Matriisin asteen löytäminen alkeismuunnosten menetelmällä. Matriisin asteen laskeminen alkeismuunnoksilla

Määritelmä. Matrix sijoitus on vektoreina katsottavien lineaarisesti riippumattomien rivien enimmäismäärä.

Lause 1 matriisin arvosta. Matrix sijoitus on matriisin nollasta poikkeavan minorin maksimijärjestys.

Olemme jo käsitelleet alaikäisen käsitettä determinanttien oppitunnilla, ja nyt yleistämme sen. Otetaan matriisista joitain rivejä ja sarakkeita, ja tämän "jonkin" tulee olla pienempi kuin matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä, ja riveille ja sarakkeille tämän "jonkin" tulee olla sama luku. Sitten risteyksessä, kuinka monta riviä ja kuinka monta saraketta on matriisi, joka on pienempi kuin alkuperäinen matriisi. Tämän matriisin determinantti on k:nnen kertaluvun pieni, jos mainittu "jotain" (rivien ja sarakkeiden lukumäärä) on merkitty k:llä.

Määritelmä. Alaikäinen ( r+1)-aste, jonka sisällä on valittu alaikäinen r-th järjestys, kutsutaan rajaukseksi annetulle alaikäiselle.

Kaksi yleisimmin käytettyä menetelmää matriisin arvon löytäminen. se tapa syrjäyttää alaikäisiä ja alkeismuunnosten menetelmä(Gaussin menetelmällä).

Alaikäisten rajaamisessa käytetään seuraavaa lausetta.

Lause 2 matriisin arvosta. Jos matriisin elementeistä on mahdollista muodostaa molli r kertaluku, joka ei ole nolla, niin matriisin sijoitus on yhtä suuri r.

Alkuainemuunnosmenetelmällä käytetään seuraavaa ominaisuutta:

Jos alkeismuunnoksilla saadaan alkuperäistä vastaava puolisuunnikkaan matriisi, niin tämän matriisin arvo on siinä olevien rivien lukumäärä lukuun ottamatta rivejä, jotka koostuvat kokonaan nollista.

Matriisin arvon löytäminen alaikäisten rajausmenetelmällä

Raja-alaikäinen on annettuun nähden korkeamman asteen alaikäinen, jos tämä korkeamman asteen alaikäinen sisältää kyseisen alaikäisen.

Esimerkiksi matriisin perusteella

Otetaan alaikäinen

reunus on sellaisia alaikäisiä:

Algoritmi matriisin asteen löytämiseksi Seuraava.

1. Löydämme toisen asteen alaikäiset, jotka eivät ole nolla. Jos kaikki toisen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, matriisin arvo on yhtä ( r =1 ).

2. Jos on olemassa vähintään yksi toisen asteen molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, niin muodostamme reunustavat kolmannen asteen alaikäiset. Jos kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat nollia, niin matriisin sijoitus on kaksi ( r =2 ).

3. Jos vähintään yksi kolmannen asteen reunustavista alaikäisistä ei ole yhtä suuri kuin nolla, muodostamme sitä reunustavat alaikäiset. Jos kaikki reunustavat neljännen asteen alaikäiset ovat nollia, niin matriisin arvo on kolme ( r =2 ).

4. Jatka niin kauan kuin matriisin koko sallii.

Esimerkki 1 Etsi matriisin arvo

Ratkaisu. Toisen asteen alaikäinen .

Kehystämme sen. Mukana on neljä rajaa olevaa alaikäistä:

Siten kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten tämän matriisin arvo on kaksi ( r =2 ).

Esimerkki 2 Etsi matriisin arvo

Ratkaisu. Tämän matriisin arvo on 1, koska kaikki tämän matriisin toisen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla (tässä, kuten kahdessa seuraavassa esimerkissä rajoittuvien alaikäisten tapauksessa, rakkaat opiskelijat pyydetään varmistamaan itse, ehkä käyttämällä determinanttien laskentasääntöjä), ja ensimmäisen asteen alaikäisten joukossa eli matriisin elementtien joukossa ei ole nollaa.

Esimerkki 3 Etsi matriisin arvo

Ratkaisu. Tämän matriisin toisen asteen molli on ja kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia. Siksi tämän matriisin sijoitus on kaksi.

Esimerkki 4 Etsi matriisin arvo

Ratkaisu. Tämän matriisin sijoitus on 3, koska tämän matriisin ainoa kolmannen asteen molli on 3.

Matriisin arvon löytäminen alkeismuunnosmenetelmällä (Gaussin menetelmällä)

Jo esimerkissä 1 voidaan nähdä, että ongelma matriisin arvon määrittämisessä alaikäisten rajausmenetelmällä vaatii suuren määrän determinanttien laskemista. On kuitenkin olemassa tapa vähentää laskennan määrä minimiin. Tämä menetelmä perustuu alkuainematriisimuunnosten käyttöön ja sitä kutsutaan myös Gaussin menetelmäksi.

Matriisin alkeismuunnokset tarkoittavat seuraavia operaatioita:

1) matriisin minkä tahansa rivin tai sarakkeen kertominen muulla kuin nollalla;

2) lisätään minkä tahansa matriisin rivin tai minkä tahansa sarakkeen elementteihin toisen rivin tai sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla;

3) matriisin kahden rivin tai sarakkeen vaihtaminen;

4) "nolla"-rivien poistaminen, eli ne, joiden kaikki elementit ovat nolla;

5) kaikkien suhteellisten rivien poistaminen yhtä lukuun ottamatta.

Lause. Alkuainemuunnos ei muuta matriisin järjestystä. Toisin sanoen, jos käytämme alkeismuunnoksia matriisista A mene matriisiin B, sitten.

Annetaan jokin matriisi:

Valitse tässä matriisissa mielivaltaiset rivit ja mielivaltaiset sarakkeet
. Sitten se determinantti kertaluokkaa, koostuu matriisielementeistä
valittujen rivien ja sarakkeiden risteyskohdassa olevaa kutsutaan sivumerkiksi -th order matriisi
.

Määritelmä 1.13. Matrix sijoitus
on tämän matriisin ei-nolla-mollin suurin kertaluku.

Matriisin arvon laskemiseksi tulee ottaa huomioon kaikki sen pienimmän kertaluvun alaikäiset ja, jos vähintään yksi niistä on nollasta poikkeava, siirrytään korkeimman asteen alaikäisten huomioimiseen. Tätä lähestymistapaa matriisin arvon määrittämiseen kutsutaan rajausmenetelmäksi (tai rajaavien alaikäisten menetelmäksi).

Tehtävä 1.4. Määritä matriisin arvo alaikäisten rajaamismenetelmällä
.

Harkitse ensimmäisen asteen reunustamista, esimerkiksi
. Sitten siirrymme toisen kertaluvun joidenkin rajausten tarkasteluun.

Esimerkiksi,
.

Lopuksi analysoidaan kolmannen järjestyksen rajaa.

Eli nollasta poikkeavan mollin korkein kertaluku on 2
.

Tehtävää 1.4 ratkaistaessa voidaan huomata, että toisen kertaluvun rajaavien alaikäisten sarjat ovat nollasta poikkeavat. Tässä suhteessa tapahtuu seuraava käsite.

Määritelmä 1.14. Matriisin perusmolli on mikä tahansa nollasta poikkeava molli, jonka järjestys on yhtä suuri kuin matriisin arvo.

Lause 1.2.(Perusmollilause). Perusrivit (perussarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Huomaa, että matriisin rivit (sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ainakin yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarisena yhdistelmänä.

Lause 1.3. Lineaarisesti riippumattomien matriisin rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin lineaarisesti riippumattomien matriisin sarakkeiden lukumäärä ja on yhtä suuri kuin matriisin järjestys.

Lause 1.4.(Tarvittava ja riittävä ehto, että determinantti on nolla). Determinantin vuoksi - järjestys on yhtä suuri kuin nolla, on välttämätöntä ja riittävää, että sen rivit (sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Matriisin arvon laskeminen sen määritelmän perusteella on liian hankalaa. Tämä tulee erityisen tärkeäksi korkean asteen matriiseille. Tässä suhteessa käytännössä matriisin sijoitus lasketaan Lauseiden 10.2 - 10.4 soveltamisen sekä matriisiekvivalenssin ja alkeismuunnosten käsitteiden perusteella.

Määritelmä 1.15. Kaksi matriisia
ja kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden arvot ovat yhtä suuret, ts.
.

Jos matriisit
ja ovat vastaavat, merkitse sitten
 .

Lause 1.5. Matriisin järjestys ei muutu alkeismuunnoksista.

Kutsumme matriisin alkeismuunnoksia
jokin seuraavista matriisin toiminnoista:

Rivien korvaaminen sarakkeilla ja sarakkeiden korvaaminen vastaavilla riveillä;

Matriisirivien permutaatio;

Yliviivataan viiva, jonka kaikki elementit ovat nolla;

Minkä tahansa merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;

Lisäämällä yhden rivin elementteihin toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla
.

Lauseen 1.5 seuraus. Jos matriisi
saatu matriisista käyttämällä äärellistä määrää alkeismuunnoksia, sitten matriiseja
ja ovat samanarvoisia.

Matriisin astetta laskettaessa se tulee pelkistää puolisuunnikkaan muotoon käyttämällä äärellistä määrää alkeismuunnoksia.

Määritelmä 1.16. Kutsumme puolisuunnikkaan sellaista matriisin esitysmuotoa, kun nollasta poikkeavan suurimman kertaluvun reunamollissa kaikki diagonaalien alapuolella olevat alkiot katoavat. Esimerkiksi:

Tässä
, matriisielementit
käännä nollaan. Tällöin tällaisen matriisin esitysmuoto on puolisuunnikkaan muotoinen.

Yleensä matriisit pelkistetään puolisuunnikkaan muotoiseksi Gaussin algoritmin avulla. Gaussin algoritmin ideana on, että kertomalla matriisin ensimmäisen rivin elementit vastaavilla tekijöillä ne saavuttavat sen, että kaikki ensimmäisen sarakkeen elementit sijaitsevat elementin alapuolella.
, muuttuisi nollaan. Sitten kertomalla toisen sarakkeen elementit vastaavilla kertoimilla saamme aikaan, että kaikki toisen sarakkeen elementit sijaitsevat elementin alapuolella
, muuttuisi nollaan. Jatka samalla tavalla.

Tehtävä 1.5. Määritä matriisin järjestys pelkistämällä se puolisuunnikkaan muotoon.

Gaussin algoritmin käyttämisen helpottamiseksi voit vaihtaa ensimmäisen ja kolmannen rivin.








.

Ilmeisesti täällä
. Tuloksen saattamiseksi tyylikkäämpään muotoon voidaan kuitenkin jatkaa lisämuutoksia pylväiden yli.










.

>>Matriisiarvo

Matrix sijoitus

Matriisin asteen määrittäminen

Tarkastellaan suorakaiteen muotoista matriisia. Jos tässä matriisissa valitsemme mielivaltaisesti k linjat ja k sarakkeita, sitten valittujen rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa olevat elementit muodostavat k:nnen kertaluvun neliömatriisin. Tämän matriisin determinanttia kutsutaan k-asteen alaikäinen matriisi A. On selvää, että matriisissa A on mitä tahansa kertalukua 1:stä pienimpään luvuista m ja n. Matriisin A kaikista nollasta poikkeavien mollien joukossa on vähintään yksi molli, jonka järjestys on suurin. Suurin tietyn matriisin alaikäisten nollasta poikkeavista kertaluvuista kutsutaan sijoitus matriiseja. Jos matriisin A järjestys on r, niin tämä tarkoittaa, että matriisilla A on nollasta poikkeava alakerta r, mutta jokainen alaikäinen järjestys suurempi kuin r, on nolla. Matriisin A järjestystä merkitään r(A). On selvää, että suhde

Matriisin arvon laskeminen alaikäisten avulla

Matriisin arvo löytyy joko alaikäisten rajauksesta tai alkeismuunnosmenetelmällä. Laskettaessa matriisin arvoa ensimmäisellä tavalla, on siirryttävä alaikäisistä alaikäisistä korkeamman asteen alaikäisiin. Jos matriisin A k:nnen kertaluvun nollasta poikkeava molli-D on jo löydetty, tulee laskea vain (k + 1):nnen kertaluvun alaikäiset, jotka reunustavat molli-D:tä, ts. sisältää sen alaikäisenä. Jos ne ovat kaikki nollia, niin matriisin sijoitus on k.

Esimerkki 1Etsi matriisin arvo alaikäisten rajausmenetelmällä

Ratkaisu.Aloitamme 1. luokan alaikäisistä, ts. matriisin A alkioista. Valitaan esim. ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisellä sarakkeella oleva sivu (elementti) М 1 = 1. Reunustamalla toisen rivin ja kolmannen sarakkeen avulla saadaan molli M 2 = , joka eroaa nollasta. Siirrymme nyt 3. luokan alaikäisiin, jotka rajoittuvat M 2 :een. Niitä on vain kaksi (voit lisätä toisen tai neljännen sarakkeen). Laskemme ne: = 0. Siten kaikki naapurimaiden kolmannen asteen alaikäiset osoittautuivat nollaksi. Matriisin A arvo on kaksi.

Matriisin asteen laskeminen alkeismuunnoksilla

PerusSeuraavia matriisimuunnoksia kutsutaan:

1) minkä tahansa kahden rivin (tai sarakkeen) permutaatio,

2) kerrotaan rivi (tai sarake) nollasta poikkeavalla luvulla,

3) lisäämällä yhteen riviin (tai sarakkeeseen) toinen rivi (tai sarake) kerrottuna jollakin numerolla.

Näitä kahta matriisia kutsutaan vastaava, jos toinen niistä saadaan toiselta alkeismuunnosten äärellisen joukon avulla.

Ekvivalenttimatriisit eivät yleisesti ottaen ole samanarvoisia, mutta niiden arvot ovat yhtä suuret. Jos matriisit A ja B ovat ekvivalentteja, tämä kirjoitetaan seuraavasti: A~b.

KanoninenMatriisi on matriisi, jossa on useita ykkösiä peräkkäin päädiagonaalin alussa (jonka lukumäärä voi olla nolla), ja kaikki muut elementit ovat yhtä suuret kuin nolla, esim.

Rivien ja sarakkeiden alkeismuunnosten avulla mikä tahansa matriisi voidaan pelkistää kanoniseksi. Kanonisen matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen päädiagonaalissa olevien ykkösten lukumäärä.

Esimerkki 2Etsi matriisin arvo

ja tuo se kanoniseen muotoon.

Ratkaisu. Vähennä ensimmäinen rivi toisesta rivistä ja järjestä nämä rivit uudelleen:

Nyt toiselta ja kolmannelta riviltä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 2:lla ja 5:llä:

;

vähennä ensimmäinen kolmannesta rivistä; saamme matriisin

B = ,

joka vastaa matriisia A, koska se saadaan siitä käyttämällä äärellistä alkeismuunnosten joukkoa. Ilmeisesti matriisin B järjestys on 2, ja siten r(A)=2. Matriisi B voidaan helposti pelkistää kanoniseksi. Vähentämällä ensimmäinen sarake, joka on kerrottu sopivilla luvuilla, kaikista myöhemmistä, nollaamme kaikki ensimmäisen rivin elementit ensimmäistä lukuun ottamatta, ja muiden rivien elementit eivät muutu. Sitten vähentämällä toinen sarake, kerrottuna sopivilla luvuilla, kaikista myöhemmistä, nollaamme kaikki toisen rivin elementit toista lukuun ottamatta ja saamme kanonisen matriisin:

Perus Seuraavia matriisimuunnoksia kutsutaan:

1) minkä tahansa kahden rivin (tai sarakkeen) permutaatio,

2) kerrotaan rivi (tai sarake) nollasta poikkeavalla luvulla,

3) lisäämällä yhteen riviin (tai sarakkeeseen) toinen rivi (tai sarake) kerrottuna jollakin numerolla.

Näitä kahta matriisia kutsutaan vastaava, jos toinen niistä saadaan toiselta alkeismuunnosten äärellisen joukon avulla.

Ekvivalenttimatriisit eivät yleisesti ottaen ole samanarvoisia, mutta niiden arvot ovat yhtä suuret. Jos matriisit A ja B ovat ekvivalentteja, tämä kirjoitetaan seuraavasti: A ~ B.

Kanoninen Matriisi on matriisi, jossa on useita ykkösiä peräkkäin päädiagonaalin alussa (jonka lukumäärä voi olla nolla), ja kaikki muut elementit ovat yhtä suuret kuin nolla, esim.

Esimerkki 2 Etsi matriisin arvo

ja tuo se kanoniseen muotoon.

Ratkaisu. Vähennä ensimmäinen rivi toisesta rivistä ja järjestä nämä rivit uudelleen:

Nyt toiselta ja kolmannelta riviltä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 2:lla ja 5:llä:

;

vähennä ensimmäinen kolmannesta rivistä; saamme matriisin

B = ,

Kronecker - Capelli-lause- lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuskriteeri:

Jotta lineaarinen järjestelmä olisi yhteensopiva, on välttämätöntä ja riittävää, että tämän järjestelmän laajennetun matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen päämatriisin arvo.

Todiste (järjestelmän yhteensopivuusehdot)

Tarve

Päästää järjestelmä liitos. Sitten on sellaisia lukuja, että . Siksi sarake on matriisin sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä. Siitä, että matriisin järjestys ei muutu, jos sen rivien (sarakkeiden) järjestelmä poistetaan tai sille osoitetaan rivi (sarake), joka on muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä, seuraa, että .

Riittävyys

Päästää . Otetaan matriisiin perusmolli. Siitä lähtien se on myös matriisin perusmolli. Sitten peruslauseen mukaan alaikäinen, matriisin viimeinen sarake on lineaarinen yhdistelmä perussarakkeista eli matriisin sarakkeista. Siksi järjestelmän vapaiden jäsenten sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeista.

Seuraukset

Päämuuttujien lukumäärä järjestelmät yhtä suuri kuin järjestelmän arvo.

liitos järjestelmä määritellään (sen ratkaisu on ainutlaatuinen), jos järjestelmän sijoitus on yhtä suuri kuin sen kaikkien muuttujien lukumäärä.

Homogeeninen yhtälöjärjestelmä

Tuomita15 . 2 Homogeeninen yhtälöjärjestelmä

on aina yhteistyökykyinen.

Todiste. Tässä järjestelmässä numerosarja , , , on ratkaisu.

Tässä osiossa käytämme järjestelmän matriisimerkintää: .

Tuomita15 . 3 Homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisujen summa on ratkaisu tähän järjestelmään. Ratkaisu kerrottuna luvulla on myös ratkaisu.

Todiste. Anna ja toimi järjestelmän ratkaisuina. Sitten ja. Päästää . Sitten

Koska , sitten on ratkaisu.

Antaa olla mielivaltainen luku, . Sitten

Koska , sitten on ratkaisu.

Seuraus15 . 1 Jos homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu, niin sillä on äärettömän monta eri ratkaisua.

Tosiaankin, kun nollasta poikkeava ratkaisu kerrotaan eri luvuilla, saadaan erilaisia ratkaisuja.

Määritelmä15 . 5 Sanomme, että ratkaisut järjestelmät muodostavat perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä jos sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippumattoman järjestelmän ja mikä tahansa ratkaisu järjestelmään on näiden sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä.