Voiko matriisin arvo olla nolla. Matriisin arvo ja perusmolli

Annetaan jokin matriisi:

Valitse tässä matriisissa mielivaltaiset rivit ja mielivaltaiset sarakkeet
. Sitten se determinantti kertaluokkaa, koostuu matriisielementeistä
valittujen rivien ja sarakkeiden risteyskohdassa olevaa kutsutaan sivumerkiksi -th order matriisi
.

Määritelmä 1.13. Matrix sijoitus
on tämän matriisin ei-nolla-mollin suurin kertaluku.

Matriisin arvon laskemiseksi tulee ottaa huomioon kaikki sen pienimmän kertaluvun alaikäiset ja, jos vähintään yksi niistä on nollasta poikkeava, siirrytään korkeimman asteen alaikäisten huomioimiseen. Tätä lähestymistapaa matriisin arvon määrittämiseen kutsutaan rajausmenetelmäksi (tai rajaavien alaikäisten menetelmäksi).

Tehtävä 1.4. Määritä matriisin arvo alaikäisten rajaamismenetelmällä
.

Harkitse ensimmäisen asteen reunustamista, esimerkiksi
. Sitten siirrymme toisen kertaluvun joidenkin rajausten tarkasteluun.

Esimerkiksi,
.

Lopuksi analysoidaan kolmannen järjestyksen rajaa.

Eli nollasta poikkeavan mollin korkein kertaluku on 2
.

Tehtävää 1.4 ratkaistaessa voidaan huomata, että toisen kertaluvun rajaavien alaikäisten sarjat ovat nollasta poikkeavat. Tässä suhteessa tapahtuu seuraava käsite.

Määritelmä 1.14. Matriisin perusmolli on mikä tahansa nollasta poikkeava molli, jonka järjestys on yhtä suuri kuin matriisin arvo.

Lause 1.2.(Perusmollilause). Perusrivit (perussarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Huomaa, että matriisin rivit (sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ainakin yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarisena yhdistelmänä.

Lause 1.3. Lineaarisesti riippumattomien matriisin rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin lineaarisesti riippumattomien matriisin sarakkeiden lukumäärä ja on yhtä suuri kuin matriisin järjestys.

Lause 1.4.(Tarvittava ja riittävä ehto, että determinantti on nolla). Determinantin vuoksi - järjestys on yhtä suuri kuin nolla, on välttämätöntä ja riittävää, että sen rivit (sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Matriisin arvon laskeminen sen määritelmän perusteella on liian hankalaa. Tämä tulee erityisen tärkeäksi korkean asteen matriiseille. Tässä suhteessa käytännössä matriisin sijoitus lasketaan Lauseiden 10.2 - 10.4 soveltamisen sekä matriisiekvivalenssin ja alkeismuunnosten käsitteiden perusteella.

Määritelmä 1.15. Kaksi matriisia
Ja kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden arvot ovat yhtä suuret, ts.
.

Jos matriisit
Ja ovat samanarvoisia, niin huomaa
 .

Lause 1.5. Matriisin järjestys ei muutu alkeismuunnoksista.

Kutsumme matriisin alkeismuunnoksia
jokin seuraavista matriisin toiminnoista:

Rivien korvaaminen sarakkeilla ja sarakkeiden korvaaminen vastaavilla riveillä;

Matriisirivien permutaatio;

Yliviivataan viiva, jonka kaikki elementit ovat nolla;

Minkä tahansa merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;

Lisäämällä yhden rivin elementteihin toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla
.

Lauseen 1.5 seuraus. Jos matriisi
saatu matriisista käyttämällä äärellistä määrää alkeismuunnoksia, sitten matriiseja
Ja ovat samanarvoisia.

Matriisin astetta laskettaessa se tulee pelkistää puolisuunnikkaan muotoon käyttämällä äärellistä määrää alkeismuunnoksia.

Määritelmä 1.16. Kutsumme puolisuunnikkaan sellaista matriisin esitysmuotoa, kun nollasta poikkeavan suurimman kertaluvun reunamollissa kaikki diagonaalien alapuolella olevat alkiot katoavat. Esimerkiksi:

Tässä
, matriisielementit
käännä nollaan. Tällöin tällaisen matriisin esitysmuoto on puolisuunnikkaan muotoinen.

Yleensä matriisit pelkistetään puolisuunnikkaan muotoiseksi Gaussin algoritmin avulla. Gaussin algoritmin ideana on, että kertomalla matriisin ensimmäisen rivin elementit vastaavilla tekijöillä ne saavuttavat sen, että kaikki ensimmäisen sarakkeen elementit sijaitsevat elementin alapuolella.
, muuttuisi nollaan. Sitten kertomalla toisen sarakkeen elementit vastaavilla kertoimilla saamme aikaan, että kaikki toisen sarakkeen elementit sijaitsevat elementin alapuolella
, muuttuisi nollaan. Jatka samalla tavalla.

Tehtävä 1.5. Määritä matriisin järjestys vähentämällä se puolisuunnikkaan muotoon.

Gaussin algoritmin käyttämisen helpottamiseksi voit vaihtaa ensimmäisen ja kolmannen rivin.








.

Ilmeisesti täällä
. Tuloksen saattamiseksi tyylikkäämpään muotoon voidaan kuitenkin jatkaa lisämuutoksia pylväiden yli.










.

Ja harkitse myös aiheen tärkeää käytännön sovellusta: yhteensopivuuden lineaariyhtälöjärjestelmän tutkimus.

Mikä on matriisin arvo?

Artikkelin humoristinen epigrafi sisältää paljon totuutta. Itse sana "sijoitus" liittyy yleensä jonkinlaiseen hierarkiaan, useimmiten uraportaisiin. Mitä enemmän tietoa, kokemusta, kykyjä, yhteyksiä jne. ihmisellä on. - mitä korkeampi hänen asemansa ja mahdollisuutensa. Nuorten termeissä arvo tarkoittaa yleistä "sitkeysastetta".

Ja matemaattiset veljemme elävät samojen periaatteiden mukaan. Lähdetään kävelylle muutama mielivaltainen nolla matriiseja:

Ajatellaanpa jos matriisissa vain nollia, mistä arvosta voimme sitten puhua? Kaikki tuntevat epävirallisen ilmaisun "koko nolla". Matriisiyhteiskunnassa kaikki on täsmälleen sama:

Nollamatriisiarvomikä tahansa koko on nolla.

Huomautus : nollamatriisi on merkitty kreikkalaisella kirjaimella "theta"

Ymmärtääkseni paremmin matriisin sijoituksen, hyödynnän jäljempänä materiaaleja analyyttinen geometria. Harkitse nollaa vektori kolmiulotteisesta tilastamme, joka ei aseta tiettyä suuntaa ja on hyödytön rakentamiseen affiinin perusteella. Algebrallisesta näkökulmasta tarkasteltuna tietyn vektorin koordinaatit kirjoitetaan sisään matriisi"yksi kolmelta" ja loogista (määritetyssä geometrisessa mielessä) oletetaan, että tämän matriisin sijoitus on nolla.

Katsotaanpa nyt muutamaa nollasta poikkeava sarakevektorit Ja rivivektorit:

Jokaisessa ilmentymässä on vähintään yksi ei-nolla-elementti, ja se on jotain!

Minkä tahansa nollasta poikkeavan rivivektorin (sarakevektorin) sijoitus on yhtä suuri kuin yksi

Ja yleisesti ottaen - jos matriisissa mielivaltaiset koot siinä on vähintään yksi nollasta poikkeava elementti, sitten sen arvo ei vähempää yksiköitä.

Algebralliset rivivektorit ja sarakevektorit ovat jokseenkin abstrakteja, joten siirrytään jälleen geometriseen assosiaatioon. nollasta poikkeava vektori asettaa tarkasti määritellyn suunnan avaruuteen ja soveltuu rakentamiseen perusta, joten matriisin järjestyksen oletetaan olevan yhtä suuri kuin yksi.

Teoreettinen viittaus : lineaarisessa algebrassa vektori on vektoriavaruuden elementti (määritelty 8 aksiooman kautta), joka voi erityisesti olla reaalilukujen järjestetty rivi (tai sarake), jossa on määritetty yhteen- ja kertolaskuoperaatiot reaaliluvulla heille. Lisätietoja vektoreista on artikkelissa Lineaariset muunnokset.

lineaarisesti riippuvainen(toistensa kautta ilmaistuna). Geometrialta katsottuna toinen rivi sisältää kollineaarisen vektorin koordinaatit , joka ei edistänyt asiaa rakentamisessa kolmiulotteisella pohjalla, joka on tässä mielessä tarpeeton. Siten tämän matriisin sijoitus on myös yhtä suuri kuin yksi.

Kirjoitetaan vektorien koordinaatit sarakkeisiin ( transponoi matriisi):

Mikä on muuttunut arvon suhteen? Ei mitään. Sarakkeet ovat suhteellisia, mikä tarkoittaa, että sijoitus on yhtä suuri. Muuten, huomaa, että kaikki kolme riviä ovat myös suhteellisia. Ne voidaan tunnistaa koordinaateista kolme tason kollineaariset vektorit, joista Vain yksi hyödyllinen "tasaisen" perustan rakentamiseen. Ja tämä on täysin sopusoinnussa geometrisen arvomme kanssa.

Yllä olevasta esimerkistä seuraa tärkeä lausunto:

Matriisin sijoitus riveittäin on yhtä suuri kuin matriisin sarakkeiden järjestys. Mainitsin tämän jo vähän tehokkuuden oppitunnilla determinantin laskentamenetelmät.

Huomautus : rivien lineaarinen riippuvuus johtaa sarakkeiden lineaariseen riippuvuuteen (ja päinvastoin). Mutta ajan säästämiseksi ja tottumuksesta puhun melkein aina kielten lineaarisesta riippuvuudesta.

Jatketaan rakkaan lemmikkimme kouluttamista. Lisää toisen kollineaarisen vektorin koordinaatit kolmannen rivin matriisiin :

Auttoiko hän meitä kolmiulotteisen perustan rakentamisessa? Ei tietenkään. Kaikki kolme vektoria kävelevät edestakaisin samaa polkua pitkin, ja matriisin arvo on yksi. Voit ottaa niin monta kollineaarista vektoria kuin haluat, esimerkiksi 100, laittaa niiden koordinaatit 100 x 3 -matriisiin, ja tällaisen pilvenpiirtäjän arvo pysyy silti yhtenä.

Tutustutaan matriisiin, jonka rivit ovat lineaarisesti riippumaton. Ei-kollineaaristen vektoreiden pari soveltuu kolmiulotteisen kannan muodostamiseen. Tämän matriisin sijoitus on kaksi.

Mikä on matriisin sijoitus? Viivat eivät näytä olevan verrannollisia... joten teoriassa kolme. Tämän matriisin sijoitus on kuitenkin myös kaksi. Lisäsin kaksi ensimmäistä riviä ja kirjoitin tuloksen alareunaan, ts. lineaarisesti ilmaistuna kolmas rivi kahden ensimmäisen kautta. Geometrisesti matriisin rivit vastaavat kolmen koordinaatteja koplanaariset vektorit, ja tämän kolmion joukossa on pari ei-kollineaarista toveria.

Kuten näet lineaarinen riippuvuus tarkastelussa matriisissa ei ole ilmeistä, ja tänään opimme vain tuomaan sen "puhtaan veteen".

Luulen, että monet ihmiset arvaavat, mikä matriisin arvo on!

Tarkastellaan matriisia, jonka rivit lineaarisesti riippumaton. Vektorit muodostavat affiinin perusteella, ja tämän matriisin arvo on kolme.

Kuten tiedätte, mikä tahansa kolmiulotteisen avaruuden neljäs, viides, kymmenes vektori ilmaistaan lineaarisesti kantavektoreina. Siksi, jos matriisiin lisätään mikä tahansa määrä rivejä, niin sen sijoitus tulee vielä kolme.

Samanlainen päättely voidaan tehdä suurempikokoisille matriiseille (selvästi jo ilman geometristä merkitystä).

Määritelmä : matriisin sijoitus on lineaarisesti riippumattomien rivien enimmäismäärä. Tai: matriisin sijoitus on lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden enimmäismäärä. Kyllä, ne sopivat aina.

Yllä olevasta seuraa tärkeä käytännön ohje: matriisin sijoitus ei ylitä sen minimimittausta. Esimerkiksi matriisissa neljä riviä ja viisi saraketta. Vähimmäismitta on neljä, joten tämän matriisin sijoitus ei varmasti ylitä neljää.

Merkintä: maailman teoriassa ja käytännössä ei ole yleisesti hyväksyttyä standardia matriisin arvon määrittämiselle, yleisin löytyy: - kuten sanotaan, englantilainen kirjoittaa yhtä, saksalainen toista. Siksi amerikkalaista ja venäläistä helvettiä koskevan tunnetun anekdootin perusteella nimetään matriisin arvo alkuperäisellä sanalla. Esimerkiksi: . Ja jos matriisi on "nimetön", jota on paljon, voit yksinkertaisesti kirjoittaa .

Kuinka löytää matriisin arvo alaikäisten avulla?

Jos isoäidillämme oli viides sarake matriisissa, niin olisi pitänyt laskea toinen 4. asteen molli ("sininen", "vadelma" + 5. sarake).

Johtopäätös: nollasta poikkeavan mollin maksimijärjestys on kolme, joten .

Ehkä kaikki eivät ymmärtäneet tätä lausetta täysin: 4. asteen alaikäinen on yhtä suuri kuin nolla, mutta kolmannen asteen alaikäisten joukossa oli nollasta poikkeava yksi - siksi maksimijärjestys nollasta poikkeava pieni ja yhtä suuri kuin kolme.

Herää kysymys, miksi ei heti lasketa determinanttia? No, ensinnäkin, useimmissa tehtävissä matriisi ei ole neliö, ja toiseksi, vaikka saat nollasta poikkeavan arvon, tehtävä hylätään suurella todennäköisyydellä, koska se tarkoittaa yleensä tavallista "alhaalta ylös" ratkaisu. Ja tarkasteltavassa esimerkissä 4. asteen nolladeterminantti antaa meille jopa mahdollisuuden väittää, että matriisin arvo on vain pienempi kuin neljä.

Täytyy myöntää, että keksin analysoidun ongelman itse selittääkseni paremmin alaikäisten rajaamistapaa. Käytännössä kaikki on yksinkertaisempaa:

Esimerkki 2

Etsi matriisin arvo alaikäisten rajausmenetelmällä

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Milloin algoritmi toimii nopeimmin? Palataanpa samaan neljä kertaa neljän matriisiin . Ilmeisesti ratkaisu on lyhin "hyvän" tapauksessa nurkan alaikäiset:

Ja jos , niin muuten - .

Ajattelu ei ole lainkaan hypoteettista - on monia esimerkkejä, joissa koko asia rajoittuu vain kulmikkaaseen alaikäiseen.

Joissakin tapauksissa toinen menetelmä on kuitenkin tehokkaampi ja parempi:

Kuinka löytää matriisin sijoitus Gaussin menetelmällä?

Tämä osio on tarkoitettu lukijoille, jotka ovat jo tuttuja Gaussin menetelmä ja pikkuhiljaa saivat sen käsiinsä.

Tekniseltä kannalta menetelmä ei ole uusi:

1) alkeismuunnoksilla saamme matriisin askelmuotoon;

2) matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä.

Se on aivan selvää Gaussin menetelmän käyttö ei muuta matriisin järjestystä, ja olemus tässä on erittäin yksinkertainen: algoritmin mukaan alkeismuunnosten aikana kaikki tarpeettomat suhteelliset (lineaarisesti riippuvat) viivat tunnistetaan ja poistetaan, minkä seurauksena jäljelle jää "kuiva jäännös" - maksimimäärä lineaarisesti riippumattomia linjoja.

Muunnetaan vanha tuttu matriisi kolmen kollineaarisen vektorin koordinaateilla:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin.

(2) Nollarivit poistetaan.

Yksi rivi on siis jäljellä. Sanomattakin on selvää, että tämä on paljon nopeampaa kuin laskea yhdeksän toisen asteen nolla-mollia ja tehdä vasta sen jälkeen johtopäätös.

Muistutan siitä sinänsä algebrallinen matriisi mitään ei voi muuttaa, ja muunnoksia tehdään vain arvon selvittämiseksi! Muuten, pysähdytään vielä kerran kysymykseen, miksi ei? Lähde Matrix kuljettaa tietoa, joka poikkeaa olennaisesti matriisi- ja rivitiedoista. Joissakin matemaattisissa malleissa (ilman liioittelua) yhden luvun ero voi olla elämän ja kuoleman kysymys. ... Tuli mieleen ala- ja yläluokkien koulun matematiikan opettajat, jotka armottomasti leikkasivat arvosanaa 1-2 pisteellä pienimmästäkin epätarkkuudesta tai algoritmista poikkeamisesta. Ja se oli kauhea pettymys, kun näennäisen taatun "viiden" sijaan siitä tuli "hyvä" tai vielä huonompi. Ymmärrys tuli paljon myöhemmin - kuinka muuten uskoa ihmiselle satelliitit, ydinkärjet ja voimalaitokset? Mutta älä huoli, en ole näillä aloilla töissä =)

Siirrytään mielekkäämpiin tehtäviin, joissa mm. tutustutaan tärkeisiin laskentatekniikoihin Gaussin menetelmä:

Esimerkki 3

Etsi matriisin sijoitus alkeismuunnoksilla

Ratkaisu: annettu neljä kertaa viisi matriisi, mikä tarkoittaa, että sen sijoitus on varmasti korkeintaan 4.

Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole 1 tai -1, joten tarvitaan lisävaiheita vähintään yhden yksikön saamiseksi. Koko sivuston olemassaolon ajan minulta on toistuvasti kysytty kysymys: "Onko mahdollista järjestää sarakkeita uudelleen perusmuunnosten aikana?". Täällä - ensimmäinen tai toinen sarake järjestettiin uudelleen, ja kaikki on hyvin! Useimmissa tehtävissä missä Gaussin menetelmä, sarakkeet voidaan todella järjestää uudelleen. MUTTA ÄLÄ. Ja pointti ei ole edes mahdollinen hämmennys muuttujien kanssa, pointti on siinä, että korkeamman matematiikan klassisessa opetuksen kurssissa tätä toimintaa ei perinteisesti oteta huomioon, joten tällaista röyhkeyttä tarkastellaan ERITTÄIN vinosti (tai jopa pakotetaan tekemään kaikki uudelleen) .

Toinen kohta koskee numeroita. Päätöstä tehtäessä on hyödyllistä noudattaa seuraavaa nyrkkisääntöä: alkeismuunnosten tulisi mahdollisuuksien mukaan vähentää matriisin lukuja. On todellakin paljon helpompaa työskennellä yksi-kaksi-kolmen kanssa kuin esimerkiksi 23:lla, 45:llä ja 97:llä. Ja ensimmäisen toiminnon tarkoituksena ei ole vain yksikön saaminen ensimmäisessä sarakkeessa, vaan myös numeroiden poistaminen 7 ja 11.

Ensin koko ratkaisu, sitten kommentit:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla. Ja kasaan: 1. rivi kerrottuna -1:llä lisättiin 4. riville.

(2) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia. Poistettiin 3. ja 4. rivi, toinen rivi siirrettiin ensimmäiselle paikalle.

(3) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -3:lla.

Porrastettuun matriisiin on kaksi riviä.

Vastaus:

Nyt on sinun vuorosi kiduttaa neljä kertaa neljän matriisia:

Esimerkki 4

Etsi matriisin sijoitus Gaussin menetelmällä

Muistutan sinua siitä Gaussin menetelmä ei tarkoita yksiselitteistä jäykkyyttä, ja ratkaisusi on todennäköisesti erilainen kuin minun ratkaisuni. Lyhyt esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Mitä menetelmää käyttää matriisin arvon selvittämiseen?

Käytännössä ei useinkaan kerrota ollenkaan, millä menetelmällä sijoitus tulisi löytää. Tällaisessa tilanteessa tulee analysoida ehto - joillekin matriiseille on järkevämpää suorittaa ratkaisu alaikäisten kautta, kun taas toisille on paljon kannattavampaa soveltaa alkeismuunnoksia:

Esimerkki 5

Etsi matriisin arvo

Ratkaisu: ensimmäinen tapa katoaa jotenkin heti =)

Hieman korkeammalle neuvoin olemaan koskematta matriisin sarakkeisiin, mutta kun siellä on nolla sarake tai suhteellinen / vastaava sarake, kannattaa silti amputoida:

(1) Viides sarake on nolla, poistamme sen matriisista. Näin ollen matriisin sijoitus on enintään neljä. Ensimmäinen rivi kerrotaan -1:llä. Tämä on toinen Gaussin menetelmän tunnusmerkki, joka tekee seuraavasta toiminnasta miellyttävän kävelyn:

(2) Kaikille riveille, alkaen toisesta, lisättiin ensimmäinen rivi.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, kolmas rivi jaettiin 2:lla, neljäs rivi jaettiin 3:lla. Toinen rivi kerrottuna -1:llä lisättiin viidenteen riviin.

(4) Kolmas rivi lisättiin viidennelle riville kerrottuna -2:lla.

(5) Kaksi viimeistä riviä ovat suhteellisia, viidennen poistetaan.

Tuloksena on 4 riviä.

Vastaus:

Tavallinen viisikerroksinen rakennus omatoimiseen tutkimiseen:

Esimerkki 6

Etsi matriisin arvo

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On huomattava, että ilmaus "matriisiarvo" ei ole niin yleinen käytännössä, ja useimmissa ongelmissa voit tehdä ilman sitä. Mutta on yksi tehtävä, jossa tarkasteltava konsepti on päähenkilö, ja artikkelin lopuksi tarkastelemme tätä käytännön sovellusta:

Kuinka tutkia lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuutta?

Usein ratkaisemisen lisäksi lineaariset yhtälöt ehdon mukaan on ensin tutkittava sen yhteensopivuus, eli todistettava, että ratkaisu on ylipäätään olemassa. Avainrooli tässä tarkastuksessa on Kronecker-Capellin lause, jonka muotoilen vaaditussa muodossa:

Jos sijoitus järjestelmämatriiseja yhtä suuri kuin sijoitus lisätty matriisijärjestelmä, niin järjestelmä on johdonmukainen, ja jos annettu luku on sama kuin tuntemattomien lukumäärä, niin ratkaisu on ainutlaatuinen.

Siten järjestelmän yhteensopivuuden tutkimiseksi on tarpeen tarkistaa tasa-arvo , Missä - järjestelmämatriisi(muista oppitunnin terminologia Gaussin menetelmä), A - lisätty matriisijärjestelmä(eli matriisi, jossa kertoimet muuttujissa + vapaiden termien sarake).

Matriisin arvon laskemiseksi voit käyttää alaikäisten rajausmenetelmää tai Gaussin menetelmää. Harkitse Gaussin menetelmää tai alkeismuunnosmenetelmää.

Matriisin sijoitus on sen alaikäisten maksimijärjestys, jonka joukossa on vähintään yksi, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla.

Rivijärjestelmän (sarakkeiden) järjestys on tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomien rivien (sarakkeiden) enimmäismäärä.

Algoritmi matriisin sijoituksen löytämiseksi alaikäisten rajausmenetelmällä:

Pieni M järjestys ei ole nolla.
Jos rajataan alaikäisiä alaikäisille M (k+1)-th järjestystä on mahdotonta muodostaa (eli matriisi sisältää k rivit tai k sarakkeet), niin matriisin sijoitus on k. Jos rajoittuvia alaikäisiä on olemassa ja kaikki ovat nollia, niin sijoitus on k. Jos rajoittuvien alaikäisten joukossa on vähintään yksi, joka ei ole nolla, yritämme säveltää uuden alaikäisen k+2 jne.

Analysoidaan algoritmia tarkemmin. Ensin tarkastellaan matriisin ensimmäisen kertaluvun ala-arvoja (matriisielementtejä). A. Jos ne ovat kaikki nollia, niin sijoitus A = 0. Jos on ensimmäisen asteen ala-arvoja (matriisielementtejä), jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla M1 ≠ 0, sitten sijoitus soi A ≥ 1.

M1. Jos tällaisia alaikäisiä on, he ovat toisen asteen alaikäisiä. Jos kaikki alaikäiset rajoittuvat alaikäiseen M1 ovat siis nolla sijoitus A = 1. Jos on vähintään yksi toisen asteen alaikäinen, joka ei ole nolla M2 ≠ 0, sitten sijoitus soi A ≥ 2.

Tarkista, onko alaikäiselle rajanaapuria M2. Jos tällaisia alaikäisiä on, he ovat kolmannen luokan alaikäisiä. Jos kaikki alaikäiset rajoittuvat alaikäiseen M2 ovat siis nolla sijoitus A = 2. Jos on vähintään yksi kolmannen asteen molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla M3 ≠ 0, sitten sijoitus soi A ≥ 3.

Tarkista, onko alaikäiselle rajanaapuria M3. Jos tällaisia alaikäisiä on, he ovat neljännen luokan alaikäisiä. Jos kaikki alaikäiset rajoittuvat alaikäiseen M3 ovat siis nolla sijoitus A = 3. Jos on vähintään yksi neljännen asteen molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla M4 ≠ 0, sitten sijoitus soi A ≥ 4.

Tarkistetaan, onko alaikäiselle rajalla oleva alaikäinen M4, ja niin edelleen. Algoritmi pysähtyy, jos jossain vaiheessa reunustavat ala-arvot ovat nolla tai reunustavaa mollia ei saada (matriisissa ei ole enää rivejä tai sarakkeita). Nollasta poikkeavan mollin järjestys, jonka onnistuimme säveltämään, tulee olemaan matriisin arvo.

Esimerkki

Tarkastellaan tätä menetelmää esimerkin avulla. Annettu 4x5 matriisi:

Tämän matriisin arvo ei voi olla suurempi kuin 4. Lisäksi tässä matriisissa on nollasta poikkeavia elementtejä (ensimmäisen asteen ala-arvo), mikä tarkoittaa, että matriisin sijoitus on ≥ 1.

Tehdään alaikäinen 2 Tilaus. Aloitetaan nurkasta.

Koska determinantti on yhtä suuri kuin nolla, muodostamme toisen molli.

Etsi tämän alaikäisen tekijä.

Määritä annettu alaikäinen on -2 . Matriisin arvo siis ≥ 2 .

Jos tämä alaikäinen on yhtä suuri kuin 0, muut alaikäiset lisätään. Loppuun asti kaikki alaikäiset olisi vedetty riveille 1 ja 2. Sitten riveillä 1 ja 3, riveillä 2 ja 3, riveillä 2 ja 4, kunnes ne löytävät molliarvon, joka ei ole yhtä suuri kuin 0, esimerkiksi:

Jos kaikki toisen asteen alamerkit ovat 0, niin matriisin sijoitus olisi 1. Ratkaisu voitaisiin pysäyttää.

3 Tilaus.

Alaikäinen ei osoittautunut nollaksi. tarkoittaa matriisin järjestystä ≥ 3 .

Jos tämä alaikäinen olisi nolla, muut alaikäiset täytyisi säveltää. Esimerkiksi:

Jos kaikki kolmannen asteen alamerkit ovat 0, niin matriisin sijoitus olisi 2. Ratkaisu voitaisiin pysäyttää.

Jatkamme matriisin tason etsimistä. Tehdään alaikäinen 4 Tilaus.

Etsitään tämän alaikäisen tekijä.

Alaikäisen determinantti osoittautui yhtäläiseksi 0 . Rakennetaan toinen alaikäinen.

Etsitään tämän alaikäisen tekijä.

Alaikäinen osoittautui tasa-arvoiseksi 0 .

Rakenna alaikäinen 5 tilaus ei toimi, tässä matriisissa ei ole riviä tätä varten. Viimeinen ei-nolla alaikäinen oli 3 järjestys, joten matriisin sijoitus on 3 .

Perus Seuraavia matriisimuunnoksia kutsutaan:

1) minkä tahansa kahden rivin (tai sarakkeen) permutaatio,

2) kerrotaan rivi (tai sarake) nollasta poikkeavalla luvulla,

3) lisäämällä yhteen riviin (tai sarakkeeseen) toinen rivi (tai sarake) kerrottuna jollakin numerolla.

Näitä kahta matriisia kutsutaan vastaava, jos toinen niistä saadaan toiselta alkeismuunnosten äärellisen joukon avulla.

Ekvivalenttimatriisit eivät yleisesti ottaen ole samanarvoisia, mutta niiden arvot ovat yhtä suuret. Jos matriisit A ja B ovat ekvivalentteja, tämä kirjoitetaan seuraavasti: A ~ B.

Kanoninen matriisi on matriisi, jossa on useita ykkösiä peräkkäin päädiagonaalin alussa (jonka lukumäärä voi olla nolla), ja kaikki muut elementit ovat yhtä suuret kuin nolla, esim.

Rivien ja sarakkeiden alkeismuunnosten avulla mikä tahansa matriisi voidaan pelkistää kanoniseksi. Kanonisen matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen päädiagonaalissa olevien ykkösten lukumäärä.

Esimerkki 2 Etsi matriisin arvo

ja tuo se kanoniseen muotoon.

Ratkaisu. Vähennä ensimmäinen toisesta rivistä ja järjestä nämä rivit uudelleen:

Nyt toiselta ja kolmannelta riviltä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 2:lla ja 5:llä:

;

vähennä ensimmäinen kolmannesta rivistä; saamme matriisin

B = ,

joka vastaa matriisia A, koska se saadaan siitä käyttämällä äärellistä alkeismuunnosten joukkoa. Ilmeisesti matriisin B järjestys on 2, ja siten r(A)=2. Matriisi B voidaan helposti pelkistää kanoniseksi. Vähentämällä ensimmäinen sarake, joka on kerrottu sopivilla luvuilla, kaikista myöhemmistä, nollaamme kaikki ensimmäisen rivin elementit ensimmäistä lukuun ottamatta, ja muiden rivien elementit eivät muutu. Sitten vähentämällä toinen sarake, kerrottuna sopivilla luvuilla, kaikista myöhemmistä, nollaamme kaikki toisen rivin elementit toista lukuun ottamatta ja saamme kanonisen matriisin:

Kronecker - Capelli-lause- lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuskriteeri:

Jotta lineaarinen järjestelmä olisi yhteensopiva, on välttämätöntä ja riittävää, että tämän järjestelmän laajennetun matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen päämatriisin arvo.

Todiste (järjestelmän yhteensopivuusehdot)

Välttämättömyys

Antaa järjestelmä liitos. Sitten on sellaisia lukuja, että . Siksi sarake on matriisin sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä. Siitä, että matriisin järjestys ei muutu, jos sen rivien (sarakkeiden) järjestelmä poistetaan tai sille osoitetaan rivi (sarake), joka on muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä, seuraa, että .

Riittävyys

Antaa . Otetaan matriisiin perusmolli. Siitä lähtien se on myös matriisin perusmolli. Sitten peruslauseen mukaan alaikäinen, matriisin viimeinen sarake on lineaarinen yhdistelmä perussarakkeista eli matriisin sarakkeista. Siksi järjestelmän vapaiden jäsenten sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeista.

Seuraukset

Päämuuttujien lukumäärä järjestelmät yhtä suuri kuin järjestelmän arvo.

liitos järjestelmä määritellään (sen ratkaisu on ainutlaatuinen), jos järjestelmän sijoitus on yhtä suuri kuin sen kaikkien muuttujien lukumäärä.

Homogeeninen yhtälöjärjestelmä

Tarjous15 . 2 Homogeeninen yhtälöjärjestelmä

on aina yhteistyökykyinen.

Todiste. Tässä järjestelmässä numerosarja , , , on ratkaisu.

Tässä osiossa käytämme järjestelmän matriisimerkintää: .

Tarjous15 . 3 Homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisujen summa on ratkaisu tähän järjestelmään. Ratkaisu kerrottuna luvulla on myös ratkaisu.

Todiste. Anna ja toimi järjestelmän ratkaisuina. Sitten ja. Antaa . Sitten

Koska , sitten on ratkaisu.

Antaa olla mielivaltainen luku, . Sitten

Koska , sitten on ratkaisu.

Seuraus15 . 1 Jos homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu, niin sillä on äärettömän monta eri ratkaisua.

Tosiaankin, kun nollasta poikkeava ratkaisu kerrotaan eri luvuilla, saadaan erilaisia ratkaisuja.

Määritelmä15 . 5 Sanomme, että ratkaisut järjestelmät muodostavat perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä jos sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippumattoman järjestelmän ja mikä tahansa ratkaisu järjestelmään on näiden sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä.

>>Matriisiarvo

Matrix sijoitus

Matriisin asteen määrittäminen

Tarkastellaan suorakaiteen muotoista matriisia. Jos tässä matriisissa valitsemme mielivaltaisesti k linjat ja k sarakkeita, sitten valittujen rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa olevat elementit muodostavat k:nnen kertaluvun neliömatriisin. Tämän matriisin determinanttia kutsutaan k-asteen alaikäinen matriisi A. On selvää, että matriisissa A on mitä tahansa kertalukua 1:stä pienimpään luvuista m ja n. Matriisin A kaikista nollasta poikkeavien mollien joukossa on vähintään yksi molli, jonka järjestys on suurin. Suurin tietyn matriisin alaikäisten nollasta poikkeavista kertaluvuista kutsutaan sijoitus matriiseja. Jos matriisin A järjestys on r, niin tämä tarkoittaa, että matriisilla A on nollasta poikkeava alakerta r, mutta jokainen alaikäinen järjestys suurempi kuin r, on nolla. Matriisin A järjestystä merkitään r(A). On selvää, että suhde

Matriisin arvon laskeminen alaikäisten avulla

Matriisin arvo löytyy joko alaikäisten rajauksesta tai alkeismuunnosmenetelmällä. Laskettaessa matriisin arvoa ensimmäisellä tavalla, on siirryttävä alaikäisistä alaikäisistä korkeamman asteen alaikäisiin. Jos matriisin A k:nnen kertaluvun nollasta poikkeava molli-D on jo löydetty, tulee laskea vain (k + 1):nnen kertaluvun alaikäiset, jotka reunustavat molli-D:tä, ts. sisältää sen alaikäisenä. Jos ne ovat kaikki nollia, niin matriisin sijoitus on k.

Esimerkki 1Etsi matriisin arvo alaikäisten rajausmenetelmällä

Ratkaisu.Aloitamme 1. luokan alaikäisistä, ts. matriisin A alkioista. Valitaan esim. ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisellä sarakkeella oleva sivu (elementti) М 1 = 1. Reunustamalla toisen rivin ja kolmannen sarakkeen avulla saadaan molli M 2 = , joka eroaa nollasta. Siirrymme nyt 3. luokan alaikäisiin, jotka rajoittuvat M 2 :een. Niitä on vain kaksi (voit lisätä toisen tai neljännen sarakkeen). Laskemme ne: = 0. Siten kaikki naapurimaiden kolmannen asteen alaikäiset osoittautuivat nollaksi. Matriisin A arvo on kaksi.

Matriisin asteen laskeminen alkeismuunnoksilla

PerusSeuraavia matriisimuunnoksia kutsutaan: