Mitä ovat funktion ääripäät: maksimin ja minimin kriittiset pisteet.
Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?
Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi.
Vaadittava ehto funktion maksimille ja minimille (ääriarvolle) on seuraava: jos funktiolla f(x) on ääriarvo pisteessä x = a, niin derivaatta on tässä vaiheessa joko nolla tai ääretön tai ei ei ole olemassa.
Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi mennä nollaan, äärettömään tai ei ole olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä.
Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?
Ensimmäinen ehto:
Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen pisteen a oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on enimmäismäärä
Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on minimi edellyttäen, että funktio f(x) on jatkuva.
Sen sijaan voit käyttää toista riittävää ehtoa funktion ääripäälle:
Olkoon pisteessä x = a ensimmäinen derivaatta f?(x) kadonnut; jos toinen derivaatta f??(a) on negatiivinen, niin funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = a, jos se on positiivinen, niin sillä on minimi.
Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?
Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen funktio f?(x) ja rinnastamalla se nollaan, ratkaise yhtälö f?(x) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo. Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii epäjatkuvuudesta.
Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.
Funktio y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Toiminnon derivaatta: y?(x) = 6x + 2
Ratkaise yhtälö: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Tässä tapauksessa kriittinen piste on x0=-1/3. Tämä argumenttiarvo funktiolla on ääripää. Hänelle löytö, korvaa funktio lausekkeessa löydetyllä numerolla "x":n sijaan:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?
Jos derivaatan etumerkki kulkiessaan kriittisen pisteen x0 kautta muuttuu plussasta miinusarvoksi, niin x0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, niin pisteessä x0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa.
Tarkastetussa esimerkissä:
Otamme argumentin mielivaltaisen arvon kriittisen pisteen vasemmalla puolella: x = -1
Kun x = -1, derivaatan arvo on y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (eli merkki on "miinus").
Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1
Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli merkki on "plus").
Kuten näet, derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä arvolla x0 meillä on minimipiste.
Funktion suurin ja pienin arvo välissä(segmentillä) löydetään samalla menettelyllä, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät ole määritetyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos välissä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä.
Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
väliajoin:
Eli funktion derivaatta on
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Ratkaisemme yhtälön 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ei sisälly väliin)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ei sisälly väliin)
Löydämme funktioarvot argumentin kriittisistä arvoista:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo kohdassa x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
ja pienin - kohdassa x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Funktion arvo kohdassa x = -4,88 on yhtä suuri kuin y = 5,398.
Etsi funktion arvo intervallin päistä:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo
y = 5,398 kohdassa x = -4,88
pienin arvo -
y = 1,077 kohdassa x = -3
Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kupera ja kovera sivu?
Löytääksesi kaikki suoran y = f(x) käännepisteet, sinun on löydettävä toinen derivaatta, rinnastettava se nollaan (ratkaistava yhtälö) ja testattava kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla, ääretön tai ei ole olemassa. Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan yhden näistä arvoista, niin funktion kuvaajalla on tässä pisteessä taivutus. Jos se ei muutu, ei ole mutkaa.
Yhtälön f juuret? (x) = 0, sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion määritelmäalueen useisiin intervalleihin. Kummankin niiden välin konveksius määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan intervallin pisteessä on positiivinen, niin suora y = f(x) on kovera ylöspäin ja jos negatiivinen, niin alaspäin.
Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?
Löytääksesi funktion f(x,y) ääripään, joka on differentioituva sen määrittelyalueella, tarvitset:
1) löytää kriittiset pisteet ja tätä varten - ratkaista yhtälöjärjestelmä
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) tutkia jokaisen kriittisen pisteen P0(a;b) osalta, pysyykö eron etumerkki ennallaan
kaikille pisteille (x;y) riittävän lähellä P0:ta. Jos ero pysyy positiivisena, niin pisteessä P0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin meillä on maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä P0 ei ole ääriarvoa.
Funktion ääriarvot määritetään samalla tavalla suuremmalle määrälle argumentteja.
Mikä on laulaja Mika Newtonin ja hänen bändinsä virallinen verkkosivusto?
Uusi ukrainalainen ihme - Mika Newton! Tämä on 5-henkinen yhtye, joka soittaa pop-rockia, nauttii elämästä, antaa voimaa ja on positiivinen elämänasenne. Kaverit kokoontuivat Kiovaan, jossa he tällä hetkellä asuvat. Kaverit eivät ole ollenkaan samaa mieltä musiikin ja elämän standardiperustasta, löytävät uuden soundinsa ja rikkovat kaikenlaisia standardeja. Tiimin johtaja -
Kuinka muuntaa millilitrat kuutiometreiksi
SI-järjestelmän pituuden perusyksikkö on metri. Tämän perusteella tilavuuden perusyksikkönä tulisi katsoa kuutiometriä tai, kuten sitä myös kutsutaan, kuutiota tai kuutiota. Tämä on kuution tilavuus, jonka reunat ovat yhtä metriä. Käytännössä tilavuutta ei kuitenkaan aina ole kätevää ilmaista kuutiometreinä. Esimerkiksi huoneen tilavuus on kätevä ilmaista kuutiometreinä: kerrotaan pituus
Mikä on mannasuurimon kaloripitoisuus?
Ruoan kaloripitoisuus, kaloripitoisuustaulukko. Ihmisen energiantarpeet mitataan kilokaloreissa (kcal). Sana "kalori" tulee latinasta ja tarkoittaa "lämpöä". Fysiikassa kalorit mittaavat energiaa. Yksi kilokalori on energian määrä
Mitkä ovat realismin kehitysvaiheet kirjallisuudessa?
Realismi (latinaksi: material, real) on kirjallisuuden ja taiteen suuntaus, joka pyrkii todenmukaisesti toistamaan todellisuutta sen tyypillisissä piirteissä. Yleiset piirteet: Elämän taiteellinen esitys kuvina, joka vastaa itse elämän ilmiöiden olemusta. Todellisuus on keino ymmärtää itseään ja ympäröivää maailmaa. Kirjoittaminen
Mikä on berkeliumin ja jaksollisen järjestelmän alkuaineen 117 välinen suhde
Berkelium, Berkelium, Bk on jaksollisen järjestelmän 97. elementti. Thompson, Ghiorso ja Seaborg löysivät sen joulukuussa 1949 Kalifornian yliopistossa Berkeleyssä. Kun niitä säteilytettiin 241Am alfa-hiukkasilla, ne saivat berkelium-isotoopin 243Bk. Koska Bk on rakenteellisesti samankaltainen terbiumin kanssa, joka sai nimensä herra Ytterbyltä vuonna
Mistä Jaroslav Viisas on kuuluisa?
Jaroslav Viisas (980-1054), Kiovan suurherttua (1019). Vladimir I Svjatoslavovichin poika. Hän karkotti Svjatopolk I kirotun, taisteli veljensä Mstislavin kanssa, jakoi valtion hänen kanssaan (1025) ja yhdisti sen uudelleen vuonna 1035. Voittosarjalla hän turvasi Venäjän etelä- ja länsirajat. Luonut dynastisia suhteita moniin Ev-maihin
Kuinka perinne huutaa "Bitter!" häissä syntyi?
Kauan sitten oli tapana huutaa hääjuhlan aikana: ”Katkera!”, jolloin vastapariskunta pakotettiin nousemaan paikaltaan ja suutelemaan. Nykyään monet eivät edes tiedä, mitä tämä rituaali tarkoittaa. Vanhoina aikoina häissä huudettiin "Bitter!", mikä teki selväksi, että kupeissa oleva viini oli oletettavasti makeuttamaton. A
Mitkä ovat kurkunpäätulehduksen oireet
Kurkunpäätulehdus (muinaisesta kreikasta λ?ρυγξ - kurkunpää) on kurkunpään tulehdus, joka liittyy yleensä vilustumiseen tai tartuntatauteihin, kuten tuhkarokkoon, tulirokkoseen ja hinkuyskään. Taudin kehittymistä edistää hypotermia, suun kautta hengittäminen, pölyisyys
Onko sukupuoli ja deklinaatio määritetty substantiiville, joilla on vain monikkomuoto?
Numero on kielioppiluokka, joka ilmaisee kohteen määrälliset ominaisuudet. 1. Useimmat substantiivit muuttuvat numeroiden mukaan, ts. sillä on kaksi muotoa - yksikkö ja monikko. Yksikkömuodossa substantiivi tarkoittaa yhtä objektia, monikkomuodossa useita objekteja:
Mitä hyötyä venäläisestä puurosta on?
Tattaripuuro Tattari on erityinen vilja. Se osoittautuu ehkä yhdeksi hyödyllisimmistä puuroista. Ei ihme, että kutsumme sitä ensimmäiseksi. Tattari sisältää kuitua, koko joukon vitamiineja - E, PP, B1, B2, fooli- ja orgaanisia happoja sekä suuren prosenttiosuuden tärkkelystä, joka auttaa kehoa saamaan oikean määrän neoa.
Arkangelin kaupungin interaktiivista karttaa voi katsella seuraavilla sivustoilla: Kartta1 - satelliitti- ja vakiokartta Kartta2 - vakiokartta (1:350 000); Kartta3 - siellä on kadunnimet, talonumerot, voit etsiä kadun mukaan; Kartta4 - kartta kadunnimistä; Kartta5 - interaktiivinen kaupungin kartta; Map6 - interaktiivinen kaupungin kartta.
Toiminnon äärimmäisyys
Määritelmä 2
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen naapurusto on sellainen, että kaikilla tämän ympäristön $x$:illa epäyhtälö $f(x)\le f(x_0) $ pitää.
Määritelmä 3
Pistettä $x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ maksimipisteeksi, jos tämän pisteen naapurusto on sellainen, että kaikilla tämän ympäristön $x$:lla epäyhtälö $f(x)\ge f(x_0) $ pitää.
Funktion ääripään käsite liittyy läheisesti funktion kriittisen pisteen käsitteeseen. Esittelemme sen määritelmän.
Määritelmä 4
$x_0$ kutsutaan funktion $f(x)$ kriittiseksi pisteeksi, jos:
1) $x_0$ - määritelmäalueen sisäinen piste;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ tai sitä ei ole olemassa.
Ekstreemumin käsitteelle voimme muotoilla lauseita sen olemassaolon riittäviltä ja välttämättömiltä edellytyksiltä.
Lause 2
Riittävä kunto ääripäälle
Olkoon piste $x_0$ kriittinen funktiolle $y=f(x)$ ja sijaita välillä $(a,b)$. Olkoon jokaisella intervallilla $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ derivaatta $f"(x)$ ja ylläpitää vakiomerkkiä. Sitten:
1) Jos välillä $(a,x_0)$ derivaatta on $f"\left(x\right)>0$ ja välillä $(x_0,b)$ derivaatta on $f"\left( x\oikea)
2) Jos välissä $(a,x_0)$ derivaatta $f"\left(x\right)0$, niin piste $x_0$ on tämän funktion minimipiste.
3) Jos sekä välissä $(a,x_0)$ että välillä $(x_0,b)$ derivaatta $f"\left(x\right) >0$ tai derivaatta $f"\left(x \oikea)
Tämä lause on havainnollistettu kuvassa 1.
Kuva 1. Riittävä ehto ääripään olemassaololle
Esimerkkejä ääripäistä (kuva 2).
Kuva 2. Esimerkkejä ääripisteistä
Sääntö funktion tutkimiseksi ääripäälle
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
7) Tee johtopäätökset maksimien ja minimien olemassaolosta kullakin välillä Lauseen 2 avulla.
Lisääntyvä ja heikentävä toiminta
Otetaan ensin käyttöön kasvavien ja pienenevien funktioiden määritelmät.
Määritelmä 5
Välille $X$ määritellyn funktion $y=f(x)$ sanotaan kasvavan, jos missä tahansa pisteessä $x_1,x_2\in X$ kohdassa $x_1
Määritelmä 6
Välille $X$ määritellyn funktion $y=f(x)$ sanotaan olevan pienenevä, jos $x_1f(x_2)$:n pisteissä $x_1,x_2\in X$.
Kasvavan ja pienentävän funktion tutkiminen
Voit tutkia kasvavia ja pienentäviä funktioita derivaatan avulla.
Jotta voit tutkia funktion kasvu- ja laskuvälejä, sinun on tehtävä seuraava:
1) Etsi funktion $f(x)$ määritelmäalue;
2) Etsi derivaatta $f"(x)$;
3) Etsi pisteet, joissa yhtälö $f"\left(x\right)=0$ pätee;
4) Etsi pisteet, joissa $f"(x)$ ei ole olemassa;
5) Merkitse koordinaattiviivalle kaikki löydetyt pisteet ja tämän funktion määrittelyalue;
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin tuloksena olevalla välillä;
7) Tee johtopäätös: intervalleilla, joissa $f"\left(x\right)0$ funktio kasvaa.
Esimerkkejä ongelmista kasvavien, pienentävien ja ääripisteiden esiintymisen funktioiden tutkimiseen
Esimerkki 1
Tarkastele lisäys- ja laskufunktiota sekä maksimi- ja minimipisteiden olemassaoloa: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Koska ensimmäiset 6 pistettä ovat samat, suoritetaan ne ensin.
1) Määritelmäalue - kaikki reaaliluvut;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ on olemassa määritelmäalueen kaikissa kohdissa;
5) Koordinaattiviiva:
Kuva 3.
6) Määritä derivaatan $f"(x)$ etumerkki kullakin välillä:
\\. Kuten tiedetään, tällainen funktio saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa joko segmentin rajalla tai sen sisällä. Jos funktion suurin tai pienin arvo saavutetaan segmentin sisäisessä pisteessä, tämä arvo on funktion maksimi tai minimi, eli se saavutetaan kriittisissä pisteissä.
Siten saamme seuraavan sääntö funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentistä[ a, b] :
- Etsi kaikki funktion kriittiset pisteet intervallista ( a, b) ja laske funktion arvot näissä kohdissa.
- Laske funktion arvot segmentin päissä, kun x = a, x = b.
- Valitse kaikista saaduista arvoista suurin ja pienin.