ភាពខុសគ្នានៃទម្ងន់។ ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។

ការបែកខ្ញែកអថេរចៃដន្យ- រង្វាស់នៃការរីករាលដាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ អថេរចៃដន្យនោះគឺនាង គម្លាតពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងស្ថិតិ សញ្ញាណ (sigma squared) ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីបង្ហាញពីការបែកខ្ញែក។ ឫសការ៉េនៃបំរែបំរួលស្មើនឹងត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារឬការរីករាលដាលស្តង់ដារ។ គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានវាស់ជាឯកតាដូចគ្នានឹងអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង ហើយវ៉ារ្យង់ត្រូវបានវាស់ជាការ៉េនៃឯកតានោះ។

ទោះបីជាវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការប្រើតម្លៃតែមួយ (ដូចជាមធ្យម ឬរបៀប និងមធ្យម) ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណគំរូទាំងមូល វិធីសាស្រ្តនេះអាចនាំឱ្យមានការសន្និដ្ឋានមិនត្រឹមត្រូវយ៉ាងងាយស្រួល។ ហេតុផលសម្រាប់ស្ថានភាពនេះមិនស្ថិតនៅលើតម្លៃខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការពិតដែលថាតម្លៃមួយមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីការរីករាលដាលនៃតម្លៃទិន្នន័យនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ក្នុងគំរូ៖

តម្លៃជាមធ្យមគឺ 5 ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងគំរូខ្លួនវាមិនមានធាតុតែមួយដែលមានតម្លៃ 5 ។ អ្នកប្រហែលជាត្រូវដឹងពីកម្រិតនៃភាពជិតស្និទ្ធនៃធាតុនីមួយៗក្នុងគំរូទៅនឹងតម្លៃមធ្យមរបស់វា។ ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត អ្នកនឹងត្រូវដឹងពីភាពខុសគ្នានៃតម្លៃ។ ដោយដឹងពីកម្រិតនៃការផ្លាស់ប្តូរទិន្នន័យ អ្នកអាចបកស្រាយបានកាន់តែប្រសើរ តម្លៃមធ្យម, មធ្យមនិង ម៉ូដ. កម្រិតដែលតម្លៃគំរូផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានកំណត់ដោយការគណនាវ៉ារ្យង់និងគម្លាតស្តង់ដាររបស់វា។

បំរែបំរួល និងឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់ដែលហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ កំណត់លក្ខណៈគម្លាតមធ្យមពីមធ្យមគំរូ។ ក្នុងចំណោមបរិមាណទាំងពីរនេះ សំខាន់បំផុតគឺ គម្លាតស្តង់ដារ. តម្លៃនេះអាចត្រូវបានគិតថាជាចម្ងាយមធ្យមដែលធាតុមកពីធាតុកណ្តាលនៃគំរូ។

ភាពខុសគ្នាគឺពិបាកក្នុងការបកស្រាយអត្ថន័យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ឫសការ៉េនៃតម្លៃនេះគឺជាគម្លាតស្តង់ដារ ហើយអាចបកស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល។

គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានគណនាដោយកំណត់វ៉ារ្យង់ដំបូងហើយបន្ទាប់មកយកឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អារេទិន្នន័យដែលបង្ហាញក្នុងរូប តម្លៃខាងក្រោមនឹងត្រូវបានទទួល៖

រូបភាពទី 1

នៅទីនេះតម្លៃមធ្យមនៃភាពខុសគ្នាការ៉េគឺ 717.43 ។ ដើម្បីទទួលបានគម្លាតស្តង់ដារ អ្វីទាំងអស់ដែលនៅសល់គឺត្រូវយកឬសការេនៃលេខនេះ។

លទ្ធផលនឹងមានប្រហែល 26.78 ។

សូមចងចាំថាគម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានបកស្រាយថាជាចម្ងាយមធ្យមដែលធាតុមកពីមធ្យមគំរូ។

គម្លាតស្តង់ដារវាស់វែងថាតើមធ្យមភាគពិពណ៌នាគំរូទាំងមូលបានល្អប៉ុណ្ណា។

ឧបមាថាអ្នកគឺជាប្រធានផ្នែកផលិតគ្រឿងដំឡើងកុំព្យូទ័រ។ របាយការណ៍ប្រចាំត្រីមាសបញ្ជាក់ថា ការផលិតសម្រាប់ត្រីមាសចុងក្រោយគឺ 2,500 PCs។ តើនេះល្អឬអាក្រក់? អ្នកបានសួរ (ឬមានជួរឈរនេះរួចហើយនៅក្នុងរបាយការណ៍) ដើម្បីបង្ហាញគម្លាតស្តង់ដារសម្រាប់ទិន្នន័យនេះនៅក្នុងរបាយការណ៍។ ជាឧទាហរណ៍ តួលេខគម្លាតស្តង់ដារគឺឆ្នាំ 2000។ វាច្បាស់សម្រាប់អ្នកក្នុងនាមជាប្រធាននាយកដ្ឋានថា ខ្សែសង្វាក់ផលិតកម្មតម្រូវឱ្យមានការគ្រប់គ្រងកាន់តែប្រសើរ (គម្លាតធំពេកនៅក្នុងចំនួនកុំព្យូទ័រដែលបានដំឡើង)។

សូមចាំថានៅពេលដែលគម្លាតស្តង់ដារមានទំហំធំ ទិន្នន័យត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយយ៉ាងទូលំទូលាយនៅជុំវិញមធ្យម ហើយនៅពេលដែលគម្លាតស្តង់ដារតូច ពួកវាចង្កោមនៅជិតមធ្យម។

មុខងារស្ថិតិចំនួនបួន VAR(), VAR(), STDEV() និង STDEV() ត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីគណនាបំរែបំរួល និងគម្លាតស្តង់ដារនៃលេខនៅក្នុងជួរក្រឡាមួយ។ មុនពេលអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃសំណុំទិន្នន័យ អ្នកត្រូវកំណត់ថាតើទិន្នន័យតំណាងឱ្យចំនួនប្រជាជន ឬគំរូនៃចំនួនប្រជាជន។ ក្នុងករណីគំរូពីប្រជាជនទូទៅ អ្នកគួរតែប្រើមុខងារ VAR() និង STDEV() ហើយក្នុងករណីប្រជាជនទូទៅ មុខងារ VAR() និង STDEV():

ចំនួនប្រជាជន	មុខងារ
	DISPR()
	ស្តែនដូលុនភី()
គំរូ
	DISP()
	STDEV()

ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ (ក៏ដូចជាគម្លាតស្តង់ដារ) ដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់បង្ហាញពីវិសាលភាពដែលតម្លៃដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសំណុំទិន្នន័យត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយនៅជុំវិញមធ្យមនព្វន្ធ។

តម្លៃតូចមួយនៃវ៉ារ្យង់ ឬគម្លាតស្តង់ដារបង្ហាញថាទិន្នន័យទាំងអស់ត្រូវបានប្រមូលផ្តុំជុំវិញមធ្យមនព្វន្ធ ហើយតម្លៃដ៏ធំនៃតម្លៃទាំងនេះបង្ហាញថាទិន្នន័យត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយលើជួរដ៏ធំទូលាយនៃតម្លៃ។

ការបែកខ្ញែកពិតជាពិបាកបកស្រាយអត្ថន័យណាស់ (តើតម្លៃតូចមានន័យយ៉ាងណា តម្លៃធំ?) ការសម្តែង កិច្ចការ ៣នឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វមួយ បង្ហាញអត្ថន័យនៃភាពខុសគ្នាសម្រាប់សំណុំទិន្នន័យ។

ភារកិច្ច

· លំហាត់ 1 ។

· ២.១. ផ្តល់គំនិត៖ ការបែកខ្ញែក និងគម្លាតស្តង់ដារ; ការរចនានិមិត្តសញ្ញារបស់ពួកគេសម្រាប់ដំណើរការទិន្នន័យស្ថិតិ។

· ២.២. បំពេញសន្លឹកកិច្ចការស្របតាមរូបភាពទី 1 ហើយធ្វើការគណនាចាំបាច់។

· ២.៣. ផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលប្រើក្នុងការគណនា

· ២.៤. ពន្យល់រាល់ការរចនា ( , , )

· 2.5 ។ ពន្យល់ពីអត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃគោលគំនិតនៃការបែកខ្ញែក និងគម្លាតស្តង់ដារ។

កិច្ចការទី 2 ។

១.១. ផ្តល់គំនិត៖ ប្រជាជនទូទៅ និងគំរូ; ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងអត្ថន័យនព្វន្ធរបស់ពួកគេ ការរចនានិមិត្តសញ្ញាសម្រាប់ដំណើរការទិន្នន័យស្ថិតិ។

១.២. អនុលោមតាមរូបភាពទី 2 រៀបចំសន្លឹកកិច្ចការនិងធ្វើការគណនា។

១.៣. ផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលប្រើក្នុងការគណនា (សម្រាប់ប្រជាជនទូទៅ និងគំរូ)។

រូបភាពទី 2

១.៤. ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានតម្លៃមធ្យមនព្វន្ធបែបនេះនៅក្នុងគំរូដូចជា 46.43 និង 48.78 (សូមមើលឯកសារឧបសម្ព័ន្ធ)។ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

កិច្ចការទី 3 ។

មានគំរូពីរដែលមានសំណុំទិន្នន័យខុសៗគ្នា ប៉ុន្តែជាមធ្យមសម្រាប់ពួកវានឹងដូចគ្នា៖

រូបភាពទី 3

៣.១. បំពេញសន្លឹកកិច្ចការស្របតាមរូបភាពទី 3 ហើយធ្វើការគណនាចាំបាច់។

៣.២. ផ្តល់រូបមន្តគណនាមូលដ្ឋាន។

៣.៣. សង់ក្រាហ្វដោយអនុលោមតាមរូបភាពទី 4, 5 ។

៣.៤. ពន្យល់ពីភាពអាស្រ័យដែលទទួលបាន។

៣.៥. អនុវត្តការគណនាស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ទិន្នន័យនៃគំរូពីរ។

គំរូដើម 11119999

ជ្រើសរើសតម្លៃនៃគំរូទីពីរ ដូច្នេះមធ្យមនព្វន្ធសម្រាប់គំរូទីពីរគឺដូចគ្នា ឧទាហរណ៍៖

ជ្រើសរើសតម្លៃសម្រាប់គំរូទីពីរដោយខ្លួនឯង។ រៀបចំការគណនា និងក្រាហ្វដែលស្រដៀងនឹងរូបភាពទី 3, 4, 5 ។ បង្ហាញរូបមន្តមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។

ទាញការសន្និដ្ឋានសមស្រប។

រៀបចំកិច្ចការទាំងអស់ជាទម្រង់របាយការណ៍ដែលមានរូបភាព ក្រាហ្វ រូបមន្ត និងការពន្យល់សង្ខេប។

ចំណាំ៖ ការសាងសង់ក្រាហ្វត្រូវតែពន្យល់ដោយគំនូរ និងការពន្យល់ខ្លីៗ។

ជំហាន

ការគណនាភាពខុសគ្នានៃគំរូ

1. កត់ត្រាតម្លៃគំរូ។ក្នុងករណីភាគច្រើន អ្នកស្ថិតិមានសិទ្ធិចូលទៅកាន់គំរូនៃចំនួនប្រជាជនជាក់លាក់ប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ តាមក្បួនមួយ អ្នកស្ថិតិមិនវិភាគការចំណាយលើការរក្សាចំនួនសរុបនៃរថយន្តទាំងអស់នៅក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ីទេ - ពួកគេវិភាគគំរូចៃដន្យនៃរថយន្តជាច្រើនពាន់គ្រឿង។ គំរូបែបនេះនឹងជួយកំណត់តម្លៃជាមធ្យមនៃឡាន ប៉ុន្តែទំនងជាតម្លៃលទ្ធផលនឹងនៅឆ្ងាយពីតម្លៃពិត។

   • ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងវិភាគចំនួននំដែលលក់ក្នុងហាងកាហ្វេក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃ ដោយយកតាមលំដាប់ចៃដន្យ។ គំរូមើលទៅដូចនេះ៖ 17, 15, 23, 7, 9, 13. នេះគឺជាគំរូមួយ មិនមែនជាចំនួនប្រជាជនទេ ពីព្រោះយើងមិនមានទិន្នន័យអំពីនំដែលលក់សម្រាប់ថ្ងៃនីមួយៗដែលហាងកាហ្វេបើក។
   • ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានផ្តល់ចំនួនប្រជាជនជាជាងគំរូនៃតម្លៃ សូមបន្តទៅផ្នែកបន្ទាប់។

2. សរសេររូបមន្តដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នានៃគំរូ។ការបែកខ្ញែកគឺជារង្វាស់នៃការរីករាលដាលនៃតម្លៃនៃបរិមាណជាក់លាក់មួយ។ តម្លៃវ៉ារ្យង់កាន់តែជិតដល់សូន្យ តម្លៃកាន់តែជិតត្រូវបានដាក់ជាក្រុមជាមួយគ្នា។ នៅពេលធ្វើការជាមួយគំរូនៃតម្លៃ សូមប្រើរូបមន្តខាងក្រោមដើម្បីគណនាបំរែបំរួល៖

   • s 2 (\ រចនាប័ទ្ម s ^ (2)) = ∑[(x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- x̅) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))] / (ន - ១)
   • s 2 (\ រចនាប័ទ្ម s ^ (2))- នេះគឺជាការបែកខ្ញែក។ ការបែកខ្ញែកត្រូវបានវាស់ជាឯកតាការ៉េ។
   • x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- តម្លៃនីមួយៗនៅក្នុងគំរូ។
   • x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))អ្នក​ត្រូវ​ដក x̅, ការ៉េ​វា ហើយ​បន្ទាប់​មក​បន្ថែម​លទ្ធផល។
   • x̅ – មធ្យមគំរូ (មធ្យមគំរូ)។
   • n - ចំនួននៃតម្លៃនៅក្នុងគំរូ។

3. គណនាមធ្យមគំរូ។វាត្រូវបានតំណាងថាជា x̅ ។ មធ្យមគំរូត្រូវបានគណនាជាមធ្យមនព្វន្ធសាមញ្ញ៖ បន្ថែមតម្លៃទាំងអស់ក្នុងគំរូ ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកលទ្ធផលដោយចំនួនតម្លៃក្នុងគំរូ។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង បន្ថែមតម្លៃក្នុងគំរូ៖ 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     ឥឡូវចែកលទ្ធផលដោយចំនួនតម្លៃនៅក្នុងគំរូ (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងមាន 6): 84 ÷ 6 = 14 ។
     គំរូមធ្យម x̅ = 14 ។
   • មធ្យមគំរូគឺជាតម្លៃកណ្តាលជុំវិញដែលតម្លៃនៅក្នុងគំរូត្រូវបានចែកចាយ។ ប្រសិនបើតម្លៃនៅក្នុងចង្កោមគំរូជុំវិញមធ្យមសំណាកនោះ វ៉ារ្យ៉ង់គឺតូច; បើមិនដូច្នោះទេភាពខុសគ្នាគឺធំ។

4. ដកមធ្យមគំរូពីតម្លៃនីមួយៗក្នុងគំរូ។ឥឡូវគណនាភាពខុសគ្នា x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- x̅, កន្លែងណា x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- តម្លៃនីមួយៗនៅក្នុងគំរូ។ លទ្ធផលនីមួយៗដែលទទួលបានបង្ហាញពីកម្រិតនៃគម្លាតនៃតម្លៃជាក់លាក់មួយពីមធ្យមគំរូ ពោលគឺថាតើតម្លៃនេះស្ថិតនៅចម្ងាយប៉ុន្មានពីមធ្យមគំរូ។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖
     x 1 (\ រចនាប័ទ្ម x_(1))− x = 17 − 14 = 3
     x 2 (\ រចនាប័ទ្ម x_(2))− x̅ = ១៥ − ១៤ = ១
     x 3 (\ រចនាប័ទ្ម x_(3))− x = 23 − 14 = 9
     x 4 (\ រចនាប័ទ្ម x_(4))− x̅ = 7 − 14 = −7
     x 5 (\ រចនាប័ទ្ម x_(5))− x̅ = ៩ − ១៤ = −៥
     x 6 (\ រចនាប័ទ្ម x_(6))− x̅ = 13 − 14 = −1
   • ភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យព្រោះផលបូករបស់ពួកគេគួរតែស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺទាក់ទងទៅនឹងនិយមន័យនៃមធ្យម ដោយហេតុថាតម្លៃអវិជ្ជមាន (ចម្ងាយពីមធ្យមទៅតម្លៃតូចជាង) ត្រូវបានទូទាត់ទាំងស្រុងដោយតម្លៃវិជ្ជមាន (ចម្ងាយពីមធ្យមទៅតម្លៃធំជាង)។

5. ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើផលបូកនៃភាពខុសគ្នា x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- x̅ ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ នេះមានន័យថាការប្រែប្រួលជាមធ្យមគឺតែងតែសូន្យ ដែលមិនផ្តល់គំនិតណាមួយអំពីការរីករាលដាលនៃតម្លៃនៃបរិមាណជាក់លាក់ណាមួយឡើយ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ ភាពខុសគ្នានីមួយៗការ៉េ x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- x̅ ។ វានឹងនាំឱ្យអ្នកទទួលបានតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ ដែលនឹងមិនបន្ថែមដល់ 0 ឡើយ។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖
     (x 1 (\ រចនាប័ទ្ម x_(1))- x̅) 2=3 2=9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ (x_(2)))- x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • អ្នកបានរកឃើញការ៉េនៃភាពខុសគ្នា - x̅) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗក្នុងគំរូ។

6. គណនាផលបូកនៃការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។នោះគឺរកផ្នែកនៃរូបមន្តដែលត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖ ∑[( x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- x̅) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))] នៅទីនេះសញ្ញា Σ មានន័យថាផលបូកនៃភាពខុសគ្នាការ៉េសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))នៅក្នុងគំរូ។ អ្នកបានរកឃើញភាពខុសគ្នាការ៉េរួចហើយ (x i (\displaystyle (x_(i)))- x̅) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))នៅក្នុងគំរូ; ឥឡូវនេះគ្រាន់តែបន្ថែមការ៉េទាំងនេះ។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. ចែកលទ្ធផលដោយ n - 1 ដែល n ជាចំនួននៃតម្លៃក្នុងគំរូ។មួយរយៈមុន ដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នានៃគំរូ អ្នកស្ថិតិគ្រាន់តែបែងចែកលទ្ធផលដោយ n; ក្នុង​ករណី​នេះ អ្នក​នឹង​ទទួល​បាន​មធ្យម​នៃ​បំរែបំរួល​ការ៉េ ដែល​ល្អ​សម្រាប់​ការ​ពិពណ៌នា​អំពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​គំរូ​ដែល​បាន​ផ្តល់។ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថាគំរូណាមួយគឺគ្រាន់តែជាផ្នែកតូចមួយនៃចំនួនប្រជាជននៃតម្លៃប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើអ្នកយកគំរូមួយផ្សេងទៀត ហើយអនុវត្តការគណនាដូចគ្នា អ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលផ្សេង។ ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយ ការបែងចែកដោយ n - 1 (ជាជាងគ្រាន់តែ n) ផ្តល់នូវការប៉ាន់ប្រមាណត្រឹមត្រូវជាងនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជន ដែលជាអ្វីដែលអ្នកចាប់អារម្មណ៍។ ការបែងចែកដោយ n – 1 បានក្លាយជារឿងធម្មតា ដូច្នេះវាត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាភាពខុសគ្នានៃគំរូ។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង គំរូរួមបញ្ចូលតម្លៃ 6 នោះគឺ n = 6 ។
     ភាពខុសគ្នានៃគំរូ = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. ភាពខុសគ្នារវាងភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ។ចំណាំថារូបមន្តមាននិទស្សន្ត ដូច្នេះការបែកខ្ញែកត្រូវបានវាស់ជាឯកតាការ៉េនៃតម្លៃដែលកំពុងវិភាគ។ ពេលខ្លះទំហំបែបនេះគឺពិបាកណាស់ក្នុងប្រតិបត្តិការ។ ក្នុងករណីបែបនេះ សូមប្រើគម្លាតស្តង់ដារ ដែលស្មើនឹងឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលភាពខុសគ្នានៃគំរូត្រូវបានតំណាងថាជា s 2 (\ រចនាប័ទ្ម s ^ (2))ហើយគម្លាតស្តង់ដារនៃគំរូគឺដូច s (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ s).

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង គម្លាតស្តង់ដារនៃគំរូគឺ: s = √33.2 = 5.76 ។

   ការគណនាបំរែបំរួលនៃចំនួនប្រជាជន

   1. វិភាគសំណុំនៃតម្លៃមួយចំនួន។សំណុំរួមបញ្ចូលតម្លៃទាំងអស់នៃបរិមាណដែលកំពុងពិចារណា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងសិក្សាអាយុរបស់អ្នករស់នៅតំបន់ Leningrad នោះចំនួនសរុបរួមមានអាយុរបស់អ្នកស្រុកទាំងអស់នៃតំបន់នេះ។ នៅពេលធ្វើការជាមួយចំនួនប្រជាជនវាត្រូវបានណែនាំឱ្យបង្កើតតារាងមួយហើយបញ្ចូលតម្លៃប្រជាជនទៅក្នុងវា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

      • នៅក្នុងបន្ទប់ជាក់លាក់មួយមានអាងចិញ្ចឹមត្រីចំនួន 6 ។ អាងចិញ្ចឹមត្រីនីមួយៗមានត្រីដូចខាងក្រោមៈ
        x 1 = 5 (\ displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\ displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\ displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\ displaystyle x_(6)=18)

   2. សរសេររូបមន្តដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជន។ដោយសារចំនួនប្រជាជនរួមបញ្ចូលតម្លៃទាំងអស់នៃបរិមាណជាក់លាក់មួយ រូបមន្តខាងក្រោមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃពិតប្រាកដនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជន។ ដើម្បីបែងចែកភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជនពីភាពខុសគ្នានៃគំរូ (ដែលគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មាន) អ្នកស្ថិតិប្រើអថេរផ្សេងៗ៖

      • σ 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)) = (∑(x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)))/ ន
      • σ 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))- ការបែកខ្ញែកនៃចំនួនប្រជាជន (អានថា "sigma squared") ។ ការបែកខ្ញែកត្រូវបានវាស់ជាឯកតាការ៉េ។
      • x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))- តម្លៃនីមួយៗទាំងស្រុង។
      • Σ - សញ្ញាបូក។ នោះគឺពីតម្លៃនីមួយៗ x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i))អ្នកត្រូវដក μ, ការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផល។
      • μ - ចំនួនប្រជាជន។
      • n - ចំនួននៃតម្លៃនៅក្នុងចំនួនប្រជាជន។

   3. គណនាចំនួនប្រជាជនជាមធ្យម។នៅពេលធ្វើការជាមួយប្រជាជន មធ្យមរបស់វាត្រូវបានតំណាងថាជា μ (mu) ។ មធ្យមភាគប្រជាជនត្រូវបានគណនាជាមធ្យមនព្វន្ធសាមញ្ញ៖ បន្ថែមតម្លៃទាំងអស់នៅក្នុងចំនួនប្រជាជន ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកលទ្ធផលដោយចំនួននៃតម្លៃនៅក្នុងចំនួនប្រជាជន។

      • សូមចងចាំថា មធ្យមភាគមិនតែងតែត្រូវបានគណនាជាមធ្យមនព្វន្ធទេ។
      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងចំនួនប្រជាជនមានន័យថា: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. ដកចំនួនប្រជាជន ពីតម្លៃនីមួយៗក្នុងចំនួនប្រជាជន។តម្លៃនៃភាពខុសគ្នាកាន់តែជិតដល់សូន្យ តម្លៃជាក់លាក់គឺជិតដល់ចំនួនប្រជាជន។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនីមួយៗក្នុងចំនួនប្រជាជន និងមធ្យមរបស់វា ហើយអ្នកនឹងទទួលបានគំនិតដំបូងនៃការបែងចែកតម្លៃ។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖
        x 1 (\ រចនាប័ទ្ម x_(1))− μ = 5 − 10.5 = −5.5
        x 2 (\ រចនាប័ទ្ម x_(2))− μ = 5 − 10.5 = −5.5
        x 3 (\ រចនាប័ទ្ម x_(3))− μ = 8 − 10.5 = −2.5
        x 4 (\ រចនាប័ទ្ម x_(4))- μ = 12 − 10.5 = 1.5
        x 5 (\ រចនាប័ទ្ម x_(5))- μ = 15 − 10.5 = 4.5
        x 6 (\ រចនាប័ទ្ម x_(6))- μ = 18 − 10.5 = 7.5

   5. ការ៉េលទ្ធផលនីមួយៗដែលទទួលបាន។តម្លៃនៃភាពខុសគ្នានឹងមានទាំងវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន; ប្រសិនបើតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគូសនៅលើបន្ទាត់លេខ ពួកគេនឹងកុហកនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃចំនួនប្រជាជនមានន័យថា។ នេះមិនល្អសម្រាប់ការគណនាបំរែបំរួលទេ ពីព្រោះចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះការេភាពខុសគ្នានីមួយៗដើម្បីទទួលបានលេខវិជ្ជមានទាំងស្រុង។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖
        (x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))សម្រាប់តម្លៃប្រជាជននីមួយៗ (ពី i = 1 ដល់ i = 6):
        (-5,5)2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)), កន្លែងណា x n (\displaystyle x_(n))- តម្លៃចុងក្រោយនៅក្នុងចំនួនប្រជាជន។
      • ដើម្បីគណនាតម្លៃមធ្យមនៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន អ្នកត្រូវរកផលបូករបស់វា ហើយចែកវាដោយ n:(( x 1 (\ រចនាប័ទ្ម x_(1)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)) + (x 2 (\ រចនាប័ទ្ម x_(2)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2)))/ ន
      • ឥឡូវនេះ ចូរយើងសរសេរការពន្យល់ខាងលើដោយប្រើអថេរ៖ (∑( x i (\ រចនាប័ទ្ម x_(i)) - μ) 2 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម ^(2))) / n និងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាភាពប្រែប្រួលចំនួនប្រជាជន។

វ៉ារ្យង់គឺជារង្វាស់នៃការបែកខ្ញែកដែលពិពណ៌នាអំពីគម្លាតប្រៀបធៀបរវាងតម្លៃទិន្នន័យ និងមធ្យម។ វាគឺជារង្វាស់នៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយដែលប្រើច្រើនបំផុតក្នុងស្ថិតិ គណនាដោយការបូកសរុប និងការវាស់វែងគម្លាតនៃតម្លៃទិន្នន័យនីមួយៗពីមធ្យម។ រូបមន្តសម្រាប់គណនាបំរែបំរួលត្រូវបានផ្តល់ជូនខាងក្រោម៖

s 2 - ភាពខុសគ្នានៃគំរូ;

x av - មធ្យោបាយគំរូ;

ន — ទំហំគំរូ (ចំនួនតម្លៃទិន្នន័យ),

(x i – x avg) គឺជាគម្លាតពីតម្លៃមធ្យមសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃសំណុំទិន្នន័យ។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីរូបមន្ត សូមមើលឧទាហរណ៍មួយ។ ខ្ញុំ​ពិត​ជា​មិន​ចូល​ចិត្ត​ធ្វើ​ម្ហូប ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​កម្រ​ធ្វើ​វា​ណាស់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យស្រេកឃ្លាន ពីពេលមួយទៅមួយពេលខ្ញុំត្រូវទៅចង្ក្រាន ដើម្បីអនុវត្តផែនការធ្វើឱ្យរាងកាយរបស់ខ្ញុំឆ្អែតជាមួយនឹងប្រូតេអ៊ីន ខ្លាញ់ និងកាបូអ៊ីដ្រាត។ សំណុំទិន្នន័យខាងក្រោមបង្ហាញពីចំនួនដងដែល Renat ចំអិនរៀងរាល់ខែ៖

ជំហានដំបូងក្នុងការគណនាបំរែបំរួលគឺដើម្បីកំណត់មធ្យមគំរូ ដែលក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងគឺ 7.8 ដងក្នុងមួយខែ។ ការគណនាដែលនៅសល់អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យកាន់តែងាយស្រួលដោយប្រើតារាងខាងក្រោម។

ដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការគណនាបំរែបំរួលមើលទៅដូចនេះ៖

សម្រាប់អ្នកដែលចូលចិត្តធ្វើការគណនាទាំងអស់ក្នុងពេលតែមួយ សមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តរាប់ឆៅ (ឧទាហរណ៍ចម្អិនអាហារ)

មានវិធីដែលមានប្រសិទ្ធភាពជាងមុនក្នុងការគណនាបំរែបំរួល ដែលគេស្គាល់ថាជាវិធីសាស្ត្ររាប់ឆៅ។ ទោះបីជាសមីការអាចហាក់ដូចជាពិបាកបន្តិចនៅ glance ដំបូងក៏ដោយ វាពិតជាមិនគួរឱ្យខ្លាចនោះទេ។ អ្នក​អាច​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​អំពី​ចំណុច​នេះ ហើយ​បន្ទាប់​មក​សម្រេច​ចិត្ត​ថា​វិធីសាស្ត្រ​មួយ​ណា​ដែល​អ្នក​ពេញ​ចិត្ត​បំផុត។

គឺជាផលបូកនៃតម្លៃទិន្នន័យនីមួយៗបន្ទាប់ពី squaring,

គឺជាការ៉េនៃផលបូកនៃតម្លៃទិន្នន័យទាំងអស់។

កុំបាត់បង់គំនិតរបស់អ្នកឥឡូវនេះ។ ចូរយើងដាក់ទាំងអស់នេះទៅក្នុងតារាងមួយ ហើយអ្នកនឹងឃើញថាមានការគណនាតិចជាងនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលទ្ធផលគឺដូចគ្នានឹងពេលប្រើវិធីមុនដែរ។ គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះក្លាយជាជាក់ស្តែងនៅពេលដែលទំហំគំរូ (n) កើនឡើង។

ការគណនាបំរែបំរួលក្នុង Excel

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាទាយរួចហើយ Excel មានរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាភាពខុសគ្នា។ លើសពីនេះទៅទៀត ចាប់ផ្តើមជាមួយ Excel 2010 អ្នកអាចរកឃើញ 4 ប្រភេទនៃរូបមន្តបំរែបំរួល:

1) VARIANCE.V – ត្រឡប់ភាពប្រែប្រួលនៃគំរូ។ តម្លៃ Boolean និងអត្ថបទមិនត្រូវបានអើពើ។

2) DISP.G - ត្រឡប់ភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជន។ តម្លៃ Boolean និងអត្ថបទមិនត្រូវបានអើពើ។

3) VARIANCE - ត្រឡប់ភាពខុសគ្នានៃគំរូដោយគិតគូរពីតម្លៃ Boolean និងតម្លៃអត្ថបទ។

4) VARIANCE - ត្រឡប់ភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជន ដោយគិតគូរពីតម្លៃឡូជីខល និងតម្លៃអត្ថបទ។

ជាដំបូង ចូរយើងយល់ពីភាពខុសគ្នារវាងគំរូ និងចំនួនប្រជាជន។ គោលបំណងនៃស្ថិតិពិពណ៌នាគឺដើម្បីសង្ខេប ឬបង្ហាញទិន្នន័យ ដូច្នេះអ្នកទទួលបានរូបភាពធំយ៉ាងឆាប់រហ័ស ដែលជាទិដ្ឋភាពទូទៅដូច្នេះដើម្បីនិយាយ។ ការសន្និដ្ឋានស្ថិតិអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីចំនួនប្រជាជនដោយផ្អែកលើគំរូទិន្នន័យពីចំនួនប្រជាជននោះ។ ចំនួនប្រជាជនតំណាងឱ្យលទ្ធផលដែលអាចកើតមាន ឬការវាស់វែងដែលយើងចាប់អារម្មណ៍។ គំរូគឺជាក្រុមរងនៃចំនួនប្រជាជន។

ជាឧទាហរណ៍ យើងចាប់អារម្មណ៍លើក្រុមនិស្សិតមកពីសាកលវិទ្យាល័យមួយរបស់រុស្ស៊ី ហើយយើងត្រូវកំណត់ពិន្ទុមធ្យមរបស់ក្រុម។ យើង​អាច​គណនា​លទ្ធផល​មធ្យម​របស់​សិស្ស ហើយ​បន្ទាប់​មក​តួលេខ​លទ្ធផល​នឹង​ជា​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ព្រោះ​ចំនួន​ប្រជាជន​ទាំងមូល​នឹង​ជាប់​ពាក់ព័ន្ធ​នឹង​ការ​គណនា​របស់​យើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងចង់គណនា GPA របស់សិស្សទាំងអស់នៅក្នុងប្រទេសរបស់យើង ក្រុមនេះនឹងក្លាយជាគំរូរបស់យើង។

ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តសម្រាប់គណនាភាពខុសគ្នារវាងគំរូ និងចំនួនប្រជាជនគឺជាភាគបែង។ កន្លែងណាសម្រាប់គំរូវានឹងស្មើនឹង (n-1) ហើយសម្រាប់ប្រជាជនទូទៅមានតែ n ។

ឥឡូវនេះសូមមើលមុខងារសម្រាប់គណនាបំរែបំរួលជាមួយនឹងការបញ្ចប់ ក the description of which states that text and logical values ​​are taken into account in the calculation. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលគណនាបំរែបំរួលនៃសំណុំទិន្នន័យជាក់លាក់ដែលតម្លៃមិនមែនជាលេខកើតឡើង Excel នឹងបកស្រាយអត្ថបទ និងតម្លៃប៊ូលីនមិនពិតស្មើនឹង 0 ហើយតម្លៃប៊ូលីនពិតស្មើនឹង 1។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកមានអារេទិន្នន័យ ការគណនាវ៉ារ្យ៉ង់របស់វានឹងមិនពិបាកទេដោយប្រើមុខងារ Excel ដែលបានរាយខាងលើ។

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងស្ថិតិ នៅពេលវិភាគបាតុភូត ឬដំណើរការ ចាំបាច់ត្រូវគិតគូរមិនត្រឹមតែព័ត៌មានអំពីកម្រិតមធ្យមនៃសូចនាករដែលកំពុងសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានផងដែរ។ ខ្ចាត់ខ្ចាយ ឬបំរែបំរួលតម្លៃនៃឯកតានីមួយៗ ដែលជាលក្ខណៈសំខាន់នៃចំនួនប្រជាជនដែលកំពុងសិក្សា។

ប្រធានបទនៃការប្រែប្រួលភាគច្រើនគឺតម្លៃភាគហ៊ុន ការផ្គត់ផ្គង់ និងតម្រូវការ និងអត្រាការប្រាក់ក្នុងរយៈពេលខុសៗគ្នា និងនៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា។

សូចនាករសំខាន់ៗដែលកំណត់លក្ខណៈនៃការប្រែប្រួល , គឺជាជួរ, ការបែកខ្ញែក, គម្លាតស្តង់ដារ និងមេគុណបំរែបំរួល។

ជួរនៃការប្រែប្រួល តំណាងឱ្យភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃលក្ខណៈ៖ R = Xmax - Xmin. គុណវិបត្តិនៃសូចនាករនេះគឺថាវាវាយតម្លៃតែព្រំដែននៃការប្រែប្រួលនៃលក្ខណៈមួយ ហើយមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីភាពប្រែប្រួលរបស់វានៅក្នុងព្រំដែនទាំងនេះទេ។

ការបែកខ្ញែក ខ្វះចំណុចខ្វះខាតនេះ។ វាត្រូវបានគណនាជាការ៉េមធ្យមនៃគម្លាតនៃតម្លៃលក្ខណៈពីតម្លៃមធ្យមរបស់ពួកគេ៖

វិធីសាមញ្ញដើម្បីគណនាបំរែបំរួល អនុវត្តដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម (សាមញ្ញនិងទម្ងន់)៖

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងកិច្ចការទី 1 និងទី 2 ។

សូចនាករដែលប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្តគឺ គម្លាតស្តង់ដារ :

គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានកំណត់ជាឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់ ហើយមានវិមាត្រដូចគ្នានឹងលក្ខណៈដែលកំពុងសិក្សា។

សូចនាករដែលបានពិចារណាអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានតម្លៃដាច់ខាតនៃការប្រែប្រួល, i.e. វាយតម្លៃវាជាឯកតានៃការវាស់វែងនៃលក្ខណៈដែលកំពុងសិក្សា។ មិនដូចពួកគេទេ មេគុណនៃបំរែបំរួល វាស់ភាពប្រែប្រួលនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលទាក់ទង - ទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតមធ្យម ដែលក្នុងករណីជាច្រើនគឺល្អជាង។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណបំរែបំរួល។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "សូចនាករនៃការប្រែប្រួលនៅក្នុងស្ថិតិ"

បញ្ហា 1 . នៅពេលសិក្សាពីឥទ្ធិពលនៃការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មលើទំហំនៃប្រាក់បញ្ញើប្រចាំខែជាមធ្យមនៅក្នុងធនាគារក្នុងតំបន់ ធនាគារចំនួន 2 ត្រូវបានពិនិត្យ។ លទ្ធផលខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖

កំណត់៖
1) សម្រាប់ធនាគារនីមួយៗ៖ ក) ប្រាក់បញ្ញើជាមធ្យមក្នុងមួយខែ; ខ) ការចែកចាយវិភាគទាន;
2) ប្រាក់បញ្ញើប្រចាំខែជាមធ្យមសម្រាប់ធនាគារពីររួមគ្នា;
3) ភាពខុសគ្នានៃការដាក់ប្រាក់សម្រាប់ធនាគារចំនួន 2 អាស្រ័យលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម។
4) ភាពខុសគ្នានៃការដាក់ប្រាក់សម្រាប់ធនាគារចំនួន 2 អាស្រ័យលើកត្តាទាំងអស់ លើកលែងតែការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម។
5) ភាពខុសគ្នាសរុបដោយប្រើច្បាប់បន្ថែម;
6) មេគុណនៃការកំណត់;
7) ទំនាក់ទំនងទំនាក់ទំនង។

ដំណោះស្រាយ

1) ចូរយើងបង្កើតតារាងគណនាសម្រាប់ធនាគារជាមួយនឹងការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម . ដើម្បីកំណត់ប្រាក់បញ្ញើប្រចាំខែជាមធ្យម យើងនឹងរកឃើញចំណុចកណ្តាលនៃចន្លោះពេល។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃនៃចន្លោះពេលបើក (ទីមួយ) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃចន្លោះពេលនៅជិតវា (ទីពីរ)។

យើង​នឹង​រក​ឃើញ​ទំហំ​ប្រាក់​បញ្ញើ​មធ្យម​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​មធ្យម​នព្វន្ធ​ទម្ងន់៖

29,000/50 = 580 ជូត។

យើងរកឃើញភាពខុសគ្នានៃការរួមចំណែកដោយប្រើរូបមន្ត៖

23 400/50 = 468

យើងនឹងអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នា សម្រាប់ធនាគារដោយគ្មានការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម :

2) ចូរស្វែងរកទំហំប្រាក់បញ្ញើជាមធ្យមសម្រាប់ធនាគារទាំងពីរជាមួយគ្នា។ Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 ជូត។

3) យើងនឹងរកឃើញភាពខុសគ្នានៃប្រាក់បញ្ញើសម្រាប់ធនាគារពីរ អាស្រ័យលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម ដោយប្រើរូបមន្ត៖ σ 2 =pq (រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគុណលក្ខណៈជំនួស)។ នៅទីនេះ p=0.5 គឺជាសមាមាត្រនៃកត្តាអាស្រ័យលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម។ q = 1-0.5 បន្ទាប់មក σ 2 = 0.5 * 0.5 = 0.25 ។

4) ដោយសារចំណែកនៃកត្តាផ្សេងទៀតគឺ 0.5 នោះភាពខុសគ្នានៃប្រាក់បញ្ញើសម្រាប់ធនាគារពីរអាស្រ័យលើកត្តាទាំងអស់លើកលែងតែការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគឺ 0.25 ផងដែរ។

5) កំណត់ភាពខុសគ្នាសរុបដោយប្រើច្បាប់បន្ថែម។

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 ការពិត + σ 2 សល់ = 552.08 + 345.96 = 898.04

6) មេគុណកំណត់ η 2 = σ 2 ការពិត / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - ទំហំនៃការរួមចំណែកអាស្រ័យលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម 39% ។

7) សមាមាត្រទំនាក់ទំនងជាក់ស្តែង η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – ទំនាក់ទំនងគឺជិតស្និទ្ធណាស់។

បញ្ហា ២ . មានការចាត់ថ្នាក់នៃសហគ្រាសទៅតាមទំហំផលិតផលដែលអាចទីផ្សារបាន៖

កំណត់: 1) ការបែកខ្ញែកនៃតម្លៃនៃផលិតផលដែលអាចទីផ្សារបាន; 2) គម្លាតស្តង់ដារ; 3) មេគុណបំរែបំរួល។

ដំណោះស្រាយ

1) តាមលក្ខខណ្ឌ ស៊េរីចែកចាយចន្លោះពេលត្រូវបានបង្ហាញ។ វាត្រូវតែបង្ហាញដោយចៃដន្យ ពោលគឺស្វែងរកពាក់កណ្តាលនៃចន្លោះពេល (x") នៅក្នុងក្រុមនៃចន្លោះពេលបិទជិត យើងរកឃើញកណ្តាលដោយប្រើមធ្យមនព្វន្ធសាមញ្ញ។ នៅក្នុងក្រុមដែលមានដែនកំណត់ខាងលើ - ជាភាពខុសគ្នារវាងដែនកំណត់ខាងលើនេះ។ និងទំហំពាក់កណ្តាលនៃចន្លោះពេលបន្ទាប់ (200-(400 -200):2=100)។

នៅក្នុងក្រុមដែលមានដែនកំណត់ទាប - ផលបូកនៃដែនកំណត់ទាបនេះ និងពាក់កណ្តាលទំហំនៃចន្លោះពេលមុន (800+(800-600):2=900)។

យើងគណនាតម្លៃមធ្យមនៃផលិតផលដែលអាចទីផ្សារបានដោយប្រើរូបមន្ត៖

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f): Σf)+a។ នៅទីនេះ a=500 គឺជាទំហំនៃជម្រើសនៅប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត k=600-400=200 គឺជា ទំហំនៃចន្លោះពេលនៅប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត ចូរយើងដាក់លទ្ធផលក្នុងតារាង៖

ដូច្នេះតម្លៃជាមធ្យមនៃទិន្នផលពាណិជ្ជកម្មសម្រាប់រយៈពេលដែលកំពុងសិក្សាគឺជាទូទៅស្មើនឹង Хср = (-5:37) × 200+500 = 472.97 ពាន់រូប្លិ៍។

2) យើងរកឃើញភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) គម្លាតស្តង់ដារ: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 ពាន់រូប្លិ៍។

4) មេគុណបំរែបំរួល៖ V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខណៈនេះតែម្នាក់ឯងមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសិក្សាអថេរចៃដន្យនោះទេ។ សូម​ស្រមៃ​គិត​ថា​អ្នក​បាញ់​ពីរ​នាក់​បាន​បាញ់​ចំ​គោលដៅ​មួយ។ មួយ​បាញ់​បាន​ចំៗ ហើយ​បាញ់​ជិត​ចំ​កណ្តាល ចំណែក​ឯ​គ្រាប់​ទៀត​គឺ​គ្រាន់​តែ​សប្បាយ​ហើយ​មិន​បាន​គោល​ដៅ។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលគួរឱ្យអស់សំណើចនោះគឺគាត់ មធ្យមលទ្ធផលនឹងដូចគ្នានឹងអ្នកបាញ់ដំបូង! ស្ថានភាពនេះត្រូវបានបង្ហាញជាធម្មតាដោយអថេរចៃដន្យដូចខាងក្រោមៈ

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា "អ្នកលបបាញ់" គឺស្មើនឹង ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ "មនុស្សគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍"៖ - វាក៏សូន្យដែរ!

ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថា តើចម្ងាយប៉ុន្មាន ខ្ចាត់ខ្ចាយចំណុច (តម្លៃអថេរចៃដន្យ) ទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃគោលដៅ (ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា)។ បានយ៉ាងល្អនិង ខ្ចាត់ខ្ចាយបកប្រែពីឡាតាំង មិនមែនជាវិធីផ្សេងទេ។ ការបែកខ្ញែក .

សូមមើលពីរបៀបដែលលក្ខណៈលេខនេះត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយពីផ្នែកទី 1 នៃមេរៀន៖

នៅទីនោះយើងបានរកឃើញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដ៏ខកចិត្តនៃហ្គេមនេះហើយឥឡូវនេះយើងត្រូវគណនាភាពខុសគ្នារបស់វា ដែល តំណាងដោយតាមរយៈ .

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការឈ្នះ/ចាញ់ត្រូវបាន "ខ្ចាត់ខ្ចាយ" ទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃមធ្យមប៉ុន្មាន។ ជាក់ស្តែងសម្រាប់ការនេះយើងត្រូវគណនា ភាពខុសគ្នារវាង តម្លៃអថេរចៃដន្យនិងនាង ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

ឥឡូវនេះវាហាក់ដូចជាអ្នកត្រូវបូកសរុបលទ្ធផលប៉ុន្តែវិធីនេះមិនសមស្របទេ - សម្រាប់ហេតុផលដែលការប្រែប្រួលទៅខាងឆ្វេងនឹងលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមកដោយភាពប្រែប្រួលទៅខាងស្តាំ។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍អ្នកបាញ់ "ស្ម័គ្រចិត្ត" (ឧទាហរណ៍ខាងលើ)ភាពខុសគ្នានឹងមាន ហើយនៅពេលដែលបន្ថែម ពួកគេនឹងផ្តល់សូន្យ ដូច្នេះយើងនឹងមិនទទួលបានការប៉ាន់ស្មានណាមួយនៃការបែកខ្ញែកនៃការបាញ់របស់គាត់នោះទេ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ អ្នកអាចពិចារណាបាន។ ម៉ូឌុលភាពខុសគ្នា ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលបច្ចេកទេស វិធីសាស្រ្តនេះបានចាក់ឫសនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានការ៉េ។ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការរៀបចំដំណោះស្រាយក្នុងតារាង៖

ហើយនៅទីនេះវាទាមទារឱ្យគណនា ទម្ងន់មធ្យមតម្លៃនៃគម្លាតការ៉េ។ តើ​វា​គឺជា​អ្វី? វាជារបស់ពួកគេ។ តម្លៃរំពឹងទុកដែលជារង្វាស់នៃការខ្ចាត់ខ្ចាយ៖

– និយមន័យភាពខុសប្លែកគ្នា តាមនិយមន័យវាច្បាស់ភ្លាមៗ ភាពខុសគ្នាមិនអាចជាអវិជ្ជមានទេ។- ចំណាំសម្រាប់ការអនុវត្ត!

ចូរយើងចងចាំពីរបៀបស្វែងរកតម្លៃដែលរំពឹងទុក។ គុណភាពខុសគ្នានៃការ៉េដោយប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ (តារាងបន្ត):
- និយាយក្នុងន័យធៀប នេះគឺជា "កម្លាំងអូសទាញ"
និងសង្ខេបលទ្ធផល៖

មិន​គិត​ថា​បើ​ប្រៀប​ធៀប​នឹង​ការ​ឈ្នះ​នោះ លទ្ធផល​ប្រែ​ជា​ធំ​ពេក​ឬ? នោះហើយជាសិទ្ធិ - យើងបានកាត់វាការ៉េហើយដើម្បីត្រលប់ទៅវិមាត្រនៃហ្គេមរបស់យើងយើងត្រូវយកឫសការ៉េ។ បរិមាណនេះត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរក្រិក "sigma":

តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថាពេលខ្លះ គម្លាតស្តង់ដារ .

តើវាមានន័យយ៉ាងណា? ប្រសិនបើយើងងាកចេញពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាទៅខាងឆ្វេង និងស្តាំដោយគម្លាតស្តង់ដារ៖

- បន្ទាប់មកតម្លៃដែលទំនងបំផុតនៃអថេរចៃដន្យនឹងត្រូវបាន "ប្រមូលផ្តុំ" នៅលើចន្លោះពេលនេះ។ អ្វីដែលយើងសង្កេតឃើញជាក់ស្តែង៖

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាកើតឡើងដូច្នេះនៅពេលដែលការវិភាគការខ្ចាត់ខ្ចាយមួយស្ទើរតែតែងតែដំណើរការជាមួយនឹងគំនិតនៃការបែកខ្ញែក។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវាមានន័យយ៉ាងណាទាក់ទងនឹងហ្គេម។ ប្រសិនបើនៅក្នុងករណីនៃព្រួញយើងកំពុងនិយាយអំពី "ភាពត្រឹមត្រូវ" នៃការប៉ះទង្គិចទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃគោលដៅនោះការបែកខ្ញែកនៅទីនេះបង្ហាញពីលក្ខណៈពីរយ៉ាង៖

ទីមួយ វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែលការភ្នាល់កើនឡើង ការបែកខ្ញែកក៏កើនឡើងផងដែរ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងកើនឡើង 10 ដង នោះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងកើនឡើង 10 ដង ហើយការប្រែប្រួលនឹងកើនឡើង 100 ដង។ (ចាប់តាំងពីនេះជាបរិមាណបួនជ្រុង). ប៉ុន្តែចំណាំថាច្បាប់នៃហ្គេមខ្លួនឯងមិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ! មានតែអត្រាការប្រាក់ដែលបានផ្លាស់ប្តូរ ប្រហែលនិយាយមុនពេលយើងភ្នាល់ 10 រូប្លិ ឥឡូវនេះវាគឺ 100 ។

ចំណុច​ទី​ពីរ​ដែល​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ជាង​នេះ​គឺ​ភាព​ខុស​គ្នា​កំណត់​រចនាប័ទ្ម​នៃ​ការ​លេង។ ដោះស្រាយការភ្នាល់ល្បែងផ្លូវចិត្ត នៅកម្រិតជាក់លាក់ណាមួយ។ហើយ​ចាំ​មើល​ថា​មាន​អ្វី​ខ្លះ៖

ហ្គេមដែលមានភាពប្រែប្រួលទាបគឺជាហ្គេមដែលមានការប្រុងប្រយ័ត្ន។ អ្នកលេងមានទំនោរជ្រើសរើសគ្រោងការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបំផុត ដែលគាត់មិនចាញ់/ឈ្នះច្រើនពេកក្នុងពេលតែមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធក្រហម/ខ្មៅ ក្នុងរ៉ូឡែត (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី ៤ នៃអត្ថបទ អថេរចៃដន្យ) .

ល្បែងដែលមានភាពខុសគ្នាខ្ពស់។ នាងត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ បែកខ្ញែកហ្គេម។ នេះគឺជាទម្រង់លេងបែបផ្សងព្រេង ឬឈ្លានពាន ដែលអ្នកលេងជ្រើសរើសគ្រោងការណ៍ "អាដ្រេណាលីន" ។ ចូរយើងចងចាំយ៉ាងហោចណាស់ "Martingale"ដែលក្នុងនោះបរិមាណភាគហ៊ុនគឺជាលំដាប់នៃទំហំធំជាងល្បែង "ស្ងាត់" នៃចំណុចមុន។

ស្ថានភាពនៅក្នុងល្បែងបៀរគឺជាការចង្អុលបង្ហាញ: មានអ្វីដែលគេហៅថា តឹងអ្នកលេងដែលមានទំនោរមានការប្រុងប្រយ័ត្ន និង "រង្គោះរង្គើ" លើមូលនិធិហ្គេមរបស់ពួកគេ។ (ធនាគារ). មិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ គណនីធនាគាររបស់ពួកគេមិនប្រែប្រួលខ្លាំង (ការប្រែប្រួលទាប)។ ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ ប្រសិន​បើ​កីឡាករ​ម្នាក់​មាន​ភាព​ប្រែប្រួល​ខ្ពស់ នោះ​គាត់​ជា​អ្នក​ឈ្លានពាន។ ជារឿយៗគាត់ប្រថុយប្រថាន ធ្វើការភ្នាល់ធំ ហើយអាចបំបែកធនាគារដ៏ធំ ឬចាញ់ smithreeens ។

រឿងដដែលនេះកើតឡើងនៅក្នុង Forex ហើយដូច្នេះនៅលើ - មានឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

លើសពីនេះទៅទៀត ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ វាមិនមានបញ្ហាថាតើហ្គេមនេះត្រូវបានលេងសម្រាប់កាក់ ឬរាប់ពាន់ដុល្លារនោះទេ។ គ្រប់កម្រិតទាំងអស់មានអ្នកលេងដែលមានកម្រិតទាប និងខ្ពស់របស់វា។ ជាការប្រសើរណាស់, ដូចដែលយើងចងចាំ, ការឈ្នះជាមធ្យមគឺ "ទទួលខុសត្រូវ" តម្លៃរំពឹងទុក.

អ្នក​ប្រហែល​ជា​បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា​ការ​ស្វែង​រក​ភាព​ខុស​គ្នា​គឺ​ជា​ដំណើរ​ការ​ដ៏​យូរ​និង​មាន​ការ​ព្យាយាម។ ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាគឺសប្បុរស៖

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកភាពខុសគ្នា

រូបមន្ត​នេះ​បាន​មក​ដោយ​ផ្ទាល់​ពី​និយមន័យ​នៃ​ភាព​ខុស​គ្នា ហើយ​យើង​យក​វា​ទៅ​ប្រើ​ភ្លាមៗ។ ខ្ញុំនឹងចម្លងសញ្ញាជាមួយហ្គេមរបស់យើងខាងលើ៖

និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលបានរកឃើញ។

ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលតាមវិធីទីពីរ។ ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា - ការ៉េនៃអថេរចៃដន្យ។ ដោយ ការកំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា:

ក្នុងករណី​នេះ:

ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត៖

ដូចដែលពួកគេនិយាយ មានអារម្មណ៍ថាមានភាពខុសគ្នា។ ហើយជាការពិតណាស់ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើរូបមន្ត (លុះត្រាតែលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យប្រើផ្សេង)។

យើងគ្រប់គ្រងបច្ចេកទេសនៃការដោះស្រាយ និងរចនា៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដាររបស់វា។

កិច្ចការនេះត្រូវបានរកឃើញនៅគ្រប់ទីកន្លែង ហើយជាក្បួនទៅដោយគ្មានអត្ថន័យ។
អ្នក​អាច​ស្រមៃ​មើល​អំពូល​ភ្លើង​ជា​ច្រើន​ដែល​មាន​លេខ​ដែល​ភ្លឺ​ក្នុង​ផ្ទះ​ឆ្កួត​ដែល​មាន​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ជាក់លាក់ :)

ដំណោះស្រាយ៖ វាងាយស្រួលក្នុងការសង្ខេបការគណនាជាមូលដ្ឋានក្នុងតារាង។ ដំបូងយើងសរសេរទិន្នន័យដំបូងនៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលពីរ។ បន្ទាប់មកយើងគណនាផលិតផល បន្ទាប់មក និងចុងក្រោយផលបូកក្នុងជួរខាងស្តាំ៖

តាមពិតអ្វីៗស្ទើរតែរួចរាល់ហើយ។ បន្ទាត់ទីបីបង្ហាញពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលត្រៀមរួចជាស្រេច៖ .

យើងគណនាបំរែបំរួលដោយប្រើរូបមន្ត៖

ហើយចុងក្រោយ គម្លាតស្តង់ដារ៖
- ជាធម្មតាខ្ញុំបង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគ 2 ។

ការគណនាទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ឬប្រសើរជាងនេះ - នៅក្នុង Excel៖

វាពិបាកក្នុងការទៅខុសនៅទីនេះ :)

ចម្លើយ:

អ្នក​ដែល​ប្រាថ្នា​អាច​ធ្វើ​ឱ្យ​ជីវិត​របស់​ពួក​គេ​កាន់​តែ​សាមញ្ញ ហើយ​ទាញ​យក​ប្រយោជន៍​ពី​ខ្ញុំ ម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ការបង្ហាញ)ដែលនឹងមិនត្រឹមតែដោះស្រាយបញ្ហានេះភ្លាមៗប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងបង្កើតផងដែរ។ ក្រាហ្វិកតាមប្រធានបទ (យើងនឹងទៅដល់ទីនោះឆាប់ៗនេះ). កម្មវិធីអាចជា ទាញយកពីបណ្ណាល័យ- ប្រសិនបើអ្នកបានទាញយកយ៉ាងហោចណាស់សម្ភារៈអប់រំមួយ ឬទទួលបាន វិធីមួយទៀត. អរគុណសម្រាប់ការគាំទ្រគម្រោង!

កិច្ចការមួយចំនួនដែលត្រូវដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

គណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យក្នុងឧទាហរណ៍មុនតាមនិយមន័យ។

និងឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា៖

ឧទាហរណ៍ ៨

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយច្បាប់ចែកចាយរបស់វា៖

បាទ តម្លៃអថេរចៃដន្យអាចមានទំហំធំណាស់។ (ឧទាហរណ៍ពីការងារពិត)ហើយនៅទីនេះ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន សូមប្រើ Excel ។ ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 7 - វាលឿនជាងមុន គួរឱ្យទុកចិត្ត និងរីករាយជាង។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅខាងក្រោមទំព័រ។

ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកទី 2 នៃមេរៀន យើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាធម្មតាមួយទៀត មនុស្សម្នាក់អាចនិយាយបានថា ល្បែងផ្គុំរូបតូចមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៩

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកអាចយកតែតម្លៃពីរប៉ុណ្ណោះ៖ និង , និង . ប្រូបាប៊ីលីតេ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងភាពប្រែប្រួលត្រូវបានគេស្គាល់។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនស្គាល់។ ដោយសារអថេរចៃដន្យអាចយកតែតម្លៃពីរ ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នាគឺ៖

ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក។

អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវស្វែងរក... វាងាយស្រួលនិយាយ :) ប៉ុន្តែអូ៎ យើងទៅ។ តាមនិយមន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
- ជំនួសបរិមាណដែលគេស្គាល់៖

- ហើយគ្មានអ្វីទៀតទេដែលអាចត្រូវបានច្របាច់ចេញពីសមីការនេះ លើកលែងតែអ្នកអាចសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទិសដៅធម្មតា៖

ឬ៖

ខ្ញុំគិតថាអ្នកអាចទាយជំហានបន្ទាប់។ ចូរយើងចងក្រង និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

ទសភាគគឺជាការពិត ជាការអាម៉ាស់ទាំងស្រុង។ គុណសមីការទាំងពីរដោយ 10៖

និងចែកដោយ 2:

នោះ​ល្អ​ជាង។ ពីសមីការទី 1 យើងបង្ហាញ:
(នេះជាវិធីងាយស្រួលជាង)- ជំនួសសមីការទី ២៖

យើងកំពុងសាងសង់ ការ៉េនិងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ:

គុណនឹង៖

លទ្ធផលគឺ សមីការ​ការ៉េយើងរកឃើញការរើសអើងរបស់វា៖
- អស្ចារ្យ!

ហើយយើងទទួលបានដំណោះស្រាយពីរ៖

1) ប្រសិនបើ , នោះ។ ;

2) ប្រសិនបើ , នោះ។

លក្ខខណ្ឌត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃគូដំបូង។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងសរសេរច្បាប់ចែកចាយ៖

ហើយអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ ពោលគឺស្វែងរកការរំពឹងទុក៖