Käännettävät matriisit. korkeampaa matematiikkaa

Tämä aihe on yksi vihatuimmista opiskelijoiden keskuudessa. Pahempaa, luultavasti vain määrääviä tekijöitä.

Temppu on siinä, että käänteiselementin käsite (enkä nyt puhu vain matriiseista) viittaa kertolaskuoperaatioon. Jopa koulun opetussuunnitelmassa kertolaskua pidetään monimutkaisena toimenpiteenä, ja matriisikerto on yleensä erillinen aihe, jolle minulla on kokonainen kappale ja videotunti omistettu sille.

Tänään emme mene matriisilaskelmien yksityiskohtiin. Muista vain: kuinka matriiseja merkitään, kuinka ne kerrotaan ja mitä tästä seuraa.

Katsaus: Matriisimultiointi

Ensinnäkin sovitaan merkinnöistä. Matriisi $A$, jonka koko on $\left[ m\times n \right]$, on yksinkertaisesti numerotaulukko, jossa on täsmälleen $m$ riviä ja $n$ saraketta:

\=\aliviiva(\left[ \begin(matriisi) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matriisi) \oikea])_(n)\]

Jotta rivejä ja sarakkeita ei vahingossa sekoitettaisi paikoin (usko minua, kokeessa voit sekoittaa yksikön kakkosella - mitä voimme sanoa joistakin riveistä siellä), katso vain kuvaa:

Mitä tapahtuu? Jos sijoitamme vakiokoordinaattijärjestelmän $OXY$ vasempaan yläkulmaan ja suuntaamme akselit niin, että ne kattavat koko matriisin, tämän matriisin jokainen solu voidaan liittää yksilöllisesti koordinaatteihin $\left(x;y \right) $ - tämä on rivin numero ja sarakkeen numero.

Miksi koordinaattijärjestelmä on sijoitettu tarkalleen vasempaan yläkulmaan? Kyllä, koska juuri sieltä alamme lukea tekstejä. Se on erittäin helppo muistaa.

Miksi $x$-akseli osoittaa alaspäin eikä oikealle? Jälleen se on yksinkertaista: ota vakiokoordinaatisto ($x$-akseli menee oikealle, $y$-akseli nousee) ja kierrä sitä niin, että se sulkee sisäänsä matriisin. Tämä on 90 asteen kierto myötäpäivään - näemme sen tuloksen kuvassa.

Yleisesti ottaen selvitimme, kuinka määrittää matriisielementtien indeksit. Nyt käsitellään kertolaskua.

Määritelmä. Matriisit $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$, kun ensimmäisen sarakkeiden lukumäärä vastaa toisen rivien määrää, ovat kutsutaan johdonmukaiseksi.

Se on siinä järjestyksessä. Voidaan olla epäselvä ja sanoa, että matriisit $A$ ja $B$ muodostavat järjestetyn parin $\left(A;B \right)$: jos ne ovat johdonmukaisia ​​tässä järjestyksessä, ei ole ollenkaan välttämätöntä, että $B $ ja $ A $, ne. pari $\left(B;A \right)$ on myös johdonmukainen.

Vain yhdenmukaiset matriisit voidaan kertoa.

Määritelmä. Yhdenmukaisten matriisien $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$ tulo on uusi matriisi $C=\left[ m\times k \right ]$ , jonka elementit $((c)_(ij))$ lasketaan kaavalla:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Toisin sanoen: saadaksesi matriisin $C=A\cdot B$ elementin $((c)_(ij))$, sinun on otettava ensimmäisen matriisin $i$-rivi, $j$ -toisen matriisin sarake ja kerro sitten tämän rivin ja sarakkeen elementit. Laske tulokset yhteen.

Kyllä, se on kova määritelmä. Siitä seuraa välittömästi useita tosiasioita:

1. Matriisin kertolasku on yleisesti ottaen ei-kommutatiivinen: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Kertominen on kuitenkin assosiatiivista: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ja jopa distributiivinen: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ja jälleen distributiivinen: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Kertolaskujen distributiivisuus oli kuvattava erikseen vasemmalle ja oikealle kertojasummalle jo pelkästään kertolaskuoperaation ei-kommutatiivisuuden vuoksi.

Jos kuitenkin käy ilmi, että $A\cdot B=B\cdot A$, tällaisia ​​matriiseja kutsutaan muuttuviksi.

Kaikkien matriisien joukossa, jotka kerrotaan jollakin siellä, on erityisiä - niitä, jotka kerrottuna millä tahansa matriisilla $A$ antavat jälleen $A$:

Määritelmä. Matriisia $E$ kutsutaan identiteetiksi, jos $A\cdot E=A$ tai $E\cdot A=A$. Neliömatriisin $A$ tapauksessa voimme kirjoittaa:

Identiteettimatriisi on usein vieras matriisiyhtälöiden ratkaisemisessa. Ja ylipäätään, toistuva vieras matriisien maailmassa. :)

Ja tämän $E$:n takia joku keksi kaiken pelin, joka kirjoitetaan seuraavaksi.

Mikä on käänteimatriisi

Koska matriisin kertominen on erittäin aikaa vievä toimenpide (sinun täytyy kertoa joukko rivejä ja sarakkeita), käänteismatriisin käsite ei myöskään ole kaikkein triviaalisin. Ja se vaatii selitystä.

Avaimen määritelmä

No, on aika tietää totuus.

Määritelmä. Matriisia $B$ kutsutaan matriisin $A$ käänteiseksi jos

Käänteinen matriisi on merkitty $((A)^(-1))$ (ei pidä sekoittaa asteeseen!), joten määritelmä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Vaikuttaa siltä, ​​​​että kaikki on erittäin yksinkertaista ja selkeää. Mutta kun analysoidaan tällaista määritelmää, herää välittömästi useita kysymyksiä:

1. Onko käänteismatriisi aina olemassa? Ja jos ei aina, niin kuinka määrittää: milloin se on olemassa ja milloin ei?
2. Ja kuka sanoi, että tällainen matriisi on täsmälleen yksi? Entä jos jollakin alkuperäisellä matriisilla $A$ on kokonainen joukko käänteisiä?
3. Miltä kaikki nämä "käänteiset" näyttävät? Ja miten ne oikeastaan ​​lasketaan?

Mitä tulee laskenta-algoritmeihin - puhumme tästä hieman myöhemmin. Mutta vastaamme nyt muihin kysymyksiin. Järjestetään ne erillisten väitteiden-lemmojen muotoon.

Perusominaisuudet

Aloitetaan siitä, miltä matriisin $A$ pitäisi näyttää, jotta siinä olisi $((A)^(-1))$. Nyt varmistamme, että näiden molempien matriisien on oltava neliön muotoisia ja samankokoisia: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Annettu matriisi $A$ ja sen käänteinen $((A)^(-1))$. Sitten nämä molemmat matriisit ovat neliömäisiä ja niillä on sama järjestys $n$.

Todiste. Kaikki on yksinkertaista. Olkoon matriisi $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Koska tulo $A\cdot ((A)^(-1))=E$ on määritelmän mukaan olemassa, matriisit $A$ ja $((A)^(-1))$ ovat johdonmukaisia ​​tässä järjestyksessä:

\[\begin(tasaa) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( kohdistaa)\]

Tämä on suora seuraus matriisin kertolaskualgoritmista: kertoimet $n$ ja $a$ ovat "transit" ja niiden on oltava yhtä suuret.

Samalla määritellään myös käänteinen kertolasku: $((A)^(-1))\cdot A=E$, joten matriisit $((A)^(-1))$ ja $A$ ovat johdonmukainen myös tässä järjestyksessä:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( kohdistaa)\]

Näin ollen yleisyyden menettämättä voidaan olettaa, että $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Kuitenkin määritelmän mukaan $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, joten matriisien mitat ovat täsmälleen samat:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Joten käy ilmi, että kaikki kolme matriisia - $A$, $((A)^(-1))$ ja $E$ - ovat neliön kokoisia $\left[ n\times n \right]$. Lemma on todistettu.

No se on jo hyvä. Näemme, että vain neliömatriisit ovat käänteisiä. Varmistetaan nyt, että käänteinen matriisi on aina sama.

Lemma 2. Annettu matriisi $A$ ja sen käänteinen $((A)^(-1))$. Sitten tämä käänteismatriisi on ainutlaatuinen.

Todiste. Aloitetaan päinvastaisesta: olkoon matriisissa $A$ vähintään kaksi käänteisinstanssia — $B$ ja $C$. Sitten määritelmän mukaan seuraavat yhtäläisyydet ovat tosia:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(tasaa)\]

Lemmasta 1 päättelemme, että kaikki neljä matriisia $A$, $B$, $C$ ja $E$ ovat neliöitä, jotka ovat samaa järjestystä: $\left[ n\times n \right]$. Siksi tuote määritellään:

Koska matriisin kertolasku on assosiatiivista (mutta ei kommutatiivista!), voimme kirjoittaa:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Nuori oikealle B=C. \\ \end(tasaa)\]

Saimme ainoan mahdollisen vaihtoehdon: kaksi käänteismatriisin kopiota ovat yhtä suuret. Lemma on todistettu.

Yllä oleva päättely toistaa lähes sanatarkasti todisteen käänteiselementin ainutlaatuisuudesta kaikille reaaliluvuille $b\ne 0$. Ainoa merkittävä lisäys on matriisien ulottuvuuden huomioon ottaminen.

Emme kuitenkaan vielä tiedä mitään siitä, onko jokin neliömatriisi käännettävä. Tässä determinantti tulee avuksemme - tämä on keskeinen ominaisuus kaikille neliömatriiseille.

Lemma 3. Annettu matriisi $A$. Jos matriisi $((A)^(-1))$ on käänteinen sille, niin alkuperäisen matriisin determinantti on nollasta poikkeava:

\[\left| A \oikea|\ne 0\]

Todiste. Tiedämme jo, että $A$ ja $((A)^(-1))$ ovat neliömatriiseja, joiden koko on $\left[ n\times n \right]$. Siksi jokaiselle niistä on mahdollista laskea determinantti: $\left| A \right|$ ja $\left| ((A)^(-1)) \oikea|$. Tuotteen determinantti on kuitenkin yhtä suuri kuin determinanttien tulo:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \oikea|\]

Mutta määritelmän $A\cdot ((A)^(-1))=E$ mukaan ja $E$:n determinantti on aina yhtä suuri kuin 1, joten

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\oikea|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \oikea|=1. \\ \end(tasaa)\]

Kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin yksi vain, jos kukin näistä luvuista on eri kuin nolla:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \oikea|\ne 0.\]

Joten käy ilmi, että $\left| A \oikea|\ne 0$. Lemma on todistettu.

Itse asiassa tämä vaatimus on varsin looginen. Nyt analysoimme algoritmia käänteismatriisin löytämiseksi - ja tulee täysin selväksi, miksi periaatteessa ei käänteismatriisia voi olla olemassa nolladeterminantilla.

Mutta ensin muotoillaan "apu" määritelmä:

Määritelmä. Degeneroitu matriisi on neliömatriisi, jonka koko on $\left[ n\times n \right]$ ja jonka determinantti on nolla.

Siten voimme väittää, että mikä tahansa käännettävä matriisi on ei-degeneroitunut.

Kuinka löytää käänteismatriisi

Nyt tarkastelemme universaalia algoritmia käänteisten matriisien löytämiseksi. Yleisesti ottaen on olemassa kaksi yleisesti hyväksyttyä algoritmia, ja tarkastelemme myös toista tänään.

Nyt harkittava matriisi on erittäin tehokas matriiseille, joiden koko on $\vasen[ 2\kertaa 2 \oikea]$ ja - osittain - koko $\left[ 3\time 3 \right]$. Mutta koosta $\left[ 4\time 4 \right]$ alkaen on parempi olla käyttämättä sitä. Miksi - nyt ymmärrät kaiken.

Algebralliset lisäykset

Valmistaudu. Nyt tulee kipua. Ei, älä huoli: kaunis sairaanhoitaja hameessa, pitsillä varustetut sukat eivät tule luoksesi, eikä anna sinulle pistosta pakaraan. Kaikki on paljon proosallisempaa: algebralliset lisäykset ja Hänen Majesteettinsa "Union Matrix" ovat tulossa sinulle.

Aloitetaan tärkeimmästä. Olkoon neliömatriisi, jonka koko on $A=\left[ n\times n \right]$, jonka alkioiden nimi on $((a)_(ij))$. Sitten jokaiselle tällaiselle elementille voidaan määrittää algebrallinen komplementti:

Määritelmä. Algebrallinen komplementti $((A)_(ij))$ elementille $((a)_(ij))$ matriisin $A=\left rivillä $i$ ja sarakkeessa $j$. [ n \times n \right]$ on muodon konstruktio

\[((A)_(ij))=((\vasen(-1 \oikea))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Missä $M_(ij)^(*)$ on matriisin determinantti, joka on saatu alkuperäisestä $A$:sta poistamalla sama $i$:s rivi ja $j$- sarake.

Uudelleen. Matriisielementin algebrallinen komplementti koordinaateilla $\left(i;j \right)$ merkitään $((A)_(ij))$ ja lasketaan seuraavan kaavan mukaan:

1. Ensin poistetaan alkuperäisestä matriisista $i$-rivi ja $j$-s sarake. Saamme uuden neliömatriisin ja merkitsemme sen determinanttia $M_(ij)^(*)$.
2. Sitten kerromme tämän determinantin arvolla $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - tämä lause saattaa aluksi tuntua järkyttävältä, mutta itse asiassa löydämme vain merkin $:n edessä M_(ij)^(*) $.
3. Laskemme - saamme tietyn numeron. Nuo. algebrallinen yhteenlasku on vain luku, ei jokin uusi matriisi ja niin edelleen.

Itse matriisia $M_(ij)^(*)$ kutsutaan elementin $((a)_(ij))$ komplementaariseksi moliksi. Ja tässä mielessä yllä oleva algebrallisen komplementin määritelmä on erikoistapaus monimutkaisemmasta määritelmästä - siitä, jota tarkastelimme determinanttia koskevassa oppitunnissa.

Tärkeä muistiinpano. Itse asiassa "aikuisten" matematiikassa algebralliset lisäykset määritellään seuraavasti:

1. Otamme neliömatriisiin $k$ riviä ja $k$ saraketta. Niiden leikkauskohdassa saadaan matriisi, jonka koko on $\left[ k\times k \right]$ — sen determinanttia kutsutaan kertaluvun $k$ minoriksi ja sitä merkitään $((M)_(k))$.
2. Sitten yliviivataan nämä "valitut" $k$ rivit ja $k$ sarakkeet. Jälleen saamme neliömatriisin - sen determinanttia kutsutaan komplementaariseksi molliksi ja sitä merkitään $M_(k)^(*)$.
3. Kerro $M_(k)^(*)$ arvolla $((\left(-1 \right)))^(t))$, missä $t$ on (huomio nyt!) kaikkien valittujen rivien lukujen summa ja sarakkeet. Tämä on algebrallinen lisäys.

Katso kolmatta vaihetta: itse asiassa on 2 000 dollarin ehtojen summa! Toinen asia on, että arvolle $k=1$ saamme vain 2 termiä - nämä ovat samat $i+j$ - elementin $((a)_(ij))$ "koordinaatit", jolle olemme etsivät algebrallista komplementtia.

Joten tänään käytämme hieman yksinkertaistettua määritelmää. Mutta kuten myöhemmin näemme, se on enemmän kuin tarpeeksi. Paljon tärkeämpää on seuraava:

Määritelmä. Liitomatriisi $S$ neliömatriisiin $A=\left[ n\times n \right]$ on uusi matriisi, jonka koko on $\left[ n\times n \right]$, joka saadaan $A$ korvaamalla $((a)_(ij))$ algebrallisilla komplementeilla $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matriisi) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matriisi) \oikea]\]

Ensimmäinen ajatus, joka herää tämän määritelmän ymmärtämisen hetkellä, on "näin paljon sinun täytyy laskea yhteensä!" Rentoudu: sinun täytyy laskea, mutta ei niin paljon. :)

No, kaikki tämä on erittäin mukavaa, mutta miksi se on välttämätöntä? Mutta miksi.

Päälause

Palataanpa hieman taaksepäin. Muista, että Lemma 3 totesi, että käännettävä matriisi $A$ on aina ei-singulaarinen (eli sen determinantti on nollasta poikkeava: $\left| A \right|\ne 0$).

Päinvastoin on siis myös totta: jos matriisi $A$ ei ole degeneroitunut, se on aina käännettävä. Ja on jopa hakumalli $((A)^(-1))$. Tarkista se:

Käänteismatriisilause. Olkoon neliömatriisi $A=\left[ n\times n \right]$, ja sen determinantti on nollasta poikkeava: $\left| A \oikea|\ne 0$. Sitten käänteismatriisi $((A)^(-1))$ on olemassa ja se lasketaan kaavalla:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Ja nyt - kaikki sama, mutta luettavalla käsialalla. Käänteimatriisin löytämiseksi tarvitset:

1. Laske determinantti $\left| \right|$ ja varmista, että se ei ole nolla.
2. Kokoa liittomatriisi $S$, ts. laske 100500 algebrallista lisäystä $((A)_(ij))$ ja aseta ne paikoilleen $((a)_(ij))$.
3. Transponoi tämä matriisi $S$ ja kerro se sitten jollain luvulla $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Ja siinä se! Käänteismatriisi $((A)^(-1))$ löytyy. Katsotaanpa esimerkkejä:

\[\left[ \begin(matriisi) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriisi) \oikea]\]

Ratkaisu. Tarkastetaan käännettävyys. Lasketaan determinantti:

\[\left| A \oikea|=\vasen| \begin(matriisi) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriisi) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantti on eri kuin nolla. Joten matriisi on käännettävä. Luodaan liittomatriisi:

Lasketaan algebralliset lisäykset:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\oikea|=2; \\ & ((A)_(12))=((\vasen(-1 \oikea))^(1+2))\cdot \left| 5\oikea|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\vasen(-1 \oikea))^(2+1))\cdot \left| 1 \oikea|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\vasen(-1 \oikea))^(2+2))\cdot \left| 3\oikea|=3. \\ \end(tasaa)\]

Kiinnitä huomiota: determinantit |2|, |5|, |1| ja |3| ovat $\left[ 1\times 1 \right]$ kokoisten matriisien determinantteja, eivät moduuleita. Nuo. jos determinanteissa oli negatiivisia lukuja, "miinus" ei ole tarpeen poistaa.

Yhteensä liittomatriisimme näyttää tältä:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (taulukko)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK, nyt kaikki on ohi. Ongelma ratkaistu.

Vastaus. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Tehtävä. Etsi käänteismatriisi:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Ratkaisu. Jälleen tarkastelemme määräävää tekijää:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matriisi ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\vasen (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matriisi)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantti on eri kuin nolla - matriisi on käännettävä. Mutta nyt se tulee olemaan kaikkein tylsin: sinun täytyy laskea jopa 9 (yhdeksän, hemmetti!) Algebrallinen lisäys. Ja jokainen niistä sisältää $\left[ 2\times 2 \right]$-määritteen. Lensi:

\[\begin(matriisi) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriisi) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriisi) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\vasen(-1 \oikea))^(1+2))\cdot \left| \begin(matriisi) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriisi) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\vasen(-1 \oikea))^(1+3))\cdot \left| \begin(matriisi) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriisi) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\vasen(-1 \oikea))^(3+3))\cdot \left| \begin(matriisi) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriisi) \right|=2; \\ \end(matriisi)\]

Lyhyesti sanottuna liittomatriisi näyttää tältä:

Siksi käänteinen matriisi on:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matriisi) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matriisi) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

No, siinä kaikki. Tässä on vastaus.

Vastaus. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Kuten näet, teimme jokaisen esimerkin lopussa tarkistuksen. Tältä osin tärkeä huomautus:

Älä ole laiska tarkistamaan. Kerro alkuperäinen matriisi löydetyllä käänteisellä - sinun pitäisi saada $E$.

Tämä tarkistus on paljon helpompaa ja nopeampaa kuin etsiä virhettä jatkolaskuissa, kun esimerkiksi ratkaiset matriisiyhtälön.

Vaihtoehtoinen tapa

Kuten sanoin, käänteismatriisilause toimii hyvin koolle $\left[ 2\times 2 \right]$ ja $\left[ 3\times 3 \right]$ (jälkimmäisessä tapauksessa se ei ole niin "hieno") enää). ”), mutta suurilla matriiseilla suru alkaa.

Mutta älä huoli: on olemassa vaihtoehtoinen algoritmi, jonka avulla voidaan rauhallisesti löytää käänteisarvo jopa $\left[ 10\times 10 \right]$ -matriisille. Mutta kuten usein tapahtuu, tämän algoritmin harkitsemiseksi tarvitsemme hieman teoreettista taustaa.

Elementaariset muunnokset

Matriisin eri muunnosten joukossa on useita erityisiä - niitä kutsutaan alkeiksi. Tällaisia ​​muunnoksia on tasan kolme:

1. Kertominen. Voit ottaa $i$-:nnen rivin (sarakkeen) ja kertoa sen millä tahansa luvulla $k\ne 0$;
2. Lisäys. Lisää $i$.:nnelle riville (sarakkeelle) mikä tahansa muu $j$.:nnes rivi (sarake) kerrottuna millä tahansa luvulla $k\ne 0$ (tietysti myös $k=0$ on mahdollista, mutta mitä järkeä) siitä? Mikään ei kuitenkaan muutu).
3. Permutaatio. Ota $i$-. ja $j$-. rivit (sarakkeet) ja vaihda ne.

Miksi näitä muunnoksia kutsutaan alkeisarvoiksi (suurilla matriiseilla ne eivät näytä niin alkeisarvoisilta) ja miksi niitä on vain kolme - nämä kysymykset eivät kuulu tämän päivän oppitunnin piiriin. Siksi emme mene yksityiskohtiin.

Toinen asia on tärkeä: meidän on suoritettava kaikki nämä perversiot liittyvälle matriisille. Kyllä, kyllä, kuulit oikein. Nyt on vielä yksi määritelmä - viimeinen tämän päivän oppitunnilla.

Liitteenä Matrix

Varmasti koulussa ratkaisit yhtälöjärjestelmiä summausmenetelmällä. No, vähennä toinen yhdestä rivistä, kerro jokin rivi luvulla - siinä kaikki.

Joten: nyt kaikki on ennallaan, mutta jo "aikuisen tavalla". Valmis?

Määritelmä. Olkoon matriisi $A=\left[ n\times n \right]$ ja identiteettimatriisi $E$ samankokoinen $n$. Sitten siihen liittyvä matriisi $\left[ A\left| E\oikea. \right]$ on uusi $\left[ n\times 2n \right]$ matriisi, joka näyttää tältä:

\[\left[ A\left| E\oikea. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Lyhyesti sanottuna otamme matriisin $A$, oikealla osoitamme siihen tarvittavan kokoisen identiteettimatriisin $E$, erottelemme ne pystypalkilla kauneuden vuoksi - tässä on liitteenä. :)

Mikä on juju? Ja tässä mitä:

Lause. Olkoon matriisi $A$ käännettävä. Tarkastellaan adjointmatriisia $\left[ A\left| E\oikea. \oikea]$. Jos käytät alkeismerkkijonomuunnoksia tuo se muotoon $\left[ E\left| Kirkas. \right]$, ts. kertomalla, vähentämällä ja järjestämällä rivit uudelleen saadaksesi $A$:sta oikeanpuoleisen matriisin $E$, jolloin vasemmalla oleva matriisi $B$ on $A$:n käänteis:

\[\left[ A\left| E\oikea. \oikea]\vasemmalle[ E\left| Kirkas. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Se on niin yksinkertaista! Lyhyesti sanottuna algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi näyttää tältä:

1. Kirjoita siihen liittyvä matriisi $\left[ A\left| E\oikea. \right]$;
2. Suorita perusmerkkijonon muunnoksia, kunnes oikealle tulee $A$ sijaan $E$;
3. Tietysti jotain näkyy myös vasemmalla - tietty matriisi $B$. Tämä on päinvastoin;
4. TULOT! :)

Tietysti paljon helpommin sanottu kuin tehty. Katsotaanpa siis pari esimerkkiä: koot $\left[ 3\times 3 \right]$ ja $\left[ 4\times 4 \right]$.

Tehtävä. Etsi käänteismatriisi:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Ratkaisu. Kokoamme liitteenä olevan matriisin:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Koska alkuperäisen matriisin viimeinen sarake on täytetty ykkösillä, vähennä ensimmäinen rivi lopuista:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matriisi)\to \\ & \to \vasemmalle [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Yksiköitä ei ole enempää, paitsi ensimmäinen rivi. Mutta emme koske siihen, muuten äskettäin poistetut yksiköt alkavat "lisätä" kolmannessa sarakkeessa.

Mutta voimme vähentää toisen rivin kahdesti viimeisestä - saamme yksikön vasemmassa alakulmassa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriisi) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matriisi)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nyt voimme vähentää viimeisen rivin ensimmäisestä ja kahdesti toisesta - tällä tavalla "nollaamme" ensimmäisen sarakkeen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriisi) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriisi)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Kerro toinen rivi -1:llä ja vähennä se sitten 6 kertaa ensimmäisestä ja lisää 1 kerta viimeiseen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriisi) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriisi) -6 \\ \ylänuoli \\ +1 \\\end (matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Jää vain vaihtaa rivit 1 ja 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Valmis! Oikealla on vaadittu käänteimatriisi.

Vastaus. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Tehtävä. Etsi käänteismatriisi:

\[\left[ \begin(matriisi) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriisi) \oikea]\]

Ratkaisu. Jälleen laadimme liitteen:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Lainataan vähän, huolehditaan siitä, kuinka paljon meidän on nyt laskettava ... ja aloitetaan laskeminen. Aluksi "nollaamme" ensimmäisen sarakkeen vähentämällä rivi 1 riveistä 2 ja 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(taulukko) \right]\begin(matriisi) \alasnuoli \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Havaitsemme liian monta "miinusta" riveillä 2-4. Kerro kaikki kolme riviä −1:llä ja polta sitten kolmas sarake vähentämällä rivi 3 lopuista:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matriisi) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matriisi) -2 \\ -1 \\ \ylänuoli \\ -2 \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Nyt on aika "paistaa" alkuperäisen matriisin viimeinen sarake: vähennä rivi 4 lopuista:

\[\begin(tasaa) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matriisi) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Viimeinen rulla: "polta" toinen sarake vähentämällä rivi 2 rivistä 1 ja 3:

\[\begin(tasaa) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( taulukko) \right]\begin(matriisi) 6 \\ \nuoli ylös alas \\ -5 \\ \ \\\end(matriisi)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(tasaa)\]

Ja taas identiteettimatriisi vasemmalla, eli käänteis oikealla. :)

Vastaus. $\left[ \begin(matriisi) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriisi) \oikea]$

Samanlainen kuin käänteiset monissa ominaisuuksissa.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Kuinka löytää käänteinen matriisi - bezbotvy

✪ Käänteinen matriisi (2 tapaa löytää)

✪ Käänteinen matriisi #1

✪ 28.1.2015. Käänteinen matriisi 3x3

✪ 27.1.2015. Käänteinen matriisi 2x2

Tekstitykset

Käänteismatriisin ominaisuudet

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), missä det (\displaystyle \ \det ) tarkoittaa determinanttia.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) kahdelle neliömäiselle käännettävälle matriisille A (\näyttötyyli A) ja B (\näyttötyyli B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\näyttötyyli \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), missä (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tarkoittaa transponoitua matriisia.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) mille tahansa kertoimelle k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\näyttötyyli \ E^(-1)=E).
• Jos on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä , (b on nollasta poikkeava vektori), jossa x (\displaystyle x) on haluttu vektori, ja jos A − 1 (\displaystyle A^(-1)) on siis olemassa x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Muuten joko ratkaisuavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin nolla tai niitä ei ole ollenkaan.

Tapoja löytää käänteinen matriisi

Jos matriisi on käännettävä, voit löytää matriisin käänteisen käyttämällä jotakin seuraavista menetelmistä:

Tarkat (suorat) menetelmät

Gauss-Jordan menetelmä

Otetaan kaksi matriisia: itse A ja sinkku E. Otetaan matriisi A identiteettimatriisiin Gauss-Jordan-menetelmällä käyttämällä muunnoksia riveissä (voit käyttää muunnoksia myös sarakkeissa, mutta ei sekoituksessa). Kun olet käyttänyt jokaista operaatiota ensimmäiseen matriisiin, käytä samaa operaatiota toiseen. Kun ensimmäisen matriisin pelkistys identiteettilomakkeeksi on valmis, toinen matriisi on yhtä suuri kuin A -1.

Gauss-menetelmää käytettäessä ensimmäinen matriisi kerrotaan vasemmalta jollakin perusmatriiseista Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvektio- tai diagonaalimatriisi päädiagonaalilla, paitsi yhtä kohtaa):

Toinen matriisi kaikkien operaatioiden soveltamisen jälkeen on yhtä suuri kuin Λ (\displaystyle \Lambda), eli se on haluttu. Algoritmin monimutkaisuus - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Algebrallisten lisäysten matriisin käyttö

Matriisi Käänteinen matriisi A (\näyttötyyli A), edustaa muodossa

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

missä adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- kiinnitetty matriisi;

Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinantin O det laskemiseen käytettävän algoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin O(n²) O det .

LU/LUP-hajotus

Matriisiyhtälö A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) käänteismatriisille X (\displaystyle X) voidaan katsoa kokoelmana n (\displaystyle n) muotoiset järjestelmät A x = b (\displaystyle Ax=b). Merkitse i (\displaystyle i)-matriisin sarake X (\displaystyle X) kautta X i (\displaystyle X_(i)); sitten A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),koska i (\displaystyle i)-matriisin sarake I n (\displaystyle I_(n)) on yksikkövektori e i (\displaystyle e_(i)). toisin sanoen käänteismatriisin löytäminen pelkistyy n yhtälön ratkaisemiseen samalla matriisilla ja eri oikealla puolella. LUP-laajennuksen suorittamisen jälkeen (aika O(n³)) jokaisen n yhtälön ratkaisemiseen kuluu O(n²) aikaa, joten myös tämä osa työtä vie O(n³) aikaa.

Jos matriisi A on epäsingulaarinen, voimme laskea sille LUP-hajoamisen P A = L U (\displaystyle PA=LU). Päästää P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\näyttötyyli B^(-1)=D). Sitten käänteismatriisin ominaisuuksista voimme kirjoittaa: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jos kerromme tämän yhtälön U:lla ja L:llä, saamme kaksi muodon yhtälöä U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) ja D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ensimmäinen näistä yhtälöistä on n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmä for n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) joiden oikeat puolet tunnetaan (kolmiomatriisien ominaisuuksista). Toinen on myös n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmä for n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) joiden oikeat puolet tunnetaan (myös kolmiomatriisien ominaisuuksista). Yhdessä ne muodostavat n² yhtäläisyyden järjestelmän. Näiden yhtälöiden avulla voimme määrittää rekursiivisesti matriisin D kaikki n² alkiot. Sitten yhtälöstä (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. saadaan yhtälö A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Käytettäessä LU-hajoamista ei vaadita matriisin D sarakkeiden permutaatiota, mutta ratkaisu voi poiketa, vaikka matriisi A olisi epäsingulaarinen.

Algoritmin monimutkaisuus on O(n³).

Iteratiiviset menetelmät

Schultzin menetelmät

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\summa _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\loppu(tapaukset)))

Virhearvio

Alkuarvioinnin valinta

Tässä tarkasteltujen iteratiivisen matriisin inversion prosesseissa alkuperäisen approksimaation valintaongelma ei salli meidän käsitellä niitä itsenäisinä universaaleina menetelminä, jotka kilpailevat esimerkiksi matriisien LU-hajotukseen perustuvien suorien inversiomenetelmien kanssa. Valinnassa on joitain suosituksia U 0 (\displaystyle U_(0)), varmistaen ehdon täyttymisen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matriisin spektrisäde on pienempi kuin yksikkö), mikä on välttämätöntä ja riittävä prosessin konvergenssille. Tässä tapauksessa on kuitenkin ensin tiedettävä ylhäältä estimaatti käännettävän matriisin A tai matriisin spektrille. A A T (\displaystyle AA^(T))(eli jos A on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi ja ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), sitten voit ottaa U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), missä ; jos A on mielivaltainen ei-singulaarinen matriisi ja ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), oletetaan sitten U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), missä myös α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Tietysti tilannetta voidaan yksinkertaistaa ja käyttämällä sitä tosiasiaa ρ (A A T) ≤ k A A T k (\näyttötyyli \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), laita U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Toiseksi, tällaisella alkuperäisen matriisin määrittelyllä ei ole takeita siitä ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) tulee olemaan pieni (ehkä jopa ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), eikä lähentymisasteen korkea luokka ole heti havaittavissa.

Esimerkkejä

Matriisi 2x2

2x2-matriisin inversio on mahdollista vain sillä ehdolla a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Matriisia A -1 kutsutaan käänteismatriisiksi suhteessa matriisiin A, jos A * A -1 \u003d E, missä E on n:nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.

Palvelutehtävä. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia lisäyksiä, transponoidun matriisin A T , liittomatriisin ja käänteimatriisin. Ratkaisu suoritetaan suoraan sivustolla (verkossa) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.

Ohje. Ratkaisun saamiseksi sinun on määritettävä matriisin mitat. Täytä seuraavaksi uudessa valintaikkunassa matriisi A .

Katso myös käänteinen matriisi Jordan-Gaussin menetelmällä

Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

1. Transponoidun matriisin A T löytäminen.
2. Algebrallisten lisäysten määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
3. Käänteismatriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.

1. Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
2. Matriisin A determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
3. Algebrallisten lisäysten määritelmä.
4. Liittymämatriisin (keskinäinen, adjunktinen) täyttäminen C .
5. Käänteimatriisin kokoaminen algebrallisista summauksista: adjointmatriisin C jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
6. Tee tarkistus: kerro alkuperäinen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.

Esimerkki #1. Kirjoitamme matriisin muodossa:

Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

1. Etsi annetun neliömatriisin A determinantti.
2. Löydämme matriisin A kaikkiin elementteihin algebrallisia lisäyksiä.
3. Kirjoitetaan rivien elementtien algebralliset komplementit sarakkeisiin (transponointi).
4. Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen alkion matriisin A determinantilla.

Erikoinen tapaus: Käänteisarvo identiteettimatriisin E suhteen on identiteettimatriisi E .

Jatkamme puhumista toiminnoista matriisien kanssa. Nimittäin tämän luennon opiskelun aikana opit löytämään käänteismatriisin. Oppia. Vaikka matematiikka on tiukkaa.

Mikä on käänteimatriisi? Tässä voidaan vetää analogia käänteislukujen kanssa: harkitse esimerkiksi optimistista lukua 5 ja sen käänteislukua. Näiden lukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi: . Sama on matriisien kanssa! Matriisin ja sen käänteistulo on - identiteettimatriisi, joka on numeerisen yksikön matriisianalogi. Ensin kuitenkin ratkaisemme tärkeän käytännön kysymyksen, nimittäin opimme löytämään tämän hyvin käänteisen matriisin.

Mitä sinun tulee tietää ja pystyä löytämään käänteinen matriisi? Sinun on voitava päättää määrääviä tekijöitä. Sinun on ymmärrettävä mikä on matriisi ja pystyä suorittamaan joitain toimintoja heidän kanssaan.

Käänteimatriisin löytämiseen on kaksi päämenetelmää:
käyttämällä algebralliset lisäykset ja käyttämällä alkeismuunnoksia.

Tänään tutkimme ensimmäistä, helpompaa tapaa.

Aloitetaan kamalimmista ja käsittämättömimmistä. Harkitse neliö- matriisi . Käänteinen matriisi voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Missä on matriisin determinantti, on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Käänteimatriisin käsite on olemassa vain neliömatriiseille, matriisit "kaksi kaksi", "kolme kolme" jne.

Merkintä: Kuten luultavasti jo huomasit, matriisin käänteisarvo on merkitty yläindeksillä

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - kaksi kertaa kaksi matriisista. Useimmiten tietysti vaaditaan "kolme kolmella", mutta suosittelen kuitenkin vahvasti yksinkertaisemman tehtävän opiskelua ratkaisun yleisen periaatteen oppimiseksi.

Esimerkki:

Etsi matriisin käänteisarvo

Me päätämme. Toimintojen sarja on kätevästi jaettu pisteiksi.

1) Ensin löydetään matriisin determinantti.

Jos tämän toiminnon ymmärtäminen ei ole hyvä, lue materiaali Kuinka determinantti lasketaan?

Tärkeä! Jos matriisin determinantti on NOLLA- käänteinen matriisi EI OLE OLEMASSA.

Tarkasteltavassa esimerkissä, kuten kävi ilmi, , mikä tarkoittaa, että kaikki on kunnossa.

2) Etsi alaikäisten matriisi.

Ongelmamme ratkaisemiseksi ei tarvitse tietää, mikä alaikäinen on, mutta on suositeltavaa lukea artikkeli Miten determinantti lasketaan.

Alaikäisten matriisilla on samat mitat kuin matriisilla , eli tässä tapauksessa .
Tapaus on pieni, on vielä löydettävä neljä numeroa ja asetettava ne tähtien sijaan.

Takaisin matriisiin
Katsotaanpa ensin vasenta yläkulmaa:

Kuinka löytää se alaikäinen?
Ja tämä tehdään näin: yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa tämä elementti sijaitsee:

Jäljellä oleva luku on annetun elementin molli, jonka kirjoitamme alaikäisten matriisiin:

Harkitse seuraavaa matriisielementtiä:

Yliviivaa mielessään rivi ja sarake, jossa tämä elementti sijaitsee:

Jäljelle jää tämän elementin molli, jonka kirjoitamme matriisiin:

Samalla tavalla tarkastelemme toisen rivin elementtejä ja löydämme niiden alaikäiset:


Valmis.

Se on yksinkertaista. Alaikäisten matriisissa tarvitset MUUTA MERKEJÄ kahdelle numerolle:

Nämä numerot olen ympyröinyt!

on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien matriisi .

Ja vain jotain…

4) Etsi algebrallisten summausten transponoitu matriisi.

on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

5) Vastaa.

Muista kaavamme
Kaikki löytynyt!

Käänteinen matriisi on siis:

On parasta jättää vastaus ennalleen. EI TARVETTA jaa jokainen matriisin elementti kahdella, koska saadaan murtolukuja. Tätä vivahdetta käsitellään yksityiskohtaisemmin samassa artikkelissa. Toimet matriiseilla.

Kuinka tarkistaa ratkaisu?

Joko matriisikerto on suoritettava

Tutkimus:

jo mainittu identiteettimatriisi on matriisi, jossa on yksiköt päädiagonaali ja nollia muualla.

Siten käänteismatriisi löytyy oikein.

Jos suoritat toiminnon, tulos on myös identiteettimatriisi. Tämä on yksi harvoista tapauksista, joissa matriisikertominen on muuttuva, lisätietoja löytyy artikkelista Matriisien operaatioiden ominaisuudet. Matriisilausekkeet. Huomaa myös, että tarkistuksen aikana vakio (murto-osa) viedään eteenpäin ja käsitellään aivan lopussa - matriisin kertolaskujen jälkeen. Tämä on vakiomuoto.

Jatketaan käytännössä yleisempään tapaukseen - kolme kertaa kolme matriisiin:

Esimerkki:

Etsi matriisin käänteisarvo

Algoritmi on täsmälleen sama kuin kaksi kertaa kaksi tapauksessa.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla: , jossa on matriisin vastaavien alkioiden algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

1) Etsi matriisideterminantti.

Tässä ratkaiseva tekijä paljastuu ensimmäisellä rivillä.

Älä myöskään unohda sitä, mikä tarkoittaa, että kaikki on hyvin - käänteismatriisi on olemassa.

2) Etsi alaikäisten matriisi.

Alaikäisten matriisin ulottuvuus on "kolme kertaa kolme" , ja meidän on löydettävä yhdeksän numeroa.

Tarkastelen paria alaikäistä yksityiskohtaisesti:

Harkitse seuraavaa matriisielementtiä:

Yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa tämä elementti sijaitsee:

Loput neljä numeroa kirjoitetaan determinantilla "kaksi kertaa kaksi"

Tämä kaksi kertaa kaksi määräävä tekijä ja on annetun elementin molli. Se on laskettava:


Kaikki, molli löytyy, kirjoitamme sen alaikäisten matriisiin:

Kuten luultavasti arvasit, sinun on laskettava yhdeksän kaksi kertaa kaksi determinanttia. Prosessi on tietysti synkkä, mutta tapaus ei ole vaikein, se voi olla pahempi.

No, tiivistämiseksi - toisen alaikäisen löytäminen kuvista:

Yritä laskea loput alaikäiset itse.

Lopullinen tulos:
on matriisin vastaavien elementtien molliarvojen matriisi .

Se, että kaikki alaikäiset osoittautuivat negatiivisiksi, on puhdasta sattumaa.

3) Etsi algebrallisten lisäysten matriisi.

Alaikäisten matriisissa se on välttämätöntä MUUTA MERKEJÄ tiukasti seuraaville elementeille:

Tässä tapauksessa:

Käänteismatriisin löytämistä "neljä kertaa neljä" -matriisille ei harkita, koska vain sadistinen opettaja voi antaa tällaisen tehtävän (oppilas laskee yhden "neljä kertaa neljä" determinantin ja 16 "kolme x kolme" determinanttia) . Käytännössäni oli vain yksi tällainen tapaus, ja testin asiakas maksoi kärsimykseni melko kalliisti =).

Useista oppikirjoista ja käsikirjoista löytyy hieman erilainen lähestymistapa käänteismatriisin löytämiseen, mutta suosittelen yllä olevan ratkaisualgoritmin käyttöä. Miksi? Koska todennäköisyys hämmentyä laskelmissa ja merkeissä on paljon pienempi.

Tyypillisesti käänteisiä operaatioita käytetään monimutkaisten algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen. Jos tehtävä sisältää esimerkiksi murtoluvulla jakamisoperaation, voit korvata sen käänteisluvulla kertomisoperaatiolla, joka on käänteisoperaatio. Lisäksi matriiseja ei voi jakaa, joten sinun on kerrottava käänteismatriisilla. 3x3-matriisin käänteisarvon laskeminen on melko työlästä, mutta sinun on voitava tehdä se manuaalisesti. Voit myös löytää käänteisluvun hyvällä graafisella laskimella.

Askeleet

Käyttämällä liitteenä olevaa matriisia

Transponoi alkuperäinen matriisi. Transpositio tarkoittaa rivien korvaamista sarakkeilla suhteessa matriisin päädiagonaaliin, eli sinun on vaihdettava elementit (i, j) ja (j, i). Tässä tapauksessa päädiagonaalin elementit (alkaa vasemmasta yläkulmasta ja päättyy oikeaan alakulmaan) eivät muutu.

• Jos haluat vaihtaa rivit sarakkeisiin, kirjoita ensimmäisen rivin elementit ensimmäiseen sarakkeeseen, toisen rivin elementit toiseen sarakkeeseen ja kolmannen rivin elementit kolmanteen sarakkeeseen. Elementtien sijainnin muuttamisjärjestys on esitetty kuvassa, jossa vastaavat elementit on ympyröity värillisillä ympyröillä.