Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen. Miksi ottaa käyttöön lukujen "suurin yhteinen jakaja (GCD)" ja "pienin yhteinen monikerta (LCM)" käsitteet koulun matematiikan kurssilla

Jotta voit oppia löytämään kahden tai useamman luvun suurimman yhteisen jakajan, sinun on ymmärrettävä, mitä luonnolliset, alkuluvut ja kompleksiluvut ovat.


Luonnollinen luku on mikä tahansa luku, jota käytetään kokonaislukujen laskemiseen.


Jos luonnollinen luku voidaan jakaa vain itsellään ja yhdellä, sitä kutsutaan alkuluvuksi.


Kaikki luonnolliset luvut voidaan jakaa itsellään ja yhdellä, mutta ainoa parillinen alkuluku on 2, kaikki muut voidaan jakaa kahdella. Siksi vain parittomat luvut voivat olla alkulukuja.


Alkulukuja on paljon, niistä ei ole täydellistä luetteloa. GCD:n löytämiseksi on kätevää käyttää erityisiä taulukoita tällaisilla numeroilla.


Useimmat luonnolliset luvut voidaan jakaa ei vain yhdellä, vaan myös muilla luvuilla. Joten esimerkiksi luku 15 voidaan jakaa 3:lla ja 5:llä. Niitä kaikkia kutsutaan luvun 15 jakajiksi.


Siten minkä tahansa A:n jakaja on luku, jolla se voidaan jakaa ilman jäännöstä. Jos luvulla on enemmän kuin kaksi luonnollista jakajaa, sitä kutsutaan yhdistelmäksi.


Numerolla 30 on jakajia kuten 1, 3, 5, 6, 15, 30.


Voit nähdä, että luvuilla 15 ja 30 on samat jakajat 1, 3, 5, 15. Näiden kahden luvun suurin yhteinen jakaja on 15.


Näin ollen lukujen A ja B yhteinen jakaja on luku, jolla voit jakaa ne kokonaan. Maksimi voidaan katsoa enimmäismääräksi, jolla ne voidaan jakaa.


Ongelmien ratkaisemiseksi käytetään seuraavaa lyhennettyä merkintää:


GCD (A; B).


Esimerkiksi GCD (15; 30) = 30.


Luonnollisen luvun kaikkien jakajien kirjoittamiseen käytetään merkintää:


D(15) = (1, 3, 5, 15)



gcd (9; 15) = 1


Tässä esimerkissä luonnollisilla luvuilla on vain yksi yhteinen jakaja. Niitä kutsutaan vastaavasti koprimeiksi, yksikkö on niiden suurin yhteinen jakaja.

Kuinka löytää lukujen suurin yhteinen jakaja

Useiden numeroiden GCD:n löytämiseksi tarvitset:


Etsi jokaisen luonnollisen luvun kaikki jakajat erikseen, eli jaa ne tekijöiksi (alkuluvuiksi);


Valitse kaikki samat tekijät annetuille numeroille;


Kerro ne yhteen.


Esimerkiksi lukujen 30 ja 56 suurimman yhteisen jakajan laskemiseksi kirjoitat seuraavaa:




Jotta et joutuisi sekaannukseen , on kätevää kirjoittaa kertoimet pystysarakkeilla. Viivan vasemmalle puolelle sinun on asetettava osinko ja oikealle - jakaja. Osingon alle tulee ilmoittaa tuloksena oleva osamäärä.


Oikeassa sarakkeessa on siis kaikki ratkaisuun tarvittavat tekijät.


Identtiset jakajat (löytyneet tekijät) voidaan alleviivata mukavuuden vuoksi. Ne tulisi kirjoittaa uudelleen ja kertoa ja suurin yhteinen jakaja kirjoittaa ylös.





GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10


On todella helppoa löytää lukujen suurin yhteinen jakaja. Pienellä harjoituksella voit tehdä sen melkein automaattisesti.


Alla esitetty materiaali on loogista jatkoa teorialle artikkelista otsikon LCM - pienin yhteinen kerrannainen, määritelmä, esimerkit, LCM:n ja GCD:n välinen suhde. Täällä puhutaan pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen, ja kiinnitä erityistä huomiota esimerkkien ratkaisemiseen. Osoitetaan ensin, kuinka kahden luvun LCM lasketaan näiden lukujen GCD:nä. Harkitse seuraavaksi pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämistä laskemalla luvut alkutekijöiksi. Sen jälkeen keskitymme kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseen ja kiinnitämme huomiota myös negatiivisten lukujen LCM:n laskemiseen.

Sivulla navigointi.

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Yksi tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu LCM:n ja GCD:n väliseen suhteeseen. LCM:n ja GCD:n välinen suhde mahdollistaa kahden positiivisen kokonaisluvun pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisen tunnetun suurimman yhteisen jakajan kautta. Vastaavalla kaavalla on muoto LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Harkitse esimerkkejä LCM:n löytämisestä yllä olevan kaavan mukaan.

Esimerkki.

Etsi kahdesta luvusta 126 ja 70 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä a=126, b=70. Käytetään kaavalla ilmaistua LCM:n ja GCD:n välistä suhdetta LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Eli ensin on löydettävä lukujen 70 ja 126 suurin yhteinen jakaja, jonka jälkeen voidaan laskea näiden lukujen LCM kirjoitetun kaavan mukaan.

Etsi gcd(126, 70) käyttämällä Euklidin algoritmia: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , joten gcd(126, 70)=14 .

Nyt löydämme vaaditun pienimmän yhteisen kerrannaisen: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastaus:

LCM(126, 70) = 630 um.

Esimerkki.

Mikä on LCM(68, 34)?

Ratkaisu.

Koska 68 on tasaisesti jaollinen luvulla 34 , jolloin gcd(68, 34)=34 . Nyt lasketaan pienin yhteinen kerrannainen: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastaus:

LCM(68,34)=68.

Huomaa, että edellinen esimerkki sopii seuraavaan sääntöön LCM:n löytämiseksi positiivisille kokonaisluvuille a ja b: jos luku a on jaollinen b:llä, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on a .

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöihin

Toinen tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu lukujen laskemiseen alkutekijöiksi. Jos teemme näiden lukujen kaikkien alkutekijöiden tulon, jonka jälkeen jätämme tästä tulosta pois kaikki yleiset alkutekijät, jotka esiintyvät näiden lukujen laajennuksissa, niin tuloksena oleva tulo on yhtä suuri kuin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ilmoitettu sääntö LCM:n löytämiseksi seuraa tasa-arvosta LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Todellakin, lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksiin osallistuvien tekijöiden tulo. Gcd(a, b) puolestaan ​​on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo (joka on kuvattu osiossa gcd:n löytäminen käyttämällä lukujen alkutekijöitä hajottamista ).

Otetaan esimerkki. Kerro meille, että 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Laske näiden laajennusten kaikkien tekijöiden tulo: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyt jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat läsnä sekä luvun 75 laajennuksessa että luvun 210 laajennuksessa (sellaiset tekijät ovat 3 ja 5), ​​jolloin tuote saa muotoa 2 3 5 5 7 . Tämän tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen 75 ja 210 pienin yhteinen kerrannainen, eli LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Esimerkki.

Kun olet laskenut luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi, etsi näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Jaetaan luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi:

Saamme 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Tehdään nyt tulo kaikista tekijöistä, jotka vaikuttavat näiden lukujen laajentumiseen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat samanaikaisesti läsnä molemmissa laajennuksissa (tällaista tekijää on vain yksi - tämä on luku 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Täten, LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastaus:

LCM(441; 700) = 44 100.

Sääntö LCM:n löytämiseksi käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi voidaan muotoilla hieman eri tavalla. Jos lisäämme puuttuvat tekijät luvun b laajennuksesta luvun a laajennuksen tekijöihin, niin tuloksena olevan tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen.

Otetaan esimerkiksi kaikki samat luvut 75 ja 210, niiden laajennukset alkutekijöiksi ovat seuraavat: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Tekijöihin 3, 5 ja 5 luvun 75 hajotuksesta lisäämme puuttuvat tekijät 2 ja 7 luvun 210 hajotuksesta, saadaan tulo 2 3 5 5 7 , jonka arvo on LCM(75 , 210) .

Esimerkki.

Etsi lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Ensin saadaan lukujen 84 ja 648 hajotus alkutekijöiksi. Ne näyttävät tältä 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Tekijöihin 2 , 2 , 3 ja 7 luvun 84 hajotuksesta lisäämme puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja 3 luvun 648 hajotuksesta , saamme tulon 2 2 2 3 3 3 3 7 , joka on yhtä suuri kuin 4 536 . Siten lukujen 84 ja 648 haluttu pienin yhteinen kerrannainen on 4536.

Vastaus:

LCM(84,648)=4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää etsimällä peräkkäin kahden luvun LCM. Muista vastaava lause, joka antaa tavan löytää kolmen tai useamman luvun LCM.

Lause.

Olkoon positiiviset kokonaisluvut a 1 , a 2 , …, a k, näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen m k löytyy peräkkäisestä laskelmasta m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

Harkitse tämän lauseen soveltamista esimerkissä, jossa löydetään neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkki.

Etsi neljän luvun 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Ensin löydämme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Tätä varten määritämme Euclid-algoritmin avulla gcd(140, 9) , meillä on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , joten gcd( 140, 9) = 1 , mistä LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1 = 1 260 . Eli m 2 = 1 260 .

Nyt löydämme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Lasketaan se komennolla gcd(1 260, 54) , jonka myös määrittää Euklidin algoritmi: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sitten gcd(1 260, 54) = 18, josta LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. Eli m 3 \u003d 3 780.

Jäi etsimään m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Tätä varten löydämme GCD(3 780, 250) käyttämällä Euklidin algoritmia: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Siksi gcd(3 780, 250)=10 , josta gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Eli m 4 \u003d 94 500.

Joten alkuperäisen neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen on 94 500.

Vastaus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Monissa tapauksissa kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen löydetään kätevästi käyttämällä annettujen lukujen alkutekijöitä. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä. Usean luvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tulo, joka muodostuu seuraavasti: toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään kaikkiin ensimmäisen luvun laajennuksesta, puuttuvat tekijät kolmas luku lisätään saatuihin tekijöihin ja niin edelleen.

Harkitse esimerkkiä pienimmän yhteiskerran löytämisestä käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi.

Esimerkki.

Etsi viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 pienin yhteinen kerrannainen.

Ratkaisu.

Ensin saadaan näiden lukujen laajennukset alkutekijöihin: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 alkutekijät) ja 143=11 13 .

Löytääksesi näiden lukujen LCM, ensimmäisen luvun 84 tekijöihin (ne ovat 2 , 2 , 3 ja 7 ) sinun on lisättävä puuttuvat tekijät toisen luvun 6 laajennuksesta. Luvun 6 laajennus ei sisällä puuttuvia tekijöitä, koska ensimmäisen luvun 84 laajennuksessa ovat jo mukana sekä 2 että 3 . Lisätään tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 puuttuvat tekijät 2 ja 2 kolmannen luvun 48 hajotuksesta, saadaan joukko tekijöitä 2, 2, 2, 2, 3 ja 7. Tähän joukkoon ei tarvitse lisätä tekijöitä seuraavassa vaiheessa, koska se sisältää jo 7. Lopuksi tekijöihin 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 11 ja 13 luvun 143 laajennuksesta. Saamme tuotteen 2 2 2 2 3 7 11 13 , joka on yhtä suuri kuin 48 048 .

Harkitse seuraavan ongelman ratkaisua. Pojan askel on 75 cm ja tytön askel 60 cm. On löydettävä pienin etäisyys, jolla molemmat ottavat kokonaislukumäärän askeleita.

Ratkaisu. Koko polun, jonka kaverit kulkevat, on oltava jaollinen 60:llä ja 70:llä ilman jäännöstä, koska jokaisen on otettava kokonaislukumäärä askeleita. Toisin sanoen vastauksen on oltava sekä 75:n että 60:n kerrannainen.

Ensin kirjoitetaan kaikki kerrannaisuudet luvulle 75. Saamme:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Kirjoitetaan nyt luvut, joista tulee 60:n kerrannainen. Saamme:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nyt löydämme numerot, jotka ovat molemmilla riveillä.

  • Yhteisiä lukujen kerrannaisia ​​ovat numerot, 300, 600 jne.

Pienin niistä on luku 300. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan lukujen 75 ja 60 pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi.

Palatakseni ongelman tilaan, pienin etäisyys, jolla pojat ottavat kokonaislukumäärän askelia, on 300 cm. Poika kulkee tätä tietä 4 askelta ja tytön tulee ottaa 5 askelta.

Vähiten yhteisen monikerran löytäminen

  • Kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen.

Kahden luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin.

Voit käyttää seuraavaa menetelmää.

Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen

Ensin sinun on hajotettava nämä luvut alkutekijöiksi.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Nyt kirjoitetaan kaikki tekijät, jotka ovat ensimmäisen luvun (2,2,3,5) laajennuksessa, ja lisätään siihen kaikki puuttuvat tekijät toisen luvun (5) laajennuksesta.

Päädymme sarjaan alkulukuja: 2,2,3,5,5. Näiden lukujen tulo on vähiten yhteinen tekijä näille luvuille. 2*2*3*5*5 = 300.

Yleinen kaavio pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi

  • 1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
  • 2. Kirjoita muistiin alkutekijät, jotka ovat osa jotakin niistä.
  • 3. Lisää näihin tekijöihin kaikki ne, jotka ovat muun hajotuksessa, mutta eivät valitussa.
  • 4. Etsi kaikkien kirjoitettujen tekijöiden tulo.

Tämä menetelmä on universaali. Sitä voidaan käyttää minkä tahansa luonnollisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseen.

Suurin yhteinen jakaja

Määritelmä 2

Jos luonnollinen luku a on jaollinen luonnollisella luvulla $b$, niin $b$ kutsutaan luvun $a$ jakajaksi ja lukua $a$ luvun $b$ kerrannaiseksi.

Olkoot $a$ ja $b$ luonnollisia lukuja. Lukua $c$ kutsutaan sekä $a$:n että $b$:n yhteiseksi jakajaksi.

Lukujen $a$ ja $b$ yhteisten jakajien joukko on äärellinen, koska mikään näistä jakajista ei voi olla suurempi kuin $a$. Tämä tarkoittaa, että näiden jakajien joukossa on suurin, jota kutsutaan lukujen $a$ ja $b$ suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi, ja sitä merkitään merkinnällä:

$gcd \ (a;b) \ tai \ D \ (a;b)$

Kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytäminen:

  1. Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.

Esimerkki 1

Etsi lukujen $121$ ja $132.$ gcd

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    132 $=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Valitse numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    132 $=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.

    $gcd=2\cdot 11=22$

Esimerkki 2

Etsi monomioiden GCD $63$ ja $81$.

Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten:

    Jaetaan luvut alkutekijöiksi

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Valitsemme numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Etsitään vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.

    $gcd=3\cdot 3=9$

Voit löytää kahden luvun GCD:n toisella tavalla käyttämällä numeroiden jakajien joukkoa.

Esimerkki 3

Etsi gcd numeroista $48$ ja $60$.

Ratkaisu:

Etsi $48$:n jakajajoukko: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Etsitään nyt jakajajoukko $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Etsitään näiden joukkojen leikkauspiste: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tämä joukko määrittää lukujen $48$ ja $60 yhteisten jakajien joukon $. Tämän sarjan suurin elementti on numero $12$. Joten suurin yhteinen jakaja $48$ ja $60$ on $12$.

Määritelmä NOC

Määritelmä 3

luonnollisten lukujen yhteinen monikerta$a$ ja $b$ on luonnollinen luku, joka on lukujen $a$ ja $b$ kerrannainen.

Yhteiset lukukerrat ovat lukuja, jotka ovat jaollisia alkuperäisellä ilman jäännöstä. Esimerkiksi lukujen $25$ ja $50$ yhteiset kerrannaiset ovat luvut $50,100,150,200$ jne.

Pienin yhteinen kerrannainen kutsutaan pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi ja sitä merkitään LCM$(a;b)$ tai K$(a;b).$

Kahden luvun LCM:n löytämiseksi tarvitset:

  1. Jaa luvut alkutekijöiksi
  2. Kirjoita ensimmäiseen numeroon kuuluvat tekijät ja lisää niihin tekijät, jotka ovat osa toista eivätkä mene ensimmäiseen

Esimerkki 4

Etsi LCM numeroista $99$ ja $77$.

Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten

    Jaa luvut alkutekijöiksi

    99 dollaria = 3\cdot 3\cdot 11 dollaria

    Kirjoita muistiin ensimmäiseen sisältyvät tekijät

    lisää niihin tekijöitä, jotka ovat osa toista äläkä mene ensimmäiseen

    Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu pienin yhteinen kerrannainen

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Lukujen jakajien luetteloiden laatiminen on usein hyvin aikaa vievää. On olemassa tapa löytää GCD, nimeltään Euklidesin algoritmi.

    Lausumat, joihin Euklidesin algoritmi perustuu:

    Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja ja $a\vdots b$, niin $D(a;b)=b$

    Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja, niin että $b

Käyttämällä $D(a;b)= D(a-b;b)$ voimme pienentää tarkasteltavia lukuja peräkkäin, kunnes saavutamme sellaisen lukuparin, että toinen niistä on jaollinen toisella. Tällöin pienempi näistä luvuista on haluttu suurin yhteinen jakaja numeroille $a$ ja $b$.

GCD:n ja LCM:n ominaisuudet

  1. Mikä tahansa kohteiden $a$ ja $b$ yhteinen kerrannainen on jaollinen K$(a;b)$:lla
  2. Jos $a\vdots b$ , niin K$(a;b)=a$

    3. Jos K$(a;b)=k$ ja $m$-luonnollinen luku, niin K$(am;bm)=km$

    Jos $d$ on yhteinen jakaja arvoille $a$ ja $b$, niin K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Jos $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , niin $\frac(ab)(c)$ on $a$:n ja $b$:n yhteinen kerrannainen

    Kaikille luonnollisille luvuille $a$ ja $b$ yhtälö

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Mikä tahansa $a$:n ja $b$:n yhteinen jakaja on $D(a;b)$:n jakaja

Lancinova Aisa

Ladata:

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com


Diojen kuvatekstit:

Tehtävät lukujen GCD:lle ja LCM:lle MKOU "Kamyshovskaya OOSh" 6. luokan opiskelijan työ Lantsinova Aisa Ohjaaja Gorjajeva Zoya Erdnigoryaevna, matematiikan opettaja s. Kamyshovo, 2013

Esimerkki lukujen 50, 75 ja 325 GCD:n löytämisestä. 1) Jaetaan luvut 50, 75 ja 325 alkutekijöiksi. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 jakaa ilman jäännöstä lukuja a ja b kutsutaan näiden lukujen suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.

Esimerkki lukujen 72, 99 ja 117 LCM:n löytämisestä. 1) Kerrotaan luvut 72, 99 ja 117. Kirjoita yhden luvun 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​laajennuksen tekijät. ∙ 3 ja lisää niihin jäljellä olevien lukujen puuttuvat tekijät. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Laske tuloksena olevien tekijöiden tulo. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Vastaus: LCM (72, 99 ja 117) = 10296 Luonnollisten lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on a:n kerrannainen ja b.

Pahvilevy on suorakulmion muotoinen, jonka pituus on 48 cm ja leveys 40 cm. Tämä arkki on leikattava ilman hukkaa yhtä suuriksi neliöiksi. Mitkä ovat suurimmat neliöt, jotka voidaan saada tästä arkista ja kuinka monta? Ratkaisu: 1) S = a ∙ b on suorakulmion pinta-ala. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². on pahvin alue. 2) a - neliön sivu 48: a - niiden ruutujen lukumäärä, jotka voidaan asettaa kartongin pituudelle. 40: a - niiden neliöiden lukumäärä, jotka voidaan asettaa pahvin leveydelle. 3) GCD (40 ja 48) \u003d 8 (cm) - neliön sivu. 4) S \u003d a² - yhden neliön pinta-ala. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - yhden neliön pinta-ala. 5) 1960: 64 = 30 (neliöiden lukumäärä). Vastaus: 30 ruutua, joiden jokaisen sivu on 8 cm. Tehtävät GCD:lle

Huoneen takka on asetettava neliön muotoisilla viimeistelylaatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitaan 195 ͯ 156 cm takkaan ja mitkä ovat suurimmat laattakoot? Ratkaisu: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - tulisijan pinnan S. 2) GCD (195 ja 156) = 39 (cm) - laatan sivu. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 laatan pinta-ala. 4) 30420: = 20 (kpl). Vastaus: 20 laattaa, joiden mitat ovat 39 ͯ 39 (cm). Tehtävät GCD:lle

Puutarhatontti, jonka koko on 54 ͯ 48 m kehän ympärillä, on aidattava, ja tätä varten on sijoitettava betonipylväitä säännöllisin väliajoin. Kuinka monta pylvästä on tuotava tontille ja millä maksimietäisyydellä toisistaan ​​pylväät seisovat? Ratkaisu: 1) P = 2(a + b) – alueen ympärysmitta. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 ja 48) \u003d 6 (m) - pylväiden välinen etäisyys. 3) 204: 6 = 34 (pilarit). Vastaus: 34 pilaria, etäisyydellä 6 m. Tehtävät GCD:lle

210 viininpunaisesta, 126 valkoista, 294 punaista ruusua kerättiin, ja jokaisessa kimpussa samanvärisiä ruusuja on yhtä paljon. Paljonko näistä ruusuista on tehty eniten kukkakimppuja ja kuinka monta ruusua kustakin väristä on yhdessä kimpussa? Ratkaisu: 1) GCD (210, 126 ja 294) = 42 (kimppuja). 2) 210:42 = 5 (burgundinpunaiset ruusut). 3) 126:42 = 3 (valkoiset ruusut). 4) 294:42 = 7 (punaiset ruusut). Vastaus: 42 kukkakimppua: 5 viininpunaista, 3 valkoista, 7 punaista ruusua jokaisessa kimpussa. Tehtävät GCD:lle

Tanya ja Masha ostivat saman määrän postilaatikoita. Tanya maksoi 90 ruplaa ja Masha 5 ruplaa. lisää. Paljonko yksi setti maksaa? Kuinka monta sarjaa kukin osti? Ratkaisu: 1) Masha maksoi 90 + 5 = 95 (ruplaa). 2) GCD (90 ja 95) = 5 (ruplaa) - 1 sarjan hinta. 3) 980: 5 = 18 (settiä) - ostanut Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sarjaa) - Masha osti. Vastaus: 5 ruplaa, 18 sarjaa, 19 sarjaa. Tehtävät GCD:lle

Satamakaupungissa alkaa kolme turistivenematkaa, joista ensimmäinen kestää 15 päivää, toinen - 20 ja kolmas - 12 päivää. Palattuaan satamaan laivat lähtevät samana päivänä jälleen matkalle. Moottorialukset lähtivät tänään satamasta kaikilla kolmella reitillä. Kuinka monen päivän kuluttua he purjehtivat yhdessä ensimmäistä kertaa? Kuinka monta matkaa kukin laiva tekee? Ratkaisu: 1) NOC (15.20 ja 12) = 60 (päivää) - kokousaika. 2) 60: 15 = 4 (matkat) - 1 laiva. 3) 60: 20 = 3 (matkat) - 2 moottorilaivaa. 4) 60: 12 = 5 (matkat) - 3 moottorilaivaa. Vastaus: 60 päivää, 4 lentoa, 3 lentoa, 5 lentoa. Tehtävät NOC:lle

Masha osti karhulle munia kaupasta. Matkalla metsään hän tajusi, että munien määrä on jaollinen 2,3,5,10 ja 15:llä. Kuinka monta munaa Masha osti? Ratkaisu: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (munaa) Vastaus: Masha osti 30 munaa. Tehtävät NOC:lle

16 × 20 cm laatikoiden pinoamiseen vaaditaan neliömäinen laatikko, mikä tulee olla neliömäisen pohjan lyhin sivu, jotta laatikot mahtuvat tiukasti laatikkoon? Ratkaisu: 1) NOC (16 ja 20) = 80 (laatikot). 2) S = a ∙ b on 1 laatikon pinta-ala. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - 1 laatikon pohjan pinta-ala. 3) 320 ∙ 80 = 25 600 (cm ²) - neliömäinen pohja-ala. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - laatikon mitat. Vastaus: 160 cm on neliömäisen pohjan sivu. Tehtävät NOC:lle

Tien varrella pisteestä K on sähköpylväitä 45 m välein. Nämä pylväät päätettiin korvata muilla asettamalla ne 60 m etäisyydelle toisistaan. Kuinka monta pylvästä siellä oli ja kuinka monta ne seisovat? Ratkaisu: 1) NOK (45 ja 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - pilareita oli. 3) 180: 60 = 3 - siellä oli pilareita. Vastaus: 4 pilaria, 3 pilaria. Tehtävät NOC:lle

Kuinka monta sotilasta marssii paraatikentällä, jos he marssivat 12 henkilön kokoonpanossa jonossa ja muuttuvat 18 hengen kolonniksi jonossa? Ratkaisu: 1) NOC (12 ja 18) = 36 (henkilöä) - marssi. Vastaus: 36 henkilöä. Tehtävät NOC:lle