Toisen asteen epähomogeeninen differentiaaliyhtälö. Lineaariset epähomogeeniset toisen asteen differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla

Luennolla tutkitaan LNDE:itä - lineaarisia epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä. Tarkastellaan yleisratkaisun rakennetta, LPDE:n ratkaisua mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmällä, LDDE:n ratkaisua vakiokertoimilla ja erikoismuodon oikealla puolella. Käsiteltäviä aiheita käytetään fysiikan, sähkötekniikan ja elektroniikan pakkovärähtelyjen tutkimuksessa sekä automaattisen ohjauksen teoriassa.

1. Lineaarisen epähomogeenisen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälön yleisratkaisun rakenne.

Tarkastellaan ensin mielivaltaista järjestystä olevaa lineaarista epähomogeenistä yhtälöä:

Ottaen huomioon merkinnän voimme kirjoittaa:

Tässä tapauksessa oletetaan, että tämän yhtälön kertoimet ja oikea puoli ovat jatkuvia tietyllä aikavälillä.

Lause. Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu tietyllä alueella on minkä tahansa sen ratkaisun ja vastaavan lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleisratkaisun summa.

Todiste. Olkoon Y jokin ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön.

Sitten kun korvaamme tämän ratkaisun alkuperäiseen yhtälöön, saamme identiteetin:

Antaa
- lineaarisen homogeenisen yhtälön perusratkaisujärjestelmä
. Sitten homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Erityisesti 2. asteen lineaariselle epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle yleisratkaisun rakenne on muotoa:

Missä
on perusratkaisujärjestelmä vastaavaan homogeeniseen yhtälöön, ja
- mikä tahansa erityinen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu.

Siten lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi on löydettävä yleinen ratkaisu vastaavalle homogeeniselle yhtälölle ja jollakin tavalla löydettävä yksi erityinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle. Yleensä se löytyy valinnalla. Tarkastelemme menetelmiä yksityisen ratkaisun valitsemiseksi seuraavissa kysymyksissä.

2. Variaatiomenetelmä

Käytännössä on kätevää käyttää mielivaltaisten vakioiden vaihtelumenetelmää.

Tätä varten etsi ensin yleinen ratkaisu vastaavalle homogeeniselle yhtälölle muodossa:

Sitten lasketaan kertoimet C i toimintoja alkaen X, etsitään ratkaisua epähomogeeniseen yhtälöön:

Voidaan todistaa, että löytää toimintoja C i (x) meidän on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

Lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaiseminen

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisulla on muoto:

Luodaan yhtälöjärjestelmä:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä:

Relaatiosta löydämme funktion Vai niin).

Nyt löydämme B(x).

Korvaamme saadut arvot epähomogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun kaavaan:

Lopullinen vastaus:

Yleisesti ottaen mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä soveltuu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariseen epähomogeeniseen yhtälöön. Mutta koska Perusratkaisujärjestelmän löytäminen vastaavalle homogeeniselle yhtälölle voi olla melko vaikea tehtävä, tätä menetelmää käytetään pääasiassa epähomogeenisille yhtälöille, joilla on vakiokertoimet.

3. Yhtälöt, joissa on erikoismuodon oikea puoli

Näyttää mahdolliselta kuvitella tietyn ratkaisun tyyppi epähomogeenisen yhtälön oikean puolen tyypistä riippuen.

Seuraavat tapaukset erotetaan toisistaan:

I. Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön oikea puoli on muotoa:

missä on astepolynomi m.

Sitten haetaan erityistä ratkaisua muodossa:

Tässä K(x) - polynomi, jonka aste on sama kuin P(x) , mutta määrittämättömillä kertoimilla ja r– luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa luku  on vastaavan lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ominaisyhtälön juuri.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö
.

Ratkaistaan ​​vastaava homogeeninen yhtälö:

Etsitään nyt erityinen ratkaisu alkuperäiselle epähomogeeniselle yhtälölle.

Verrataan yhtälön oikeaa puolta yllä käsiteltyyn oikean puolen muotoon.

Etsimme erityistä ratkaisua muodossa:
, Missä

Nuo.

Määritetään nyt tuntemattomat kertoimet A Ja SISÄÄN.

Korvataan konkreettinen ratkaisu yleisessä muodossa alkuperäiseen epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön.

Yksityinen kokonaisratkaisu:

Sitten lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on:

II. Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön oikealla puolella on muoto:

Tässä R 1 (X) Ja R 2 (X)– astepolynomit m 1 ja m 2 vastaavasti.

Tällöin epähomogeenisen yhtälön tietyllä ratkaisulla on muoto:

missä on numero r näyttää kuinka monta kertaa luku
on vastaavan homogeenisen yhtälön ominaisyhtälön juuri ja K 1 (x) Ja K 2 (x) – polynomit, joiden aste ei ole suurempi kuin m, Missä m- suurin asteista m 1 Ja m 2 .

Yhteenvetotaulukko yksityisten ratkaisujen tyypeistä

erityyppisille oikeanpuoleisille sivuille

Huomaa, että jos yhtälön oikea puoli on edellä mainitun tyyppisten lausekkeiden yhdistelmä, niin ratkaisu löytyy apuyhtälöiden ratkaisujen yhdistelmänä, joista jokaisella on mukana olevaa lauseketta vastaava oikea puoli yhdistelmässä.

Nuo. jos yhtälö on:
, niin erityinen ratkaisu tälle yhtälölle on
Missä klo 1 Ja klo 2 – apuyhtälöiden tietyt ratkaisut

Ja

Havainnollistaaksemme, ratkaistaan ​​yllä oleva esimerkki eri tavalla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

Esitetään differentiaaliyhtälön oikea puoli kahden funktion summana f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- synti x).

Muodostetaan ja ratkaistaan ​​ominaisyhtälö:

Saamme: ts.

Kaikki yhteensä:

Nuo. vaaditulla erityisratkaisulla on muoto:

Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu:

Katsotaanpa esimerkkejä kuvattujen menetelmien soveltamisesta.

Esimerkki 1.. Ratkaise yhtälö

Muodostetaan ominaisyhtälö vastaavalle lineaariselle homogeeniselle differentiaaliyhtälölle:

Etsitään nyt erityinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle muodossa:

Käytetään määrittelemättömien kertoimien menetelmää.

Korvaamalla alkuperäisen yhtälön, saamme:

Tietyllä ratkaisulla on muoto:

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

Ominaisuusyhtälö:

Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Epähomogeenisen yhtälön erityinen ratkaisu:
.

Etsimme derivaatat ja korvaamme ne alkuperäiseen epähomogeeniseen yhtälöön:

Saamme yleisen ratkaisun epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle:

Epähomogeeniset toisen asteen differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla

Yleisratkaisun rakenne Tämän tyyppinen lineaarinen epähomogeeninen yhtälö on muotoa: Missä s, q− vakioluvut (jotka voivat olla joko reaalilukuja tai kompleksisia). Jokaiselle tällaiselle yhtälölle voimme kirjoittaa vastaavan homogeeninen yhtälö: Lause: Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on yleisen ratkaisun summa y 0 (x) vastaavan homogeenisen yhtälön ja tietyn ratkaisun y 1 (x) epähomogeeninen yhtälö: Alla tarkastellaan kahta tapaa ratkaista epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä. Vakioiden vaihtelumenetelmä Jos yleinen ratkaisu y 0 liittyvästä homogeenisesta yhtälöstä tunnetaan, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan löytää käyttämällä jatkuvan vaihtelun menetelmä. Olkoon homogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu muoto: Pysyvän sijaan C 1 ja C 2 tarkastelemme aputoimintoja C 1 (x) Ja C 2 (x). Etsimme näitä toimintoja siten, että ratkaisu tyydytti epähomogeenisen yhtälön oikealla puolella f(x). Tuntemattomat toiminnot C 1 (x) Ja C 2 (x) määritetään kahden yhtälön järjestelmästä: Epävarma kerroinmenetelmä Oikea osa f(x) epähomogeenisen differentiaaliyhtälön funktio on usein polynomi-, eksponentiaalinen tai trigonometrinen funktio tai jokin näiden funktioiden yhdistelmä. Tässä tapauksessa on kätevämpää etsiä ratkaisua käyttämällä epävarmien kertoimien menetelmä. Korostamme, että tämä menetelmä toimii vain rajoitetulle funktioluokalle oikealla puolella, kuten Molemmissa tapauksissa tietyn ratkaisun valinnan tulee vastata epähomogeenisen differentiaaliyhtälön oikean puolen rakennetta. Tapauksessa 1, jos numero α eksponentiaalisessa funktiossa on sama kuin ominaisyhtälön juuri, niin tietty ratkaisu sisältää lisätekijän x s, Missä s− juuren monikertaisuus α ominaisyhtälössä. Tapauksessa 2, jos numero α + βi osuu yhteen ominaisyhtälön juuren kanssa, silloin tietyn ratkaisun lauseke sisältää lisätekijän x. Tuntemattomat kertoimet voidaan määrittää korvaamalla tietyn ratkaisun löydetty lauseke alkuperäiseen epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön. Superpositioperiaate Jos epähomogeenisen yhtälön oikea puoli on määrä useita lomakkeen toimintoja silloin differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu on myös oikealla puolella kullekin termille erikseen rakennettujen osaratkaisujen summa.

Esimerkki 1

Ratkaise differentiaaliyhtälö y"" + y= sin(2 x). Ratkaisu. Ensin ratkaistaan ​​vastaava homogeeninen yhtälö y"" + y= 0. Tässä tapauksessa ominaisyhtälön juuret ovat puhtaasti kuvitteellisia: Näin ollen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan lausekkeella Palataan taas epähomogeeniseen yhtälöön. Etsimme sen ratkaisua muodossa käyttämällä vakioiden variaatiomenetelmää. Toiminnot C 1 (x) Ja C 2 (x) löytyy seuraavasta yhtälöjärjestelmästä: Ilmaistaan ​​derivaatta C 1 " (x) ensimmäisestä yhtälöstä: Korvautumalla toiseen yhtälöön löydämme derivaatan C 2 " (x): Seuraa, että Lausekkeiden integrointi johdannaisille C 1 " (x) Ja C 2 " (x), saamme: Missä A 1 , A 2 – integroinnin vakiot. Korvataan nyt löydetyt funktiot C 1 (x) Ja C 2 (x) kaavaan y 1 (x) ja kirjoita epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Esimerkki 2

Etsi yhtälön yleinen ratkaisu y"" + y" −6y = 36x. Ratkaisu. Käytetään määrittelemättömien kertoimien menetelmää. Annetun yhtälön oikea puoli on lineaarinen funktio f(x)= kirves + b. Siksi etsimme erityistä ratkaisua muodossa Johdannaiset ovat yhtä suuret: Korvaamalla tämän differentiaaliyhtälöön, saamme: Viimeinen yhtälö on identiteetti, eli se pätee kaikille x, siksi rinnastamme termien kertoimet samoihin asteisiin x vasemmalla ja oikealla puolella: Tuloksena olevasta järjestelmästä löydämme: A = −6, B= −1. Tämän seurauksena tietty ratkaisu kirjoitetaan muotoon Etsitään nyt homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Lasketaan apuominaisuusyhtälön juuret: Siksi vastaavan homogeenisen yhtälön yleisratkaisulla on muoto: Joten alkuperäisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ilmaistaan ​​kaavalla

DE:n yleinen integraali.

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Mutta hauskinta on, että vastaus on jo tiedossa: , tarkemmin sanottuna, meidän on lisättävä myös vakio: Yleinen integraali on ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä. Esimerkkejä ratkaisuista

Mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmää käytetään epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tämä oppitunti on tarkoitettu opiskelijoille, jotka ovat jo enemmän tai vähemmän perehtyneet aiheeseen. Jos olet vasta aloittamassa tutustumista kaukosäätimeen, esim. Jos olet teekannu, suosittelen aloittamaan ensimmäisestä oppitunnista: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt. Esimerkkejä ratkaisuista. Ja jos olet jo lopettamassa, hylkää mahdollinen ennakkokäsitys, että menetelmä on vaikea. Koska se on yksinkertaista.

Missä tapauksissa käytetään mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmää?

1) Ratkaisemiseen voidaan käyttää mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmää lineaarinen epähomogeeninen 1. asteen DE. Koska yhtälö on ensimmäistä kertaluokkaa, niin vakio on myös yksi.

2) Satunnaisten vakioiden variaatiomenetelmää käytetään joidenkin ratkaisemiseen lineaariset epähomogeeniset toisen asteen yhtälöt. Tässä kaksi vakiota vaihtelevat.

On loogista olettaa, että oppitunti koostuu kahdesta kappaleesta... Joten kirjoitin tämän lauseen, ja noin 10 minuuttia mietin tuskallisesti, mitä muuta näppärää paskaa voisin lisätä sujuvaan siirtymiseen käytännön esimerkkeihin. Mutta jostain syystä minulla ei ole mitään ajatuksia loman jälkeen, vaikka en näytä käyttäneen mitään väärin. Siirrytään siis suoraan ensimmäiseen kappaleeseen.

Satunnaisen vakion variaatiomenetelmä ensimmäisen asteen lineaariselle epähomogeeniselle yhtälölle

Ennen kuin harkitaan mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmää, on suositeltavaa tutustua artikkeliin Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt. Siinä tunnissa harjoittelimme ensimmäinen ratkaisu epähomogeeninen 1. kertaluokka DE. Tämä ensimmäinen ratkaisu, muistutan teitä, on nimeltään korvausmenetelmä tai Bernoullin menetelmä(ei pidä sekoittaa Bernoullin yhtälö!!!)

Nyt katsotaan toinen ratkaisu– mielivaltaisen vakion vaihtelumenetelmä. Annan vain kolme esimerkkiä, ja otan ne edellä mainitusta oppitunnista. Miksi niin vähän? Koska itse asiassa ratkaisu toisella tavalla on hyvin samanlainen kuin ensimmäisen tavan ratkaisu. Lisäksi mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmää käytetään havaintojeni mukaan harvemmin kuin korvausmenetelmää.

Esimerkki 1

Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu (Diffour oppitunnin esimerkistä 2 Lineaariset epähomogeeniset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt)

Ratkaisu: Tämä yhtälö on lineaarisesti epähomogeeninen ja sillä on tuttu muoto:

Ensimmäisessä vaiheessa on tarpeen ratkaista yksinkertaisempi yhtälö: Eli nollaamme typerästi oikean puolen nollaan - kirjoita sen sijaan nolla. Kutsun yhtälöä apuyhtälö.

Tässä esimerkissä sinun on ratkaistava seuraava apuyhtälö:

Ennen meitä erotettava yhtälö, jonka ratkaisu (toivottavasti) ei ole sinulle enää vaikea:

Siten: – apuyhtälön yleinen ratkaisu.

Toisessa vaiheessa korvaamme jokin vakio toistaiseksi tuntematon funktio, joka riippuu "x":stä:

Tästä syystä menetelmän nimi - muutamme vakiota. Vaihtoehtoisesti vakio voisi olla jokin funktio, joka meidän on nyt löydettävä.

SISÄÄN alkuperäinen epähomogeenisessa yhtälössä teemme korvauksen:

Korvataan yhtälöön:

Valvontapiste - vasemmalla puolella olevat kaksi termiä peruuntuvat. Jos näin ei tapahdu, sinun tulee etsiä yllä olevaa virhettä.

Korvauksen tuloksena saatiin yhtälö, jossa oli erotettavia muuttujia. Erottelemme muuttujat ja integroimme.

Mikä siunaus, eksponentit myös peruuttavat:

Lisäämme löydettyyn funktioon "normaalin" vakion:

Viimeisessä vaiheessa muistamme vaihdon:

Toiminto on juuri löytynyt!

Joten yleinen ratkaisu on:

Vastaus: yhteinen päätös:

Jos tulostat kaksi ratkaisua, huomaat helposti, että molemmissa tapauksissa löysimme samat integraalit. Ainoa ero on ratkaisualgoritmissa.

Nyt jotain monimutkaisempaa varten kommentoin myös toista esimerkkiä:

Esimerkki 2

Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu (Diffour oppitunnin esimerkistä 8 Lineaariset epähomogeeniset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt)

Ratkaisu: Tuodaan yhtälö muotoon:

Nollataan oikea puoli ja ratkaistaan ​​apuyhtälö:

Erottelemme muuttujat ja integroimme: Apuyhtälön yleinen ratkaisu:

Epähomogeenisessa yhtälössä teemme korvauksen:

Tuotteiden erottelusäännön mukaan:

Korvataan alkuperäiseen epähomogeeniseen yhtälöön:

Vasemmalla puolella olevat kaksi termiä peruuttavat, mikä tarkoittaa, että olemme oikeilla jäljillä:

Integroidaan osittain. Osittain integroinnin kaavan maukas kirjain on jo mukana ratkaisussa, joten käytämme esimerkiksi kirjaimia "a" ja "be":

Lopulta:

Muistetaan nyt vaihto:

Vastaus: yhteinen päätös:

Satunnaisten vakioiden vaihtelumenetelmä lineaariselle epähomogeeniselle toisen asteen yhtälölle vakiokertoimilla

Olen usein kuullut mielipiteen, että menetelmä mielivaltaisten vakioiden muuttamiseen toisen asteen yhtälölle ei ole helppo asia. Oletan kuitenkin seuraavaa: menetelmä vaikuttaa todennäköisesti monille vaikealta, koska sitä ei esiinny niin usein. Mutta todellisuudessa ei ole erityisiä vaikeuksia - päätöksen kulku on selkeä, läpinäkyvä ja ymmärrettävä. Ja kaunis.

Menetelmän hallitsemiseksi on toivottavaa pystyä ratkaisemaan epähomogeenisiä toisen kertaluvun yhtälöitä valitsemalla tietty ratkaisu oikean puolen muodon perusteella. Tätä menetelmää käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelissa. Epähomogeeniset 2. asteen DE:t. Muistamme, että toisen asteen lineaarisella epähomogeenisella yhtälöllä, jolla on vakiokertoimet, on muoto:

Valintamenetelmä, jota käsiteltiin yllä olevassa oppitunnissa, toimii vain rajoitetuissa tapauksissa, kun oikea puoli sisältää polynomeja, eksponentiaaleja, sinejä ja kosineja. Mutta mitä tehdä, kun oikealla on esimerkiksi murtoluku, logaritmi, tangentti? Tällaisessa tilanteessa vakioiden vaihtelumenetelmä tulee apuun.

Esimerkki 4

Etsi yleinen ratkaisu toisen asteen differentiaaliyhtälöön

Ratkaisu: Tämän yhtälön oikealla puolella on murto-osa, joten voimme heti sanoa, että tietyn ratkaisun valintamenetelmä ei toimi. Käytämme mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmää.

Ukkosmyrskystä ei ole merkkejä, ratkaisun alku on täysin tavallinen:

Me löydämme yhteinen päätös sopiva homogeeninen yhtälöt:

Muodostetaan ja ratkaistaan ​​ominaisyhtälö: – saadaan konjugoituja kompleksisia juuria, joten yleinen ratkaisu on:

Kiinnitä huomiota yleisen ratkaisun tietueeseen - jos on sulkeita, avaa ne.

Nyt teemme melkein saman tempun kuin ensimmäisen kertaluvun yhtälössä: muuntelemme vakioita ja korvaamme ne tuntemattomilla funktioilla. Tuo on, epähomogeenisen yleinen ratkaisu etsimme yhtälöitä muodossa:

Missä - toistaiseksi tuntemattomia toimintoja.

Se näyttää kotitalousjätteen kaatopaikalta, mutta nyt selvitetään kaikki.

Tuntemattomat ovat funktioiden johdannaisia. Tavoitteenamme on löytää derivaattoja, ja löydettyjen derivaattojen on täytettävä sekä järjestelmän ensimmäinen että toinen yhtälö.

Mistä "kreikkalaiset" tulevat? Haikara tuo ne. Katsomme aiemmin saatua yleistä ratkaisua ja kirjoitamme:

Etsitään johdannaiset:

Vasemmat osat on käsitelty. Mikä on oikealla?

on alkuperäisen yhtälön oikea puoli, tässä tapauksessa:

Tämä artikkeli käsittelee kysymystä lineaaristen epähomogeenisten toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta vakiokertoimilla. Teoriasta keskustellaan esimerkkejä annetuista ongelmista. Epäselvien termien tulkitsemiseksi on tarpeen viitata aiheeseen differentiaaliyhtälöiden teorian perusmääritelmistä ja käsitteistä.

Tarkastellaan toisen asteen lineaarista differentiaaliyhtälöä (LDE), jonka vakiokertoimet ovat muotoa y "" + p · y " + q · y = f (x), jossa p ja q ovat mielivaltaisia ​​lukuja, ja olemassa olevaa funktiota f (x) on jatkuva integrointivälillä x.

Siirrytään LNDE:n yleisen ratkaisun lauseen muotoiluun.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Yleinen ratkaisulause LDNU:lle

Yleinen ratkaisu, joka sijaitsee välillä x epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle muotoa y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) jatkuvilla integrointikertoimilla x-välillä f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ja jatkuva funktio f (x) on yhtä kuin yleisen ratkaisun y 0 summa, joka vastaa LOD:ta ja jotakin erityistä ratkaisua y ~, jossa alkuperäinen epähomogeeninen yhtälö on y = y 0 + y ~.

Tämä osoittaa, että tällaisen toisen kertaluvun yhtälön ratkaisu on muotoa y = y 0 + y ~ . Algoritmia y 0:n löytämiseksi käsitellään artikkelissa, joka käsittelee lineaarisia homogeenisia toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla. Tämän jälkeen meidän pitäisi edetä y ~:n määritelmään.

Tietyn ratkaisun valinta LPDE:lle riippuu yhtälön oikealla puolella olevan käytettävissä olevan funktion f (x) tyypistä. Tätä varten on tarpeen tarkastella erikseen lineaaristen epähomogeenisten toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja vakiokertoimilla.

Kun f (x) katsotaan n:nnen asteen polynomiksi f (x) = P n (x), tästä seuraa, että LPDE:n tietty ratkaisu löydetään käyttämällä muotoa y ~ = Q n (x) ) x γ, missä Q n ( x) on n-asteinen polynomi, r on ominaisyhtälön nollajuurien lukumäärä. Arvo y ~ on tietty ratkaisu y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , sitten käytettävissä olevat kertoimet, jotka määritellään polynomilla
Q n (x), löydämme epämääräisten kertoimien menetelmää yhtälöstä y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Esimerkki 1

Laske Cauchyn lauseella y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Ratkaisu

Toisin sanoen, on tarpeen siirtyä tiettyyn ratkaisuun toisen kertaluvun lineaariseen epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön vakiokertoimilla y "" - 2 y " = x 2 + 1, joka täyttää annetut ehdot y (0) = 2, y" (0) = 1 4 .

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on yleisen ratkaisun summa, joka vastaa yhtälöä y 0 tai tiettyä ratkaisua epähomogeeniseen yhtälöön y ~, eli y = y 0 + y ~.

Ensin löydämme yleisen ratkaisun LNDU:lle ja sitten tietyn ratkaisun.

Siirrytään etsimään y 0. Ominaisen yhtälön kirjoittaminen auttaa sinua löytämään juuret. Me ymmärrämme sen

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Huomasimme, että juuret ovat erilaisia ​​ja todellisia. Siksi kirjoitetaan

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Etsitään y ~ . Voidaan nähdä, että annetun yhtälön oikea puoli on toisen asteen polynomi, jolloin yksi juurista on nolla. Tästä saadaan, että tietty ratkaisu y ~:lle on

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, jossa A, B, C arvot saavat määrittelemättömiä kertoimia.

Etsitään ne yhtälöstä muotoa y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Sitten saamme sen:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Yhtälöimällä kertoimet samojen x:n eksponentien kanssa, saadaan lineaarinen lausekejärjestelmä - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Kun ratkaisemme millä tahansa menetelmällä, etsimme kertoimet ja kirjoitamme: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 ja y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Tätä merkintää kutsutaan alkuperäisen lineaarisen epähomogeenisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleiseksi ratkaisuksi vakiokertoimilla.

Jotta löydettäisiin tietty ratkaisu, joka täyttää ehdot y (0) = 2, y "(0) = 1 4, on tarpeen määrittää arvot C 1 Ja C 2, joka perustuu muotoon y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Saamme sen:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Työskentelemme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän kanssa, jonka muoto on C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, missä C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Cauchyn lausetta soveltaen meillä on se

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Vastaus: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kun funktio f (x) esitetään polynomin tulona, ​​jonka aste on n ja eksponentti f (x) = P n (x) · e a x , niin saadaan, että toisen kertaluvun LPDE:n tietty ratkaisu on yhtälö muotoa y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, missä Q n (x) on n:nnen asteen polynomi ja r on ominaisyhtälön juurien lukumäärä, joka on yhtä suuri kuin α.

Q n (x) -kertoimet löytyvät yhtälöstä y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esimerkki 2

Etsi yleinen ratkaisu muotoa y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x olevalle differentiaaliyhtälölle.

Ratkaisu

Yleinen yhtälö on y = y 0 + y ~ . Ilmoitettu yhtälö vastaa LOD y "" - 2 y " = 0. Edellisestä esimerkistä voidaan nähdä, että sen juuret ovat yhtä suuret k 1 = 0 ja k 2 = 2 ja y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ominaisyhtälön mukaan.

Voidaan nähdä, että yhtälön oikea puoli on x 2 + 1 · e x . Tästä LPDE löytyy y ~ = e a x · Q n (x) · x γ kautta, missä Q n (x) on toisen asteen polynomi, jossa α = 1 ja r = 0, koska ominaisyhtälö ei jonka juuri on yhtä suuri kuin 1. Täältä saamme sen

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C ovat tuntemattomia kertoimia, jotka voidaan löytää yhtälöllä y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Selvä

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Yhdistämme indikaattorit samoihin kertoimiin ja saamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän. Täältä löydämme A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Vastaus: on selvää, että y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 on LNDDE:n erityinen ratkaisu, ja y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - yleinen ratkaisu toisen kertaluvun epähomogeeniselle difyhtälölle.

Kun funktio kirjoitetaan muodossa f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, ja A 1 Ja KOHDASSA 1 ovat lukuja, silloin LPDE:n osittaisratkaisua pidetään yhtälönä muotoa y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, jossa A ja B ovat määrittämättömiä kertoimia ja r on ominaisyhtälöön liittyvät kompleksiset konjugaattijuuret, jotka ovat yhtä suuria kuin ± i β . Tässä tapauksessa kertoimien haku suoritetaan käyttämällä yhtälöä y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Esimerkki 3

Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle, jonka muoto on y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ratkaisu

Ennen kuin kirjoitamme ominaisyhtälön, löydämme y 0. Sitten

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Meillä on pari monimutkaisia ​​konjugaattijuuria. Muunnetaan ja saadaan:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Karakterikaavayhtälön juuriksi katsotaan konjugaattipari ± 2 i, jolloin f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Tämä osoittaa, että y ~ etsitään kaavasta y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Tuntemattomat Etsimme kertoimia A ja B yhtälöstä, jonka muoto on y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Muunnetaan:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Sitten se on selvää

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

On tarpeen rinnastaa sinien ja kosinien kertoimet. Saamme järjestelmän muodossa:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Tästä seuraa, että y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Vastaus: tarkastellaan alkuperäisen toisen kertaluvun LDDE:n yleistä ratkaisua vakiokertoimilla

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kun f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), niin y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Meillä on, että r on ominaisyhtälöön liittyvien kompleksisten juuriparien lukumäärä, joka on yhtä suuri kuin α ± i β, missä P n (x), Q k (x), L m (x) ja Nm(x) ovat polynomeja, joiden aste on n, k, m, m, missä m = m a x (n, k). Kertoimien löytäminen Lm(x) Ja Nm(x) tehdään yhtälön y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) perusteella.

Esimerkki 4

Etsi yleinen ratkaisu y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Ratkaisu

Ehdon mukaan se on selvää

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Silloin m = m a x (n, k) = 1. Löydämme y 0:n kirjoittamalla ensin ominaisyhtälön muodossa:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Huomasimme, että juuret ovat todellisia ja erillisiä. Tästä syystä y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Seuraavaksi on etsittävä yleinen ratkaisu muodon epähomogeeniseen yhtälöön y ~

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Tiedetään, että A, B, C ovat kertoimia, r = 0, koska ominaisyhtälöön, jossa α ± i β = 3 ± 5 · i, ei liity konjugaattijuurien paria. Löydämme nämä kertoimet tuloksena olevasta yhtälöstä:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Johdannan ja vastaavien termien löytäminen antaa

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Kertoimien yhtälön jälkeen saamme muotoisen järjestelmän

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Kaikesta se seuraa

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Vastaus: Nyt olemme saaneet yleisen ratkaisun annetulle lineaariselle yhtälölle:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmi LDNU:n ratkaisemiseksi

Mikä tahansa muu ratkaisun funktio f (x) edellyttää ratkaisualgoritmin noudattamista:

• löytää yleinen ratkaisu vastaavalle lineaariselle homogeeniselle yhtälölle, jossa y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, missä v 1 Ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia LODE:n osaratkaisuja, C 1 Ja C 2 katsotaan mielivaltaisiksi vakioiksi;
• hyväksyminen LNDE:n yleisenä ratkaisuna y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• funktion derivaatan määritys järjestelmän avulla, jonka muoto on C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ja funktioiden löytäminen C 1 (x) ja C2(x) integroinnin kautta.

Esimerkki 5

Etsi yleinen ratkaisu y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Ratkaisu

Jatkamme ominaisyhtälön kirjoittamista, kun olet aiemmin kirjoittanut y 0, y "" + 36 y = 0. Kirjoitetaan ja ratkaistaan:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Meillä on, että annetun yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan muodossa y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . On tarpeen siirtyä johdannaisfunktioiden määrittelyyn C 1 (x) Ja C2(x) yhtälöjärjestelmän mukaan:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Asiasta on tehtävä päätös C 1" (x) Ja C 2" (x) millä tahansa menetelmällä. Sitten kirjoitamme:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Jokainen yhtälö on integroitava. Sitten kirjoitamme tuloksena olevat yhtälöt:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Tästä seuraa, että yleisellä ratkaisulla on muoto:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Vastaus: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter