erinevusi. Auastme erinevuste väärtuste summa peab olema võrdne nulliga. D väärtuste liitmine viiendas ja kuuendas veerus andis soovitud tulemuse. Seetõttu viidi auastmete lahutamine läbi õigesti. Sarnane kontroll tuleb läbi viia iga kord, kui korraldate keerulisi pingerida.

Enne valemiga arvutamise alustamist on vaja arvutada samade ridade parandused tabeli teise, kolmanda ja neljanda veeru jaoks.

Meie puhul on tabeli teises veerus kaks identset järjestust, seetõttu on valemi kohaselt paranduse D1 väärtus:

Kolmas veerg sisaldab kolme identset järjestust, seetõttu on valemi kohaselt paranduse D2 väärtus:

Tabeli neljandas veerus on kaks kolme identse järjestusega rühma, seetõttu on valemi kohaselt paranduse D3 väärtus:

Enne probleemi lahendamisega asumist tuletagem meelde, et psühholoog selgitab kahte küsimust - kuidas on SHTUR testi auastmete väärtused seotud eksperthinnangutega matemaatikas ja kirjanduses. Seetõttu tehakse arvutus kaks korda.

Arvutame esimese pingerea koefitsiendi, võttes arvesse lisandeid vastavalt valemile. Saame:

Arvutame ilma lisandit arvesse võtmata:

Nagu näeme, osutus korrelatsioonikoefitsientide väärtuste erinevus väga ebaoluliseks.

Arvutame teise järjestuse koefitsiendi, võttes arvesse lisandeid vastavalt valemile. Saame:

Arvutame ilma lisandit arvesse võtmata:

Jällegi olid erinevused väga väikesed. Kuna õpilaste arv on mõlemal juhul sama, vastavalt tabelile. 6. lisa 20. leiame mõlema korrelatsioonikoefitsiendi kriitilised väärtused korraga n = 12 korral.

0,58 P 0,05 puhul

0,73 P 0,01 puhul

Esimese väärtuse joonistame "olulisuse teljel":

Esimesel juhul on saadud järgu korrelatsioonikordaja olulisuse tsoonis. Seetõttu peab psühholoog tagasi lükkama nullhüpoteesi, et korrelatsioonikordaja on nulliga sarnane, ja nõustuma alternatiivse hüpoteesiga, et korrelatsioonikordaja erineb oluliselt nullist. Teisisõnu, saadud tulemus viitab sellele, et mida kõrgemad on õpilaste eksperthinnangud SHTUR testis, seda kõrgemad on nende eksperdihinnangud matemaatikas.

Teise väärtuse joonistame "olulisuse teljele":

Teisel juhul on astme korrelatsioonikordaja määramatuse tsoonis. Seetõttu võib psühholoog nõustuda nullhüpoteesiga, et korrelatsioonikordaja on nulliga sarnane, ja tagasi lükata alternatiivse hüpoteesi, et korrelatsioonikordaja erineb oluliselt nullist. Sellisel juhul viitab saadud tulemus sellele, et õpilaste SHTUR-testi eksperthinnangud ei ole seotud kirjanduse eksperthinnangutega.

Spearmani korrelatsioonikordaja rakendamiseks peavad olema täidetud järgmised tingimused:

1. Võrreldavad muutujad peavad olema saadud järgu (järgu) skaalal, kuid neid saab mõõta ka intervalli ja suhte skaalal.

2. Korrelatsiooni suuruste jaotuse olemus ei oma tähtsust.

3. Võrreldavate muutujate X ja Y muutuvate tunnuste arv peab olema sama.

Spearmani korrelatsioonikordaja kriitiliste väärtuste määramise tabelid (tabel 20, lisa 6) arvutatakse tunnuste arvust, mis on võrdsed n = 5 kuni n = 40, ja suurema arvu võrreldavate muutujate puhul on tabel Kasutada tuleks Pearsoni korrelatsioonikordajat (tabel 19, lisa 6). Kriitiliste väärtuste leidmine toimub k = n.