តើលេខណាដែលសមហេតុផល ឬមិនសមហេតុផល។ លេខមិនសមហេតុផល

លេខសនិទានភាពទាំងអស់អាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគទូទៅ។ នេះអនុវត្តចំពោះចំនួនទាំងមូល (ឧទាហរណ៍ 12, -6, 0) និងប្រភាគទសភាគចុងក្រោយ (ឧទាហរណ៍ 0.5; -3.8921) និងប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ 0.11(23); -3 ,(87 )).

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ទសភាគដែលមិនកើតឡើងដដែលៗគ្មានកំណត់មិនអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតា។ នោះហើយជាអ្វីដែលពួកគេមាន លេខមិនសមហេតុផល(ឧ. មិនសមហេតុផល)។ ឧទាហរណ៍នៃលេខបែបនេះគឺ π ដែលប្រហែលស្មើនឹង 3.14 ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្វីដែលវាស្មើនឹងពិតប្រាកដមិនអាចកំណត់បានទេ ព្រោះបន្ទាប់ពីលេខ 4 មានស៊េរីលេខផ្សេងទៀតគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលរយៈពេលដដែលៗមិនអាចសម្គាល់បាន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ថ្វីត្បិតតែលេខ π មិនអាចបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដក៏ដោយ វាមានអត្ថន័យធរណីមាត្រជាក់លាក់។ លេខπគឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃរង្វង់ណាមួយទៅនឹងប្រវែងនៃអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។ ដូច្នេះលេខមិនសមហេតុផលមាននៅក្នុងធម្មជាតិ ដូចលេខសនិទានដែរ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលគឺឫសការ៉េនៃចំនួនវិជ្ជមាន។ ការស្រង់ឫសពីលេខមួយចំនួនផ្តល់តម្លៃសមហេតុផល ពីអ្នកដទៃ - មិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ √4 = 2, i.e. ឫសនៃ 4 គឺជាចំនួនសមហេតុផល។ ប៉ុន្តែ √2, √5, √7 និងផ្សេងទៀតជាច្រើននាំឱ្យចំនួនមិនសមហេតុផល ពោលគឺពួកគេអាចស្រង់ចេញបានតែជាមួយការប៉ាន់ស្មាន បង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគជាក់លាក់មួយ។ ក្នុងករណីនេះប្រភាគត្រូវបានទទួលមិនតាមកាលកំណត់។ នោះ​គឺ​វា​មិន​អាច​និយាយ​បាន​ច្បាស់​ទេ​ថា​អ្វី​ជា​ឫសគល់​នៃ​លេខ​ទាំងនេះ។

ដូច្នេះ √5 គឺជាចំនួនរវាង 2 និង 3 ចាប់តាំងពី √4 = 2 និង √9 = 3 ។ យើងក៏អាចសន្និដ្ឋានបានថា √5 គឺនៅជិត 2 ជាងទៅ 3 ដោយសារ √4 នៅជិត √5 ជាង √9 ទៅ √ ៥. ពិតហើយ √5 ≈ 2.23 ឬ √5 ≈ 2.24 ។

លេខមិនសមហេតុផលក៏ត្រូវបានទទួលនៅក្នុងការគណនាផ្សេងទៀត (ហើយមិនត្រឹមតែនៅពេលស្រង់ឫសទេ) ពួកគេគឺអវិជ្ជមាន។

ទាក់ទងទៅនឹងលេខមិនសមហេតុផល យើងអាចនិយាយបានថា មិនថាផ្នែកណាដែលយើងយកដើម្បីវាស់ប្រវែងដែលបង្ហាញដោយលេខបែបនេះទេ យើងពិតជាមិនអាចវាស់វាបានទេ។

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ លេខមិនសមហេតុផលអាចចូលរួមជាមួយលេខសនិទាន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះមានភាពទៀងទាត់មួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើមានតែលេខសនិទានទេដែលពាក់ព័ន្ធនឹងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ នោះលទ្ធផលគឺតែងតែជាលេខសនិទាន។ ប្រសិនបើមានតែអ្នកដែលមិនសមហេតុផលចូលរួមក្នុងប្រតិបត្តិការនោះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការនិយាយយ៉ាងច្បាស់ថាតើចំនួនសមហេតុផល ឬមិនសមហេតុផលនឹងចេញមក។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកគុណលេខមិនសមហេតុផលពីរ √2 * √2 អ្នកទទួលបាន 2 - នេះគឺជាលេខសមហេតុផល។ ម៉្យាងវិញទៀត √2 * √3 = √6 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

ប្រសិនបើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនសនិទានភាព និងលេខមិនសមហេតុផល នោះលទ្ធផលមិនសមហេតុផលនឹងត្រូវបានទទួល។ ឧទាហរណ៍ 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - ៤.

ហេតុអ្វីបានជា √17 - 4 ជាលេខមិនសមហេតុផល? ស្រមៃថាអ្នកទទួលបានលេខសនិទាន x ។ បន្ទាប់មក √17 = x + 4. ប៉ុន្តែ x + 4 គឺជាលេខសនិទាន ព្រោះយើងសន្មត់ថា x គឺសមហេតុផល។ លេខ 4 ក៏សមហេតុផលដែរ ដូច្នេះ x + 4 គឺសមហេតុផល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខសនិទានមិនអាចស្មើនឹង √17 ដែលមិនសមហេតុផលទេ។ ដូច្នេះ ការសន្មត់ថា √17 - 4 ផ្តល់លទ្ធផលសមហេតុផលគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ។ លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនឹងមិនសមហេតុផល។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់នេះ។ ប្រសិនបើយើងគុណលេខមិនសមហេតុផលដោយ 0 យើងទទួលបានលេខសមហេតុផល 0 ។

ជាមួយនឹងផ្នែកនៃប្រវែងឯកតា គណិតវិទូបុរាណបានដឹងរួចហើយ៖ ពួកគេដឹងជាឧទាហរណ៍ ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃអង្កត់ទ្រូង និងផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ ដែលស្មើនឹងភាពមិនសមហេតុផលនៃចំនួន។

មិនសមហេតុផលគឺ៖

ឧទាហរណ៍នៃភស្តុតាងនៃភាពមិនសមហេតុផល

ឫស ២

សន្មតថាផ្ទុយ៖ វាសមហេតុផល មានន័យថា វាត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន កន្លែងណា និងជាចំនួនគត់។ ចូរ​ធ្វើ​ការ​វាស់វែង​សមភាព​ដែល​បាន​សន្មត់​ថា ៖

ពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាសូម្បីតែ, ដូច្នេះ, គូនិង . ទុកឱ្យកន្លែងទាំងមូល។ បន្ទាប់មក

ដូច្នេះ, សូម្បីតែ, ដូច្នេះ, និង . យើង​បាន​ទទួល​នោះ​ហើយ​ជា​គូ ដែល​ផ្ទុយ​នឹង​ភាព​មិន​អាច​កាត់​បន្ថយ​បាន​នៃ​ប្រភាគ។ ដូច្នេះ ការសន្មត់ដើមគឺខុស ហើយជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

លោការីតគោលពីរនៃលេខ 3

សន្មតថាផ្ទុយ៖ វាសមហេតុផល មានន័យថា វាត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ កន្លែង និងជាចំនួនគត់។ ចាប់តាំងពី , និងអាចត្រូវបានទទួលយកជាវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក

ប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់ វាចម្លែក។ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា។

អ៊ី

រឿង

គោលគំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានអនុម័តដោយអ្នកគណិតវិទូឥណ្ឌាក្នុងសតវត្សទី 7 មុនគ.ស នៅពេលដែលម៉ាណាវ៉ា (គ. 750 BC - 690 មុនគ.ស) បានរកឃើញថាឫសការេនៃលេខធម្មជាតិមួយចំនួនដូចជា 2 និង 61 មិនអាចបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់បានទេ។

ភ័ស្តុតាងដំបូងនៃអត្ថិភាពនៃលេខមិនសមហេតុផល ជាធម្មតាត្រូវបានសន្មតថាជា Hippasus of Metapontus (គ. 500 មុនគ.ស) ដែលជាជនជាតិ Pythagorean ដែលបានរកឃើញភស្តុតាងនេះដោយសិក្សាពីប្រវែងនៃជ្រុងនៃ pentagram ។ នៅក្នុងសម័យនៃ Pythagoreans វាត្រូវបានគេជឿថាមានឯកតាប្រវែងតែមួយ តូចល្មម និងមិនអាចបំបែកបាន ដែលជាចំនួនគត់នៃដងដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែកណាមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ Hippasus បានប្រកែកថាមិនមានឯកតានៃប្រវែងទេចាប់តាំងពីការសន្មត់នៃអត្ថិភាពរបស់វានាំឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នា។ គាត់បានបង្ហាញថាប្រសិនបើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែង isosceles មានចំនួនគត់នៃផ្នែកឯកតា នោះលេខនេះត្រូវតែជាគូ និងសេសក្នុងពេលតែមួយ។ ភស្តុតាងមើលទៅដូចនេះ៖

• សមាមាត្រនៃប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសទៅនឹងប្រវែងជើងនៃត្រីកោណកែង isosceles អាចត្រូវបានបង្ហាញជា ក:ខកន្លែងណា កនិង ខជ្រើសរើសតូចបំផុតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។
• យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖ ក² = ២ ខ².
• ដោយសារតែ ក² គូ កត្រូវតែស្មើ (ចាប់តាំងពីការេនៃចំនួនសេសនឹងសេស)។
• ដោយសារតែ ក:ខមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ ខត្រូវតែសេស។
• ដោយសារតែ កសូម្បីតែ, បញ្ជាក់ ក = 2y.
• បន្ទាប់មក ក² = ៤ y² = ២ ខ².
• ខ² = ២ y² ដូច្នេះ ខគឺសូម្បីតែ ខសូម្បីតែ។
• ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានបញ្ជាក់ថា ខសេស ភាពផ្ទុយគ្នា។

គណិតវិទូក្រិចបានហៅសមាមាត្រនេះថាជាបរិមាណដែលមិនអាចគណនាបាន។ អាឡូហ្គោ(មិនអាចពិពណ៌នាបាន) ប៉ុន្តែយោងទៅតាមរឿងព្រេង Hippasus មិនត្រូវបានផ្តល់ការគោរព។ មានរឿងព្រេងមួយដែល Hippasus បានបង្កើតការរកឃើញនៅពេលធ្វើដំណើរតាមសមុទ្រ ហើយត្រូវបានទម្លាក់ពីលើដោយ Pythagoreans ផ្សេងទៀត "សម្រាប់ការបង្កើតធាតុនៃចក្រវាឡ ដែលបដិសេធគោលលទ្ធិដែលអង្គភាពទាំងអស់នៅក្នុងសកលលោកអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចំនួនទាំងមូល និងសមាមាត្ររបស់វា។ " ការរកឃើញរបស់ Hippasus បានបង្កបញ្ហាយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរដល់គណិតវិទ្យា Pythagorean ដោយបំផ្លាញការសន្មត់មូលដ្ឋានថា លេខ និងវត្ថុធរណីមាត្រគឺជាវត្ថុតែមួយ និងមិនអាចបំបែកបាន។

សូម​មើល​ផង​ដែរ

កំណត់ចំណាំ

តើលេខមិនសមហេតុផលជាអ្វី? ហេតុអ្វីបានជាគេហៅវា? តើ​គេ​ប្រើ​នៅ​ឯណា ហើយ​ប្រើ​អ្វី? មានមនុស្សតិចណាស់អាចឆ្លើយសំណួរទាំងនេះដោយមិនស្ទាក់ស្ទើរ។ ប៉ុន្តែតាមពិត ចម្លើយចំពោះពួកគេគឺសាមញ្ញណាស់ ទោះបីជាមិនមែនគ្រប់គ្នាត្រូវការពួកគេ និងក្នុងស្ថានភាពដ៏កម្រក៏ដោយ។

ខ្លឹមសារនិងនិយមន័យ

លេខមិនសមហេតុផលគឺគ្មានកំណត់ មិនមែនតាមកាលកំណត់ទេ តម្រូវការក្នុងការណែនាំគំនិតនេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលកំពុងកើតឡើងថ្មី គំនិតដែលមានស្រាប់ពីមុននៃចំនួនពិត ឬពិតប្រាកដ ចំនួនគត់ ធម្មជាតិ និងសនិទានភាពគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទៀតទេ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាថាតើការេនៃ 2 ជាអ្វី អ្នកត្រូវប្រើទសភាគគ្មានកំណត់ដែលមិនកើតឡើងដដែលៗ។ លើសពីនេះ សមីការសាមញ្ញបំផុតជាច្រើនក៏មិនមានដំណោះស្រាយដោយមិនបានបង្ហាញពីគំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផលនោះទេ។

សំណុំនេះត្រូវបានតំណាងថាជា I. ហើយដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ តម្លៃទាំងនេះមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគសាមញ្ញទេ នៅក្នុងភាគយកដែលនឹងមានចំនួនគត់ ហើយនៅក្នុងភាគបែង -

ជាលើកដំបូង គណិតវិទូឥណ្ឌាបានជួបប្រទះបាតុភូតនេះនៅសតវត្សទី 7 នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេរកឃើញថាឫសការ៉េនៃបរិមាណមួយចំនួនមិនអាចបញ្ជាក់បានច្បាស់លាស់នោះទេ។ ហើយភស្តុតាងដំបូងនៃអត្ថិភាពនៃលេខបែបនេះត្រូវបានសន្មតថាជា Pythagorean Hippasus ដែលបានធ្វើវានៅក្នុងដំណើរការនៃការសិក្សាត្រីកោណកែង isosceles ។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរចំពោះការសិក្សានៃសំណុំនេះត្រូវបានធ្វើឡើងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលរស់នៅមុនសម័យរបស់យើង។ សេចក្តីផ្តើមនៃគំនិតនៃចំនួនមិនសមហេតុផល រួមបញ្ចូលការពិនិត្យឡើងវិញនៃប្រព័ន្ធគណិតវិទ្យាដែលមានស្រាប់ ដែលជាមូលហេតុដែលពួកគេមានសារៈសំខាន់ណាស់។

ប្រភពដើមនៃឈ្មោះ

ប្រសិនបើសមាមាត្រនៅក្នុងឡាតាំងគឺ "ប្រភាគ" "សមាមាត្រ" បន្ទាប់មកបុព្វបទ "ir"
ផ្តល់ឱ្យពាក្យផ្ទុយពីអត្ថន័យ។ ដូច្នេះឈ្មោះនៃសំណុំលេខទាំងនេះបង្ហាញថាពួកគេមិនអាចទាក់ទងគ្នាជាមួយចំនួនគត់ ឬប្រភាគបានទេ ពួកគេមានកន្លែងដាច់ដោយឡែក។ នេះធ្វើតាមធម្មជាតិរបស់ពួកគេ។

ដាក់ក្នុងចំណាត់ថ្នាក់ទូទៅ

លេខមិនសមហេតុផល រួមជាមួយនឹងលេខសនិទានភាព ជារបស់ក្រុមនៃចំនួនពិត ឬពិតប្រាកដ ដែលនៅក្នុងវេនគឺស្មុគស្មាញ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានសំណុំរងទេ មានប្រភេទពិជគណិត និង វិសាលភាព ដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោម។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ដោយសារលេខមិនសមហេតុផលគឺជាផ្នែកមួយនៃសំណុំនៃចំនួនពិត លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់ពួកគេដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងនព្វន្ធ (ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ពិជគណិតមូលដ្ឋានផងដែរ) អនុវត្តចំពោះពួកគេ។

a + b = b + a (ការផ្លាស់ប្តូរ);

(a + b) + c = a + (b + c) (សមាគម);

a + (-a) = 0 (អត្ថិភាពនៃលេខផ្ទុយ);

ab = ba (ច្បាប់ផ្លាស់ទីលំនៅ);

(ab)c = a(bc) (ការចែកចាយ);

a(b+c) = ab + ac (ច្បាប់ចែកចាយ);

a x 1/a = 1 (អត្ថិភាពនៃលេខបញ្ច្រាស);

ការប្រៀបធៀបក៏ត្រូវបានអនុវត្តដោយអនុលោមតាមច្បាប់ និងគោលការណ៍ទូទៅ៖

ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c (អន្តរកាលនៃទំនាក់ទំនង) និង។ ល។

ជាការពិតណាស់ លេខមិនសមហេតុផលទាំងអស់អាចត្រូវបានបំប្លែងដោយប្រើនព្វន្ធមូលដ្ឋាន។ មិនមានច្បាប់ពិសេសសម្រាប់រឿងនេះទេ។

លើសពីនេះទៀតសកម្មភាពនៃ axiom របស់ Archimedes ពង្រីកដល់ចំនួនមិនសមហេតុផល។ វានិយាយថាសម្រាប់បរិមាណទាំងពីរ a និង b សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺជាការពិតដែលថាដោយយក a ជាពាក្យមួយដងគ្រប់គ្រាន់ អ្នកអាចវាយ b ។

ការប្រើប្រាស់

ទោះបីជាការពិតដែលថានៅក្នុងជីវិតធម្មតាអ្នកមិនចាំបាច់ដោះស្រាយជាមួយពួកគេជាញឹកញាប់ក៏ដោយលេខមិនសមហេតុផលមិនអាចរាប់បានទេ។ វាមានច្រើនណាស់ ប៉ុន្តែពួកគេស្ទើរតែមើលមិនឃើញ។ យើងត្រូវបានហ៊ុំព័ទ្ធដោយលេខមិនសមហេតុផលគ្រប់ទីកន្លែង។ ឧទាហរណ៍ដែលគ្រប់គ្នាធ្លាប់ស្គាល់គឺលេខ pi ស្មើនឹង 3.1415926... ឬ e ដែលជាមូលដ្ឋានសំខាន់នៃលោការីតធម្មជាតិ 2.718281828... ក្នុងពិជគណិត ត្រីកោណមាត្រ និងធរណីមាត្រ ពួកវាត្រូវប្រើគ្រប់ពេលវេលា។ ដោយវិធីនេះ អត្ថន័យដ៏ល្បីល្បាញនៃ "ផ្នែកមាស" នោះគឺសមាមាត្រនៃផ្នែកធំទៅតូច និងច្រាសមកវិញផងដែរ។

ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ឈុតនេះ។ មិនសូវស្គាល់ "ប្រាក់" - ផងដែរ។

នៅលើបន្ទាត់លេខ ពួកវាមានទីតាំងនៅក្រាស់ណាស់ ដូច្នេះរវាងបរិមាណពីរណាមួយដែលទាក់ទងនឹងសំណុំនៃសនិទាននោះ ភាពមិនសមហេតុផលមួយប្រាកដជាកើតឡើង។

នៅតែមានបញ្ហាជាច្រើនដែលមិនអាចដោះស្រាយបានដែលទាក់ទងនឹងឈុតនេះ។ មានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដូចជារង្វាស់នៃភាពមិនសមហេតុផល និងភាពធម្មតានៃចំនួន។ គណិតវិទូបន្តពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍សំខាន់ៗបំផុតសម្រាប់ក្រុមមួយឬក្រុមផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានចាត់ទុកថា e គឺជាលេខធម្មតា ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃលេខផ្សេងគ្នាដែលលេចឡើងក្នុងធាតុរបស់វាគឺដូចគ្នា។ ចំណែក​ឯ​ភី​វិញ ការ​ស្រាវ​ជ្រាវ​នៅ​តែ​បន្ត​ទាក់​ទង​នឹង​វា។ រង្វាស់នៃភាពមិនសមហេតុផលគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាតើចំនួនជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានប្រហាក់ប្រហែលដោយលេខសមហេតុផល។

ពិជគណិត និងវិញ្ញាសា

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ លេខមិនសមហេតុផលត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌទៅជាពិជគណិត និងវិញ្ញាបនបត្រ។ តាមលក្ខខណ្ឌ ចាប់តាំងពីនិយាយយ៉ាងតឹងរឹង ចំណាត់ថ្នាក់នេះត្រូវបានប្រើដើម្បីបែងចែកសំណុំ C ។

នៅក្រោមការរចនានេះ លេខស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានលាក់ ដែលរួមមានចំនួនពិត ឬពិត។

ដូច្នេះ តម្លៃពិជគណិតគឺជាតម្លៃដែលជាឫសគល់នៃពហុធា ដែលមិនដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ ឫសការេនៃ 2 នឹងមាននៅក្នុងប្រភេទនេះព្រោះវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 2 − 2 = 0 ។

លេខពិតផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានគេហៅថាវិចារណញាណ។ ពូជនេះក៏រួមបញ្ចូលផងដែរនូវឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីបំផុត និងដែលបានរៀបរាប់រួចហើយ - លេខ pi និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ អ៊ី។

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ ទាំងអ្នកគណិតវិទូ ពីដំបូងឡើយ ទាំងមួយ ឬទីពីរ ត្រូវបានកាត់ចេញដោយគណិតវិទូ ក្នុងសមត្ថភាពនេះ ភាពមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាពរបស់ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញជាច្រើនឆ្នាំបន្ទាប់ពីការរកឃើញរបស់ពួកគេ។ សម្រាប់ pi ភ័ស្តុតាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅឆ្នាំ 1882 ហើយបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៅឆ្នាំ 1894 ដែលបញ្ចប់ភាពចម្រូងចម្រាសរយៈពេល 2,500 ឆ្នាំអំពីបញ្ហានៃការបំបែករង្វង់។ វានៅតែមិនទាន់យល់ច្បាស់នៅឡើយ ដូច្នេះគណិតវិទូសម័យទំនើបមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើការ។ ដោយវិធីនេះការគណនាត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ដំបូងនៃតម្លៃនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយ Archimedes ។ មុនពេលគាត់ការគណនាទាំងអស់គឺប្រហាក់ប្រហែលពេក។

សម្រាប់ អ៊ី (លេខ អយល័រ ឬ ណាពីៀ) ភ័ស្តុតាងនៃវិសាលភាពរបស់វាត្រូវបានរកឃើញនៅឆ្នាំ 1873 ។ វាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការលោការីត។

ឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតរួមមានតម្លៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់សម្រាប់តម្លៃពិជគណិតណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ។

ពីភាពអរូបីនៃគោលគំនិតគណិតវិទ្យា ពេលខ្លះវាដកដង្ហើមយ៉ាងច្រើនជាមួយនឹងការផ្ដាច់ចេញ ដែលគំនិតកើតឡើងដោយអចេតនា៖ "តើទាំងអស់នេះសម្រាប់អ្វី?"។ ប៉ុន្តែទោះបីជាមានចំណាប់អារម្មណ៍ដំបូងក៏ដោយ ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ មុខងារ។ល។ - គ្មានអ្វីក្រៅពីបំណងប្រាថ្នាដើម្បីបំពេញតម្រូវការបន្ទាន់។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃរូបរាងនៃឈុតផ្សេងៗ។

វាទាំងអស់បានចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការមកដល់នៃលេខធម្មជាតិ។ ហើយទោះបីជាវាមិនទំនងដែលថាឥឡូវនេះនរណាម្នាក់នឹងអាចឆ្លើយថាតើវាពិតប្រាកដនោះទេប៉ុន្តែទំនងជាជើងរបស់ព្រះមហាក្សត្រិយានីនៃវិទ្យាសាស្រ្តលូតលាស់ពីកន្លែងណាមួយនៅក្នុងរូងភ្នំ។ នៅទីនេះ ការវិភាគចំនួនស្បែក ថ្ម និងកុលសម្ព័ន្ធ មនុស្សម្នាក់មាន "ចំនួនដែលត្រូវរាប់" ច្រើន។ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គាត់។ ជាការពិតណាស់រហូតដល់ចំណុចណាមួយ។

បន្ទាប់មក ចាំបាច់ត្រូវបែងចែក និងយកស្បែក និងថ្មចេញ។ ដូច្នេះមានតម្រូវការសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ហើយជាមួយពួកគេ សនិទានភាព ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ជាប្រភាគនៃប្រភេទ m / n ដែលឧទាហរណ៍ m គឺជាចំនួនស្បែក n គឺជាចំនួនកុលសម្ព័ន្ធ។

វាហាក់ដូចជាថាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដែលបានរកឃើញរួចហើយគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរីករាយនឹងជីវិត។ ប៉ុន្តែភ្លាមៗនោះវាបានប្រែក្លាយថាមានករណីដែលលទ្ធផលមិនមែនជាអ្វីដែលមិនមែនជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែមិនមែនសូម្បីតែប្រភាគ! ហើយជាការពិត ឫសការេនៃពីរមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមវិធីផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគយក និងភាគបែងទេ។ ឬជាឧទាហរណ៍ លេខដ៏ល្បី Pi ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Archimedes ក៏មិនសមហេតុផលដែរ។ ហើយយូរ ៗ ទៅមានការរកឃើញបែបនេះជាច្រើនដែលលេខទាំងអស់ដែលមិនមានលទ្ធភាព "សនិទានភាព" ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាហើយហៅថាមិនសមហេតុផល។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

សំណុំដែលបានពិចារណាពីមុនជាសំណុំនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យា។ នេះមានន័យថា ពួកវាមិនអាចកំណត់បានតាមរយៈវត្ថុគណិតវិទ្យាសាមញ្ញជាងនេះទេ។ ប៉ុន្តែនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយជំនួយនៃប្រភេទ (ពី "សេចក្តីថ្លែងការណ៍" ក្រិក) ឬ postulates ។ ក្នុងករណីនេះ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការកំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឈុតទាំងនេះ។

o លេខមិនសមហេតុផលកំណត់ផ្នែក Dedekind ក្នុងសំណុំនៃលេខសមហេតុផលដែលមិនមានលេខធំជាងគេនៅខាងក្រោម និងគ្មានលេខតូចបំផុតនៅក្នុងលេខខាងលើ។

o រាល់លេខវិចារណញាណគឺមិនសមហេតុផល។

o រាល់ចំនួនមិនសមហេតុផលគឺពិជគណិត ឬវិញ្ញាសា។

o សំណុំនៃលេខគឺនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្រាស់នៅលើបន្ទាត់ពិត៖ រវាងលេខណាមួយមានលេខមិនសមហេតុផល។

o សំណុំមិនអាចរាប់បាន គឺជាសំណុំនៃប្រភេទ Baer ទីពីរ។

o សំណុំនេះត្រូវបានតម្រៀប ពោលគឺសម្រាប់រាល់លេខសនិទានពីរផ្សេងគ្នា a និង b អ្នកអាចចង្អុលបង្ហាញថាមួយណាតិចជាងលេខផ្សេងទៀត។
o រវាងរាល់លេខសនិទានភាពពីរផ្សេងគ្នា មានយ៉ាងហោចណាស់មួយបន្ថែមទៀត ដូច្នេះហើយជាសំណុំលេខសនិទានគ្មានកំណត់។

o ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ (ការបន្ថែម គុណ និងចែក) លើចំនួនសនិទានទាំងពីរគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន ហើយលទ្ធផលជាចំនួនសនិទានជាក់លាក់។ ករណីលើកលែងមួយគឺការបែងចែកដោយសូន្យ ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ។

o រាល់លេខសនិទានភាពអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគទសភាគ (តាមកាលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់)។

ចំនួនគត់

និយមន័យលេខធម្មជាតិ គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ លេខធម្មជាតិត្រូវបានប្រើដើម្បីរាប់វត្ថុ និងសម្រាប់គោលបំណងផ្សេងទៀតជាច្រើន។ នេះជាលេខ៖

នេះគឺជាស៊េរីលេខធម្មជាតិ។
សូន្យជាលេខធម្មជាតិ? ទេ សូន្យមិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេ។
តើលេខធម្មជាតិមានប៉ុន្មាន? មានសំណុំលេខធម្មជាតិគ្មានកំណត់។
តើលេខធម្មជាតិតូចបំផុតគឺជាអ្វី? មួយគឺជាចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុត។
តើលេខធម្មជាតិធំបំផុតគឺជាអ្វី? វា​មិន​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ទេ ព្រោះ​មាន​ចំនួន​ធម្មជាតិ​គ្មាន​កំណត់។

ផលបូកនៃលេខធម្មជាតិគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះការបន្ថែមលេខធម្មជាតិ a និង b៖

ផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិ a និង b៖

c តែងតែជាលេខធម្មជាតិ។

ភាពខុសគ្នានៃលេខធម្មជាតិ មិនមែនតែងតែជាលេខធម្មជាតិទេ។ ប្រសិនបើ minuend ធំជាង subtrahend នោះភាពខុសគ្នានៃលេខធម្មជាតិគឺជាលេខធម្មជាតិ បើមិនដូច្នេះទេវាមិនមែនទេ។

គុណតម្លៃនៃលេខធម្មជាតិ មិនមែនតែងតែជាលេខធម្មជាតិទេ។ ប្រសិនបើសម្រាប់លេខធម្មជាតិ a និង b

ដែល c ជាចំនួនធម្មជាតិ វាមានន័យថា a ត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយ b ។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ a គឺជាភាគលាភ, b គឺជាអ្នកចែក, c គឺជាកូតា។

ការបែងចែកនៃចំនួនធម្មជាតិគឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលលេខទីមួយត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នា។

រាល់លេខធម្មជាតិត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវាផ្ទាល់។

លេខ​ធម្មជាតិ​សាមញ្ញ​គឺ​អាច​ចែក​បាន​ត្រឹម​តែ ១ និង​ខ្លួន​គេ​ប៉ុណ្ណោះ។ នៅទីនេះយើងមានន័យថាបែងចែកទាំងស្រុង។ ឧទាហរណ៍ លេខ ២; ៣; ៥; 7 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវាតែប៉ុណ្ណោះ។ ទាំងនេះគឺជាលេខធម្មជាតិសាមញ្ញ។

លេខមួយមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលេខសំខាន់ទេ។

លេខដែលធំជាងមួយ ហើយដែលមិនមែនជាបឋមត្រូវបានគេហៅថា លេខផ្សំ។ ឧទាហរណ៍នៃលេខផ្សំ៖

លេខមួយមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលេខផ្សំទេ។

សំណុំនៃលេខធម្មជាតិមានមួយ លេខបឋម និងលេខផ្សំ។

សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង N.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបូក និងគុណលេខធម្មជាតិ៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃការបន្ថែម

ទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃការបន្ថែម

(a + b) + c = a + (b + c);

ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​នៃ​គុណ​

ទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃគុណ

(ab)c = a(bc);

ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃគុណ

A (b + c) = ab + ac;

លេខទាំងមូល

ចំនួនគត់គឺជាលេខធម្មជាតិ សូន្យ និងផ្ទុយពីលេខធម្មជាតិ។

លេខដែលទល់មុខនឹងលេខធម្មជាតិ គឺជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន ឧទាហរណ៍៖

1; -2; -3; -4;...

សំណុំនៃចំនួនគត់ត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង Z ។

លេខសនិទាន

លេខសនិទានគឺជាចំនួនគត់ និងប្រភាគ។

លេខសនិទានភាពណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគតាមកាលកំណត់។ ឧទាហរណ៍:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ថាចំនួនគត់ណាមួយគឺជាប្រភាគតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងលេខសូន្យ។

លេខសនិទានភាពណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ m/n ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ចូរតំណាងឱ្យលេខ 3, (6) ពីឧទាហរណ៍មុនដូចជាប្រភាគ។