Funktioiden taulukkoarvot. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumalaki

2.1. Laplacen funktio (todennäköisyysintegraali). näyttää:

Laplacen funktion käyrä on esitetty kuvassa 5.

Toiminto F(X) on taulukoitu (katso liitteiden taulukko 1). Jotta voit käyttää tätä taulukkoa, sinun on tiedettävä Laplace-funktion ominaisuudet:

1) Funktio Ф( X) outo: F(-X)= -F(X).

2) Toiminto F(X) kasvaa monotonisesti.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. Käytännössä voidaan olettaa, että x³5:lle funktio F(X)=0,5; x £ -5 funktio F(X)=-0,5.

2.2. Laplace-funktiolla on muitakin muotoja:

ja

Toisin kuin nämä lomakkeet, toiminto F(X) kutsutaan vakio- tai normalisoiduksi Laplace-funktioksi. Se liittyy muihin muotoihin suhteiden kautta:

ESIMERKKI 2. Jatkuva satunnaismuuttuja X sillä on normaalijakauman laki parametrein: m=3, s=4. Etsi todennäköisyys, että testin tuloksena satunnaismuuttuja X: a) ottaa väliin (2; 6) sisältyvän arvon; b) ottaa arvon alle 2; c) ottaa arvon, joka on suurempi kuin 10; d) poikkeaa matemaattisesta odotuksesta enintään 2. Kuvaa ongelman ratkaisu graafisesti.

Ratkaisu. a) Todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X kuuluu määritetylle aikavälille ( a,b), missä a=2 ja b=6 on yhtä suuri kuin:

Laplace-funktion arvot F(x) määräytyy liitteenä olevan taulukon mukaan ottaen huomioon se F(–X)= –F(X).

b) Todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X ottaa arvon alle 2, on yhtä suuri kuin:

c) Todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X ottaa arvon, joka on suurempi kuin 10, on yhtä suuri kuin:

d) Todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X d=2 on yhtä suuri kuin:

Geometrialta katsottuna lasketut todennäköisyydet ovat numeerisesti yhtä suuria kuin normaalikäyrän alla varjostetut alueet (katso kuva 6).

Riisi. 6. Satunnaismuuttujan normaalikäyrä X~N(3;4)
ESIMERKKI 3. Akselin halkaisija mitataan ilman systemaattisia (yksi merkki) virheitä. Satunnaismittausvirheet ovat normaalijakauman lain alaisia ​​keskihajonnan ollessa 10 mm. Laske todennäköisyys, että mittaus suoritetaan virheellä, joka on korkeintaan 15 mm absoluuttisena arvona.

Ratkaisu. Satunnaisvirheiden matemaattinen odotus on nolla m X poiketa matemaattisesta odotuksesta vähemmän kuin d=15 on yhtä suuri kuin:

ESIMERKKI 4. Kone tekee palloja. Pallo katsotaan kelvolliseksi, jos poikkeama X pallon halkaisija suunnittelukoosta on alle 0,7 mm itseisarvossa. Olettaen, että satunnaismuuttuja X Normaalisti jakautuneena 0,4 mm:n keskihajonnalla, selvitä kuinka monta hyvää palloa on keskimäärin 100 valmistetun pallon joukossa.

Ratkaisu. Satunnainen arvo X- pallon halkaisijan poikkeama suunnittelukoosta. Poikkeaman matemaattinen odotus on nolla, ts. M(X)=m=0. Sitten todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X poiketa matemaattisesta odotuksesta vähemmän kuin d\u003d 0,7, on yhtä suuri kuin:

Tästä seuraa, että noin 92 palloa 100:sta on hyviä.

ESIMERKKI 5. Todista sääntö "3 s».

Ratkaisu. Todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja X poiketa matemaattisesta odotuksesta vähemmän kuin d= 3s, on yhtä suuri kuin:

ESIMERKKI 6. Satunnainen arvo X normaalisti jakautunut matemaattisten odotusten kanssa m=10. Osuma Todennäköisyys X välissä (10, 20) on 0,3. Mikä on osumisen todennäköisyys X väliin (0, 10)?

Ratkaisu. Normaali käyrä on symmetrinen suoran suhteen X=m=10, joten yläpuolelta normaalikäyrän ja alapuolella välien (0, 10) ja (10, 20) rajoittamat alueet ovat keskenään yhtä suuret. Koska alueet ovat numeerisesti yhtä suuria kuin osumistodennäköisyydet X sopivalla aikavälillä.

Paikalliset ja integraaliset Laplace-lauseet

Tämä artikkeli on luonnollinen jatkoa käsittelevälle oppitunnille riippumattomia testejä missä tapasimme Bernoullin kaava ja kehitti tyypillisiä esimerkkejä aiheesta. Laplacen paikallis- ja integraalilauseet (Moivre-Laplace) ratkaisevat samanlaisen ongelman sillä erolla, että niitä voidaan soveltaa riittävän suureen määrään riippumattomia testejä. Sanoja "paikallinen", "integraali", "lauseet" ei tarvitse peitellä - materiaali hallitaan samalla helposti kuin Laplace taputti Napoleonin kiharaa päätä. Siksi ilman komplekseja ja alustavia huomautuksia harkitsemme heti esittelyä:

Kolikkoa heitetään 400 kertaa. Laske todennäköisyys, että päät nousevat esiin 200 kertaa.

Ominaisuuksien mukaan tässä on sovellettava Bernoullin kaava . Muistetaan näiden kirjainten merkitys:

on todennäköisyys, että satunnainen tapahtuma tapahtuu täsmälleen kerran riippumattomissa kokeissa;
– binomikerroin;
on tapahtuman todennäköisyys kussakin kokeessa;

Tehtäväämme varten:
on testien kokonaismäärä;
- heittojen lukumäärä, joissa kotkan pitäisi pudota;

Näin ollen todennäköisyys, että 400 kolikonheitto tuottaa täsmälleen 200 päätä on: ...Seis, mitä tehdä seuraavaksi? Mikrolaskin (ainakin omani) ei selvinnyt 400 asteen kanssa ja antautui tekijät. Eikä tekisi mieli laskea tuotetta läpi =) Käytetään Excelin vakiotoiminto, joka onnistui käsittelemään hirviön: .

Kiinnitän huomionne siihen, mitä on vastaanotettu tarkka arvoa ja tällainen ratkaisu näyttää ihanteelliselta. Ensi näkemältä. Tässä on joitain vakuuttavia vasta-argumentteja:

- Ensinnäkin ohjelmisto ei ehkä ole käsillä;
- ja toiseksi ratkaisu näyttää epätyypilliseltä (suurella todennäköisyydellä joudut tekemään sen uudelleen);

Siksi, hyvät lukijat, odotamme lähitulevaisuudessa:

Paikallinen Laplace-lause

Jos satunnaisen tapahtuman todennäköisyys kussakin kokeessa on vakio, niin todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu tarkalleen kerran kokeissa, on suunnilleen yhtä suuri:
, missä .

Samanaikaisesti mitä enemmän, sitä paremmin laskettu todennäköisyys on likimääräinen saatua tarkkaa arvoa (ainakin hypoteettisesti) Bernoullin kaavan mukaan. Testien suositeltu vähimmäismäärä on noin 50-100, muuten tulos voi olla kaukana totuudesta. Lisäksi paikallinen Laplace-lause toimii sitä paremmin, mitä lähempänä todennäköisyys on 0,5, ja päinvastoin - se antaa merkittävän virheen arvoille, jotka ovat lähellä nollaa tai yhtä. Tästä syystä toinen kriteeri kaavan tehokkaalle käytölle on epätasa-arvon täyttymys () .

Joten esimerkiksi jos , niin Laplacen lauseen soveltaminen 50 kokeeseen on perusteltua. Mutta jos ja , niin likimääräinen (tarkkaan arvoon) tulee huonoksi.

Miksi ja erikoistoiminnosta puhumme luokalla aiheesta normaali todennäköisyysjakauma, mutta toistaiseksi tarvitsemme ongelman muodollista laskennallista puolta. Erityisesti tärkeä tosiasia on pariteetti tämä toiminto: .

Muodostetaan suhde esimerkillämme:

Tehtävä 1

Kolikkoa heitetään 400 kertaa. Selvitä todennäköisyys, että päät laskeutuvat tarkalleen:

a) 200 kertaa;
b) 225 kertaa.

Mistä aloittaa ratkaisu? Ensin kirjoitetaan tunnetut määrät ylös niin, että ne ovat silmiemme edessä:

on riippumattomien testien kokonaismäärä;
on todennäköisyys saada päät jokaisessa heitossa;
on todennäköisyys saada häntää.

a) Laske todennäköisyys, että 400 heiton sarjassa päät putoavat tasan kerran. Suuren testimäärän vuoksi käytämme paikallista Laplace-lausetta: , missä .

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme argumentin vaaditun arvon:

Seuraavaksi löydämme funktion vastaavan arvon: . Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla. Ensinnäkin syntyy tietysti suorat laskelmat:

Pyöristys suoritetaan yleensä 4 desimaalin tarkkuudella.

Suoran laskennan haittana on, että jokainen mikrolaskin ei sulata eksponenttia, lisäksi laskelmat eivät ole kovin miellyttäviä ja vievät aikaa. Miksi kärsiä niin? Käyttää terver laskin (kohta 4) ja saat arvoa välittömästi!

Lisäksi on funktion arvotaulukko, joka on saatavilla melkein missä tahansa todennäköisyyslaskentaa käsittelevässä kirjassa, erityisesti oppikirjassa V.E. Gmurman. Lataa, joka ei ole vielä ladannut - siellä on yleensä paljon hyödyllistä tavaraa ;-) Ja muista oppia käyttämään pöytää (tällä hetkellä!)- sopiva tietotekniikka ei välttämättä ole aina käsillä!

Viimeisessä vaiheessa käytämme kaavaa :
on todennäköisyys, että 400 kolikonheiton aikana päät tulevat esiin tasan 200 kertaa.

Kuten näet, saatu tulos on hyvin lähellä tarkkaa arvoa, joka on laskettu Bernoullin kaava.

b) Laske todennäköisyys, että päät tulevat esiin täsmälleen kerran 400 kokeen sarjassa. Käytämme paikallista Laplace-lausetta. Yksi, kaksi, kolme - ja olet valmis:

on haluttu todennäköisyys.

Vastaus:

Seuraava esimerkki, kuten monet ovat arvaaneet, on omistettu lapsen saamiselle - ja tämä on sinun päätettävissäsi :)

Tehtävä 2

Todennäköisyys saada poika on 0,52. Laske todennäköisyys, että 100 vastasyntyneen joukossa on täsmälleen: a) 40 poikaa, b) 50 poikaa, c) 30 tyttöä.

Pyöristä tulokset 4 desimaalin tarkkuudella.

... Lause "riippumattomat testit" kuulostaa mielenkiintoiselta täällä =) Muuten, todellinen tilastollinen todennäköisyys pojan syntyvyys on monilla alueilla maailmassa 0,51-0,52.

Esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Kaikki huomasivat, että luvut osoittautuvat melko pieniksi, ja tämän ei pitäisi olla harhaanjohtavaa - puhummehan loppujen lopuksi yksilön todennäköisyyksistä, paikallinen arvot (siis lauseen nimi). Ja tällaisia ​​arvoja on monia, ja kuvaannollisesti sanottuna todennäköisyys "pitäisi riittää kaikille". Itse asiassa monia tapahtumia käytännössä mahdotonta.

Selitän yllä olevan esimerkin kolikoilla: neljänsadan kokeen sarjassa päät voivat teoriassa pudota 0 - 400 kertaa, ja nämä tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä:

Suurin osa näistä arvoista edustaa kuitenkin niukkaa määrää, joten esimerkiksi todennäköisyys, että päät putoavat 250 kertaa, on jo yksi kymmenestä miljoonasosasta:. Arvoista kuten tahdikkaasti hiljaa =)

Toisaalta vaatimattomia tuloksia ei pidä aliarvioida: jos kyseessä on vain , niin todennäköisyys, että päät putoavat esim. 220-250 kertaa, tulee olemaan hyvin havaittavissa.

Ajatellaan nyt: kuinka tämä todennäköisyys lasketaan? Älä laske mukaan yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauslause määrä:

Paljon helpompia nämä arvot yhdistää. Ja jonkin liittoa, kuten tiedät, kutsutaan liittäminen:

Laplacen integraalilause

Jos satunnaisen tapahtuman esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa on vakio, niin todennäköisyys se, että kokeissa tapahtuma tulee ei vähemmän eikä enempää kertoja (aikoista mukaan lukien), on suunnilleen yhtä suuri kuin:

Tässä tapauksessa kokeiden lukumäärän on tietysti oltava myös riittävän suuri eikä todennäköisyys ole liian pieni/suuri (suunnilleen), muuten likiarvo on merkityksetön tai huono.

Funktiota kutsutaan Laplace-toiminto, ja sen arvot on jälleen koottu vakiotaulukkoon ( löydä ja opi käyttämään sitä!!). Mikrolaskin ei auta tässä, koska integraali ei ole sisäänvedettävä. Mutta Excelissä on vastaava toiminto - käyttö kohta 5 suunnittelun asettelu.

Käytännössä yleisimmät arvot ovat:
- Kirjoita se muistikirjaasi.
Alkaen kohdasta , voimme olettaa, että tai jos kirjoitetaan tiukemmin:

Lisäksi Laplace-toiminto outo: , ja tätä ominaisuutta hyödynnetään aktiivisesti tehtävissä, jotka ovat jo odottaneet meitä:

Tehtävä 3

Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, on 0,7. Laske todennäköisyys, että 100 laukauksella maali osuu 65-80 kertaa.

Otin realistisimman esimerkin, muuten löysin täältä useita tehtäviä, joissa ampuja tekee tuhansia laukauksia =)

Ratkaisu: tässä ongelmassa puhumme toistuvat riippumattomat testit, ja niiden määrä on melko suuri. Ehdon mukaan on löydettävä todennäköisyys, että kohteeseen osuu vähintään 65, mutta enintään 80 kertaa, mikä tarkoittaa, että on käytettävä Laplacen integraalilausetta: , missä

Mukavuuden vuoksi kirjoitamme alkuperäiset tiedot uudelleen sarakkeeseen:
- laukausten kokonaismäärä;
- osumien vähimmäismäärä;
- osumien enimmäismäärä;
- todennäköisyys osua maaliin jokaisella laukauksella;
- poissaolon todennäköisyys jokaisella laukauksella.

Siksi Laplacen lause antaa hyvän likiarvon.

Lasketaan argumenttien arvot:

Kiinnitän huomionne siihen, että teoksen ei tarvitse poimia kokonaan juuren alta (kuten ongelmien kirjoittajat haluavat "säätää" numeroita)- ilman epäilystäkään, poimimme juuren ja pyöristämme tuloksen; Ennen jätin 4 desimaalin tarkkuutta. Mutta saadut arvot pyöristetään yleensä 2 desimaaliin - tämä perinne on peräisin funktion arvotaulukot, jossa argumentit esitetään tässä muodossa.

Käytä yllä olevaa taulukkoa tai terver design layout (kohta 5).
Kirjallisena kommenttina suosittelen sinua laittamaan seuraavan lauseen: löydämme funktion arvot vastaavan taulukon mukaan:

- todennäköisyys, että 100 laukauksella maali osuu 65-80 kertaa.

Muista käyttää funktion parittomuutta! Varmuuden vuoksi kirjoitan yksityiskohtaisesti:

Tosiasia on, että funktion arvotaulukko sisältää vain positiivisen "x", ja toimimme (ainakin legendan mukaan) pöydän kanssa!

Vastaus:

Tulos pyöristetään useimmiten 4 desimaalin tarkkuudella. (taas taulukkomuodon mukaan).

Itsenäinen ratkaisu:

Tehtävä 4

Rakennuksessa on 2500 lamppua, joista jokainen syttyy illalla on 0,5. Laske todennäköisyys, että vähintään 1250 ja enintään 1275 lamppua syttyy illalla.

Likimääräinen näyte viimeistelystä oppitunnin lopussa.

On huomattava, että tarkasteltavat tehtävät ovat hyvin usein "persoonattomassa" muodossa, esimerkiksi:

Suoritetaan jokin koe, jossa satunnainen tapahtuma voi tapahtua todennäköisyydellä 0,5. Koe toistetaan muuttumattomissa olosuhteissa 2500 kertaa. Määritä todennäköisyys, että 2500 kokeessa tapahtuma tapahtuu 1250-1275 kertaa

Ja samanlainen sanamuoto katon läpi. Tehtävien kaavamaisen luonteen vuoksi he yrittävät usein naamioida ehdon - tämä on "ainoa mahdollisuus" jollakin tavalla monipuolistaa ja monimutkaistaa ratkaisua:

Tehtävä 5

Instituutissa on 1000 opiskelijaa. Ruokasalissa on 105 paikkaa. Jokainen opiskelija menee ison tauon aikana kahvilaan todennäköisyydellä 0,1. Mikä on todennäköisyys, että tavallisena koulupäivänä:

a) ruokasali täyttyy enintään kahdesta kolmasosasta;
b) kaikille ei ole tarpeeksi paikkoja.

Kiinnitän huomionne olennaiseen lauseeseen "TAVALLINEN koulupäivä" - se varmistaa tilanteen suhteellisen muuttumattomuuden. Loman jälkeen instituuttiin saattaa tulla huomattavasti vähemmän opiskelijoita ja nälkäinen delegaatio laskeutuu "Avointen ovien päivänä" =) Eli "epätavallisena" päivänä todennäköisyydet vaihtelevat huomattavasti.

Ratkaisu: käytämme Laplacen integraalilausetta, jossa

Tässä tehtävässä:
– instituutin opiskelijoiden kokonaismäärä;
- todennäköisyys, että opiskelija menee ruokalaan suurella tauolla;
on päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys.

a) Laske kuinka monta paikkaa muodostaa kaksi kolmasosaa kokonaismäärästä: paikat

Lasketaan todennäköisyys, että tyypillisenä koulupäivänä ruokala on täytetty enintään kahdella kolmasosalla. Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että suurelle tauolle tulee 0-70 henkilöä. Se, että kukaan ei tule tai tulee vain muutama opiskelija - tapahtumia on käytännössä mahdotonta Nämä todennäköisyydet on kuitenkin otettava huomioon Laplacen integraalilauseen soveltamiseksi. Tällä tavalla:

Lasketaan vastaavat argumentit:

Tuloksena:

- todennäköisyys, että tyypillisenä koulupäivänä ruokala on täytetty enintään kahdella kolmasosalla.

Muistutus : kun Laplace-funktion katsotaan olevan yhtä suuri kuin .

Ihastu kuitenkin =)

b) Tapahtuma "Kaikille ei ole tarpeeksi paikkoja" koostuu siitä, että ruokasaliin tulee suuren tauon aikana 106-1000 ihmistä (tärkeintä, tiivistä hyvin =)). On selvää, että korkea yleisömäärä on uskomaton, mutta kuitenkin: .

Argumenttien laskeminen:

Näin ollen todennäköisyys, että paikkoja ei riitä kaikille:

Vastaus:

Keskitytään nyt yhteen tärkeä vivahde menetelmä: kun suoritamme laskelmia erillinen segmentti, niin kaikki on "pilvetmätöntä" - päätä harkitun mallin mukaan. Jos kuitenkin harkitaan täydellinen tapahtumaryhmä pitäisi näyttää tiettyä tarkkuutta. Selitän tämän kohdan käyttämällä esimerkkiä juuri analysoidusta ongelmasta. Kohdassa "olla" löysimme todennäköisyyden, että kaikille ei riitä paikkoja. Lisäksi laskemme saman kaavion mukaan:
- todennäköisyys, että paikkoja riittää.

Koska nämä tapahtumat vastapäätä, niin todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi:

Mikä hätänä? – Tässä kaikki näyttää olevan loogista. Asia on, että Laplace-funktio on jatkuva, mutta emme ottaneet huomioon intervalli 105:stä 106:een. Tähän pala 0.0338 katosi. Siksi samalla vakiokaavalla pitäisi laskea:

No, tai vielä helpommin:

Herää kysymys: entä jos löydämme ENSIMMÄISEN? Sitten on toinen versio ratkaisusta:

Mutta miten se voi olla?! – kahdella tavalla saadaan erilaisia ​​vastauksia! Se on yksinkertaista: Laplacen integraalilause on menetelmä lähentää laskelmia, ja siksi molemmat polut ovat hyväksyttäviä.

Tarkempia laskelmia varten käytä Bernoullin kaava ja esimerkiksi excel-funktio BINOMDIST. Tuloksena sen sovellus saamme:

Ja ilmaisen kiitokseni yhdelle sivuston vierailijoista, joka kiinnitti huomion tähän hienovaraisuuteen - se putosi näkökentästäni, koska kokonaisen tapahtumaryhmän tutkiminen löytyy harvoin käytännössä. Halukkaat voivat tutustua

Yksi tunnetuimmista ei-alkeisfunktioista, jota käytetään matematiikassa, differentiaaliyhtälöiden teoriassa, tilastoissa ja todennäköisyysteoriassa, on Laplacen funktio. Sen ongelmien ratkaiseminen vaatii huomattavaa valmistelua. Katsotaanpa, kuinka voit laskea tämän indikaattorin Excel-työkalujen avulla.

Laplace-funktiolla on laaja sovellus ja teoreettinen sovellus. Sitä käytetään melko usein esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tällä termillä on toinen vastaava nimi - todennäköisyysintegraali. Joissain tapauksissa ratkaisun perustana on arvotaulukon rakentaminen.

Käyttäjä NORM.ST.DIST

Excelissä määritetty tehtävä ratkaistaan ​​operaattorilla NORMI.ST.JAKAUMA. Sen nimi on lyhenne termistä "normaali standardijakauma". Koska sen päätehtävänä on palauttaa standardi normaali integraalijakauma valittuun soluun. Tämä operaattori kuuluu Excelin standardifunktioiden tilastolliseen luokkaan.

Excel 2007:ssä ja ohjelman aiemmissa versioissa tätä käskyä kutsuttiin NORMSTRAST. Yhteensopivuussyistä se on jätetty myös sovellusten nykyaikaisiin versioihin. Mutta silti he suosittelevat kehittyneemmän analogin käyttöä - NORMI.ST.JAKAUMA.

Operaattorin syntaksi NORMI.ST.JAKAUMA seuraavasti:

NORM.ST.DIS(z;integraali)

Vanhentunut operaattori NORMSTRAST on kirjoitettu näin:

NORMIJAKAUMA(z)

Kuten näet, uudessa versiossa olemassa olevaan argumenttiin Z argumentti lisätty "Kiinteä". On huomattava, että jokainen argumentti on pakollinen.

Perustelu Z määrittää numeerisen arvon, jolle jakaumaa piirretään.

Perustelu "Kiinteä" on boolen arvo, joka voidaan esittää "TOTTA" ("yksi") tai "VÄÄRÄ" («0») . Ensimmäisessä tapauksessa integraalijakaumafunktio palautetaan määritettyyn soluun ja toisessa tapauksessa painojakaumafunktio.

Ongelman ratkaisu

Vaaditun laskutoimituksen suorittamiseksi muuttujalle käytetään seuraavaa kaavaa:

NORMI.ST.JAKAUMA(z;integraali(1))-0,5

Katsotaan nyt tiettyä esimerkkiä käyttämällä operaattoria NORMI.ST.JAKAUMA tietyn ongelman ratkaisemiseksi.

Laplacen funktio on ei-alkeisfunktio ja sitä käytetään usein sekä differentiaaliyhtälöiden teoriassa ja todennäköisyysteoriassa että tilastoissa. Laplace-toiminto vaatii tiettyä tietämystä ja koulutusta, koska sen avulla voit ratkaista erilaisia ​​​​ongelmia sovellettavien ja teoreettisten sovellusten alalla.

Laplace-funktiota käytetään usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ja sitä kutsutaan usein todennäköisyysintegraaliksi. Katsotaan kuinka tätä toimintoa voidaan käyttää Excelissä ja miten se toimii.

Excelin todennäköisyysintegraali tai Laplace-funktio vastaa "NORMSDIST"-operaattoria, jonka syntaksi on: "=NORMSDIST(z). Ohjelman uudemmissa versioissa operaattorilla on myös nimi "NORM.ST.DIST". ja hieman muokattu syntaksi "=NORM.ST.DIST(z; integral).

"Z"-argumentti vastaa jakauman numeerisesta arvosta. Argumentti "Integraal" - palauttaa kaksi arvoa - "1" - integraalijakaumafunktio, "0" - painojakaumafunktio.

Teoria ymmärretään. Jatketaan harjoittelua. Harkitse Laplace-funktion käyttöä Excelissä.

1. Kirjoita arvo soluun, lisää funktio seuraavaan.

2. Kirjoitetaan funktio manuaalisesti "=NORM.ST.JAKAUMA(B4;1).

3. Tai käytä ohjattua funktion lisäystoimintoa - siirry "Staattinen" -luokkaan ja valitse "Täysi aakkosellinen luettelo".

4. Osoita näkyviin tulevassa funktion argumenttien ikkunassa alkuarvoja. Alkuperäinen solumme vastaa "Z"-muuttujasta ja lisää "1" "Integraliin". Funktiomme palauttaa kumulatiivisen jakaumafunktion.

5. Tälle funktiolle "NORM.ST.JAKAUMA" saadaan valmis ratkaisu normaalista integraalijakaumasta. Mutta ei siinä vielä kaikki, tavoitteemme oli löytää Laplacen funktio tai todennäköisyysintegraali, joten otetaan vielä muutama askel.

6. Laplace-funktio tarkoittaa, että "0,5" on vähennettävä saadun funktion arvosta. Lisäämme toimintoon tarvittavan toiminnon. Paina "Enter" ja saat lopullisen ratkaisun. Haluttu arvo on oikea ja löytyy nopeasti.

Excel laskee tämän funktion helposti mille tahansa soluarvolle, solualueelle tai soluviittaukselle. NORM.ST.DIST-funktio on vakiooperaattori todennäköisyysintegraalin tai, kuten sitä kutsutaan myös Laplace-funktioksi, löytämiseksi.

Bayesin kaava

Tapahtumat B 1 , B 2 ,…, B n ovat yhteensopimattomia ja muodostavat täydellisen ryhmän, ts. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. Ja tapahtuma A voi tapahtua vain, kun jokin tapahtumista B 1 , B 2 ,…, B n esiintyy. Sitten tapahtuman A todennäköisyys löydetään kokonaistodennäköisyyskaavalla.

Olkoon tapahtuma A jo tapahtunut. Tällöin hypoteesien B 1 , B 2 ,…, B n todennäköisyydet voidaan yliarvioida Bayesin kaavalla:

Bernoullin kaava

Tehdään n riippumatonta koetta, joissa jokaisessa tapahtuma A voi tapahtua tai ei. Tapahtuman A esiintymistodennäköisyys (ei esiintyminen) on sama ja yhtä suuri kuin p (q=1-p).

Todennäköisyys, että n riippumattomassa kokeessa tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa (kuvion 2 mukaan missä järjestyksessä), saadaan Bernoullin kaavalla:

Todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu n riippumattomassa tutkimuksessa:

a). Vähemmän kuin kertaa P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

b). Yli k kertaa P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

sisään). vähintään k kertaa Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).

G). enintään k kertaa P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Laplacen paikallis- ja integraalilauseet.

Käytämme näitä lauseita, kun n on tarpeeksi suuri.

Paikallinen Laplace-lause

Todennäköisyys, että n riippumattomassa tutkimuksessa tapahtuma tapahtuu täsmälleen `k" kertaa, on suunnilleen yhtä suuri:

Positiivisten arvojen (x) funktiotaulukko on Gmurmanin tehtäväkirjassa liitteessä 1, s. 324-325.

Koska parillinen (), niin negatiivisille arvoille (x) käytämme samaa taulukkoa.

Laplacen integraalilause.

Todennäköisyys, että n riippumattomassa kokeessa tapahtuma tapahtuu vähintään `k" kertaa, on suunnilleen yhtä suuri:

Laplace-toiminto

Positiivisten arvojen funktiotaulukko on Gmurmanin tehtäväkirjassa liitteessä 2, s. 326-327. Arvoille, jotka ovat suurempia kuin 5, asetamme Ф(х)=0,5.

Koska Laplace-funktio on pariton F(-x)=-F(x), niin negatiivisille arvoille (x) käytämme samaa taulukkoa, vain otamme funktion arvot miinusmerkillä.

Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumalaki

Binomijakauman laki.

Diskreetti- satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat erillisiä eristettyjä lukuja, jotka tämä muuttuja ottaa tietyillä todennäköisyyksillä. Toisin sanoen diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot voidaan numeroida.

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä voi olla äärellinen tai ääretön.

Diskreetit satunnaismuuttujat on merkitty isoilla kirjaimilla X ja niiden mahdolliset arvot - pienillä kirjaimilla x1, x2, x3 ...

Esimerkiksi.

X on noppaa heitettyjen pisteiden määrä; X saa kuusi mahdollista arvoa: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 todennäköisyyksillä p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 = 1/6.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki nimeä luettelo sen mahdollisista arvoista ja niitä vastaavista todennäköisyyksistä.

Jakelulaki voidaan antaa:

1. taulukon muodossa.

2. Analyyttisesti - kaavan muodossa.

3. graafisesti. Tässä tapauksessa pisteet М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) muodostetaan suorakaiteen muotoiseen XOP-koordinaattijärjestelmään. Nämä pisteet on yhdistetty suorilla viivoilla. Tuloksena olevaa muotoa kutsutaan jakelupolygoni.

Diskreetin satunnaismuuttujan (x) jakautumislain kirjoittamiseksi on tarpeen luetella kaikki sen mahdolliset arvot ja löytää niitä vastaavat todennäköisyydet.

Jos niitä vastaavat todennäköisyydet löydetään Bernoullin kaavalla, niin tällaista jakautumislakia kutsutaan binomiaaliksi.

Esimerkki nro 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Diskreettien satunnaismuuttujien numeeriset arvot.

Matemaattinen odotus, varianssi ja keskihajonta.

Diskreetin satunnaismuuttujan keskiarvolle on ominaista matemaattinen odotus.

matemaattinen odotus Diskreetti satunnaismuuttuja on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa. Nuo. jos jakautumislaki on annettu, niin matemaattinen odotus

Jos diskreetin satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön, niin

Lisäksi yhtälön oikealla puolella oleva sarja suppenee absoluuttisesti ja kaikkien todennäköisyyksien summa pi on yhtä suuri kuin yksi.

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet.

1. M(S) = S, S = miinukset.

2. M(Cx)=CM(x)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).

5. Binomijakauman laille matemaattinen odotus saadaan kaavasta:

Satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen hajaantumiselle matemaattisen odotuksen ympärille on ominaista varianssi ja keskihajonta.

dispersio diskreettiä satunnaismuuttujaa (x) kutsutaan neliöpoikkeaman matemaattiseksi odotukseksi. D(x)=M(x-M(x))2.

Dispersio lasketaan kätevästi kaavalla: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Dispersioominaisuudet.

1. D(S) = 0, S = miinukset.

2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Binomijakauman lain dispersio

Standardipoikkeama satunnaismuuttujaa kutsutaan varianssin neliöjuureksi.

esimerkkejä. 191, 193, 194, 209, d/z.

Jatkuvan satunnaismuuttujan (NSV) todennäköisyyksien integraalijakaumafunktio (IDF, DF). jatkuva- suure, joka voi ottaa kaikki arvot jostakin äärettömästä tai äärettömästä intervallista. Mahdollisia NSV-arvoja on useita, eikä niitä voi numeroida uudelleen.

Esimerkiksi.

Etäisyys, jonka ammus kulkee ammuttaessa, on NSV.

FMI:tä kutsutaan funktioksi F(x), joka määrittää jokaiselle x:n arvolle todennäköisyyden, että NSV X saa arvon X<х, т.е. F(x)=Р(X

Usein he sanovat FR eikä IFR.

Geometrisesti yhtälö F(x)=P(X

IF-ominaisuudet.

1. IF:n arvo kuuluu väliin ts. F(x).

2. IF on ei-laskeva funktio, ts. x2 > x1,.

Seuraus 1. Todennäköisyys, että NSV X ottaa väliin (a; c) sisältyvän arvon, on yhtä suuri kuin integraalifunktion inkrementti tällä välillä, ts.

P(a

Seuraus 2. Todennäköisyys, että NSV X ottaa yhden tietyn arvon, esimerkiksi x1=0, on yhtä suuri kuin 0, ts. P(x=x1)=0.

3. Jos kaikki mahdolliset NSV X:n arvot kuuluvat (a; c), niin F(x)=0 x:lle<а, и F(x)=1 при х>sisään.

Seuraus 3. Seuraavat rajasuhteet pätevät.

Jatkuvan satunnaismuuttujan (NSV) todennäköisyyksien differentiaalijakaumafunktio (DDF) (todennäköisyystiheys).

DF f(x) NSV-todennäköisyysjakaumat kutsua IGF:n ensimmäistä johdannaista:

Usein PDD:n sijaan he sanovat todennäköisyystiheyden (PD).

Määritelmästä seuraa, että tietäen IF F(x) voidaan löytää DF f(x). Mutta myös käänteinen muunnos suoritetaan: tietäen DF f(x), voimme löytää IF F(x).

Todennäköisyys, että NSW X saa arvon, joka kuuluu (a; c):iin, on:

MUTTA). Jos IF annetaan - seuraus 1.

B). Jos DF on annettu

DF-ominaisuudet.

1. DF - ei negatiivinen, ts. .

2. DF:n virheellinen integraali kohdassa (), on yhtä suuri kuin 1, ts. .

Seuraus 1. Jos kaikki mahdolliset NSV X:n arvot kuuluvat (a; c), niin.

Esimerkkejä. nro 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/s.

NSV:n numeeriset ominaisuudet.

1. NSW X:n matemaattinen odotusarvo (MO), jonka mahdolliset arvot kuuluvat koko OX-akselille, määritetään kaavalla:

Jos kaikki mahdolliset NSV X:n arvot kuuluvat (a; c), niin MO määritetään kaavalla:

Kaikki MO:n ominaisuudet, jotka on osoitettu diskreeteille suureille, säilytetään myös jatkuville suureille.

2. NSW X:n dispersio, jonka mahdolliset arvot kuuluvat koko OX-akselille, määritetään kaavalla:

Jos kaikki mahdolliset NSV X:n arvot kuuluvat (a; c), niin varianssi määritetään kaavalla:

Diskreeteille suureille ilmoitetun dispersion kaikki ominaisuudet säilyvät myös jatkuville suureille.

3. NSW X:n keskihajonta määritetään samalla tavalla kuin diskreeteille suureille:

Esimerkkejä. nro 276, 279, X, d/s.

Operaatiolaskenta (OI).

OI on menetelmä, jonka avulla voit pelkistää funktioiden eriyttämis- ja integrointitoiminnot yksinkertaisempiin toimintoihin: kertomalla ja jakamalla näiden funktioiden ns. kuvien argumentilla.

OI:n käyttö helpottaa monien ongelmien ratkaisemista. Erityisesti ongelmat LDE:iden integroinnissa vakiokertoimilla ja tällaisten yhtälöiden järjestelmillä, pelkistämällä ne lineaarisiin algebrallisiin.

alkuperäiset ja kuvat. Laplacen muunnoksia.

f(t)-alkuperäinen; F(p)-kuva.

Siirtymää f(t)F(p) kutsutaan Laplace-muunnos.

Funktion f(t) Laplace-muunnos on nimeltään F(p), joka riippuu kompleksimuuttujasta ja määritellään kaavalla:

Tätä integraalia kutsutaan Laplace-integraaliksi. Tämän virheellisen integraalin konvergoimiseksi riittää oletus, että f(t) on paloittain jatkuva välissä ja joillekin vakioille M > 0 ja täyttää epäyhtälön

Kutsutaan funktiota f(t), jolla on tällaisia ​​ominaisuuksia alkuperäinen, ja siirtymistä alkuperäisestä sen kuvaan kutsutaan Laplace-muunnos.

Laplace-muunnoksen ominaisuudet.

Kuvien suora määrittäminen kaavalla (2) on yleensä vaikeaa ja sitä voidaan helpottaa huomattavasti käyttämällä Laplace-muunnoksen ominaisuuksia.

Olkoot F(p) ja G(p) alkuperäisten f(t) ja g(t) kuvia, vastaavasti. Sitten tapahtuu seuraavat ominaisuussuhteet:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogeenisuusominaisuus.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - additiivisuusominaisuus.

3. f(t)F(p-) - siirtymälause.

alkuperäisen n:nnen derivaatan siirtyminen kuvaan (alkuperäinen differentiaatiolause).