Kirjoita 2 pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö. Suoran yleinen yhtälö

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

Minkä tahansa pisteen läpi voidaan vetää ääretön määrä suoria.

Minkä tahansa kahden eri pisteen kautta voidaan vetää yksi suora viiva.

Kaksi erilaista suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

linjat leikkaavat;

viivat ovat yhdensuuntaisia;

suorat leikkaavat.

Suoraan linja— ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suora suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan määrittää ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ax + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suoran yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B Ja KANSSA Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- origon läpi kulkee suora viiva

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠0- suora osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠0- suora osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa tietystä riippuen

alkuolosuhteet.

Suoran yhtälö pisteestä ja normaalivektorista.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Kun A = 3 ja B = -1, muodostetaan suoran yhtälö: 3x - y + C = 0. Kertoimen C löytämiseksi

Korvataan tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit, jolloin saadaan: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x - y - 1 = 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Sitten suoran yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Päällä

tasossa, yllä kirjoitettu suoran yhtälö on yksinkertaistettu:

Jos x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuus suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa saamme:

Suoran yhtälö käyttäen pistettä ja kaltevuutta.

Jos suoran yleinen yhtälö Ax + Wu + C = 0 johtaa:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntausvektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntausvektori.

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli vaadittu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ах + Ву + С = 0 С≠0, niin jakamalla -С saamme:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suoraan akselilla Vai niin, A b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Suoran normaaliyhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ax + Wu + C = 0 jakaa numerolla jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ*C< 0.

R- origosta suoralle pudonneen kohtisuoran pituus,

A φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Suoran yleinen yhtälö on annettu 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

Suoran yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason suorien viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

Jos k 1 = -1/ k 2 .

Lause.

Suoraan Ax + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 rinnakkain, kun kertoimet ovat verrannollisia

A1 = λA, B1 = λB. Jos myös С 1 = λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan kulkevan suoran yhtälö.

Määritelmä. Pisteen läpi kulkeva viiva M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys suoraan Ax + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- pisteestä pudonneen kohtisuoran kanta M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M Ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 Ja klo 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu suora viiva. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Artikkelissa" " Lupasin teille tarkastella toista tapaa ratkaista esitetyt derivaatan löytämisen ongelmat, kun annettiin funktion kaavio ja tämän kaavion tangentti. Keskustelemme tästä menetelmästä , Älä missaa! Miksi seuraavassa?

Tosiasia on, että siellä käytetään suoran yhtälön kaavaa. Voisimme tietysti vain näyttää tämän kaavan ja neuvoa sinua oppimaan sen. Mutta on parempi selittää, mistä se tulee (miten se on johdettu). Se on välttämätöntä! Jos unohdat sen, voit palauttaa sen nopeastiei tule olemaan vaikeaa. Kaikki on kuvattu alla yksityiskohtaisesti. Meillä on siis kaksi pistettä A koordinaattitasolla(x 1;y 1) ja B(x 2;y 2) piirretään suora viiva osoitettujen pisteiden läpi:

Tässä on itse suora kaava:

*Toisin sanoen, kun korvataan tiettyjä pisteiden koordinaatteja, saadaan yhtälö muotoa y=kx+b.

**Jos yksinkertaisesti "opistat" tämän kaavan ulkoa, on suuri todennäköisyys hämmentyä indekseihin, kun X. Lisäksi indeksit voidaan määrittää eri tavoin, esimerkiksi:

Siksi on tärkeää ymmärtää merkitys.

Nyt tämän kaavan johtaminen. Kaikki on hyvin yksinkertaista!

Kolmiot ABE ja ACF ovat samanlaisia teräväkulmaltaan (ensimmäinen merkki suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta). Tästä seuraa, että vastaavien elementtien suhteet ovat yhtä suuret, eli:

Nyt ilmaisemme nämä segmentit yksinkertaisesti pisteiden koordinaattien eron kautta:

Tietenkään ei tapahdu virhettä, jos kirjoitat elementtien suhteet eri järjestyksessä (tärkeintä on säilyttää johdonmukaisuus):

Tuloksena on sama yhtälö. Tässä kaikki!

Eli riippumatta siitä, kuinka itse pisteet (ja niiden koordinaatit) on merkitty, tämän kaavan ymmärtämisellä löydät aina suoran yhtälön.

Kaava voidaan johtaa vektorien ominaisuuksien avulla, mutta johtamisperiaate on sama, koska puhumme niiden koordinaattien suhteellisuudesta. Tässä tapauksessa sama suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuus toimii. Mielestäni edellä kuvattu johtopäätös on selkeämpi)).

Näytä tulos vektorikoordinaateilla >>>

Tehdään kahden annetun pisteen A(x 1;y 1) ja B(x 2;y 2) kautta kulkevalle koordinaattitasolle suora. Merkitään mielivaltainen piste C suoralle koordinaatteilla ( x; y). Merkitsemme myös kahta vektoria:

Tiedetään, että vektoreille, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla (tai samalla suoralla), niiden vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia, eli:

— kirjoitamme vastaavien koordinaattien suhteiden yhtäläisyyden:

Katsotaanpa esimerkkiä:

Etsi kahden koordinaatin (2;5) ja (7:3) pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Sinun ei tarvitse edes rakentaa suoraa itse. Käytämme kaavaa:

On tärkeää, että ymmärrät kirjeenvaihdon suhdetta laskeessasi. Et voi mennä pieleen, jos kirjoitat:

Vastaus: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Varmistaaksesi, että tuloksena oleva yhtälö löytyy oikein, muista tarkistaa - korvaa siihen pisteiden tilassa olevien tietojen koordinaatit. Yhtälöiden tulee olla oikein.

Siinä kaikki. Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.

Ystävällisin terveisin Alexander.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan määrittää ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ax + Wu + C = 0,

Lisäksi vakiot A ja B eivät ole yhtä aikaa nolla. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan suoran suoran yleinen yhtälö. Vakioiden A, B ja C arvoista riippuen seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – suora kulkee origon kautta

A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) - suora linja, joka on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy-akselin suuntainen suora viiva

B = C = 0, A ≠0 – suora osuu Oy-akseliin

A = C = 0, B ≠0 – suora osuu yhteen Ox-akselin kanssa

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa annetuista alkuehdoista riippuen.

Suoran yhtälö pisteestä ja normaalivektorista

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa vektori, jonka komponentit (A, B) on kohtisuorassa yhtälön Ax + By + C = 0 antamaa suoraa vastaan.

Esimerkki. Etsi pisteen A(1, 2) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa (3, -1).

Ratkaisu. Kun A = 3 ja B = -1, muodostetaan suoran yhtälö: 3x – y + C = 0. Kertoimen C löytämiseksi korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. 3 – 2 + C = 0, joten C = -1 . Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x – y – 1 = 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

Olkoon kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) avaruudessa, niin näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö on:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaavan osoittajan tulee olla nolla. Tasolla yllä kirjoitetun suoran yhtälö on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2.

Murtoluku = k kutsutaan kaltevuus suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa saamme:

Suoran yhtälö pisteestä ja kaltevasta

Jos kokonaissumma Ax + Bu + C = 0, siirry muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan yhtälö suorasta kulmastak.

Suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää pisteen läpi kulkevan suoran määritelmän ja suoran suuntausvektorin.

Määritelmä. Jokaista nollasta poikkeavaa vektoria (α 1, α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon A α 1 + B α 2 = 0, kutsutaan suoran suuntausvektoriksi.

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan kertoimien on täytettävä ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Tällöin suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0 tai x + y + C / A = 0. kun x = 1, y = 2, saadaan C/ A = -3, ts. vaadittu yhtälö:

Suoran yhtälö segmenteissä

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ах + Ву + С = 0 С≠0, niin jakamalla –С:lla saadaan: tai

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin A on suoran ja Ox-akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b– suoran ja Oy-akselin leikkauspisteen koordinaatti.

Esimerkki. On annettu suoran x – y + 1 = 0 yleinen yhtälö.. Etsi tämän suoran yhtälö janoittain.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Suoran normaaliyhtälö

Jos yhtälön Ax + By + C = 0 molemmat puolet kerrotaan luvulla jota kutsutaan normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

suoran normaaliyhtälö. Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Esimerkki. Yleinen yhtälö suoralle 12x – 5y – 65 = 0. Tälle riville on kirjoitettava erilaisia yhtälöitä.

tämän suoran yhtälö segmenteissä:

tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla, jotka ovat yhdensuuntaisia akselien kanssa tai kulkevat koordinaattien origon kautta.

Esimerkki. Suora katkaisee yhtä suuret positiiviset segmentit koordinaattiakseleilta. Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, jos näiden osien muodostaman kolmion pinta-ala on 8 cm 2.

Ratkaisu. Suoran yhtälön muoto on: , ab /2 = 8; ab = 16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Esimerkki. Kirjoita yhtälö pisteen A(-2, -3) ja origon kautta kulkevalle suoralle.

Ratkaisu. Suoran yhtälö on: , jossa x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Tason suorien viivojen välinen kulma

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, niin näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2. Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2.

Lause. Suorat Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 = λA, B 1 = λB ovat verrannollisia. Jos myös C 1 = λC, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa y = kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys suoraan Ax + Bу + C = 0 määritetään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M määrätylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

(1)

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu. Löydämme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, joten suorat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Annetut ovat kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 v + 3 = 0;

Vaadittava korkeusyhtälö on muotoa: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: mistä b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3 x + 2 v – 34 = 0.

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälö on muotoa y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6) saadaan pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälö:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 = x 2, niin pisteiden M 1 (x 1,y I) ja M 2 (x 2,y 2) kautta kulkeva suora on ordinaatta-akselin suuntainen. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 = y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen abskissa-akselin kanssa.

Suoran yhtälö segmenteissä

Leikkaa suoran Ox-akselin pisteessä M 1 (a;0) ja Oy-akselin pisteessä M 2 (0;b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan segmenttien suoran yhtälö, koska numerot a ja b osoittavat mitkä janat viiva katkaisee koordinaattiakseleilta.

Yhtälö suorasta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja tarkastellaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Kutsutaan yhtälöä (10.8). tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Vektoria n= (A; B), joka on kohtisuorassa suoraa vastaan, kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

jossa A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C = -Ax o - Vu o on vapaa termi. Yhtälö (10.9) on suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

Missä
- sen pisteen koordinaatit, jonka kautta viiva kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen käyrät ympyrä

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste osuu yhteen koordinaattien origon kanssa, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, joista jokaisesta kahteen annettuun pisteeseen on etäisyyden summa. Ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakiosuure
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja koordinaattien origon keskellä polttopisteiden välissä on muoto
G de a puolipääakselin pituus; b – puolipieniakselin pituus (kuva 2).

Tason suoran yhtälö.

Kuten tiedetään, mikä tahansa tason piste määräytyy kahdella koordinaatilla jossain koordinaattijärjestelmässä. Koordinaattijärjestelmät voivat olla erilaisia riippuen perustan ja alkuperän valinnasta.

Määritelmä. Viivayhtälö kutsutaan tämän suoran muodostavien pisteiden koordinaattien väliseksi suhteeksi y = f(x).

Huomaa, että suoran yhtälö voidaan ilmaista parametrisesti, eli jokaisen pisteen jokainen koordinaatti ilmaistaan jonkin itsenäisen parametrin kautta t.

Tyypillinen esimerkki on liikkuvan pisteen lentorata. Tässä tapauksessa parametrin roolia esittää aika.

Tason suoran yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan määrittää ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ax + Wu + C = 0,

Lisäksi vakiot A ja B eivät ole yhtä aikaa nolla, ts. A 2 + B 2  0. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan suoran suoran yleinen yhtälö.

Vakioiden A, B ja C arvoista riippuen seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

C = 0, A  0, B  0 – suora kulkee origon kautta

A = 0, B  0, C  0 (by + C = 0) - suora linja, joka on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy-akselin suuntainen suora viiva

B = C = 0, A  0 – suora osuu Oy-akseliin

A = C = 0, B  0 – suora osuu yhteen Ox-akselin kanssa

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa annetuista alkuehdoista riippuen.

Suoran yhtälö pisteestä ja normaalivektorista.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa vektori, jonka komponentit (A, B) on kohtisuorassa yhtälön Ax + By + C = 0 antamaa suoraa vastaan.

Esimerkki. Etsi vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen A(1, 2) läpi kulkevan suoran yhtälö (3, -1).

Kun A = 3 ja B = -1, muodostetaan suoran yhtälö: 3x – y + C = 0. Kertoimen C löytämiseksi korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit.

Saamme: 3 – 2 + C = 0, joten C = -1.

Yhteensä: vaadittu yhtälö: 3x – y – 1 = 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) avaruudessa, niin näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö on:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi.

Tasossa yllä kirjoitettua suoran yhtälöä yksinkertaistetaan:

jos x 1  x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2.

Murto-osa
=k kutsutaan kaltevuus suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa, saamme:

Suoran yhtälö käyttäen pistettä ja kaltevuutta.

Jos suoran Ax + By + C = 0 yleinen yhtälö pelkistetään muotoon:

ja nimetä
, niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan yhtälö suorasta kulmastak.

Suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää pisteen kautta kulkevan suoran määritelmän ja suoran suuntausvektorin.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori ( 1,  2), jonka komponentit täyttävät ehdon A 1 + B 2 = 0, kutsutaan suoran suuntavektoriksi

Ax + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suorasta suuntavektorista (1, -1) ja kulkee pisteen A(1, 2) läpi.

Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan kertoimien on täytettävä ehdot:

1A + (-1)B = 0, ts. A = B.

Tällöin suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0 tai x + y + C/A = 0.

kun x = 1, y = 2, saadaan C/A = -3, ts. vaadittu yhtälö:

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ах + Ву + С = 0 С 0, niin jakamalla –С:lla saadaan:
tai

, Missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin A on suoran ja Ox-akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b– suoran ja Oy-akselin leikkauspisteen koordinaatti.

Esimerkki. On annettu suoran x – y + 1 = 0 yleinen yhtälö.. Etsi tämän suoran yhtälö janoittain.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Suoran normaaliyhtälö.

Jos yhtälön Ax + By + C = 0 molemmat puolet jaetaan luvulla
jota kutsutaan normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcos + ysin - p = 0 -

suoran normaaliyhtälö.

Normalisoivan tekijän etumerkki  on valittava siten, että С< 0.

p on origosta suoralle pudotetun kohtisuoran pituus, ja  on tämän kohtisuoran muodostama kulma Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Esimerkki. Yleinen yhtälö suoralle 12x – 5y – 65 = 0. Tälle riville on kirjoitettava erilaisia yhtälöitä.

tämän suoran yhtälö segmenteissä:

tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

suoran normaaliyhtälö:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla, jotka ovat yhdensuuntaisia akselien kanssa tai kulkevat koordinaattien origon kautta.

Esimerkki. Suora katkaisee yhtä suuret positiiviset segmentit koordinaattiakseleilta. Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, jos näiden osien muodostaman kolmion pinta-ala on 8 cm 2.

Suoran yhtälö on:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ei sovellu tehtävän ehtojen mukaan.

Kaikki yhteensä:
tai x + y – 4 = 0.

Esimerkki. Kirjoita yhtälö pisteen A(-2, -3) ja origon kautta kulkevalle suoralle.

Suoran yhtälö on:
, jossa x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Tason suorien viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, niin näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2.

Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/k 2 .

Lause. Suorat linjat Ax + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet A ovat verrannollisia 1 =  A, B 1 =  B. Jos myös C 1 =  C, sitten suorat osuvat yhteen.

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

kohtisuorassa tätä linjaa vastaan.

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa y = kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste M(x) on annettu 0 , y 0 ), niin etäisyys suoraan Ах + Ву + С =0 määritellään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M määrätylle suoralle pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan.

Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Löydämme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, joten suorat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Annetut ovat kolmion A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) kärjet. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Löydämme sivun AB yhtälön:
; 4x = 6v – 6;

2x – 3v + 3 = 0;

Vaadittava korkeusyhtälö on muotoa: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b.

k = . Sitten y =
. Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön:
jossa b = 17. Yhteensä:
.

Vastaus: 3x + 2v – 34 = 0.

Analyyttinen geometria avaruudessa.

Suoran yhtälö avaruudessa.

Avaruuden suoran yhtälö, jossa on piste ja

suuntavektori.

Otetaan mielivaltainen suora ja vektori (m, n, p), yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Vektori nimeltään ohjevektori suoraan.

Otetaan suoralta kaksi mielivaltaista pistettä M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ja M (x, y, z).

M 1

Merkitään näiden pisteiden sädevektorit muodossa Ja , se on selvää - =
.

Koska vektorit
Ja ovat kollineaarisia, suhde on tosi
= t, missä t on jokin parametri.

Yhteensä voimme kirjoittaa: = + t.

Koska tämä yhtälö täyttyy minkä tahansa suoran pisteen koordinaateista, jolloin tuloksena oleva yhtälö on suoran parametrinen yhtälö.

Tämä vektoriyhtälö voidaan esittää koordinaattimuodossa:

Muuntamalla tätä järjestelmää ja vertaamalla parametrin t arvot saamme suoran avaruuden kanoniset yhtälöt:

Määritelmä. Suuntakosinit suorat ovat vektorin suuntakosinit , joka voidaan laskea kaavojen avulla:

;

.

Tästä saamme: m: n: p = cos : cos : cos.

Numeroita m, n, p kutsutaan kulmakertoimet suoraan. Koska on nollasta poikkeava vektori, silloin m, n ja p eivät voi olla yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti, mutta yksi tai kaksi näistä luvuista voi olla nolla. Tässä tapauksessa rivin yhtälössä vastaavat osoittajat tulee asettaa nollaksi.

Avaruudessa kulkevan suoran yhtälö

kahden pisteen kautta.

Jos avaruuden suoralle viivalle merkitään kaksi mielivaltaista pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), niin näiden pisteiden koordinaattien on täytettävä suora yhtälö saatu yllä:

Lisäksi pisteelle M 1 voimme kirjoittaa:

Ratkaisemalla nämä yhtälöt yhdessä, saamme:

Tämä on kahden avaruuden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Suoran suoran yleiset yhtälöt avaruudessa.

Suoran yhtälöä voidaan pitää kahden tason leikkausviivan yhtälönä.

Kuten edellä todettiin, vektorimuodossa oleva taso voidaan määrittää yhtälöllä:

+ D = 0, missä

- kone normaali; - säde on tason mielivaltaisen pisteen vektori.