Tenttitehtävän ratkaisu 9. Graafisten tietojen koodaus

Yleinen keskiasteen koulutus

Line UMK G. K. Muravin. Algebra ja matemaattisen analyysin periaatteet (10-11) (syvällinen)

UMK Merzlyak -linja. Algebra ja analyysin alku (10-11) (U)

Matematiikka

Valmistautuminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Profiilitason koe kestää 3 tuntia 55 minuuttia (235 minuuttia).

Minimikynnys- 27 pistettä.

Tenttipaperi koostuu kahdesta osasta, jotka eroavat sisällöltään, monimutkaisuuden ja tehtävien lukumäärän osalta.

Jokaisen työn osan määrittävä piirre on tehtävien muoto:

• osa 1 sisältää 8 tehtävää (tehtävät 1-8), joissa on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa;
• Osa 2 sisältää 4 tehtävää (tehtävät 9-12), joiden vastaus on lyhyt kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa, ja 7 tehtävää (tehtävät 13-19) yksityiskohtaisella vastauksella (täydellinen selvitys ratkaisusta perusteluineen) toteutetut toimet).

Panova Svetlana Anatolevna, koulun korkeimman luokan matematiikan opettaja, työkokemus 20 vuotta:

”Oppilaitoksen todistuksen saamiseksi valmistuneen on läpäistävä kaksi pakollista yhtenäisen valtiontutkinnon koetta, joista yksi on matematiikka. Venäjän federaation matemaattisen koulutuksen kehittämiskonseptin mukaisesti yhtenäinen matematiikan valtiontutkinto on jaettu kahteen tasoon: perus- ja erikoistumistasoon. Tänään tarkastelemme profiilitason vaihtoehtoja."

Tehtävä nro 1- testaa yhtenäisen valtiontutkinnon osallistujien kykyä soveltaa 5.-9. luokan kurssilla alkeismatematiikan taitoja käytännön toiminnassa. Osallistujalla tulee olla laskentataidot, kyky työskennellä rationaalisten lukujen kanssa, pyöristää desimaalit ja kyettävä muuttamaan mittayksikkö toiseksi.

Esimerkki 1. Huoneistossa, jossa Peter asuu, asennettiin kylmän veden virtausmittari (mittari). Toukokuun 1. päivänä mittari näytti 172 kuutiometrin kulutusta. m vettä ja ensimmäisenä kesäkuuta - 177 kuutiometriä. m. Kuinka paljon Pietarin pitäisi maksaa kylmästä vedestä toukokuussa, jos hinta on 1 kuutiometri? m kylmää vettä on 34 ruplaa 17 kopekkaa? Anna vastauksesi ruplissa.

Ratkaisu:

1) Laske kuukaudessa käytetty vesimäärä:

177 - 172 = 5 (kuutiometriä)

2) Selvitetään kuinka paljon he maksavat hukkavedestä:

34,17 5 = 170,85 (hankaa)

Vastaus: 170,85.

Tehtävä nro 2- on yksi yksinkertaisimmista koetehtävistä. Suurin osa valmistuneista selviytyy siitä menestyksekkäästi, mikä osoittaa funktion käsitteen määritelmän tuntemista. Vaatimusten mukaisen tehtävän tyyppi nro 2 on tehtävä hankittujen tietojen ja taitojen käytöstä käytännön toiminnassa ja arjessa. Tehtävä nro 2 koostuu erilaisten suureiden välisten todellisten suhteiden kuvaamisesta, funktioiden avulla ja niiden kuvaajien tulkitsemisesta. Tehtävä nro 2 testaa kykyä poimia taulukoissa, kaavioissa ja kaavioissa esitettyjä tietoja. Valmistuneiden tulee kyetä määrittämään funktion arvo argumentin arvosta eri tavoilla funktion määrittämiseksi ja kuvata funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia sen kaavion perusteella. Sinun tulee myös pystyä löytämään suurin tai pienin arvo funktiokaaviosta ja rakentaa kaavioita tutkituista funktioista. Tehdyt virheet ovat satunnaisia ​​luettaessa ongelman ehtoja, luettaessa kaaviota.

#ADVERTISING_INSERT#

Esimerkki 2. Kuvassa näkyy kaivosyhtiön yhden osakkeen vaihto-arvon muutos huhtikuun 2017 ensimmäisellä puoliskolla. Liikemies osti 7. huhtikuuta 1 000 tämän yhtiön osaketta. Hän myi 10. huhtikuuta kolme neljäsosaa ostamistaan ​​osakkeista ja 13. huhtikuuta kaikki loput osakkeet. Kuinka paljon liikemies menetti näiden toimien seurauksena?

Ratkaisu:

2) 1000 · 3/4 = 750 (osakkeita) - muodostavat 3/4 kaikista ostetuista osakkeista.

6) 247500 + 77500 = 325000 (hankaa) - liikemies sai 1000 osaketta myynnin jälkeen.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (hankaa) - liikemies hävisi kaikkien toimien seurauksena.

Vastaus: 15000.

Tehtävä nro 3- on ensimmäisen osan perustehtävä, jossa testataan kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla kuvioilla Planimetry-kurssin sisällön mukaisesti. Tehtävä 3 testaa kykyä laskea kuvion pinta-ala ruudulliselle paperille, kykyä laskea kulmien astemittoja, laskea kehyksiä jne.

Esimerkki 3. Etsi ruudulliselle paperille piirretyn suorakulmion pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm (katso kuva). Anna vastauksesi neliösenttimetrinä.

Ratkaisu: Voit laskea tietyn kuvan pinta-alan käyttämällä Peak-kaavaa:

Tietyn suorakulmion alueen laskemiseksi käytämme Peakin kaavaa:

Esimerkki 4. Ympyrään on merkitty 5 punaista ja 1 sinistä pistettä. Selvitä, mitkä polygonit ovat suurempia: ne, joiden kaikki kärjet ovat punaisia, vai ne, joiden yksi kärkipisteistä on sininen. Ilmoita vastauksessasi, kuinka monta toisia on enemmän kuin toisia.

Ratkaisu: 1) Käytetään kaavaa yhdistelmien lukumäärälle n elementtejä k:

joiden kärjet ovat kaikki punaisia.

3) Yksi viisikulmio, jonka kaikki kärjet ovat punaisia.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonia, joissa on kaikki punaiset kärjet.

joissa on punainen toppi tai yksi sininen toppi.

joissa on punainen toppi tai yksi sininen toppi.

8) Yksi kuusikulmio punaisilla ja yksi sininen kärki.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonia, joissa on kaikki punaiset tai yksi sininen kärki.

10) 42 – 16 = 26 monikulmiota käyttämällä sinistä pistettä.

11) 26 – 16 = 10 polygonia – kuinka monta monikulmiota, jonka yksi kärjeistä on sininen piste, on enemmän kuin polygoneja, joiden kaikki kärjet ovat vain punaisia.

Vastaus: 10.

Tehtävä nro 5- Ensimmäisen osan perustasolla testataan kykyä ratkaista yksinkertaisia ​​yhtälöitä (irrationaalinen, eksponentiaalinen, trigonometrinen, logaritminen).

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Ratkaisu. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet luvulla 5 3 + X≠ 0, saamme

mistä seuraa, että 3+ x = 1, x = –2.

Vastaus: –2.

Tehtävä nro 6 planimetriassa geometristen suureiden (pituudet, kulmat, pinta-alat) etsiminen, todellisten tilanteiden mallintaminen geometrian kielellä. Rakennettujen mallien tutkiminen geometristen käsitteiden ja lauseiden avulla. Vaikeuksien lähde on yleensä tietämättömyys tai tarvittavien planimetrian lauseiden virheellinen soveltaminen.

Kolmion pinta-ala ABC vastaa 129. DE– sivun suuntainen keskiviiva AB. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala SÄNKY.

Ratkaisu. Kolmio CDE samanlainen kuin kolmio OHJAAMO kahdessa kulmassa, koska kulma kärjessä C yleinen, kulma СDE yhtä suuri kuin kulma OHJAAMO kuin vastaavat kulmat DE || AB sekantti A.C.. Koska DE on kolmion keskiviiva ehdon mukaan, sitten keskiviivan ominaisuuden mukaan | DE = (1/2)AB. Tämä tarkoittaa, että samankaltaisuuskerroin on 0,5. Näin ollen samankaltaisten lukujen pinta-alat suhteutetaan samankaltaisuuskertoimen neliöön

Siten, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tehtävä nro 7- tarkistaa derivaatan soveltamisen funktion tutkimiseen. Onnistunut toteutus edellyttää merkityksellistä, epämuodollista tietoa johdannaisen käsitteestä.

Esimerkki 7. Funktion kaavioon y = f(x) abskissapisteessä x 0 piirretään tangentti, joka on kohtisuorassa tämän kuvaajan pisteiden (4; 3) ja (3; –1) kautta kulkevaan viivaan nähden. löytö f′( x 0).

Ratkaisu. 1) Käytetään kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöä ja löydetään pisteiden (4; 3) ja (3; –1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, missä k 1 = 4.

2) Etsi tangentin kaltevuus k 2, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan y = 4x– 13, missä k 1 = 4 kaavan mukaan:

3) Tangenttikulma on funktion derivaatta tangenttipisteessä. tarkoittaa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastaus: –0,25.

Tehtävä nro 8- testaa kokeen osallistujien alkeisstereometrian tietämystä, kykyä soveltaa kaavoja kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien, dihedraalisten kulmien löytämiseen, vertailla samankaltaisten kuvioiden tilavuuksia, osaa suorittaa toimintoja geometrisilla kuvioilla, koordinaatteilla ja vektoreilla jne.

Pallon ympärille piirretyn kuution tilavuus on 216. Selvitä pallon säde.

Ratkaisu. 1) V kuutio = a 3 (missä A– kuution reunan pituus), siis

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Koska pallo on kirjoitettu kuutioon, se tarkoittaa, että pallon halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin kuution reunan pituus, joten d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tehtävä nro 9- edellyttää valmistuneelta taitoa algebrallisten lausekkeiden muuntamiseen ja yksinkertaistamiseen. Tehtävä nro 9, vaikeusaste, lyhyellä vastauksella. Yhtenäisen valtionkokeen "Laskut ja muunnokset" -osion tehtävät on jaettu useisiin tyyppeihin:

numeeristen rationaalisten lausekkeiden muunnos;

algebrallisten lausekkeiden ja murtolukujen muuntaminen;

numeeristen/kirjaimien irrationaalisten lausekkeiden muuntaminen;

toiminnot tutkinnoilla;

logaritmisen lausekkeiden muuntaminen;

1. numeeristen/kirjaimien trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki 9. Laske tanα, jos tiedetään, että cos2α = 0,6 ja

Ratkaisu. 1) Käytetään kaksoisargumenttikaavaa: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ja etsitään

Tämä tarkoittaa tan 2 α = ± 0,5.

3) Ehdon mukaan

tämä tarkoittaa, että α on toisen neljänneksen ja tgα:n kulma< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastaus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tehtävä nro 10- testaa opiskelijoiden kykyä käyttää varhain hankittuja tietoja ja taitoja käytännön toiminnassa ja arjessa. Voimme sanoa, että nämä ovat fysiikan, ei matematiikan, ongelmia, mutta kaikki tarvittavat kaavat ja suuret on annettu ehdossa. Ongelmat tiivistyvät lineaarisen tai toisen asteen yhtälön tai lineaarisen tai neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseen. Siksi on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan tällaiset yhtälöt ja epäyhtälöt ja määrittämään vastaus. Vastaus on annettava kokonaislukuna tai äärellisenä desimaalilukuna.

Kaksi massakappaletta m= 2 kg kukin, liikkuvat samalla nopeudella v= 10 m/s kulmassa 2α toisiinsa nähden. Niiden ehdottoman joustamattoman törmäyksen aikana vapautuva energia (jouleina) määräytyy lausekkeen avulla K = mv 2 sin 2 α. Missä pienimmässä kulmassa 2α (asteina) kappaleiden tulee liikkua, jotta törmäyksen seurauksena vapautuu vähintään 50 joulea?
Ratkaisu. Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälö Q ≥ 50 välillä 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Koska α ∈ (0°; 90°), ratkaisemme vain

Esitetään epäyhtälön ratkaisu graafisesti:

Koska ehdolla α ∈ (0°; 90°), se tarkoittaa 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tehtävä nro 11- on tyypillistä, mutta osoittautuu opiskelijoille vaikeaksi. Suurin vaikeuslähde on matemaattisen mallin rakentaminen (yhtälön laatiminen). Tehtävä nro 11 testaa kykyä ratkaista tekstitehtäviä.

Esimerkki 11. Kevättauon aikana 11. luokkalainen Vasya joutui ratkaisemaan 560 harjoitustehtävää valmistautuakseen yhtenäiseen valtionkokeeseen. Maaliskuun 18. päivänä, viimeisenä koulupäivänä, Vasya ratkaisi 5 ongelmaa. Sitten hän ratkaisi joka päivä saman määrän ongelmia enemmän kuin edellisenä päivänä. Selvitä, kuinka monta ongelmaa Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta, lomien viimeisenä päivänä.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastaus: 65.

Tehtävä nro 12- ne testaavat opiskelijoiden kykyä suorittaa operaatioita funktioilla ja kykyä soveltaa derivaatta funktion tutkimiseen.

Etsi funktion maksimipiste y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Ratkaisu: 1) Etsi funktion määritelmäalue: x + 9 > 0, x> –9, eli x ∈ (–9; ∞).

2) Etsi funktion derivaatta:

4) Löytöpiste kuuluu väliin (–9; ∞). Määritetään funktion derivaatan merkit ja kuvataan funktion käyttäytymistä kuvassa:

Haluttu maksimipiste x = –8.

a) Ratkaise yhtälö 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin.

Ratkaisu: a) Olkoon log 3 (2cos x) = t, sitten 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Etsi segmentin juuret.

Kuvasta näkyy, että annetun segmentin juuret kuuluvat

Sylinterin kannan ympyrän halkaisija on 20, sylinterin generatriisi on 28. Taso leikkaa kantansa 12 ja 16 pituisia jänteitä pitkin. Painteiden välinen etäisyys on 2√197.

a) Osoita, että sylinterin kantojen keskipisteet ovat tämän tason toisella puolella.

b) Etsi kulma tämän tason ja sylinterin kannan tason välillä.

Ratkaisu: a) Pituus 12 jänne on etäisyydellä = 8 perusympyrän keskustasta ja jänne, jonka pituus on 16, on vastaavasti etäisyydellä 6. Siksi niiden projektioiden välinen etäisyys tasoon, joka on yhdensuuntainen sylinterien kanta on joko 8 + 6 = 14 tai 8 - 6 = 2.

Silloin sointujen välinen etäisyys on joko

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ehdon mukaan toteutui toinen tapaus, jossa jänteiden projektiot ovat sylinterin akselin toisella puolella. Tämä tarkoittaa, että akseli ei leikkaa tätä tasoa sylinterin sisällä, eli kantat ovat sen toisella puolella. Mitä piti todistaa.

b) Merkitään kantojen keskipisteitä O 1 ja O 2. Piirretään kannan keskeltä jänteellä, jonka pituus on 12, kohtisuora puolittaja tähän jänteeseen (sen pituus on 8, kuten jo todettiin) ja toisen kannan keskustasta toiseen jänteeseen. Ne sijaitsevat samassa tasossa β, kohtisuorassa näihin jänteisiin nähden. Kutsutaan pienemmän sointeen B keskipiste, suuremman jänteen A ja A:n projektiota toiseen kantaan - H (H ∈ β). Tällöin AB,AH ∈ β ja siten AB,AH ovat kohtisuorassa jänteeseen, eli kannan ja annetun tason leikkaussuoraan.

Tämä tarkoittaa, että vaadittu kulma on yhtä suuri kuin

Tehtävä nro 15- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, testaa kykyä ratkaista epätasa-arvoa, joka on onnistunein ratkaistu tehtävistä yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

Esimerkki 15. Ratkaise epätasa-arvo | x 2 – 3x| loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Ratkaisu: Tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli (–1; +∞). Harkitse kolmea tapausta erikseen:

1) Anna x 2 – 3x= 0, ts. X= 0 tai X= 3. Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö tulee todeksi, joten nämä arvot sisällytetään ratkaisuun.

2) Anna nyt x 2 – 3x> 0, ts. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Lisäksi tämä epätasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ( x 2 – 3x) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaa positiivisella lausekkeella x 2 – 3x. Saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 tai x≤ –0,5. Kun otetaan huomioon määritelmäalue, meillä on x ∈ (–1; –0,5].

3) Lopuksi harkitse x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Tässä tapauksessa alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon (3 x – x 2) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Positiivisella 3:lla jakamisen jälkeen x – x 2 , saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Kun otetaan huomioon alue, meillä on x ∈ (0; 1].

Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastaus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tehtävä nro 16- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla. Tehtävä sisältää kaksi kohtaa. Ensimmäisessä kohdassa tehtävä on todistettava ja toisessa kohdassa laskettava.

Tasakylkisessä kolmiossa ABC, jonka kulma on 120°, puolittaja BD piirretään kärkeen A. Suorakulmio DEFH on piirretty kolmioon ABC siten, että sivu FH on janalla BC ja kärki E on janalla AB. a) Todista, että FH = 2DH. b) Etsi suorakulmion DEFH pinta-ala, jos AB = 4.

Ratkaisu: A)

1) ΔBEF – suorakulmainen, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, sitten EF = BE 30° kulmaa vastapäätä olevan jalan ominaisuudella.

2) Olkoon EF = DH = x, niin BE = 2 x, BF = x√3 Pythagoraan lauseen mukaan.

3) Koska ΔABC on tasakylkinen, se tarkoittaa ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B:n puolittaja, mikä tarkoittaa, että ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tarkastellaan ΔDBH – suorakulmaista, koska DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Vastaus: 24 – 12√3.

Esimerkki 17. 20 miljoonan ruplan talletus on tarkoitus avata neljäksi vuodeksi. Pankki kasvattaa talletusta jokaisen vuoden lopussa 10 % vuoden alun kokoon verrattuna. Lisäksi kolmannen ja neljännen vuoden alussa sijoittaja täydentää talletuksen vuosittain mennessä X miljoonaa ruplaa, missä X - koko määrä. Löydä suurin arvo X, jossa pankki kerää alle 17 miljoonaa ruplaa talletukseen neljän vuoden aikana.

Ratkaisu: Ensimmäisen vuoden lopussa maksu on 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoonaa ruplaa ja toisen vuoden lopussa - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoonaa ruplaa. Kolmannen vuoden alussa osuus (miljoonaa ruplaa) on (24,2 + X), ja lopussa - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljännen vuoden alussa maksu on (26,62 + 2,1 X), ja lopussa - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Ehdon mukaan sinun on löydettävä suurin kokonaisluku x, jolle epäyhtälö pätee

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Suurin kokonaislukuratkaisu tälle epäyhtälölle on luku 24.

Vastaus: 24.

missä a epätasa-arvojärjestelmä

onko täsmälleen kaksi ratkaisua?

Ratkaisu: Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Jos piirretään tasolle ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukko, saadaan ympyrän sisäosa (jossa on raja), jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on pisteessä (0, A). Toisen epäyhtälön ratkaisujoukko on funktion kuvaajan alla oleva tason osa y = | x| – a, ja jälkimmäinen on funktion kuvaaja
y = | x| , siirretty alaspäin A. Tämän järjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Tästä syystä tällä järjestelmällä on kaksi ratkaisua vain kuvassa 1 esitetyssä tapauksessa. 1.

Ympyrän kosketuspisteet viivojen kanssa ovat järjestelmän kaksi ratkaisua. Jokainen suora on kallistettu akseleihin nähden 45° kulmassa. Se on siis kolmio PQR– suorakulmaiset tasakylkiset. Piste K on koordinaatit (0, A), ja pointti R– koordinaatit (0, – A). Lisäksi segmentit PR Ja PQ yhtä suuri kuin ympyrän säde, joka on yhtä suuri kuin 1. Tämä tarkoittaa

Antaa Sn summa P aritmeettisen progression termit ( a p). On tiedossa, että S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Anna kaava P tämän etenemisen aikavälillä.

b) Etsi pienin absoluuttinen summa S n.

c) Etsi pienin P, jossa S n on kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu: a) Se on selvää a n = S n – S n- 1. Käyttämällä tätä kaavaa saamme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

tarkoittaa, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siitä lähtien S n = 2n 2 – 25n, harkitse sitten toimintoa S(x) = | 2x 2 – 25x|. Sen kaavio näkyy kuvassa.

Ilmeisesti pienin arvo saavutetaan kokonaislukupisteissä, jotka sijaitsevat lähimpänä funktion nollia. Ilmeisesti nämä ovat pointteja X= 1, X= 12 ja X= 13. Koska, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, niin pienin arvo on 12.

c) Edellisestä kappaleesta seuraa, että Sn positiivinen, alkaen n= 13. Alkaen S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), niin ilmeinen tapaus, jossa tämä lauseke on täydellinen neliö, toteutuu, kun n = 2n– 25, eli klo P= 25.

On vielä tarkistettava arvot 13-25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Osoittautuu, että pienemmille arvoille P täydellistä neliötä ei saavuteta.

Vastaus: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Toukokuusta 2017 lähtien yhdistynyt kustannusryhmä "DROFA-VENTANA" on ollut osa Russian Textbook Corporationia. Yhtiöön kuuluu myös kustantamo Astrel ja digitaalinen koulutusalusta LECTA. Alexander Brychkin, valmistunut Venäjän federaation hallituksen alaiselta Finanssiakatemiasta, taloustieteiden kandidaatti, DROFA-kustantamon innovatiivisten projektien johtaja digitaalisen koulutuksen alalla (oppikirjojen elektroniset muodot, Russian Electronic School, digitaalinen koulutusalusta LECTA) nimitettiin pääjohtajaksi. Ennen tuloaan DROFA-kustantamoon hän toimi EKSMO-AST-kustannusholdingin strategisen kehityksen ja investointien johtajana. Nykyään kustantajalla "Russian Textbook" on suurin liittovaltion luetteloon sisältyvien oppikirjojen salkku - 485 nimikettä (noin 40%, lukuun ottamatta erikoiskoulujen oppikirjoja). Yhtiön kustantamot omistavat venäläisten koulujen suosituimmat oppikirjasarjat fysiikan, piirtämisen, biologian, kemian, tekniikan, maantieteen, tähtitieteen alalta - tietoalueilta, joita tarvitaan maan tuotantopotentiaalin kehittämiseen. Yhtiön salkkuun kuuluu peruskoulun oppikirjoja ja opetusvälineitä, jotka on palkittu koulutusalan Presidentin palkinnolla. Nämä ovat oppikirjoja ja käsikirjoja aihealueilla, jotka ovat välttämättömiä Venäjän tieteellisen, teknisen ja tuotantopotentiaalin kehittämiseksi.

Matematiikan yhtenäisen valtiokokeen tehtävässä nro 9 profiilitasolla meidän on muunnettava lausekkeita ja suoritettava peruslaskelmia. Useimmiten trigonometriset lausekkeet löytyvät tästä osiosta, joten sen suorittamiseksi onnistuneesti sinun on tiedettävä pelkistyskaavat ja muut trigonometriset identiteetit.

Tyypillisten vaihtoehtojen analyysi matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtäville nro 9 profiilitasolla

Ensimmäinen versio tehtävästä (demoversio 2018)

Etsi sin2α, jos cosα = 0,6 ja π< α < 2π.

Ratkaisualgoritmi:

1. Etsi tietyn kulman sinin arvo.
2. Laskemme sin2α:n arvon.
3. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. α sijaitsee kolmannella tai neljännellä neljänneksellä, mikä tarkoittaa, että kulman sini on negatiivinen. Käytetään trigonometristä perusidentiteettiä:

2. Käyttämällä kaksoiskulmasinikaavaa: sin2α = 2sinαcosα = 2∙(-0,8)∙0,6 = -0,96

Vastaus: -0,96.

Tehtävän toinen versio (Jaštšenko, nro 1)

Etsi jos.

Ratkaisualgoritmi:

1. Muunnetaan kaksoiskulman kosinikaava.
2. Laskemme kosinin.
3. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. Muunna kaksoiskulmakosinin kaava:

2. Laske halutun kulman 2α kosini kerrottuna 25:llä korvaamalla kulman α kosinin annetulla arvolla

Tehtävän kolmas versio (Jaštšenko, nro 16)

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisualgoritmi:

1. Katsotaanpa ilmaisua.
2. Käytämme trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määrittämään annettujen kulmien sinin ja kosinin arvot.
3. Laskemme lausekkeen arvon.
4. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. Lauseke on negatiivisten kulmien trigonometristen funktioiden lukujen ja arvojen tulo.

2. Käytetään kaavoja:

3. Sitten saamme:

Vastaus: -23.

Tehtävän neljäs versio (Jaštšenkolta)

Etsi ilmaisun merkitys.

Ratkaisualgoritmi:

1. Analysoidaan lauseke.
2. Muunnamme ja arvioimme ilmaisun.
3. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Ratkaisu:

1. Lauseke sisältää kaksi juuria. Osoittimen juuren alla on neliöiden erotus. Laskelmien yksinkertaistamiseksi voit kertoa neliöiden eron käyttämällä lyhennettyä kertolaskua.

Katsotaanpa 9. OGE:n tyypillisiä tehtäviä matematiikassa. Tehtävän 9 aiheena on tilastot ja todennäköisyydet. Tehtävä ei ole vaikea edes todennäköisyysteoriaa tai tilastoja tuntemattomalle.

Yleensä meille tarjotaan sarjaa tavaroita - omenoita, makeisia, kuppeja tai mitä tahansa, joka eroaa väriltään tai muulta laadultaan. Meidän on arvioitava todennäköisyys, että yksi henkilö saa yhden luokan asioista. Tehtävässä lasketaan tavaroiden kokonaismäärä ja jaetaan sitten vaaditun luokan asioiden määrä kokonaismäärällä.

Joten siirrytään tarkastelemaan tyypillisiä vaihtoehtoja.

Tyypillisten vaihtoehtojen analyysi matematiikan tehtävälle nro 9 OGE

Ensimmäinen versio tehtävästä

Isoäidillä on 20 kuppia: 6 punaisilla kukilla, loput sinisillä. Isoäiti kaataa teetä satunnaisesti valittuun kuppiin. Laske todennäköisyys, että se on kuppi, jossa on sinisiä kukkia.

Ratkaisu:

Kuten edellä mainittiin, löydämme kuppien kokonaismäärän - tässä tapauksessa se tunnetaan ehdolla - 20 kuppia. Meidän on löydettävä sinisten kuppien määrä:

Nyt voimme löytää todennäköisyyden:

14 / 20 = 7 / 10 = 0,7

Toinen versio tehtävästä

Paperikaupassa myydään 138 kynää, joista 34 on punaista, 23 vihreää, 11 violettia, on myös sinistä ja mustaa, niitä on yhtä paljon. Laske todennäköisyys, että jos yksi kynä valitaan sattumanvaraisesti, valitaan joko punainen tai musta kynä.

Ratkaisu:

Etsitään ensin mustien kynien lukumäärä; tehdäksesi tämän vähentämällä kaikki tunnetut värit kokonaismäärästä ja jakamalla kahdella, koska sinisiä ja mustia kyniä on yhtä monta:

(138 - 34 - 23 - 11) / 2 = 35

Tämän jälkeen voimme löytää todennäköisyyden lisäämällä mustan ja punaisen määrän jakamalla kokonaisluvulla:

(35 + 34) / 138 = 0,5

Kolmas versio tehtävästä

Taksiyhtiöllä on tällä hetkellä saatavilla 12 autoa: 1 musta, 3 keltaista ja 8 vihreää. Yksi autoista, joka sattui olemaan lähinnä asiakasta, vastasi kutsuun. Selvitä todennäköisyys, että keltainen taksi tulee hänen luokseen.

Ratkaisu:

Katsotaanpa autojen kokonaismäärä:

Arvioidaan nyt todennäköisyys jakamalla keltaisten lukumäärä kokonaisluvulla:

Vastaus: 0,25

OGE 2019:n demoversio

Lautasella on piirakat, jotka näyttävät identtisiltä: 4 lihalla, 8 kaalilla ja 3 omenalla. Petya valitsee yhden piirakan sattumanvaraisesti. Laske todennäköisyys, että piirakka sisältää omenoita.

Ratkaisu:

Klassinen ongelma todennäköisyysteoriassa. Meidän tapauksessamme onnistunut lopputulos on omenapiirakka. Omenapiirakoita on 3 kappaletta ja piirakoita yhteensä:

Todennäköisyys löytää omenapiirakkaa on omenapiirakojen lukumäärä jaettuna kokonaismäärällä:

3/15 = 0,2 tai 20 %

Tehtävän neljäs versio

Todennäköisyys, että uusi tulostin kestää yli vuoden, on 0,95. Todennäköisyys, että se kestää kaksi vuotta tai kauemmin, on 0,88. Laske todennäköisyys, että se kestää alle kaksi vuotta, mutta vähintään vuoden.

Ratkaisu:

Esittelemme tapahtumanimikkeet:

X – tulostin kestää "yli vuoden";

K – tulostin kestää "2 vuotta tai enemmän";

Z – tulostin kestää "vähintään 1 vuoden, mutta alle 2 vuotta".

Analysoimme. Tapahtumat Y ja Z ovat riippumattomia, koska sulkea pois toisensa. Tapahtuma X tapahtuu joka tapauksessa, ts. sekä tapahtuman Y että tapahtuman Z tapahtuessa. Itse asiassa "yli 1 vuosi" tarkoittaa "2 vuotta" ja "yli 2 vuotta" ja "alle 2 vuotta, mutta vähintään 1 vuosi" .

P(X)=P(Y)+P(Z).

Ehdon mukaan tapahtuman X (eli "yli vuosi") todennäköisyys on 0,95, tapahtuman Y (eli "2 vuotta tai enemmän") todennäköisyys on 0,88.

Korvataan numeeriset tiedot kaavaan:

Saamme:

Р(Z)=0,95–0,88=0,07

Р(Z) – haluttu tapahtuma.

Vastaus: 0,07

Tehtävän viides versio

Pyöreän pöydän ääressä, jossa on 9 tuolia, istuu 7 poikaa ja 2 tyttöä satunnaisessa järjestyksessä. Laske todennäköisyys, että tytöt ovat vierekkäisissä paikoissa.

Ratkaisu:

Todennäköisyyden laskemiseksi käytämme sen klassista kaavaa:

missä m on halutun tapahtuman suotuisten tulosten lukumäärä, n on kaikkien mahdollisten tulosten kokonaismäärä.

Yksi tytöistä (joka istui ensimmäisenä) ottaa mielivaltaisesti tuolin. Tämä tarkoittaa, että toiselle on 9-1=8 tuolia istuakseen. Nuo. tapahtumien kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärä on n=8.

Toisen tytön tulee ottaa toinen kahdesta tuolista, jotka ovat ensimmäisen vieressä. Vain tällaista tilannetta voidaan pitää tapahtuman myönteisenä tuloksena. Tämä tarkoittaa, että myönteisten tulosten määrä on m=2.

Korvaamme tiedot kaavaan todennäköisyyden laskemiseksi: