Säännöllisen kolmion kantavan pyramidin tilavuus. Kolmion muotoisen pyramidin tilavuus

Yksi yksinkertaisimmista kolmiulotteisista hahmoista on kolmiopyramidi, koska se koostuu pienimmästä määrästä pintoja, joista hahmo voidaan muodostaa avaruudessa. Tässä artikkelissa tarkastellaan kaavoja, joiden avulla voidaan määrittää kolmion muotoisen säännöllisen pyramidin tilavuus.

Kolmion muotoinen pyramidi

Yleisen määritelmän mukaan pyramidi on monikulmio, jonka kaikki kärjet ovat yhteydessä yhteen pisteeseen, joka ei sijaitse tämän monikulmion tasolla. Jos jälkimmäinen on kolmio, koko kuviota kutsutaan kolmiopyramidiksi.

Kyseinen pyramidi koostuu pohjasta (kolmiosta) ja kolmesta sivupinnasta (kolmiosta). Pistettä, jossa kolme sivupintaa on yhdistetty, kutsutaan kuvion kärjeksi. Tästä kärjestä pohjaan pudonnut kohtisuora on pyramidin korkeus. Jos kohtisuoran ja kannan leikkauspiste osuu kolmion pohjassa olevan mediaanien leikkauspisteeseen, puhumme säännöllisestä pyramidista. Muuten se on vino.

Kuten todettiin, kolmion muotoisen pyramidin kanta voi olla yleinen kolmion tyyppi. Kuitenkin, jos se on tasasivuinen ja itse pyramidi on suora, he puhuvat säännöllisestä kolmiulotteisesta hahmosta.

Jokaisella on 4 pintaa, 6 reunaa ja 4 kärkeä. Jos kaikkien reunojen pituudet ovat yhtä suuret, niin tällaista kuvaa kutsutaan tetraedriksi.

yleinen tyyppi

Ennen kuin kirjoitamme muistiin säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin, annamme tälle fysikaaliselle suurelle lausekkeen yleisen tyypin pyramidille. Tämä ilmaisu näyttää tältä:

Tässä S o on pohjan pinta-ala, h on kuvion korkeus. Tämä yhtäläisyys pätee kaikentyyppisille pyramidipolygonialustalle sekä kartiolle. Jos pohjassa on kolmio, jonka sivun pituus a ja korkeus h o on laskettu sen päälle, tilavuuden kaava kirjoitetaan seuraavasti:

Kaavat säännöllisen kolmiopyramidin tilavuudelle

Kolmion pohjassa on tasasivuinen kolmio. Tiedetään, että tämän kolmion korkeus liittyy sen sivun pituuteen yhtäläisyydellä:

Korvaamalla tämän lausekkeen edellisessä kappaleessa kirjoitetun kolmion muotoisen pyramidin tilavuuden kaavaan, saamme:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Kolmiopohjaisen säännöllisen pyramidin tilavuus on pohjan sivun pituuden ja kuvion korkeuden funktio.

Koska mikä tahansa säännöllinen monikulmio voidaan kirjoittaa ympyrään, jonka säde määrittää yksiselitteisesti monikulmion sivun pituuden, tämä kaava voidaan kirjoittaa vastaavan säteen r mukaan:

Tämä kaava voidaan helposti saada edellisestä, jos otamme huomioon, että rajatun ympyrän säde r kolmion sivun a pituuden läpi määräytyy lausekkeella:

Tehtävä määrittää tetraedrin tilavuus

Näytämme, kuinka yllä olevia kaavoja käytetään tiettyjen geometrian ongelmien ratkaisemisessa.

Tiedetään, että tetraedrin reunan pituus on 7 cm. Selvitä säännöllisen kolmion muotoisen pyramiditetraedrin tilavuus.

Muista, että tetraedri on säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi, jossa kaikki emäkset ovat keskenään yhtä suuret. Jotta voit käyttää kaavaa säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuudelle, sinun on laskettava kaksi määrää:

  • kolmion sivun pituus;
  • hahmon korkeus.

Ensimmäinen määrä tunnetaan ongelmalauseesta:

Korkeuden määrittämiseksi harkitse kuvassa näkyvää kuvaa.

Merkitty kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jossa kulma ABC on 90 o. Sivu AC on hypotenuusa ja sen pituus on a. Yksinkertaista geometrista päättelyä käyttämällä voidaan osoittaa, että sivun BC pituus on:

Huomaa, että pituus BC on kolmion ympärille rajatun ympyrän säde.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Nyt voit korvata h:n ja a:n vastaavaan tilavuuden kaavaan:

V = √3/12*a2 *a*√(2/3) = √2/12*a3.

Siten olemme saaneet kaavan tetraedrin tilavuudelle. Voidaan nähdä, että tilavuus riippuu vain reunan pituudesta. Jos korvaamme ongelmaehtojen arvon lausekkeella, saamme vastauksen:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Jos vertaamme tätä arvoa saman reunan omaavan kuution tilavuuteen, huomaamme, että tetraedrin tilavuus on 8,5 kertaa pienempi. Tämä osoittaa, että tetraedri on kompakti hahmo, jota esiintyy joissakin luonnollisissa aineissa. Esimerkiksi metaanimolekyylillä on tetraedrimuotoinen muoto, ja jokainen timantin hiiliatomi on yhdistetty neljään muuhun atomiin muodostaen tetraedrin.

Homoteettinen pyramidiongelma

Ratkaistaan ​​yksi mielenkiintoinen geometrinen ongelma. Oletetaan, että on olemassa kolmion muotoinen säännöllinen pyramidi, jonka tilavuus on tietty V 1. Kuinka monta kertaa tämän luvun kokoa pitäisi pienentää, jotta saadaan homoteettinen pyramidi, jonka tilavuus on kolme kertaa pienempi kuin alkuperäinen?

Aloitetaan ongelman ratkaiseminen kirjoittamalla alkuperäisen säännöllisen pyramidin kaava:

V1 = √3/12*a12*h1.

Saadaan tehtävän ehtojen vaatima kuvion tilavuus kertomalla sen parametrit kertoimella k. Meillä on:

V2 = √3/12*k2*a12*k*h1 = k3*V1.

Koska kuvien tilavuuksien suhde tunnetaan ehdosta, saadaan kertoimen k arvo:

k = ∛(V2/V1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Huomaa, että saisimme samanlaisen arvon kertoimelle k minkä tahansa tyyppiselle pyramidille, ei vain tavalliselle kolmiomaiselle.

Pyramidin tilavuuden löytämiseksi sinun on tiedettävä useita kaavoja. Katsotaanpa niitä.

Kuinka löytää pyramidin tilavuus - 1. menetelmä

Pyramidin tilavuus voidaan löytää käyttämällä sen pohjan korkeutta ja pinta-alaa. V = 1/3*S*h. Joten esimerkiksi jos pyramidin korkeus on 10 cm ja sen pohjan pinta-ala on 25 cm 2, tilavuus on yhtä suuri kuin V = 1/3 * 25 * 10 = 1/3 * 250 = 83,3 cm3

Kuinka löytää pyramidin tilavuus - 2. menetelmä

Jos säännöllinen monikulmio on pyramidin pohjalla, niin sen tilavuus saadaan seuraavalla kaavalla: V = na 2 h/12*tg(180/n), missä a on pohjalla olevan polygonin sivu , ja n on sen sivujen lukumäärä. Esimerkiksi: Kanta on säännöllinen kuusikulmio, eli n = 6. Koska se on säännöllinen, sen kaikki sivut ovat yhtä suuret, eli kaikki a ovat yhtä suuret. Oletetaan a = 10 ja h - 15. Lisäämme luvut kaavaan ja saamme likimääräisen vastauksen - 1299 cm 3


Kuinka löytää pyramidin tilavuus - 3. menetelmä

Jos tasasivuinen kolmio on pyramidin pohjalla, niin sen tilavuus saadaan seuraavalla kaavalla: V = ha 2 /4√3, missä a on tasasivuisen kolmion sivu. Esimerkiksi: pyramidin korkeus on 10 cm, pohjan sivu 5 cm. Tilavuus on V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Yleensä mitä on nimittäjässä ei lasketa ja jätetään samaan muotoon. Voit myös kertoa sekä osoittajan että nimittäjän luvulla 4√ 3. Saamme 1000√ 3/48. Pienentämällä saamme 125√ 3/6 cm 3.


Kuinka löytää pyramidin tilavuus - 4. menetelmä

Jos pyramidin pohjassa on neliö, niin sen tilavuus saadaan seuraavalla kaavalla: V = 1/3*h*a 2, missä a on neliön sivut. Esimerkiksi: korkeus – 5 cm, neliömäinen sivu – 3 cm V = 1/3*5*9 = 15 cm 3


Kuinka löytää pyramidin tilavuus - 5. menetelmä

Jos pyramidi on tetraedri, eli kaikki sen pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, voit selvittää pyramidin tilavuuden seuraavalla kaavalla: V = a 3 √2/12, jossa a on tetraedrin reuna. Esimerkiksi: tetraedrin reuna = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3

Mikä on pyramidi?

Miltä hän näyttää?

Näet: pyramidin alaosassa (he sanovat " tukikohdassa") jokin monikulmio, ja kaikki tämän monikulmion kärjet ovat yhteydessä johonkin avaruuden pisteeseen (tätä pistettä kutsutaan " kärkipiste»).

Tämä koko rakenne on edelleen olemassa sivupinnat, kylkiluut Ja pohjakylkiluut. Piirretään vielä kerran pyramidi kaikkien näiden nimien kanssa:

Jotkut pyramidit voivat näyttää hyvin oudolta, mutta ne ovat silti pyramideja.

Tässä on esimerkiksi täysin "vino" pyramidi.

Ja vielä vähän nimistä: jos pyramidin pohjassa on kolmio, niin pyramidia kutsutaan kolmioksi, jos se on nelikulmio, niin nelikulmaiseksi ja jos se on centagon, niin... arvaa itse .

Samalla piste, jossa se putosi korkeus, nimeltään korkeus pohja. Huomaa, että "kieroissa" pyramideissa korkeus saattaa jopa päätyä pyramidin ulkopuolelle. Kuten tämä:

Eikä siinä ole mitään vikaa. Se näyttää tylsältä kolmiolta.

Oikea pyramidi.

Paljon monimutkaisia ​​sanoja? Selvitetään: "Tietoksessa - oikein" - tämä on ymmärrettävää. Muistakaamme nyt, että säännöllisellä monikulmiolla on keskus - piste, joka on ja , ja .

No, sanat "yläosa heijastetaan alustan keskelle" tarkoittavat, että korkeuden pohja putoaa tarkalleen alustan keskelle. Katso kuinka sileältä ja söpöltä se näyttää tavallinen pyramidi.

Kuusikulmainen: pohjassa on säännöllinen kuusikulmio, kärki projisoituu pohjan keskelle.

Nelikulmainen: pohja on neliö, yläosa heijastetaan tämän neliön lävistäjien leikkauspisteeseen.

Kolmion muotoinen: pohjassa on säännöllinen kolmio, jonka kärki projisoidaan tämän kolmion korkeuksien (ne ovat myös mediaaneja ja puolittajia) leikkauspisteeseen.

Erittäin säännöllisen pyramidin tärkeät ominaisuudet:

Oikeassa pyramidissa

  • kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
  • kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.

Pyramidin tilavuus

Pyramidin tilavuuden pääkaava:

Mistä se oikein tuli? Tämä ei ole niin yksinkertaista, ja aluksi sinun on vain muistettava, että pyramidilla ja kartiolla on tilavuus kaavassa, mutta sylinterillä ei.

Lasketaan nyt suosituimpien pyramidien tilavuus.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri. Meidän on löydettävä ja.

Tämä on säännöllisen kolmion alue.

Muistetaan kuinka etsiä tätä aluetta. Käytämme aluekaavaa:

Meille " " on tämä, ja " " on myös tämä, eh.

Nyt etsitään se.

Pythagoraan lauseen mukaan

Mitä eroa? Tämä on ympäryssäde koska pyramidioikea ja siksi keskus.

Koska - myös mediaanien leikkauspiste.

(Pytagoraan lause sanalle)

Korvataan se kaavaan for.

Ja korvataan kaikki tilavuuskaavassa:

Huomio: jos sinulla on säännöllinen tetraedri (eli), kaava on seuraava:

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri.

Täällä ei tarvitse katsoa; Loppujen lopuksi pohja on neliö, ja siksi.

Löydämme sen. Pythagoraan lauseen mukaan

Tiedämmekö? Melkein. Katso:

(näimme tämän katsomalla sitä).

Korvaa kaavaan:

Ja nyt korvaamme tilavuuskaavan.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna.

Kuinka löytää? Katso, kuusikulmio koostuu täsmälleen kuudesta identtisestä säännöllisestä kolmiosta. Olemme jo etsineet säännöllisen kolmion pinta-alaa laskettaessa säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuutta; tässä käytämme löytämäämme kaavaa.

Nyt etsitään (se).

Pythagoraan lauseen mukaan

Mutta mitä väliä sillä on? Se on yksinkertaista, koska (ja kaikki muutkin) ovat oikeassa.

Korvataan:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDI. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Pyramidi on monitahoinen, joka koostuu mistä tahansa litteästä monikulmiosta (), pisteestä, joka ei ole pohjan tasossa (pyramidin yläosa) ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät pyramidin huipun pohjan pisteisiin (sivureunat).

Pyramidin huipulta pudonnut kohtisuora pohjan tasoon.

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu projisoituu pohjan keskelle.

Tavallisen pyramidin ominaisuus:

  • Tavallisessa pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
  • Kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.

Pyramidin tilavuus:

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestyksekkäästä Unified State Exam -kokeen läpäisystä, korkeakouluun pääsystä budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

  1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät - 299 hieroa.
  2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - 499 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Pyramidi on monitahoinen, jonka pohjassa on monikulmio. Kaikki pinnat puolestaan ​​muodostavat kolmioita, jotka suppenevat yhteen kärkeen. Pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​ja niin edelleen. Jotta voit määrittää, mikä pyramidi on edessäsi, riittää laskea kulmien lukumäärä sen pohjassa. "Pyramidin korkeuden" määritelmä löytyy hyvin usein koulun opetussuunnitelman geometriatehtävistä. Tässä artikkelissa yritämme tarkastella eri tapoja löytää se.

Pyramidin osat

Jokainen pyramidi koostuu seuraavista elementeistä:

  • sivupinnat, joissa on kolme kulmaa ja jotka suppenevat kärjessä;
  • apoteemi edustaa korkeutta, joka laskeutuu sen huipusta;
  • pyramidin yläosa on piste, joka yhdistää sivurivat, mutta ei ole pohjan tasossa;
  • kanta on monikulmio, jolla kärki ei ole;
  • pyramidin korkeus on segmentti, joka leikkaa pyramidin huipun ja muodostaa sen pohjan kanssa suoran kulman.

Kuinka löytää pyramidin korkeus, jos sen tilavuus tiedetään

Kaavan V = (S*h)/3 kautta (kaavassa V on tilavuus, S on pohjan pinta-ala, h on pyramidin korkeus) saadaan, että h = (3*V)/ S. Materiaalin vahvistamiseksi ratkaistaan ​​ongelma välittömästi. Kolmion muotoinen pohja on 50 cm 2 ja sen tilavuus 125 cm 3 . Kolmion muotoisen pyramidin korkeutta ei tunneta, mikä meidän on löydettävä. Täällä kaikki on yksinkertaista: lisäämme tiedot kaavaamme. Saamme h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Kuinka löytää pyramidin korkeus, jos diagonaalin pituus ja sen reunat ovat tiedossa

Kuten muistamme, pyramidin korkeus muodostaa suoran kulman kantansa kanssa. Tämä tarkoittaa, että korkeus, reuna ja diagonaalin puolikas muodostavat yhdessä Monet tietysti muistavat Pythagoraan lauseen. Kun tiedät kaksi ulottuvuutta, kolmatta määrää ei ole vaikea löytää. Muistakaamme hyvin tunnettu lause a² = b² + c², jossa a on hypotenuusa ja tässä tapauksessa pyramidin reuna; b - ensimmäinen haara tai puolet lävistäjästä ja c - vastaavasti toinen haara tai pyramidin korkeus. Tästä kaavasta c² = a² - b².

Nyt ongelma: tavallisessa pyramidissa lävistäjä on 20 cm, kun reunan pituus on 30 cm, sinun on löydettävä korkeus. Ratkaisemme: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Siten c = √ 500 = noin 22,4.

Kuinka löytää katkaistun pyramidin korkeus

Se on monikulmio, jonka poikkileikkaus on yhdensuuntainen kantansa kanssa. Katkaistun pyramidin korkeus on segmentti, joka yhdistää sen kaksi kantaa. Korkeus voidaan löytää säännölliselle pyramidille, jos tunnetaan molempien kantojen diagonaalien pituudet sekä pyramidin reuna. Olkoon isomman kannan diagonaali d1, pienemmän kannan diagonaali d2 ja reunan pituus on l. Korkeuden selvittämiseksi voit laskea korkeuksia kaavion kahdesta vastakkaisesta yläpisteestä sen pohjaan. Näemme, että meillä on kaksi suorakulmaista kolmiota; jäljellä on vain löytää niiden jalkojen pituudet. Tehdäksesi tämän vähentämällä pienemmän suuremmasta lävistäjästä ja jakamalla se kahdella. Joten löydämme yhden haaran: a = (d1-d2)/2. Sen jälkeen Pythagoraan lauseen mukaan meidän tarvitsee vain löytää toinen jalka, joka on pyramidin korkeus.

Katsotaan nyt tätä koko asiaa käytännössä. Meillä on tehtävä edessämme. Katkaistun pyramidin pohjassa on neliö, suuremman pohjan diagonaalipituus on 10 cm, pienemmän 6 cm ja reunan pituus 4 cm. Sinun on löydettävä korkeus. Ensin löydetään yksi jalka: a = (10-6)/2 = 2 cm. Yksi jalka on 2 cm ja hypotenuusa on 4 cm. Osoittautuu, että toinen jalka tai korkeus on 16- 4 = 12, eli h = √12 = noin 3,5 cm.

Sana "pyramidi" liitetään tahattomasti Egyptin majesteettisiin jättiläisiin, jotka vartioivat uskollisesti faaraoiden rauhaa. Ehkä siksi kaikki, jopa lapset, tunnistavat pyramidin erehtymättä.

Yritetään kuitenkin antaa sille geometrinen määritelmä. Kuvitellaan useita pistettä tasossa (A1, A2,..., An) ja yksi (E), joka ei kuulu siihen. Joten jos piste E (vertex) on yhdistetty pisteiden A1, A2,..., An (kanta) muodostaman monikulmion kärkiin, saadaan monitahoinen, jota kutsutaan pyramidiksi. On selvää, että pyramidin pohjassa olevalla monikulmiolla voi olla mikä tahansa määrä pisteitä, ja niiden lukumäärästä riippuen pyramidia voidaan kutsua kolmiomaiseksi, nelikulmaiseksi, viisikulmaiseksi jne.

Jos katsot pyramidia tarkasti, käy selväksi, miksi se määritellään myös toisella tavalla - geometrisena hahmona, jonka pohjassa on monikulmio ja sen sivupinnoina kolmiot, joita yhdistää yhteinen kärki.

Koska pyramidi on spatiaalinen hahmo, sillä on myös seuraava kvantitatiivinen ominaisuus, joka on laskettu pyramidin kannan ja sen korkeuden tulon tunnetusta yhtä suuresta kolmanneksesta:

Kaavaa johdettaessa pyramidin tilavuus lasketaan alun perin kolmiomaiselle pyramidin tilavuudelle ottamalla perustana vakiosuhde, joka yhdistää tämän arvon saman kanta- ja korkeuden omaavan kolmiomaisen prisman tilavuuteen, joka, kuten käy ilmi, on kolme kertaa suurempi määrä.

Ja koska mikä tahansa pyramidi on jaettu kolmiomaisiin, eikä sen tilavuus riipu todistuksen aikana tehdyistä rakenteista, annetun tilavuuskaavan pätevyys on ilmeinen.

Kaikkien pyramidien joukossa erillään ovat oikeat pyramidit, joiden pohjassa sen pitäisi "päätyä" pohjan keskelle.

Jos pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio, pohjan alueen laskemiseksi tarvitset:

  • jaa se kolmioihin ja neliöihin;
  • laske kunkin niistä pinta-ala;
  • laskea vastaan ​​saadut tiedot.

Pyramidin pohjassa olevan säännöllisen monikulmion tapauksessa sen pinta-ala lasketaan valmiilla kaavoilla, joten säännöllisen pyramidin tilavuus lasketaan melko yksinkertaisesti.

Esimerkiksi nelikulmaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi, jos se on säännöllinen, säännöllisen nelikulmion (neliön) sivun pituus pohjassa neliötetään ja kerrottuna pyramidin korkeudella tuloksena oleva tulo jaetaan kolme.

Pyramidin tilavuus voidaan laskea muilla parametreilla:

  • kolmanneksena pyramidiin piirretyn pallon säteen ja sen kokonaispinta-alan tulosta;
  • kaksi kolmasosaa kahden mielivaltaisesti valitun risteävän reunan välisen etäisyyden ja jäljellä olevien neljän reunan keskipisteet muodostavan suunnikkaan alueen tulosta.

Pyramidin tilavuus lasketaan yksinkertaisesti siinä tapauksessa, että sen korkeus osuu yhteen sivureunoista, toisin sanoen suorakaiteen muotoisen pyramidin tapauksessa.

Pyramideista puhuttaessa emme voi sivuuttaa katkaistuja pyramideja, jotka saadaan leikkaamalla pyramidi pohjan suuntaisella tasolla. Niiden tilavuus on melkein yhtä suuri kuin koko pyramidin tilavuuden ja katkaistun yläosan välinen ero.

Demokritos löysi ensimmäisenä pyramidin tilavuuden, vaikkakaan ei tarkalleen nykyisessä muodossaan, mutta vastaa 1/3 meille tunteman prisman tilavuudesta. Arkhimedes kutsui laskentamenetelmäänsä "ilman todisteita", koska Demokritos lähestyi pyramidia hahmona, joka muodostui äärettömän ohuista, samanlaisista levyistä.

Vektorialgebra "käsitteli" myös pyramidin tilavuuden löytämisen sen kärkipisteiden koordinaattien avulla. Pyramidi, joka on rakennettu vektorien a, b, c kolminkertaiseksi, on yhtä suuri kuin kuudesosa annettujen vektorien sekatulon moduulista.