Etsi suorien viivojen välinen kulmakaava. Kahden suoran välinen kulma

A. Olkoon kaksi suoraa, jotka, kuten luvussa 1, muodostavat erilaisia positiivisia ja negatiivisia kulmia, jotka voivat olla joko teräviä tai tylpäitä. Kun tiedämme yhden näistä kulmista, löydämme helposti minkä tahansa muun.

Muuten, kaikilla näillä kulmilla tangentin numeerinen arvo on sama, ero voi olla vain etumerkissä

Linjojen yhtälöt. Numerot ovat ensimmäisen ja toisen suoran suuntavektorien projektioita, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin yksi suorien muodostamista kulmista. Siksi ongelmana on vektorien välisen kulman määrittäminen

Yksinkertaisuuden vuoksi voimme sopia, että kahden suoran välinen kulma on terävä positiivinen kulma (kuten esimerkiksi kuvassa 53).

Silloin tämän kulman tangentti on aina positiivinen. Jos siis kaavan (1) oikealla puolella on miinusmerkki, meidän on hylättävä se eli tallennettava vain itseisarvo.

Esimerkki. Määritä suorien viivojen välinen kulma

Kaavan (1) mukaan meillä on

Kanssa. Jos on osoitettu, mikä kulman sivuista on sen alku ja mikä sen loppu, niin aina kulman suunta vastapäivään laskemalla voidaan kaavasta (1) poimia jotain lisää. Kuten kuvasta on helppo nähdä. 53, kaavan (1) oikealle puolelle saatu merkki osoittaa, millaisen kulman - terävän tai tylpän - toinen suora muodostaa ensimmäisen kanssa.

(Itse asiassa, kuvasta 53 näemme, että ensimmäisen ja toisen suuntavektorin välinen kulma on joko yhtä suuri kuin haluttu suorien välinen kulma tai eroaa siitä ±180°.)

d. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niin niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset.Soveltamalla kahden vektorin yhdensuuntaisuuden ehtoa saadaan!

Tämä on välttämätön ja riittävä ehto kahden suoran yhdensuuntaisuudelle.

Esimerkki. Suoraan

ovat rinnakkaisia, koska

e. Jos suorat ovat kohtisuorassa, myös niiden suuntavektorit ovat kohtisuorassa. Soveltamalla kahden vektorin kohtisuoraisuuden ehtoa saamme kahden suoran kohtisuoran ehdon, nimittäin

Esimerkki. Suoraan

ovat kohtisuorassa, koska

Ratkaisemme rinnakkaisuuden ja kohtisuoran ehtojen yhteydessä seuraavat kaksi tehtävää.

f. Piirrä viiva annetun suoran kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi

Ratkaisu suoritetaan näin. Koska haluttu suora on yhdensuuntainen tämän kanssa, niin sen suuntavektoriksi voidaan ottaa sama kuin annetulla suoralla, eli vektori projektioilla A ja B. Ja sitten halutun suoran yhtälö kirjoitetaan lomake (1 §)

Esimerkki. Yhdensuuntaisen pisteen (1; 3) kautta kulkevan suoran yhtälö

tulee seuraava!

g. Piirrä viiva pisteen läpi, joka on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan

Tässä ei enää sovi ottaa vektoria projektioilla A ja ohjaavaksi vektoriksi, vaan on otettava vektori kohtisuoraan sitä vastaan. Tämän vektorin projektiot on siksi valittava molempien vektorien kohtisuoraisuuden ehdon mukaan, eli ehdon mukaan.

Tämä ehto voidaan täyttää lukemattomilla tavoilla, koska tässä on yksi yhtälö kahdella tuntemattomalla.Mutta helpoin tapa on ottaa tai Sitten halutun suoran yhtälö kirjoitetaan muotoon

Esimerkki. Pisteen (-7; 2) kautta kulkevan suoran yhtälö kohtisuorassa suorassa

tulee seuraava (toisen kaavan mukaan)!

h. Siinä tapauksessa, että rivit on annettu muodon yhtälöillä

Ohjeet

Huomautus

Trigonometrisen funktion tangentin jakso on 180 astetta, mikä tarkoittaa, että suorien viivojen kaltevuuskulmat eivät voi absoluuttisina arvoina ylittää tätä arvoa.

Hyödyllinen neuvo

Jos kulmakertoimet ovat keskenään yhtä suuret, tällaisten viivojen välinen kulma on 0, koska tällaiset suorat joko ovat yhteneväisiä tai ovat yhdensuuntaisia.

Leikkaavien viivojen välisen kulman arvon määrittämiseksi on tarpeen siirtää molemmat suorat (tai toinen niistä) uuteen paikkaan käyttämällä rinnakkaiskäännösmenetelmää, kunnes ne leikkaavat. Tämän jälkeen sinun pitäisi löytää kulma tuloksena olevien leikkaavien viivojen välillä.

Tarvitset

Viivain, suorakulmainen kolmio, lyijykynä, astemittari.

Ohjeet

Olkoon siis vektori V = (a, b, c) ja taso A x + B y + C z = 0, missä A, B ja C ovat normaalin N:n koordinaatit. Sitten kulman kosini α vektorien V ja N välillä on yhtä suuri kuin: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Laskeaksesi kulman asteina tai radiaaneina, sinun on laskettava käänteinen kosinifunktio tuloksena olevasta lausekkeesta, ts. arkosiini:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Esimerkki: löytää kulma välillä vektori(5, -3, 8) ja kone, annetaan yleisellä yhtälöllä 2 x – 5 y + 3 z = 0. Ratkaisu: kirjoita muistiin tason N = (2, -5, 3) normaalivektorin koordinaatit. Korvaa kaikki tunnetut arvot annettuun kaavaan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video aiheesta

Suora, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, on ympyrän tangentti. Toinen tangentin ominaisuus on, että se on aina kohtisuorassa kosketuspisteeseen vedettyä sädettä vastaan, eli tangentti ja säde muodostavat suoran viivan kulma. Jos yhdestä pisteestä A piirretään kaksi ympyrän AB ja AC tangenttia, ne ovat aina yhtä suuret keskenään. Tangenttien välisen kulman määrittäminen ( kulma ABC) on tehty Pythagoraan lauseella.

Ohjeet

Kulman määrittämiseksi sinun on tiedettävä ympyrän OB ja OS säde sekä tangentin aloituspisteen etäisyys ympyrän keskustasta - O. Joten kulmat ABO ja ACO ovat yhtä suuret, säde OB on, esimerkiksi 10 cm, ja etäisyys ympyrän AO keskipisteeseen on 15 cm. Määritä tangentin pituus Pythagoraan lauseen mukaisella kaavalla: AB = AO2 neliöjuuri – OB2 tai 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Puhun lyhyesti. Kahden suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen kulma. Siten, jos onnistut löytämään suuntavektorien a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja b = (x 2 ; y 2 ; z 2) koordinaatit, voit löytää kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavan mukaan:

Katsotaanpa, kuinka tämä kaava toimii tiettyjen esimerkkien avulla:

Tehtävä. Kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on merkitty pisteet E ja F - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Koska kuution reunaa ei ole määritelty, asetetaan AB = 1. Otetaan käyttöön vakiokoordinaatisto: origo on pisteessä A, x-, y-, z-akselit on suunnattu pitkin AB, AD ja AA 1, vastaavasti. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään nyt suoritemme suuntavektorien koordinaatit.

Etsitään vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitsemme pisteet A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Koska piste E on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE origo on sama kuin koordinaattien origo, joten AE = (0,5; 0; 1).

Katsotaan nyt BF-vektoria. Samalla tavalla analysoimme pisteet B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), koska F on segmentin B 1 C 1 keskikohta. Meillä on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Suuntavektorit ovat siis valmiit. Suorien viivojen välisen kulman kosini on suuntavektorien välisen kulman kosini, joten meillä on:

Tehtävä. Säännölliseen kolmioprismaan ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet D ja E - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi suorien AD ja BE välinen kulma.

Otetaan käyttöön vakiokoordinaatisto: origo on pisteessä A, x-akseli on suunnattu AB:tä pitkin, z - AA 1:tä pitkin. Suunnataan y-akseli niin, että OXY-taso osuu ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään tarvittavien suorien suuntavektorien koordinaatit.

Etsitään ensin vektorin AD koordinaatit. Tarkastellaan pisteitä: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), koska D - segmentin A 1 B 1 keskikohta. Koska vektorin AD alku osuu yhteen koordinaattien origon kanssa, saadaan AD = (0.5; 0; 1).

Etsitään nyt vektorin BE koordinaatit. Piste B = (1; 0; 0) on helppo laskea. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - se on hieman monimutkaisempi. Meillä on:

Vielä on löydettävä kulman kosini:

Tehtävä. Säännöisessä kuusikulmioprismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet K ja L - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. . Etsi viivojen AK ja BL välinen kulma.

Otetaan käyttöön prisman standardikoordinaattijärjestelmä: sijoitamme koordinaattien origon alemman kannan keskelle, x-akseli on suunnattu FC:tä pitkin, y-akseli suunnataan janojen AB ja DE keskipisteiden läpi ja z akseli on suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB = 1. Kirjataan muistiin meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:

Pisteet K ja L ovat janan A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löydetään aritmeettisen keskiarvon kautta. Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AK ja BL koordinaatit:

Etsitään nyt kulman kosini:

Tehtävä. Säännölliseen nelikulmaiseen pyramidiin SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet E ja F - sivujen SB ja SC keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Otetaan käyttöön standardi koordinaattijärjestelmä: origo on pisteessä A, x- ja y-akselit suunnataan AB:tä ja AD:tä pitkin ja z-akseli on suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.

Pisteet E ja F ovat janan SB ja SC keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Kirjataan ylös meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AE ja BF koordinaatit:

Vektorin AE koordinaatit ovat samat kuin pisteen E koordinaatit, koska piste A on origo. Vielä on löydettävä kulman kosini:

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, niin näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2. Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2.

Lause. Suorat Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 = λA, B 1 = λB ovat verrannollisia. Jos myös C 1 = λC, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Tiettyyn viivaan nähden kohtisuorassa

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa y = kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys suoraan Ax + Bу + C = 0 määritetään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M määrätylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

(1)

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu. Löydämme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, joten suorat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Annetut ovat kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 v + 3 = 0;

Vaadittava korkeusyhtälö on muotoa: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: mistä b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3 x + 2 v – 34 = 0.

Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden suoran välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin määritetään kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A Ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa on annettu yhtälöillä, joissa on kaltevuus

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

sitten niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

On huomattava, että murto-osan osoittajassa ensimmäisen rivin kaltevuus vähennetään toisen rivin jyrkkyydestä.

Jos suoran yhtälöt annetaan yleisessä muodossa

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

4. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdot:

a) Jos suorat on annettu yhtälöillä (4) kulmakertoimella, niin niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden kulmakertoimien yhtäläisyys:

k 1 = k 2 . (8)

b) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä yleismuodossa (6), niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden yhtälöiden vastaavien virtakoordinaattien kertoimet ovat verrannollisia, ts.

5. Edellytykset kahden suoran kohtisuoralle:

a) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kulmakerroin, niiden kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden kulmakertoimet ovat käänteisiä suuruudeltaan ja vastakkaisia etumerkillä, ts.

Tämä ehto voidaan kirjoittaa myös muotoon

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jos suorien yhtälöt annetaan yleismuodossa (6), niin niiden kohtisuoraisuuden ehto (välttämätön ja riittävä) on tasa-arvon täyttyminen

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä (6). Suorat (6) leikkaavat jos ja vain jos

1. Kirjoita yhtälöt pisteen M kautta kulkeville suorille, joista toinen on yhdensuuntainen ja toinen kohtisuorassa annettua suoraa l vastaan.

Kulma avaruuden suorien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostuvat kahdesta suorasta, jotka on vedetty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.

Annetaan kaksi riviä avaruudessa:

On selvää, että suorien viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten käyttämällä kaavaa kosini välisen kulman vektoreita saamme

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot vastaavat niiden suuntavektorien yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehtoja ja:

Kaksi suoraan rinnakkain jos ja vain jos niiden vastaavat kertoimet ovat verrannollisia, ts. l 1 rinnakkais l 2 jos ja vain rinnakkain .

Kaksi suoraan kohtisuorassa jos ja vain jos vastaavien kertoimien tulojen summa on nolla: .

U tavoite linjan ja tason välillä

Anna sen olla suora d- ei kohtisuorassa θ-tasoon nähden;
d′− suoran projektio dθ-tasolle;
Pienin kulma suorien viivojen välillä d Ja d"soitamme suoran ja tason välinen kulma.
Merkitään se φ=( d,θ)
Jos d⊥θ, sitten ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.
Tasoyhtälö:

θ: Kirves+Tekijä:+Cz+D=0

Oletetaan, että suora määritellään pisteellä ja suuntavektorilla: d[M 0,s→]
Vektori n→(A,B,C)⊥θ
Sitten on vielä selvitettävä vektorien välinen kulma n→ ja s→, merkitään se γ=( n→,s→).

Jos kulma γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jos kulma on γ>π/2, niin haluttu kulma on φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Sitten, suoran ja tason välinen kulma voidaan laskea kaavalla:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Kysymys 29. Neliön muodon käsite. Kvadraattisten muotojen merkkimääräisyys.

Neliömuoto j (x 1, x 2, …, x n) n todellista muuttujaa x 1, x 2, …, x n kutsutaan muodon summaksi
, (1)

Missä a ij – joitain kertoimilla kutsuttuja lukuja. Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa sen a ij = a ji.

Kvadraattista muotoa kutsutaan pätevä, Jos a ij Î GR. Matriisi neliössä kutsutaan matriisiksi, joka koostuu sen kertoimista. Neliömuoto (1) vastaa ainoaa symmetristä matriisia
Tuo on A T = A. Näin ollen neliömuoto (1) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon j ( X) = x T Ah, Missä x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja päinvastoin, jokainen symmetrinen matriisi (2) vastaa ainutlaatuista neliömuotoa muuttujien merkintään asti.

Kvadraattisen muodon järjestys kutsutaan sen matriisin arvoksi. Kvadraattista muotoa kutsutaan ei rappeutunut, jos sen matriisi on ei-singulaarinen A. (muista, että matriisi A kutsutaan ei-degeneroituneeksi, jos sen determinantti ei ole nolla). Muuten neliömuoto on rappeutunut.

positiivinen selvä(tai ehdottomasti positiivinen), jos

j ( X) > 0 , kenelle tahansa X = (X 1 , X 2 , …, x n), paitsi X = (0, 0, …, 0).

Matriisi A positiivinen tarkka neliömuoto j ( X) kutsutaan myös positiiviseksi definiitiksi. Siksi positiivinen tarkka neliömuoto vastaa ainutlaatuista positiivista tarkkaa matriisia ja päinvastoin.

Neliömuotoa (1) kutsutaan negatiivisesti määritelty(tai ehdottomasti negatiivinen), jos

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), paitsi X = (0, 0, …, 0).

Samoin kuin edellä, matriisia, jonka neliömuoto on negatiivinen, määrätty, kutsutaan myös negatiiviseksi määrätyksi.

Näin ollen positiivinen (negatiivinen) määrätty neliömuoto j ( X) saavuttaa minimi (maksimi) arvon j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Huomaa, että useimmat kvadraattiset muodot eivät ole merkkimääräisiä, eli ne eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Tällaiset neliömuodot katoavat paitsi koordinaattijärjestelmän origossa, myös muissa pisteissä.

Kun n> 2, toisen asteen muodon merkin tarkistamiseen tarvitaan erityiset kriteerit. Katsotaanpa niitä.

Suuret alaikäiset neliömuotoja kutsutaan alaikäisiksi:

eli nämä ovat alaikäisiä luokkaa 1, 2, ..., n matriiseja A, joka sijaitsee vasemmassa yläkulmassa, viimeinen niistä on sama kuin matriisin determinantti A.

Positiivinen määrittelykriteeri (Sylvester-kriteeri)

X) = x T Ah oli positiivinen varma, on välttämätöntä ja riittävää, että matriisin kaikki suuret alaikäiset A olivat positiivisia, eli: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivinen varmuuskriteeri Jotta neliömuoto j ( X) = x T Ah oli negatiivinen definitiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että sen parillisen järjestyksen pääalapäiset ovat positiivisia ja parittomat - negatiivisia, eli: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n