Kuinka laskea halkaisija ympyrästä, jonka pituus tietää. Kuinka löytää ja mikä on ympyrän ympärysmitta?

Ympyrä löytyy jokapäiväisessä elämässä yhtä usein kuin suorakulmio. Ja monille ihmisille ympärysmitan laskemisen ongelma on vaikea. Ja kaikki koska siinä ei ole kulmia. Jos niitä olisi saatavilla, kaikki olisi paljon helpompaa.

Mikä on ympyrä ja missä se esiintyy?

Tämä litteä kuva edustaa useita pisteitä, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä toisesta, joka on keskusta. Tätä etäisyyttä kutsutaan säteeksi.

Arkielämässä ympyrän ympärysmitta ei usein tarvitse laskea, paitsi insinööreille ja suunnittelijoille. He suunnittelevat mekanismeja, joissa käytetään esimerkiksi hammaspyöriä, ikkunoita ja pyöriä. Arkkitehdit luovat taloja pyöreillä tai kaarevilla ikkunoilla.

Jokainen näistä ja muista tapauksista vaatii oman tarkkuutensa. Lisäksi on mahdotonta laskea ympärysmitta täysin tarkasti. Tämä johtuu kaavan pääluvun äärettömyydestä. "Pi" on edelleen jalostuksessa. Ja pyöristettyä arvoa käytetään useimmiten. Tarkkuusaste valitaan siten, että se antaa parhaan vastauksen.

Summien ja kaavojen nimitykset

Nyt on helppo vastata kysymykseen kuinka laskea ympyrän ympärysmitta säteen mukaan; tätä varten tarvitset seuraavan kaavan:

Koska säde ja halkaisija liittyvät toisiinsa, laskelmille on toinen kaava. Koska säde on kaksi kertaa pienempi, lauseke muuttuu hieman. Ja kaava ympyrän kehän laskemiseksi halkaisijan tiedossa on seuraava:

l = π * d.

Entä jos sinun on laskettava ympyrän kehä?

Muista vain, että ympyrä sisältää kaikki ympyrän sisällä olevat pisteet. Tämä tarkoittaa, että sen ympärysmitta on sama kuin sen pituus. Ja kun olet laskenut kehän, aseta yhtäläisyysmerkki ympyrän kehällä.

Muuten, niiden nimitykset ovat samat. Tämä koskee sädettä ja halkaisijaa, ja ympärysmitta on latinalainen kirjain P.

Esimerkkejä tehtävistä

Tehtävä yksi

Kunto. Selvitä ympyrän pituus, jonka säde on 5 cm.

Ratkaisu. Täällä ei ole vaikeaa ymmärtää kuinka ympärysmitta lasketaan. Sinun tarvitsee vain käyttää ensimmäistä kaavaa. Koska säde on tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata arvot ja laskea. 2 kerrottuna 5 cm:n säteellä antaa 10. Jäljelle jää vain kertoa se π:n arvolla. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Vastaus: l = 31,4 cm.

Tehtävä kaksi

Kunto. On pyörä, jonka ympärysmitta on tiedossa ja joka on 1256 mm. On tarpeen laskea sen säde.

Ratkaisu. Tässä tehtävässä sinun on käytettävä samaa kaavaa. Mutta vain tunnettu pituus on jaettava 2:n ja π:n tuloon. Osoittautuu, että tuote antaa tuloksen: 6.28. Jaon jälkeen jäljellä oleva luku on: 200. Tämä on haluttu arvo.

Vastaus: r = 200 mm.

Tehtävä kolme

Kunto. Laske halkaisija, jos ympyrän ympärysmitta on tiedossa, joka on 56,52 cm.

Ratkaisu. Kuten edellisessä tehtävässä, sinun on jaettava tunnettu pituus π:n arvolla, pyöristettynä lähimpään sadasosaan. Tämän toiminnon tuloksena saadaan numero 18. Tulos saadaan.

Vastaus: d = 18 cm.

Ongelma neljä

Kunto. Kellon osoittimet ovat pituudeltaan 3 ja 5 cm. Sinun on laskettava niiden päitä kuvaavien ympyröiden pituudet.

Ratkaisu. Koska nuolet osuvat yhteen ympyröiden säteiden kanssa, tarvitaan ensimmäinen kaava. Sinun on käytettävä sitä kahdesti.

Ensimmäisen pituuden osalta tuote koostuu seuraavista tekijöistä: 2; 3,14 ja 3. Tuloksena on 18,84 cm.

Toisen vastauksen saamiseksi sinun on kerrottava 2, π ja 5. Tulos antaa luvun: 31,4 cm.

Vastaus: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Tehtävä viisi

Kunto. Orava juoksee pyörässä, jonka halkaisija on 2 m. Kuinka pitkälle se juoksee yhdellä täydellä pyörän kierroksella?

Ratkaisu. Tämä etäisyys on yhtä suuri kuin ympärysmitta. Siksi sinun on käytettävä sopivaa kaavaa. Eli kerrotaan π:n arvo ja 2 m. Laskelmat antavat tulokseksi: 6,28 m.

Vastaus: Orava juoksee 6,28 metriä.

1. Vaikea löytää ympärysmitta halkaisijan läpi, joten katsotaanpa ensin tätä vaihtoehtoa.

Esimerkki: Etsi ympyrän, jonka halkaisija on 6 cm, ympärysmitta. Käytämme yllä olevaa ympyrän ympärysmittakaavaa, mutta ensin meidän on löydettävä säde. Tätä varten jaamme halkaisijan 6 cm kahdella ja saamme ympyrän säteen 3 cm.

Sen jälkeen kaikki on äärimmäisen yksinkertaista: Kerro luku Pi kahdella ja tuloksena olevalla 3 cm:n säteellä.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Katsotaanpa nyt yksinkertaista vaihtoehtoa uudelleen etsi ympyrän ympyrän ympärysmitta, jonka säde on 5 cm

Ratkaisu: Kerro 5 cm:n säde kahdella ja kerro luvulla 3,14. Älä huolestu, koska kertoimien uudelleenjärjestely ei vaikuta tulokseen, ja ympärysmittakaava voidaan käyttää missä tahansa järjestyksessä.

5 cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - tämä on löydetty ympärysmitta 5 cm:n säteellä!

Ympärysmittalaskuri verkossa

Ympärysmittalaskinmme suorittaa kaikki nämä yksinkertaiset laskelmat välittömästi ja kirjoittaa ratkaisun riviin ja kommentteihin. Laskemme ympärysmitan säteelle 3, 5, 6, 8 tai 1 cm tai halkaisija on 4, 10, 15, 20 dm; laskimemme ei välitä millä sädearvolla ympärysmitta löytää.

Kaikki laskelmat ovat tarkkoja ja matemaatikoiden testaamia. Tuloksia voidaan käyttää koulutehtävien ratkaisemisessa geometriassa tai matematiikan alalla sekä työlaskutoimituksissa rakentamisessa tai tilojen korjauksessa ja sisustamisessa, kun tarvitaan tarkkoja laskelmia tällä kaavalla.

Ympyrä on kaareva viiva, joka ympäröi ympyrän. Geometriassa muodot ovat litteitä, joten määritelmä viittaa kaksiulotteiseen kuvaan. Oletetaan, että kaikki tämän käyrän pisteet sijaitsevat yhtä etäisyydellä ympyrän keskipisteestä.

Ympyrässä on useita ominaisuuksia, joiden perusteella tähän geometriseen kuvioon liittyvät laskelmat tehdään. Näitä ovat: halkaisija, säde, pinta-ala ja ympärysmitta. Nämä ominaisuudet liittyvät toisiinsa, eli niiden laskemiseen riittää tieto ainakin yhdestä komponentista. Kun esimerkiksi tiedät vain geometrisen kuvion säteen, voit käyttää kaavaa kehän, halkaisijan ja alueen selvittämiseen.

• Ympyrän säde on ympyrän sisällä oleva jana, joka on yhdistetty sen keskustaan.
• Halkaisija on ympyrän sisällä oleva segmentti, joka yhdistää sen pisteet ja kulkee keskustan läpi. Pohjimmiltaan halkaisija on kaksi sädettä. Juuri tältä sen laskentakaava näyttää: D=2r.
• Ympyrässä on vielä yksi komponentti - sointu. Tämä on suora viiva, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, mutta ei aina kulje keskustan läpi. Joten sen läpi kulkevaa jännettä kutsutaan myös halkaisijaksi.

Kuinka selvittää ympärysmitta? Otetaanpa nyt selvää.

Ympärysmitta: kaava

Latinalainen kirjain p valittiin kuvaamaan tätä ominaisuutta. Archimedes osoitti myös, että ympyrän kehän suhde sen halkaisijaan on sama luku kaikille ympyröille: tämä on luku π, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 3,14159. π:n laskentakaava on: π = p/d. Tämän kaavan mukaan p:n arvo on yhtä suuri kuin πd, eli ympärysmitta: p= πd. Koska d (halkaisija) on yhtä suuri kuin kaksi sädettä, sama kehäkaava voidaan kirjoittaa muodossa p=2πr. Tarkastellaan kaavan soveltamista yksinkertaisten tehtävien avulla esimerkkinä:

Ongelma 1

Tsaarikellon juurella sen halkaisija on 6,6 metriä. Mikä on kellon pohjan ympärysmitta?

1. Ympyrän laskentakaava on siis p= πd
2. Korvaa olemassa oleva arvo kaavaan: p=3,14*6,6= 20,724

Vastaus: Kellon pohjan ympärysmitta on 20,7 metriä.

Ongelma 2

Maan keinotekoinen satelliitti pyörii 320 km:n etäisyydellä planeettasta. Maan säde on 6370 km. Mikä on satelliitin ympyräradan pituus?

1. 1. Laske maasatelliitin ympyräradan säde: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Laske satelliitin ympyräradan pituus kaavalla: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Vastaus: Maasatelliitin ympyräradan pituus on 42013,2 km.

Menetelmät ympärysmitan mittaamiseen

Ympyrän kehän laskemista ei käytännössä käytetä usein. Syynä tähän on luvun π likimääräinen arvo. Jokapäiväisessä elämässä ympyrän pituuden löytämiseksi käytetään erityistä laitetta - käyrämittaria. Ympyrään merkitään mielivaltainen aloituspiste ja laitetta johdetaan siitä tiukasti linjaa pitkin, kunnes ne taas saavuttavat tämän pisteen.

Kuinka löytää ympyrän ympärysmitta? Sinun tarvitsee vain pitää mielessäsi yksinkertaiset laskentakaavat.

Ohjeet

Muista, että Archimedes oli ensimmäinen, joka laski matemaattisesti tämän suhteen. Se on säännöllinen 96-sivuinen kolmio ympyrässä ja sen ympärillä. Piirretyn monikulmion kehäksi otettiin pienin mahdollinen ympärysmitta ja rajatun hahmon kehä maksimikokoksi. Archimedesin mukaan ympärysmitan suhde halkaisijaan on 3,1419. Paljon myöhemmin kiinalainen matemaatikko Zu Chongzhi "laajensi" tämän numeron kahdeksaan merkkiin. Hänen laskelmansa pysyivät tarkimmillaan 900 vuoteen. Vain 1700-luvulla laskettiin sadan desimaalin tarkkuudella. Vuodesta 1706 lähtien tämä loputon desimaaliluku on saanut nimen William Jonesin ansiosta. Hän nimesi sen kreikan sanojen perimetri (periferia) ensimmäisellä kirjaimella. Nykyään tietokone laskee helposti Pi:n numerot: 3,141592653589793238462643…

Laskemista varten pienennä Pi arvoon 3,14. Osoittautuu, että minkä tahansa ympyrän pituus jaettuna halkaisijalla on yhtä suuri kuin tämä luku: L: d = 3,14.

Ilmaise tästä lauseesta kaava halkaisijan löytämiseksi. Osoittautuu, että ympyrän halkaisijan löytämiseksi sinun on jaettava ympärysmitta numerolla Pi. Se näyttää tältä: d = L: 3,14. Tämä on universaali tapa löytää halkaisija, kun ympyrän ympärysmitta tunnetaan.

Joten ympärysmitta tunnetaan, sanotaan 15,7 cm, jaa tämä luku 3,14:llä. Halkaisija on 5 cm. Kirjoita se näin: d = 15,7: 3,14 = 5 cm.

Etsi halkaisija ympärysmitan perusteella käyttämällä erityisiä taulukoita kehän laskentaan. Nämä taulukot sisältyvät useisiin hakuteoksiin. Ne ovat esimerkiksi V.M.:n "nelinumeroisissa matemaattisissa taulukoissa". Bradis.

Hyödyllinen neuvo

Muista Pi:n kahdeksan ensimmäistä numeroa runon avulla:
Sinun tarvitsee vain yrittää
Ja muista kaikki sellaisena kuin se on:
Kolme, neljätoista, viisitoista,
Yhdeksänkymmentäkaksi ja kuusi.

Lähteet:

• Luku "Pi" lasketaan ennätystarkkuudella
• halkaisija ja ympärysmitta
• Kuinka löytää ympyrän ympärysmitta?

Ympyrä on tasainen geometrinen kuvio, jonka kaikki pisteet ovat samalla ja nollasta poikkeavalla etäisyydellä valitusta pisteestä, jota kutsutaan ympyrän keskipisteeksi. Kutsutaan suoraa, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi ympyrän pistettä ja kulkee keskipisteen läpi halkaisija. Kaksiulotteisen hahmon, jota yleensä kutsutaan kehäksi, kaikkien rajojen kokonaispituutta kutsutaan useammin ympyrän "kehäksi". Kun tiedät ympyrän kehän, voit laskea sen halkaisijan.

Ohjeet

Halkaisijan selvittämiseksi käytä yhtä ympyrän pääominaisuuksista, joka on, että sen kehän pituuden suhde halkaisijaan on sama ehdottoman kaikille ympyröille. Tietenkään matemaatikot eivät jääneet huomaamatta pysyvyyttä, ja tämä osuus on jo pitkään saanut omansa - tämä on numero Pi (π on ensimmäinen kreikkalainen sana " ympyrä" ja "kehä"). Tämän numeerisen arvon määrää ympyrän pituus, jonka halkaisija on yksi.

Jaa ympyrän tunnettu ympärysmitta Pi:llä laskeaksesi sen halkaisijan. Koska tämä luku on " ", sillä ei ole rajallista arvoa - se on murto-osa. Pyöristä Pi vaadittavan tuloksen tarkkuuden mukaan.

Video aiheesta

Vinkki 4: Kuinka löytää kehän ja halkaisijan suhde

Hämmästyttävä omaisuus ympyrä jonka meille löysi antiikin kreikkalainen tiedemies Archimedes. Se piilee siinä tosiasiassa asenne hänen pituus halkaisijaan pituus on sama kaikille ympyrä. Teoksessaan "Ympyrän mittaamisesta" hän laski sen ja nimesi sen numeroksi "Pi". Se on irrationaalinen, eli sen merkitystä ei voida ilmaista tarkasti. Tätä tarkoitusta varten sen arvo on 3,14. Voit tarkistaa Archimedesin lausunnon itse tekemällä yksinkertaisia ​​laskelmia.

Tarvitset

• - kompassi;
• - viivotin;
• - lyijykynä;
• - lanka.

Ohjeet

Piirrä paperille kompassilla halkaisijaltaan mielivaltainen ympyrä. Piirrä viivaimella ja kynällä segmentti sen keskustan läpi yhdistäen kaksi viivaa viivalla ympyrä. Mittaa tuloksena olevan segmentin pituus viivaimella. Sanokaamme ympyrä tässä tapauksessa 7 senttimetriä.

Ota lanka ja järjestä se pituussuunnassa ympyrä. Mittaa tuloksena oleva langan pituus. Olkoon se yhtä suuri kuin 22 senttimetriä. löytö asenne pituus ympyrä sen halkaisijan pituuteen - 22 cm: 7 cm = 3,1428... Pyöristä saatu luku (3,14). Tuloksena on tuttu luku "Pi".

Todista tämä ominaisuus ympyrä voit käyttää kuppia tai lasia. Mittaa niiden halkaisija viivaimella. Kiedo lanka astian yläosan ympärille ja mittaa tuloksena oleva pituus. Pituuden jakaminen ympyrä kuppi halkaisijan pituuden mukaan, saat myös numeron "Pi" varmistaen tämän ominaisuuden ympyrä, jonka löysi Archimedes.

Tämän ominaisuuden avulla voit laskea minkä tahansa pituuden ympyrä halkaisijan pituudella tai seuraavien kaavojen mukaan: C = 2*p*R tai C = D*p, jossa C - ympyrä, D on sen halkaisijan pituus, R on sen säteen pituus. Löytää (viivojen rajaama taso ympyrä) käytä kaavaa S = π*R², jos sen säde tunnetaan, tai kaavaa S = π*D²/4, jos sen halkaisija tunnetaan.

Huomautus

Tiesitkö, että Pi-päivää on vietetty maaliskuun neljäntenätoista yli kaksikymmentä vuotta? Tämä on matemaatikoiden epävirallinen loma, joka on omistettu tälle mielenkiintoiselle numerolle, johon liittyy tällä hetkellä monia kaavoja, matemaattisia ja fysikaalisia aksioomia. Tämän loman keksi amerikkalainen Larry Shaw, joka huomasi, että tänä päivänä (3.14 Yhdysvaltain päivämäärän tallennusjärjestelmässä) kuuluisa tiedemies Einstein syntyi.

Lähteet:

• Archimedes

Joskus kuperan monikulmion ympärille voit piirtää sen siten, että kaikkien kulmien kärjet ovat sen päällä. Tällaista ympyrää polygonin suhteen tulisi kutsua rajatuksi. Hänen keskusta ei tarvitse olla piirretyn kuvan kehän sisällä, vaan käyttää kuvattujen ominaisuuksia ympyrä, tämän kohdan löytäminen ei yleensä ole kovin vaikeaa.

Tarvitset

• Viivain, lyijykynä, astelevy tai neliö, kompassi.

Ohjeet

Jos monikulmio, jonka ympärille sinun on kuvattava ympyrä, on piirretty paperille, löytääksesi keskusta ja ympyrä riittää viivaimella, kynällä ja astelevyllä tai neliöllä. Mittaa kuvan minkä tahansa sivun pituus, määritä sen keskikohta ja aseta apupiste tähän paikkaan piirustuksessa. Piirrä neliön tai astelevyn avulla jana monikulmion sisään kohtisuoraan tätä sivua vastaan, kunnes se leikkaa vastakkaisen sivun.

Tee sama toimenpide monikulmion millä tahansa toisella puolella. Kahden rakennetun segmentin leikkauspiste on haluttu piste. Tämä seuraa kuvatun pääominaisuudesta ympyrä- hänen keskusta kuperassa monikulmiossa, jolla on kaikki sivut, on aina näihin piirrettyjen kohtisuorien puolittajien leikkauspisteessä.

Tavallisille polygoneille keskusta ja kaiverrettu ympyrä voisi olla paljon yksinkertaisempaa. Esimerkiksi, jos tämä on neliö, piirrä kaksi diagonaalia - niiden leikkauspiste on keskusta ohm kirjoitettu ympyrä. Monikulmiossa, jossa on mikä tahansa parillinen määrä sivuja, riittää, kun yhdistät kaksi vastakkaisten kulmien paria apukulmien kanssa - keskusta kuvattu ympyrä on oltava sama kuin niiden leikkauspiste. Suorakulmaisessa kolmiossa ongelman ratkaisemiseksi määritä yksinkertaisesti kuvan pisimmän sivun - hypotenuusan - keskipiste.

Jos ehdoista ei tiedetä, onko rajattu ympyrä periaatteessa mahdollista tietylle monikulmiolle odotetun pisteen määrittämisen jälkeen keskusta ja millä tahansa kuvatuista menetelmistä voit selvittää. Aseta sivuun löydetyn pisteen ja minkä tahansa kompassin pisteen välinen etäisyys, aseta se odotettuun arvoon keskusta ympyrä ja piirrä ympyrä - jokaisen kärjen tulee olla tällä ympyrä. Jos näin ei ole, yksi ominaisuuksista ei päde ja kuvaa ympyrää tietyn monikulmion ympärillä.

Halkaisijan määrittäminen voi olla hyödyllistä geometristen ongelmien ratkaisemisen lisäksi myös käytännössä. Esimerkiksi, kun tiedät purkin kaulan halkaisijan, et varmasti mene pieleen valitessasi sille kantta. Sama väite pätee suurempiin piireihin.

Ohjeet

Joten syötä määrien merkintä. Olkoon d kaivon halkaisija, L ympärysmitta, n Pi-luku, jonka arvo on noin 3,14, R ympyrän säde. Ympärysmitta (L) tunnetaan. Oletetaan, että se on 628 senttimetriä.

Seuraavaksi halkaisijan (d) selvittämiseksi käytä ympärysmitan kaavaa: L = 2пR, jossa R on tuntematon suure, L = 628 cm ja n = 3,14. Käytä nyt sääntöä tuntemattoman tekijän löytämiseen: "Tekijän löytämiseksi sinun on jaettava tuote tunnetulla tekijällä." Osoittautuu: R=L/2p. Korvaa arvot kaavaan: R=628/2x3,14. Osoittautuu: R=628/6.28, R=100 cm.

Kun ympyrän säde on löydetty (R=100 cm), käytä seuraavaa kaavaa: ympyrän halkaisija (d) on yhtä suuri kuin ympyrän kaksi sädettä (2R). Osoittautuu: d=2R.

Nyt, löytääksesi halkaisijan, korvaa d=2R-arvot kaavaan ja laske tulos. Koska säde (R) tunnetaan, käy ilmi: d=2x100, d=200 cm.

Lähteet:

• Kuinka määrittää halkaisija ympyrän kehän avulla

Ympärysmitta ja halkaisija ovat toisiinsa liittyviä geometrisia suureita. Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen niistä voidaan kääntää toiseksi ilman lisätietoja. Matemaattinen vakio, jonka kautta ne liittyvät toisiinsa, on luku π.

Ohjeet

Jos ympyrä esitetään kuvana paperilla ja sen halkaisija on määritettävä likimääräisesti, mittaa se suoraan. Jos sen keskusta näkyy piirustuksessa, vedä viiva sen läpi. Jos keskustaa ei näy, etsi se kompassin avulla. Käytä tätä varten neliötä, jonka kulmat ovat 90 ja . Kiinnitä se 90 asteen kulmassa ympyrään niin, että molemmat jalat koskettavat sitä, ja piirrä se. Kiinnitä sitten neliön 45 asteen kulma tuloksena olevaan oikeaan kulmaan, piirrä. Se kulkee ympyrän keskustan läpi. Piirrä sitten samalla tavalla toinen suora kulma ja sen puolittaja toiseen kohtaan ympyrää. Ne leikkaavat keskellä. Tämän avulla voit mitata halkaisijan.

Halkaisijan mittaamiseen kannattaa käyttää mahdollisimman ohuesta levymateriaalista valmistettua viivainta tai räätälöityä mittaria. Jos sinulla on vain paksu viivain, mittaa ympyrän halkaisija kompassilla ja siirrä se sitten mittaripaperille muuttamatta sen ratkaisua.

Lisäksi, jos ongelman olosuhteissa ei ole numeerisia tietoja ja jos on vain piirros, voit mitata ympärysmitan käyrämittarilla ja laskea sitten halkaisijan. Käyttääksesi käyrämittaria, kierrä ensin sen pyörää asettaaksesi nuolen tarkalleen nollajakoon. Merkitse sitten ympyrään piste ja paina käyrämittari arkkiin niin, että pyörän yläpuolella oleva veto osoittaa tähän pisteeseen. Siirrä pyörää ympyräviivaa pitkin, kunnes veto on jälleen tämän pisteen yläpuolella. Lue todistus. Ne ovat sisällä katkoviivan rajaamana. Jos piirretään ympyrään säännöllinen n-kulmio, jonka sivu on b, niin tällaisen kuvion P ympärysmitta on yhtä suuri kuin sivun b tulo sivujen lukumäärällä n: P=b*n. Sivu b voidaan määrittää kaavalla: b=2R*Sin (π/n), jossa R on sen ympyrän säde, johon n-kulmio on piirretty.

Kun sivujen lukumäärä kasvaa, sisäänkirjoitetun monikulmion ympärysmitta lähestyy yhä enemmän L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Kehyksen L ja halkaisijan D välinen suhde on vakio. Suhde L/D=n*Sin (π/n), koska sisäänkirjoitetun monikulmion sivujen lukumäärä pyrkii äärettömyyteen, pyrkii numeroon π, joka on vakioarvo, jota kutsutaan "pi":ksi ja joka ilmaistaan ​​äärettömänä desimaalilukuna. Laskelmille ilman tietotekniikkaa käytetään arvoa π=3,14. Ympyrän ympärysmitta ja halkaisija liittyvät toisiinsa kaavalla: L= πD. Halkaisijan laskemiseksi

Ympärysmitan mittaus

1. Ympärysmitta. Ympyrä on suljettu tasainen kaareva viiva, jonka kaikki pisteet ovat yhtä kaukana yhdestä pisteestä (O), jota kutsutaan ympyrän keskipisteeksi (kuva 27).

Ympyrä piirretään kompassilla. Tätä varten kompassin terävä jalka asetetaan keskelle ja toista (kynällä) kierretään ensimmäisen ympäri, kunnes kynän pää piirtää täydellisen ympyrän. Etäisyyttä keskustasta mihin tahansa ympyrän pisteeseen kutsutaan ympyrän etäisyydeksi säde. Määritelmästä seuraa, että yhden ympyrän kaikki säteet ovat keskenään yhtä suuret.

Kutsutaan suoraa janaa (AB), joka yhdistää mitkä tahansa kaksi ympyrän pistettä ja kulkee sen keskipisteen kautta halkaisija. Ympyrän kaikki halkaisijat ovat yhtä suuret keskenään; halkaisija on yhtä suuri kuin kaksi sädettä.

Kuinka löytää ympyrän ympärysmitta? Melkein joissain tapauksissa ympärysmitta voidaan löytää suoralla mittauksella. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi mitattaessa suhteellisen pienten esineiden (ämpäri, lasi jne.) ympärysmittaa. Voit tehdä tämän käyttämällä mittanauhaa, punosta tai johtoa.

Matematiikassa käytetään tekniikkaa, jolla ympärysmitta määritetään epäsuorasti. Se koostuu laskemisesta valmiilla kaavalla, jonka johdamme nyt.

Jos otamme useita suuria ja pieniä pyöreitä esineitä (kolikko, lasi, ämpäri, tynnyri jne.) ja mittaamme kunkin ympärysmitan ja halkaisijan, saamme jokaiselle esineelle kaksi numeroa (yksi mittaa ympärysmittaa ja toinen on ympärysmitta). halkaisijan pituus). Luonnollisesti pienille esineille nämä luvut ovat pieniä ja suurille - suuria.

Kuitenkin, jos kussakin näistä tapauksista otamme kahden saadun luvun (ympärysmitta ja halkaisija) suhteen, niin huolellisella mittauksella löydämme melkein saman luvun. Merkitään ympyrän ympärysmitta kirjaimella KANSSA, halkaisijan kirjaimen pituus D, silloin niiden suhde näyttää tältä C: D. Todellisiin mittauksiin liittyy aina väistämättömiä epätarkkuuksia. Mutta saatuaan ilmoitetun kokeen ja tehneet tarvittavat laskelmat, saamme suhteen C: D suunnilleen seuraavat luvut: 3,13; 3,14; 3.15. Nämä luvut eroavat hyvin vähän toisistaan.

Matematiikassa teoreettisten näkökohtien kautta on todettu, että haluttu suhde C: D ei koskaan muutu ja se on yhtä kuin ääretön ei-jaksollinen murtoluku, jonka likimääräinen arvo kymmenen tuhannesosan tarkkuudella on 3,1416 . Tämä tarkoittaa, että jokainen ympyrä on yhtä monta kertaa pidempi kuin sen halkaisija. Tämä numero on yleensä merkitty kreikkalaisella kirjaimella π (pi). Sitten kehän suhde halkaisijaan kirjoitetaan seuraavasti: C: D = π . Rajoitamme tämän luvun vain sadasosaan, eli ottamaan π = 3,14.

Kirjoitetaan kaava ympärysmitan määrittämiseksi.

Koska C: D= π , Tuo

C = πD

eli ympärysmitta on yhtä suuri kuin luvun tulo π halkaisijaa kohti.

Tehtävä 1. Etsi ympärysmitta ( KANSSA) pyöreästä huoneesta, jos sen halkaisija on D= 5,5 m.

Kun otetaan huomioon yllä oleva, meidän on suurennettava halkaisijaa 3,14 kertaa tämän ongelman ratkaisemiseksi:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Tehtävä 2. Etsi säde pyörälle, jonka ympärysmitta on 125,6 cm.

Tämä tehtävä on päinvastainen kuin edellinen. Etsitään pyörän halkaisija:

125,6: 3,14 = 40 (cm).

Etsitään nyt pyörän säde:

40:2 = 20 (cm).

2. Ympyrän alue. Ympyrän pinta-alan määrittämiseksi voisi piirtää paperille tietyn säteen omaavan ympyrän, peittää sen läpinäkyvällä ruudullisella paperilla ja sitten laskea ympyrän sisällä olevat solut (kuva 28).

Mutta tämä menetelmä on hankala monista syistä. Ensinnäkin ympyrän ääriviivan lähellä saadaan joukko epätäydellisiä soluja, joiden kokoa on vaikea arvioida. Toiseksi, et voi peittää suurta esinettä (pyöreä kukkapenkki, uima-allas, suihkulähde jne.) paperiarkilla. Kolmanneksi, kun solut on laskettu, emme edelleenkään saa mitään sääntöä, jonka avulla voimme ratkaista toisen samanlaisen ongelman. Tämän vuoksi toimimme eri tavalla. Verrataan ympyrää johonkin meille tuttuun hahmoon ja tehdään se seuraavasti: leikkaa ympyrä paperista, leikkaa se ensin halkaisijaltaan puoliksi, sitten puolikkaat puoliksi, jokainen neljäsosa puoliksi jne., kunnes leikkaamme ympyrä esimerkiksi 32 hampaiden muotoiseen osaan (kuva 29).

Sitten taittelemme ne kuvan 30 mukaisesti, eli asetamme ensin 16 hammasta sahan muotoon ja sitten laitamme 15 hammasta syntyneisiin reikiin ja lopuksi leikkaamme viimeisen jäljellä olevan hampaan kahtia säteellä ja kiinnitä yksi osa vasemmalle, toinen oikealle. Sitten saat hahmon, joka muistuttaa suorakulmiota.

Tämän kuvion (pohjan) pituus on suunnilleen yhtä suuri kuin puoliympyrän pituus ja korkeus on suunnilleen yhtä suuri kuin säde. Sitten tällaisen kuvan pinta-ala voidaan löytää kertomalla puoliympyrän pituutta ja säteen pituutta ilmaisevat luvut. Jos merkitsemme ympyrän pinta-alaa kirjaimella S, kirjaimen ympärysmitta KANSSA, sädekirjain r, niin voimme kirjoittaa kaavan ympyrän alueen määrittämiseksi:

joka kuuluu näin: Ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin puoliympyrän pituus kerrottuna säteellä.

Tehtävä. Etsi ympyrän pinta-ala, jonka säde on 4 cm. Etsi ensin ympyrän pituus, sitten puoliympyrän pituus ja kerro se sitten säteellä.

1) Ympärysmitta KANSSA = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Puoliympyrän pituus C / 2 = 25,12: 2 = 12,56 (cm).

3) Ympyrän pinta-ala S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (neliöcm).

§ 118. Sylinterin pinta ja tilavuus.

Tehtävä 1. Laske sylinterin kokonaispinta-ala, jonka pohjan halkaisija on 20,6 cm ja korkeus 30,5 cm.

Seuraavat ovat sylinterin muotoisia (kuva 31): ämpäri, lasi (ei fasetoitu), kattila ja monet muut esineet.

Sylinterin koko pinta (kuten suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön koko pinta) koostuu sivupinnasta ja kahden pohjan alueista (kuva 32).

Jotta voisit selvästi kuvitella, mistä puhumme, sinun on tehtävä huolellisesti malli sylinteristä paperista. Jos tästä mallista vähennetään kaksi kantaa, eli kaksi ympyrää, ja leikataan sivupinta pituussuunnassa ja avataan, niin on täysin selvää kuinka sylinterin kokonaispinta lasketaan. Sivupinta avautuu suorakulmioksi, jonka pohja on yhtä suuri kuin ympyrän pituus. Siksi ratkaisu ongelmaan näyttää tältä:

1) Ympärysmitta: 20,6 x 3,14 = 64,684 (cm).

2) Lateraalinen pinta-ala: 64,684 x ​​30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Yhden pohjan pinta-ala: 32,342 10,3 = 333,1226 (neliöcm).

4) Täysi sylinterin pinta:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (neliöcm) ≈ 2639 (neliöcm).

Tehtävä 2. Etsi sylinterin muotoisen rautatynnyrin tilavuus, jonka mitat: pohjan halkaisija 60 cm ja korkeus 110 cm.

Sylinterin tilavuuden laskemiseksi sinun on muistettava, kuinka laskimme suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuuden (on hyödyllistä lukea § 61).

Tilavuuden mittayksikkömme on kuutiosenttimetri. Ensin sinun on selvitettävä, kuinka monta kuutiosenttimetriä voidaan sijoittaa perusalueelle, ja kerro sitten löydetty luku korkeudella.

Jotta saat selville, kuinka monta kuutiosenttimetriä voidaan asettaa pohja-alueelle, sinun on laskettava sylinterin pohjapinta-ala. Koska pohja on ympyrä, sinun on löydettävä ympyrän pinta-ala. Sitten voit määrittää äänenvoimakkuuden kertomalla sen korkeudella. Ongelman ratkaisulla on muoto:

1) Ympärysmitta: 60 x 3,14 = 188,4 (cm).

2) Ympyrän pinta-ala: 94,2 x 30 = 2826 (neliöcm).

3) Sylinterin tilavuus: 2826 110 = 310 860 (cc. cm).

Vastaus. Tynnyrin tilavuus 310,86 kuutiometriä. dm.

Jos merkitsemme sylinterin tilavuutta kirjaimella V, perusalue S, sylinterin korkeus H, voit kirjoittaa kaavan sylinterin tilavuuden määrittämiseksi:

V = S H

joka kuuluu näin: Sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-ala kerrottuna korkeudella.

§ 119. Taulukot ympyrän kehän laskemiseen halkaisijan mukaan.

Erilaisia ​​tuotantoongelmia ratkaistaessa on usein tarpeen laskea ympärysmitta. Kuvittelemme työntekijää, joka valmistaa pyöreitä osia hänelle määritettyjen halkaisijoiden mukaan. Joka kerta kun hän tietää halkaisijan, hänen on laskettava ympärysmitta. Ajan säästämiseksi ja virheiden varalta hän kääntyy valmiiden taulukoiden puoleen, jotka osoittavat halkaisijat ja vastaavat ympärysmitat.

Esittelemme pienen osan tällaisista pöydistä ja kerromme kuinka niitä käytetään.

Tiedoksi, että ympyrän halkaisija on 5 m. Katsomme taulukkoa pystysarakkeessa kirjaimen alla D numero 5. Tämä on halkaisijan pituus. Tämän numeron vieressä (oikealla, sarakkeessa "Ympärysmitta") näemme numeron 15,708 (m). Täsmälleen samalla tavalla huomaamme, että jos D= 10 cm, niin ympärysmitta on 31,416 cm.

Samoja taulukoita käyttämällä voit suorittaa myös käänteisiä laskelmia. Jos ympyrän ympärysmitta tunnetaan, niin vastaava halkaisija löytyy taulukosta. Olkoon ympärysmitta noin 34,56 cm. Etsitään taulukosta tätä lähinnä oleva luku. Tämä on 34,558 (ero 0,002). Tätä ympärysmittaa vastaava halkaisija on noin 11 cm.

Tässä mainitut taulukot ovat saatavilla useissa hakuteoksissa. Erityisesti ne löytyvät V. M. Bradisin kirjasta "Nelinumeroiset matemaattiset taulukot". ja S. A. Ponomarevin ja N. I. Sirnevan aritmeettisessa tehtäväkirjassa.