Trigonometriset funktiot kuinka ratkaista esimerkkejä. Trigonometrian peruskaavat

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Jos haluat ratkaista trigonometrisen yhtälön, muunna se yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen päättyy lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murtoyhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun ongelman onnistuneen ratkaisemisen periaate on seuraava: sinun on määritettävä, minkä tyyppistä ongelmaa olet ratkaisemassa, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

On selvää, että onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Tilanne on erilainen kanssa trigonometriset yhtälöt. Ei ole ollenkaan vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "identtisiin funktioihin";
3. kerro yhtälön vasen puoli jne.

Harkitsemme perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2. Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva vaihto

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Vähennä yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2. Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3. Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4. Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2, ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, nЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella kaavalla asteen pienentämiseksi:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tan x:n yhtälö:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 tai t = -4, mikä tarkoittaa

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikkia mahdollisia trigonometrisiä kaavoja, vähennä tämä yhtälö yhtälöksi, joka ratkaistaan ​​menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x = π/4 + πn/2, n ЄZ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taito ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä on erittäin hyvä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavaa panosta sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää monia niistä tiedoista ja taidoista, joita saadaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan oppimisprosessissa ja henkilökohtaisessa kehityksessä yleensä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai Venäjän federaation alueen valtion viranomaisten julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla se on aika jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Harkitsemme kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, käytämme selvyyden vuoksi jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: pelkistämme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoonsa ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisena trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvaa cos(x + /6) y:llä yksinkertaistaaksesi ja saadaksesi tavallisen toisen asteen yhtälön:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret ovat y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausvaihtoehtoa:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x – 1 = 0

Käytämme yllä käsiteltyjä identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Laitetaan tekijöihin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ehdot ovat suhteessa saman kulman siniin ja kosiniin. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yleiset tekijät suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan alemman asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan korkeamman asteen siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:llä:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tan x y:llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arctan 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymisen kautta puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x – 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Siirretään kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x = c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla on trigonometristen kaavojen mukaan ominaisuudet sin ja cos, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään niitä vastaavasti cos ja sin, missä - tämä on niin sanottu apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x = C

tai sin(x + ) = C

Tämän yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x = (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että merkinnät cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x – cos 3x = 1

Tämän yhtälön kertoimet ovat:

a = , b = -1, joten jaa molemmat puolet = 2:lla

Oppitunti tiedon integroidusta soveltamisesta.

Oppitunnin tavoitteet.

1. Tutustu erilaisiin trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmiin.
2. Opiskelijoiden luovien kykyjen kehittäminen yhtälöitä ratkaisemalla.
3. Opiskelijoiden rohkaiseminen itsehillintään, keskinäiseen valvontaan ja koulutustoimintojensa itseanalyysiin.

Varustus: valkokangas, projektori, referenssimateriaali.

Tuntien aikana

Alkukeskustelu.

Päämenetelmä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on pelkistää ne yksinkertaisimpaan muotoonsa. Tällöin käytetään tavanomaisia ​​menetelmiä, esimerkiksi faktorointia, sekä tekniikoita, joita käytetään vain trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Näitä tekniikoita on melko paljon, esimerkiksi erilaisia ​​trigonometrisiä substituutioita, kulmamuunnoksia, trigonometristen funktioiden muunnoksia. Trigonometristen muunnosten mielivaltainen soveltaminen ei yleensä yksinkertaista yhtälöä, mutta monimutkaistaa sitä katastrofaalisesti. Jotta voidaan kehittää yleinen suunnitelma yhtälön ratkaisemiseksi, hahmotella tapa vähentää yhtälö yksinkertaisimmaksi, sinun on ensin analysoitava kulmat - yhtälöön sisältyvien trigonometristen funktioiden argumentit.

Tänään puhumme menetelmistä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Oikein valittu menetelmä voi usein yksinkertaistaa ratkaisua merkittävästi, joten kaikki tutkimamme menetelmät tulee aina pitää mielessä, jotta trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista sopivimmalla menetelmällä.

II. (Käytettäessä projektoria toistamme yhtälöiden ratkaisumenetelmät.)

1. Menetelmä trigonometrisen yhtälön pelkistämiseksi algebralliseksi.

Kaikki trigonometriset funktiot on ilmaistava yhden kautta, samalla argumentilla. Tämä voidaan tehdä käyttämällä trigonometristä perusidentiteettiä ja sen seurauksia. Saamme yhtälön yhdellä trigonometrisellä funktiolla. Kun se otetaan uutena tuntemattomana, saadaan algebrallinen yhtälö. Löydämme sen juuret ja palaamme vanhaan tuntemattomaan ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

2. Faktorisointimenetelmä.

Kulmien vaihtamiseen ovat usein hyödyllisiä kaavoja argumenttien pelkistämistä, summaa ja erotusta varten sekä kaavat trigonometristen funktioiden summan (eron) muuntamiseksi tuloksi ja päinvastoin.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Menetelmä lisäkulman lisäämiseksi.

4. Menetelmä yleisen substituution käyttämiseksi.

Yhtälöt muotoa F(sinx, cosx, tanx) = 0 pelkistetään algebrallisiksi käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota

Ilmaisee sinin, kosinin ja tangentin puolikulman tangenttina. Tämä tekniikka voi johtaa korkeamman kertaluvun yhtälöön. Ratkaisu johon on vaikea.