ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏನು a b. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ನಾವು ಗುರುತುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದ ಉದ್ದೇಶವು ಏನೆಂದು ವಿವರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇತರರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುವುದು.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಗುರುತಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಬೀಜಗಣಿತ. ಒಂದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಒಂದೇ ಸಮಪರಸ್ಪರ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಶಾಲವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದ್ದು, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾದಾಗ ಅದರ ಅರ್ಥವು ಬದಲಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಹೊರತಾಗಿ ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ಅವು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ನಾವು ಪರಿಷ್ಕೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು- ಇವುಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

"ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಾವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ನಂತರ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ನೀಡಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಹೀಗಾಗಿ, 2 + 4 ಮತ್ತು 4 + 2 ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (6 ಮತ್ತು 6).

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 3 ಮತ್ತು 30 ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: 10, (2 2) 3 ಮತ್ತು 2 6 (ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು).

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಆದರೆ 4 - 2 ಮತ್ತು 9 - 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. a + b ಮತ್ತು b + a ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a 4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು b 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇನ್ನೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ 0 · x · y · z ಮತ್ತು 0 . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, 0 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವು 0 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 6 · x ಮತ್ತು 8 · x ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ a + 6 ಮತ್ತು 6 + a ಅಥವಾ a · b · 0 ಮತ್ತು 0, ಅಥವಾ x 4 ಮತ್ತು x, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ a + 8 = 8 + a, ಮತ್ತು a · b · 0 = 0 ಸಹ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 0 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 0 ಆಗುತ್ತದೆ. x 4 ಮತ್ತು x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ [0 , + ∞) .

ಆದರೆ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: x - 1 ಮತ್ತು x - 1 · x x. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ, x ನ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಛೇದ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. x - 1 · x x ಮತ್ತು x - 1 ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು 0 ಅಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ x - 1 x x ಮತ್ತು x - 1 ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ x ಗಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ನಾವು ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

§ 2. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಗುರುತು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ. ಗುರುತಿನ ಪುರಾವೆಗಳು

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ 2(x - 1) 2x - 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ 2(x - 1) 2x - 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಅಸ್ಥಿರ x ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ, 2(x - 1) = 2x - 2. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, 2(x - 1) 2x - 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2x + 3x ಮತ್ತು 5x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಇದು 2x + 3x = 5x ರಿಂದ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).

ಈಗ ನಾವು 3x + 2y ಮತ್ತು 5xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. x = 1 ಮತ್ತು b = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು x ಮತ್ತು y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x = 2 ವೇಳೆ; y = 0, ನಂತರ

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 3x + 2y ಮತ್ತು 5xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 3x + 2y ಮತ್ತು 5xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಗುರುತುಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ: 2(x - 1) = 2x - 2 ಮತ್ತು 2x + 3x = 5x.

ಒಂದು ಗುರುತು ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

ಗುರುತುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

ನಾವು -5x + 2x - 9 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು 5x + 2x - 9 = 7x - 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 5x + 2x - 9 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 7x - ಎಂಬ ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. 9.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಹಾಗೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವಾಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಅದು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

1) -0.3 ಮೀ ∙ 5 ಎನ್;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - ಎ + 2 ಬಿ + 3 ಬಿ - ಎ= 3a + 5b + 2.

ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಗುರುತು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀವು ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು:

ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ;
ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಡಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ;
ಅದರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಏರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) ರೂಪಾಂತರ ಎಡಬದಿಸಮಾನತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಗುರುತು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು.

2) ರೂಪಾಂತರ ಬಲಭಾಗದಸಮಾನತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 ಬಿ - 14a + 35 ಬಿ= 20b - 4a.

ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಾನತೆ ಒಂದು ಗುರುತು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು.

3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಯಿತು: 26x - 44. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಗುರುತಾಗಿದೆ.

ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ. ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಗುರುತಿನ ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಗುರುತನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು?

(ಮೌಖಿಕವಾಗಿ) ಅಥವಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇವೆ:

1) 2a + a ಮತ್ತು 3a;

2) 7x + 6 ಮತ್ತು 6 + 7x;

3) x + x + x ಮತ್ತು x 3 ;

4) 2(x - 2) ಮತ್ತು 2x - 4;

5) m - n ಮತ್ತು n - m;

6) 2a ∙ p ಮತ್ತು 2p ∙ a?

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

1) 7x - 2x ಮತ್ತು 5x;

2) 5a - 4 ಮತ್ತು 4 - 5a;

3) 4m + n ಮತ್ತು n + 4m;

4) a + a ಮತ್ತು a 2;

5) 3(a - 4) ಮತ್ತು 3a - 12;

6) 5m ∙ n ಮತ್ತು 5m + n?

(ಮೌಖಿಕವಾಗಿ) ಲೀ ಗುರುತಿನ ಸಮಾನತೆ:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

ತೆರೆದ ಆವರಣ:

ತೆರೆದ ಆವರಣ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ:

ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 2a + 3a.
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಗುಣಾಕಾರ:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3 ಗ್ರಾಂ);

4)- x ∙<-7у).

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3у);

4) - 1 ಮೀ ∙ (-3n).

(ಮೌಖಿಕ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7s + 1.9 g + 6.9 s - 1.7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(ಆರ್ - 3);

4) -(3ಮೀ - 5) + 2(3ಮೀ - 7).

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5ಮೀ - 7) - (15ಮೀ - 2).

1) 0.6 x + 0.4(x - 20), x = 2.4 ಆಗಿದ್ದರೆ;

2) 1.3(2a - 1) - 16.4, a = 10 ಆಗಿದ್ದರೆ;

3) 1.2 (ಮೀ - 5) - 1.8 (10 - ಮೀ), ಮೀ = -3.7 ವೇಳೆ;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, x = -1 ಆಗಿದ್ದರೆ, y = 1.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ:

1) 0.7 x + 0.3(x - 4), x = -0.7 ಆಗಿದ್ದರೆ;

2) 1.7(y - 11) - 16.3, b = 20 ಆಗಿದ್ದರೆ;

3) 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1), a = -1 ಆಗಿದ್ದರೆ;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, m = 1.8 ಆಗಿದ್ದರೆ; n = -0.9.

ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಒಂದು ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವು ಅದಕ್ಕಿಂತ 2 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
ಆಯತದ ಅಗಲವು x cm, ಮತ್ತು ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 3 cm ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2.7 m - 1.5 n) + (2n - 0.48 m).

ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - 8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮೂರು ಸತತ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1.6 ಕೆಜಿ ತೂಕದ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 15% ತಾಮ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಿಶ್ರಲೋಹದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕೆಜಿ ತಾಮ್ರವಿದೆ?
ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಎಷ್ಟು ಶೇಕಡಾ:

1) ಚದರ;

ಪ್ರವಾಸಿಗರು 2 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ನಡೆದರು ಮತ್ತು 3 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಸೈಕಲ್ ಸವಾರಿ ಮಾಡಿದರು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಪ್ರವಾಸಿಗರು 56 ಕಿ.ಮೀ. ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಸೈಕಲ್ ಓಡಿಸುತ್ತಿದ್ದ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದು ಅವನು ನಡೆದಾಡುತ್ತಿದ್ದ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ 12 ಕಿಮೀ / ಗಂ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ.

ಸೋಮಾರಿಯಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸಿಟಿ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಚಾಂಪಿಯನ್‌ಶಿಪ್‌ನಲ್ಲಿ 11 ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಂಡವು ಒಂದರ ವಿರುದ್ಧ ಒಂದೊಂದು ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಆಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಂದ್ಯಗಳನ್ನು ಆಡಿರುವ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಆಡದಿರುವ ತಂಡವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3+x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು 1+2 ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (1+2)+x, ಇದು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 1+a 5 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, a 5 ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a·a 4 ರೂಪ. ಇದು ನಮಗೆ 1+a·a 4 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರವು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಕೃತಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತ 4 x 3 +2 x 2 ನಲ್ಲಿ, ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 4 x 3 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 2 x 2 2 x ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 x 2 2 x+2 x 2 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ನಿಯಮಗಳು 2 x 2 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು - ಬ್ರಾಕೆಟ್. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: 2 x 2 (2 x+1) .

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಕೃತಕ ರೂಪಾಂತರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಕಲನ. ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. x 2 +2·x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಪದದ ಚೌಕ: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 -1.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 240 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 7 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸೇರಿಸಿ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2013. - 175 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-02432-3.

ಗುರುತಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮಾಡುವ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತರಲು ನಾವು ಈ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ. ಅದು ಏನು?

7 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆಗ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲು ಪರಿಚಯವಾಯಿತು. ವಿಷಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರ- ಇವುಗಳು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಗುರಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಒಂದೇ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ x + 3 - 2ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ x+1, ನಂತರ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x + 3 - 2.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 a 6 ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು a 3ಒಂದು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ Xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ x 2ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದಾಗಿ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಲ್ಲ Xಮತ್ತು x 2ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ನಾವು ಬರವಣಿಗೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, x + 1 + 2 = x + 3 ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಎಂದರೆ x + 1 + 2 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು x + 3 ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಮರಣದಂಡನೆಯು ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಸತತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮೂದು x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ಅನ್ನು ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, x + 1 + 2 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು x + 3 ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತರಲಾಯಿತು ರೂಪ 3 + x.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ODZ

ನಾವು 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಹಲವಾರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ (APV) ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ ODZ ಅನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಿರಿದಾಗಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ a + (- b)ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ a−bಅನುಮತಿಸುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಅದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x ನಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು x 2 xಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರ x 2 xಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.

ಮೂಲ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ.

ಮುಖ್ಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ, ಇವುಗಳು ಹೊಸ ಛೇದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ತರಲು ತಂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಂಪನ್ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಮುಖ್ಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಹೋಗೋಣ.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ನಿಯಮವು ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಮಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ನಾವು 3 + 5 + 7 ಎಂಬ ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು 3 ಮತ್ತು 5 ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 5 + 3 + 7 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕೂಡ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಪದಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾಧಿಸದೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ಮತ್ತು - 12 a ಫಾರ್ಮ್ 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · ಒಂದು ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ 1 a + b ನ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಭಾಗವು 1 b + a ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a 2 + 2 a + 5ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೊತ್ತವೂ ಆಗಿದೆ.

ನಿಯಮಗಳಂತೆಯೇ, ನೀವು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸರಿಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ, ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಅಂಶಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ನಿಯಮವು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಕೆಲಸ 3 5 7ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 ಅಥವಾ 3 7 5.

ಉದಾಹರಣೆ 9

x + 1 x 2 - x + 1 x ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು x 2 - x + 1 x x + 1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು

ಆವರಣಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆವರಣಗಳು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆವರಣ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ 3 + x - 1 xಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸರಿಯಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು 3 + x - 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 3 x - 3 - 1 + x 1 - x ಆವರಣಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಸಂಪನ್ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾದ "ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪು, ಅಂಶಗಳು

ನಾವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ನಿಯಮಗಳಾಗಿ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರದ ಈ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕುವುದು ಎಂದರ್ಥ.

ಗುಂಪು ಮಾಡುವಾಗ, ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಂಪಿನ ಪದಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 5 + 7 + 1 . ನಾವು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (5 + 1) + 7 .

ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪದಗಳ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ 2 3 4 5ನಾವು ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಾಲ್ಕನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ (2 4) (3 5). ಮತ್ತು ನಾವು ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2 3 5) 4.

ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. "ಗ್ರೂಪಿಂಗ್ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊತ್ತಗಳು, ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಚಿತತೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಬಿ. ಸಮಾನತೆ a - b = a + (- b)ನ್ಯಾಯೋಚಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 4 + 3 − 2 , ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 3 − 2 ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು 3 + (− 2) . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 4 + 3 + (− 2) .

ಉದಾಹರಣೆ 14

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0 , 2ಮುಂತಾದ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ನಾವು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ಭಾಜಕದ ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು a: b = a (b - 1).

ಈ ನಿಯಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ 15

ಖಾಸಗಿ 1 2: 3 5 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು 1 2 5 3.

ಅಂತೆಯೇ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 16

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1 + 5: x: (x + 3)ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ Xಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಬಹುದು 1 x. ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗ x+3ನಾವು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು 1 x + 3. ರೂಪಾಂತರವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ a · b = a: (b - 1).

ಉದಾಹರಣೆ 17

5 x x 2 + 1 - 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು 5: x 2 + 1 x - 3 ರಂತೆ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ನಂತರ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತದನಂತರ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಮೊದಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದೇ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 18

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪದವಿಯತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ 2 3 ಮತ್ತು ರೂಟ್ 4 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: 2 3 = 8 ಮತ್ತು 4 = 2 2 = 2.

ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

ಈಗ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ: 8 − 1 = 7 . ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) ಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು 3 ಮತ್ತು 7 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

ಉತ್ತರ: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಇತರ ರೀತಿಯ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 19

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ 6: 3 ಅದರ ಅರ್ಥದ ಮೇಲೆ 2 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

ಉತ್ತರ:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕೆಲಸದ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುರಿಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡುವುದು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಿಲ್ಲದೆ ಮೂಲ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 20

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ 2 7 + 2 3ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು 2 ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸರಿಯಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ 2 (7 + 3).

ನಮ್ಮ ಸಂಪನ್ಮೂಲದ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹಾಕುವ ನಿಯಮಗಳ ನಿಮ್ಮ ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ನೀವು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಬಹುದು. ವಸ್ತುವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

ಈಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ: ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಮೊತ್ತಗಳು. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 21

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 1 + 4 x - 2 x. ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಅಕ್ಷರಶಃ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯಬಹುದು 1 + x (4 - 2). ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಫಾರ್ಮ್ 1 + x · 2 ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ಒಂದೇ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 22 ಉದಾಹರಣೆ 23

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 1 + ಎ 5, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ a 5 ಅನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ಮ್‌ನ a · a 4. ಇದು ನಮಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ 1 + ಎ 4.

ಮಾಡಿದ ರೂಪಾಂತರವು ಕೃತಕವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 24

ಮೊತ್ತದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 4 x 3 + 2 x 2. ಇಲ್ಲಿ ಪದ 4 x 3ನಾವು ಒಂದು ಕೆಲಸ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು 2 x 2 2 x. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ 2 x 2 2 x + 2 x 2. ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು 2 x 2ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರಗೆ ಹಾಕಿ: 2 x 2 (2 x + 1).

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಕೃತಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 25

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ x 2 + 2 x. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬಹುದು, ಇದು ತರುವಾಯ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ವೇರಿಯಬಲ್ a ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆ ಸಮಾನತೆಗೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ a ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು a. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುರುತುಗಳು.

ಗುರುತಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಗುರುತಿನವು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳು ಸಹ ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಗುರುತುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

11. a*(-1) = -a.

ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

1. (a 2) 4 ಮತ್ತು a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) ಮತ್ತು -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) ಮತ್ತು x 10.

ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಬದಲಿ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುರುತುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ, 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೂ, a ಮತ್ತು b ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದರೆ 4 ಸಮಾನತೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗುರುತಾಗಿ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 5 ಮತ್ತು b = 2 ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಸಂಖ್ಯೆ -3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.