Kun derivaatta on positiivinen. Funktioiden graafit, funktioiden derivaatat

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b, koska tangentin pisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin jyrkkyys, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu samanaikaisesti molempiin tangentin kuvaajaan. funktio ja tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saadaan yhtälöjärjestelmä \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissaehdon mukaan tangenttipisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta segmentistä). Laske kuvion avulla F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaataista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=9 ja x=5. Kaaviosta päätämme, että esitetty kaareva puolisuunnikkaan kanta on 4 ja 3 ja korkeus 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y=f"(x) - funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty intervalliin (-4; 10). Etsi pienenevän funktion f(x) välit. Vastauksessasi, ilmoittaa niistä suurimman pituuden.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuten tiedetään, funktio f(x) pienenee niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f"(x) on pienempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, on kolme tällaista väliä luonnollisesti erottuu kuviosta: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Suurimman niistä - (5; 9) pituus on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y=f"(x) - funktion f(x) derivaatta, joka on määritelty välissä (-8; 7). Selvitä funktion f(x) maksimipisteiden lukumäärä, joka kuuluu intervalli [-6; -2].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kaavio osoittaa, että funktion f(x) derivaatta f"(x) muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (tällaisissa pisteissä on maksimi) tasan yhdessä pisteessä (välillä -5 ja -4) väliltä [ -6; -2 ] Siksi välissä [-6; -2] on täsmälleen yksi maksimipiste.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritelty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin 0.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Derivaatan yhtäläisyys pisteessä nollaan tarkoittaa, että tähän pisteeseen piirretyn funktion kuvaajan tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme pisteet, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, on 5 ääripistettä.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi tangenttipisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Funktion y=-x^2+5x-7 kaavion suoran kulmakerroin mielivaltaisessa pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, mikä tarkoittaa y:tä" (x_0)=-2x_0+5. Ehdossa määritetyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on yhtä suuri kuin -3. Rinnakkaisilla viivoilla on samat kaltevuuskertoimet, joten löydämme arvon x_0, jolla =- 2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) käyrä ja pisteet -6, -1, 1, 4 on merkitty abskissalle. Missä näistä pisteistä derivaatta on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.

(Kuva 1)

Kuva 1. Johdannainen kuvaaja

Johdannaisen graafin ominaisuudet

  1. Kasvavilla aikaväleillä derivaatta on positiivinen. Jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä väliltä on positiivinen arvo, niin tämän välin funktion kuvaaja kasvaa.
  2. Pienennysvälein derivaatta on negatiivinen (miinusmerkillä). Jos derivaatalla tietyssä pisteessä tietyltä väliltä on negatiivinen arvo, niin funktion kuvaaja pienenee tällä välillä.
  3. Derivaata pisteessä x on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kaltevuus samassa pisteessä.
  4. Funktion maksimi- ja minimipisteissä derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Funktion kaavion tangentti tässä pisteessä on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa.

Esimerkki 1

Määritä derivaatan kaavion (kuva 2) avulla, missä kohdassa segmenttiä [-3; 5]-toiminto on suurin.

Kuva 2. Johdannainen kuvaaja

Ratkaisu: Tällä segmentillä derivaatta on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio pienenee vasemmalta oikealle ja suurin arvo on vasemmalla puolella pisteessä -3.

Esimerkki 2

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla maksimipisteiden määrä segmentillä [-11; 3].

Kuva 3. Johdannainen kuvaaja

Ratkaisu: Maksimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Tällä aikavälillä funktio vaihtaa etumerkkiä plussasta miinukseen kahdesti - pisteessä -10 ja pisteessä -1. Tämä tarkoittaa, että pisteiden enimmäismäärä on kaksi.

Esimerkki 3

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla minimipisteiden määrä segmentissä [-11; -1].

Ratkaisu: Minimipisteet vastaavat pisteitä, joissa derivaatan etumerkki muuttuu negatiivisesta positiiviseksi. Tällä segmentillä tällainen piste on vain -7. Tämä tarkoittaa, että tietyn segmentin vähimmäispisteiden määrä on yksi.

Esimerkki 4

Määritä derivaatan kaavion (kuva 3) avulla ääripisteiden lukumäärä.

Ratkaisu: Ääripisteet ovat sekä minimi- että maksimipisteet. Etsitään pisteiden lukumäärä, joissa derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Seuraavaksi tunnilla on hyvä pohtia keskeistä tehtävää: annettua derivaatan kuvaajaa käyttäen opiskelijoiden on keksittävä (tietysti opettajan avustuksella) erilaisia ​​kysymyksiä, jotka liittyvät itse funktion ominaisuuksiin. Luonnollisesti näistä asioista keskustellaan, korjataan tarvittaessa, tehdään yhteenveto, kirjataan muistivihkoon, minkä jälkeen alkaa näiden tehtävien ratkaisuvaihe. Tässä on varmistettava, että opiskelijat eivät vain anna oikeaa vastausta, vaan pystyvät perustelemaan (todistamaan) sen asianmukaisten määritelmien, ominaisuuksien ja sääntöjen avulla.
Otetaan esimerkki tällaisesta tehtävästä: taululle (esimerkiksi projektorin avulla) opiskelijoille esitetään derivaatan kaavio, jonka perusteella muotoiltiin 10 tehtävää (ei täysin oikeita tai päällekkäisiä kysymyksiä hylättiin).
Funktio y = f(x) on määritelty ja jatkuva välillä [–6; 6].
Määritä derivaatan y = f"(x) kuvaajalla:


1) kasvavan funktion y = f(x) välien lukumäärä;
2) pienenevän funktion y = f(x) välin pituus;
3) funktion y = f(x) ääripisteiden lukumäärä;
4) funktion y = f(x) maksimipiste;
5) funktion y = f(x) kriittinen (stationaari) piste, joka ei ole ääripiste;
6) sen kuvaajapisteen abskissa, jossa funktio y = f(x) saa suurimman arvon segmentillä;
7) sen kuvaajapisteen abskissa, jossa funktio y = f(x) saa pienimmän arvon janalla [–2; 2];
8) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti on kohtisuorassa Oy-akselia vastaan;
9) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti muodostaa 60° kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa;
10) funktion y = f(x) kuvaajapisteen abskissa, jossa tangentin jyrkkyys saa pienimmän arvon.
Vastaus: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Funktion ominaisuuksien tutkimisen taitojen vahvistamiseksi opiskelija voi viedä kotiin saman graafin lukemiseen liittyvän tehtävän, mutta toisessa tapauksessa se on funktion graafi ja toisessa sen derivaatan kuvaaja.

Artikkeli julkaistiin järjestelmänvalvojien ja ohjelmoijien foorumin tuella. "CyberForum.ru" -sivustolta löydät foorumeita sellaisista aiheista kuin ohjelmointi, tietokoneet, ohjelmistokeskustelu, web-ohjelmointi, tiede, elektroniikka ja kodinkoneet, ura ja bisnes, vapaa-aika, ihmiset ja yhteiskunta, kulttuuri ja taide, koti ja talous, autot , moottoripyöriä ja paljon muuta. Foorumilta saat ilmaista apua. Saat lisätietoja verkkosivustolta, joka sijaitsee osoitteessa: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funktio y = f(x) on määritelty ja jatkuva välillä [–6; 5]. Kuvassa näkyy:
a) funktion y = f(x) kuvaaja;
b) derivaatan y = f"(x) graafi.
Päätä aikataulusta:
1) funktion y = f(x) minimipisteet;
2) pienenevän funktion y = f(x) välien lukumäärä;
3) funktion y = f(x) kuvaajapisteen abskissa, jossa se saa suurimman arvon janalla;
4) niiden pisteiden lukumäärä funktion y = f(x) kuvaajassa, jossa tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa (tai yhtyy sen kanssa).
Vastaukset:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Ohjauksen suorittamiseksi voit organisoida työn pareittain: jokainen opiskelija laatii etukäteen kumppanilleen johdannaiskaavion kortille ja alla tarjoaa 4-5 kysymystä funktion ominaisuuksien määrittämiseksi. Oppituntien aikana vaihdetaan kortteja, suoritetaan ehdotetut tehtävät, minkä jälkeen jokainen tarkistaa ja arvioi kumppaninsa työtä.

Lopputyö 11. luokkalaisten yhtenäisen valtionkokeen muodossa sisältää välttämättä tehtäviä rajojen laskemisesta, funktion pienenevien ja kasvavien derivaattojen intervalleista, ääripisteiden etsimisestä ja kaavioiden muodostamisesta. Tämän aiheen hyvä tuntemus antaa sinun vastata oikein useisiin koekysymyksiin etkä koe vaikeuksia jatkokoulutuksessa.

Differentiaalilaskennan perusteet ovat yksi modernin koulumatematiikan pääaiheista. Hän tutkii derivaatan käyttöä muuttujien riippuvuuksien tutkimiseen - derivaatan avulla voidaan analysoida funktion kasvua ja vähenemistä ilman piirustusta.

Valmistuneiden kattava valmistautuminen yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen Shkolkovon koulutusportaalissa auttaa sinua ymmärtämään syvästi eriyttämisen periaatteet - ymmärtämään teorian yksityiskohtaisesti, tutkimaan esimerkkejä tyypillisten ongelmien ratkaisemisesta ja kokeilemaan käsiäsi itsenäisessä työssä. Autamme sinua korjaamaan tiedon puutteita - selventämään ymmärrystäsi aiheen leksikaalisista käsitteistä ja suureiden riippuvuuksista. Opiskelija osaa tarkastella, kuinka löytää monotonisuusvälejä, mikä tarkoittaa, että funktion derivaatta nousee tai laskee tietyllä segmentillä, kun rajapisteet ovat ja eivät sisälly löydettyihin intervalleihin.

Ennen kuin aloitat suoraan temaattisten ongelmien ratkaisemisen, suosittelemme, että siirryt ensin "Teoreettinen tausta" -osioon ja toistat käsitteiden, sääntöjen ja taulukkokaavojen määritelmät. Täältä voit lukea kuinka löytää ja kirjoittaa ylös kunkin kasvavan ja pienenevän funktion intervalli derivaattagraafista.

Kaikki tarjottu tieto esitetään mahdollisimman helposti ymmärrettävässä muodossa, käytännössä tyhjästä. Sivusto tarjoaa materiaaleja havainnointiin ja assimilaatioon useissa eri muodoissa - lukemiseen, videoiden katseluun ja suoraa koulutusta kokeneiden opettajien ohjauksessa. Ammattiopettajat kertovat sinulle yksityiskohtaisesti, kuinka funktion nousevien ja laskevien derivaattojen välit voidaan löytää analyyttisten ja graafisten menetelmien avulla. Webinaarien aikana voit esittää minkä tahansa sinua kiinnostavan kysymyksen sekä teoriasta että tiettyjen ongelmien ratkaisemisesta.

Kun olet muistanut aiheen pääkohdat, katso esimerkkejä funktion derivaatan kasvattamisesta, kuten tenttivaihtoehtojen tehtävät. Vahvistaaksesi oppimaasi, katso "Katalogi" - täältä löydät käytännön harjoituksia itsenäiseen työhön. Osion tehtävät valitaan eri vaikeustasoilla taitojen kehittyminen huomioiden. Esimerkiksi jokaiseen niistä on liitetty ratkaisualgoritmit ja oikeat vastaukset.

Valitsemalla "Konstruktori"-osion opiskelijat voivat harjoitella funktion derivaatan kasvun ja pienentämisen tutkimista Unified State Examinationin todellisissa versioissa, joita päivitetään jatkuvasti uusimpien muutosten ja innovaatioiden huomioon ottamiseksi.