Tehofunktio luonnollisella tasaisella eksponentilla. Virtatoiminto
Toiminto missä X-muuttuva, A- tiettyyn numeroon soitetaan tehotoiminto .
Jos then on lineaarinen funktio, sen kuvaaja on suora (katso kohta 4.3, kuva 4.7).
Jos sitten on neliöfunktio, sen kuvaaja on paraabeli (katso kohta 4.3, kuva 4.8).
Jos sitten sen kuvaaja on kuutioparaabeli (katso kohta 4.3, kuva 4.9).
Virtatoiminto
Tämä on käänteisfunktio
1. Verkkotunnus: 
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: outo toiminto.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: X= 0 on ainoa nolla.
6. Funktiolla ei ole enimmäis- tai minimiarvoa.
7.
8. Funktiokaavio Symmetrinen kuutiomaisen paraabelin kuvaajalle suhteessa suoraan Y=X ja esitetään kuvassa. 5.1.
 |
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus: 
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: funktio on tasainen.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: yksittäinen nolla X = 0.
6. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot: ottaa pienimmän arvon X= 0, se on yhtä kuin 0.
7. Nousevat ja laskevat intervallit: funktio pienenee ja kasvaa intervallin mukaan
8. Funktiokaavio(kaikille N Î N) "näyttää" toisen asteen paraabelin kaaviolta (funktioiden kaaviot on esitetty kuvassa 5.2).
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus:
2. Useita arvoja: 
3. Parillinen ja pariton: outo toiminto.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: X= 0 on ainoa nolla.
6. Suurin ja pienin arvo:
7. Nousevat ja laskevat intervallit: funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.
8. Funktiokaavio(jokaiselle ) "näyttää" kuutioparaabelin kaaviolta (funktiokaaviot on esitetty kuvassa 5.3).
 |
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus:
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: outo toiminto.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: ei ole nollia.
6. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot: funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa millekään
7. Nousevat ja laskevat intervallit: funktio pienenee määrittelyalueella.
8. Asymptootit:(akseli OU) on pystysuora asymptootti;
(akseli vai niin) on vaakasuuntainen asymptootti.
9. Funktiokaavio(kenelle tahansa N) "näyttää" hyperbelin kaaviolta (funktioiden kaaviot on esitetty kuvassa 5.4).
 |
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus:
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: funktio on tasainen.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot: funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa millekään
6. Nousevat ja laskevat intervallit: toiminto kasvaa ja pienenee
7. Asymptootit: X= 0 (akseli OU) on pystysuora asymptootti;
Y= 0 (akseli vai niin) on vaakasuuntainen asymptootti.
8. Funktiokaaviot Ovat neliöllisiä hyperboleja (kuva 5.5).
 |
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus:
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: funktiolla ei ole parillisen ja parittoman ominaisuutta.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: X= 0 on ainoa nolla.
6. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot: pienin arvo, joka on yhtä suuri kuin 0, funktio ottaa pisteessä X= 0; ei sillä eniten väliä.
7. Nousevat ja laskevat intervallit: funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.
8. Jokainen tällainen toiminto tietyllä indikaattorilla on käänteinen toimitetulle toiminnolle
9. Funktiokaavio"näyttää" minkä tahansa funktion kaaviolta N ja esitetään kuvassa. 5.6.
Virtatoiminto
1. Verkkotunnus:
2. Useita arvoja:
3. Parillinen ja pariton: outo toiminto.
4. Toiminnan jaksotus: ei-jaksollinen.
5. Funktion nollat: X= 0 on ainoa nolla.
6. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot: funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa millekään
7. Nousevat ja laskevat intervallit: funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.
8. Funktiokaavio Näkyy kuvassa 5.7.
 |
Potenttifunktion tarkastelun helpottamiseksi tarkastelemme neljää erillistä tapausta: potenssifunktio, jossa on luonnollinen eksponentti, potenssifunktio, jossa on kokonaisluku, potenssifunktio, jossa on rationaalinen eksponentti, ja potenssifunktio irrationaalisen eksponentin kanssa.
Tehofunktio luonnollisella eksponentilla
Aluksi otamme käyttöön tutkinnon käsitteen luonnollisella eksponentilla.
Määritelmä 1
Luonnollisen eksponentin $n$ reaaliluvun $a$ potenssi on luku, joka on yhtä suuri kuin $n$ tekijöiden tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin luku $a$.
Kuva 1.
$a$ on tutkinnon perusta.
$n$ - eksponentti.
Tarkastellaan nyt potenssifunktiota, jolla on luonnollinen eksponentti, sen ominaisuuksia ja kuvaaja.
Määritelmä 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ kutsutaan potenssifunktioksi, jolla on luonnollinen eksponentti.
Lisämukavuuden vuoksi harkitse erikseen potenssifunktiota, jossa on parillinen eksponentti $f\left(x\right)=x^(2n)$ ja potenssifunktiota parittoman eksponentin kanssa $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.
Luonnollisen parillisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ on parillinen funktio.
Laajuus -- $ \
Funktio pienenee muodossa $x\in (-\infty ,0)$ ja kasvaa muodossa $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $
Funktio on konveksi koko määritelmäalueella.
Käyttäytyminen laajuuden päissä:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Kaavio (kuva 2).
Kuva 2. Kuvaaja funktiosta $f\left(x\right)=x^(2n)$
Luonnollisen parittoman eksponentin potenssifunktion ominaisuudet
Määritelmäalue on kaikki reaaliluvut.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ on pariton funktio.
$f(x)$ on jatkuva koko määritelmäalueella.
Alue on kaikki reaalilukuja.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funktio on kovera arvolle $x\in (-\infty ,0)$ ja kupera arvolle $x\in (0,+\infty)$.
Kaavio (kuva 3).
Kuva 3. Kuvaaja funktiosta $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Potenttifunktio kokonaislukueksponentilla
Aluksi otamme käyttöön asteen käsitteen kokonaislukueksponentilla.
Määritelmä 3
Reaaliluvun $a$ aste, jossa on kokonaislukueksponentti $n$, määritetään kaavalla:
Kuva 4
Tarkastellaan nyt potenssifunktiota, jossa on kokonaislukueksponentti, sen ominaisuuksia ja kuvaajaa.
Määritelmä 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ kutsutaan potenssifunktioksi, jossa on kokonaislukueksponentti.
Jos aste on suurempi kuin nolla, niin päästään luonnollisen eksponentin potenssifunktion tapaukseen. Olemme jo keskustelleet siitä edellä. Kohdalle $n=0$ saadaan lineaarinen funktio $y=1$. Jätämme sen pohdinnan lukijalle. On vielä tarkasteltava negatiivisen kokonaislukueksponentin potenssifunktion ominaisuuksia
Negatiivisen kokonaislukueksponentin potenssifunktion ominaisuudet
Alue on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jos eksponentti on parillinen, funktio on parillinen, jos se on pariton, niin funktio on pariton.
$f(x)$ on jatkuva koko määritelmäalueella.
Arvoalue:
Jos eksponentti on parillinen, niin $(0,+\infty)$, jos pariton, niin $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jos eksponentti on pariton, funktio pienenee muodossa $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Parillisen eksponentin kohdalla funktio pienenee muodossa $x\in (0,+\infty)$. ja kasvaa muodossa $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ koko verkkotunnuksessa