Kuinka kirjoittaa pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: esimerkit, ratkaisut

Tämä artikkeli jatkaa tasossa olevan suoran yhtälön aihetta: tämän tyyppistä yhtälöä pidetään suoran yleisenä yhtälönä. Määritellään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on epätäydellinen suoran yleinen yhtälö ja kuinka tehdä siirtymiä yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Vahvistamme koko teoriaa kuvilla ja ratkaisuilla käytännön ongelmiin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Määritetään tasolle suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jonka muoto on A x + B y + C = 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä aikaa nolla), määrittää suoran suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa. Mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa puolestaan määritetään yhtälöllä, jonka muoto on A x + B y + C = 0 tietylle arvojoukolle A, B, C.

Todiste

Tämä lause koostuu kahdesta kohdasta, joista jokainen todistaa.

Osoittakaamme, että yhtälö A x + B y + C = 0 määrittää tasaisen suoran.

Olkoon jokin piste M 0 (x 0 , y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C = 0. Siten: A x 0 + B y 0 + C = 0. Vähennä yhtälöiden A x + B y + C = 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C = 0 vasen ja oikea puoli, saadaan uusi yhtälö, joka näyttää tältä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Se vastaa A x + B y + C = 0.

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektorien n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) kohtisuoralle. 0, y - y 0) . Siten pistejoukko M (x, y) määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaatistossa, joka on kohtisuorassa vektorin n → = (A, B) suuntaan. Voimme olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, ja yhtälö A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei olisi totta.

Näin ollen yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 määrittää tietyn suoran suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa, ja siksi vastaava yhtälö A x + B y + C = 0 määrittelee sama linja. Näin todistimme lauseen ensimmäisen osan.

Tehdään todiste siitä, että mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa voidaan määrittää ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C = 0.

Määritellään suora a suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tasossa; piste M 0 (x 0 , y 0), jonka kautta tämä suora kulkee, sekä tämän suoran normaalivektori n → = (A, B) .

Olkoon myös suoralla jokin piste M (x, y) - liukuluku. Tässä tapauksessa vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden skalaaritulo on nolla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjoitetaan yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, määritellään C: C = - A x 0 - B y 0 ja lopputuloksena saadaan yhtälö A x + B y + C = 0.

Joten olemme todistaneet lauseen toisen osan ja olemme todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Muodon yhtälö A x + B y + C = 0 - Tämä suoran yleinen yhtälö tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässäOxy.

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että kiinteässä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalle tasolle määritelty suora ja sen yleinen yhtälö liittyvät erottamattomasti toisiinsa. Toisin sanoen alkuperäinen viiva vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa annettua suoraa.

Lauseen todistuksesta seuraa myös, että kertoimet A ja B muuttujille x ja y ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, joka saadaan suoran yleisestä yhtälöstä A x + B y + C = 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon yhtälö 2 x + 3 y - 2 = 0, joka vastaa suoraa suoraa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Tämän suoran normaalivektori on vektori n → = (2, 3) . Piirretään annettu suora viiva piirustukseen.

Voidaan myös todeta seuraavaa: piirustuksessa näkemämme suora määräytyy yleisen yhtälön 2 x + 3 y - 2 = 0 mukaan, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Voimme saada yhtälön λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 kertomalla suoran yleisen yhtälön molemmat puolet luvulla λ, joka ei ole nolla. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleisyhtälöä, joten se kuvaa samaa suoraa tasossa.

Määritelmä 2

Täydellinen suoran yleinen yhtälö– sellainen suoran A x + B y + C = 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C ovat erilaisia kuin nolla. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Analysoidaan kaikki epätäydellisen suoran yleisyhtälön muunnelmat.

Kun A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleinen yhtälö saa muotoa B y + C = 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y suoran, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska minkä tahansa x:n todellisen arvon kohdalla muuttuja y ottaa arvon - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C = 0 yleinen yhtälö, kun A = 0, B ≠ 0, määrittää niiden pisteiden (x, y) paikan, joiden koordinaatit ovat samat. - C B.
Jos A = 0, B ≠ 0, C = 0, yleinen yhtälö on muotoa y = 0. Tämä epätäydellinen yhtälö määrittelee x-akselin O x .
Kun A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C = 0, joka määrittää ordinaatan suuntaisen suoran.
Olkoon A ≠ 0, B = 0, C = 0, silloin epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa x = 0, ja tämä on koordinaattiviivan O y yhtälö.
Lopuksi, kun A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa A x + B y = 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoraa, joka kulkee origon kautta. Itse asiassa lukupari (0, 0) vastaa yhtälöä A x + B y = 0, koska A · 0 + B · 0 = 0.

Havainnollistetaan graafisesti kaikki edellä mainitut epätäydelliset suoran yleiset yhtälöt.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen ordinaatta-akselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7, - 11 kautta. On tarpeen kirjoittaa muistiin annetun rivin yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Ordinaatta-akselin suuntainen suora saadaan yhtälöllä, jonka muoto on A x + C = 0, jossa A ≠ 0. Ehto määrittelee myös sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit täyttävät epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C = 0 ehdot, ts. tasa-arvo on totta:

A 2 7 + C = 0

Siitä voidaan määrittää C, jos annamme A:lle jonkin nollasta poikkeavan arvon, esimerkiksi A = 7. Tässä tapauksessa saamme: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvaamme ne yhtälöllä A x + C = 0 ja saamme vaaditun suoran yhtälön: 7 x - 2 = 0

Vastaus: 7 x - 2 = 0

Esimerkki 2

Piirustus näyttää suoran viivan; sinun on kirjoitettava sen yhtälö muistiin.

Ratkaisu

Annetun piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Näemme piirustuksessa, että annettu suora on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa ja kulkee pisteen (0, 3) läpi.

Abskissan suuntainen suora määritetään epätäydellisellä yleisellä yhtälöllä B y + C = 0. Etsitään B:n ja C:n arvot. Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska annettu suora kulkee sen läpi, täyttävät suoran B y + C = 0 yhtälön, jolloin yhtälö on voimassa: B · 3 + C = 0. Asetetaan B:lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B = 1, jolloin yhtälöstä B · 3 + C = 0 saadaan C: C = - 3. Käyttämällä B:n ja C:n tunnettuja arvoja saamme vaaditun suoran yhtälön: y - 3 = 0.

Vastaus: y-3 = 0.

Tietyn tason pisteen kautta kulkevan suoran yleinen yhtälö

Kulkekoon annettu suora pisteen M 0 (x 0 , y 0) läpi, jolloin sen koordinaatit vastaavat suoran yleistä yhtälöä, ts. yhtälö on tosi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Vähennetään tämän yhtälön vasen ja oikea puoli suoran yleisen täydellisen yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä, kulkee pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi ja sillä on normaali vektori n → = (A, B) .

Saamamme tulos mahdollistaa sellaisen suoran yleisen yhtälön kirjoittamisen, jolla on tunnetut suoran normaalivektorin koordinaatit ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaatit.

Esimerkki 3

Annettu piste M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee, ja tämän suoran normaalivektori n → = (1, -2) . On tarpeen kirjoittaa muistiin annetun rivin yhtälö.

Ratkaisu

Alkuehdot antavat meille mahdollisuuden saada tarvittavat tiedot yhtälön muodostamiseksi: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran suoran yleinen yhtälö on A x + B y + C = 0. Annettu normaalivektori antaa meille mahdollisuuden saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Etsitään nyt C:n arvo käyttämällä tehtävän ehdon määrittämää pistettä M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 · y + C = 0, ts. - 3 - 2 4 + C = 0. Siksi C = 11. Vaadittu suora yhtälö on muodossa: x - 2 · y + 11 = 0.

Vastaus: x - 2 y + 11 = 0 .

Esimerkki 4

Annettu suora 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja tällä suoralla oleva piste M 0. Vain tämän pisteen abskissa tunnetaan, ja se on yhtä suuri kuin -3. On tarpeen määrittää tietyn pisteen ordinaatit.

Ratkaisu

Merkitään pisteen M 0 koordinaatit x 0 ja y 0 . Lähdetiedot osoittavat, että x 0 = - 3. Koska piste kuuluu annettuun suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Silloin tasa-arvo on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Määrittele y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran yleisyhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Kuten tiedämme, on olemassa useita yhtälöitä samalle suoralle tasossa. Yhtälön tyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita se, joka on kätevämpi sen ratkaisemiseksi. Taito muuntaa yhden tyyppinen yhtälö toisen tyyppiseksi yhtälöksi on erittäin hyödyllinen tässä.

Tarkastellaan ensin siirtymää muodon A x + B y + C = 0 yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jos A ≠ 0, niin siirretään termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Vasemmalla puolella otamme A pois suluista. Tuloksena saamme: A x + C A = - B y.

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa suhteessa: x + C A - B = y A.

Jos B ≠ 0, jätetään vain termi A x yleisen yhtälön vasemmalle puolelle, siirretään muut oikealle puolelle, saadaan: A x = - B y - C. Otetaan – B suluista, sitten: A x = - B y + C B .

Uudelleenkirjoitetaan yhtälö suhteessa muotoon: x - B = y + C B A.

Saatuja kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Toimien algoritmin tunteminen riittää, kun siirrytään yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön.

Esimerkki 5

Suoran 3 y - 4 = 0 yleinen yhtälö on annettu. Se on muutettava kanoniseksi yhtälöksi.

Ratkaisu

Kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö 3 y - 4 = 0. Seuraavaksi edetään algoritmin mukaan: termi 0 x jää vasemmalle puolelle; ja oikealle puolelle laitamme - 3 suluista; saamme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjoitetaan saatu yhtälö suhteessa: x - 3 = y - 4 3 0 . Siten olemme saaneet kanonisen muodon yhtälön.

Vastaus: x - 3 = y - 4 3 0.

Suoran yleisen yhtälön muuttamiseksi parametrisiksi tehdään ensin siirtyminen kanoniseen muotoon ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 = 0. Kirjoita muistiin tämän rivin parametriyhtälöt.

Ratkaisu

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 v + 1 ⇔ 2 x = 5 v + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nyt otamme tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat puolet yhtä suureksi kuin λ, sitten:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastaus:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suoran yhtälöksi, jonka kaltevuus on y = k · x + b, mutta vain kun B ≠ 0. Siirtymää varten jätämme termin B y vasemmalle puolelle, loput siirretään oikealle. Saamme: B y = - A x - C . Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet B:llä, joka on eri kuin nolla: y = - A B x - C B.

Esimerkki 7

Suoran yleinen yhtälö on annettu: 2 x + 7 y = 0. Sinun on muutettava tämä yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Ratkaisu

Suoritetaan tarvittavat toimenpiteet algoritmin mukaan:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastaus: y = -2 7 x .

Suoran yleisestä yhtälöstä riittää, että saadaan yksinkertaisesti yhtälö segmenteissä, jotka ovat muotoa x a + y b = 1. Tällaisen siirtymän tekemiseksi siirrämme luvun C yhtälön oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet – C:llä ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjiin:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esimerkki 8

On tarpeen muuntaa suoran x - 7 y + 1 2 = 0 yleinen yhtälö segmenteissä olevan suoran yhtälöksi.

Ratkaisu

Siirretään 1 2 oikealle: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jaetaan yhtälön molemmat puolet -1/2:lla: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleiseen.

Janoissa oleva suoran yhtälö ja kulmakertoimella varustettu yhtälö voidaan helposti muuntaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki yhtälön vasemmalla puolella olevat termit:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavion mukaisesti:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Jos haluat siirtyä parametrisista, siirry ensin kanoniseen ja sitten yleiseen:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esimerkki 9

Suoran x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriyhtälöt on annettu. On tarpeen kirjoittaa muistiin tämän suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Tehdään siirtymä parametrisistä yhtälöistä kanonisiin yhtälöihin:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastaus: y - 4 = 0

Esimerkki 10

Suoran yhtälö janoissa x 3 + y 1 2 = 1 on annettu. On tarpeen siirtyä yhtälön yleiseen muotoon.

Ratkaisu:

Kirjoitamme yhtälön uudelleen vaadittuun muotoon:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Yleisen suoran yhtälön laatiminen

Mainitsimme edellä, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa normaalivektorin tunnetuilla koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka kautta suora kulkee. Tällainen suora määritellään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Siellä analysoimme myös vastaavan esimerkin.

Katsotaanpa nyt monimutkaisempia esimerkkejä, joissa ensin on määritettävä normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu suora, joka on yhdensuuntainen suoran 2 x - 3 y + 3 3 = 0 kanssa. Tunnetaan myös piste M 0 (4, 1), jonka kautta annettu suora kulkee. On tarpeen kirjoittaa muistiin annetun rivin yhtälö.

Ratkaisu

Alkuehdot kertovat, että suorat ovat yhdensuuntaisia, jolloin sen suoran, jonka yhtälö on kirjoitettava, normaalivektoriksi otamme suoran suuntavektorin n → = (2, - 3): 2 x - 3 v + 3 3 = 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot suoran yleisen yhtälön luomiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esimerkki 12

Annettu suora kulkee origon läpi kohtisuoraan suoraa x - 2 3 = y + 4 5 vastaan. Tietylle suoralle on luotava yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Tietyn suoran normaalivektori on suoran suuntavektori x - 2 3 = y + 4 5.

Sitten n → = (3, 5) . Suora kulkee origon kautta, ts. pisteen O kautta (0, 0). Luodaan yleinen yhtälö annetulle riville:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastaus: 3 x + 5 y = 0 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ehto täyttyy niille:

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n Ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n Ja s ei voi samanaikaisesti olla nolla. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraava merkintä on sallittu:

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akselilla Oy Ja Oz ovat yhtä kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden määrittämä suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy Ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1. Kirjoita yhtälöt tasoon nähden kohtisuorassa avaruudessa olevalle suoralle ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Ratkaisu. Etsitään tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz. Koska mikä tahansa akselilla oleva piste Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa yhtälössä tason x = y = 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi tämän tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi suoran suuntausvektori voi olla normaalivektori annettu lentokone.

Kirjoitetaan nyt vaaditut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä Ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

Yllä olevat yhtälöt määrittävät suoran, joka kulkee kahden annetun pisteen kautta.

Esimerkki 2. Kirjoita yhtälö pisteiden ja pisteiden kautta kulkevalle viivalle avaruudessa.

Ratkaisu. Kirjoitetaan vaaditut suoran yhtälöt yllä teoreettisessa viitteessä esitetyssä muodossa:

Koska , Sitten haluttu suora on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Avaruuden suora voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. pistejoukoksi, joka täyttää kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3. Laadi avaruuden suoran kanoniset yhtälöt yleisillä yhtälöillä

Ratkaisu. Jotta voit kirjoittaa suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä kahden suoran pisteen koordinaatit. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz Ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) haluttu rivi. Sitten oletetaan annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran ja tason leikkauspiste xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälö on muotoa y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6) saadaan pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälö:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 = x 2, niin pisteiden M 1 (x 1,y I) ja M 2 (x 2,y 2) kautta kulkeva suora on ordinaatta-akselin suuntainen. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 = y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa.

Suoran yhtälö segmenteissä

Leikkaa suoran Ox-akselin pisteessä M 1 (a;0) ja Oy-akselin pisteessä M 2 (0;b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan segmenttien suoran yhtälö, koska numerot a ja b osoittavat mitkä janat viiva katkaisee koordinaattiakseleilta.

Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja tarkastellaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Kutsutaan yhtälöä (10.8). tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Vektoria n= (A; B), joka on kohtisuorassa suoraa vastaan, kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

jossa A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C = -Ax o - Vu o on vapaa termi. Yhtälö (10.9) on suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

Missä
- sen pisteen koordinaatit, jonka kautta viiva kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen käyrät ympyrä

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste osuu yhteen koordinaattien origon kanssa, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, joista jokaisesta kahteen annettuun pisteeseen on etäisyyden summa. Ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakiosuure
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja koordinaattien origon keskellä polttopisteiden välissä on muoto
G de a puolipääakselin pituus; b – puolipieniakselin pituus (kuva 2).

Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden suoran välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin määritetään kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A Ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa on annettu yhtälöillä, joissa on kaltevuus

y = k 1 x + B 1 ,

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan määrittää ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ax + Wu + C = 0,

Lisäksi vakiot A ja B eivät ole yhtä aikaa nolla. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan suoran suoran yleinen yhtälö. Vakioiden A, B ja C arvoista riippuen seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – suora kulkee origon kautta

A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) - suora linja, joka on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy-akselin suuntainen suora viiva

B = C = 0, A ≠0 – suora osuu Oy-akseliin

A = C = 0, B ≠0 – suora osuu yhteen Ox-akselin kanssa

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa annetuista alkuehdoista riippuen.

Suoran yhtälö pisteestä ja normaalivektorista

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa vektori, jonka komponentit (A, B) on kohtisuorassa yhtälön Ax + By + C = 0 antamaa suoraa vastaan.

Esimerkki. Etsi pisteen A(1, 2) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa (3, -1).

Ratkaisu. Kun A = 3 ja B = -1, muodostetaan suoran yhtälö: 3x – y + C = 0. Kertoimen C löytämiseksi korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. 3 – 2 + C = 0, joten C = -1 . Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x – y – 1 = 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Olkoon kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) avaruudessa, niin näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö on:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaavan osoittajan tulee olla nolla. Tasolla yllä kirjoitetun suoran yhtälö on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2.

Murtoluku = k kutsutaan kaltevuus suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa saamme:

Suoran yhtälö pisteestä ja kaltevasta

Jos kokonaissumma Ax + Bu + C = 0, siirry muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan yhtälö suorasta kulmastak.

Suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää pisteen läpi kulkevan suoran määritelmän ja suoran suuntausvektorin.

Määritelmä. Jokaista nollasta poikkeavaa vektoria (α 1, α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon A α 1 + B α 2 = 0, kutsutaan suoran suuntausvektoriksi.

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan kertoimien on täytettävä ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Tällöin suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0 tai x + y + C / A = 0. kun x = 1, y = 2, saadaan C/ A = -3, ts. vaadittu yhtälö:

Suoran yhtälö segmenteissä

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ах + Ву + С = 0 С≠0, niin jakamalla –С:lla saadaan: tai

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin A on suoran ja Ox-akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b– suoran ja Oy-akselin leikkauspisteen koordinaatti.

Esimerkki. On annettu suoran x – y + 1 = 0 yleinen yhtälö.. Etsi tämän suoran yhtälö janoittain.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Suoran normaaliyhtälö

Jos yhtälön Ax + By + C = 0 molemmat puolet kerrotaan luvulla jota kutsutaan normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

suoran normaaliyhtälö. Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Esimerkki. Yleinen yhtälö suoralle 12x – 5y – 65 = 0. Tälle riville on kirjoitettava erilaisia yhtälöitä.

tämän suoran yhtälö segmenteissä:

tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla, jotka ovat yhdensuuntaisia akselien kanssa tai kulkevat koordinaattien origon kautta.

Esimerkki. Suora katkaisee yhtä suuret positiiviset segmentit koordinaattiakseleilta. Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, jos näiden osien muodostaman kolmion pinta-ala on 8 cm 2.

Ratkaisu. Suoran yhtälön muoto on: , ab /2 = 8; ab = 16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Esimerkki. Kirjoita yhtälö pisteen A(-2, -3) ja origon kautta kulkevalle suoralle.

Ratkaisu. Suoran yhtälö on: , jossa x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Tason suorien viivojen välinen kulma

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, niin näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2. Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2.

Lause. Suorat Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 = λA, B 1 = λB ovat verrannollisia. Jos myös C 1 = λC, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa y = kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys suoraan Ax + Bу + C = 0 määritetään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M määrätylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

(1)

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu. Löydämme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, joten suorat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Annetut ovat kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 v + 3 = 0;

Vaadittava korkeusyhtälö on muotoa: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: mistä b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3 x + 2 v – 34 = 0.