Yhtälöiden ratkaiseminen OGE:lle. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa...

Algebramoduulin neljäs tehtävä testaa potenssien ja radikaalilausekkeiden käytön tuntemusta.

OGE:n matematiikan tehtävää nro 4 suoritettaessa testataan paitsi numeeristen lausekkeiden laskenta- ja muunnostaidot, myös kyky muunnella algebrallisia lausekkeita. Saatat joutua suorittamaan operaatioita potenssien kanssa, joilla on kokonaislukueksponentti, polynomeilla ja rationaalisten lausekkeiden identtisillä muunnoksilla.

Pääkokeen materiaalien mukaan voi olla tehtäviä, jotka edellyttävät rationaalisten lausekkeiden identtisiä muunnoksia, polynomien laskentaa, prosenttiosuuksien ja suhteiden käyttöä sekä jakotestejä.

Tehtävän 4 vastaus on yksi luvuista 1; 2; 3; 4, joka vastaa tehtävään ehdotetun vastauksen numeroa.

Teoria tehtävälle nro 4

Tarvitsemme teoreettisesta materiaalista Säännöt tutkintojen käsittelyyn:

Säännöt kanssa työskentelemiseen radikaaleja ilmaisuja:

Analysoiduissa versioissani nämä säännöt on esitetty - kolmannen tehtävän ensimmäisen version analyysissä esitetään tutkintojen käsittelysäännöt ja toisessa ja kolmannessa versiossa esimerkkejä työskentelystä radikaalien lausekkeiden kanssa.

Tyypillisten vaihtoehtojen analyysi matematiikan tehtävälle nro 4 OGE

Ensimmäinen versio tehtävästä

Mikä seuraavista lausekkeista mille tahansa n:n arvolle on yhtä suuri kuin tulo 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Ratkaisu:

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on muistettava seuraavat asiat tutkintojen käsittelysäännöt :

• Kun kerrotaan, tehot summautuvat
• kun lisäämällä asteet vähennetään
• Kun teho nostetaan potenssiksi, tehot kerrotaan
• juurta poimittaessa asteet jaetaan

Lisäksi sen ratkaisemiseksi on tarpeen esittää 121 luvun 11 potenssina, mikä on täsmälleen 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Ottaen huomioon kertolaskusäännön, lisäämme asteet:

11 2 11 n = 11 n+2

Siksi toinen vastaus sopii meille.

Toinen versio tehtävästä

Mikä seuraavista lausekkeista on arvokkain?

1. 2√11
2. 2√10

Ratkaisu:

Tämän tehtävän ratkaisemiseksi sinun on saatettava kaikki lausekkeet yleiseen muotoon - esitä lausekkeet radikaalien lausekkeiden muodossa:

Siirrä 3 juureen:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Siirrä 2 juureen:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) = √44

Siirrä 2 juureen:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) = √40

Me neliö 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Katsotaanpa kaikkia tuloksena olevia vaihtoehtoja:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Siksi oikea vastaus on ensimmäinen

Kolmas versio tehtävästä

Mikä näistä luvuista on järkevä?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. kaikki nämä luvut ovat irrationaalisia

Ratkaisu:

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on toimittava seuraavasti:

Selvitetään ensin, minkä luvun potenssia tässä esimerkissä tarkastellaan - tämä on numero 9, koska sen neliö on 81, ja tämä on jo jonkin verran samanlainen kuin vastausten lausekkeet. Seuraavaksi tarkastellaan numeron 9 muotoja - ne voivat olla:

Harkitse jokaista niistä:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Siksi luku √0,81 on rationaalinen, kun taas loput luvut

vaikka ne ovat samanlaisia ​​kuin 9 neliön muoto, ne eivät ole rationaalisia.

Oikea vastaus on siis kolmas.

Tehtävän neljäs versio

Yhteisöni tilaajan pyynnöstä Se on mennyt alas Diana, tässä on analyysi seuraavasta tehtävästä nro 4:

Mikä alla olevista luvuista on lausekkeen arvo?

Ratkaisu:

Huomaa, että nimittäjä sisältää eron (4 - √14), josta meidän on päästävä eroon. Miten tämä tehdään?

Muista tätä varten lyhennetyn kertolaskukaava, nimittäin neliöiden ero! Jotta voit käyttää sitä oikein tässä tehtävässä, sinun on muistettava jakeiden käsittelyn säännöt. Muista tässä tapauksessa, että murto-osa ei muutu, jos osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla tai lausekkeella. Neliöiden erolle meiltä puuttuu lauseke (4 + √14), mikä tarkoittaa, että kerromme osoittajan ja nimittäjän sillä.

Tämän jälkeen saamme osoittajaan 4 + √14 ja nimittäjään neliöiden erotuksen: 4² - (√14)². Tämän jälkeen nimittäjä on helppo laskea:

Kaiken kaikkiaan toimintamme näyttää tältä:

Tehtävän viides versio (OGE 2017:n demoversio)

Mikä lauseke on rationaalinen luku?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Ratkaisu:

Tässä tehtävässä testataan taitojamme operaatioissa irrationaalisilla luvuilla.

Katsotaanpa kutakin ratkaisun vastausvaihtoehtoa:

√6 itsessään on irrationaalinen luku; tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi riittää, että muistat, että voit rationaalisesti erottaa juuren luonnollisten lukujen neliöistä, esimerkiksi 4, 9, 16, 25...

Kun irrationaalisesta luvusta vähennetään mikä tahansa muu luku kuin itsensä, se johtaa jälleen irrationaaliseen lukuun, joten tässä versiossa saadaan irrationaaliluku.

Kun kerrotaan juuria, voimme erottaa juuren radikaalilausekkeiden tulosta, eli:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Mutta √15 on irrationaalinen, joten tämä vastaus ei ole sopiva.

Kun neliöinti neliöjuuren, saamme yksinkertaisesti radikaalilausekkeen (tarkemmin sanottuna moduloradikaalilauseke, mutta luvun tapauksessa, kuten tässä versiossa, tällä ei ole väliä), siksi:

Tämä vastausvaihtoehto sopii meille.

Tämä lauseke edustaa pisteen 1 jatkoa, mutta jos √6-3 on irrationaaliluku, niin sitä ei voida muuntaa rationaaliluvuksi millään tuntemallamme operaatiolla.

Täydennä lauseet: 1). Yhtälö on... 2). Yhtälön juuri on... 3). Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa...

I. Ratkaise yhtälöt suullisesti: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 = 10 x 5 x - 12 = 8 x

Millä seuraavista yhtälöistä ei ole ratkaisuja: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x - 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x-14 = 2 x + 7?

Millä yhtälöistä on äärettömän monta ratkaisua: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4 (x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

MUODON kx + b = 0 YHTÄLÖITÄ, joissa k, b on annettu lukuja, KUTSUVAN LINEAARISI. Algoritmi lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi: 1). avoimet sulut 2). siirrä tuntemattoman sisältävät termit vasemmalle ja tuntematonta sisältämättömät oikealle puolelle (siirretyn termin etumerkki käännetään); 3). tuoda samanlaisia ​​jäseniä; 4). jaa yhtälön molemmat puolet tuntemattoman kertoimella, jos se ei ole nolla.

Ratkaise vihkoissa Ryhmä I: nro 681 s. 63 6(4 -x)+3 x=3 Ryhmä III: nro 767 s. 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 yhtälöä : II ryhmä: nro 697 s. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Yhtälöä, jonka muoto on aх2 + bх + c =0, jossa a≠ 0, b, c ovat mitä tahansa reaalilukuja, kutsutaan toisen asteen yhtälöksi. Epätäydelliset yhtälöt: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Ratkaise toisen asteen yhtälöt suullisesti ja ilmoita, ovatko ne täydellisiä vai epätäydellisiä: 1). x2 + 15 x = 0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25 = 0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15 = 0 7). x2 + 5 x + 6 = 0 8). x2 + x - 12 = 0 9). (-x-5) (-x+ 6) = 0 10). x2-4 x +4 =0

KYSYMYKSIÄ: 1). Mitä yhtälöiden ominaisuutta käytettiin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen? 2). Mitä menetelmiä polynomin laskentaan käytettiin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen? 3). Mikä on algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen?

1). Kahden tekijän tulo on nolla, jos toinen niistä on nolla, toinen ei menetä merkitystään: ab = 0, jos a = 0 tai b = 0. 2). Korvaamalla yhteinen tekijä ja a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) on kaava neliöiden erolle. 3). Täydellinen toisen asteen yhtälö ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, jos D>0, 2 juurta; D = 0, 1 juuri; D

Lause käänteinen Vietan lauseelle: Jos luvut a, b, c, x 1 ja x 2 ovat sellaisia, että x 1 x 2 = x 1 + x 2 = ja x 2 ovat yhtälön a x 2 + bx + c juuret = 0

RATKAISIA YHTÄLÄT: Ryhmä I: nro 802 sivu 71 x2 - 5 x- 36 =0 Ryhmä II: nro 810 sivu 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Ryhmä III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. RATKAISIA YHTÄLÖT: Ryhmä I ja II: Nro. 860 Ryhmä III: =0 =0 Mitä sellaisia ​​yhtälöitä kutsutaan? Mitä omaisuutta käytetään niiden ratkaisemiseen?

Rationaalinen yhtälö on yhtälö, jonka muoto on =0. Murto-osa on nolla, jos osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla. =0, jos a = 0, b≠ 0.

Lyhyesti matematiikan historiasta Muinaisen Egyptin matemaatikot pystyivät ratkaisemaan neliö- ja lineaariyhtälöitä. Persialainen keskiaikainen tiedemies Al-Khorezmi (800-luku) esitteli algebran itsenäisenä tieteenä yleisistä lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmistä ja antoi näiden yhtälöiden luokituksen. Uusi suuri läpimurto matematiikassa liittyy ranskalaisen tiedemiehen Francois Vietan (XVI vuosisadan) nimeen. Hän toi kirjaimet algebraan. Hän on vastuussa kuuluisasta lauseesta toisen asteen yhtälöiden juurista. Ja olemme velkaa perinteen merkitä tuntemattomia määriä latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla (x, y, z) toiselle ranskalaiselle matemaatikolle - Rene Descartesille (XVII).

Kotitehtävät Työskentely sivustojen kanssa: - Avoin tehtäväpankki OGE (matematiikka) http://85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "Ratkaisen OGE:n", kirjoittanut D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - A. Larinin verkkosivusto (vaihtoehto 119) http://alexlarin. netto/. Oppikirjat: - Yu. M. Kolyagin oppikirja “Algebra 9th grade”, M., “Enlightenment”, 2014, s. 308 - 310; - "3000 tehtävää" alla. toimittanut I. V. Yashchenko, M., "Koe", 2017, s. 5974.

Tietoa vanhemmille Matematiikan OGE:n valmistautumisjärjestelmä 1). Mukana oleva toisto oppitunneilla 2). Lopputarkastus vuoden lopussa 3). Valinnaiset tunnit (lauantaisin) 4). Kotitehtäväjärjestelmä - työskentely sivustojen kanssa RATKAISUN OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Henkilökohtaiset konsultaatiot (maanantaisin)

Toylonov Argymai ja Toylonov Erkei

Peruskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nyky-ihmisen yleistä kulttuuria. Melkein kaikki nykyihmisen ympärillä oleva liittyy jotenkin matematiikkaan. Ja viimeaikaiset fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan edistysaskeleet eivät jätä epäilystäkään siitä, että tulevaisuudessa tilanne pysyy samana. Siksi monien käytännön ongelmien ratkaiseminen edellyttää erilaisten yhtälöiden ratkaisemista, jotka sinun on opittava ratkaisemaan.

Ja vuodesta 2013 lähtien matematiikan sertifiointi peruskoulun lopussa on suoritettu OGE:n muodossa. Kuten Unified State Exam, Unified State Exam on suunniteltu suorittamaan sertifiointia paitsi algebrassa myös koko peruskoulun matematiikan kurssilla.

Leijonanosa tehtävistä, tavalla tai toisella, rajoittuu yhtälöiden ja niiden ratkaisujen laatimiseen. Jotta voisimme jatkaa tämän aiheen tutkimista, meidän piti vastata kysymyksiin: ”Millaisia ​​yhtälöitä löytyy OGE-tehtävistä? " ja "Mitä tapoja on ratkaista nämä yhtälöt?"

Siksi on tarpeen tutkia kaiken tyyppisiä yhtälöitä, joita löytyy OGE-tehtävistä. Kaikki yllä oleva ratkaisee

Tarkoitus Työn tarkoituksena on täydentää kaikentyyppisiä OGE-tehtävissä esiintyviä yhtälöitä tyypeittäin ja analysoida näiden yhtälöiden pääasialliset ratkaisumenetelmät.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi olemme asettaneet seuraavat tehtävät:

1) Tutustu tärkeimpiin valtionkokeisiin valmistautumisen tärkeimpiin resursseihin.

2) Täydennä kaikki yhtälöt tyypin mukaan.

3) Analysoi menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi.

4) Tee kokoelma kaikentyyppisistä yhtälöistä ja niiden ratkaisumenetelmistä.

Tutkimuksen kohde: yhtälöt

Opintojen aihe: yhtälöt OGE-tehtävissä.

Ladata:

Esikatselu:

Kunnan budjettikoulutuslaitos

"Chibitskaya lukio"

KOULUTUSPROJEKTI:

"YHTÄLÄT OGE-TEHTÄVÄSSÄ"

Toylonov Erkey

8. luokan oppilaat

ohjaaja: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, matematiikan opettaja.

Hankkeen toteutusaikataulu:

13.12.2017 - 13.2. 2018

JOHDANTO

Peruskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nyky-ihmisen yleistä kulttuuria. Melkein kaikki nykyihmisen ympärillä oleva liittyy jotenkin matematiikkaan. Ja viimeaikaiset fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan edistysaskeleet eivät jätä epäilystäkään siitä, että tulevaisuudessa tilanne pysyy samana. Siksi monien käytännön ongelmien ratkaiseminen edellyttää erilaisten yhtälöiden ratkaisemista, jotka sinun on opittava ratkaisemaan.

Ja vuodesta 2013 lähtien matematiikan sertifiointi peruskoulun lopussa on suoritettu OGE:n muodossa. Kuten Unified State Exam, Unified State Exam on suunniteltu suorittamaan sertifiointia paitsi algebrassa myös koko peruskoulun matematiikan kurssilla.

Leijonanosa tehtävistä, tavalla tai toisella, rajoittuu yhtälöiden ja niiden ratkaisujen laatimiseen. Jotta voisimme jatkaa tämän aiheen tutkimista, meidän piti vastata kysymyksiin: ”Millaisia ​​yhtälöitä löytyy OGE-tehtävistä? " ja "Mitä tapoja on ratkaista nämä yhtälöt?"

Siksi on tarpeen tutkia kaiken tyyppisiä yhtälöitä, joita löytyy OGE-tehtävistä. Kaikki yllä oleva ratkaiseesuoritetun työn ongelman merkitystä.

Tarkoitus Työn tarkoituksena on täydentää kaikentyyppisiä OGE-tehtävissä esiintyviä yhtälöitä tyypeittäin ja analysoida näiden yhtälöiden pääasialliset ratkaisumenetelmät.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi olemme asettaneet seuraavat tehtävät:

1) Tutustu tärkeimpiin valtionkokeisiin valmistautumisen tärkeimpiin resursseihin.

2) Täydennä kaikki yhtälöt tyypin mukaan.

3) Analysoi menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi.

4) Tee kokoelma kaikentyyppisistä yhtälöistä ja niiden ratkaisumenetelmistä.

Tutkimuksen kohde: yhtälöt

Opintojen aihe:yhtälöt OGE-tehtävissä.

Projektin työsuunnitelma:

1. Projektin teeman muotoilu.
2. Aineiston valinta virallisista lähteistä tietystä aiheesta.
3. Tiedon käsittely ja systematisointi.
4. Projektin toteutus.
5. Projektin suunnittelu.
6. Projektin suojaus.

Ongelma : syventää ymmärrystäsi yhtälöistä. Näytä tärkeimmät menetelmät OGE:n tehtävien ensimmäisessä ja toisessa osassa esitettyjen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Tämä työ on yritys yleistää ja systematisoida tutkittua materiaalia ja oppia uutta. Projekti sisältää: lineaariyhtälöitä, joissa siirretään termejä yhtälön osasta toiseen ja yhtälöiden ominaisuuksia hyödyntäen, sekä yhtälön avulla ratkaistavia ongelmia, kaikentyyppisiä toisen asteen yhtälöitä ja rationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmiä.

Matematiikka... paljastaa järjestyksen, symmetrian ja varmuuden,

ja nämä ovat tärkeimpiä kauneuden tyyppejä.

Aristoteles.

Historiallinen viittaus

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja ja koreja, jotka sopivat täydellisesti säilytyskätköihin, joihin mahtui tuntematon määrä esineitä. "Etsimme kasaa, joka yhdessä kahden kolmasosan, puolen ja yhden seitsemäsosan kanssa tekee 37...", opetti egyptiläinen kirjuri Ahmes 2. vuosituhannella eKr. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat puutarhassa olevien riikinkukkojen lukumäärän, sonnien lukumäärän laumassa ja omaisuuden jakamisessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuuden. Kirjanoppineet, virkamiehet ja papit, jotka olivat vihitty salaiseen tietoon, jotka olivat hyvin koulutettuja kirjanpitotieteessä, selviytyivät tällaisista tehtävistä melko menestyksekkäästi.

Meille saapuneet lähteet osoittavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä tekniikoita tuntemattomien määrien ongelmien ratkaisemiseksi. Yksikään papyrus- tai savitabletti ei kuitenkaan sisällä kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat vain satunnaisesti lisäsivät numeerisiin laskelmiinsa niukkoja kommentteja, kuten: "Katso!", "Tee tämä!", "Löysit oikean." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden muodostamiseen liittyviä ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esitys.

Ensimmäinen laajalti tunnetuksi tullut käsikirja ongelmien ratkaisemiseksi oli kuitenkin 800-luvun Bagdadin tiedemiehen työ. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabiankielisestä nimestä - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restauroinnin ja opposition kirja") - muuttui ajan myötä tunnetuksi sanaksi "algebra", ja al- Khwarizmin työ itsessään toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen kehityksessä.

Joten mikä on yhtälö?

On olemassa oikeuksien yhtälö, aikayhtälö (todellisen aurinkoajan käännös keskimääräiseksi aurinkoajaksi, hyväksytty yhteiskunnassa ja tieteessä; astr.) jne.

Matematiikassa on matemaattinen yhtälö, joka sisältää yhden tai useamman tuntemattoman suuren ja säilyttää voimassaolonsa vain näiden tuntemattomien suureiden tietyille arvoille.

Yhtälöissä, joissa on yksi muuttuja, tuntematon merkitään yleensä kirjaimella " X". "x":n arvo ", joka täyttää nämä ehdot, kutsutaan yhtälön juureksi.

On olemassa erilaisia ​​yhtälöitä lajit:

ax + b = 0. - Lineaarinen yhtälö.
ax 2 + bx + c = 0. - Toisen asteen yhtälö.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadraattinen yhtälö.

– Rationaalinen yhtälö.

– Irrationaalinen yhtälö.
On sellaisiakintapoja ratkaista yhtälöitä Miten: algebrallinen, aritmeettinen ja geometrinen. Tarkastellaan algebrallista menetelmää.

Ratkaise yhtälö- tämä on löytää sellaiset X:n arvot, jotka alkuperäiseen lausekkeeseen korvattuna antavat meille oikean yhtälön tai osoittavat, että ratkaisuja ei ole. Vaikka yhtälöiden ratkaiseminen on vaikeaa, se on jännittävää. Loppujen lopuksi on todella yllättävää, kun koko numerovirta riippuu yhdestä tuntemattomasta numerosta.

Yhtälöissä tuntemattoman löytämiseksi sinun on muutettava ja yksinkertaistettava alkuperäinen lauseke. Ja siten, että kun ulkonäkö muuttuu, ilmaisun olemus ei muutu. Tällaisia ​​muunnoksia kutsutaan identtisiksi tai vastaaviksi.

Luku 1 Yhtälöiden ratkaiseminen

1.1 Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen.

Nyt tarkastellaan lineaaristen yhtälöiden ratkaisuja. Muista, että muodon yhtälökutsutaan lineaariseksi yhtälöksi tai ensimmäisen asteen yhtälöksi, koska muuttujan kanssa " X » ylin tutkinto on ensimmäisessä asteessa.

Lineaarisen yhtälön ratkaisu on hyvin yksinkertainen:

Esimerkki 1: Ratkaise yhtälö 3 x +3 = 5 x

Lineaarinen yhtälö ratkaistaan ​​siirtämällä tuntemattomia sisältävät termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle ja vapaat kertoimet yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle:

3 x – 5 x = – 3

2 x = -3

x = 1,5

Kutsutaan muuttujan arvoa, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi yhtälön juuri.

Tarkastuksen jälkeen saamme:

Joten 1,5 on yhtälön juuri.

Vastaus: 1.5.

Yhtälöiden ratkaiseminen menetelmällä siirtää termejä yhtälön yhdestä osasta toiseen, jossa termien etumerkki muuttuu päinvastaiseksi ja käytetään ominaisuuksia yhtälöt - yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) samalla nollasta poikkeavalla luvulla tai lausekkeella, voidaan ottaa huomioon seuraavia yhtälöitä ratkaistaessa.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöt:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8) = − 5.

Ratkaisu.

a) Ratkaisemme siirtomenetelmällä

6 x + 4 x = ─1;

10 x = ─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Tutkimus:

Vastaus: -0.1

b) Kuten edellisessä esimerkissä, ratkaisemme siirtomenetelmällä:

Vastaus: 2.

c) Tässä yhtälössä on tarpeen avata hakasulkeet soveltamalla kertolaskuominaisuutta suhteessa yhteenlaskuoperaatioon.

Vastaus: 6.75

1.2 Toisen asteen yhtälöt

Muodon yhtälö kutsutaan toisen asteen yhtälöksi, missä a – seniorikerroin, b – keskimääräinen kerroin, с – vapaa termi.

Todennäköisyydestä riippuen a, b ja c – yhtälö voi olla täydellinen tai epätäydellinen, annettu tai antamatta.

1.2.1 Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tarkastellaan tapoja ratkaista epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

1) Aloitetaan ymmärtämään ensimmäisen tyypin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisua c = 0 . Epätäydelliset muodon toisen asteen yhtälöt a x 2 + b x = 0 antaa sinun päättääfaktorointimenetelmä. Erityisesti haarukointimenetelmä.

Ilmeisesti voimme, joka sijaitsee yhtälön vasemmalla puolella, jolle riittää, että yhteinen tekijä otetaan pois suluista x . Tämän avulla voimme siirtyä alkuperäisestä epätäydellisestä toisen asteen yhtälöstä vastaavaan yhtälöön, jonka muoto on: x·(a·x+b)=0.

Ja tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää x=0 tai a x+b=0 , joista viimeinen on lineaarinen ja jolla on juuri x=−.

a x 2 +b x=0 on kaksi juuria

x=0 ja x=− .

2) Katsotaan nyt kuinka epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan, joissa kerroin b on nolla ja c≠0 , eli muodon yhtälöitä a x 2 +c=0 . Tiedämme, että termin siirtäminen yhtälön toiselta puolelta toiselle päinvastaisella merkillä sekä yhtälön molempien puolten jakaminen nollasta poikkeavalla luvulla antaa vastaavan yhtälön. Siksi voimme suorittaa seuraavat epätäydellisen toisen asteen yhtälön vastaavat muunnokset a x 2 +c=0 :

• siirto alkaen oikealle puolelle, joka antaa yhtälön a x 2 =-c ,
• ja jaa molemmat osat arvolla a, saamme.

Tuloksena oleva yhtälö antaa meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä sen juurista.

Jos numero – on negatiivinen, silloin yhtälöllä ei ole juuria. Tämä väite johtuu siitä tosiasiasta, että minkä tahansa luvun neliö on ei-negatiivinen luku.

Jos on positiivinen luku, silloin tilanne yhtälön juurilla on erilainen. Tässä tapauksessa sinun on muistettava, että yhtälöllä on juuri, se on numero. Yhtälön juuri lasketaan seuraavan kaavion mukaisesti:

Tiedetään, että korvaaminen yhtälöön sijaan x sen juuret muuttavat yhtälön todelliseksi tasa-arvoksi.

Tehdään yhteenveto tämän kappaleen tiedoista. Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 +c=0 vastaa yhtälöä, mikä

3) Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisut, joissa kertoimet b ja c ovat yhtä kuin nolla, eli muodon yhtälöiden kanssa a x 2 = 0. Yhtälö a x 2 =0 seuraa x 2 =0 , joka saadaan alkuperäisestä jakamalla molemmat osat nollasta poikkeavalla luvulla a . Ilmeisesti yhtälön juuri x 2 = 0 on nolla, koska 0 2 =0 . Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria.

Eli epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 = 0 on yksi juuri x=0.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälöt: a) x 2 = 5x, jos yhtälöllä on useita juuria, merkitse vastauksessasi pienin niistä;

b) , jos yhtälöllä on useita juuria, merkitse vastauksessasi suurin niistä;

c) x 2 −9=0, jos yhtälöllä on useita juuria, merkitse vastauksessasi niistä pienin.

Ratkaisu.

Olemme saaneet epätäydellisen toisen asteen yhtälön, jolle ei ole vapaata termiä. Ratkaisemme haarukointimenetelmällä.

U Yhtälö voidaan tehdä kahdella juurilla, joista pienempi on 0.

Vastaus: 0.

b) . Kuten edellisessä esimerkissä, käytämme haarukointimenetelmää

Vastauksessa on ilmoitettava suurempi juurista. Tämä on numero 2.

Vastaus: 2.

V) . Tämä yhtälö on epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jolla ei ole keskimääräistä kerrointa.

Pienin näistä juurista on numero – 3.

Vastaus: -3.

1.2.2 Täydelliset toisen asteen yhtälöt.

1. Diskriminantti, peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

On olemassa juurikaava.

Kirjoitetaan se ylös kaava toisen asteen yhtälön juurille askel askeleelta:

1) D=b 2 −4 a c - niin sanottu.

a) jos D

b) jos D>0, niin yhtälösillä ei ole yhtä juurta:

c) jos D sillä ei ole kahta juurta:

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Käytännössä neliöyhtälöitä ratkaistaessa voit heti käyttää juurikaavaa laskeaksesi niiden arvot. Mutta tämä liittyy enemmän monimutkaisten juurien löytämiseen.

Koulualgebran kurssilla emme kuitenkaan yleensä puhu monimutkaisista, vaan toisen asteen yhtälön todellisista juurista. Tässä tapauksessa on suositeltavaa, ennen kuin käytät kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, löytää ensin erottaja ja varmistaa, että se ei ole negatiivinen (muuten voimme päätellä, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja vasta sitten laske juurien arvot.

Yllä oleva perustelu antaa meille mahdollisuuden kirjoittaaAlgoritmi toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Ratkaisemaan toisen asteen yhtälön a x 2 +b x+c=0, tarvitset:

• erottelukaavan mukaan D=b 2 −4 a c laskea sen arvo;
• päättele, että toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, jos diskriminantti on negatiivinen;
• laske yhtälön ainoa juuri kaavalla if D = 0;
• etsi toisen asteen yhtälön kaksi todellista juurta juurikaavalla, jos diskriminantti on positiivinen.

2. Diskriminantti, toinen kaava toisen asteen yhtälön juurille (parillisella toisella kertoimella).

Ratkaista muodon toisen asteen yhtälöitä, tasaisella kertoimella b = 2k on toinen kaava.

Nauhoitetaan uusi kaava toisen asteen yhtälön juurille at:

1) D’=k 2 −a c - niin sanottutoisen asteen yhtälön diskriminantti.

a) jos D' sillä ei ole todellisia juuria;

b) jos D’>0, niin yhtälösillä ei ole yhtä juurta:

c) jos D' sillä ei ole kahta juurta:

Esimerkki 4. Ratkaise 2x yhtälö 2 −3x+1=0.. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Ratkaisu. Ensimmäisessä tapauksessa meillä on seuraavat neliöyhtälön kertoimet: a=2, b=-3 ja c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1. Alkaen 1>0

Meillä on Meillä on kaksi juuria, joista suurempi on numero 1.

Vastaus: 1.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö x 2 −21 = 4x.

Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Ratkaisu. Analogisesti edellisen esimerkin kanssa siirrymme 4h yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle ja saamme:

Tässä tapauksessa meillä on seuraavat toisen asteen yhtälön kertoimet: a=1, k=-2 ja c=-21 . Algoritmin mukaan sinun on ensin laskettava diskriminantti D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Numero 25>0 , eli diskriminantti on suurempi kuin nolla, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Etsitään ne juurikaavalla

Vastaus: 7.

1.2.3 Erityiset menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1) Neliöyhtälön juurien ja kertoimien välinen suhde. Vietan lause.

Neliöyhtälön juurien kaava ilmaisee yhtälön juuret kertoimiensa kautta. Juurikaavan perusteella voit saada muita suhteita juurien ja kertoimien välille.

Tunnetuin ja soveltuvin kaava on nimeltään Vietan lause.

Lause: Anna - annetun toisen asteen yhtälön juuret. Silloin juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi ja juurien summa on yhtä suuri kuin toisen kertoimen vastakkainen arvo:

Jo kirjoitettujen kaavojen avulla voit saada useita muita yhteyksiä toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille. Voit esimerkiksi ilmaista toisen asteen yhtälön juurien neliöiden summan sen kertoimilla.

Esimerkki 6. a) Ratkaise yhtälö x 2

b) Ratkaise yhtälö x 2

c) Ratkaise yhtälö x 2

Ratkaisu.

a) Ratkaise yhtälö x 2 −6x+5=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

Valitse juurista pienin

Vastaus: 1

b) Ratkaise yhtälö x 2 +7x+10=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Vietan lausetta soveltaen kirjoitamme kaavoja juurille

Loogisesti päätellen päätämme näin. Valitse juurista suurin

Vastaus: ─2.

c) Ratkaise yhtälö x 2 ─5x─14 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Vietan lausetta soveltaen kirjoitamme kaavoja juurille

Loogisesti päätellen päätämme näin. Valitse juurista pienin

Vastaus: ─2.

1.3 Rationaaliset yhtälöt

Jos sinulle annetaan yhtälö, jossa on muodon murto-osiaJos osoittajassa tai nimittäjässä on muuttuja, tällaista lauseketta kutsutaan rationaaliseksi yhtälöksi. Rationaalinen yhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka sisältää vähintään yhden rationaalisen lausekkeen. Rationaaliset yhtälöt ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin mikä tahansa yhtälö: samat operaatiot suoritetaan yhtälön molemmille puolille, kunnes muuttuja on eristetty yhtälön toiselta puolelta. On kuitenkin olemassa kaksi tapaa ratkaista rationaaliset yhtälöt.

1) Ristikertolasku.Kirjoita tarvittaessa sinulle annettu yhtälö uudelleen siten, että kummallakin puolella on yksi murto-osa (yksi rationaalinen lauseke); vain tässä tapauksessa voit käyttää ristikkäistä kertolaskumenetelmää.

Kerro vasemman murtoluvun osoittaja oikeanpuoleisen nimittäjällä. Toista tämä oikean murtoluvun osoittajalla ja vasemmanpuoleisen nimittäjällä.

• Ristikertominen perustuu algebrallisiin perusperiaatteisiin. Rationaalisissa lausekkeissa ja muissa murtoluvuissa voit päästä eroon osoittajasta kertomalla kahden murtoluvun osoittajat ja nimittäjät vastaavasti.
• Yhdistä tuloksena olevat lausekkeet ja yksinkertaista niitä.
• Ratkaise tuloksena oleva yhtälö, eli etsi "x". Jos "x" on yhtälön molemmilla puolilla, eristä se yhtälön toiselta puolelta.

2) Pienintä yhteistä nimittäjää (LCD) käytetään yksinkertaistamaan tätä yhtälöä.Tätä menetelmää käytetään, kun et voi kirjoittaa annettua yhtälöä yhdellä rationaalisella lausekkeella yhtälön kummallakin puolella (ja käytä ristiinlaskumenetelmää). Tätä menetelmää käytetään, kun sinulle annetaan rationaalinen yhtälö, jossa on 3 tai useampia murtolukuja (kahden murtoluvun tapauksessa on parempi käyttää ristikkäistä kertolaskua).

• Etsi murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä (tai pienin yhteinen kerrannainen).NOZ on pienin luku, joka on tasan jaollinen jokaisella nimittäjällä.
• Kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla, joka on yhtä suuri kuin tulos, joka saadaan jakamalla NOC kunkin murtoluvun vastaavalla nimittäjällä.
• Etsi x. Nyt kun olet vähentänyt murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi, voit päästä eroon nimittäjästä. Voit tehdä tämän kertomalla yhtälön kumpikin puoli yhteisellä nimittäjällä. Ratkaise sitten saatu yhtälö, eli etsi "x". Tätä varten eristä muuttuja yhtälön toiselta puolelta.

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälöt: a); b) c) .

Ratkaisu.

A) . Käytämme ristikkäistä kertolaskumenetelmää.

Avaamme sulut ja esittelemme samanlaisia ​​termejä.

sai lineaarisen yhtälön yhden tuntemattoman kanssa

Vastaus: ─10.

b) , samoin kuin edellisessä esimerkissä, käytämme ristiin kertolaskumenetelmää.

Vastaus: ─1.9.

V) , käytämme pienimmän yhteisen nimittäjän (LCD) menetelmää.

Tässä esimerkissä yhteinen nimittäjä on 12.

Vastaus: 5.

Luku 2 Kompleksiset yhtälöt

Monimutkaisten yhtälöiden luokkaan kuuluvissa yhtälöissä voidaan yhdistää erilaisia ​​menetelmiä ja ratkaisutekniikoita. Mutta tavalla tai toisella, kaikki yhtälöt loogisen päättelyn menetelmällä ja vastaavilla toimilla johtavat yhtälöihin, joita on tutkittu aiemmin.

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Ratkaisu. Käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja avaamme sulut:

Siirrämme kaikki termit yhtäläisyysmerkin ulkopuolelle ja tuomme samanlaiset,

Vastaus: 5.5.

Esimerkki 8. Ratkaise yhtälöt: a)(−5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Ratkaisu.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Avataan sulut ja esitellään samanlaiset termit

olemme saaneet täydellisen toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisemme ensimmäisen erottelukaavan avulla

yhtälöllä on kaksi juuria

Vastaus: 0,6 ja 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, tälle yhtälölle tehdään looginen päättely (tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun yksi tekijöistä on nolla). Keinot

Vastaus: ─2 ja 6.

Esimerkki 9. Ratkaise yhtälöt:, b) .

Ratkaisu. Etsitään pienin yhteinen nimittäjä

Kirjoitetaan muuttujan asteittain laskevassa järjestyksessä

; sai täydellisen toisen asteen yhtälön parillisella toisella kertoimella

Yhtälöllä on kaksi todellista juuria

Vastaus:.

b) . Perustelu on samanlainen kuin a). NPD:n löytäminen

Avaamme sulut ja esittelemme samanlaisia ​​termejä

ratkaise täydellinen toisen asteen yhtälö yleisen kaavan avulla

Vastaus:.

Esimerkki 10. Ratkaise yhtälöt:

Ratkaisu.

A) , Huomaa, että vasemmalla puolella suluissa oleva lauseke edustaa lyhennetyn kertolaskukaavaa, tarkemmin sanottuna kahden lausekkeen summan neliötä. Muunnetaan se

; siirrä tämän yhtälön ehdot toiselle puolelle

laitetaan se pois suluista

Tulo on nolla, kun yksi tekijöistä on nolla. tarkoittaa,

Vastaus: ─2, ─1 ja 1.

b) Perustelemme samalla tavalla kuin esimerkiksi a)

, Vietan lauseen mukaan

Vastaus:

Esimerkki 11. Ratkaise yhtälöt a)

Ratkaisu.

A) ; [yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella voit käyttää hakasulkeiden poistotapaa ja vasemmalla puolella otamme pois, ja oikealle puolelle laitamme numeron 16.]

[siirretään kaikki sivuun ja käytetään jälleen haarukointimenetelmää. Otamme pois yhteisen tekijän]

[tulo on nolla, kun yksi tekijöistä on nolla.]

Vastaus:

b) . [Tämä yhtälö on samanlainen kuin yhtälö a). Siksi tässä tapauksessa käytämme ryhmittelymenetelmää]

Vastaus:

Esimerkki 12. Ratkaise yhtälö=0.

Ratkaisu.

0 [kaksikvadraattinen yhtälö. Ratkaistu muuttujan menetelmän muutoksella].

0; [Soveltamalla Vietan lausetta saamme juuret]

. [paluu aikaisempiin muuttujiin]

Vastaus:

Esimerkki 13. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. [kaksikvadraattinen yhtälö, pääsemme eroon parillisista tehoista käyttämällä moduulimerkkejä.]

[saimme kaksi toisen asteen yhtälöä, jotka ratkaisemme neliöyhtälön juurien peruskaavalla]

yhdelläkään todellisen juuren yhtälöllä ei ole kahta juuria

Vastaus:

Esimerkki 14. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu.

ODZ:

[siirrä kaikki yhtälön ehdot vasemmalle puolelle ja tuo samanlaiset termit]

[saimme pelkistetyn toisen asteen yhtälön, joka on helppo ratkaista Vietan lauseella]

Luku – 1 ei täytä annetun yhtälön ODZ:tä, joten se ei voi olla tämän yhtälön juuri. Tämä tarkoittaa, että vain numero 7 on juuri.

Vastaus: 7.

Esimerkki 15. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu.

Kahden lausekkeen neliöiden summa voi olla nolla vain, jos lausekkeet ovat yhtä aikaa nolla. Nimittäin

[Ratkaisemme jokaisen yhtälön erikseen]

Vietan lauseen mukaan

Juurien yhteensattuma –5 on yhtälön juuri.

Vastaus: -5.

PÄÄTELMÄ

Yhteenvetona tehdyn työn tulokset voimme päätellä: yhtälöillä on valtava rooli matematiikan kehityksessä. Systematisoimme saadun tiedon ja tiivistimme käsitellystä materiaalista. Tämä tieto voi valmistaa meidät tuleviin kokeisiin.

Työmme antaa mahdollisuuden tarkastella matematiikan meille asettamia tehtäviä eri tavalla.

• projektin lopussa systematisoimme ja yleistimme aiemmin tutkittuja yhtälöiden ratkaisumenetelmiä;
• tutustui uusiin yhtälöiden ratkaisutapoihin ja yhtälöiden ominaisuuksiin;

• Tarkastelimme kaiken tyyppisiä yhtälöitä, jotka ovat OGE-tehtävissä sekä ensimmäisessä että toisessa osassa.
• Loimme metodologisen kokoelman "Yhtälöt OGE-tehtävissä".

Uskomme, että olemme saavuttaneet meille asetetun tavoitteen - ottaa huomioon kaikenlaiset yhtälöt matematiikan päävaltiokokeen tehtävissä.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. B.V. Gnedenko "Matematiikka nykymaailmassa". Moskovan "Enlightenment" 1980

2. Ya.I. Perelman "Viihdyttävä algebra". Moskovan "Science" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Liite 1

Lineaariset yhtälöt

1. Etsi yhtälön juuri

2. Etsi yhtälön juuri

3. Etsi yhtälön juuri

Liite 2

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

1. Ratkaise yhtälö x 2 = 5x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

2. Ratkaise 2x yhtälö 2 = 8x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

3. Ratkaise 3x yhtälö 2 = 9x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

4. Ratkaise 4x yhtälö 2 = 20x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

5. Ratkaise 5x yhtälö 2 = 35x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

6. Ratkaise 6x yhtälö 2 = 36x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

7. Ratkaise yhtälö 7x 2 = 42x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

8. Ratkaise 8x yhtälö 2 = 72x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

9. Ratkaise yhtälö 9x 2 = 54x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

10. Ratkaise 10x yhtälö2 = 80x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

11. Ratkaise 5x yhtälö2 −10x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

12. Ratkaise 3x yhtälö2 −9x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

13. Ratkaise 4x yhtälö2 −16x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

14. Ratkaise 5x yhtälö2 +15x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

15. Ratkaise 3x yhtälö2 +18x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

16. Ratkaise 6x yhtälö2 +24x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

17. Ratkaise 4x yhtälö2 −20x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

18. Ratkaise 5x yhtälö2 +20x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

19. Ratkaise yhtälö 7x2 −14x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

20. Ratkaise 3x yhtälö2 +12x=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

21. Ratkaise yhtälö x2 −9 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

22. Ratkaise yhtälö x2 −121 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

23. Ratkaise yhtälö x2 −16 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

24. Ratkaise yhtälö x2 -25 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

25. Ratkaise yhtälö x2 -49 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

26. Ratkaise yhtälö x2 -81 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

27. Ratkaise yhtälö x2 −4 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

28. Ratkaise yhtälö x2 -64 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

29. Ratkaise yhtälö x2 -36 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

30. Ratkaise yhtälö x2 -144 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

31. Ratkaise yhtälö x2 −9 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

32. Ratkaise yhtälö x2 −121 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

33. Ratkaise yhtälö x2 −16 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

34. Ratkaise yhtälö x2 -25 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

35. Ratkaise yhtälö x2 -49 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

36. Ratkaise yhtälö x2 -81 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

37. Ratkaise yhtälö x2 −4 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

38. Ratkaise yhtälö x2 -64 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

39. Ratkaise yhtälö x2 -36 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

40. Ratkaise yhtälö x2 -144 = 0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Liite 3

Täydelliset toisen asteen yhtälöt

1. Ratkaise yhtälö x2 +3x=10. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

2. Ratkaise yhtälö x2 +7x=18. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

3. Ratkaise yhtälö x2 +2x=15. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

4. Ratkaise yhtälö x2 −6x=16. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

5. Ratkaise yhtälö x2 −3x=18. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

6. Ratkaise yhtälö x2 −18 = 7x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

7. Ratkaise yhtälö x2 +4x=21. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

8. Ratkaise yhtälö x2 −21 = 4x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

9. Ratkaise yhtälö x2 −15 = 2x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

10. Ratkaise yhtälö x2 −5x=14. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

11. Ratkaise yhtälö x2 +6 = 5x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

12. Ratkaise yhtälö x2 +4 = 5x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

13. Ratkaise yhtälö x2 −x=12. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

14. Ratkaise yhtälö x2 +4x=5. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

15. Ratkaise yhtälö x2 −7x=8. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

16. Ratkaise yhtälö x2 +7 = 8x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

17. Ratkaise yhtälö x2 +18 = 9x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

18. Ratkaise yhtälö x2 +10 = 7x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

19. Ratkaise yhtälö x2 −20=x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

20. Ratkaise yhtälö x2 −35 = 2x. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

21. Ratkaise 2x yhtälö2 −3x+1=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

22. Ratkaise 5x yhtälö2 +4x−1=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

23. Ratkaise 2x yhtälö2 +5x−7=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

24. Ratkaise 5x yhtälö2 −12x+7=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

25. Ratkaise 5x yhtälö2 −9x+4=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

26. Ratkaise yhtälö 8x2 −12x+4=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

27. Ratkaise yhtälö 8x2 −10x+2=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

28. Ratkaise 6x yhtälö2 −9x+3=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

29. Ratkaise 5x yhtälö2 +9x+4=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

30. Ratkaise 5x yhtälö2 +8x+3=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

31. Ratkaise yhtälö x2 −6x+5=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

32. Ratkaise yhtälö x2 −7x+10=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

33. Ratkaise yhtälö x2 −9x+18=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

34. Ratkaise yhtälö x2 −10x+24=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

35. Ratkaise yhtälö x2 −11x+30=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

36. Ratkaise yhtälö x2 −8x+12=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

37. Ratkaise yhtälö x2 −10x+21=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

38. Ratkaise yhtälö x2 −9x+8=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

39. Ratkaise yhtälö x2 −11x+18=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

40. Ratkaise yhtälö x2 −12x+20=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

Liite 4.

Rationaaliset yhtälöt.

1. Etsi yhtälön juuri

2. Etsi yhtälön juuri

3. Etsi yhtälön juuri

4. Etsi yhtälön juuri

5. Etsi yhtälön juuri

6. Etsi yhtälön juuri.

7. Etsi yhtälön juuri

8. Etsi yhtälön juuri

9. Etsi yhtälön juuri.

10. Etsi yhtälön juuri

11. Etsi yhtälön juuri.

12. Etsi yhtälön juuri

13. Etsi yhtälön juuri

14. Etsi yhtälön juuri

15. Etsi yhtälön juuri

16. Etsi yhtälön juuri

17. Etsi yhtälön juuri

18. Etsi yhtälön juuri

19. Etsi yhtälön juuri

20. Etsi yhtälön juuri

21. Etsi yhtälön juuri

22. Etsi yhtälön juuri

23. Etsi yhtälön juuri

Liite 5

Monimutkaiset yhtälöt.

1. Etsi yhtälön (x+3) juuri2 =(x+8)2 .

2. Etsi yhtälön (x−5) juuri2 =(x+10)2 .

3. Etsi yhtälön (x+9) juuri2 =(x+6)2 .

4. Etsi yhtälön juuri (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Etsi yhtälön (x−5) juuri2 =(x−8)2 .

6. Etsi yhtälön juuri.

7.Etsi yhtälön juuri.

8. Etsi yhtälön juuri.

9. Etsi yhtälön juuri.

10. Etsi yhtälön juuri.

11. Ratkaise yhtälö (x+2)(− x+6)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

12. Ratkaise yhtälö (x+3)(− x−2)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

13. Ratkaise yhtälö (x−11)(− x+9)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

14. Ratkaise yhtälö (x−1)(− x−4)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

15. Ratkaise yhtälö (x−2)(− x−1)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

16. Ratkaise yhtälö (x+20)(− x+10)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

17. Ratkaise yhtälö (x−2)(− x−3)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

18. Ratkaise yhtälö (x−7)(− x+2)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

19. Ratkaise yhtälö (x−5)(− x−10)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

20. Ratkaise yhtälö (x+10)(− x−8)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

21. Ratkaise yhtälö (− 5x+3)(− x+6)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

22. Ratkaise yhtälö (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

23. Ratkaise yhtälö (− x−4)(3x+3)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

24. Ratkaise yhtälö (x−6)(4x−6)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

25. Ratkaise yhtälö (− 5x−3)(2x−1)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

26. Ratkaise yhtälö (x−2)(− 2x−3)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

27. Ratkaise yhtälö (5x+2)(− x−4)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

28. Ratkaise yhtälö (x−6)(− 5x−9)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

29. Ratkaise yhtälö (6x−3)(− x+3)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi suurempi juuri.

30. Ratkaise yhtälö (5x−2)(− x+3)=0. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, kirjoita vastaukseksi pienempi juuri.

31. Ratkaise yhtälö

32. Ratkaise yhtälö

33. Ratkaise yhtälö

34. Ratkaise yhtälö

35. Ratkaise yhtälö

36. Ratkaise yhtälö

37. Ratkaise yhtälö

38. Ratkaise yhtälö

39. Ratkaise yhtälö

40 Ratkaise yhtälö

41. Ratkaise yhtälö x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Ratkaise yhtälö (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Ratkaise yhtälö x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Ratkaise yhtälö (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Ratkaise yhtälö x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Ratkaise yhtälö (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Ratkaise yhtälö (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Ratkaise yhtälö x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Ratkaise yhtälö (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Ratkaise yhtälö (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Ratkaise yhtälö (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Ratkaise yhtälö (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Ratkaise yhtälö (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Ratkaise yhtälö (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Ratkaise yhtälö (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Ratkaise yhtälö (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Ratkaise yhtälö (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Ratkaise yhtälö (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Ratkaise yhtälö (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Ratkaise yhtälö (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Ratkaise yhtälö x3 +3x2 =16x+48.

62. Ratkaise yhtälö x3 +4x2 =4x+16.

63. Ratkaise yhtälö x3 +6x2 =4x+24.

64. Ratkaise yhtälö x3 +6x2 =9x+54.

65. Ratkaise yhtälö x3 +3x2 =4x+12.

66. Ratkaise yhtälö x3 +2x2 =9x+18.

67. Ratkaise yhtälö x3 +7x2 =4x+28.

68. Ratkaise yhtälö x3 +4x2 =9x+36.

69. Ratkaise yhtälö x3 +5x2 =4x+20.

70. Ratkaise yhtälö x3 +5x2 =9x+45.

71. Ratkaise yhtälö x3 +3x2 −x−3=0.

72. Ratkaise yhtälö x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Ratkaise yhtälö x3 +5x2 −x−5=0.

74. Ratkaise yhtälö x3 +2x2 −x−2=0.

75. Ratkaise yhtälö x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Ratkaise yhtälö x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Ratkaise yhtälö x3 +4x2 −x−4=0.

78. Ratkaise yhtälö x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Ratkaise yhtälö x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Ratkaise yhtälö x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Ratkaise yhtälö x4 =(x−20)2 .

82. Ratkaise yhtälö x4 =(2x−15)2 .

83. Ratkaise yhtälö x4 =(3x−10)2 .

84. Ratkaise yhtälö x4 =(4x−5)2 .

85. Ratkaise yhtälö x4 =(x−12)2 .

86. Ratkaise yhtälö x4 =(2x−8)2 .

87. Ratkaise yhtälö x4 =(3x−4)2 .

88. Ratkaise yhtälö x4 =(x-6)2 .

89. Ratkaise yhtälö x4 =(2x−3)2 .

90. Ratkaise yhtälö x4 =(x−2)2 .

91. Ratkaise yhtälö

92. Ratkaise yhtälö

93. Ratkaise yhtälö

94. Ratkaise yhtälö

95. Ratkaise yhtälö

96. Ratkaise yhtälö

97. Ratkaise yhtälö

98. Ratkaise yhtälö

99. Ratkaise yhtälö

100. Ratkaise yhtälö

101. Ratkaise yhtälö.

102. Ratkaise yhtälö

103. Ratkaise yhtälö

104. Ratkaise yhtälö

105. Ratkaise yhtälö

106. Ratkaise yhtälö

107. Ratkaise yhtälö

108. Ratkaise yhtälö

109. Ratkaise yhtälö

110. Ratkaise yhtälö

YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN

valmistautuminen OGE:hen

9-luokka

valmistanut matematiikan opettaja GBOU koulu nro 14 Pietarin Nevskin alueella Putrova Marina Nikolaevna

Täydennä lauseet:

1). Yhtälö on...

2). Yhtälön juuri on...

3). Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa...

I. Ratkaise yhtälöt suullisesti:

• 1). 6x + 18 = 0
• 2). 2x + 5 = 0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x - 7 = 5x
• 8). 9x + 6 = 10x
• 9). 5x - 12 = 8x

Millä seuraavista yhtälöistä ei ole ratkaisuja:

A). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2 (x - 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Millä yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua:

A). 4x - 12 = x - 12

b). 4x - 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

SUORAT YHTÄLÖT

kx + b = 0

NIITÄ KUTSETAAN LINEAARISTEN.

Algoritmi lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen :

1). siirrä tuntemattoman sisältävät termit vasemmalle ja tuntematonta sisältämättömät oikealle puolelle (siirretyn termin etumerkki käännetään);

2). tuoda samanlaisia ​​jäseniä;

3) jakaa yhtälön molemmat puolet tuntemattoman kertoimella, jos se ei ole nolla.

Ratkaise yhtälöitä muistikirjoissasi :

Ryhmä II: nro 697, s. 63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Ryhmä I:

№ 681 sivu 63

6(4x)+3x=3

III ryhmä: nro 767, s. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Muodon yhtälö

Ah 2 + bх + c =0,

missä a≠0, b, c – kaikkia reaalilukuja kutsutaan neliöiksi.

Epätäydelliset yhtälöt:

Ah 2 + bх =0 (c=0),

Ah 2 + c = 0 (b = 0).

II. Ratkaise toisen asteen yhtälöt suullisesti ja ilmoita, ovatko ne täydellisiä vai epätäydellisiä:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15 = 0

7 ) . X 2 + 5x + 6 = 0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

KYSYMYKSIÄ:

1). Mitä yhtälöiden ominaisuutta käytettiin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen?

2). Mitä menetelmiä polynomin laskentaan käytettiin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen?

3). Mikä on algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen ?

1). Kahden tekijän tulo on nolla, jos toinen niistä on nolla, toinen ei menetä merkitystään: ab = 0 , Jos a = 0 tai b = 0 .

2). Korvaamalla yhteisen kertoimen ja

a 2 -b 2 =(a – b)(a + b) - kaava neliöiden erolle.

3). Täydellinen toisen asteen yhtälö ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac jos D0, 2 juurta;

D = 0, 1 juuri;

X 1,2 =

RATKAISEE YHTÄLÖT :

Ryhmä I: nro 802, s. 71 X 2 -5x-36 =0

Ryhmä II: nro 810, s. 71 3x 2 - x + 21 = 5x 2

III ryhmä: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. RATKAISEE YHTÄLÖT :

Ryhmät I ja II: nro 860 = 0

III ryhmä: =0

Mitä tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan? Mitä omaisuutta käytetään niiden ratkaisemiseen?

Rationaalinen yhtälö on muodon yhtälö

Murto-osa on nolla, jos osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla. =0, jos a = 0, b≠0.

Lyhyt matematiikan historia

• Muinaisen Egyptin matemaatikot pystyivät ratkaisemaan neliö- ja lineaariyhtälöitä.

• Persialainen keskiaikainen tiedemies Al-Khorezmi (800-luku) esitteli algebran itsenäisenä tieteenä yleisistä lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmistä ja antoi näiden yhtälöiden luokituksen.

• Uusi suuri läpimurto matematiikassa liittyy ranskalaisen tiedemiehen Francois Vietan (XVI vuosisadan) nimeen. Hän toi kirjaimet algebraan. Hän on vastuussa kuuluisasta lauseesta toisen asteen yhtälöiden juurista.

• Ja olemme velkaa perinteen merkitä tuntemattomia määriä latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla (x, y, z) toiselle ranskalaiselle matemaatikolle - Rene Descartesille (XVII).

Al-Khwarizmi

Francois Viet

Rene Descartes

Kotitehtävät

Työskentely verkkosivujen kanssa :

- Avoin tehtäväpankki OGE (matematiikka) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "Minä ratkaisen OGE:n", kirjoittanut D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- A. Larinin verkkosivusto (vaihtoehto 119) http://alexlarin.net/ .

Opetusohjelmat:

- Yu.M. Kolyagin oppikirja “Algebra 9th grade”, M., “Enlightenment”, 2014, s. 308-310;

- "3000 tehtävää" alla. muokannut I.V. Yashchenko, M., "Koe", 2017, s. 59-74.

! Teoriasta käytäntöön;

! Yksinkertaisesta monimutkaiseen

MAOU "Platoshin Secondary School",

matematiikan opettaja, Melekhina G.V.

Lineaarisen yhtälön yleinen muoto: kirves + b = 0 ,

Missä a Ja b– numerot (kertoimet).

• Jos a = 0 Ja b = 0, Tuo 0x + 0 = 0 – äärettömän monta juuria;
• Jos a = 0 Ja b ≠ 0, Tuo 0x + b = 0– ei ratkaisuja;
• Jos a ≠ 0 Ja b = 0 , Tuo kirves + 0 = 0 – yksi juuri, x = 0;
• Jos a ≠ 0 Ja b ≠ 0 , Tuo kirves + b = 0 - yksi juuri,

! Jos X on ensimmäisessä potenssissa eikä ole nimittäjässä, niin se on lineaarinen yhtälö

! Ja jos lineaarinen yhtälö on monimutkainen :

! Termit X:llä menevät vasemmalle, ilman X:tä - oikealle.

! Nämä yhtälöt ovat myös lineaarinen .

! Suhteen pääominaisuus (ristikkäin).

! Avaa kiinnikkeet, X vasemmalla, ilman X oikealla.

• jos kerroin a = 1, niin yhtälöä kutsutaan annettu :

• jos kerroin b = 0 tai/ja c = 0, niin yhtälöä kutsutaan epätäydellinen :

! Peruskaavat

! Lisää kaavoja

Bikvadraattinen yhtälö- kutsutaan muodon yhtälöksi kirves 4 +bx 2 + c = 0 .

Bikvadraattinen yhtälö pienenee arvoon toisen asteen yhtälö käyttämällä sitten substituutiota

Saamme toisen asteen yhtälön:

Etsitään juuret ja palataan korvaamiseen:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Ratkaisu:

Korvaus: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Yhtälön juuret ovat t 1 = -9 ja t 2 = 4.

x 2 = -9 tai x 2 = 4.

Vastaus: Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, mutta toisessa: x = ±2.

Esimerkki 2:

Ratkaise yhtälö (2х - 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Ratkaisu:

Korvaus: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Yhtälön juuret ovat t 1 = 9 ja t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 tai (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 tai 2x – 1 = ±4.

Ensimmäisellä yhtälöllä on kaksi juuria: x = 2 ja x = -1, toisella on myös kaksi juuria: x = 2,5 ja x = -1,5.

Vastaus: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Ratkaise yhtälöt valitsemalla vasemmalta puolelta täysi neliö :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Muista summan neliö ja erotuksen neliö

Rationaalinen ilmaisu on algebrallinen lauseke, joka koostuu luvuista ja muuttujasta x käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja eksponentiooperaatioita luonnollisen eksponentin kanssa.

Jos r(x) on rationaalinen lauseke, sitten yhtälö r(x) = 0 kutsutaan rationaaliseksi yhtälöksi.

Algoritmi rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki yhtälön ehdot yhdelle puolelle.

2. Muunna tämä yhtälön osa algebralliseksi murtoluvuksi p(x)/q(x)

3. Ratkaise yhtälö p(x) = 0

4. Jokaiselle yhtälön juurelle p(x) = 0 tarkista, täyttääkö se ehtoa q(x)≠0 tai ei. Jos kyllä, tämä on annetun yhtälön juuri; jos ei, se on ulkopuolinen juuri eikä sitä tule sisällyttää vastaukseen.

! Muistakaamme ratkaisu murto-rationaaliseen yhtälöön:

! Yhtälöiden ratkaisemiseksi on hyödyllistä muistaa lyhennetyt kertolaskukaavat:

Jos yhtälö sisältää muuttujan neliöjuuren merkin alla, yhtälöä kutsutaan irrationaalinen .

Menetelmä yhtälön molempien puolten neliöimiseksi- tärkein menetelmä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kun tuloksena oleva rationaalinen yhtälö on ratkaistu, on välttämätöntä tarkistaa , karsimalla pois mahdolliset vieraat juuret.

Vastaus: 5; 4

Toinen esimerkki:

Tutkimus:

Ilmaisulla ei ole merkitystä.

Vastaus: ei ratkaisuja.