Differentiaaliyhtälölaskimen osittainen ratkaisu yksityiskohtaisesti. Yksinkertaisimpien ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt

1.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka suhteuttaa riippumattoman muuttujan x, tarvittava toiminto y ja sen johdannaiset tai differentiaalit.

Symbolisesti differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Differentiaaliyhtälöä kutsutaan tavalliseksi, jos vaadittava funktio riippuu yhdestä riippumattomasta muuttujasta.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen kutsutaan funktioksi, joka muuttaa tämän yhtälön identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön järjestys on tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestys

Esimerkkejä.

1. Tarkastellaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio y = 5 ln x. Todellakin, korvaaminen y" yhtälöön, saamme identiteetin.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio y = 5 ln x– on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön.

2. Tarkastellaan toisen asteen differentiaaliyhtälöä y" - 5y" + 6y = 0. Funktio on ratkaisu tähän yhtälöön.

Todella, .

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön, saadaan: , – identiteetti.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön.

Differentiaaliyhtälöiden integrointi on prosessi, jossa etsitään ratkaisuja differentiaaliyhtälöihin.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kutsutaan muodon funktioksi , joka sisältää yhtä monta riippumatonta mielivaltaista vakiota kuin yhtälön järjestys.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisusta mielivaltaisten vakioiden lukuisille arvoille. Mielivaltaisten vakioiden arvot löytyvät tietyistä argumentin ja funktion alkuarvoista.

Differentiaaliyhtälön tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Esimerkkejä

1. Etsi tietty ratkaisu ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöön

xdx + ydy = 0, Jos y= 4 klo x = 3.

Ratkaisu. Integroimalla yhtälön molemmat puolet, saamme

Kommentti. Integroinnin tuloksena saatu mielivaltainen vakio C voidaan esittää missä tahansa muodossa, joka on sopiva lisämuunnoksille. Tässä tapauksessa, kun otetaan huomioon ympyrän kanoninen yhtälö, on kätevää esittää mielivaltainen vakio C muodossa .

- differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Erityinen yhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 4 klo x = 3 saadaan yleisestä korvaamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C = 5.

Korvaamalla yleisen ratkaisun C=5, saadaan x 2 + y 2 = 5 2 .

Tämä on erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka saadaan yleisestä ratkaisusta tietyissä alkuolosuhteissa.

2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

Tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa muodon funktio, jossa C on mielivaltainen vakio. Todellakin, korvaamalla yhtälöitä, saamme: , .

Näin ollen tällä differentiaaliyhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja, koska vakion C eri arvoille yhtälö määrittää eri ratkaisut yhtälöön.

Esimerkiksi suoraan korvaamalla voit varmistaa, että toiminnot toimivat ovat ratkaisuja yhtälöön.

Ongelma, jossa sinun on löydettävä tietty ratkaisu yhtälöön y" = f(x,y) tyydyttää alkuperäisen ehdon y(x 0) = y 0, kutsutaan Cauchyn ongelmaksi.

Yhtälön ratkaiseminen y" = f(x,y), joka täyttää alkuperäisen ehdon, y(x 0) = y 0, kutsutaan ratkaisuksi Cauchyn ongelmaan.

Cauchyn ongelman ratkaisulla on yksinkertainen geometrinen merkitys. Todellakin, näiden määritelmien mukaan Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi y" = f(x,y) olettaen että y(x 0) = y 0, tarkoittaa yhtälön integraalikäyrän löytämistä y" = f(x,y) joka kulkee tietyn pisteen läpi M 0 (x 0,v 0).

II. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

2.1. Peruskonseptit

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö F(x,y,y") = 0.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö sisältää ensimmäisen derivaatan, eikä se sisällä korkeamman kertaluvun derivaattoja.

Yhtälö y" = f(x,y) kutsutaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi, joka on ratkaistu derivaatan suhteen.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää yhden mielivaltaisen vakion.

Esimerkki. Tarkastellaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä.

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio.

Todellakin, korvaamalla tämän yhtälön sen arvolla, saamme

tuo on 3x = 3x

Siksi funktio on yleinen ratkaisu yhtälöön mille tahansa vakiolle C.

Etsi tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon y(1)=1 Alkuehtojen korvaaminen x = 1, y = 1 Yhtälön yleiseen ratkaisuun saamme mistä C = 0.

Siten saamme tietyn ratkaisun yleisestä korvaamalla tähän yhtälöön tuloksena olevan arvon C = 0– yksityinen ratkaisu.

2.2. Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö on muotoa: y"=f(x)g(y) tai differentiaalien kautta, missä f(x) Ja g(y)– määritetyt toiminnot.

Niille y, jolle , yhtälö y"=f(x)g(y) vastaa yhtälöä, jossa muuttuja y on vain vasemmalla puolella ja muuttuja x on vain oikealla puolella. He sanovat: "Eq. y"=f(x)g(y Erottelemme muuttujat."

Muodon yhtälö kutsutaan erotetuksi muuttujayhtälöksi.

Integroi yhtälön molemmat puolet Tekijä: x, saamme G(y) = F(x) + C on yhtälön yleinen ratkaisu, jossa G(y) Ja F(x)– jotkin funktioiden ja vastaavasti antijohdannaiset f(x), C mielivaltainen vakio.

Algoritmi ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi erotettavilla muuttujilla

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö y" = xy

Ratkaisu. Johdannainen funktiosta y" korvaa se

erotetaan muuttujat

Yhdistetään tasa-arvon molemmat puolet:

Esimerkki 2

2yy" = 1-3x 2, Jos y 0 = 3 klo x 0 = 1

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Kuvitellaanpa se differentiaaleissa. Tätä varten kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen muotoon Täältä

Integroimme viimeisen tasa-arvon molemmat puolet, löydämme

Alkuarvojen korvaaminen x 0 = 1, y 0 = 3 löydämme KANSSA 9=1-1+C, eli C = 9.

Siksi vaadittu osaintegraali on tai

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle käyrälle M(2;-3) ja tangentti, jolla on kulmakerroin

Ratkaisu. Ehdon mukaan

Tämä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Jakamalla muuttujat, saamme:

Integroimalla yhtälön molemmat puolet, saamme:

Alkuehtoja käyttämällä x = 2 Ja y = -3 löydämme C:

Siksi vaaditulla yhtälöllä on muoto

2.3. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö y" = f(x)y + g(x)

Missä f(x) Ja g(x)- joitain määriteltyjä toimintoja.

Jos g(x) = 0 silloin lineaarista differentiaaliyhtälöä kutsutaan homogeeniseksi ja sen muoto on: y" = f(x)y

Jos sitten yhtälö y" = f(x)y + g(x) kutsutaan heterogeeniseksi.

Lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y saadaan kaavalla: missä KANSSA– mielivaltainen vakio.

Varsinkin jos C = 0, sitten ratkaisu on y = 0 Jos lineaarisella homogeenisella yhtälöllä on muoto y" = ky Missä k on jokin vakio, niin sen yleinen ratkaisu on muotoa: .

Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y + g(x) annetaan kaavalla ,

nuo. on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisratkaisun ja tämän yhtälön erityisratkaisun summa.

Lineaariselle epähomogeeniselle muodon yhtälölle y" = kx + b,

Missä k Ja b- Jotkut luvut ja tietty ratkaisu ovat vakiofunktio. Siksi yleisellä ratkaisulla on muoto .

Esimerkki. Ratkaise yhtälö y" + 2y +3 = 0

Ratkaisu. Esitetään yhtälö muodossa y" = -2y - 3 Missä k = -2, b = -3 Yleinen ratkaisu annetaan kaavalla.

Siksi missä C on mielivaltainen vakio.

2.4. Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Bernoullin menetelmällä

Yleisen ratkaisun löytäminen ensimmäisen asteen lineaariseen differentiaaliyhtälöön y" = f(x)y + g(x) pelkistyy ratkaisemaan kaksi differentiaaliyhtälöä erotetuilla muuttujilla käyttämällä substituutiota y=uv, Missä u Ja v- tuntemattomat toiminnot x. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan Bernoullin menetelmäksi.

Algoritmi ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi

y" = f(x)y + g(x)

1. Syötä korvaus y=uv.

2. Erota tämä tasa-arvo y" = u"v + uv"

3. Korvaava y Ja y" tähän yhtälöön: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) tai u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Ryhmittele yhtälön ehdot siten, että u ota se pois suluista:

5. Etsi funktio hakasulkeesta ja laske se nollaan

Tämä on erotettava yhtälö:

Jaetaan muuttujat ja saadaan:

Missä . .

6. Korvaa tuloksena oleva arvo v yhtälöön (vaiheesta 4):

ja etsi funktio Tämä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia:

7. Kirjoita yleinen ratkaisu muotoon: , eli .

Esimerkki 1

Etsi yhtälölle tietty ratkaisu y" = -2y +3 = 0 Jos y = 1 klo x = 0

Ratkaisu. Ratkaistaan ​​se substituutiolla y=uv,.y" = u"v + uv"

Korvaaminen y Ja y" tähän yhtälöön, saamme

Ryhmittelemällä toinen ja kolmas termi yhtälön vasemmalle puolelle, poistamme yhteisen tekijän u pois suluista

Yhdistämme suluissa olevan lausekkeen nollaan ja ratkaistuamme tuloksena olevan yhtälön löydämme funktion v = v(x)

Saamme yhtälön, jossa on erotetut muuttujat. Integroidaan tämän yhtälön molemmat puolet: Etsi funktio v:

Korvataan saatu arvo v yhtälöön saamme:

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Integroidaan yhtälön molemmat puolet: Etsitään funktio u = u(x,c) Etsitään yleinen ratkaisu: Etsitään yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 1 klo x = 0:

III. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt

3.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää enintään toisen kertaluvun derivaattoja. Yleisessä tapauksessa toisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti: F(x,y,y,y") = 0

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää kaksi mielivaltaista vakiota C 1 Ja C 2.

Erityinen ratkaisu toisen asteen differentiaaliyhtälöön on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisusta tietyille mielivaltaisten vakioiden arvoille C 1 Ja C 2.

3.2. Lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt toisen kertaluvun kanssa vakiokertoimet.

Toisen asteen lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla kutsutaan muodon yhtälöksi y" + py" +qy = 0, Missä s Ja q- vakioarvot.

Algoritmi homogeenisten toisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi vakiokertoimilla

1. Kirjoita differentiaaliyhtälö muotoon: y" + py" +qy = 0.

2. Luo sen ominaisyhtälö, joka merkitsee y" kautta r 2, y" kautta r, y kohdassa 1: r 2 + pr + q = 0

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen. Verkkopalvelumme ansiosta voit ratkaista minkä tahansa tyyppisiä ja monimutkaisia ​​differentiaaliyhtälöitä: epähomogeenisiä, homogeenisia, epälineaarisia, lineaarisia, ensimmäisen, toisen kertaluvun, erotettavissa tai ei-erotettavissa olevilla muuttujilla jne. Saat ratkaisun differentiaaliyhtälöihin analyyttisessä muodossa yksityiskohtaisen kuvauksen kera. Monet ihmiset ovat kiinnostuneita: miksi differentiaaliyhtälöitä on tarpeen ratkaista verkossa? Tämän tyyppinen yhtälö on hyvin yleinen matematiikassa ja fysiikassa, jossa on mahdotonta ratkaista monia ongelmia ilman differentiaaliyhtälön laskemista. Differentiaaliyhtälöt ovat yleisiä myös taloustieteissä, lääketieteessä, biologiassa, kemiassa ja muissa tieteissä. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen verkossa yksinkertaistaa tehtäviäsi huomattavasti, antaa sinulle mahdollisuuden ymmärtää materiaalia paremmin ja testata itseäsi. Differentiaaliyhtälöiden online-ratkaisun edut. Nykyaikaisen matemaattisen palvelun verkkosivuston avulla voit ratkaista monimutkaisia ​​​​differentiaaliyhtälöitä verkossa. Kuten tiedät, differentiaaliyhtälöiden tyyppejä on suuri määrä ja jokaisella niistä on omat ratkaisumenetelmänsä. Palvelustamme löydät ratkaisuja minkä tahansa järjestyksen ja tyypin differentiaaliyhtälöihin verkosta. Ratkaisun saamiseksi suosittelemme, että täytät alkutiedot ja napsautat "Ratkaisu"-painiketta. Virheet palvelun toiminnassa on poissuljettu, joten voit olla 100% varma, että sait oikean vastauksen. Ratkaise differentiaaliyhtälöt palvelumme avulla. Ratkaise differentiaaliyhtälöitä verkossa. Oletuksena tällaisessa yhtälössä funktio y on x-muuttujan funktio. Mutta voit myös määrittää oman muuttujanimesi. Jos esimerkiksi määrität y(t):n differentiaaliyhtälössä, palvelumme määrittää automaattisesti, että y on t-muuttujan funktio. Koko differentiaaliyhtälön järjestys riippuu yhtälössä olevan funktion derivaatan maksimijärjestyksestä. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa halutun funktion löytämistä. Palvelumme auttaa sinua ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä verkossa. Yhtälön ratkaiseminen ei vaadi sinulta paljon vaivaa. Sinun tarvitsee vain kirjoittaa yhtälön vasen ja oikea puoli vaadittuihin kenttiin ja napsauttaa "Ratkaisu" -painiketta. Kun syötetään, funktion derivaatta on merkittävä heittomerkillä. Saat muutamassa sekunnissa valmiin yksityiskohtaisen ratkaisun differentiaaliyhtälöön. Palvelumme on täysin ilmainen. Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla. Jos differentiaaliyhtälön vasemmalla puolella on lauseke, joka riippuu y:stä, ja oikealla puolella on lauseke, joka riippuu x:stä, niin tällaista differentiaaliyhtälöä kutsutaan erotettavilla muuttujilla. Vasen puoli voi sisältää y:n derivaatan; tämän tyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on y:n funktiona, joka ilmaistaan ​​yhtälön oikean puolen integraalilla. Jos vasemmalla puolella on y:n funktion differentiaali, niin tässä tapauksessa yhtälön molemmat puolet integroidaan. Kun differentiaaliyhtälön muuttujia ei ole erotettu, ne on erotettava erillisen differentiaaliyhtälön saamiseksi. Lineaarinen differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälöä, jonka funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä asteessa, kutsutaan lineaariseksi. Yhtälön yleinen muoto: y’+a1(x)y=f(x). f(x) ja a1(x) ovat x:n jatkuvia funktioita. Tämän tyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen pelkistyy kahden differentiaaliyhtälön integroimiseen erotetuilla muuttujilla. Differentiaaliyhtälön järjestys. Differentiaaliyhtälö voi olla ensimmäistä, toista, n:nnettä kertaluokkaa. Differentiaaliyhtälön järjestys määrittää sen sisältämän suurimman derivaatan järjestyksen. Palvelussamme voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä verkossa ensimmäiselle, toiselle, kolmannelle jne. Tilaus. Yhtälön ratkaisu on mikä tahansa funktio y=f(x), korvaamalla sen yhtälöön, saat identiteetin. Prosessia, jossa differentiaaliyhtälöön löydetään ratkaisu, kutsutaan integraatioksi. Cauchy ongelma. Jos itse differentiaaliyhtälön lisäksi annetaan alkuehto y(x0)=y0, niin tätä kutsutaan Cauchyn ongelmaksi. Yhtälön ratkaisuun lisätään indikaattorit y0 ja x0 ja määritetään mielivaltaisen vakion C arvo, minkä jälkeen määritetään yhtälön erityinen ratkaisu tällä arvolla C. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan. Cauchyn ongelmaa kutsutaan myös reunaehtoongelmaksi, mikä on hyvin yleistä fysiikassa ja mekaniikassa. Sinulla on myös mahdollisuus asettaa Cauchyn ongelma, eli valita yhtälön kaikista mahdollisista ratkaisuista osamäärä, joka täyttää annetut alkuehdot.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Esimerkkejä ratkaisuista.
Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Differentiaaliyhtälöt (DE). Nämä kaksi sanaa kauhistuttavat tavallisesti keskivertoihmistä. Differentiaaliyhtälöt näyttävät olevan monille opiskelijoille kohtuuton ja vaikea hallita. Uuuuuu... differentiaaliyhtälöt, miten selviän tästä kaikesta?!

Tämä mielipide ja tämä asenne on pohjimmiltaan väärä, koska itse asiassa DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT – SE ON YKSINKERTAISTA JA JOPA HAUSKAA. Mitä sinun tulee tietää ja osata oppia ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä? Opiskellaksesi onnistuneesti diffuuseja, sinun on oltava hyvä integroimaan ja eriyttämään. Mitä paremmin aiheita tutkitaan Yhden muuttujan funktion derivaatta Ja Epämääräinen integraali, sitä helpompi on ymmärtää differentiaaliyhtälöitä. Sanon lisää, jos sinulla on enemmän tai vähemmän kunnolliset integraatiotaidot, niin aihe on melkein hallittu! Mitä enemmän erityyppisiä integraaleja pystyt ratkaisemaan, sitä parempi. Miksi? Sinun täytyy integroida paljon. Ja erottaa. Myös suosittelen lämpimästi oppia löytämään.

95 %:ssa tapauksista koepaperit sisältävät kolmen tyyppisiä ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä: erotettavat yhtälöt joita tarkastelemme tällä oppitunnilla; homogeeniset yhtälöt Ja lineaariset epähomogeeniset yhtälöt. Niille, jotka alkavat opiskella diffuusoreita, suosittelen lukemaan oppitunnit täsmälleen tässä järjestyksessä, ja kahden ensimmäisen artikkelin tutkimisen jälkeen ei ole haittaa lujittaa taitojasi lisätyöpajassa - yhtälöt pelkistyvät homogeenisiksi.

On olemassa vielä harvinaisempia differentiaaliyhtälöitä: kokonaisdifferentiaaliyhtälöt, Bernoulli-yhtälöt ja jotkut muut. Kahdesta viimeisestä tyypistä tärkeimmät ovat kokonaisdifferentiaalien yhtälöt, koska tämän differentiaaliyhtälön lisäksi harkitsen uutta materiaalia - osittainen integrointi.

Jos sinulla on vain päivä tai kaksi jäljellä, Tuo erittäin nopeaan valmistukseen On blitz-kurssi pdf-muodossa.

Joten, maamerkit on asetettu - mennään:

Ensin muistetaan tavalliset algebralliset yhtälöt. Ne sisältävät muuttujia ja numeroita. Yksinkertaisin esimerkki: . Mitä tarkoittaa tavallisen yhtälön ratkaiseminen? Tämä tarkoittaa löytämistä joukko numeroita, jotka täyttävät tämän yhtälön. On helppo huomata, että lasten yhtälöllä on yksi juuri: . Ihan huvin vuoksi tarkistetaan ja korvataan löydetty juuri yhtälöimme:

– saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löydettiin oikein.

Hajottimet on suunniteltu pitkälti samalla tavalla!

Differentiaaliyhtälö ensimmäinen tilaus yleisesti sisältää:
1) riippumaton muuttuja;
2) riippuva muuttuja (funktio);
3) funktion ensimmäinen derivaatta: .

Joissakin ensimmäisen asteen yhtälöissä ei välttämättä ole "x" ja/tai "y", mutta tämä ei ole merkittävää - tärkeä mennä valvomoon oli ensimmäinen johdannainen ja ei ollut korkeamman asteen johdannaiset – jne.

Mitä tarkoittaa ? Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä joukko kaikkia toimintoja, jotka täyttävät tämän yhtälön. Tällaisella funktiojoukolla on usein muoto (– mielivaltainen vakio), jota kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Esimerkki 1

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Täydet ammukset. Mistä aloittaa ratkaisu?

Ensinnäkin sinun on kirjoitettava johdannainen uudelleen hieman eri muodossa. Muistamme hankalan nimityksen, joka luultavasti vaikutti monilta naurettavalta ja tarpeettomalta. Tämä pätee diffuusereissa!

Toisessa vaiheessa katsotaan, onko se mahdollista erilliset muuttujat? Mitä muuttujien erottaminen tarkoittaa? Karkeasti sanottuna, vasemmalla puolella meidän täytyy lähteä vain "kreikkalaiset", A oikealla puolella järjestää vain "X". Muuttujien jako suoritetaan "koulu"-manipulaatioilla: laittamalla ne pois suluista, siirtämällä termejä osasta osaan etumerkin muutoksella, siirtämällä tekijöitä osasta osaan suhteellisuussäännön mukaisesti jne.

Erot ja ovat täydellisiä kertojia ja aktiivisia osallistujia vihollisuuksiin. Tarkasteltavassa esimerkissä muuttujat erotetaan helposti heittämällä tekijät suhteellisuussäännön mukaan:

Muuttujat erotetaan toisistaan. Vasemmalla puolella on vain "Y", oikealla - vain "X".

Seuraava vaihe - differentiaaliyhtälön integrointi. Se on yksinkertaista, laitamme integraalit molemmille puolille:

Tietenkin meidän on otettava integraalit. Tässä tapauksessa ne ovat taulukkomuotoisia:

Kuten muistamme, jokaiselle antijohdannaiselle on määritetty vakio. Tässä on kaksi integraalia, mutta vakion kirjoittaminen riittää kerran (koska vakio + vakio on silti sama kuin toinen vakio). Useimmissa tapauksissa se on sijoitettu oikealle puolelle.

Tarkkaan ottaen, kun integraalit on otettu, differentiaaliyhtälön katsotaan olevan ratkaistu. Ainoa asia on, että meidän "y" ei ilmaista "x":n kautta, eli ratkaisu esitetään implisiittisessä muodossa muodossa. Differentiaaliyhtälön ratkaisua implisiittisessä muodossa kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen integraali. Eli tämä on yleinen integraali.

Vastaus tässä muodossa on varsin hyväksyttävä, mutta onko olemassa parempaa vaihtoehtoa? Yritetään saada yhteinen päätös.

Ole kiltti, muista ensimmäinen tekniikka, se on hyvin yleinen ja sitä käytetään usein käytännön tehtävissä: jos logaritmi ilmestyy oikealle puolelle integroinnin jälkeen, niin monissa tapauksissa (mutta ei aina!) on suositeltavaa kirjoittaa myös vakio logaritmin alle.

Tuo on, SIJASTA merkinnät kirjoitetaan yleensä .

Miksi tämä on välttämätöntä? Ja "pelin" ilmaisemisen helpottamiseksi. Käyttämällä logaritmien ominaisuutta . Tässä tapauksessa:

Nyt logaritmit ja moduulit voidaan poistaa:

Toiminto esitetään selkeästi. Tämä on yleinen ratkaisu.

Vastaus: yhteinen päätös: .

Vastaukset moniin differentiaaliyhtälöihin on melko helppo tarkistaa. Meidän tapauksessamme tämä tehdään yksinkertaisesti, otamme löydetyn ratkaisun ja erottelemme sen:

Sitten korvaamme derivaatan alkuperäiseen yhtälöön:

– saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että yleinen ratkaisu täyttää yhtälön, mikä piti tarkistaa.

Antamalla vakion eri arvoja voit saada äärettömän määrän yksityisiä ratkaisuja differentiaaliyhtälö. On selvää, että jokin funktioista , jne. täyttää differentiaaliyhtälön.

Joskus yleistä ratkaisua kutsutaan toimintoperhe. Tässä esimerkissä yleinen ratkaisu on lineaaristen funktioiden perhe tai tarkemmin sanottuna suoran verrannollisuuden perhe.

Ensimmäisen esimerkin perusteellisen tarkastelun jälkeen on tarkoituksenmukaista vastata useisiin naiiveihin kysymyksiin differentiaaliyhtälöistä:

1)Tässä esimerkissä pystyimme erottamaan muuttujat. Voiko näin tehdä aina? Ei ei aina. Ja vielä useammin muuttujia ei voida erottaa. Esimerkiksi sisään homogeeniset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt, sinun on ensin vaihdettava se. Muun tyyppisissä yhtälöissä, esimerkiksi ensimmäisen asteen lineaarisessa epähomogeenisessa yhtälössä, on käytettävä erilaisia ​​tekniikoita ja menetelmiä yleisen ratkaisun löytämiseksi. Erotettavia muuttujia sisältävät yhtälöt, joita tarkastelemme ensimmäisessä oppitunnissa, ovat yksinkertaisin differentiaaliyhtälön tyyppi.

2) Onko aina mahdollista integroida differentiaaliyhtälö? Ei ei aina. On erittäin helppoa keksiä "upea" yhtälö, jota ei voida integroida; lisäksi on integraaleja, joita ei voida ottaa. Mutta tällaiset DE: t voidaan ratkaista suunnilleen erityisillä menetelmillä. D'Alembert ja Cauchy takaavat... ...uh, lurkmore.Lukeakseni paljon juuri nyt, melkein lisäsin "toisesta maailmasta".

3) Tässä esimerkissä saimme ratkaisun yleisen integraalin muodossa . Onko aina mahdollista löytää yleinen ratkaisu yleisestä integraalista, eli ilmaista "y" eksplisiittisesti? Ei ei aina. Esimerkiksi: . No, miten tässä voi ilmaista "kreikkaa"?! Tällaisissa tapauksissa vastaus tulee kirjoittaa yleisenä integraalina. Lisäksi joskus on mahdollista löytää yleinen ratkaisu, mutta se on kirjoitettu niin hankalasti ja kömpelösti, että on parempi jättää vastaus yleisen integraalin muotoon

4) ...ehkä se riittää toistaiseksi. Ensimmäisessä esimerkissä kohtasimme toinen tärkeä kohta, mutta jotta en peittäisi "nukkeja" uuden tiedon lumivyöryllä, jätän sen seuraavalle oppitunnille.

Emme kiirehdi. Toinen yksinkertainen kaukosäädin ja toinen tyypillinen ratkaisu:

Esimerkki 2

Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle, joka täyttää alkuehdon

Ratkaisu: tilan mukaan, sinun täytyy löytää yksityinen ratkaisu DE, joka täyttää tietyn alkuehdon. Tätä kysymyksen muotoilua kutsutaan myös Cauchy ongelma.

Ensin löydämme yleisen ratkaisun. Yhtälössä ei ole "x"-muuttujaa, mutta tämän ei pitäisi hämmentää, pääasia, että sillä on ensimmäinen derivaatta.

Kirjoitamme johdannaisen uudelleen vaadittuun muotoon:

Ilmeisesti muuttujat voidaan erottaa, pojat vasemmalle, tytöt oikealle:

Integroidaan yhtälö:

Yleinen integraali saadaan. Olen piirtänyt tähän vakion tähdellä, tosiasia on, että hyvin pian se muuttuu toiseksi vakioksi.

Nyt yritämme muuntaa yleisen integraalin yleisratkaisuksi (ilmaista "y" eksplisiittisesti). Muistetaan vanhoja hyviä asioita koulusta: . Tässä tapauksessa:

Indikaattorin vakio näyttää jotenkin epäkosherilta, joten se on yleensä tuotu maan pinnalle. Yksityiskohtaisesti näin se tapahtuu. Käyttämällä asteiden ominaisuutta kirjoitamme funktion uudelleen seuraavasti:

Jos on vakio, niin on myös jokin vakio, nimetään se uudelleen kirjaimella:

Muista, että vakion "purkaminen" on toinen tekniikka, jota käytetään usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Joten yleinen ratkaisu on: . Tämä on mukava eksponentiaalisten funktioiden perhe.

Viimeisessä vaiheessa sinun on löydettävä tietty ratkaisu, joka täyttää annetun alkuehdon. Tämä on myös yksinkertainen.

Mikä on tehtävä? Pitää noutaa sellaisia vakion arvoa niin, että ehto täyttyy.

Se voidaan muotoilla eri tavoin, mutta tämä on luultavasti selkein tapa. Yleisessä ratkaisussa "X":n sijaan korvataan nolla ja "Y":n tilalla kaksi:



Tuo on,

Vakiomuotoiluversio:

Korvaamme nyt vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun:
– Tämä on se ratkaisu, jota tarvitsemme.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkistetaan. Yksityisen ratkaisun tarkistaminen sisältää kaksi vaihetta:

Ensin sinun on tarkistettava, täyttääkö löydetty ratkaisu todella alkuperäisen ehdon? "X":n sijasta korvaamme nollan ja katsomme mitä tapahtuu:
- kyllä, todellakin, kaksi saatiin, mikä tarkoittaa, että alkuehto täyttyy.

Toinen vaihe on jo tuttu. Otamme tuloksena olevan tietyn ratkaisun ja löydämme johdannaisen:

Korvaamme alkuperäisen yhtälön:

– oikea tasa-arvo saavutetaan.

Johtopäätös: tietty ratkaisu löydettiin oikein.

Jatketaan merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 3

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Ratkaisu: Kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Arvioimme, voidaanko muuttujat erottaa toisistaan? Voi. Siirrämme toisen termin oikealle merkin muutoksella:

Ja siirrämme kertoimet suhteellisuussäännön mukaisesti:

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroidaan molemmat osat:

Minun täytyy varoittaa sinua, tuomiopäivä lähestyy. Jos et ole opiskellut hyvin määrittelemättömät integraalit, olet ratkaissut muutamia esimerkkejä, niin ei ole minnekään mennä - sinun on hallittava ne nyt.

Vasemman puolen integraali on helppo löytää; käsittelemme kotangentin integraalia vakiotekniikalla, jota tarkastelimme oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integrointi viime vuonna:

Oikealla puolella on logaritmi, ja ensimmäisen teknisen suositukseni mukaan myös vakio tulee kirjoittaa logaritmin alle.

Nyt yritämme yksinkertaistaa yleistä integraalia. Koska meillä on vain logaritmeja, niistä on täysin mahdollista (ja välttämätöntä) päästä eroon. Käyttämällä tunnetut ominaisuudet"Pakkaamme" logaritmit niin paljon kuin mahdollista. Kirjoitan sen hyvin yksityiskohtaisesti:

Pakkaus on viimeistelty barbaarisesti repaleiseksi:

Onko mahdollista ilmaista "peliä"? Voi. Molemmat osat on asetettava neliöiksi.

Mutta sinun ei tarvitse tehdä tätä.

Kolmas tekninen vinkki: jos yleisen ratkaisun saamiseksi on tarpeen nostaa potenssiin tai juurtua, niin Useimmissa tapauksissa sinun tulee pidättäytyä näistä toimista ja jättää vastaus yleisen integraalin muodossa. Tosiasia on, että yleinen ratkaisu näyttää yksinkertaisesti kamalalta - suurilla juurilla, kylteillä ja muilla roskilla.

Siksi kirjoitamme vastauksen yleisen integraalin muodossa. Hyvänä käytäntönä pidetään sen esittämistä muodossa , eli oikealle puolelle, jos mahdollista, jätä vain vakio. Tätä ei ole pakko tehdä, mutta aina kannattaa miellyttää professoria ;-)

Vastaus: yleinen integraali:

! Huomautus: Minkä tahansa yhtälön yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos tuloksesi ei siis vastaa aiemmin tunnettua vastausta, se ei tarkoita, että ratkaisit yhtälön väärin.

Yleinen integraali on myös melko helppo tarkistaa, pääasia, että löytyy implisiittisesti määritellyn funktion derivaatta. Erotetaan vastaus:

Kerromme molemmat termit:

Ja jakaa:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu tarkasti, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 4

Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle, joka täyttää alkuehdon. Suorita tarkistus.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Haluan muistuttaa, että algoritmi koostuu kahdesta vaiheesta:
1) yleisen ratkaisun löytäminen;
2) tarvittavan ratkaisun löytäminen.

Tarkastus suoritetaan myös kahdessa vaiheessa (katso esimerkki esimerkissä 2), sinun on:
1) varmista, että löydetty ratkaisu täyttää alkuperäisen ehdon;
2) tarkista, että tietty ratkaisu yleensä täyttää differentiaaliyhtälön.

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön , joka täyttää alkuperäisen ehdon. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Ensin löydetään yleinen ratkaisu, joka sisältää jo valmiit differentiaalit ja siksi ratkaisu on yksinkertaistettu. Erottelemme muuttujat:

Integroidaan yhtälö:

Vasemmanpuoleinen integraali on taulukkomuotoinen, oikeanpuoleinen integraali otetaan menetelmä sisällyttää funktio differentiaalimerkin alle:

Yleinen integraali on saatu, onko mahdollista ilmaista yleisratkaisu onnistuneesti? Voi. Riputamme logaritmit molemmille puolille. Koska ne ovat positiivisia, moduulimerkit ovat tarpeettomia:

(Toivottavasti kaikki ymmärtävät muutoksen, sellaiset asiat pitäisi jo tietää)

Joten yleinen ratkaisu on:

Etsitään tietty ratkaisu, joka vastaa annettua alkuehtoa.
Yleisessä ratkaisussa "X":n sijaan korvaamme nollan ja "Y":n sijaan kahden logaritmin:

Tutumpi muotoilu:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkistamme ensin, täyttyykö alkuehto:
- kaikki on hyvin.

Tarkastetaan nyt, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu differentiaaliyhtälön ollenkaan. Johdannan löytäminen:

Katsotaanpa alkuperäistä yhtälöä: – se esitetään differentiaaleissa. On kaksi tapaa tarkistaa. On mahdollista ilmaista differentiaali löydetystä johdannaisesta:

Korvataan löydetty tietty ratkaisu ja tuloksena oleva differentiaali alkuperäiseen yhtälöön :

Käytämme logaritmisen perusidentiteettiä:

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että tietty ratkaisu löydettiin oikein.

Toinen tarkistustapa on peilattu ja tutumpi: yhtälöstä Ilmaistaan ​​derivaatta, jakaamme kaikki palat seuraavasti:

Ja muunnetussa DE:ssä korvataan saatu osaratkaisu ja löydetty derivaatta. Yksinkertaistusten tuloksena tulisi myös saavuttaa oikea tasa-arvo.

Esimerkki 6

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Esitä vastaus yleisen integraalin muodossa.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse, täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä vaikeuksia odottaa erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa?

1) Ei ole aina selvää (etenkään "teekannulle"), että muuttujat voidaan erottaa toisistaan. Tarkastellaanpa ehdollista esimerkkiä: . Tässä sinun on poistettava tekijät suluista: ja erotettava juuret: . On selvää, mitä tehdä seuraavaksi.

2) Itse integraation vaikeudet. Integraalit eivät usein ole yksinkertaisimpia, ja jos löytämisen taidoissa on puutteita epämääräinen integraali, silloin se on vaikeaa monien diffuusorien kanssa. Lisäksi logiikka "koska differentiaaliyhtälö on yksinkertainen, niin olkoon integraalit ainakin monimutkaisempia" on suosittu kokoelmien ja koulutuskäsikirjojen kokoajien keskuudessa.

3) Muunnokset vakiolla. Kuten kaikki ovat huomanneet, differentiaaliyhtälöiden vakio voidaan käsitellä melko vapaasti, ja jotkut muunnokset eivät aina ole aloittelijalle selviä. Katsotaanpa toista ehdollista esimerkkiä: . On suositeltavaa kertoa kaikki ehdot kahdella: . Tuloksena oleva vakio on myös jonkinlainen vakio, jota voidaan merkitä seuraavasti: . Kyllä, ja koska oikealla puolella on logaritmi, on suositeltavaa kirjoittaa vakio uudelleen toisen vakion muodossa: .

Ongelmana on, että he eivät usein välitä indeksien kanssa ja käyttävät samaa kirjainta. Tämän seurauksena päätöspöytäkirja on seuraavanlainen:

Millaista harhaoppia? Siellä on virheitä! Tarkkaan ottaen kyllä. Sisällön kannalta virheitä ei kuitenkaan ole, koska muuttujavakion muuntamisen tuloksena saadaan silti muuttuva vakio.

Tai toinen esimerkki, oletetaan, että yhtälön ratkaisemisen aikana saadaan yleinen integraali. Tämä vastaus näyttää rumalta, joten on suositeltavaa vaihtaa kunkin termin etumerkki: . Muodollisesti tässä on toinen virhe - se tulisi kirjoittaa oikealle. Mutta epävirallisesti annetaan ymmärtää, että "miinus ce" on edelleen vakio ( joka voi yhtä helposti saada minkä tahansa merkityksen!), joten "miinuksen" lisääminen ei ole järkevää ja voit käyttää samaa kirjainta.

Yritän välttää huolimatonta lähestymistapaa ja silti antaa vakioille erilaisia ​​indeksejä niitä muunnettaessa.

Esimerkki 7

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Tämä yhtälö mahdollistaa muuttujien erottamisen. Erottelemme muuttujat:

Integroidaan:

Vakiota ei tarvitse määritellä logaritmiksi, koska tästä ei tule mitään hyödyllistä.

Vastaus: yleinen integraali:

Tarkista: Erota vastaus (implisiittinen funktio):

Pääsemme eroon murtoluvuista kertomalla molemmat termit:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 8

Etsi DE:n erityinen ratkaisu.
,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Ainoa vihje on, että täältä saat yleisen integraalin, ja oikeammin sanottuna sinun täytyy yrittää löytää ei tiettyä ratkaisua, vaan osittainen integraali. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tämän online-laskimen avulla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä verkossa. Riittää, kun syötät yhtälösi sopivaan kenttään, joka merkitsee funktion johdannaista heittomerkillä, ja napsautat "ratkaise yhtälö" -painiketta. Ja suositun WolframAlpha-sivuston perusteella toteutettu järjestelmä antaa yksityiskohtaisia ​​tietoja. ratkaisemaan differentiaaliyhtälön täysin ilmainen. Voit myös määrittää Cauchyn ongelman valitaksesi koko mahdollisten ratkaisujen joukosta osamäärän, joka vastaa annettuja alkuehtoja. Cauchyn ongelma syötetään erilliseen kenttään.

Differentiaaliyhtälö

Oletuksena yhtälön funktio y on muuttujan funktio x. Voit kuitenkin määrittää muuttujalle oman nimesi; jos kirjoitat yhtälöön esimerkiksi y(t), laskin tunnistaa sen automaattisesti y muuttujasta on funktio t. Laskurin avulla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä minkä tahansa monimutkaisuuden ja tyypin: homogeeniset ja epähomogeeniset, lineaariset tai epälineaariset, ensimmäisen kertaluvun tai toisen ja korkeamman asteen yhtälöt, yhtälöt erotettavissa tai erotettavissa olevilla muuttujilla jne. Ratkaisu ero. yhtälö on analyyttisessä muodossa ja siinä on yksityiskohtainen kuvaus. Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin yleisiä fysiikassa ja matematiikassa. Ilman niiden laskemista on mahdotonta ratkaista monia ongelmia (etenkin matemaattisessa fysiikassa).

Yksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisun vaiheista on funktioiden integrointi. On olemassa standardimenetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. On tarpeen pelkistää yhtälöt muotoon, jossa on erotettavissa olevat muuttujat y ja x, ja integroida erotetut funktiot erikseen. Tätä varten on joskus suoritettava tietty vaihto.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää riippumattoman muuttujan, tämän muuttujan tuntemattoman funktion ja sen eri asteisia johdannaisia ​​(tai differentiaaleja).

Differentiaaliyhtälön järjestys kutsutaan sen sisältämän korkeimman derivaatan järjestykseksi.

Tavallisten yhtälöiden lisäksi tutkitaan myös osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Nämä ovat riippumattomiin muuttujiin liittyviä yhtälöitä, näiden muuttujien tuntematon funktio ja sen osittaiset derivaatat samoihin muuttujiin nähden. Mutta harkitsemme vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja siksi lyhennyksen vuoksi jätämme pois sanan "tavallinen".

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Yhtälö (1) on neljännen kertaluvun, yhtälö (2) on kolmannen kertaluvun, yhtälöt (3) ja (4) ovat toisen kertaluvun, yhtälö (5) on ensimmäistä kertaluokkaa.

Differentiaaliyhtälö n järjestyksessä ei välttämättä tarvitse sisältää eksplisiittistä funktiota, kaikki sen johdannaiset ensimmäisestä n-th kertaluku ja riippumaton muuttuja. Se ei saa nimenomaisesti sisältää tiettyjen järjestysten johdannaisia, funktiota tai riippumatonta muuttujaa.

Esimerkiksi yhtälössä (1) ei selvästikään ole kolmannen ja toisen kertaluvun derivaattoja eikä funktiota; yhtälössä (2) - toisen kertaluvun derivaatta ja funktio; yhtälössä (4) - riippumaton muuttuja; yhtälössä (5) - funktiot. Vain yhtälö (3) sisältää eksplisiittisesti kaikki derivaatat, funktion ja riippumattoman muuttujan.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen jokaista funktiota kutsutaan y = f(x), kun se korvataan yhtälöllä, se muuttuu identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun löytämisprosessia kutsutaan sen prosessiksi liittäminen.

Esimerkki 1. Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon . Ratkaisu on löytää funktio sen derivaatasta. Alkuperäinen funktio, kuten integraalilaskennasta tiedetään, on antiderivaata ts.

Sitä se on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön . Muuttumassa siinä C, saamme erilaisia ​​ratkaisuja. Huomasimme, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöön on ääretön määrä ratkaisuja.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu n kertaluku on sen ratkaisu, joka ilmaistaan ​​eksplisiittisesti tuntemattoman funktion suhteen ja sisältää n riippumattomia mielivaltaisia ​​vakioita, ts.

Esimerkin 1 differentiaaliyhtälön ratkaisu on yleinen.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu kutsutaan ratkaisua, jossa mielivaltaisille vakioille annetaan tietyt numeeriset arvot.

Esimerkki 2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja erityinen ratkaisu .

Ratkaisu. Integroidaan yhtälön molemmat puolet differentiaaliyhtälön järjestystä vastaava määrä kertoja.

,

.

Tuloksena saimme yleisen ratkaisun -

tietyn kolmannen asteen differentiaaliyhtälön.

Etsitään nyt erityinen ratkaisu määritetyissä olosuhteissa. Voit tehdä tämän korvaamalla niiden arvot mielivaltaisten kertoimien sijaan ja saamalla

.

Jos differentiaaliyhtälön lisäksi alkuehto annetaan muodossa , niin tällainen ongelma on ns. Cauchy ongelma . Korvaa arvot ja yhtälön yleiseen ratkaisuun ja löydä mielivaltaisen vakion arvo C, ja sitten erityinen yhtälön ratkaisu löydetylle arvolle C. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan.

Esimerkki 3. Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle esimerkistä 1 kohteena .

Ratkaisu. Korvataan arvot alkuehdosta yleiseen ratkaisuun y = 3, x= 1. Saamme

Kirjoitamme Cauchyn ongelman ratkaisun tälle ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle:

Differentiaaliyhtälöiden, jopa yksinkertaisimpien, ratkaiseminen vaatii hyviä integrointi- ja derivointitaitoja, mukaan lukien monimutkaiset funktiot. Tämä voidaan nähdä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Ratkaisu. Yhtälö on kirjoitettu sellaiseen muotoon, että voit välittömästi integroida molemmat puolet.

.

Käytämme integrointimenetelmää muuttujan muutoksella (substituutio). Olkoon sitten.

Pakollinen ottamaan dx ja nyt - huomio - teemme tämän monimutkaisen funktion eriyttämissääntöjen mukaisesti, koska x ja siinä on monimutkainen funktio ("omena" on neliöjuuren erottaminen tai, mikä on sama asia, nostaminen "puoleen", ja "jauheliha" on juuri juuren alla oleva ilmaus):

Löydämme integraalin:

Palataan muuttujaan x, saamme:

.

Tämä on tämän ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ei vaadita vain korkeamman matematiikan aiempien osien taitoja, vaan myös perus- eli koulumatematiikan taitoja. Kuten jo mainittiin, minkä tahansa asteen differentiaaliyhtälössä ei välttämättä ole riippumatonta muuttujaa, eli muuttujaa x. Koulusta saamat tiedot mittasuhteista, joita ei ole unohdettu (mutta riippuen siitä, kuka) koulusta auttavat ratkaisemaan tämän ongelman. Tämä on seuraava esimerkki.