Täisarvude liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise omadused. Naturaalarvude lahutamine

Võib märkida mitmeid sellele tegevusele omaseid tulemusi. Neid tulemusi nimetatakse lisamisomadused naturaalarvud . Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult naturaalarvude lisamise omadusi, kirjutame need tähtede abil ja anname selgitavaid näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalarvude liitmise kombineeritud omadus.

Toome nüüd näite, mis illustreerib naturaalarvude liitmise assotsiatiivset omadust.

Kujutagem ette olukorda: esimesest õunapuust kukkus alla 1 õun ja teiselt õunapuult 2 õuna ja veel 4 õuna. Mõelge nüüd sellele olukorrale: esimesest õunapuust kukkus 1 õun ja veel 2 õuna ning teiselt õunapuult 4 õuna. Selge on see, et nii esimesel kui ka teisel juhul on maas sama palju õunu (seda saab kontrollida ümberarvutamisega). See tähendab, et arvude 2 ja 4 summaga arvu 1 liitmise tulemus on võrdne arvude 1 ja 2 summa liitmise tulemusega numbriga 4.

Vaadeldav näide võimaldab sõnastada naturaalarvude liitmise kombinatoorse omaduse: selleks, et lisada antud arvule antud kahe arvu summa, saame sellele arvule liita antud summa esimese liikme ja liita numbri teise liikme. saadud tulemusele antud summa. Selle omaduse saab kirjutada selliste tähtedega: a+(b+c)=(a+b)+c, kus a, b ja c on suvalised naturaalarvud.

Pange tähele, et võrdus a+(b+c)=(a+b)+c sisaldab sulgusid “(” ja “)”. Avaldistes kasutatakse sulgusid, mis näitavad toimingute sooritamise järjekorda - sulgudes olevad toimingud sooritatakse enne (sellest on pikemalt kirjutatud jaotises). Teisisõnu, avaldised, mille väärtusi hinnatakse esimesena, paigutatakse sulgudesse.

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et liitmise kombinatoorne omadus võimaldab meil üheselt määrata kolme, nelja või enama naturaalarvu liitmise.

Nulli ja naturaalarvu liitmise omadus, nulli ja nulli liitmise omadus.

Teame, et null EI OLE naturaalarv. Miks me siis otsustasime selles artiklis vaadata nulli ja naturaalarvu liitmise omadust? Sellel on kolm põhjust. Esiteks: seda omadust kasutatakse naturaalarvude lisamisel veergu. Teiseks: seda omadust kasutatakse naturaalarvude lahutamisel. Kolmandaks: kui eeldada, et null tähendab millegi puudumist, siis nulli ja naturaalarvu liitmise tähendus langeb kokku kahe naturaalarvu liitmise tähendusega.

Viige läbi mõni arutluskäik, mis aitab sõnastada nulli ja naturaalarvu liitmise omadust. Kujutame ette, et kastis pole objekte (teisisõnu, kastis on 0 objekti) ja sinna on paigutatud objektid, kus a on suvaline naturaalarv. See tähendab, et lisasime 0 ja a objektid. On selge, et pärast seda toimingut on kastis objekt. Seetõttu on võrdus 0+a=a tõene.

Samamoodi, kui kastis on üksused ja sinna on lisatud 0 üksust (st üksusi ei lisata), siis pärast seda toimingut on kastis üksus. Seega a+0=a .

Nüüd saame anda nulli ja naturaalarvu liitmise omaduse formuleeringu: kahe arvu summa, millest üks on null, on võrdne teise arvuga. Matemaatiliselt saab selle omaduse kirjutada järgmise võrdsusena: 0+a=a või a+0=a, kus a on suvaline naturaalarv.

Eraldi pöörame tähelepanu sellele, et naturaalarvu ja nulli liitmisel jääb tõeseks liitmise kommutatiivne omadus ehk a+0=0+a.

Lõpuks sõnastame nulli nulli liitmise omaduse (see on üsna ilmne ega vaja täiendavaid kommentaare): kahe arvu summa, millest igaüks on võrdne nulliga, on võrdne nulliga. See on, 0+0=0 .

Nüüd on aeg välja mõelda, kuidas naturaalarvu liita.

Bibliograafia.

Matemaatika. Üldharidusasutuste 1., 2., 3., 4. klassi mis tahes õpikud.
Matemaatika. Suvalised õpikud üldharidusasutuste 5. klassile.

Ühe numbri lisamine teisele on üsna lihtne. Vaatame näidet, 4+3=7. See avaldis tähendab, et neljale ühikule liideti kolm ühikut ja tulemuseks oli seitse ühikut.
Lisatud numbreid 3 ja 4 nimetatakse tingimustele. Ja numbri 7 lisamise tulemus kutsutakse summa.

Summa on numbrite liitmine. Plussmärk "+".
Sõnasõnalises vormis näeks see näide välja järgmine:

a+b=c

Lisakomponendid:
a- tähtaeg, b- tingimused, c- summa.
Kui liidame 3 ühikule 4 ühikut, saame liitmise tulemusena sama tulemuse.

Sellest näitest järeldame, et olenemata sellest, kuidas me tingimusi vahetame, jääb vastus samaks:

Seda terminite omadust nimetatakse liitmise kommutatiivne seadus.

Kommutatiivne liitmise seadus.

Tingimuste kohtade muutmine ei muuda summat.

Sõnasõnalises tähistuses näeb kommutatiivne seadus välja järgmine:

a+b=b+a

Kui arvestame näiteks kolme terminiga, võtame arvud 1, 2 ja 4. Ja liidame selles järjekorras, lisame esmalt 1 + 2 ja seejärel lisame saadud summale 4, saame avaldise:

(1+2)+4=7

Võime teha vastupidi, lisage kõigepealt 2+4 ja seejärel lisage saadud summale 1. Meie näide näeb välja selline:

1+(2+4)=7

Vastus jääb samaks. Mõlemal sama näite lisamise tüübil on sama vastus. Me järeldame:

(1+2)+4=1+(2+4)

Seda liitmise omadust nimetatakse liitmise assotsiatiivne seadus.

Kommutatiivne ja assotsiatiivne liitmise seadus töötab kõigi mittenegatiivsete arvude puhul.

Kombinatsiooni liitmise seadus.

Kahe arvu summale kolmanda arvu lisamiseks saate esimesele arvule lisada teise ja kolmanda arvu summa.

(a+b)+c=a+(b+c)

Kombinatsiooniseadus töötab suvalise arvu terminite puhul. Kasutame seda seadust siis, kui vajame numbreid mugavas järjekorras lisada. Näiteks liidame kolm arvu 12, 6, 8 ja 4. Mugavam on kõigepealt liita 12 ja 8 ning seejärel liita saadud summale kahe arvu 6 ja 4 summa.
(12+8)+(6+4)=30

Nulliga liitmise omadus.

Kui lisate arvu nulliga, on tulemuseks sama arv.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

IN sõnasõnaline väljendus nulliga liitmine näeb välja selline:

a+0=a
0+ a=a

Küsimused naturaalarvude liitmise teemal:
Tehke lisatabel ja vaadake, kuidas kommutatiivse seaduse omadus töötab?
Lisatabel 1 kuni 10 võib välja näha järgmine:

Lisamistabeli teine versioon.

Kui vaatame liitmistabeleid, näeme, kuidas kommutatiivseadus töötab.

Mis on avaldises a+b=c summa?
Vastus: summa on terminite liitmise tulemus. a+b ja c.

Mis saab väljendis a+b=c?
Vastus: a ja b. Lisad on arvud, mille me kokku liidame.

Mis juhtub numbriga, kui lisate sellele 0?
Vastus: ei midagi, number ei muutu. Nulliga liitmisel jääb arv samaks, sest null on ühtede puudumine.

Mitu liiget peaks näites olema, et saaks rakendada liitmisseadust?
Vastus: kolmest või enamast terminist.

Kirjutage kommutatiivne seadus sõnasõnaliselt üles?
Vastus: a+b=b+a

Näited ülesannete jaoks.
Näide nr 1:
Kirjuta vastus antud avaldistele: a) 15+7 b) 7+15
Vastus: a) 22 b) 22

Näide nr 2:
Rakendage kombinatsiooniseadust mõistetele: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Vastus: 20.

Näide nr 3:
Lahendage väljend:
a) 5921+0 b) 0+5921
Lahendus:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Lahutamise mõistest saab kõige paremini aru näite abil. Otsustad juua teed magusaga. Vaasis oli 10 maiustust. Sa sõid 3 kommi. Mitu kommi on vaasi jäänud? Kui 10-st lahutada 3, jääb vaasi 7 maiustust. Kirjutame ülesande matemaatiliselt:

Vaatame kirjet üksikasjalikult:
10 on arv, millest lahutame või vähendame, mistõttu seda nimetatakse vähendatav.
3 on arv, mille me lahutame. Sellepärast nad kutsuvad teda omavastutus.
7 on lahutamise tulemus või seda nimetatakse ka erinevus. Erinevus näitab, kui palju on esimene arv (10) suurem kui teine number (3) või kui palju teine arv (3) vähem kui esimene numbrid (10).

Kui kahtlete, kas leidsite erinevuse õigesti, peate seda tegema Kontrollima. Lisage erinevusele teine arv: 7+3=10

Kui lahutada l, ei saa minuend olla väiksem kui lahutamine.

Teeme öeldu põhjal järelduse. Lahutamine- see on toiming, mille abil leitakse summast ja ühest terminist teine liige.

Sõnasõnalises vormis näeb see väljend välja järgmine:

a-b =c

a - minuend,
b – alamosa,
c – erinevus.

Numbrist summa lahutamise omadused.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Näidet saab lahendada kahel viisil. Esimene võimalus on leida arvude summa (3+4) ja seejärel sellest lahutada koguarv(13). Teine võimalus on lahutada koguarvust (13) esimene liige (3) ja seejärel lahutada saadud erinevusest teine liige (4).

Sõnasõnalises vormis näeb arvust summa lahutamise omadus välja järgmine:
a - (b + c) = a - b - c

Summast arvu lahutamise omadus.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Arvu lahutamiseks summast saate selle arvu lahutada ühest liikmest ja seejärel lisada saadud erinevusele teise liikme. Tingimuseks on, et liidetav summa on suurem kui lahutatav arv.

Sõnasõnalises vormis näeb summast arvu lahutamise omadus välja järgmine:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a+b) —c=a + (b - c), tingimusel, et b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c=(a - c) + b, tingimusel, et > c

Nulliga lahutamise omadus.

10 — 0 = 10
a - 0 = a

Kui lahutate arvust nulli siis on see sama number.

10 — 10 = 0
a-a = 0

Kui lahutate arvust sama arvu siis on see null.

Seotud küsimused:
Näites 35 - 22 = 13 nimetage minuend, alamosa ja erinevus.
Vastus: 35 – minuend, 22 – subtrahend, 13 – erinevus.

Kui numbrid on samad, mis on nende erinevus?
Vastus: null.

Kas lahutamise test 24–16 = 8?
Vastus: 16 + 8 = 24

Naturaalarvude 1 kuni 10 lahutamise tabel.

Näited probleemide kohta teemal "Naturaalarvude lahutamine".
Näide nr 1:
Sisestage puuduv arv: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Vastus: a) 0 b) 5

Näide nr 2:
Kas on võimalik lahutada: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Vastus: a) ei b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) ei

Näide nr 3:
Lugege väljendit: 20 - 8
Vastus: "Lahutage kahekümnest kaheksa" või "lahutage kahekümnest kaheksa". Häälda sõnu õigesti

Oleme määratlenud täisarvude liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise. Nendel toimingutel (toimingutel) on mitmeid iseloomulikke tulemusi, mida nimetatakse omadusteks. Selles artiklis vaatleme täisarvude liitmise ja korrutamise põhiomadusi, millest tulenevad kõik muud nende toimingute omadused, samuti täisarvude lahutamise ja jagamise omadusi.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvude liitmisel on veel mitmeid väga olulisi omadusi.

Üks neist on seotud nulli olemasoluga. See täisarvude liitmise omadus väidab, et nulli lisamine ükskõik millisele täisarvule seda arvu ei muuda. Kirjutame selle liitmise omaduse tähtede abil: a+0=a ja 0+a=a (see võrdus on tõene liitmise kommutatiivse omaduse tõttu), a on suvaline täisarv. Võite kuulda, et täisarvu nulli nimetatakse lisaks neutraalseks elemendiks. Toome paar näidet. Täisarvu −78 ja nulli summa on −78; Kui lisate positiivse täisarvu 999 nullile, on tulemuseks 999.

Nüüd esitame veel ühe täisarvude liitmise omaduse sõnastuse, mis on seotud mis tahes täisarvu vastandarvu olemasoluga. Iga täisarvu summa, millel on vastandnumber, on null. Anname selle omaduse kirjaliku vormi: a+(−a)=0, kus a ja −a on vastandlikud täisarvud. Näiteks summa 901+(−901) on null; samamoodi on vastandlike täisarvude −97 ja 97 summa null.

Täisarvude korrutamise põhiomadused

Täisarvude korrutamisel on kõik naturaalarvude korrutamise omadused. Loetleme nendest omadustest peamised.

Nii nagu null on liitmise suhtes neutraalne täisarv, on üks neutraalne täisarv täisarvu korrutamise suhtes. See on, mis tahes täisarvu korrutamine ühega ei muuda korrutatavat arvu. Seega 1·a=a, kus a on suvaline täisarv. Viimase võrrandi saab ümber kirjutada kujul a·1=a, mis võimaldab teha korrutamise kommutatiivse omaduse. Toome kaks näidet. Täisarvu 556 korrutis 1 on 556; ühe ja terviku toode negatiivne arv−78 võrdub −78.

Järgmine täisarvude korrutamise omadus on seotud nulliga korrutamisega. Mis tahes täisarvu a nulliga korrutamise tulemus võrdne nulliga , see tähendab, a·0=0 . Võrdsus 0·a=0 on tõene ka täisarvude korrutamise kommutatiivse omaduse tõttu. Erijuhul, kui a=0, on nulli ja nulli korrutis võrdne nulliga.

Täisarvude korrutamisel kehtib ka eelmise pöördomadus. See väidab, et kahe täisarvu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Literaalses vormis saab selle omaduse kirjutada järgmiselt: a·b=0, kui kas a=0 või b=0 või mõlemad a ja b on samaaegselt võrdsed nulliga.

Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes

Täisarvude ühine liitmine ja korrutamine võimaldab meil arvestada korrutamise jaotusomadusi liitmise suhtes, mis ühendab kahte näidatud toimingut. Liitmise ja korrutamise koos kasutamine avab lisavõimalusi, mis jääksid kasutamata, kui arvestaksime liitmist korrutamisest eraldi.

Niisiis, korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes väidab, et täisarvu a korrutis kahe täisarvu a ja b summaga on võrdne korrutiste a b ja a c summaga, see tähendab, a·(b+c)=a·b+a·c. Sama omaduse saab kirjutada ka muul kujul: (a+b)c=ac+bc .

Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes koos liitmise kombineerimisomadusega võimaldab meil määrata täisarvu korrutamise kolme ja summaga. rohkem täisarvud ja seejärel täisarvude summa korrutamine summaga.

Samuti pange tähele, et kõik muud täisarvude liitmise ja korrutamise omadused on saadud meie näidatud omadustest, see tähendab, et need on ülaltoodud omaduste tagajärjed.

Täisarvude lahutamise omadused

Saadud võrdsusest, aga ka täisarvude liitmise ja korrutamise omadustest tulenevad järgmised täisarvude lahutamise omadused (a, b ja c on suvalised täisarvud):

Täisarvude lahutamine üldine juhtum EI oma kommutatiivset omadust: a−b≠b−a.
Võrdsete täisarvude vahe on null: a−a=0.
Antud täisarvust kahe täisarvu summa lahutamise omadus: a−(b+c)=(a−b)−c .
Täisarvu lahutamise omadus kahe täisarvu summast: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
Korrutamise jaotusomadus lahutamise suhtes: a·(b-c)=a·b-a·c ja (a–b)·c=a·c-b·c.
Ja kõik muud täisarvude lahutamise omadused.

Täisarvude jagamise omadused

Täisarvude jagamise tähenduse üle arutledes saime teada, et täisarvude jagamine on korrutamise pöördtegevus. Andsime järgmise definitsiooni: täisarvude jagamine on tundmatu teguri leidmine teadaolevast korrutisest ja teadaolevast tegurist. See tähendab, et me nimetame täisarvu c jagatiseks täisarvu a jagamisel täisarvuga b, kui korrutis c·b on võrdne a-ga.

See määratlus ja kõik ülalpool käsitletud täisarvudega tehtavate tehte omadused võimaldavad kindlaks teha järgmised omadused täisarvude jagamine:

Ühtegi täisarvu ei saa nulliga jagada.
Nulli jagamise omadus suvalise täisarvuga, mis ei ole null: 0:a=0.
Võrdsete täisarvude jagamise omadus: a:a=1, kus a on mis tahes täisarv peale nulli.
Suvalise täisarvu a ühega jagamise omadus: a:1=a.
Üldiselt EI OLE täisarvude jagamisel kommutatiivset omadust: a:b≠b:a .
Kahe täisarvu summa ja erinevuse täisarvuga jagamise omadused: (a+b):c=a:c+b:c ja (a-b):c=a:c-b:c, kus a, b , ja c on täisarvud, nii et a ja b jaguvad c-ga ja c on nullist erinev.
Kahe täisarvu a ja b korrutise jagamise omadus nullist erineva täisarvuga c: (a·b):c=(a:c)·b, kui a jagub c-ga; (a·b):c=a·(b:c) , kui b jagub c-ga; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) kui nii a kui ka b jaguvad c-ga.
Täisarvu a jagamise omadus kahe täisarvu b ja c korrutisega (arvud a , b ja c on sellised, et a jagamine b c-ga on võimalik): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
Kõik muud täisarvude jagamise omadused.

See õppetund on pühendatud teemale "Liitmise omadused". Selles saate tutvuda liitmise kommutatiivsete ja assotsiatiivsete omadustega konkreetsed näited. Uurige, millistel juhtudel saate neid arvutusprotsessi hõlbustamiseks kasutada. Testinäited aitavad kindlaks teha, kui hästi olete uuritud materjali omandanud.

Õppetund: Lisamise omadused

Vaadake tähelepanelikult väljendit:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Peame leidma selle väärtuse. Teeme seda.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Avaldise tulemus on 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Ütle mulle, kas oli mugav arvutada? Seda polnud eriti mugav arvutada. Vaadake uuesti selle avaldise numbreid. Kas neid on võimalik vahetada nii, et arvutused oleksid mugavamad?

Kui paigutame numbrid ümber:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Avaldise lõpptulemus on 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Näeme, et avaldiste tulemused on samad.

Kui see on arvutamiseks mugav, saab tingimusi vahetada ja summa väärtus ei muutu.

Matemaatikas on seadus: Kommutatiivne liitmise seadus. Selles märgitakse, et tingimuste ümberkorraldamine ei muuda summat.

Onu Fjodor ja Šarik vaidlesid. Šarik leidis väljendi tähenduse nii, nagu see oli kirjutatud, ja onu Fjodor ütles, et teab teist, mugavamat arvutusviisi. Kas näete paremat viisi arvutamiseks?

Sharik lahendas väljendi nii, nagu see oli kirjutatud. Ja onu Fjodor ütles, et ta teab seadust, mis lubab termineid vahetada, ja vahetas numbrid 25 ja 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Näeme, et tulemus jääb samaks, kuid arvutamine on muutunud palju lihtsamaks.

Vaadake järgmisi väljendeid ja lugege need läbi.

6 + (24 + 51) = 81 (6-le lisage 24 ja 51 summa)
Eks ole mugav viis arvutamiseks?
Näeme, et kui liidame 6 ja 24, saame ümmarguse arvu. Ümmargusele numbrile on alati lihtsam midagi lisada. Paneme sulgudesse arvude 6 ja 24 summa.
(6 + 24) + 51 = …
(lisada 51 arvude 6 ja 24 summale)

Arvutame välja avaldise väärtuse ja vaatame, kas avaldise väärtus on muutunud?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Näeme, et väljendi tähendus jääb samaks.

Harjutame veel ühe näitega.

(27 + 19) + 1 = 47 (arvude 27 ja 19 summale liidetakse 1)
Milliseid numbreid on mugav grupeerida, et moodustada mugav meetod?
Sa arvasid, et need on numbrid 19 ja 1. Paneme sulgudesse arvude 19 ja 1 summa.
27 + (19 + 1) = …
(27-le lisage arvude 19 ja 1 summa)
Leiame selle väljendi tähenduse. Peame meeles, et esmalt sooritatakse sulgudes olev toiming.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Meie väljendi tähendus jääb samaks.

Kombinatsiooni liitmise seadus: kaks kõrvuti asetsevat liiget saab asendada nende summaga.

Nüüd harjutame mõlema seaduse kasutamist. Peame arvutama avaldise väärtuse:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Esiteks kasutame liitmise kommutatiivset omadust, mis võimaldab meil liite vahetada. Vahetame terminid 14 ja 2 ära.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Nüüd kasutame kombinatsiooni omadust, mis võimaldab asendada kaks külgnevat liiget nende summaga.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Kõigepealt selgitame välja summade 38 ja 2 väärtuse.

Nüüd on summa 14 ja 6.

3. Pedagoogiliste ideede festival " Avalik tund» ().

Tee seda kodus

1. Arvutage terminite summa erinevatel viisidel:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Hinnake avaldiste tulemusi:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Arvutage summa mugaval viisil:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13