ការសាងសង់សមីការយន្តហោះលើបីចំណុច។ សមីការនៃយន្តហោះ៖ របៀបសរសេរ? ប្រភេទនៃសមីការយន្តហោះ

ដើម្បីអោយយន្តហោះតែមួយគូរកាត់ចំនុចបីណាមួយក្នុងលំហ នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែលចំនុចទាំងនេះមិនត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយនោះទេ។

ពិចារណាចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ទូទៅ។

ដើម្បីឱ្យចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្ថិតនៅលើប្លង់ដូចគ្នាជាមួយនឹងចំនុច M 1 , M 2 , M 3 វ៉ិចទ័រត្រូវតែជា coplanar ។

(
) = 0

ដោយវិធីនេះ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​ចំណុច​ពីរ និង​បន្ទាត់​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) និង​វ៉ិចទ័រ
.

ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 និង M 2 និងចំណុចបំពាន M (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ .

វ៉ិចទ័រ
និងវ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar, i.e.

(
) = 0

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​ទាក់ទង​នឹង​ចំណុច​មួយ និង​វ៉ិចទ័រ​ពីរ

យន្តហោះ collinear ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
និង
, យន្តហោះ collinear ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ វ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar ។

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការប្លង់ដោយចំណុច និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ .

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (ក, ខ, គ) មើល​ទៅ​ដូច​ជា:

ក(x – x 0 ) + ខ(y – y 0 ) + គ(z – z 0 ) = 0.

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ - វ៉ិចទ័រធម្មតា បន្ទាប់មកវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ហើយដូច្នេះកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
. បន្ទាប់មកផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋាន

= 0

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅ Ax + Wu + Cz + D \u003d 0 សូមចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ (-D)

,

ការជំនួស
យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែកៗ៖

លេខ a, b, c គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ រៀងគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

សមីការយន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

កន្លែងណា

- វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបច្ចុប្បន្ន M(x, y, z)

វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​ដែល​មាន​ទិសដៅ​កាត់​កែង​ធ្លាក់​ទៅ​កាន់​យន្តហោះ​ពី​ដើម។

,  និង  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

p គឺជាប្រវែងកាត់កែងនេះ។

នៅក្នុងកូអរដោនេ សមីការនេះមានទម្រង់៖

xcos + ycos + zcos − p = 0 ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចបំពាន M 0 (x 0, y 0, z 0) ទៅយន្តហោះ Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 គឺ៖

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះដោយដឹងថាចំណុច P (4; -3; 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ដូច្នេះ A = 4/13; ខ = -៣/១៣; C = 12/13 ប្រើរូបមន្ត៖

ក (x − x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច P(2; 0; -1) និង

Q(1; -1; 3) កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ 3x + 2y - z + 5 = 0 ។

វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅប្លង់ 3x + 2y − z + 5 = 0
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A(2, -1,4) និង

В(3, 2, -1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ X + នៅ + 2z – 3 = 0.

សមីការយន្តហោះដែលចង់បានមានទម្រង់៖ ក x+ ខ y+ គ z+ D = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះ។ (A, B, C) ។ វ៉ិចទ័រ
(1, 3, -5) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលចង់បានមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១, ១, ២)។ ដោយសារតែ ចំនុច A និង B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះទាំងពីរ ហើយយន្តហោះគឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១១, -៧, -២) ។ ដោយសារតែ ចំនុច A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលចង់បាន បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះនេះ i.e. 112 + 71 − 24 + D = 0; D = −21 ។

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ៖ ១១ x - 7y – 2z – 21 = 0.

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះ ដោយដឹងថាចំណុច P(4, -3, 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។
= (4, -3, 12) ។ សមីការដែលចង់បានរបស់យន្តហោះមានទម្រង់៖ ៤ x – 3y + 12z+ D = 0. ដើម្បីរកមេគុណ D យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច Р ទៅក្នុងសមីការ៖

16 + 9 + 144 + D = 0

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន៖ ៤ x – 3y + 12z – 169 = 0

ឧទាហរណ៍។ដោយ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​កូអរដោនេ​នៃ​កំពូល​ពីរ៉ាមីត A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

រកប្រវែងគែម A 1 A 2 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 2 និង A 1 A 4 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 4 និងមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ដំបូងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅមុខ A 1 A 2 A 3 ជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
និង
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា និងវ៉ិចទ័រ
.

-4 – 4 = -8.

មុំដែលចង់បាន  រវាងវ៉ិចទ័រ និងប្លង់នឹងស្មើនឹង  = 90 0 −  ។

រកផ្ទៃមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ស្វែងរកបរិមាណពីរ៉ាមីត។

រកសមីការនៃយន្តហោះ А 1 А 2 А 3 ។

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។

2x + 2y + 2z − 8 = 0

x + y + z − 4 = 0;

នៅពេលប្រើកំណែ PC នៃ " វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់។" អ្នកអាចដំណើរការកម្មវិធីដែលនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើសម្រាប់កូអរដោនេណាមួយនៃកំពូលពីរ៉ាមីត។

ចុចពីរដងលើរូបតំណាង ដើម្បីចាប់ផ្តើមកម្មវិធី៖

នៅក្នុងបង្អួចកម្មវិធីដែលបើក សូមបញ្ចូលកូអរដោនេនៃកំពូលពីរ៉ាមីត ហើយចុច Enter ។ ដូច្នេះ រាល់ចំណុចសម្រេចចិត្តទាំងអស់អាចទទួលបានម្តងមួយៗ។

ចំណាំ៖ ដើម្បីដំណើរការកម្មវិធី អ្នកត្រូវតែមាន Maple ( Waterloo Maple Inc.) ដែលបានដំឡើងនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក កំណែណាមួយដែលចាប់ផ្តើមជាមួយ MapleV Release 4 ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ដោយកំណត់វ៉ិចទ័រកាំរបស់ពួកគេដោយ និងវ៉ិចទ័រកាំបច្ចុប្បន្នដោយ យើងអាចទទួលបានសមីការដែលចង់បានក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រយ៉ាងងាយស្រួល។ ជាការពិតណាស់ វ៉ិចទ័រ ត្រូវតែជា coplanar (ពួកវាទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលចង់បាន)។ ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រ-មាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ៖

នេះ​ជា​សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​បី​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ទម្រង់​វ៉ិចទ័រ។

ងាកទៅកូអរដោណេ យើងទទួលបានសមីការក្នុងកូអរដោនេ៖

ប្រសិនបើចំនុចទាំងបីដែលផ្តល់អោយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា នោះវ៉ិចទ័រនឹងនៅជាប់គ្នា។ ដូច្នេះ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរពីរចុងក្រោយនៃកត្តាកំណត់ក្នុងសមីការ (18) នឹងសមាមាត្រ ហើយកត្តាកំណត់នឹងដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះសមីការ (18) នឹងក្លាយជាអត្តសញ្ញាណសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x, y, និង z ។ តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថា យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចនីមួយៗនៃលំហ ដែលក្នុងនោះមានបីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។

ចំណាំ 1. បញ្ហាដូចគ្នាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនប្រើវ៉ិចទ័រ។

កំណត់ពីកូអរដោណេនៃចំណុចទាំងបីដែលបានផ្តល់ឱ្យរៀងៗខ្លួន តាមរយៈយើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះណាមួយដែលឆ្លងកាត់ចំណុចទីមួយ៖

ដើម្បីទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន មួយត្រូវតែតម្រូវឱ្យសមីការនោះ (17) ពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចពីរផ្សេងទៀត៖

ពីសមីការ (19) វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់សមាមាត្រនៃមេគុណពីរទៅទីបីហើយបញ្ចូលតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការ (17) ។

ឧទាហរណ៍ 1. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច។

សមីការ​សម្រាប់​យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​ទីមួយ​នៃ​ចំណុច​ទាំង​នេះ​នឹង​មាន​ដូច​ជា៖

លក្ខខណ្ឌ​សម្រាប់​យន្តហោះ (១៧) ត្រូវ​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ផ្សេង​ទៀត និង​ចំណុច​ទី​១ គឺ៖

បន្ថែមសមីការទីពីរទៅទីមួយ យើងទទួលបាន៖

ជំនួសសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន៖

ការជំនួសទៅក្នុងសមីការ (17) ជំនួសឱ្យ A, B, C រៀងគ្នា 1, 5, -4 (ចំនួនសមាមាត្រទៅនឹងពួកគេ) យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ 2. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)។

សមីការនៃយន្តហោះណាមួយឆ្លងកាត់ចំណុច (0, 0, 0) នឹង]

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការឆ្លងកាត់យន្តហោះនេះតាមចំនុច (1, 1, 1) និង (2, 2, 2) គឺ៖

កាត់បន្ថយសមីការទីពីរដោយ 2 យើងឃើញថាដើម្បីកំណត់ភាពមិនស្គាល់ទាំងពីរ ទំនាក់ទំនងមានសមីការមួយជាមួយ

ពីទីនេះយើងទទួលបាន។ ការជំនួសឥឡូវនេះទៅក្នុងសមីការយន្តហោះជំនួសឱ្យតម្លៃរបស់វា យើងរកឃើញ៖

នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះដែលត្រូវការ; វាអាស្រ័យលើការបំពាន

បរិមាណ B, C (ពោលគឺ ពីសមាមាត្រ ពោលគឺ មានចំនួនយន្តហោះគ្មានកំណត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យបី (ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យបីស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ) ។

កំណត់សម្គាល់ 2. បញ្ហានៃការគូរប្លង់តាមចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា គឺងាយស្រួលដោះស្រាយក្នុងទម្រង់ទូទៅ ប្រសិនបើយើងប្រើកត្តាកំណត់។ ជាការពិតណាស់ ដោយសារនៅក្នុងសមីការ (17) និង (19) មេគុណ A, B, C មិនអាចស្មើនឹងសូន្យបានទេ ដូច្នេះដោយពិចារណាសមីការទាំងនេះជាប្រព័ន្ធដូចគ្នាដែលមានបីមិនស្គាល់ A, B, C យើងសរសេរចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់។ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ ក្រៅពីសូន្យ (ផ្នែកទី 1, ច។ VI, § 6)៖

ដោយពង្រីកកត្តាកំណត់នេះដោយធាតុនៃជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមីការនៃដឺក្រេទី 1 ទាក់ទងនឹងកូអរដោណេបច្ចុប្បន្ន ដែលនឹងពេញចិត្ត ជាពិសេសដោយកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណុចក្រោយនេះក៏អាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ផងដែរ ប្រសិនបើយើងជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុចណាមួយ ជំនួសឱ្យការចូលទៅក្នុងសមីការដែលសរសេរដោយប្រើកត្តាកំណត់។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេង កត្តាកំណត់មួយត្រូវបានទទួល ដែលធាតុនៃជួរទីមួយគឺសូន្យ ឬមានជួរដូចគ្នាពីរ។ ដូច្នេះ សមីការ​ដែល​បាន​បង្កើត​តំណាង​ឱ្យ​យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​បី​ដែល​បាន​ផ្តល់។

សមីការយន្តហោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះ?
ការរៀបចំយន្តហោះទៅវិញទៅមក។ ភារកិច្ច

ធរណីមាត្រលំហមិនមានភាពស្មុគស្មាញជាងធរណីមាត្រ "ផ្ទះល្វែង" ទេ ហើយការហោះហើររបស់យើងក្នុងលំហអាកាសចាប់ផ្តើមជាមួយអត្ថបទនេះ។ ដើម្បីយល់ពីប្រធានបទ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែយល់ឱ្យបានច្បាស់ វ៉ិចទ័រលើសពីនេះទៀត វាជាការចង់ស្គាល់ធរណីមាត្រនៃយន្តហោះ - វានឹងមានភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ដូច្នេះព័ត៌មាននឹងត្រូវបានរំលាយកាន់តែប្រសើរ។ នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជាបន្តបន្ទាប់ ពិភពលោក 2D បើកជាមួយអត្ថបទមួយ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ. ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ Batman បានលាឈប់ពីទូរទស្សន៍អេក្រង់រាបស្មើ ហើយកំពុងចាប់ផ្តើមពី Baikonur Cosmodrome ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយគំនូរនិងនិមិត្តសញ្ញា។ តាមគ្រោងការណ៍ យន្តហោះអាចត្រូវបានគូរជាប៉ារ៉ាឡែល ដែលផ្តល់នូវចំណាប់អារម្មណ៍នៃលំហ៖

យន្តហោះ​គឺ​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ប៉ុន្តែ​យើង​មាន​ឱកាស​ពណ៌នា​តែ​មួយ​ដុំ​ប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត បន្ថែមពីលើប្រលេឡូក្រាម រាងពងក្រពើ ឬសូម្បីតែពពកក៏ត្រូវបានគូរផងដែរ។ សម្រាប់ហេតុផលបច្ចេកទេស វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការពណ៌នាយន្តហោះតាមរបៀបនេះ និងក្នុងទីតាំងនេះ។ យន្តហោះពិត ដែលយើងនឹងពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង អាចត្រូវបានរៀបចំតាមមធ្យោបាយណាមួយ - យកគំនូរនៅក្នុងដៃរបស់អ្នកដោយបញ្ញាស្មារតី ហើយបង្វិលវាក្នុងលំហ ដោយផ្តល់ឱ្យយន្តហោះនូវជម្រាលណាមួយ មុំណាមួយ។

កំណត់ចំណាំ៖ វា​ជា​ទម្លាប់​ក្នុង​ការ​កំណត់​យន្តហោះ​ជា​អក្សរ​ក្រិច​តូចៗ តាម​ជាក់ស្តែង ដើម្បី​កុំ​ឱ្យ​ច្រឡំ​ជាមួយ ត្រង់នៅលើយន្តហោះឬជាមួយ ត្រង់ក្នុងលំហ. ខ្ញុំធ្លាប់ប្រើអក្សរ។ នៅក្នុងគំនូរវាគឺជាអក្សរ "sigma" ហើយមិនមែនជារន្ធទាល់តែសោះ។ ថ្វីត្បិតតែជាយន្តហោះដ៏ចម្លែកក៏ដោយ វាពិតជាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់។

ក្នុងករណីខ្លះ វាងាយស្រួលប្រើអក្សរក្រិចដូចគ្នាដែលមានអក្សររងដើម្បីកំណត់ប្លង់យន្តហោះ ឧទាហរណ៍ .

វាច្បាស់ណាស់ថាយន្តហោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយចំណុចបីផ្សេងគ្នាដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះការរចនាបីអក្សរនៃយន្តហោះគឺមានប្រជាប្រិយភាពណាស់ - យោងតាមចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេឧទាហរណ៍ជាដើម។ ជាញឹកញាប់អក្សរត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងវង់ក្រចក៖ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំយន្តហោះជាមួយតួលេខធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។

សម្រាប់អ្នកអានដែលមានបទពិសោធន៍ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឱ្យ ម៉ឺនុយផ្លូវកាត់:

• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រពីរ?
• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

ហើយ​យើង​នឹង​មិន​នឿយណាយ​ក្នុង​ការ​រង់ចាំ​យូរ​ឡើយ៖

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះមានទម្រង់ ដែលមេគុណក្នុងពេលដំណាលគ្នាមិនមែនជាសូន្យ។

ការគណនាទ្រឹស្តី និងបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់មូលដ្ឋានអ័រថុនធម្មតា និងសម្រាប់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃលំហ (ប្រសិនបើប្រេងជាប្រេង សូមត្រលប់ទៅមេរៀនវិញ។ លីនេអ៊ែរ (មិន) ការពឹងផ្អែកនៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ) សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងសន្មត់ថា ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុងមូលដ្ឋានអ័រថូនិក និងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ហ្វឹកហាត់​ការ​ស្រមើស្រមៃ​បន្តិច​បន្តួច។ វាមិនអីទេ ប្រសិនបើអ្នកមានវាអាក្រក់ ឥឡូវនេះយើងនឹងអភិវឌ្ឍវាបន្តិច។ សូម្បី​តែ​ការ​លេង​នៅ​លើ​សរសៃប្រសាទ​ក៏​ទាមទារ​ការ​អនុវត្ត​ដែរ។

ក្នុងករណីទូទៅបំផុត នៅពេលដែលលេខមិនស្មើនឹងសូន្យ យន្តហោះកាត់អ័ក្សកូអរដោនេទាំងបី។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា យន្តហោះបន្តមិនកំណត់គ្រប់ទិសដៅ ហើយយើងមានឱកាសពណ៌នាតែផ្នែករបស់វាប៉ុណ្ណោះ។

ពិចារណាសមីការសាមញ្ញបំផុតនៃយន្តហោះ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីសមីការនេះ? គិតអំពីវា៖ “Z” ជានិច្ច សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ “X” និង “Y” គឺស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោនេ "ដើម" ។ ជាការពិត សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ ពីកន្លែងដែលវាអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាយើងមិនខ្វល់ តើតម្លៃ "x" និង "y" យកវាសំខាន់ដែល "z" ស្មើនឹងសូន្យ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
គឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ ;
គឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ។

ចូរធ្វើឱ្យបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្តិច ពិចារណាលើយន្តហោះមួយ (នៅទីនេះ និងបន្ថែមទៀតនៅក្នុងកថាខណ្ឌ យើងសន្មត់ថាមេគុណលេខមិនស្មើនឹងសូន្យ)។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖ . យល់យ៉ាងណាដែរ? "X" គឺតែងតែសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "y" និង "z" គឺស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។ យន្តហោះនេះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ។ ឧទាហរណ៍ យន្តហោះមួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ។

បន្ថែមសមាជិក៖ . សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖ មានន័យថា "Z" អាចជាអ្វីក៏បាន។ តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? "X" និង "y" ត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយសមាមាត្រដែលគូរបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ (អ្នកនឹងទទួលស្គាល់ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ?) ដោយសារ Z អាចជាអ្វីក៏បាន បន្ទាត់នេះត្រូវបាន "ចម្លង" នៅកម្ពស់ណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការ​កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​កូអរដោណេ

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសូន្យ នោះយន្តហោះនឹងឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់តាមអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍បុរាណ "សមាមាត្រដោយផ្ទាល់": ។ គូរបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ ហើយគុណវាឡើងលើចុះក្រោម (ចាប់តាំងពី "z" គឺណាមួយ) ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ យន្តហោះដែលផ្តល់ដោយសមីការឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ។

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញ: សមីការនៃយន្តហោះ ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការប្រសើរណាស់ នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចបំពេញសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ហើយទីបំផុតករណីដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងគំនូរ៖ - យន្តហោះគឺជាមិត្តជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងអស់ ខណៈពេលដែលវាតែងតែ "កាត់ចេញ" ត្រីកោណដែលអាចមានទីតាំងនៅក្នុង octants ណាមួយក្នុងចំណោមប្រាំបី។

វិសមភាពលីនេអ៊ែរក្នុងលំហ

ដើម្បីស្វែងយល់ពីព័ត៌មាន ចាំបាច់ត្រូវសិក្សាឱ្យបានល្អ។ វិសមភាពលីនេអ៊ែរនៅក្នុងយន្តហោះដោយសារតែរឿងជាច្រើននឹងស្រដៀងគ្នា។ កថាខណ្ឌនេះនឹងមានទិដ្ឋភាពសង្ខេបជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយចំនួន ដោយសារសម្ភារៈគឺកម្រមានណាស់ក្នុងការអនុវត្ត។

ប្រសិនបើសមីការកំណត់ប្លង់មួយ នោះវិសមភាព
សួរ ចន្លោះពាក់កណ្តាល. ប្រសិនបើវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹង (ពីរចុងក្រោយក្នុងបញ្ជី) នោះដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព បន្ថែមពីលើលំហពាក់កណ្តាល រួមមានយន្តហោះខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ .

ដំណោះស្រាយ៖ វ៉ិចទ័រឯកតាគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងមួយ។ ចូរសម្គាល់វ៉ិចទ័រនេះដោយ . វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា៖

ដំបូងយើងដកវ៉ិចទ័រធម្មតាចេញពីសមីការនៃយន្តហោះ៖ .

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រឯកតា? ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតាអ្នកត្រូវការ រាល់កូអរដោណេវ៉ិចទ័របែងចែកដោយប្រវែងវ៉ិចទ័រ.

ចូរយើងសរសេរវ៉ិចទ័រធម្មតាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ហើយស្វែងរកប្រវែងរបស់វា៖

នេះ​បើ​តាម​ការ​បញ្ជាក់​ខាង​លើ៖

ចម្លើយ:

ពិនិត្យ៖ ដែលត្រូវពិនិត្យ។

អ្នកអានដែលបានសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃមេរៀន ប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ឃើញ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាគឺពិតជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ:

តោះស្វែងយល់ពីបញ្ហាដែលបែកធ្លាយ៖ នៅពេលអ្នកត្រូវបានផ្តល់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យតាមអំពើចិត្តហើយតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសដៅរបស់វា (សូមមើលកិច្ចការចុងក្រោយនៃមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ) តាមការពិត អ្នកក៏ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា collinear ទៅលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមពិត កិច្ចការពីរក្នុងដបតែមួយ។

តម្រូវការក្នុងការស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាមួយឯកតាកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

យើងបានរកឃើញការនេសាទនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាឥឡូវនេះយើងនឹងឆ្លើយសំណួរផ្ទុយគ្នា:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

សំណង់រឹងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងចំណុចមួយត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ដោយគោលដៅព្រួញ។ សូមលាតដៃរបស់អ្នកទៅមុខ ហើយជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានក្នុងលំហដោយគិតពិចារណា ឧទាហរណ៍ ឆ្មាតូចមួយនៅក្នុងក្តារចំហៀង។ ជាក់ស្តែង តាមរយៈចំណុចនេះ អ្នកអាចគូរប្លង់តែមួយកាត់កែងទៅនឹងដៃរបស់អ្នក។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា (ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រ ចំណុចពីរ និងវ៉ិចទ័រ បីចំណុច។ល។)។ វាគឺជាមួយនឹងរឿងនេះនៅក្នុងចិត្តថាសមីការនៃយន្តហោះអាចមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ដូចគ្នានេះផងដែរនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ យន្តហោះអាចស្របគ្នា កាត់កែង ប្រសព្វ។ល។ យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបសរសេរសមីការទូទៅនៃយន្តហោះហើយមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់ធម្មតានៃសមីការ

ឧបមាថាមានចន្លោះ R 3 ដែលមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ XYZ ។ យើងកំណត់វ៉ិចទ័រ α ដែលនឹងត្រូវបានបញ្ចេញចេញពីចំណុចដំបូង O. តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ α យើងគូរប្លង់ P ដែលនឹងត្រូវកាត់កែងទៅវា។

សម្គាល់ដោយ P ចំណុចបំពាន Q = (x, y, z) ។ យើងនឹងចុះហត្ថលេខាលើវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q ដោយអក្សរ p ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ α គឺ p=IαI និង Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)។

នេះគឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលចង្អុលទៅចំហៀង ដូចវ៉ិចទ័រ α ដែរ។ α, β និង γ គឺជាមុំដែលបង្កើតរវាងវ៉ិចទ័រ Ʋ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សលំហ x, y, z រៀងគ្នា។ ការព្យាករនៃចំណុចមួយចំនួន QϵП ទៅលើវ៉ិចទ័រ Ʋ គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង р: (р,Ʋ) = р(р≥0) ។

សមីការនេះមានន័យនៅពេល p=0 ។ រឿងតែមួយគត់គឺថាយន្តហោះ P ក្នុងករណីនេះនឹងកាត់ចំនុច O (α=0) ដែលជាប្រភពដើម ហើយវ៉ិចទ័រឯកតា Ʋ ដែលបញ្ចេញចេញពីចំណុច O នឹងកាត់កែងទៅ P ដោយមិនគិតពីទិសដៅរបស់វាឡើយ។ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានកំណត់ពីសញ្ញា - ភាពត្រឹមត្រូវ។ សមីការមុនគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ P របស់យើង ដែលបង្ហាញជាទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកូអរដោនេវានឹងមើលទៅដូចនេះ:

P នៅទីនេះធំជាង ឬស្មើ 0។ យើងបានរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់វា។

សមីការទូទៅ

ប្រសិនបើយើងគុណសមីការក្នុងកូអរដោណេដោយលេខណាមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលកំណត់ប្លង់ដូចគ្នានោះ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺជាលេខដែលខុសគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីសូន្យ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះទូទៅ។

សមីការយន្តហោះ។ ករណីពិសេស

សមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចត្រូវបានកែប្រែនៅក្នុងវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេខ្លះ។

សន្មតថាមេគុណ A គឺ 0 ។ នេះមានន័យថាយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Ox ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ ទម្រង់សមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរ៖ Ву+Cz+D=0។

ដូចគ្នានេះដែរ ទម្រង់នៃសមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

• ទីមួយ ប្រសិនបើ B = 0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅជា Ax + Cz + D = 0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។
• ទីពីរ ប្រសិនបើ С=0 នោះសមីការត្រូវបានបំលែងទៅជា Ах+Ву+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យ Oz ។
• ទីបី ប្រសិនបើ D=0 សមីការនឹងមើលទៅដូច Ax+By+Cz=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះប្រសព្វ O (ប្រភពដើម)។
• ទីបួន ប្រសិនបើ A=B=0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅ Cz+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញថាស្របទៅនឹង Oxy ។
• ទីប្រាំ ប្រសិនបើ B=C=0 នោះសមីការក្លាយជា Ax+D=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះទៅ Oyz គឺស្របគ្នា។
• ទីប្រាំមួយ ប្រសិនបើ A=C=0 នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ Ву+D=0 នោះគឺវានឹងរាយការណ៍ពីភាពស្របទៅ Oxz ។

ប្រភេទនៃសមីការនៅក្នុងផ្នែក

ក្នុងករណីដែលលេខ A, B, C, D មិនមែនជាសូន្យ ទម្រង់សមីការ (0) អាចមានដូចខាងក្រោម៖

x/a + y/b + z/c = 1,

ដែលក្នុងនោះ \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C ។

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ថា យន្តហោះ​នេះ​នឹង​កាត់​អ័ក្ស​អុក​នៅ​ចំណុច​មួយ​ជាមួយ​កូអរដោណេ (a,0,0), Oy - (0,b,0) និង Oz - (0,0,c) .

ដោយគិតគូរពីសមីការ x/a + y/b + z/c = 1 វាងាយស្រួលក្នុងការតំណាងឱ្យទីតាំងរបស់យន្តហោះដោយមើលឃើញទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅយន្តហោះ P មានកូអរដោណេដែលជាមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺ n (A, B, C)

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃ n ធម្មតា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលប្រើសមីការក្នុងផ្នែកដែលមានទម្រង់ x/a + y/b + z/c = 1 ក៏ដូចជានៅពេលប្រើសមីការទូទៅ គេអាចសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាណាមួយនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ (1 /a + 1/b + 1/ ជាមួយ) ។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រធម្មតាជួយដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ ទូទៅបំផុតគឺភារកិច្ចដែលមាននៅក្នុងការបញ្ជាក់កាត់កែងឬប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះ បញ្ហាក្នុងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ ឬមុំរវាងយន្តហោះនិងបន្ទាត់។

ទិដ្ឋភាពនៃសមីការនៃយន្តហោះយោងទៅតាមកូអរដោនេនៃចំនុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ n កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា (ធម្មតា) សម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧបមាថានៅក្នុងចន្លោះកូអរដោណេ (ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) Oxyz ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

• ចំណុច Mₒ ជាមួយកូអរដោនេ (xₒ, yₒ, zₒ);
• វ៉ិចទ័រសូន្យ n=A*i+B*j+C*k។

វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុច Mₒ កាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា។

នៅក្នុងលំហ យើងជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានណាមួយ ហើយកំណត់វាដោយ M (x y, z) ។ ទុកវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចណាមួយ M (x, y, z) ជា r=x*i+y*j+z*k ហើយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k។ ចំនុច M នឹង​ជា​របស់​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ MₒM កាត់​កែង​ទៅនឹង​វ៉ិចទ័រ n ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ orthogonality ដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

[MₒM, n] = 0 ។

ចាប់តាំងពី MₒM \u003d r-rₒ សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

សមីការនេះអាចមានទម្រង់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានប្រើ ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបំលែង។ = - ។ ប្រសិនបើតំណាងថាជា c នោះសមីការខាងក្រោមនឹងត្រូវបានទទួល៖ - c \u003d 0 ឬ \u003d c ដែលបង្ហាញពីភាពជាប់លាប់នៃការព្យាករលើវ៉ិចទ័រធម្មតានៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជារបស់យន្តហោះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចទទួលបានទម្រង់កូអរដោនេនៃការសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះរបស់យើង = 0។ ចាប់តាំងពី r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, និង n = A*i+B*j+C*k យើងមាន៖

វាប្រែថាយើងមានសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា៖

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0។

ទិដ្ឋភាព​នៃ​សមីការ​យន្តហោះ​ដោយ​យោង​តាម​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​ពីរ​និង​វ៉ិចទ័រ​ដែល​ជាប់​នឹង​យន្តហោះ

យើងកំណត់ចំណុចបំពានពីរ M′ (x′,y′,z′) និង M″ (x″,y″,z″) ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រ a (a′,a″,a‴)។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមាន M′ និង M″ ក៏ដូចជាចំណុច M ដែលមានកូអរដោណេ (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។

ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) និង M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ត្រូវតែជា coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រ a=(a′,a″,a‴) ដែលមានន័យថា (M′M, M″M, a)=0។

ដូច្នេះ សមីការ​របស់​យើង​នៃ​យន្តហោះ​ក្នុង​លំហ​នឹង​មាន​លក្ខណៈ​ដូច​នេះ៖

ប្រភេទនៃសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាបីចំណុច

ឧបមាថាយើងមានបីចំនុច៖ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្ដីធរណីមាត្របានអះអាងថា យន្តហោះប្រភេទនេះពិតជាមានមែន មានតែវាតែមួយគត់ និងមិនអាចចម្លងបាន។ ដោយសារយន្តហោះនេះប្រសព្វចំនុច (x′,y′,z′) ទម្រង់សមីការរបស់វានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺខុសគ្នាពីសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់ចំនុចពីរបន្ថែមទៀត៖ (x″,y″,z″) និង (x‴,y‴,z‴)។ ក្នុងន័យនេះ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមួយមិនស្គាល់ u, v, w:

ក្នុងករណីរបស់យើង x, y ឬ z គឺជាចំណុចបំពានដែលបំពេញសមីការ (1) ។ ដោយគិតគូរពីសមីការ (1) និងប្រព័ន្ធសមីការ (2) និង (3) ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ បំពេញវ៉ិចទ័រ N (A, B, C) ដែលមិនមែនជារឿងតូចតាច។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការ (១) ដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ។ វាឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈ 3 ពិន្ទុហើយនេះងាយស្រួលពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវពង្រីកកត្តាកំណត់របស់យើងលើធាតុនៅក្នុងជួរទីមួយ។ វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានស្រាប់នៃកត្តាកំណត់ដែលយន្តហោះរបស់យើងប្រសព្វគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាបីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង (x′, y′, z′), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) . នោះគឺយើងបានដោះស្រាយភារកិច្ចដែលបានកំណត់នៅចំពោះមុខយើង។

មុំ Dihedral រវាងយន្តហោះ

មុំ dihedral គឺជាតួលេខធរណីមាត្រលំហដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតនេះគឺជាផ្នែកនៃលំហដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងនេះ។

ឧបមាថាយើងមានយន្តហោះពីរដែលមានសមីការដូចខាងក្រោមៈ

យើងដឹងថា វ៉ិចទ័រ N=(A,B,C) និង N¹=(A¹,B¹,C¹) កាត់កែងគ្នាតាមប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងន័យនេះ មុំ φ រវាងវ៉ិចទ័រ N និង N¹ គឺស្មើនឹងមុំ (ឌីអេដ្រាល) ដែលស្ថិតនៅចន្លោះប្លង់ទាំងនេះ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានមានទម្រង់៖

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ច្បាស់ណាស់ដោយសារតែ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))។

វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា 0≤φ≤π។

តាម​ពិត យន្តហោះ​ពីរ​ដែល​ប្រសព្វ​គ្នា​បង្កើត​ជា​មុំ​ពីរ (dihedral)៖ φ 1 និង φ 2 ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង π (φ 1 + φ 2 = π) ។ ចំណែក​កូស៊ីនុស​វិញ តម្លៃ​ដាច់ខាត​របស់​វា​ស្មើគ្នា ប៉ុន្តែ​វា​ខុសគ្នា​តាម​សញ្ញា ពោល​គឺ cos φ 1 =-cos φ 2 ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (0) យើងជំនួស A, B និង C ដោយលេខ -A, -B និង -C រៀងគ្នា បន្ទាប់មកសមីការដែលយើងទទួលបាននឹងកំណត់ប្លង់ដូចគ្នា មុំតែមួយគត់φក្នុងសមីការ cos φ= NN 1 /|N||N ១| នឹងត្រូវបានជំនួសដោយ π-φ ។

សមីការ​យន្តហោះ​កាត់​កែង

ប្លង់ត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺ 90 ដឺក្រេ។ ដោយប្រើសម្ភារៈដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ យើងអាចរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះកាត់កែងទៅមួយទៀត។ ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះពីរ៖ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D=0។ យើងអាចបញ្ជាក់ថាពួកវានឹងកាត់កែងប្រសិនបើ cosφ=0 ។ នេះមានន័យថា NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0។

សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល

ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាប្លង់ពីរដែលមិនមានចំណុចរួម។

លក្ខខណ្ឌ (សមីការរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌមុន) គឺថា វ៉ិចទ័រ N និង N¹ ដែលកាត់កែងទៅនឹងពួកវាគឺជាប់គ្នា។ នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌនៃសមាមាត្រខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

A/A¹=B/B¹=C/C¹។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌសមាមាត្រត្រូវបានពង្រីក - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

នេះបង្ហាញថាយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាសមីការ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ពិពណ៌នាអំពីយន្តហោះមួយ។

ចម្ងាយទៅយន្តហោះពីចំណុច

ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះ P ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (0) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយទៅវាពីចំណុចដោយកូអរដោណេ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវនាំយកសមីការនៃយន្តហោះ P ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

(ρ,v)=p (p≥0)។

ក្នុងករណីនេះ ρ(x,y,z) គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q របស់យើង ដែលមានទីតាំងនៅ P, p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែង P ដែលត្រូវបានបញ្ចេញចេញពីចំនុចសូន្យ v ជាវ៉ិចទ័រឯកតា ដែលជា ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅមួយ។

ភាពខុសគ្នា ρ-ρº នៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចមួយចំនួន Q \u003d (x, y, z) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ P ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) គឺបែបនេះ។ វ៉ិចទ័រ តម្លៃដាច់ខាតនៃការព្យាករដែលនៅលើ v គឺស្មើនឹងចម្ងាយ d ដែលត្រូវតែរកឃើញពី Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ទៅ P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ប៉ុន្តែ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ

d=|(ρ 0 ,v)-p|។

ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោមលទ្ធផល នោះគឺ ឃ ដែលចង់បាន។

ដោយប្រើភាសានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រយើងទទួលបានជាក់ស្តែង:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)។

ប្រសិនបើចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 គឺនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃយន្តហោះ P ក៏ដូចជាប្រភពដើម នោះរវាងវ៉ិចទ័រ ρ-ρ 0 និង v គឺដូច្នេះ៖

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p> 0 ។

ក្នុងករណីដែលចំនុច Q 0 រួមជាមួយនឹងប្រភពដើមមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃ P បន្ទាប់មកមុំដែលបានបង្កើតគឺស្រួច នោះគឺ៖

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d ទំ - (ρ 0, v)>0 ។

ជាលទ្ធផលវាប្រែថានៅក្នុងករណីដំបូង (ρ 0 ,v)> р, នៅក្នុងករណីទីពីរ (ρ 0 ,v)<р.

យន្តហោះតង់សង់ និងសមីការរបស់វា។

យន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃនៅចំណុចតង់សង់ Mº គឺជាយន្តហោះដែលមានតង់ហ្សង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅនឹងខ្សែកោងដែលកាត់តាមចំណុចនេះលើផ្ទៃ។

ជាមួយនឹងទម្រង់នៃសមីការផ្ទៃ F (x, y, z) \u003d 0 សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នៅចំណុចតង់សង់ Mº (xº, yº, zº) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0 ។

ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ផ្ទៃក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ z=f (x, y) នោះប្លង់តង់សង់នឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)។

ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (រាងចតុកោណ) Oxyz មានទីតាំងនៅ យន្តហោះពីរ П′ និង П″ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រសព្វគ្នានិងមិនស្របគ្នា។ ដោយសារយន្តហោះណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ យើងនឹងសន្មត់ថា P′ និង P″ ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x +B″y+ С″z+D″=0។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន n′ (A′, B′, C′) ធម្មតានៃយន្តហោះ P′ និង ធម្មតា n″ (A″, B″, C″) នៃយន្តហោះ P″ ។ ដោយសារប្លង់របស់យើងមិនស្របគ្នា ហើយមិនស្របគ្នា វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនជាប់គ្នាទេ។ ដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា យើងអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះដូចខាងក្រោម៖ n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ។ សូមឱ្យបន្ទាត់ដែលនៅប្រសព្វ P′ និង P″ ត្រូវបានតាងដោយអក្សរ a ក្នុងករណីនេះ a = P′ ∩ P″ ។

a គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​មាន​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​ប្លង់ (ទូទៅ) П′ និង П″ ។ នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ត្រូវតែបំពេញសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x+B″y+C″z+D″= 0. នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំនុចនឹងជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ជាលទ្ធផលវាបង្ហាញថាដំណោះស្រាយ (ទូទៅ) នៃប្រព័ន្ធសមីការនេះនឹងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលនឹងដើរតួជាចំនុចប្រសព្វនៃ П′ និង П″ ហើយកំណត់ត្រង់។ បន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Oxyz (ចតុកោណ) ក្នុងលំហ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងមើលពីរបៀបប្រើ determinant ដើម្បីតែង សមីការយន្តហោះ. ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងថាអ្វីជាកត្តាកំណត់ សូមចូលទៅកាន់ផ្នែកដំបូងនៃមេរៀន - " ម៉ាទ្រីស និងកត្តាកំណត់»។ បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកប្រថុយនឹងការមិនយល់អ្វីទាំងអស់នៅក្នុងសម្ភារៈសព្វថ្ងៃ។

សមីការនៃយន្តហោះដោយបីពិន្ទុ

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការសមីការនៃយន្តហោះទាំងស្រុង? វាសាមញ្ញ៖ ដោយដឹងវា យើងអាចគណនាមុំ ចម្ងាយ និងល្បិចផ្សេងៗក្នុងបញ្ហា C2 បានយ៉ាងងាយស្រួល។ ជាទូទៅសមីការនេះគឺមិនអាចខ្វះបាន។ ដូច្នេះយើងបង្កើតបញ្ហា៖

កិច្ចការមួយ។ មានចំណុចបីនៅក្នុងលំហដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ កូអរដោនេរបស់ពួកគេ៖

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងបីនេះ។ ហើយសមីការគួរតែមើលទៅដូចនេះ៖

អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0

ដែលលេខ A , B , C និង D គឺជាមេគុណដែលតាមពិតអ្នកចង់ស្វែងរក។

មែនហើយតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះប្រសិនបើមានតែកូអរដោណេនៃចំនុចត្រូវបានគេដឹង? មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺជំនួសកូអរដោណេទៅក្នុងសមីការ Ax + By + Cz + D = 0។ អ្នកទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដែលងាយស្រួលដោះស្រាយ។

សិស្សជាច្រើនបានរកឃើញដំណោះស្រាយនេះគួរឱ្យធុញទ្រាន់ និងមិនគួរទុកចិត្តបំផុត។ ការ​ប្រឡង​គណិតវិទ្យា​កាល​ពី​ឆ្នាំ​មុន​បាន​បង្ហាញ​ថា ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​ការ​ធ្វើ​ឲ្យ​មាន​កំហុស​ក្នុង​ការ​គណនា​គឺ​ពិត​ជា​ខ្ពស់​ណាស់។

ដូច្នេះហើយ គ្រូដែលជឿនលឿនបំផុតបានចាប់ផ្តើមស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលសាមញ្ញ និងឆើតឆាយជាងមុន។ ហើយពួកគេបានរកឃើញវា! ពិតហើយ បច្ចេកទេសដែលទទួលបានគឺទំនងជាទាក់ទងទៅនឹងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ ដោយផ្ទាល់ ខ្ញុំត្រូវរអ៊ូរទាំតាមរយៈបញ្ជីសៀវភៅសិក្សារបស់សហព័ន្ធទាំងមូល ដើម្បីប្រាកដថា យើងមានសិទ្ធិប្រើប្រាស់បច្ចេកទេសនេះ ដោយគ្មានហេតុផល និងភស្តុតាងណាមួយឡើយ។

សមីការនៃយន្តហោះតាមរយៈកត្តាកំណត់

ល្មម​និយាយ​ហើយ​ចុះ​ទៅ​រកស៊ី។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ទ្រឹស្តីបទអំពីរបៀបដែលកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស និងសមីការនៃយន្តហោះមានទំនាក់ទំនងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ។ សូម​ឱ្យ​កូអរដោនេ​នៃ​បី​ចំណុច​ដែល​តាម​រយៈ​យន្តហោះ​ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3) ។ បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះនេះអាចត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកត្តាកំណត់:

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកគូនៃយន្តហោះដែលពិតជាកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហា C2។ សូមក្រឡេកមើលថាតើអ្វីៗទាំងអស់លឿនប៉ុណ្ណា៖

A 1 = (0, 0, 1);
ខ = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

យើងចងក្រងកត្តាកំណត់ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖

ការបើកកត្តាកំណត់៖

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលគណនាលេខ d ខ្ញុំបានកែប្រែសមីការបន្តិចដើម្បីឱ្យអថេរ x, y និង z ស្ថិតក្នុងលំដាប់ត្រឹមត្រូវ។ អស់ហើយ! សមីការនៃយន្តហោះបានត្រៀមរួចរាល់!

កិច្ចការមួយ។ សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច៖

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
ឃ 1 = (0, 1, 1);

ជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុចនៅក្នុងកត្តាកំណត់ភ្លាមៗ៖

ការពង្រីកកត្តាកំណត់ម្តងទៀត៖

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

ដូច្នេះ សមីការ​យន្តហោះ​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ម្តង​ទៀត! ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត នៅ​ជំហាន​ចុង​ក្រោយ ខ្ញុំ​ត្រូវ​ផ្លាស់​ប្តូរ​សញ្ញា​នៅ​ក្នុង​នោះ ដើម្បី​ទទួល​បាន​រូបមន្ត "ស្អាត" បន្ថែម​ទៀត។ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការធ្វើបែបនេះក្នុងដំណោះស្រាយនេះទេ ប៉ុន្តែវានៅតែត្រូវបានណែនាំ - ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនៃបញ្ហា។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញឥឡូវនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ។ យើងជំនួសពិន្ទុទៅក្នុងម៉ាទ្រីស គណនាកត្តាកំណត់ - នោះហើយជាវា សមីការគឺរួចរាល់។

នេះអាចជាចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សិស្សជាច្រើនតែងតែភ្លេចនូវអ្វីដែលមាននៅក្នុងកត្តាកំណត់។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់មួយណាមាន x 2 ឬ x 3 ហើយបន្ទាត់ណាដែលគ្រាន់តែ x ។ ដើម្បីដោះស្រាយជាចុងក្រោយ សូមតាមដានថាតើលេខនីមួយៗមកពីណា។

តើរូបមន្តដែលមានកត្តាកំណត់មកពីណា?

ដូច្នេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការដ៏អាក្រក់បែបនេះជាមួយកត្តាកំណត់មកពីណា។ វានឹងជួយអ្នកចងចាំវា ហើយអនុវត្តវាដោយជោគជ័យ។

យន្តហោះទាំងអស់ដែលកើតឡើងក្នុងបញ្ហា C2 ត្រូវបានកំណត់ដោយបីចំណុច។ ចំណុចទាំងនេះតែងតែត្រូវបានសម្គាល់នៅលើគំនូរ ឬសូម្បីតែចង្អុលបង្ហាញដោយផ្ទាល់នៅក្នុងអត្ថបទបញ្ហា។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ដើម្បីចងក្រងសមីការ យើងត្រូវសរសេរកូអរដោនេរបស់វា៖

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3) ។

ពិចារណាចំណុចមួយបន្ថែមទៀតនៅលើយន្តហោះរបស់យើងជាមួយនឹងកូអរដោណេតាមអំពើចិត្ត៖

T = (x, y, z)

យើងយកចំណុចណាមួយពីបីដំបូង (ឧទាហរណ៍ ចំណុច M) ហើយគូរវ៉ិចទ័រពីវាទៅចំនុចនីមួយៗនៃបីចំនុចដែលនៅសល់។ យើងទទួលបានវ៉ិចទ័របី៖

MN = (x 2 − x 1, y 2 − y 1, z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1, y 3 – y 1, z 3 – z 1);
MT = (x − x 1 , y - y 1 , z − z 1)។

ឥឡូវ​នេះ​យើង​បង្កើត​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ពី​វ៉ិចទ័រ​ទាំង​នេះ ហើយ​យក​កត្តា​កំណត់​ទៅ​សូន្យ។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនឹងក្លាយជាជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស - ហើយយើងនឹងទទួលបានកត្តាកំណត់ដូចគ្នាដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ៖

រូបមន្តនេះមានន័យថាបរិមាណនៃប្រអប់ដែលបានបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ MN MK និង MT គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រទាំងបីស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ។ ជាពិសេស ចំណុចបំពាន T = (x, y, z) គឺជាអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។

ការជំនួសចំនុច និងជួរនៃកត្តាកំណត់

ឧបករណ៍កំណត់មានលក្ខណៈសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យមួយចំនួនដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួល ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា C2. ជាឧទាហរណ៍ វាមិនមានបញ្ហាចំពោះយើងពីចំណុចណាដែលត្រូវគូរវ៉ិចទ័រនោះទេ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់ខាងក្រោមផ្តល់សមីការប្លង់ដូចគ្នាទៅនឹងកត្តាខាងលើ៖

អ្នកក៏អាចប្តូរបន្ទាត់នៃកត្តាកំណត់ផងដែរ។ សមីការនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ជាឧទាហរណ៍ មនុស្សជាច្រើនចូលចិត្តសរសេរបន្ទាត់ដែលមានកូអរដោនេនៃចំនុច T = (x; y; z) នៅផ្នែកខាងលើបំផុត។ សូម ប្រសិនបើវាងាយស្រួលសម្រាប់អ្នក៖

វាច្រឡំខ្លះថាបន្ទាត់មួយមានអថេរ x , y និង z ដែលមិនបាត់នៅពេលជំនួសចំណុច។ ប៉ុន្តែពួកគេមិនគួរបាត់! ដោយការជំនួសលេខទៅក្នុងកត្តាកំណត់ អ្នកគួរតែទទួលបានសំណង់ដូចខាងក្រោមៈ

បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកតាមគ្រោងការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមមេរៀន ហើយសមីការស្តង់ដារនៃយន្តហោះត្រូវបានទទួល៖

អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ គាត់គឺជាមនុស្សចុងក្រោយក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ខ្ញុំ​នឹង​ប្តូរ​បន្ទាត់​ដោយ​ចេតនា ដើម្បី​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ចម្លើយ​នឹង​ជា​សមីការ​ដូចគ្នា​នៃ​យន្តហោះ។

កិច្ចការមួយ។ សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច៖

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1) ។

ដូច្នេះយើងពិចារណា ៤ ចំណុច៖

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
ឃ 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z) ។

ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតកត្តាកំណត់ស្តង់ដារ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖

ការបើកកត្តាកំណត់៖

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

នោះហើយជាវា យើងទទួលបានចម្លើយ៖ x + y + z − 2 = 0 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងរៀបចំឡើងវិញនូវបន្ទាត់មួយចំនួននៅក្នុងការកំណត់ ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរបន្ទាត់ដែលមានអថេរ x, y, z មិននៅខាងក្រោម ប៉ុន្តែនៅខាងលើ៖

ចូរយើងពង្រីកកត្តាកំណត់លទ្ធផលម្តងទៀត៖

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

យើងទទួលបានសមីការយន្តហោះដូចគ្នា៖ x + y + z − 2 = 0 ។ ដូច្នេះ វាពិតជាមិនអាស្រ័យលើលំដាប់ជួរនោះទេ។ វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ឃើញ​ថា​សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​លំដាប់​នៃ​បន្ទាត់​នោះ​ទេ។ យើងអាចអនុវត្តការគណនាស្រដៀងគ្នា និងបង្ហាញថាសមីការនៃយន្តហោះមិនអាស្រ័យលើចំណុចដែលកូអរដោនេយើងដកពីចំណុចផ្សេងទៀតនោះទេ។

នៅក្នុងបញ្ហាដែលបានពិចារណាខាងលើ យើងបានប្រើចំណុច B 1 = (1, 0, 1) ប៉ុន្តែវាពិតជាអាចទៅរួចក្នុងការយក C = (1, 1, 0) ឬ D 1 = (0, 1, 1) ។ ជាទូទៅ ចំណុចណាមួយដែលមានកូអរដោណេដែលគេស្គាល់ ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដែលចង់បាន។