Viestit, joissa on tunniste "johdannainen määritelmä". §1

Mikä on johdannainen?
Johdannaisen funktion määritelmä ja merkitys

Monet tulevat yllättymään tämän artikkelin odottamattomasta sijoittamisesta kirjoittajani kurssille yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten on ollut koulusta asti: standardioppikirja antaa ennen kaikkea derivaatan määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaisia määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten he täydentävät differentiointitekniikkaa käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ HYVIN funktion raja, ja erityisesti äärettömän pieniä määriä. Tosiasia on, että johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen, joka on huonosti huomioitu koulun kurssilla. Siksi merkittävä osa nuorista tiedon graniitin kuluttajista ei ymmärrä johdannaisen ydintä. Joten jos sinulla on vähän ymmärrystä differentiaalilaskennasta tai viisaat aivot ovat onnistuneesti päässeet eroon tästä matkatavarasta monien vuosien aikana, aloita toimintorajoja. Hallitse/muista samalla heidän ratkaisunsa.

Sama käytännön käsitys sanelee, että se on ensin edullinen oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden johdannaisia. Teoria on teoriaa, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi käydä läpi luetellut perustunnit, ja ehkä erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaaleista artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat johdannaisten kanssa, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta voit odottaa. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää kasvavien/pienenevien välien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään. Funktiot ja kaaviot”, kunnes lopulta päätin laittaa sen aikaisemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

Monet oppikirjat esittelevät derivaatan käsitteen käytännön ongelmien avulla, ja sain myös mielenkiintoisen esimerkin. Kuvittele, että olemme matkalla kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylätään heti kaarevat mutkittelevat polut ja harkitaan vain suoria moottoriteitä. Myös suorat ajo-ohjeet ovat kuitenkin erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkistä moottoritietä pitkin - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Äärimmäiset harrastajat valitsevat reitin läpi rotkon, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta oli mieltymyksistäsi mikä hyvänsä, on suositeltavaa tuntea alue tai ainakin olla topografinen kartta siitä. Entä jos tällainen tieto puuttuu? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen iloisten suomalaisten kanssa. Ei ole tosiasia, että navigaattori tai edes satelliittikuva tarjoaisi luotettavaa tietoa. Siksi olisi mukavaa virallistaa polun kohokuvio matematiikan avulla.

Katsotaanpa jotain tietä (sivukuva):

Varmuuden vuoksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matkustamista tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio jatkuva tarkasteltavalla alueella.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin toiminto lisääntyy, eli sen jokainen seuraava arvo lisää Edellinen. Karkeasti sanottuna aikataulu on kunnossa alas ylös(kiipeämme mäelle). Ja välissä funktio vähenee– jokainen seuraava arvo Vähemmän edellinen, ja aikataulumme on päällä ylhäältä alas(menemme alas rinnettä).

Kiinnitämme huomiota myös erityisiin kohtiin. Kohdassa, jossa saavutamme enimmäismäärä, tuo on olemassa sellainen osa polusta, jossa arvo on suurin (korkein). Samalla se saavutetaan minimi, Ja olemassa sen naapurustossa, jossa arvo on pienin (pienin).

Tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä luokassa. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan toista tärkeää ominaisuutta: väliajoin toiminto kasvaa, mutta se kasvaa eri nopeuksilla. Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on se, että kaavio kohoaa intervallin aikana paljon siistimpää, kuin välissä . Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: Otetaan arvoa (lue "delta x"), jota kutsumme argumentin lisäys, ja aloitetaan "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: etäisyyden ohittaessa kiivetään rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Määrää kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Luodaan suhde, joka mittaa tiemme jyrkkyyttä. Ilmeisesti tämä on hyvin tarkka luku, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitykset ovat YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "X":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Tietenkin kommentti koskee myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Olkaamme aluksi 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Metrien etäisyyden (vasen punainen viiva) suoritettuamme löydämme itsemme 60 metrin korkeudesta. Silloin funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskiverto 4 metrillä...unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : Kyseisen esimerkin numeeriset arvot vastaavat vain suunnilleen piirustuksen mittasuhteita.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Tässä nousu on asteittaista, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on hyvin vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä on jokaista polkumetriä kohden keskiverto puoli metriä nousua.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaan ylempää mustaa pistettä, joka sijaitsee ordinaatta-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Ylitämme etäisyyden uudelleen, minkä seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Koska liike on suoritettu ylhäältä alas(akselin "vastasuuntaan"), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea segmentti piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme jo laskun nopeus Ominaisuudet: , eli tämän osan jokaista polkumetriä kohden korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteistasi viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt itseltämme kysymys: mitä "mittausstandardin" arvoa on parasta käyttää? Se on täysin ymmärrettävää, 10 metriä on erittäin karkea. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta hummokkia. Kuhuista huolimatta, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua on sen toinen puoli, jossa on vielä jyrkkä nousu. Näin ollen kymmenen metrin mittarilla emme saa ymmärrettävää kuvausta sellaisista polun osista suhteen .

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: sitä pienempi arvo, mitä tarkemmin kuvaamme tien topografiaa. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Kenelle tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikka hyvin pieni), joka sopii tietyn nousun rajoihin. Tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspisteessä on arvo, joka sopii täysin tälle rinteelle. Näin ollen vastaava korkeuden nousu on selvästi negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen mielenkiintoinen tapaus on, kun funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muita mielenkiintoisia tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on tuonut meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kottelee kohoavia kotkia, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen mihin tahansa suuntaan, korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Juuri tämä kuva on nähtävissä pisteissä.

Näin ollen olemme päässeet hämmästyttävään tilaisuuteen karakterisoida täysin tarkasti funktion muutosnopeutta. Loppujen lopuksi matemaattinen analyysi mahdollistaa argumentin lisäyksen ohjaamisen nollaan: , eli tehdä siitä äärettömän pieni.

Tämän seurauksena herää toinen looginen kysymys: onko tielle ja sen aikataululle mahdollista löytää toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasaisista osista, nousuista, laskuista, huipuista, laaksoista sekä kasvu-/laskunopeudesta kussakin pisteessä matkan varrella?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin ei näytä kovin selkeältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta kaikki kohdat ymmärretään perusteellisesti (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Luonnollisesti jo derivaatan määritelmässä korvaamme sen jossain kohdassa:

Mihin olemme tulleet? Ja tulimme siihen tulokseen, että lain mukaiseen toimintaan on sovitettu muu toiminto, jota kutsutaan johdannainen funktio(tai yksinkertaisesti johdannainen).

Johdannainen luonnehtii muutoksen tahti toimintoja Miten? Ajatus kulkee kuin punainen lanka artikkelin alusta lähtien. Mietitäänpä jotain kohtaa määritelmän alue toimintoja Olkoon funktio differentioituva tietyssä pisteessä. Sitten:

1) Jos , niin funktio kasvaa kohdassa . Ja ilmeisesti on intervalli(jopa hyvin pieni), joka sisältää pisteen, jossa funktio kasvaa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös".

2) Jos , niin funktio pienenee pisteessä . Ja on väli, joka sisältää pisteen, jossa funktio pienenee (kaavio menee "ylhäältä alas").

3) Jos , niin äärettömän lähellä lähellä pistettä funktio säilyttää nopeudensa vakiona. Tämä tapahtuu, kuten todettiin, vakiotoiminnolla ja toiminnon kriittisissä kohdissa, erityisesti minimi- ja maksimipisteissä.

Vähän semantiikkaa. Mitä verbi "erottaa" tarkoittaa laajassa merkityksessä? Erottaminen tarkoittaa ominaisuuden korostamista. Erottamalla funktion "eristämme" sen muutosnopeuden funktion derivaatan muodossa. Mitä muuten tarkoittaa sana "johdannainen"? Toiminto tapahtui toiminnosta.

Termit tulkitaan erittäin onnistuneesti johdannaisen mekaanisella merkityksellä :
Tarkastellaan kappaleen koordinaattien muutoksen lakia ajasta riippuen ja tietyn kappaleen liikenopeuden funktiota. Funktio luonnehtii kehon koordinaattien muutosnopeutta, joten se on funktion ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: . Jos käsitettä "kehon liike" ei olisi luonnossa, sitä ei olisi johdannainen käsite "kehon nopeus".

Kehon kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus, joten: . Jos alkuperäisiä käsitteitä "kehon liike" ja "kehon nopeus" ei olisi luonnossa, niin niitä ei olisi olemassa johdannainen käsite "kehon kiihtyvyys".

Fysikaalisten ongelmien tai esimerkkien ratkaiseminen matematiikassa on täysin mahdotonta ilman derivaatan ja sen laskentamenetelmien tuntemusta. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perusaiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , määritetty tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muuttaminen - ero sen arvoissa x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannaisen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Ja tässä on mitä se on:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys: reitin derivaatta ajan suhteen on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on tietty tie x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden tietyllä hetkellä t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: aseta vakio

Vakio voidaan ottaa pois derivaattamerkistä. Lisäksi tämä on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota se sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa lauseketta, muista yksinkertaistaa se .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää puhua monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Laskeaksemme tällaisen lausekkeen derivaatan laskemme ensin ulkoisen funktion derivaatan väliargumentin suhteen ja kerromme sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: kahden funktion osamäärän derivaatta

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Lyhyessä ajassa autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja ymmärtämään tehtävät, vaikka et olisi koskaan aiemmin tehnyt johdannaislaskelmia.

Koordinaattitasossa xOy harkitse funktion kuvaajaa y=f(x). Korjataan asia M(x 0 ; f (x 0)). Lisätään abskissa x 0 lisäys Δх. Hankimme uuden abskissan x 0 +Δx. Tämä on pisteen abskissa N, ja ordinaatta on yhtä suuri f (x 0 + Δx). Muutos abskissassa merkitsi muutosta ordinaatassa. Tätä muutosta kutsutaan funktion inkrementiksi ja se merkitään Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Pisteiden läpi M Ja N piirretään sekantti MN, joka muodostaa kulman φ positiivisella akselisuunnalla vai niin. Määritetään kulman tangentti φ suorakulmaisesta kolmiosta MPN.

Antaa Δх pyrkii nollaan. Sitten sekantti MN pyrkii ottamaan tangentin aseman MT, ja kulma φ tulee kulma α . Siis kulman tangentti α on kulman tangentin raja-arvo φ :

Funktion inkrementin ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan, kutsutaan funktion derivaatiksi tietyssä pisteessä:

Johdannan geometrinen merkitys on siinä, että funktion numeerinen derivaatta tietyssä pisteessä on sama kuin kulman tangentti, jonka tämän pisteen kautta vedetty tangentti muodostaa annettuun käyrään ja akselin positiiviseen suuntaan vai niin:

Esimerkkejä.

1. Laske argumentin inkrementti ja funktion y= inkrementti x 2, jos argumentin alkuarvo oli yhtä suuri kuin 4 ja uusi - 4,01 .

Ratkaisu.

Uusi argumentin arvo x=x 0 +Δx. Korvataan data: 4.01=4+Δх, joten argumentin lisäys Δх=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, Tuo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δх= 0,01; funktion lisäys Δу=0,0801.

Toiminnon lisäys voidaan löytää eri tavalla: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, Jos f "(x 0) = 1.

Ratkaisu.

Johdannan arvo tangenttipisteessä x 0 ja on tangenttikulman tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, koska tg45° = 1.

Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa 45°.

3. Johda funktion derivaatan kaava y=x n.

Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.

Käytä derivaattoja etsiessäsi kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.

Nämä ovat kaavat.

Johdannaisten taulukko Se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:

1. Vakiosuureen derivaatta on nolla.

2. X alkuluku on yhtä suuri kuin yksi.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo asteella, jolla on sama kanta, mutta eksponentti on yksi vähemmän.

5. Juuren derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna kahdella yhtä suurella juurella.

6. Yhden jaettuna x:llä derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.

7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.

10. Kotangentin derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin termien derivaattojen algebrallinen summa.

2. Tuotteen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen tekijän derivaatan tulo plus ensimmäisen tekijän ja toisen derivaatan tulo.

3. "Y":n derivaatta jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jossa osoittaja on "y alkuluku kerrottuna "ve" miinus "y kerrottuna ve:llä" ja nimittäjä on "ve neliö".

4. Kaavan erikoistapaus 3.

Opitaan yhdessä!

Sivu 1/1 1

Luo suhde ja laske raja.

Mistä se tuli? johdannaisten ja eriyttämissääntöjen taulukko? Ainoan rajan ansiosta. Se näyttää taikalta, mutta todellisuudessa se on taikuutta eikä huijausta. Oppitunnilla Mikä on johdannainen? Aloin tarkastella konkreettisia esimerkkejä, joissa määritelmää käyttäen löysin lineaarisen ja toisen asteen funktion derivaatat. Kognitiivisen lämmittelyn vuoksi jatkamme häiritsemistä johdannaisten taulukko, hiomalla algoritmia ja teknisiä ratkaisuja:

Esimerkki 1

Pohjimmiltaan sinun on todistettava tehofunktion derivaatan erikoistapaus, joka yleensä esiintyy taulukossa: .

Ratkaisu teknisesti muotoiltu kahdella tavalla. Aloitetaan ensimmäisestä, jo tutusta lähestymistavasta: tikkaat alkavat plankista ja derivaattafunktio alkaa derivaatalla pisteessä.

Harkitsemme jonkin verran(erityinen) piste, johon kuuluu määritelmän alue funktio, jossa on johdannainen. Asetetaan tässä vaiheessa lisäys (tietysti rajoissao/o -minä) ja muodosta funktion vastaava lisäys:

Lasketaan raja:

Epävarmuus 0:0 eliminoidaan standarditekniikalla, jota pidetään ensimmäisellä vuosisadalla eKr. Kerro osoittaja ja nimittäjä konjugaattilausekkeella :

Tekniikkaa tällaisen rajan ratkaisemiseksi käsitellään yksityiskohtaisesti johdantotunnilla. toimintojen rajoista.

Koska voit valita laaduksi MIKÄ tahansa välin pisteen, vaihdon jälkeen saamme:

Vastaus

Iloitkaamme vielä kerran logaritmeista:

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta käyttämällä derivaatan määritelmää

Ratkaisu: Tarkastellaanpa erilaista lähestymistapaa saman tehtävän edistämiseen. Se on täsmälleen sama, mutta suunnittelun kannalta järkevämpi. Ajatuksena on päästä eroon ratkaisun alussa olevasta alaindeksistä ja käyttää kirjainta kirjaimen sijaan.

Harkitsemme mielivaltainen kuuluva piste määritelmän alue funktio (intervalli) ja aseta sen lisäys. Mutta tässä muuten, kuten useimmissa tapauksissa, voit tehdä ilman varauksia, koska logaritminen funktio on erotettavissa missä tahansa määrittelyalueen kohdassa.

Sitten funktion vastaava lisäys on:

Etsitään johdannainen:

Suunnittelun yksinkertaisuutta tasapainottaa hämmennys, joka voi syntyä aloittelijoille (eikä vain). Olemmehan tottuneet siihen, että kirjain “X” muuttuu rajassa! Mutta täällä kaikki on toisin: - antiikkipatsas ja - elävä vierailija, joka kävelee reippaasti pitkin museon käytävää. Eli "x" on "kuin vakio".

Kommentoin epävarmuuden poistamista askel askeleelta:

(1) Käytämme logaritmin ominaisuutta .

(2) Suluissa jaa osoittaja termillä termillä.

(3) Nimittäjässä kerromme ja jaamme keinotekoisesti x:llä hyödyntääksemme sitä huomattava raja , kun taas as äärettömän pieni erottuu.

Vastaus: johdannaisen määritelmän mukaan:

Tai lyhyesti:

Ehdotan, että rakennat itse kaksi muuta taulukkokaavaa:

Esimerkki 3

Tässä tapauksessa on kätevää pienentää koottu lisäys välittömästi yhteiseksi nimittäjäksi. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa (ensimmäinen menetelmä).

Esimerkki 3:Ratkaisu : harkitse jotain asiaa , joka kuuluu funktion määritelmäalueeseen . Asetetaan lisäys tässä vaiheessa ja muodosta funktion vastaava lisäys:

Etsitään derivaatta pisteestä :

Koska kuten a voit valita minkä tahansa pisteen funktioalue , Tuo Ja
Vastaus : johdannaisen määritelmän mukaan

Esimerkki 4

Etsi derivaatta määritelmän mukaan

Ja tässä kaikki on vähennettävä ihana raja. Ratkaisu formalisoidaan toisella tavalla.

Useita muita taulukkojohdannaiset. Täydellinen luettelo löytyy koulun oppikirjasta tai esimerkiksi Fichtenholtzin 1. osasta. En näe paljon järkeä kopioida erottelusääntöjen todisteita kirjoista - ne myös generoidaan kaavalla.

Esimerkki 4:Ratkaisu , kuulua , ja aseta sen lisäys

Etsitään johdannainen:

Upeaa rajaa käyttämällä

Vastaus : a-priory

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta , käyttämällä johdannaisen määritelmää

Ratkaisu: käytämme ensimmäistä suunnittelutyyliä. Tarkastellaan jotakin kohtaan kuuluvaa pistettä ja määritetään argumentin lisäys siinä. Sitten funktion vastaava lisäys on:

Ehkä jotkut lukijat eivät ole vielä täysin ymmärtäneet periaatetta, jonka mukaan lisäyksiä on tehtävä. Ota piste (luku) ja etsi siitä funktion arvo: , eli funktioon sijasta"X" on korvattava. Nyt otamme myös hyvin tietyn luvun ja korvaamme sen myös funktioon sijasta"iksa": . Kirjoitamme eron ylös, ja se on välttämätöntä laita suluihin kokonaan.

Käännetty funktion lisäys Voi olla hyödyllistä yksinkertaistaa välittömästi. Minkä vuoksi? Helpota ja lyhennä ratkaisua lisärajaan.

Käytämme kaavoja, avaamme sulut ja vähennämme kaikkea, mitä voidaan vähentää:

Kalkkuna on perattu, ei ongelmia paistin kanssa:

Lopulta:

Koska voimme valita arvoksi minkä tahansa reaaliluvun, teemme korvauksen ja saamme .

Vastaus: a-priory.

Tarkastustarkoituksiin etsitään johdannainen käyttämällä erottelusäännöt ja taulukot:

Oikea vastaus on aina hyödyllistä ja miellyttävää tietää etukäteen, joten ehdotettu toiminto on parempi erottaa "nopeasti" joko mielessään tai luonnoksessa heti ratkaisun alussa.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta derivaatan määritelmän mukaan

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tulos on ilmeinen:

Esimerkki 6:Ratkaisu : harkitse jotain asiaa , kuulua , ja aseta argumentin lisäys siihen . Sitten funktion vastaava lisäys on:

Lasketaan derivaatta:

Täten:
Koska kuten voit valita minkä tahansa reaaliluvun Ja
Vastaus : a-priory.

Palataan tyyliin #2:

Esimerkki 7

Otetaan heti selvää, mitä pitäisi tapahtua. Tekijä: monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntö:

Ratkaisu: harkitse mielivaltaista pistettä, joka kuuluu ryhmään, aseta argumentin lisäys siihen ja muodosta funktion inkrementti:

Etsitään johdannainen:

(1) Käyttö trigonometrinen kaava .

(2) Sinin alla avaamme sulut, kosinin alla esitämme samanlaisia termejä.

(3) Sinin alla vähennämme termejä, kosinin alla jaamme osoittajan nimittäjätermillä termillä.

(4) Sinin omituisuuden vuoksi otamme pois "miinus". Kosinin alla osoitamme, että termi .

(5) Teemme keinotekoisen kertolaskun nimittäjässä käyttääksemme ensimmäinen ihana raja. Siten epävarmuus eliminoituu, siivotaan tulos.

Vastaus: a-priory

Kuten näette, tarkasteltavan ongelman suurin vaikeus perustuu itse rajan monimutkaisuuteen + pakkauksen vähäiseen ainutlaatuisuuteen. Käytännössä molempia suunnittelumenetelmiä esiintyy, joten kuvailen molemmat lähestymistavat mahdollisimman yksityiskohtaisesti. Ne ovat samanarvoisia, mutta silti minun subjektiivisen vaikutelmani mukaan nukkejen on suositeltavaa pysyä vaihtoehdossa 1 "X-nolla".

Esimerkki 8

Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta

Esimerkki 8:Ratkaisu : harkitse mielivaltaista kohtaa , kuulua , asetetaan sen lisäys ja muodosta funktion lisäys:

Etsitään johdannainen:

Käytämme trigonometristä kaavaa ja ensimmäinen merkittävä raja:

Vastaus : a-priory

Katsotaanpa harvinaisempaa versiota ongelmasta:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta pisteestä derivaatan määritelmän avulla.

Ensinnäkin, mikä pitäisi olla lopputulos? Määrä

Lasketaan vastaus tavallisella tavalla:

Ratkaisu: selkeyden näkökulmasta tämä tehtävä on paljon yksinkertaisempi, koska kaava sen sijaan ottaa huomioon tietyn arvon.

Asetetaan pisteen lisäys ja laaditaan vastaava funktion inkrementti:

Lasketaan derivaatta pisteessä:

Käytämme erittäin harvinaista tangenttierokaavaa ja jälleen kerran vähennämme ratkaisun ensimmäinen ihana raja:

Vastaus: derivaatan määritelmän mukaan pisteessä.

Ongelmaa ei ole niin vaikea ratkaista "yleisesti" - se riittää korvaamaan tai yksinkertaisesti riippuen suunnittelumenetelmästä. Tässä tapauksessa on selvää, että tulos ei ole luku, vaan johdettu funktio.

Esimerkki 10

Etsi määritelmän avulla funktion derivaatta pisteessä (joista yksi voi osoittautua äärettömäksi), jota olen jo kuvaillut yleisesti teoreettinen oppitunti derivaatista.

Jotkut paloittain määritellyt funktiot ovat myös differentioitavissa graafin "risteyspisteissä", esim. catdog on yhteinen derivaatta ja yhteinen tangentti (x-akseli) pisteessä. Käyrä, mutta erottuu ! Kiinnostuneet voivat varmistaa tämän itse käyttämällä juuri ratkaistua esimerkkiä.

©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 2017-06-11

Yhden muuttujan funktion derivaatta.

Johdanto.

Nämä metodologiset kehitystyöt on tarkoitettu Teollisuus- ja rakennustekniikan tiedekunnan opiskelijoille. Ne on koottu matematiikan kurssiohjelman osioon ”Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta”.

Kehitys edustaa yhtä metodologista opasta, joka sisältää: lyhyet teoreettiset tiedot; ”standardi”-ongelmat ja -harjoitukset, joissa on yksityiskohtaiset ratkaisut ja näiden ratkaisujen selitykset; testivaihtoehdot.

Jokaisen kappaleen lopussa on lisäharjoituksia. Tämä kehitysrakenne tekee niistä sopivia osion itsenäiseen hallintaan ilman opettajan apua.

§1. Johdannan määritelmä.

Mekaaninen ja geometrinen merkitys

johdannainen.

Derivaatta on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä, ja se syntyi jo 1600-luvulla. Derivaattakäsitteen muodostumiseen liittyy historiallisesti kaksi ongelmaa: vaihtuvan liikkeen nopeuden ongelma ja käyrän tangentin ongelma.

Nämä tehtävät johtavat erilaisista sisällöistään huolimatta samaan matemaattiseen operaatioon, joka on suoritettava funktiolle, joka on saanut matematiikassa erityisen nimen. Sitä kutsutaan funktion differentiaatiooperaatioksi. Differentiointioperaation tulosta kutsutaan derivaatiksi.

Eli funktion y=f(x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen
klo
.

Johdannainen merkitään yleensä seuraavasti:
.

Siis määritelmän mukaan

Symboleja käytetään myös merkitsemään johdannaisia
.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Jos s=s(t) on aineellisen pisteen suoraviivaisen liikkeen laki, niin
on tämän pisteen nopeus hetkellä t.

Johdannan geometrinen merkitys.

Jos funktiolla y=f(x) on derivaatta pisteessä , sitten funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin pisteessä
on yhtä suuri
.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta
pisteessä =2:

1) Annetaan sille piste = 2 lisäys
. Huomaa, että.

2) Etsi funktion inkrementti pisteessä =2:

3) Luodaan funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:

Etsitään suhteen raja klo
:

Täten,
.

§ 2. Joidenkin johdannaiset

yksinkertaisimmat toiminnot.

Opiskelijan tulee oppia laskemaan tiettyjen funktioiden derivaattoja: y=x,y= ja yleensä = .

Etsitään funktion y=x derivaatta.

nuo. (x)′=1.

Etsitään funktion derivaatta

Johdannainen

Antaa
Sitten

Potenssifunktion derivaattojen lausekkeissa on helppo havaita kuvio
jossa n = 1,2,3.

Siten,

. (1)

Tämä kaava pätee mille tahansa todelliselle n:lle.

Erityisesti kaavaa (1) käyttämällä meillä on:

;

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta

Tämä funktio on muodon funktion erikoistapaus

klo
.

Kaavaa (1) käyttämällä meillä on

Funktioiden y=sin x ja y=cos x derivaatat.

Olkoon y=sinx.

Jakamalla ∆x, saamme

Ylitämme rajan kohdassa ∆x→0, meillä on

Olkoon y=cosx.

Siirtymällä rajaan kohdassa ∆x→0 saadaan

;
. (2)

§3. Erottamisen perussäännöt.

Tarkastellaanpa erottelusääntöjä.

Lause1 . Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, niin niiden summa on tässä pisteessä differentioituva ja summan derivaatta on yhtä suuri kuin termien derivaattojen summa. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Todistus: harkitse funktiota y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumentin x inkrementti ∆x vastaa funktioiden u ja v inkrementtejä ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Silloin funktio y kasvaa

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Siten,

Joten (u+v)"=u"+v.

Lause2. Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä, niin niiden tulo on samassa pisteessä differentioituva. Tässä tapauksessa tuotteen derivaatta saadaan seuraavalla kaavalla: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Todistus: Olkoon y=uv, missä u ja v ovat joitain x:n differentioituvia funktioita. Annetaan x:lle ∆x, jolloin u saa ∆u:n lisäyksen, v saa ∆v:n lisäyksen ja y saa lisäyksen ∆y.

Meillä on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), tai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siksi ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Täältä

Siirtymällä rajalle kohdassa ∆x→0 ja ottaen huomioon, että u ja v eivät ole riippuvaisia ∆x:stä, saadaan

Lause 3. Kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka nimittäjä on jakajan neliö ja osoittaja on osingon derivaatan ja jakajan tulon ja jakajan tulon välinen erotus. osinko ja jakajan johdannainen, ts.

Jos
Että
(5)