Hüperbooli maagia mõistmine. Pöördseoste graafiku (hüperbool) joonistamine

Pakun, et ülejäänud lugejad laiendaksid oluliselt oma kooliteadmisi paraboolide ja hüperboolide kohta. Hüperbool ja parabool – kas need on lihtsad? ...ei jõua ära oodata =)

Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

Materjali esituse üldine ülesehitus sarnaneb eelmisele lõigule. Alustame hüperbooli üldisest mõistest ja selle konstrueerimise ülesandest.

Hüperbooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud. Pange tähele, et erinevalt ellips, tingimust siin ei kehtestata, see tähendab, et "a" väärtus võib olla väiksem kui "be" väärtus.

Pean ütlema, et üsna ootamatult... "kooli" hüperbooli võrrand ei sarnane isegi kanoonilise tähistusega. Kuid see mõistatus peab meid veel ootama, kuid nüüd kratsigem kukalt ja tuletagem meelde, millised on kõnealusel kõveral iseloomulikud tunnused? Laotame selle oma kujutlusvõime ekraanile funktsiooni graafik ….

Hüperboolil on kaks sümmeetrilist haru.

Pole paha edu! Igal hüperboolil on need omadused ja nüüd vaatame tõelise imetlusega selle joone kaelust:

Näide 4

Koostage võrrandiga antud hüperbool

Lahendus: esimeses etapis viime selle võrrandi kanoonilisele kujule. Pidage meeles standardprotseduuri. Paremal peate saama "ühe", nii et jagame algse võrrandi mõlemad pooled 20-ga:

Siin saate mõlemat fraktsiooni vähendada, kuid optimaalsem on teha igaüks neist kolmekorruseline:

Ja alles pärast seda tehke vähendamine:

Valige nimetajates ruudud:

Miks on niimoodi transformatsioone parem läbi viia? Vasakul pool olevaid fraktsioone saab ju kohe vähendada ja saada. Fakt on see, et vaadeldavas näites meil veidi vedas: arv 20 jagub nii 4 kui ka 5-ga. Üldjuhul selline arv ei tööta. Mõelge näiteks võrrandile . Siin on jagatavusega kõik kurvem ja ilma kolmekorruselised murded pole enam võimalik:

Niisiis, kasutame oma töö vilja – kanoonilist võrrandit:

Kuidas konstrueerida hüperbooli?

Hüperbooli konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline.
Praktilise poole pealt kompassiga joonistamine... ütleks isegi, et utoopiline, nii et palju tulusam on taaskord appi võtta lihtsad arvutused.

Soovitatav on järgida järgmist algoritmi, kõigepealt valmis joonis, seejärel kommentaarid:

Praktikas esineb sageli suvalise nurga võrra pööramise ja hüperbooli paralleelse translatsiooni kombinatsiooni. Seda olukorda arutatakse klassis 2. järku joone võrrandi taandamine kanoonilisele kujule.

Parabool ja selle kanooniline võrrand

See on lõpetatud! Ta on see. Valmis paljastama palju saladusi. Parabooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on reaalarv. Lihtne on märgata, et standardasendis parabool “lebab külili” ja selle tipp on algpunktis. Sel juhul määrab funktsioon selle rea ülemise haru ja funktsioon alumise haru. On ilmne, et parabool on telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult, milleks vaeva näha:

Näide 6

Ehitage parabool

Lahendus: tipp on teada, leiame lisapunkte. Võrrand määrab parabooli ülemise kaare, võrrand määrab alumise kaare.

Arvutuste salvestamise lühendamiseks teostame arvutused “ühe harjaga”:

Kompaktse salvestamise jaoks võiks tulemused kokku võtta tabelis.

Enne elementaarse punkt-punkti joonise sooritamist sõnastagem range

parabooli määratlus:

Parabool on kõigi tasandi punktide hulk, mis on võrdsel kaugusel antud punktist ja antud sirgest, mis punkti ei läbi.

Punkti nimetatakse keskenduda paraboolid, sirgjoon - koolijuhataja (kirjutatud ühe "es"-ga) paraboolid. Kanoonilise võrrandi konstantset "pe" nimetatakse fookusparameeter, mis on võrdne kaugusega fookusest otsesuunani. Sel juhul . Sel juhul on fookuses koordinaadid ja suund on antud võrrandiga .
Meie näites:

Parabooli määratlust on veelgi lihtsam mõista kui ellipsi ja hüperbooli määratlusi. Parabooli mis tahes punkti puhul on lõigu pikkus (kaugus fookusest punktini) võrdne risti pikkusega (kaugus punktist sihikuni):

Palju õnne! Paljud teist on täna teinud tõelise avastuse. Selgub, et hüperbool ja parabool pole üldse “tavaliste” funktsioonide graafikud, vaid neil on selgelt väljendunud geomeetriline päritolu.

Ilmselgelt tõusevad graafiku oksad fookusparameetri suurenedes üles ja alla, lähenedes teljele lõpmatult lähedale. Kui “pe” väärtus väheneb, hakkavad need piki telge kokku suruma ja venima

Mis tahes parabooli ekstsentrilisus võrdub ühtsusega:

Parabooli pöörlemine ja paralleeltõlge

Parabool on matemaatikas üks levinumaid jooni ja peate seda sageli ehitama. Seetõttu pöörake erilist tähelepanu õppetunni viimasele lõigule, kus käsitlen selle kõvera asukoha tüüpilisi võimalusi.

! Märge : nagu eelmiste kõverate puhul, on õigem rääkida pöörlemisest ja koordinaatide telgede paralleeltransleerimisest, kuid autor piirdub esitluse lihtsustatud versiooniga, et lugejal oleks nendest teisendustest elementaarne arusaam.

Ettekanne ja õppetund teemal:
"Hüperbool, definitsioon, funktsiooni omadus"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 8. klassile
Elektroonilised õppetabelid geomeetria jaoks. 7-9 klassid
Elektroonilised algebra õppetabelid. 7-9 klassid"

Hüperbool, määratlus

Funktsiooni $y=\frac(1)(x)$ graafik.
Sellise funktsiooni graafikut nimetatakse "hüperbooliks".

Hüperbooli omadused

Hüperboolil pole mitte ainult sümmeetriakese, vaid ka sümmeetriatelg. Poisid, tõmmake joon $y=x$ ja vaadake, kuidas meie graafik jaguneb. Võite märgata, et kui sirge $y=x$ kohal asuv osa asetatakse allpool asuva osa peale, siis need langevad kokku, see tähendab sümmeetriat sirgjoone suhtes.

Oleme joonistanud funktsiooni $y=\frac(1)(x)$, kuid üldjuhul juhtub $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Graafikud praktiliselt ei erine. Tulemuseks on samade harudega hüperbool, ainult mida rohkem $k$, seda kaugemale oksad lähtepunktist eemaldatakse ja mida vähem $k$, seda lähemale lähtepunktile.

Näiteks funktsiooni $y=\frac(10)(x)$ graafik näeb välja selline. Graafik muutus "laiemaks" ja eemaldus lähtepunktist.
Aga kuidas on lood negatiivse $k$-ga? Funktsiooni $y=-f(x)$ graafik on x-telje suhtes sümmeetriline $y=f(x)$ graafikuga, mis tuleb tagurpidi pöörata.
Kasutame selle omaduse eeliseid ja joonistame funktsiooni $y=-\frac(1)(x)$.

Teeme kokkuvõtte saadud teadmistest.
Funktsiooni $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ graafik on esimeses ja kolmandas (teises ja neljandas) koordinaatveerandis paiknev hüperbool $k>0$ ($k) korral

Funktsiooni $y=\frac(k)(x)$, $k>0$ omadused

Funktsiooni $y=\frac(k)(x)$, $k omadused
1. Määratluspiirkond: kõik numbrid, välja arvatud $x=0$.
2. $y>0$ $x 0$ eest.
3. Funktsioon suureneb intervallidel $(-∞;0)$ ja $(0;+∞)$.
4. Funktsioon ei ole piiratud ei ülal ega all.
5. Maksimaalset ega minimaalset väärtust ei ole.
6. Funktsioon on pidev intervallidel $(-∞;0)U(0;+∞)$ ja tal on katkestus punktis $x=0$.
7. Väärtuste vahemik: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hüperbool on teist järku tasapinnaline kõver, mis koosneb kahest eraldiseisvast kõverast, mis ei ristu.
Hüperbooli valem y = k/x, tingimusel, et k pole võrdne 0 . See tähendab, et hüperbooli tipud kalduvad nulli, kuid ei ristu sellega kunagi.

Hüperbool- see on punktide kogum tasapinnal, kahe punkti kauguste erinevuse moodul, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus.

Omadused:

1. Optiline omadus:ühes hüperbooli fookuses paiknevast allikast tulev valgus peegeldub hüperbooli teisest harust selliselt, et peegeldunud kiirte laiendid ristuvad teises fookuses.
Teisisõnu, kui F1 ja F2 on hüperbooli fookused, siis on puutuja hüperbooli mis tahes punktis X nurga ∠F1XF2 poolitaja.

2. Mis tahes punktis, mis asub hüperboolil, on selle punkti ja fookuse kauguste ja samast punktist suunduva punkti kauguste suhe konstantne väärtus.

3. Hüperboolil on peegelsümmeetria tegeliku ja kujuteldava telje suhtes, ja pöörlemissümmeetria kui pööratakse 180° nurga all ümber hüperbooli keskpunkti.

4. Igal hüperboolil on konjugeeritud hüperbool, mille puhul reaalne ja imaginaarne telg vahetavad kohti, kuid asümptoodid jäävad samaks.

Hüperbooli omadused:

1) Hüperboolil on kaks sümmeetriatelge (hüperbooli põhiteljed) ja sümmeetriakese (hüperbooli kese). Sel juhul lõikub üks neist telgedest hüperbooliga kahes punktis, mida nimetatakse hüperbooli tippudeks. Seda nimetatakse hüperbooli tegelikuks teljeks (telg Oh koordinaatsüsteemi kanooniliseks valikuks). Teisel teljel pole hüperbooliga ühiseid punkte ja seda nimetatakse selle kujuteldavaks teljeks (kanoonilistes koordinaatides - telg OU). Selle mõlemal küljel on hüperbooli parem ja vasak haru. Hüperbooli fookused asuvad selle tegelikul teljel.

2) Hüperbooli harudel on kaks asümptooti, ​​mis on määratud võrranditega

3) Koos hüperbooliga (11.3) võime vaadelda nn konjugeeritud hüperbooli, mis on määratletud kanoonilise võrrandiga

mille puhul vahetatakse reaalne ja imaginaarne telg, säilitades samad asümptoosid.

4) Hüperbooli ekstsentrilisus e> 1.

5) Vahemaa suhe r i hüperboolpunktist fookusesse F i kaugusesse d i sellest punktist fookusele vastav suund on võrdne hüperbooli ekstsentrilisusega.

42. Hüperbool on punktide hulk tasandis, mille puhul on kahe fikseeritud punkti kauguste erinevuse moodul F 1 ja F 2 sellest lennukist, nn trikid, on püsiv väärtus.

Tuletagem hüperbooli kanooniline võrrand analoogselt ellipsi võrrandi tuletamisega, kasutades sama tähistust.

|r 1 - r 2 | = 2a, kust Kui tähistame b² = c² - a², siit saad

- kanooniline hüperbooli võrrand. (11.3)

Punktide asukohta, mille puhul kauguse suhe fookusesse ja etteantud sirgjooneni, mida nimetatakse sihiks, on konstantne ja suurem kui üks, nimetatakse hüperbooliks. Antud konstanti nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks

Definitsioon 11.6.Ekstsentrilisus hüperbooli nimetatakse suuruseks e = c/a.

Ekstsentrilisus:

Definitsioon 11.7.Koolijuhataja D i fookusele vastav hüperbool F i, nimetatakse sirgjooneks, mis asub joonega samal pooltasandil F i telje suhtes OU teljega risti Oh distantsil a/e päritolust.

43. Konjugeeritud degenereerunud hüperbooli juhtum (MITTE TÄIELIKULT)

Igal hüperboolil on konjugeeritud hüperbool, mille puhul reaalne ja imaginaarne telg vahetavad kohti, kuid asümptoodid jäävad samaks. See vastab asendamisele a Ja büksteise peal hüperbooli kirjeldavas valemis. Konjugeeritud hüperbool ei ole algse hüperbooli 90° nurga all pööramise tulemus; mõlemad hüperboolid erinevad kuju poolest.

Kui hüperbooli asümptoodid on üksteisega risti, siis nimetatakse hüperbooliks võrdkülgsed . Kaks hüperbooli, millel on ühised asümptoodid, kuid põiki- ja konjugeeritud teljed on ümber paigutatud, nimetatakse vastastikku konjugeerida .

Hüperbool ja parabool

Liigume edasi artikli teise osa juurde teise järgu ridade kohta, mis on pühendatud veel kahele tavalisele kõverale - hüperbool Ja parabool. Kui sattusite sellele lehele otsingumootorist või pole veel olnud aega teemal navigeerida, siis soovitan teil esmalt uurida õppetunni esimest osa, milles uurisime mitte ainult peamisi teoreetilisi punkte, vaid tutvusime ka koos ellips. Pakun, et ülejäänud lugejad laiendaksid oluliselt oma kooliteadmisi paraboolide ja hüperboolide kohta. Hüperbool ja parabool – kas need on lihtsad? ...ei jõua ära oodata =)

Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

Materjali esituse üldine ülesehitus sarnaneb eelmisele lõigule. Alustame hüperbooli üldisest mõistest ja selle konstrueerimise ülesandest.

Hüperbooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud. Pange tähele, et erinevalt ellips, tingimust siin ei kehtestata, see tähendab, et "a" väärtus võib olla väiksem kui "be" väärtus.

Pean ütlema, et üsna ootamatult... "kooli" hüperbooli võrrand ei sarnane isegi kanoonilise tähistusega. Kuid see mõistatus peab meid veel ootama, kuid nüüd kratsigem kukalt ja tuletagem meelde, millised on kõnealusel kõveral iseloomulikud tunnused? Laotame selle oma kujutlusvõime ekraanile funktsiooni graafik ….

Hüperboolil on kaks sümmeetrilist haru.

Hüperboolil on kaks asümptoodid.

Pole paha edu! Igal hüperboolil on need omadused ja nüüd vaatame tõelise imetlusega selle joone kaelust:

Näide 4

Koostage võrrandiga antud hüperbool

Lahendus: esimeses etapis viime selle võrrandi kanoonilisele kujule. Pidage meeles standardprotseduuri. Paremal peate saama "ühe", nii et jagame algse võrrandi mõlemad pooled 20-ga:

Siin saate mõlemat fraktsiooni vähendada, kuid optimaalsem on teha igaüks neist kolmekorruseline:

Ja alles pärast seda tehke vähendamine:

Valige nimetajates ruudud:

Miks on niimoodi transformatsioone parem läbi viia? Vasakul pool olevaid fraktsioone saab ju kohe vähendada ja saada. Fakt on see, et vaadeldavas näites meil veidi vedas: arv 20 jagub nii 4 kui ka 5-ga. Üldjuhul selline arv ei tööta. Mõelge näiteks võrrandile . Siin on jagatavusega kõik kurvem ja ilma kolmekorruselised murded pole enam võimalik:

Niisiis, kasutame oma töö vilja – kanoonilist võrrandit:

Kuidas konstrueerida hüperbooli?

Hüperbooli konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline.
Praktilise poole pealt kompassiga joonistamine... ütleks isegi, et utoopiline, nii et palju tulusam on taaskord appi võtta lihtsad arvutused.

Soovitatav on järgida järgmist algoritmi, kõigepealt valmis joonis, seejärel kommentaarid:

1) Esiteks leiame asümptoodid. Kui hüperbool on antud kanoonilise võrrandiga, siis on selle asümptoodid sirge . Meie puhul: . See üksus on kohustuslik! See on joonise põhiomadus ja see on viga, kui hüperbooli oksad "roomavad välja" oma asümptootidest kaugemale.

2) Nüüd leiame hüperbooli kaks tippu, mis asuvad abstsisstelljel punktides . Tuletus on elementaarne: kui , siis kanoonilisest võrrandist saab , millest järeldub, et . Vaadeldaval hüperboolil on tipud

3) Otsime lisapunkte. Tavaliselt piisab 2-3-st. Kanoonilises asendis on hüperbool sümmeetriline lähtepunkti ja mõlema koordinaattelje suhtes, seega piisab 1. koordinaatveerandi arvutuste tegemisest. Tehnika on täpselt sama, mis ehitamisel ellips. Mustandi kanoonilisest võrrandist väljendame:

Võrrand jaguneb kaheks funktsiooniks:
– määrab hüperbooli ülemised kaared (mida me vajame);
– määrab hüperbooli alumised kaared.

See soovitab leida punkte abstsissidega:

4) Kujutagem asümptoote joonisel , piigid , lisa- ja sümmeetrilised punktid neile teistes koordinaatveerandites. Ühendage hoolikalt vastavad punktid hüperbooli igas harus:

Irratsionaalsega võivad tekkida tehnilised raskused kalle, kuid see on täiesti ületatav probleem.

Joonelõik helistas tegelik telg hüperboolid,
selle pikkus on tippude vaheline kaugus;
number helistas tõeline pooltelg hüperbool;
number – kujuteldav pooltelg.

Meie näites: , ja kui seda hüperbooli pöörata ümber sümmeetriakeskme ja/või liigutada, siis need väärtused ei muutu.

Hüperbooli definitsioon. Fookused ja ekstsentrilisus

Hüperbool, täpselt nagu a ellips, on kaks spetsiaalset punkti, mida nimetatakse trikid. Ma ei öelnud midagi, aga juhuks kui keegi valesti aru saab: sümmeetria keskpunkt ja fookuspunktid muidugi kõverate alla ei kuulu.

Definitsiooni üldkontseptsioon on samuti sarnane:

Hüperbool nimetatakse tasapinna kõigi punktide hulgaks, absoluutväärtus kauguste erinevus kahest antud punktist kummagini on konstantne väärtus, mis on arvuliselt võrdne selle hüperbooli tippude vahelise kaugusega: . Sel juhul ületab fookuste vaheline kaugus reaaltelje pikkuse: .

Kui hüperbool on antud kanoonilise võrrandiga, siis kaugus sümmeetria keskpunktist iga fookuse vahel arvutatakse valemiga: .
Ja vastavalt on fookustel koordinaadid .

Uuritava hüperbooli jaoks:

Mõistame määratlust. Tähistame kaugustega fookustest kuni hüperbooli suvalise punktini:

Esmalt liigutage sinist punkti mõtteliselt mööda hüperbooli paremat haru – kus iganes me ka ei asuks, moodul segmentide pikkuste vahe (absoluutväärtus) on sama:

Kui “viskad” punkti vasakpoolsele harule ja liigutad selle sinna, siis see väärtus jääb muutumatuks.

Moodulimärk on vajalik, kuna pikkuste erinevus võib olla kas positiivne või negatiivne. Muide, mis tahes parema haru punkti jaoks (kuna segment on lühem kui segment ). Vasakpoolse haru mis tahes punkti puhul on olukord täpselt vastupidine ja .

Veelgi enam, arvestades mooduli ilmset omadust, pole vahet, mis millest lahutatakse.

Teeme kindlaks, et meie näites on selle erinevuse moodul tõesti võrdne tippude vahelise kaugusega. Asetage punkt vaimselt hüperbooli paremasse tippu. Siis: , mida oli vaja kontrollida.

Hüperbool on punktide asukoht, mille kauguste erinevus tasandi kahest fikseeritud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus; näidatud erinevus võetakse absoluutväärtusena ja seda tähistatakse tavaliselt 2a-ga. Hüperbooli fookused on tähistatud tähtedega F 1 ja F 2, nendevaheline kaugus 2c. Hüperbooli 2a määratluse järgi

Olgu antud hüperbool. Kui Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi teljed on valitud nii, et antud hüperbooli fookused paiknevad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, siis selles koordinaatsüsteemis on hüperbooli võrrandil selline kuju

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)

kus b = √(c 2 - a 2). Tüüpi (I) võrrandit nimetatakse hüperbooli kanooniliseks võrrandiks. Määratud koordinaatsüsteemi valiku korral on koordinaatide teljed hüperbooli sümmeetriateljed ja alguspunktiks selle sümmeetriakeskus (joonis 18). Hüperbooli sümmeetriatelgi nimetatakse lihtsalt selle telgedeks, sümmeetriakese on hüperbooli keskpunkt. Hüperbool lõikab ühte oma telgedest; lõikepunkte nimetatakse hüperbooli tippudeks. Joonisel fig. Hüperbooli 18 tippu on punktid A" ja A.

Hüperbooli põhiristkülikuks nimetatakse ristkülikut külgedega 2a ja 2b, mis paiknevad sümmeetriliselt hüperbooli telgede suhtes ja puudutavad seda tippudes.

Hüperbooli põhiristküliku külgede keskpunkte ühendavaid lõike pikkusega 2a ja 2b nimetatakse ka selle telgedeks. Põhiristküliku diagonaalid (piiramatult pikendatud) on hüperbooli asümptoodid; nende võrrandid on järgmised:

y = b/a x, y = - b/a x

Võrrand

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)

määrab hüperbooli, mis on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes fookustega ordinaatteljel; võrrandit (2), nagu ka võrrandit (1), nimetatakse kanooniliseks hüperboolvõrrandiks; sel juhul on hüperbooli suvalise punkti ja fookuste vahekauguste pidev erinevus võrdne 2b-ga.

Kaks hüperbooli, mis on määratletud võrranditega

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

samas koordinaatsüsteemis nimetatakse konjugaadiks.

Võrdse poolteljega (a = b) hüperbooli nimetatakse võrdkülgseks; selle kanoonilisel võrrandil on vorm

x 2 - y 2 = a 2 või - x 2 + y 2 = a 2.

kus a on kaugus hüperbooli keskpunktist selle tipuni, mida nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Ilmselgelt iga hüperbooli puhul ε > 1. Kui M(x; y) on hüperbooli suvaline punkt, siis segmente F 1 M ja F 2 M (vt joonis 18) nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Hüperbooli parempoolse haru punktide fookusraadiused arvutatakse valemite järgi

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

vasaku haru punktide fookusraadiused - vastavalt valemitele

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Kui hüperbool on antud võrrandiga (1), siis võrranditega defineeritud sirged

x = -a/ε, x = a/ε

nimetatakse selle suunajateks (vt joonis 18). Kui hüperbool on antud võrrandiga (2), siis on suunad määratud võrranditega

x = -b/ε, x = b/ε

Igal suunal on järgmine omadus: kui r on kaugus hüperbooli suvalisest punktist teatud fookuseni, d on kaugus samast punktist selle fookusega ühepoolse suunani, siis suhe r/d on konstantne väärtus, mis on võrdne hüperbooli ekstsentrilisusega:

515. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused paiknevad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, teades lisaks, et:

1) selle teljed 2a = 10 ja 2b = 8;

2) fookuste 2c = 10 ja telje 2b = 8 vaheline kaugus;

3) fookuste vaheline kaugus 2с = 6 ja ekstsentrilisus ε = 3/2;

4) telg 2a = 16 ja ekstsentrilisus ε = 5/4;

5) asümptootide võrrandid y = ±4/3x ja fookuste vaheline kaugus 2c = 20;

6) suundade vaheline kaugus on 22 2/13 ja fookuste vaheline kaugus on 2c = 26; 39

7) suundade vaheline kaugus on 32/5 ja telg 2b = 6;

8) suundade vaheline kaugus on 8/3 ja ekstsentrilisus ε = 3/2;

9) asümptootide võrrand y = ± 3/4 x ja suundade vaheline kaugus on 12 4/5.

516. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused paiknevad ordinaatteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, teades lisaks, et:

1) selle poolteljed a = 6, b = 18 (tähega a tähistame x-teljel paikneva hüperbooli pooltelge);

2) fookuste vaheline kaugus on 2c = 10 ja ektseitrilisus on ε = 5/3; väga hea 12

3) asümptootide võrrand y = ±12/5x ja tippude vaheline kaugus on 48;

4) suundade vaheline kaugus on 7 1/7 ja ekstsentrilisus ε = 7/5;

5) asümptootide võrrand y = ± 4/3x ja suundade vaheline kaugus on 6 2/5.

517. Määrake iga järgmise hüperbooli poolteljed a ja b:

1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4a 2 = 16;

4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9a 2 = 25; 6) 25x2 -16a 2 = 1;

7) 9x 2 – 64 a 2 = 1.

518. Antud hüperbool 16x 2 - 9y 2 = 144. Leia: 1) poolteljed a ja b; 2) trikid; 3) ekstsentrilisus; 4) asümptootide võrrandid; 5) suundvõrrandid.

519. Antud hüperbool 16x 2 - 9y 2 = -144. Leia: 1) poolteljed a ja b; 2) trikid; 3) ekstsentrilisus; 4) asümptootide võrrandid; 5) suundvõrrandid.

520. Arvutage hüperbooli x 2 /4 - y 2 /9 = 1 ja sirge 9x + 2y - 24 = 0 asümptootide poolt moodustatud kolmnurga pindala.

521. Tee kindlaks, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega:

1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√ (x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√ (x 2 + 25)

522. Hüperboolil on antud punkt M 1 (l0; - √5) - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Koostage võrrandid sirgetest, millel asuvad punkti M 1 fookusraadiused.

523. Olles veendunud, et punkt M 1 (-5; 9/4) asub kilekuulil x 2 /16 - y 2 /9 = 1, määrake punkti M 1 fookusraadiused.

524. Hüperbooli ekstsentrilisus on ε = 2, tema punkti M fookusraadius, mis on tõmmatud kindlast fookusest, on võrdne 16. Arvutage selle fookusega kaugus punktist M ühepoolse suunani.

525. Hüperbooli ekstsentrilisus on ε = 3, kaugus hüperbooli punktist M on 4. Arvutage selle suunaga ühepoolne kaugus punktist M.

526. Hüperbooli ekstsentrilisus on ε = 2, selle keskpunkt asub algpunktis, üks fookustest F(12; 0). Arvutage kaugus abstsissiga 13 hüperbooli punktist M 1 antud fookusele vastava suunani.

527. Hüperbooli ekstsentrilisus on ε = 3/2, selle keskpunkt asub algpunktis, üks suundi on antud võrrandiga x = -8. Arvutage kaugus abstsissiga 10 hüperbooli punktist M 1 antud suunale vastava fookuseni.

528. Määrake hüperbooli punktid - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, mille kaugus parempoolsest fookusest on 4,5.

529. Määrake hüperbooli x 2 /9 - y 2 /16 = 1 punktid, mille kaugus vasakpoolsest fookusest on 7.

530. Hüperbooli x 2 /144 - y 2 /25 = 1 vasaku fookuse kaudu tõmmatakse selle teljega risti, mis sisaldab tippe. Määrake kaugused fookustest selle risti ja hüperbooli ristumispunktideni.

531. Konstrueerige ühe kompassi abil hüperbooli fookused x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (eeldusel, et koordinaatide teljed on kujutatud ja mõõtkava ühik on antud).

532. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused asuvad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, kui see on antud:

1) punktide M 1 (6; -1) ja M 2 (-8; 2√2) hüperboolid;

2) punkt M 1 (-5; 3) hüperbool ja ekstsentrilisus ε = √2;

3) punkti M 1 (9/2;-l) hüperbool ja asümptootide võrrand y = ± 2,3x;

4) punkt M 1 (-3; 5.2) hüperbool ja suundvõrrand x = ± 4/3;

5) asümptootide võrrandid y = ±-3/4x ja suundvõrrandid x = ± 16/5

533. Määrake võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus.

534. Määrake hüperbooli ekstsentrilisus, kui selle tippude vaheline lõik on konjugeeritud hüperbooli fookustest nähtav 60° nurga all.

535. Hüperbooli fookused langevad kokku ellipsi fookustega x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui selle ekstsentrilisus ε = 2.

536. Kirjutage võrrand hüperboolile, mille fookused asuvad ellipsi tippudes x 2 /100 + y 2 /64 = 1 ja suunaridades läbivad selle ellipsi fookused.

537. Tõesta, et hüperbooli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 fookuse kaugus asümptoodini on võrdne b-ga.

538. Tõesta, et kauguste korrutis mis tahes punktist hüperbooli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 kahe asümptoodi vahel on konstantne väärtus, mis võrdub a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Tõesta, et rööpküliku pindala, mida piiravad hüperbooli asümptootid x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja mis tahes selle asümptootidega paralleelse punkti tõmmatud sirged, on konstantne väärtus ab/2.

540. Kirjutage võrrand hüperboolile, kui selle poolteljed a ja b on teada, keskpunkt C(x 0;y 0) ja fookused asuvad sirgel: 1) paralleelselt Ox-teljega; 2) paralleelselt Oy teljega.

541. Tehke kindlaks, et kõik järgmised võrrandid defineerivad hüperbooli, ja leidke selle keskpunkti C koordinaadid, pooltelg, ekstsentrilisus, asümptootide võrrandid ja suundvõrrandid:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16 a 2 + 90x + 32 a - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9 a 2 - 64x - 18 a + 199 = 0.

542. Tee kindlaks, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega:

1) y = - 1 + 2/3√ (x 2 - 4x - 5);

2) y = 7 - 3/2√ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).

Joonista need jooned joonisele.

543. Looge hüperbooli võrrand, teades, et:

1) selle tippude vaheline kaugus on 24 ja fookused on F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fookused on F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) ja suundade vaheline kaugus on 3,6;

3) asümptootide vaheline nurk on 90° ja fookused on F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Kirjutage võrrand hüperboolile, kui selle ekstsentrilisus ε = 5/4, fookus F (5; 0) ja vastava suuna võrrand 5x - 16 = 0 on teada.

545. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui on teada selle ekstsentrilisus e - fookus F(0; 13) ja vastava suuna võrrand 13y - 144 = 0.

546. Punkt A (-3; -5) asub hüperboolil, mille fookus on F (-2;-3), ja vastav suund on antud võrrandiga x + 1 = 0. Kirjutage selle hüperbooli võrrand .

547. Kirjutage võrrand hüperboolile, kui selle ekstsentrilisus ε = √5, fookus F(2;-3) ja vastava suuna võrrand Zx - y + 3 = 0 on teada.

548. Punkt M 1 (1; 2) asub hüperboolil, mille fookus on F(-2; 2), ja vastav suund on antud võrrandiga 2x - y - 1 = 0. Kirjutage selle hüperbooli võrrand. .

549. Antud on võrdkülgse hüperbooli võrrand x 2 - y 2 = a 2. Leidke uues süsteemis selle võrrand, võttes koordinaattelgedeks selle asümptoote.

550. Olles kindlaks teinud, et iga järgmine võrrand defineerib hüperbooli, leidke igaühe jaoks nende keskpunkt, poolteljed, asümptootide võrrandid ja kandke need joonisele: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Leidke sirge 2x - y - 10 = 0 ja hüperbooli x 2 /20 - y 2 /5 = 1 lõikepunktid.

552. Leidke sirge 4x - 3y - 16 = 0 ja hüperbooli x 2 /25 - y 2 /16 = 1 lõikepunktid.

553. Leidke sirge 2x - y + 1 = 0 ja hüperbooli x 2 /9 - y 2 /4 = 1 lõikepunktid.

554. Määrake järgmistel juhtudel, kuidas sirge paikneb hüperbooli suhtes: kas see lõikub, puudutab või läheb sellest väljapoole:

1) x - y - 3 = 0, x 2/12 - y 2/3 = l;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2 /16 - y 2 /9 = l;

555. Määrake, millistel m väärtustel on sirge y = 5/2x + m

1) lõikab hüperbooli x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) puudutab teda;

3) läheb sellest hüperboolist välja.

556. Tuletage tingimus, mille korral sirge y = kx + m puudutab hüperbooli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Kirjutage võrrand hüperbooli puutuja kohta x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 selle punktis Af, (*,; #i).

558. Tõesta, et sama läbimõõduga otstesse tõmmatud hüperbooli puutujad on paralleelsed.

559. Koostage sirgega 4x + 3y - 7 = 0 risti oleva hüperbooli x 2 /20 - y 2 /5 = 1 puutujate võrrandid.

560. Koostage sirgega 10x - 3y + 9 = 0 paralleelse hüperbooli puutujate võrrandid x 2 /16 - y 2 /64 = 1.

561. Joonestage sirgjoonega 2x + 4y - 5 = 0 paralleelsele hüperboolile x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 puutujad ja arvutage nendevaheline kaugus d.

562. Leidke hüperboolil x 2 /24 - y 2 /18 = 1 sirgele 3x + 2y + 1 = O lähim punkt M 1 ja arvutage kaugus d punktist M x selle sirgeni.

563. Koostage võrrand punktist A(- 1; -7) tõmmatud hüperbooli x 2 - y 2 = 16 puutujate jaoks.

564. Punktist C(1;-10) tõmmatakse puutujad hüperboolile x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Koostage võrrand puutepunkte ühendavale kõõlule.

565. Punktist P(1; -5) tõmmatakse hüperboolile puutujad x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Arvutage kaugus d punktist P puutepunkte ühendava hüperbooli kõõluni.

566. Hüperbool läbib punkti A(√6; 3) ja puudutab sirget 9x + 2y - 15 == 0. Kirjutage selle hüperbooli võrrand eeldusel, et selle teljed langevad kokku koordinaattelgedega.

567. Kirjutage võrrand kahe sirge puutuja hüperbooli kohta: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, eeldusel, et selle teljed langevad kokku koordinaattelgedega.

568. Olles veendunud, et ellipsi x 2 /3 - y 2 /5 = 1 ja hüperbooli x 2 /12 - y 2 /3 = 1 lõikepunktid on ristküliku tipud, koostage selle külgede võrrandid. .

569. Antud hüperboolid x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja mõned selle puutujad: P on puutuja lõikepunkt Ox-teljega, Q on puutepunkti projektsioon samale teljele . Tõesta, et OP OQ = a 2 .

570. Tõesta, et hüperbooli fookused asuvad tema mis tahes puutuja vastaskülgedel.

571. Tõesta, et fookuste ja hüperbooli mis tahes puutuja kauguste korrutis x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 on konstantne väärtus, mis on võrdne b 2-ga.

572. Sirge 2x - y - 4 == 0 puudutab hüperbooli, mille fookused on punktides F 1 (-3; 0) ja F 2 (3; 0). Kirjutage selle hüperbooli võrrand.

573. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused paiknevad x-teljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, kui on teada hüperbooli puutuja võrrand 15x + 16y - 36 = 0 ja selle vaheline kaugus tipud on 2a = 8.

574. Tõesta, et hüperbooli puutuja mingis punktis M moodustab võrdsed nurgad fookusraadiustega F 1 M, F 2 M ja läbib nurga F 1 MF 2 seest. X^

575. Hüperbooli x 2 /5 - y 2 /4 = 1 parempoolsest fookusest nurga α(π

576. Tõesta, et ühise fookusega ellips ja hüperbool ristuvad täisnurga all.

577. Tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient Ox-telje suhtes on võrdne 4/3-ga. Määrake sirge võrrand, milleks selle tihendamise käigus teisendatakse hüperbool x 2 /16 - y 2 /9 = 1. Vaadake probleemi 509.

578. Tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient Oy telje suhtes on võrdne 4/5. Määrake sirge võrrand, millesse selle tihendamise käigus teisendatakse hüperbool x 2 /25 - y 2 /9 = 1.

579. Leidke sirge võrrand, milleks on teisendatud hüperbool x 2 - y 2 = 9 tasapinna kahe järjestikuse ühtlase kokkusurumise korral koordinaattelgedele, kui tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsiendid Ox- ja Oy-telgedele on võrdub vastavalt 2/3 ja 5/3.

580. Määrake tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient q Ox-telje suhtes, mille juures hüperbool - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 teisendatakse hüperbooliks x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Määrake tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient q Oy telje suhtes, mille juures hüperbool x 2 /4 - y 2 /9 = 1 teisendatakse hüperbooliks x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Määrake tasapinna kahe järjestikuse ühtlase kokkusurumise koefitsiendid q 1 ja q 2 telgedele Ox ja Oy, mille juures hüperbool x 2 /49 - y 2 /16 = 1 teisendatakse hüperbooliks x 2 /25 - y 2 /64 = 1.